PERBANDINGAN MODEL REGRESI POISSON DAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF 1. Kismiantini Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta

Transkripsi

1 PERBANDINGAN MODEL REGRESI POISSON DAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF 1 Ksmantn Jurusan Penddkan Matematka FMIPA Unverstas Neger Yogyakarta Abstrak Dalam menganalss hubungan antara beberapa peubah, terdapat sejumlah fenomena dmana peubah responnya bukan lag kontnu melankan berbentuk dskret. Fenomena peubah respon berbentuk dskret dengan data berupa cacahan basanya danalss dengan regres Posson. Permasalahan yang serng muncul dar regres Posson adalah overdspers (ragam melebh rata-ratanya), untuk menangannya dapat dgunakan teknk regres bnomal negatf. Hpotess parameter dspers sama dengan nol atau tdak dapat dgunakan untuk mengetahu model yang lebh bak dantara model regres Posson dan model regres bnomal negatf. Kata kunc : Data cacahan, regres Posson, regres bnomal negatf PENDAHULUAN Serngkal peneltan mengkaj hubungan antara peubah respon (atau peubah tak bebas) dengan peubah bebas, dengan peubah respon dapat berupa kontnu maupun dskret. Hubungan fungsonal antara peubah respon dengan peubah bebas dapat djelaskan oleh teknk analss regres (Kutner et al., 005). Analss regres klask mengasumskan bahwa peubah respon merupakan peubah kontnu dan mengkut dstrbus normal. Apabla peubah respon tdak lag kontnu melankan dskret maka analss n tdak dapat dgunakan. Salah satu fenomena dmana peubah responnya dskret adalah fenomena banyaknya kejadan yang jarang terjad. Msalnya banyaknya kecelakaan mobl setap bulan, banyaknya hujan bada setap tahun, banyaknya kebakaran hutan setap tahun, banyaknya barang yang cacat dalam suatu produks tertentu. Data yang dperoleh berupa cacahan. Model regres yang dapat dgunakan untuk menjelaskan hubungan antara peubah bebas dengan peubah respon berupa cacahan adalah regres Posson dan regres bnomal negatf (Park, 005). Regres bnomal negatf serng dgunakan untuk mengatas masalah overdspers pada regres Posson (Berk & MacDonald, 007). Overdspers terjad ketka ragam melebh rataan pada kasus Posson. 1 Makalah n dsampakan pada Semnar Nasonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MIPA yang dselenggarakan oleh FMIPA Unverstas Neger Yogyakarta pada tanggal 30 Me 008 1

2 PEMBAHASAN Data cacahan merupakan data yang serng djumpa pada peneltan krmnolog, kesehatan maupun bolog. Ketka peubah respon berupa cacahan, sangat umum untuk menggunakan regres Posson (kasus khusus dar model lnear terampat). Masalah yang serng dhadap dalam regres Posson adalah overdspers, hal n dsebabkan dantaranya peubah bebas yang tdak termuat dalam model, sehngga mash dmungknkan adanya keragaman dar peubah respon yang dsebabkan oleh peubah lan. Regres Posson Model regres untuk data cacahan dantaranya adalah model regres Posson. Pada model regres n, peubah respon berupa data cacahan yang mengkut dstrbus Posson. Dstrbus Posson serng dgunakan untuk kejadan-kejadan yang jarang terjad dengan data berupa cacahan yang mempunya nla non negatf. Peubah acak Y dkatakan berdstrbus Posson dengan parameter µ dengan y 0, 1,,... bla fungs peluangnya adalah p µ y e µ y! ( y), µ > 0 Dstrbus Posson n mempunya rata-rata dan ragam berkut ( Y ) Var( Y ) µ E () Karena rata-rata sama dengan ragamnya, maka sembarang faktor akan berpengaruh terhadap lannya, sehngga asums homogentas tdak harus dpenuh pada data Posson (Rodrquez, 001). Selanjutnya untuk membangun model regres Posson, dmsalkan sampel acak ( ) Y ~ Posson µ, 1,,..., n dan rata-rata µ bergantung pada vektor peubah bebas (peubah penjelas) x dan vektor koefsen regres β, yatu µ x T β (3) Tetap model n memlk kelemahan yatu predktor lnear ( x T (1) β ) dapat dasumskan dengan sebarang nla, padahal rata-rata Posson merupakan harapan cacahan yang nlanya harus non negatf. Untuk mengatas permasalahan n dgunakan log rata-rata dengan model lnear sebaga berkut log ( µ ) x T β (4)

3 Regres Bnomal Negatf Jka model regres Posson tdak ft dengan data cacahan dan ragam peubah respon melebh rata-ratanya yang serng dsebut sebaga overdspers (hal n dapat dlhat dar plot ssaan dengan predktor lnear dengan ttk-ttk berpola menyebar) maka model regres bnomal negatf dapat dgunakan sebaga alternatf untuk mengatas permasalahan tersebut (Cameron & Trved, 1999). Langkah pertama dalam membangun model regres bnomal negatf adalah dengan mengasumskan bahwa peubah respon Y merupakan peubah acak yang salng bebas dan dentk yatu Y Posson( λ ) y 0,1,,K dan λ > 0. d λ ~, dengan fungs peluang f ( y λ ) Langkah kedua adalah dengan mengasumskan bahwa λ ~ Gamma( α, β ) dengan ratarata αβ, ragamαβ dan fungs padat peluang berkut λ y λ e, y! m 0 1 α 1 λ α ( λ ) β Γ( α ) exp Maka dperoleh fungs bersama adalah ( λ β ), λ > 0, λ yang lan (5) f ( y, λ ) e λ y! λ y 1 α β Γ ( α ) λ α 1 exp ( λ β ), y 0, 1, K ; λ > 0 (6) Selanjutnya dperoleh fungs marjnal dapat dperoleh merupakan fungs peluang dar dstrbus bnomal negatf sebaga berkut m 0 ( y ) f ( y, λ ) d Γ Γ ( α + y ) ( α ) y! λ β 1+ β y 1 1+ β α, y 0,1,, K (7) Dstrbus bnomal negatf dengan fungs peluang pada (7) n mempunya rata-rata E dan ragam ( Y ) E[ E( Y λ )] E( λ) αβ Var ( Y ) E[ Var( Y λ) ] + Var[ E( Y λ) ] Var ( λ) + E( λ) αβ + αβ 3

4 Selanjutnya dalam membangun model regres bnomal negatf, dasumskan bahwa µ αβ dan κ 1 α, sehngga E ( Y ) µ dan Var( Y ) µ + κµ, ragam n merupakan fungs kuadratk yang mengakomodas parameter overdspers κ >0. Sehngga dstrbus Y menjad 1 ( κ + y ) 1 ( κ ) y y Γ κµ 1 ( )! 1 κµ 1 κµ m y (8) Γ + + Jka κ 0 maka dstrbus n mendekat Posson(µ). Bnomal negatf mampu mengakomodas overdspers ( κ > 0 ) tetap tdak underdspers ( κ < 1) pada model Posson. Secara umum ddefnskan bahwa peubah respon merupakan peubah acak berdstrbus bnomal negatf dengan parameter µ dan κ berkut ~ ( µ,κ ) Y BN (9) dan fungs hubung log yatu log µ β (10) x T dengan x vektor peubah bebas (peubah penjelas) dan β vektor koefsen regres. 1/ κ Perbandngan Model Regres Posson dan Model Regres Bnomal Negatf Model regres Posson dan model regres bnomal negatf termasuk dalam model lnear terampat (Generalzed Lnear Model). Ada tga komponen utama dalam GLM yatu (McCullagh & Nelder, 1989): 1. Komponen acak, yatu komponen dar Y yang bebas dan fungs padat peluang atau fungs peluang Y termasuk dalam keluarga sebaran eksponensal dengan E ( Y ) µ.. Komponen sstematk, yatu x, x, 1 K, x p yang menghaslkan penduga lnear η dmana η β + β x β x p p. 3. Fungs penghubung (lnk functon) g(.), yang menggambarkan hubungan antara penduga lnear η dengan nla tengah µ. (η g(µ)). Berkut adalah tabel yang menjelaskan tga komponen utama GLM pada model regres Posson dan model regres bnomal negatf. Model Regres Tabel 1. Komponen GLM Komponen acak Posson Y Posson( µ ) Bnomal Negatf BN ( µ,κ ) d Komponen Sstematk Fungs hubung ~ x T β log d ~ Y x T β log 4

5 Model regres bnomal negatf memuat parameter dspers κ yang mengakomodas overdspers. Menurut Long (1997), uj lkelhood rato dapat dgunakan untuk memerksa hpotess nol tdak ada overdspers, yatu hpotess H 0 : κ LR ln L BN ln L Posson ~ χ. Jka 0 lawan H 1 : κ 0. Statstk uj yang dgunakan ( ) H 0 dtolak maka terjad overdspers dengan kata lan model regres bnomal negatf lebh bak dgunakan darpada model regres Posson. Tabel. Perbandngan Model Regres Posson dan Model Regres Bnomal Negatf Peubah respon Rata-rata dan ragam dar d Model Regres Posson (1) Model Regres Bnomal Negatf ~ Posson( ) Y BN ( µ,κ ) Y µ E Y Var µ d ~ Y, E µ ( ) ( Y ) ( ) peubah respon Y Var( ) µ + κµ Parameter dspers (κ) Tdak ada Ada Hpotess H 0 : κ 0 H 1 : κ 0 H 0 dterma maka model regres Posson lebh bak darpada model regres bnomal negatf. Y H 0 dtolak maka model regres bnomal negatf lebh bak darpada model Posson. Tabel menjelaskan secara gars besar perbedaan dar model regres Posson dan model regres bnomal negatf, walaupun kedua model n sama-sama dgunakan untuk memodelkan data berupa cacahan. Ilustras Data yang dgunakan dalam makalah n adalah dua data sekunder. Data pertama dambl dar Gal (1978) dalam Stokes et al. (000) yatu tentang penderta melanoma pada pra berkult puth dar tahun d dua wlayah. Data n berupa banyaknya penderta melanoma (sebaga peubah respon), wlayah, kelompok usa (sebaga peubah bebas), dan banyaknya penduduk yang beresko pada wlayah dan kelompok usa tertentu. Input data melanoma pada SAS vers 9.1, data melanoma; nput age $ regon $ cases total; ltotallog(total); datalnes; south south south south south <35 south north north

6 55-64 north north north <35 north ; proc genmod datamelanoma orderdata; class age regon; model cases age regon / dstposson lnklog offsetltotal; run; Berkut output SAS vers 9.1 dar data melanoma dengan model regres Posson. Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Selanjutnya untuk mendapatkan Lkelhood Rato dar model regres bnomal negatf pada data melanoma adalah dengan menggant dstrbus pada nput data, yatu semula dstposson menjad dstnegbn, sehngga dperoleh output berkut : Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Berdasarkan kedua output SAS n dperoleh bahwa LR ( ).566. Bla dplh taraf nyata α 0.05, χ 3, 841, maka LR < sehngga H (1) dterma (κ 0), yang berart tdak terjad overdspers atau dengan kata lan model regres Posson lebh bak dgunakan darpada model regres bnomal negatf. Data kedua dambl dar LaVange et al. (1994) tentang nfeks pernapasan pendek. Data n berupa banyaknya penderta pernapasan pendek setap tahun (sebaga peubah respon), banyaknya perokok pasf dalam rumahtangga, status sosal ekonom, crowdng, ras dan kelompok usa (sebaga peubah bebas), dengan jumlah pengamatan ada sebanyak 84 anak. Dalam kasus n, sangat masuk akal bahwa anak yang terserang batuk kebanyakan dsebabkan oleh hal lan, sehngga dmungknkan tambahan keragaman atau terjad overdspers pada data n. Input data nfeks pernapasan pendek pada SAS vers 9.1, data lr; nput d count rsk passve crowdng ses agegroup logrsk log(rsk/5); datalnes; 6

7 ; proc genmod datalr; class ses d race agegroup; model count passve crowdng ses race agegroup / dstnegbn offsetlogrsk type3; run; Berkut output SAS vers 9.1 dar data nfeks pernapasan pendek dengan model regres Posson. Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Berdasarkan output n, dperoleh nla untuk devance/df dan untuk Perason/df, nla n mengndkaskan terjadnya overdspers. Selanjutnya dengan cara yang sama pada data pertama, untuk mendapatkan Lkelhood Rato dar model regres bnomal negatf pada data nfeks pernapasan pendek n adalah dengan menggant dstrbus pada nput data, yatu semula dstposson menjad dstnegbn, sehngga dperoleh output berkut : Crtera For Assessng Goodness Of Ft Crteron DF Value Value/DF Devance Scaled Devance Pearson Ch-Square Scaled Pearson X Log Lkelhood Berdasarkan output n, nla untuk devance/df dan untuk Perason/df, nla n mengndkaskan tdak terjadnya overdspers. Dar kedua output SAS n dperoleh bahwa LR (-4.93 ( ) Bla dplh taraf nyata α 7

8 0.05, χ 3, 841, maka LR > sehngga H 0 dtolak (κ 0), yang berart 0.05(1) terjad overdspers atau dengan kata lan model regres bnomal negatf lebh bak dgunakan darpada model regres Posson. PENUTUP Model regres bnomal negatf memlk parameter dspers κ yang mampu mengakomodas permasalahan overdspers pada model regres Posson. Bla hpotess nol tdak terjad overdspers dterma maka model regres Posson lebh bak darpada model regres bnomal negatf dan sebalknya bla hpotess nol tdak terjad overdspers dtolak maka model regres bnomal negatf lebh bak dgunakan darpada model regres Posson. Bla nla devance/df dan Pearson/df pada goodness of ft mendekat satu maka tdak mengndkaskan terjadnya overdspers. DAFTAR PUSTAKA Berk, D. & MacDonald, J Overdsperson and Posson regresson. Department of Statstcs, Department of Crmnology, Unversty of Pennsylvana. Cameron, A.C. & Trved, P.K Essentals of count data regresson. A Companon to Theoretcal Econometrcs, Blackwell. Gal, M The analyss of heterogenety for ndrect standardzed mortalty ratos. Journal of the Royal Statstcal Socety A 141: Kutner, M.H., Nachtshem, C.J., Neter, J. & L, W Appled Lnear Statstcal Models. New York: McGraw-Hll. Lavange, L.M., Keyes, L.L., Koch, G.G. & Margols, P.E Applcaton sample survey methods for modellng ratos to ncdence denstes. Statstcs n Medcne 13: Long, J.S Regresson models for categorcal and lmt dependent varables. Advanced Quanttatve Technques n the Socal Scences. Sage Publcatons. McCullagh, P. & Nelder, J.A Generalzed Lnear Models. London: Chapman & Hall. Park, H.M Regresson models for event count data usng SAS, STATA, and LIMDEP. Indana: The Trustees of Indana Unversty. Rodrguez, G Posson models for count data. [terhubung berkala] [13 Jun 006]. Stokes, M.E., Davs, C.S. & Koch, G.G Categorcal data analyss usng the SAS system second edton. North Carolna: John Wley & Sons. 8