Prediksi Kelainan Refraksi Berdasarkan Panjang Sumbu Bola Mata Pada Pasien Myopia Axial Melalui Regresi Bootstrap

Transkripsi

1 Predks Kelanan Refraks Berdasarkan Panjang Sumbu Bola Mata Pada Pasen Myopa Axal Melalu Regres Bootstrap Oleh: Karyam dan Qorlna Statstka UII ABSTRAKSI Peneltan n dlakukan d Rumah Sakt Mata Dr. YAP Yogyakarta dengan tujuan untuk mendapatkan model yang bak dalam mencar hubungan antara panjang sumbu bola mata dan besarnya kelanan refraks pada pasen myopa axal. Analss n lebh lanjut dgunakan sebaga dasar dalam pertmbangan penentuan tndak lanjut pasen yang mempunya kelanan panjang sumbu bola mata. Data yang dgunakan adalah data sekunder, yatu data panjang sumbu bola mata dan kelanan refraks pasen myopa axal tahun Analss statstk yang dgunakan adalah analss regres bootstrap dengan dua prosedur resamplng yatu resamplng pada resdual dan resamplng pada pasangan data. Berdasarkan hasl analss dperoleh bahwa metode regres bootstrap resdual menghaslkan estmas parameter yang lebh bak. Kata Kunc : Regres, Bootstrap resdual, Bootstrap pasangan 1. PENDAHULUAN Penyakt mata banyak kta temu dar penyakt rngan, sedang, maupun berat yang berakbat hlangnya penglhatan atau terjad kebutaan. Salah satu penyakt mata adalah kelanan refraks. Kelanan refraks n terjad apabla cahaya tdak dbaskan sebagamana mestnya sehngga gambaran yang terbentuk terlhat kabur. Kelanan refraks mempunya banyak jens, antara lan myopa, hperopa, astgmata, dan presbop. Myopa merupakan kelanan refraks yang relatf banyak menyebabkan gangguan penglhatan, myopa juga merupakan salah satu dar lma besar penyebab kebutaan. Myopa mempunya beberapa bentuk atau tpe yang beragam, salah satunya adalah Myopa Axal. Myopa Axal terjad akbat bertambah panjangnya sumbu bola mata (dameter Antero posteror) dar normal. Myopa Axal yang akan dtelt adalah myopa yang mempunya kategor tngg dmana myopa lebh besar dar 6 doptr. Pada konds n sangat jarang Dpresentaskan dalam Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka 2006 dengan tema Trend Peneltan dan Pembelajaran Matematka d Era ICT yang dselenggarakan pada tanggal 24 Nopember 2006

2 Karyam, Qorlna kta temu orang yang menderta, atau hanya delapan pasen yang menderta dalam kurun waktu tahun Dengan populas yang kecl n tmbul gagasan untuk menganalss hubungan antara panjang sumbu bola mata terhadap besarnya kelanan refraks, menggunakan analss regres bootstrap, karena dengan populas yang kecl kta sult untuk mengetahu tngkat akuras statstk yang dgunakan. Pada data panjang sumbu bola mata dan kelanan refraks juga belum terdapat asums apapun mengena dstrbus datanya, sehngga n menjad salah satu alasan dalam penggunaan bootstrap. Sebab bootstrap mempunya salah satu keunggulan bahwa metode n dapat dgunakan ketka bentuk dstrbus populas yang dmlk tdak dketahu atau tdak mengasumskan apapun mengena dstrbus populasnya. Analss regres bootstrap dapat dlakukan dengan dua metode resamplng, yakn metode bootstrap resdual atau samplng dar n resdual, maupun dapat juga dlakukan dengan bootstrap pasangan data aslnya. Berdasarkan latar belakang d atas maka permasalahan yang akan dtelt dalam tulsan n adalah bagamana model yang palng bak untuk menyatakan hubungan antara panjang sumbu bola mata dengan kelanan refraks. Data yang dgunakan adalah data pasen penderta Myopa Axal Rumah Sakt Mata Dr. YAP Yogyakarta tahun Varabel yang dgunakan sebatas pada varabel panjang sumbu bola mata Tujuan dan manfaat dar peneltan n adalah untuk mengetahu model yang bak untuk menyatakan hubungan antara panjang sumbu bola mata dengan kelanan refraks. 270 SEMNAS Matematka dan Pend. Matematka 2006

3 M 12 : Predks Kelanan Refraks Berdasarkan.. 2. METODE PENELITIAN 2.1 Varabel Peneltan Varabel yang dgunakan adalah panjang axal bola mata dan kelanan refraks pasen Myopa Axal dengan kategor tngg. Untuk keperluan analss, peneltan n bersumber dar data sekunder yang dperoleh dar bagan Rekam Meds Rumah Sakt Mata Dr. YAP Yogyakarta. Data sekunder yang dgunakan melput data panjang axal bola mata dan besarnya kelanan refraks pasen. 2.2 Teknk Analss Regres Bootstrap Analss regres adalah suatu analss statstk yang memanfaatkan hubungan antara dua varabel atau lebh. Varabel yang dgunakan terdr dar varabel respon atau dependen (Y) dan varabel predktor atau ndependen (X). Jka analss regres dlakukan untuk satu varabel dependen dan satu varabel ndependen dnamakan regres sederhana. Model regres lner sederhana dapat dnyatakan dengan model berkut : Y dmana : = β 0 + β1x + ε untuk = 1, 2,,n Y : varabel respon β 0, β 1 : parameter model X ε : varabel predktor : resdual model Alternatf untuk mengestmas estmas parameter dalam model regres lner dapat dgunakan metode komputas yakn bootstrapng lner regreson model. Bootstrap juga dapat dgunakan untuk mengestmas tngkat keakurasan statstk penduga dar parameter regres. Matematka 271

4 Karyam, Qorlna Metode bootstrap adalah suatu metode berbass komputer yang sangat potensal untuk dpergunakan pada masalah kestablan dan keakurasan. Istlah bootstrap berasal dar pull oneself up by one s bootstrap (Efron and Tbshran, 1993) yang berart berpjak datas kak sendr, berusaha dengan sumber yang mnmal. Dalam sudut pandang statstk, sumber daya yang mnmal adalah data yang tdak mempunya asums apapun tentang dstrbus populasnya. Prnsp dalam bootstrap adalah bahwa kta memperkrakan parameter untuk masng masng sampel yang dperoleh dengan mengambl sampel berukuran n dar nla nla data asl, sampel n merupakan sampel acak dengan pengembalan. Maksudnya, dalam sampel bootstrap beberapa nla asl kta akan menjad berulang, dan beberapa dantaranya tdak akan terjad sama sekal. Sampel yang dbangktkan n bertujuan untuk mendapatkan nla parameter yang mendekat nla yang sebenarnya. Jumlah teras yang mungkn dbangktkan adalah maksmal n n sampel random. Dalam konteks regres, resamplng bootstrap yang dapat dgunakan antara lan : a. Bootstrap resdual Yatu metode bootstrap yang dlakukan untuk memperoleh model regres dengan estmas parameter dar resdualnya. b. Bootstrap pasangan data Adalah metode bootstrap untuk memperoleh estmas parameter terbak yang dbangktkan dar pasangan data Bootstrap Resdual Model regres dnyatakan dalam model Y = β 0 + β1x + ε, dmana β 0 dan β 1 merupakan parameter dan ε adalah error atau resdual. Resdual n dasumskan berdstrbus normal dengan rata rata 0 (nol) dan standar devas 272 SEMNAS Matematka dan Pend. Matematka 2006

5 M 12 : Predks Kelanan Refraks Berdasarkan.. tertentu ( ε ~ N (0, σ ) ). Samplng dlakukan dengan pengembalan dengan n jumlah teras maksmal n. berkut : Prosedur bootstrap resdual dlakukan dengan langkah langkah sebaga a. Konstruks sampel dar resdual secara random dengan probabltas 1/n. Hasl random n dgunakan untuk mendapatkan nla taksran baru. b. Penentuan Y* ddapat dar model Y * = yˆ + e * Y * yang Dmana Y* merupakan nla varabel respon dalam bootstrap resdual, ŷ adalah nla taksran model yang dcar dengan metode kuadrat terkecl. Sedangkan error e* merupakan resamplng dar resdual populasnya ( ε ) yang dhaslkan dar e = y yˆ. c. Selanjutnya adalah mengkonstrukskan data menjad X dan * Y. Dar data nlah kta dapat mengetahu estmas parameternya yatu untuk b0* dan b1*. d. Untuk menghaslkan estmas parameter yang lebh bak atau mendekat nla sebenarnya, ulang langkah langkah sebelumnya sebanyak B kal, dengan jumlah teras yang mungkn dbangktkan adalah maksmal sampel random resdualnya. n n Bootstrap Pasangan Data Metode bootstrap pasangan data adalah metode resamplng bootstrap untuk memperoleh estmas parameter yang dbangktkan dar pasangan data ( Y, X ). Resamplng dlakukan dengan pengembalan. Prosedur pembentukan resamplng bootstrap pasangan data adalah sebaga berkut : Matematka 273

6 B Karyam, Qorlna a. Konstrukskan sampel dar data berpasangan Y, X ) secara random ( dengan probabltas 1/n. Data n merupakan data asl dar observas. b. Msal data hasl random tersebut dnyatakan dalam (Y**,X**), sehngga ddapat model regres Y ** = X **β + ε. c. Dar model tersebut kta akan mencar estmas parameter β, yakn dengan nla taksran parameter ** b 0 dan ** b 1 d. Untuk menghaslkan estmas parameter yang lebh bak atau mendekat nla sebenarnya, ulang langkah langkah sebelumnya sebanyak B kal. Estmas bootstrap untuk standar error adalah mengestmas standar error dar parameter yang ddapat dar standar devas emprs dar pengulangan bootstrap. Hasl dnotaskan dengan seb, dmana B adalah banyaknya pengulangan atau teras sampel bootstrap yang dgunakan. Berkut adalah estmas standar error yang ddapat dar sampel bootstrap untuk x *1, x *2,..., x * B yang menghaslkan standar devas s( x *b ) yatu : s eˆ B B = b= 1 * b ( s( x ) B( s) ) B 1 2 1/ 2 3. PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Data yang dgunakan dalam peneltan n adalah data pasen penderta myopa dengan kategor tngg dalam kurun waktu tahun Tabel 1. Panjang sumbu bola mata (X) dan kelanan refraks No. (Y) penderta myopa aksal tahun Panjang sumbu bola mata (X) (mm) Kelanan refraks (Y) (doptr) SEMNAS Matematka dan Pend. Matematka 2006

7 M 12 : Predks Kelanan Refraks Berdasarkan Sumber : RS. Dr. Yap Yogyakarta Dengan metode kuadrat terkecl, dar data datas dperoleh taksran model sebaga berkut : yˆ = untuk =1, 2,, 8 x Dar model n ddapat nla resdual sebaga berkut : e = y yˆ untuk =1, 2,, 8 dmana adalah ftted (nla taksran varabel respon). ŷ a. Bootstrap Resdual Analss bootsrap resdual dapat dlakukan dengan bantuan program pada lampran A. Untuk mendapatkan nla estmas yang lebh bak dapat dlakukan dengan menambah jumlah terasnya. Dalam laporan peneltan n dlakukan sampa dua puluh rbu teras yang dtamplkan pada tabel 2. Hasl teras pada tabel 2 menunjukkan bahwa parameter model mula 5000 teras memberkan hasl yang konstan. Sehngga dapat dkatakan bahwa penduga parameter bootstrap sudah konssten. Tabel 2. Hasl teras bootstrap resdual bootstrap standar bootstrap rata rata teras error bo* b1* bo* b1* Matematka 275

8 Karyam, Qorlna b. Bootstrap Pasangan Data Estmas bootstrap pasangan data dapat dlakukan dengan bantuan program pada lampran B. Untuk mendapatkan estmas parameter yang lebh bak, dlakukan dengan menambah jumlah teras. Dalam peneltan n teras dlakukan sampa teras. Tabel 3. Hasl teras bootstrap pasangan data bootstrap standard bootstrap average teras error b0** b1** b0** b1** Hasl teras pada tabel 3 menunjukkan bahwa parameter model mula 5000 teras memberkan hasl yang konstan. Sehngga dapat dkatakan bahwa penduga parameter bootstrap sudah konssten. c. Perbandngan Hasl antara Bootstrap Resdual dan Bootstrap Pasangan Data Untuk melhat seberapa bak estmas parameter bootstrap dapat mendekat parameter yang sebenarnya, dapat dtunjukkan beberapa gambar berkut: 276 SEMNAS Matematka dan Pend. Matematka 2006

9 M 12 : Predks Kelanan Refraks Berdasarkan.. Estmas se b 0 * Estmas se b 0 ** b 0 dar OLS bootstrao standar eror Jumlah Iteras b 0 dar OLS bootstrao standar eror jumlah teras Gambar 1. Estmas standar eror b0 dar Gambar 2. Estmas standar eror b0 dar bootstrap resdual bootstrap pasangan data Estmas standar error parameter bo dar bootstrap resdual pada gambar 1 menunjukkan bahwa standar error konstan mula teras ke 5000 dan mendekat nla bo dengan OLS. Sedangkan estmas standar error bo dar bootstrap pasangan data pada gambar 2 konstan mula teras ke dan nla lebh jauh dar bo dengan OLS. Estmas se b 1 * Estmas se b 1 ** b 1 dar OLS bootstrao standar error Jumlah Iteras b 1 dar OLS bootstrao standar error Jumlah teras Gambar 3. Estmas standar eror b1 dar bootstrap resdual Gambar 4. Estmas standar eror b1 dar bootstrap pasangan data Matematka 277

10 Karyam, Qorlna Estmas standar error parameter b1 dar bootstrap resdual pada gambar 3 menunjukkan bahwa standar error konstan mula teras ke 5000 dan mendekat nla b1 dengan OLS. Sedangkan estmas standar error b1 dar bootstrap pasangan data pada gambar 4 konstan mula teras ke dan nla lebh jauh dar bo dengan OLS. Berdasarkan hasl pada gambar 1, gambar 2, gambar 3, dan gambar 4 maka estmas model regres dambl dar bootstrap resdual yang memberkan standar error terkecl pada poss konstan yatu pada jumlah teras dengan model sebaga berkut : Y = X 4. SIMPULAN DAN SARAN Regres bootstrap resdual menghaslkan estmas parameter yang lebh bak darpada estmas parameter bootstrap pasangan data untuk kasus predks kelanan refraks berdasarkan panjang sumbu bola mata pada pasen myopa axal dengan model regres sebaga berkut : Y = X Adapun saran yang dapat dsampakan adalah perlu dtelt lebh lanjut varabel lan yang berpengaruh terhadap kelanan refraks. 5. DAFTAR PUSTAKA Draper, Norman R., dan Harry Smth Appled Regresson Analyss. USA : John Wley, Inc. Efron, B., and R. Tbshran Introducton to the Bootstrap. New York: Chapman and Hall Ilyas, Sdarta Ilmu Penyakt Mata. Jakarta : Fakultas Kedokteran UI 278 SEMNAS Matematka dan Pend. Matematka 2006

11 M 12 : Predks Kelanan Refraks Berdasarkan.. Irawan, Nur, Septn Puj Astut Mengolah Data Statstk Dengan Mudah Menggunakan Mntab 14. Yogyakarta : And Offset Qorlna Perbandngan Antara Regres Bootstrap Resdual dengan Regres Bootstrap Pasangan Data. Jogjakarta : Fakultas MIPA UII Soejoet, Z Metode Statstka II. Departemen Penddkan dan Kebudayaan Unverstas Terbuka. Walpole, Ronald, dan Raymond H. Myers Ilmu Peluang dan Statstka untuk Insnyur dan Ilmuwan. Eds Keempat. Bandung : ITB Matematka 279

12 Karyam, Qorlna LAMPIRAN A Program untuk Bootstrap Resdual PROGRAM UTAMA #res let k1=1 let k2=8 let k10=10 # banyaknya varabel # jumlah data # jumlah teras let k20=1 let c9=0 let c10=0 name c4 ʹfttedʹ name c5 ʹresdsʹ name c7 ʹY*ʹ noecho prnt k2 prnt k10 regress c1 1 c2 c5 c4; resduals c5. # fungs regres # nla resdual name c5 ʹresdsʹ name c4 ʹfttedʹ prnt c2 c1 c4 c5 exec ʹG:\res1.mtbʹ k10 let c11=c9/k10 # memanggl subprogram1 # bootstrap rata rata 280 SEMNAS Matematka dan Pend. Matematka 2006

13 M 12 : Predks Kelanan Refraks Berdasarkan.. let c12=(c10 k10*c11**2)/(k10 1) let c13=sqrt(c12) # rumus standar error kuadrat # standar error prnt c8 c13 end stop SUBPROGRAM I #res1 random k2 c6; # hasl random data nteger k1 k2. prnt k20 prnt c6 let k3=1 exec ʹG:\res2.mtbʹ k2 # memanggl subprogram 2 noecho prnt ʹY*ʹ ʹXʹ regress ʹY*ʹ 1 ʹXʹ; coeff c8. let c9=c9+c8 let c10=c10+c8**2 # fungs regres # nla koefsen # nla koefsen # koefsen regres kuadrat let k20=k20+1 end Matematka 281

14 Karyam, Qorlna SUBPROGRAM II #res2 let k4=c6(k3) let c7(k3)=c4(k3)+c5(k4) # nla Y* let k3=k3+1 end LAMPIRAN B Program untuk Bootstrap Pasangan Data PROGRAM UTAMA #pars let k1=1 let k2=8 let k10=5 # banyaknya varabel # jumlah data # jumlah teras let k20=1 let c9=0 let c10=0 name c4 ʹY*ʹ name c5 ʹX*ʹ noecho prnt k2 prnt k10 regress c1 1 c2 #fungs regres prnt c1 c2 282 SEMNAS Matematka dan Pend. Matematka 2006

15 M 12 : Predks Kelanan Refraks Berdasarkan.. exec ʹG:\pars1.mtbʹ k10 # memanggl subprogram 1 let c11=c9/k10 # bootstrap rata rata let c12=(c10 k10*c11**2)/(k10 1) let c13=sqrt(c12) # rumus standar error kuadrat # standar error prnt c8 c13 end stop SUBPROGRAM I #pars1 random k2 c6; # hasl random data nteger k1 k2. prnt k20 prnt c6 let k3=1 exec ʹG:\pars2.mtbʹ k2 # memanggl subprogram 2 noecho prnt ʹY*ʹ ʹX*ʹ regress ʹY*ʹ 1 ʹX*ʹ; coeff c8. let c9=c9+c8 let c10=c10+c8**2 # fungs regres # koefsen regres # koefsen regres # koefsen regres kuadrat let k20=k20+1 end Matematka 283

16 Karyam, Qorlna SUBPROGRAM II #pars2 let k4=c6(k3) let c4(k3)=c1(k4) # nla Y* let c5(k3)=c2(k4) # nla X* let k3=k3+1 end 284 SEMNAS Matematka dan Pend. Matematka 2006