BINOMIAL NEGATIF VS GENERALIZED POISSON REGRESSION DALAM MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON

Transkripsi

1 Semnar Nasonal Statstka IX Insttut Teknolog Sepuluh Nopember, 7 November 2009 BINOMIAL NEGATIF VS GENERALIZED POISSON REGRESSION DALAM MENGATASI OVERDISPERSION PADA REGRESI POISSON Oleh : A yunn Sofro Jurusan Matematka FMIPA Unverstas Neger Surabaya ayunn_sofro@yahoo.co.uk Abstrak. Kasus overdsperson pada regres posson mengakbatkan estmas parameter yang dhaslkan menjad kurang tepat. Beberapa pendekatan yang telah dlakukan antara lan dengan bnomal negatf dan generalzed Posson regresson (GPR). Hasl peneltan menunjukkan bahwa dengan pendekatan bnomal negatf pada data klam resko sendr memberkan hasl lebh bak darpada GPR. Hal n dtanda dengan nla dar krtera AIC yang dperoleh sebaga goodness of ft dar model GPR lebh kecl darpada dengan Bnomal Negatf. Kata kunc: AIC, Bnomal Negatf, Generalzed Posson Regresson, Overdsperson, Regres Posson 1. Pendahuluan Pada dasarnya, model regres Posson dasumskan mean dan varan dar varable respon adalah sama. Pada kejadaan rlnya, data sangat dmungknkan mempunya penyebaran yang luas (overdsperson), msalnya stuas dmana varas melebh mean. Apabla tetap menggunakan regres Posson akan mengakbatkan estmas parameter yang dhaslkan kurang tepat karena kemungknan adanya overdsperson. Menurut Ismal dan Jeman (2007) perlu dlakukan pendekatan yang lan, salah satunya dengan menggunakan pendekatan bnomal negatf dan Generalzed Posson Regresson (GPR). Beberapa penelt yang mengembangkan kasus n adalah Gardner dan Ester (1995) d bdang pskolog dan krmnltas, Lee, dkk (2003) d bdang bomedcal untuk mengetahu peluang penyakt yang belum dketahu berdasarkan karakter ndek stroke pada pasen. Famoye, Wulu dan Sngh (2004) menelt data kecelakaan, Ismal dan Jeman (2005) d bdang asurans untuk mengetahu peluang nasabah dalam mengajukan klam asurans kendaraan bermotor d Malaysa dan Lu dan Zeger (2007) d bdang epdemolog lngkungan yang mengetahu peluang dar polus udara yang terjad setap har dan Ismal dan Jeman (2007) dbdang asurans untuk mengetahu peluang nasabah dalam mengajukan klam asurans kendaraan bermotor d Malaysa. Pada peneltan Sofro (2008) dnyatakan bahwa GPR mampu menurunkan nla devas dar regres Posson sehngga dapat dsmpulkan bahwa GPR memberkan hasl yang lebh bak dar regres Posson. Sedangkan pendekatan bnomal negatf juga memberkan hasl yang lebh bak dar regres Posson dengan menurunnya nla devas dan AIC yang dperoleh (Sofro, 2009). Dar uraan datas, maka tujuan peneltan adalah mengkaj model bnomal negatf dan GPR untuk mengatas adanya overdsperson pada Regres Posson. 1

2 2. Tnjauan Pustaka 2.1 Model Bnomal Negatf Msal Y adalah varabel random untuk dstrbus bnomal negatf. Fungs kepadatan peluang adalah v ( y v ) v ( y ) (1) ( y 1) ( v ) v v P Y VarY v 2 x. 1 dmana meannya adalah EY x dan varannya adalah Jka v dan parameter penyebaran sama dengan nol, maka fungs kepadatan peluang dtunjukkan pada (3) akan menurun menjad model regres Posson sehngga mean sama dengan varan E x Var x. Jka > 0, maka E x < Y overdsperson. Y Fungs lkelhoodnya dar GPR adalah sebaga berkut. L( β, ) P( y ; β, ) n 1 Y Var x, menunjukkan model data dskret yang Y dan persamaan log lkelhood adalah LnL log( 1 r) y log( ) log( y!) y log( ) ( y )log( 1 ) y 1 1 β, (2) r 1 Taksran MLE untuk parameter model bnomal negatf dnyatakan dengan βˆ dan dperoleh dar solus dar turunan pertama fungs log lkelhoodnya, yatu : β,, j 1,2,, k lnl k( β ; ) j Untuk mendapatkan taksran βˆ selan menggunakan metode maksmum lkelhood dapat menggunakan prosedur Itertatvely Rewghted Least Square (IRLS). Dan taksran parameter dsperson dperoleh dengan turunan pertama dan kedua dar fungs log lkelhood, dperoleh : lnl β, ( β; ) h (3) 2 lnl β, m ( β; ) (4) 2 Untuk mendapatkan taksran parameter, maka persamaan (3) dan (4) datas dselesakan secara smultan secara teratf dengan prosedur Itertatvely Rewghted Least Square (IRLS). 2.2 Ukuran Goodness of Ft Model Bnomal Negatf Akake Informaton Crteron (AIC) Akake memperkenalkan krtera nformas yang mempertmbangkan banyaknya parameter. Untuk menghtung nla AIC dgunakan defns sebaga berkut : 2

3 AIC = - p dmana adalah hasl dar log lkelhood dar p adalah banyaknya parameter semakn kecl nla AIC nya maka model semakn bak. 2.3 Model GPR Pr( Y Msal Y adalah varabel random. Fungs kepadatan peluang adalah ) y 1 y y 1 1 y 1 y y! exp 1, y 0,1, dmana meannya adalah EY x dan varannya adalah Var 2 Y x 1. (6) Ketka parameter penyebaran sama dengan nol, maka fungs kepadatan peluang dtunjukkan pada (2.4) akan menjad model regres Posson sehngga mean sama dengan varan Var x. Jka > 0, maka EY x < Y E x > Y Y E x Var x, menunjukkan model data dskrt yang overdsperson. Jka < 0, Var x menunjukkan model data dskrt yang underdsperson. Kategor yang dgunakan untuk mendeteks keberadaan overdsperson atau underdsperson adalah nla devans dan pearson ch square yang dbag dengan derajad bebas. Nla atau hasl bag yang lebh besar dar satu mengndkaskan adanya overdsperson, sedangkan nla atau hasl bag yang lebh kecl dar satu mengndkaskan adanya underdsperson (Cameron dan Trved, 1998). Fungs lkelhoodnya dar GPR adalah sebaga berkut. L( β, ) P( y ; β, ) n 1 dan persamaan log lkelhood adalah 1 y LnL, y Ln β y 1 Ln 1y Ln( y!) (7) 1 1 Taksran MLE untuk parameter model GPR dnyatakan dengan βˆ dan dperoleh dar solus dar turunan pertama fungs log lkelhoodnya, yatu : β,, j 1,2,, k lnl k( β ; ) j Y Y Untuk mendapatkan taksran βˆ selan menggunakan metode maksmum lkelhood dapat menggunakan prosedur Itertatvely Rewghted Least Square (IRLS). 3

4 Dan taksran parameter dsperson dperoleh dengan turunan pertama dan kedua dar fungs log lkelhood, dperoleh : ln L β, ( β; ) h (8) Untuk mendapatkan taksran parameter, maka persamaan (8) datas dselesakan secara smultan secara teratf dengan prosedur Itertatvely Rewghted Least Square (IRLS). 2.3 Goodness-of-ft Dar GPR Ada beberapa ukuran goodness of ft pada model GPR, salah satunya yang basa dgunakan adalah Akake nformaton crteron (AIC) yang ddefnskan sebaga berkut. AIC = - p dengan adalah hasl dar log lkelhood dar model yang destmas p adalah banyaknya parameter yang destmas semakn kecl nla AIC nya maka model semakn bak. 3. Metodolog Peneltan Data yang dgunakan adalah data sekunder yang berasal dar PT Asurans Trpakarta khusus untuk jens asurans kendaraan bermotor. Data yang akan dambl adalah data tentang klam tpe resko sendr perode Berdasarkan form yang ada pada PT Asurans Trpakarta maka varabel peneltan yang dtelt terdr dar varabel predktor (X) dan varabel responnya (Y), yang ddefnskan sebaga berkut : Y = Banyaknya pengajuan klam pertahun X 1 = Negara pembuat kendaraan, ddefnskan sebaga asal negara pembuat kendaraan dengan kategor: 1 = Jepang, 3= Jerman, 5= Prancs 2 = Korea, 4= Itala, 6= Amerka X 2 = Gender Use, ddefnskan sebaga pengguna dar kendaraan bermotor yang dasuranskan dengan kategor: 1 = pengguna prbad 2 = pengguna bsns X 3 = Umur kendaraan, ddefnskan sebaga tahun mula pembuatan kendaraan sampa dengan tahun pengajuan asurans kendaraan Langkah-langkah peneltannya adalah terlebh dahulu memodelkan dengan model bnomal negatf dengan melbatkan varabel utama tanpa melbatkan adanya nteraks antar varabel kemudan dmodelkan dengan menggunakan GPR. Nla devas yang dhaslkan oleh Bnomal negatf akan dbandngkan dengan nla devas dan AIC yang dhaslkan oleh GPR. 4. Analss Data Dan Pembahasan 4.1 Pemodelkan Data Dengan Model Bnomal Negatf Berdasarkan pada peneltan Sofro (2009) yang menyatakan bahwa data klam resko sendr mengalam kasus overdsperson jka menggunakan regres Posson. Sehngga langkah pertama untuk mengatasnya data klam resko sendr dmodelkan dengan menggunakan model bnomal negatf 4

5 dengan melbatkan varabel utama tanpa melbatkan adanya nteraks antar varable. Dengan menggunakan software SAS dperoleh hasl taksran parameter dar model bnomal negatf sebaga berkut. Tabel 1. Hasl Taksran Parameter Dengan Bnomal Negatf Parameter Estmas SE P value X0-0,9639 0,3082 0,0018 X1 0,3481 0,2584 0,1779 X2 1,2543 0,2708 <,0001 X3 0,3613 0,1004 0,0003 Pada Tabel 1 dapat dlhat bahwa tdak semua parameter yang sgnfkan. Hal n dtunjukkan oleh nla p-value masng-masng parameter secara berurutan untuk X 0, X2, X3 adalah 0,0018; 0,0001 dan 0,0003 yang lebh kecl dar = 0,05. Sedangkan untuk X1 tdak sgnfkan dengan nla p_value bernla sebesar 0,1779 yang lebh besar dar = 0, Pemodelan Data Dengan Model GPR Langkah berkutnya adalah data klam resko sendr dmodelkan dengan menggunakan model GPR dengan melbatkan varabel utama tanpa melbatkan adanya nteraks antar varabel. Dengan menggunakan software SAS dperoleh hasl taksran parameter dar model GPR sebaga berkut. Tabel 3. Hasl Taksran Parameter dengan GPR Parameter Estmas SE P value X0-1,1932 0,3670 0,0012 X1 0,3143 0,2584 0,2602 X2 1,5058 0,4401 0,0007 X3 0,4609 0,1502 0,0023 1,6876 0,1630 <,0001 Pada Tabel 3 dapat dlhat bahwa tdak semua parameter yang sgnfkan. Hal n dtunjukkan oleh nla p-value masng-masng parameter secara berurutan untuk X 0, X2, X3 adalah 0,0012; 0,0007 dan 0,0023 yang lebh kecl dar = 0,05. Sedangkan untuk X1 tdak sgnfkan dengan nla p_value bernla sebesar 0,2602 yang lebh besar dar = 0,05. Berdasarkan Tabel 1 dan Tabel 2 dapat dketahu bahwa parameter yang sgnfkan yang dperoleh sama dan hasl estmasnya tdak jauh berbeda. Begtu juga dengan parameter yang tdak sgnfkan X 1, hasl yang dperoleh bak dengan bnoml negatf maupun dengan GPR memberkan hasl yang sama. 5

6 4.3 Perbandngan Model Bnomal Negatf terhadap Regres Posson Langkah terakhr adalah membandngkan model Bnomal Negatf dengan GPR. Dengan menggunakan program SAS 9.1 prosedur GENMOD akan dperoleh krtera goodness of ft dar model bnomal negatf dan regres Posson. Hasl dapat dlhat pada Tabel 3 Tabel 3. Krtera Kebakan Model dar Bnomal Negatf dan GPR Krtera Bnomal Negatf GPR AIC 3402,8 1497,5 Pada peneltan n krtera pembandng yang dgunakan adalah krtera AIC, dmana semakn kecl nla AIC maka semakn bak model tersebut. Dar Tabel 3, pemodelan dengan menghaslkan nla AIC lebh kecl dar pada nla AIC pada bnomal negatf, yatu secara berurutan 3402,8 dan 1497,5. Model yang bak memlk nla AIC yang lebh kecl. Berdasarkan krtera tersebut dapat dsmpulkan bahwa pemodelan dengan model GPR pada data Resko Sendr d PT Asurans Trpakarta kantor cabang Surabaya Dponegoro memberkan hasl yang lebh bak darpada dengan menggunakan pemodelan regres Posson. 5. Kesmpulan Pendekatan model GPR maupun model bnomal negatf memberkan hasl taksran parameter sgnfkan yang sama dan nla yang dperoleh tdak jauh berbeda. Tetap dengan menggunakan model GPR pada data klam resko sendr memberkan hasl lebh bak darpada bnomal negatf dengan menurunnya nla AIC yang dperoleh. 6. Daftar Pustaka Brockman, M. J., and Wrght, T. S. (1992), Statstcal Motor Ratng: Makng Effectve Use of Your Data, Journal of the Insttute of Actuares, 119: 3, p Cameron, A.C., and Trved, P.K. (1998), Regresson Analyss Of Count Data, Cambrdge Unversty Press, Cambrdge. Famoye, F., Wulu, T., Sngh K.P. (2004), On The Generalzed Posson Regresson Model Wth An Applcaton To Accdent Data, Journal Of Data Scence, 2, p Gardner and Ester (1995), Regresson Analyses Of Count And Rates : Posson, Overdspersed Posson and Negatve Bnomal Models, Psychologcal Bulletn, 118: No 3, p Ismal, N., and Jeman, A. A. (2005), Generalzed Posson Regresson : An Alternatve For Rsk Classfcaton, Jurnal Teknolog Malaysa, Unverst Teknolog Malaysa, Kuala Lumpur, p (2007), Handlng Overdspersonwth Negatve Bnomal and Generalzed Posson Regresson Model, Casualty Actuaral Socety Forum, Malaysa. Lee, A.H, Wang, K., Yau, K.K.W., Somerford, P.J. (2003), Truncated Negatve Bnomal Mxed Regresson Modellng Of Ischaemc Stroke Hosptalzatons, Statstcs n Medcne, 22:7, p McCullagh, P., and Nelder, J. A. (1989), Generalzed Lnear Models. 2nd Edton. Chapman and Hall, London. Renshaw, A. E. (1994), Modelng the Clams Process n the Presence of Covarates, ASTIN Bulletn. 24: 2, p Gardner and Ester (1995), Regresson Analyses Of Count And Rates : Posson, Overdspersed Posson and Negatve Bnomal Models, Psychologcal Bulletn, 118: No 3, p Lee, A.H, Wang, K., Yau, K.K.W., Somerford, P.J. (2003), Truncated Negatve Bnomal Mxed Regresson Modellng Of Ischaemc Stroke Hosptalzatons, Statstcs n Medcne, 22:7, p

7 Lu, Y., Zeger S.L. (2007), On The Equvalence Of Case-Crossover And Tme Seres MethResko Sendrs In Envronmental Epdemology, Bostatstcs, 8:2, p Wang, W., and Famoye, F.( 1997), Modelng Household Fertlty Decsons wth Generalzed 7