PEMILIHAN THRESHOLD OPTIMAL PADA ESTIMATOR REGRESI WAVELET THRESHOLDING DENGAN METODE CROSS VALIDASI

Transkripsi

1 Pemlha Threshold Optmal (Supart) PEMILIHAN THRESHOLD OPTIMAL PADA ESTIMATOR REGRESI WAVELET THRESHOLDING DENGAN METODE CROSS VALIDASI Supart, Taro, Paula Mela Dw Hapsar 3, Staf Pegaar Program Stud Statsta FMIPA UNDIP 3 Staf Bro Perasurasa, BAPEPAM-LK, Departeme Keuaga, Jaarta Abstract If x s a predctor varable ad y s a respose varable of the regresso model y = f (x)+ wth f s a regresso fucto whch ot yet bee ow ad s depedet radom varable wth mea 0 ad varace, hece fucto f ca be estmated by parametrc ad oparametrc approach. I ths paper fucto f s estmated wth a oparametrc approach. Noparametrc approach that used s a wavelet shrage or a wavelet threshold method. I the fucto estmato wth a wavelet threshold method, the value of threshold has the most mportat role to determe level of smoothg estmator. The small threshold gve fucto estmato very o smoothly, whle the bg value of threshold gve fucto estmato very smoothly. Therefore the optmal value of threshold should be selected to determe the optmal fucto estmato. Oe of the methods to determe the optmal value of threshold by mmze a cross valdato fucto. The cross valdato method that be used s two-fold cross valdatao. I ths cross valdato, t compute the predcted value by usg a half of data set. The orgal data set s splt to two subsets of equal sze : oe cotag oly the eve dexed data, ad the other, the odd dexed data. The odd data wll be used to predct the eve data, ad vce versa. Based o the result of data aalyss, the optmal threshold wth cross valdato method s ot uq, but they gve the uq of wavelet thersholdg regresso estmato. Keywords : Noparametrc Regresso, Wavelet Threshold Estmator, Cross Valdato.. Pedahulua Model regres stadar dar data observas x, y adalah: y = f(x ) + () dega x varabel predtor, y varabel respo, f fugs regres yag tda detahu, da varabel radom depede dega mea 0 da vara. Karea f fugs regres yag tda detahu maa f perlu destmas. Fugs f dapat destmas, salah satuya dega pedeata o parametr. Pedeata o parametr yag sudah populer adalah metode erel da metode Fourer. Pada pedeata megasumsa bahwa fugs f termuat dalam elas fugs mulus, artya mempuya turua yag otu. Sehgga a fugsya tda mulus metode urag ba utu dguaa. Pedeata o parametr yag dapat megatas euraga metode erel da deret Fourer dalah metode wavelet. Dalam metode wavelet dasumsa fugs yag aa destmas dapat dtegrala secara uadrat. Jad dega metode wavelet fugs yag aa destmas dapat berupa fugs mulus maupu tda mulus. Estmator wavelet dar regres o parametr adalah pegembaga dar estmator regres deret Fourer da estmator erel. Estmator wavelet sedr dbedaa mead dua macam, yatu estmator wavelet ler da estmator wavelet o ler. Estmator wavelet o ler meml la Error Kuadrat Rata-rata Tertegras / Itegrated Mea Square Error (IMSE) yag merupaa salah satu uura ebaa dar estmator, lebh cepat meuu ol darpada IMSE wavelet ler [0]. 59

2 Meda Statsta, Vol., No., Desember 009: Prsp dar estmator wavelet thresholdg, mempertahaa oefse wavelet yag laya lebh besar dar suatu la threshold tertetu da megabaa oefse wavelet yag ecl. Selautya oefse yag besar dguaa utu mereostrus estmator fugs yag dcar. Pada estmas fugs dega metode wavelet thresholdg, tgat emulusa estmator dtetua oleh pemlha fugs wavelet, level resolus, fugs thresholdg, da parameter threshold. Namu yag palg doma meetua tgat emulusa estmator adalah parameter threshold. Nla threshold yag ecl membera estmas fugs yag sagat tda mulus (uder smooth), sedaga la threshold yag besar membera estmas yag sagat mulus (over smoot). Oleh area tu perlu dplh la threshold yag optmal.. Baha da Metode Peelta merupaa aa lteratur yag emuda dembaga dega smulas megguaa software S-Plus For Wdows. Dalam tulsa dlaua pembahasa tetag estmator fugs regres o parametr dega wavelet thresholdg da prosedur medapata parameter threshold optmal dega metode cross valdas serta cotoh peerapaya. Metode cross valdas yag dguaa adalah metode cross valdas dua lpata (Twofold Cross Valdato), yatu megeluara setegah dar data utu meghasla la preds, sepert yag telah dembaga oleh Naso [6] da Ogde [7]. 3. Hasl da Pembahasa 3.. Estmator Fugs Regres No Parametr dega Wavelet Thresholdg 3... Fugs Wavelet Fugs wavelet adalah suatu fugs matemata yag mempuya sfat- sfat tertetu dataraya beroslas d setar ol (sepert fugs sus da cosus) da terloalsas dalam doma watu artya pada saat la doma relatf besar, fugs wavelet berharga ol. Fugs wavelet dbedaa atas dua es, yatu wavelet ayah () da wavelet bu () yag mempuya sfat dx da dx 0. Dega dlatas dad da traslas teger, wavelet ayah da wavelet bu melahra eluarga wavelet yatu (x) (p ), (p x ) da, ( p ) ( p x ) utu suatu salar p > 0, da tapa megurag eumuma dapat dambl p =, sehgga / / ( x ) da ( x ). Fugs (x) da (x), mempuya sfat: dega,,' (x) dx x) (x)dx 0,, (,', 0 ',',' (x) dx a a.,',,' Cotoh wavelet palg sederhaa adalah wavelet Haar yag mempuya rumus,, 60

3 Pemlha Threshold Optmal (Supart),0 x /,/ x da 0, x yag la 0, x,0 x yag la. Beberapa cotoh wavelet sela wavelet Haar dataraya wavelet Daubeches (Daublet), symmetrs (Symmlet), da Cofma (Coflet) [] Aalss Multresolus Aalss multresolus L (R) adalah ruag baga tertutup {V,Z} yag memeuh ) V - V - V 0 V V ) Z V = {0}, Z V = L (R) ) fv f (.) V v) f V0 f (. ) V0, Z v) Terdapat sebuah fugs V0 sehgga 0, (. ), Z membetu bass ortoormal utu V 0 da utu semua, Z, (x) x,. Ja {V, Z} aalss multresolus dar L (R), maa ada bass ortoormal utu L (R): / ( x ),, sehgga utu sembarag f L (R), yag dturua dar ψ(x) ( ) c,(x). Z P f P f f,,,. Z ;,, Z,yatu x Abat Bla adalah fugs sala yag membagu aalss multresolus da ψ(x) ( ) c,(x) maa deomposs e dalam wavelet ortoormal utu Z sembarag fl (R) dapat dlaua mead dega f c d ψ ( ) () o, o,,, x Z o Z o, f, o, d, f,,. c da Estmator Wavelet Ler Ja terdapat seumpula data depede (X, Y) yag mempuya model () da = m dega m blaga bulat postp. Ja X racaga tt reguler pada terval [0,] dega X = /, maa proyes f pada ruag V J dapat dtuls mead (P J f)(x)= c J, J, atau f J x cj, J, Z Z dega cj, f, J, f J, dx. 0 Berdasara deomposs fugs e dalam wavelet ortoormal (), maa utu sembarag fugs f L ( R) dperoleh f J o, o,,, x o Z c d ψ ( ) (3) J Z 6

4 Meda Statsta, Vol., No., Desember 009: dega c f = f x xdx da f o,, o, 0 o, d = f x x,,, 0, dx. Karea fugs regres f tda detahu maa estmator f pada ruag V J dapat dtuls sebaga f ˆ J x cˆ J, J, dega c ˆJ, y J, (x ) atau dega bas dar c Z J o, o,,, x o Z fˆ cˆ dˆ ψ ( ) (4) J Z da d cˆ o, Y o, ( x ) da d o,, ˆ, yag merupaa estmator ta, Y, ( x ). Estmator wavelet (4) damaa estmator wavelet ler Estmator Wavelet Shrage. Ja dbera data, dega model (), m da y ~ f, x y N. Mea da vara dar d, ˆ adalah E d, d, x ˆ da Var dˆ, maa, sehgga d ˆ ~ N(d,,, σ ). Jad oefse wavelet emprs d ˆ memuat seumlah ose, da haya relatf sedt yag memuat syal sgfa sehgga dapat dreostrus estmator wavelet dega megguaa seumlah oefse terbesar. Oleh area tu Hall&Patl [4] da Ogde [7] membera metode yag meeaa reostrus wavelet dega megguaa seumlah oefse wavelet terbesar, ya haya oefse yag lebh besar dar suatu la tertetu yag dambl, sedaga oefse selebhya dabaa, area daggap 0. Nla tertetu tersebut damaa la threshold (la ambag) da estmatorya meghasla J o, o,,, x o Z fˆ cˆ dˆ ψ ( ) (5) J Z dega meyataa fugs thresholdg atau fugs ambag dega la ambag atau threshold. Estmator (5) damaa estmator wavelet o ler, estmator wavelet shrage, atau estmator wavelet thresholdg. Prsp dar estmator wavelet thresholdg adalah mempertahaa oefse wavelet yag laya lebh besar dar suatu la ambag atau la threshold tertetu da megabaa oefse wavelet yag ecl. Selautya oefse yag besar dguaa utu mereostrus fugs (estmator) yag dcar. Karea thresholdg dracag utu membedaa atara oefse wavelet emprs yag masu da yag eluar dar reostrus wavelet, sedaga utu membuat eputusa ada fator yag mempegaruh etepata estmator, yatu uura sampel da tgat ose, maa setap oefse merupaa calo uat masu ddalam reostrus wavelet a uura sampel besar atau tgat ose ecl. Karea ˆ berdstrbus ormal dega d, vara utu seluruh da σ, maa estmator thresholdg dar ~ d, dˆ, d, adalah σ 6

5 Pemlha Threshold Optmal (Supart) sehgga estmator wavelet thresholdg adalah J dˆ fˆ x cˆ o, o, x o 0 dega, x, (6) ˆ : peduga oefse fugs sala c o, c o, dˆ, : peduga oefse wavelet d, : parameter la threshold : fugs threshold Lagah-lagah Thresholdg Lagah-lagah thresholdg terdr dar:. Pemlha Fugs Thresholdg Ada dua es fugs thresholdg λ, yatu: Hard Thresholdg, H x, x λ λ (x) 0, x yagla Soft Thresholdg, x λ, x λ S λ (x) 0, x λ x λ, x λ dega λ merupaa parameter thresholdg. Fugs Hard thresholdg lebh deal area terdapat dsotyu dalam fugs thresholdg sehgga la x yag berada datas threshold λ tda dsetuh. Sebalya, fugs soft thresholdg otyu yatu sea la x berada datas threshold λ. Motvas pegguaa soft thresholdg berasal dar prsp bahwa ose mempegaruh seluruh oefse wavelet. Juga eotyua dar fugs soft thresholdg membuat ods yag lebh ba utu alasa statst.. Estmas σ Dalam mereostrus fugs wavelet basaya la σ tda detahu. Oleh area tu, σ harus destmas dar data. Ogde [7] membera estmas σ berdasara oefse wavelet emprs pada level resolus tertgg dega fugs Meda Devas Absolut (MAD), yatu: meda dˆ J, meda dˆ J, σˆ 0,6745. Pemlha Parameter Thresholdg Pada estmas wavelet thresholdg, tgat emulusa estmator palg doma dtetua parameter threshold λ. Nla λ yag terlalu ecl membera estmas fugs yag sagat tda mulus (uder smooth) sedaga la λ yag terlalu besar membera estmas yag sagat mulus (over smooth). Oleh area tu perlu dplh parameter threshold yag optmal utu medapata estmas fugs yag optmal. Utu memlh la threshold optmal, ada dua ategor pemlha yatu memlh satu harga threshold utu seluruh level resolus (pemlha secara global) da pemlha threshold yag tergatug pada level resolus (depedet level thresholdg). 63

6 Meda Statsta, Vol., No., Desember 009: Utu pemlha threshold global, Ogde [7] membera pemlha threshold yag haya bergatug pada bayaya data pegamata yatu threshold uversal ( λ log ) da threshold mmax yag telah dtabela oleh Dooho da Johstoe [3] (Tabel ). Nla-la threshold mmax selalu lebh ecl dbadga dega la threshold uversal utu uura sampel yag sama. Pemlha threshold yag tergatug pada level resolus berart memlh bergatug level resolus. Dega dema ada emuga perbedaa la threshold λ yag dplh utu tap level. Ada beberapa cara level-depedet thresholdg dataraya yatu threshold adapt da threshold top. Threshold adapt ddasara pada prsp utu memmala Ste Ubased Rs Estmator (SURE) pada suatu level resolus. Threshold adapt utu hmpua oefse detal d yag λ arg m SURE d,t dega beraggotaa K oefse ddefsa sebaga SURE K K d, t K m d d t, /,, t t0 λ Sedaga la threshold top dtetua berdasara besar prosetase oefse yag aa dguaa dar eseluruha oefse wavelet yag ada []. Tabel. Nla Threshold Mmax berdasara Uura Sampel λ λ ,00,70,474,669, ,074,3,44,594,773,95 3,3 3,30 Pemlha parameter threshold optmal uversal, mmax, adapt, da top merupaa pemlha parameter threshold optmal stadar dalam estmas dega wavelet thresholdg da telah terseda dalam software S+Wavelet. Sela cara tersebut mash ada beberapa metode atau prosedur la utu medapata threshold optmal dalam estmas fugs wavelet thresholdg, dataraya dega prosedur u hpotesa multpel [9], prosedur False Dscovery Rate (FDR) [8] da prosedur cross valdas. 3.. Prosedur Peetua Parameter Threshold Optmal dega Metode Cross Valdas Meetua threshold optmal dega metode cross valdas adalah mecar yag memmala MISE (Mea Itegrated Squared Error) atara estmator wavelet thresholdg fˆ da fugs sebearya f yatu mecar yag memmala M ( ) E fˆ f dx (7) Pada data dsret, persamaa (7) mead M ( ) Efˆ x f x (8) 64

7 Pemlha Threshold Optmal (Supart) Dalam prateya, fugs sebearya f tda detahu (ds yag aa dcar estmatorya) sehgga M harus destmas. Selautya yag dmmala adalah estmas dar MISE. Prosedur era metode Cross Valdas dmula dega megeluara suatu tt data dar suatu hmpua data. Utu setap la parameter threshold, deluara sebuah tt data dar buah tt-tt data da ssaya - tt-tt data dguaa utu medapata estmas dar fugs regres da emuda dlaua preds dar tt data yag deluara tu. Uura ebaa d dalam preds dbera oleh CV y yˆ (9) dega ŷ meyataa preds dar y dega megguaa - tt-tt data dega meggala data e-. Pemlha threshold optmal yag memmala (9) dsebut prosedur cross valdas utu - tt data. Sedaga persamaa (9) dsebut Cross Valdas MSE (Mea Squared Error) yag merupaa estmas dar M pada (8). Memlh optmal yag memmala (9) euvale dega memlh optmal yag memmala ˆ CV y y (0) Persamaa (0) dsebut Cross Valdas Squared Error yag selautya dsebut Cross Valdas saa. Pemlha optmal yag memmala cross valdas membera la preds yag terdeat pada la data observas yag sebearya [4]. Metode cross valdas las meghtug la preds berdasara satu data deluara. Namu pada wavelet, area data dsaraa sebaya dega teger sehgga a satu data deluara, data yag terssa mead. I bua merupaa data pagat dar. Oleh area tu metode cross valdas las tda dapat lagsug dterapa. Naso [6] da Ogde [7] megembaga metode cross valdas dua lpata (Twofold Cross Valdato), yatu meghtug la preds dega megeluara setegah dar data. Prosedur cross valdas dua lpata (Twofold Cross Valdato) secara otomats memlh atau meyeles suatu threshold utu medapata estmator wavelet yag beera pada hmpua data yag bers sebaya M tt-tt data. Prosedur cross valdas dua lpata beera dega megeluara setegah dar M tt-tt data. Jad tggal ssaya M- tt-tt data yag emuda dguaa utu membetu estmator wavelet megguaa suatu threshold tertetu. Utu elasya, berut dbera algortmaya. Dbera data y, y,, y dega = M yag dasumsa mempuya Model (). Kemuda data berdasara desya delompoa mead baga yag beruura sama. Satu elompo bers data yag semuaya berdes geap da yag laya elompo data yag semuaya berdes gal. Data yag berdes geap aa dguaa utu preds data yag berdes gal da sebalya. Kemuda deluara semua data y yag berdes gal dar hmpua data tersebut. Jad tggal ssaya M tt-tt y yag semuaya berdes geap. Hmpua tt-tt data y yag berdes geap, ddes embal berdasar,...,, dyataa dega 65

8 Meda Statsta, Vol., No., Desember 009: E E E y, y,..., y dega M o o o. Selautya y, y,..., y meyataa des ulag utu E E E data yag berdes gal. Berdasara data y, y,..., y tu da megguaa suatu threshold tertetu dostrus estmator wavelet, msal ˆ. Jad ˆ merupaa lala estmas dar fugs regres f d tt e,4,,-,. Sedaga E f E f ˆ merupaa lala estmas dar fugs regres f d tt e,3,,- megguaa threshold. Megguaa data yag deluara tu, maa suatu vers terpolas dar data tersebut dbera oleh o o (fˆ, fˆ,),,,3,..., ~ o f,, utu data berdes gal da o o (fˆ, fˆ,), E E (fˆ, fˆ, ), ~ E f,, utu data berdes geap. E E (fˆ, fˆ,),,3,4,... Sehgga estmas peuh (full estmate) utu M adalah membadga estmator wavelet yag dterpolas da tt-tt data yag deluara tu, yag dbera oleh / ˆ ~ E ~ o M ( ) f, y f, y () Persamaa () merupaa fugs Cross Valdas megguaa / data.. Estmas M ˆ ( ) E bergatug pada dua estmas utu fˆ o da fˆ berdasara pada tt-tt data. Sehgga yag dperoleh dega memmala () merupaa optmal utu / data, dtuls. Pada threshold uversal, besar threshold optmal utu data adalah log. Besara membera suatu metode heurstc utu memperoleh threshold cross valdas yag coco utu tt-tt data. Karea threshold optmal utu data adalah tt data adalah log maa threshold optmal utu log () log 3.3. Cotoh Peerapa Utu meerapa metode wavelet dega metode Cross Valdas, dambl data smulas tubrua sepeda motor pada suatu PMTO (Post Mortem Huma Test Obect/ obye u pemersaa mayat mausa) [5]. Dalam hal varabel-varabelya adalah sebaga berut: Sebaga varabel respo, Y (percepata dalam g) meyataa percepata setelah tubrua yag dsmulasa. o f 66

9 Pemlha Threshold Optmal (Supart) Sebaga varabel predtor, X (watu dalam mlseo) meyataa watu setelah smulas tubrua. Dar data tersebut, dcar estmas regres wavelet thresholdg dega pemlha threshold optmal megguaa metode Cross Valdas. Dega megguaa program S+Wavelets dperoleh la dar fugs Cross Valdas da Threshold ( ) utu setegah data yag dapat dlhat pada Tabel. Berdasara Tabel, tampa bahwa la Cross Valdas yag terecl (optmal) sebesar dcapa pada la threshold bersar atara = 45,6 sampa dega = 46,47 sehgga threshold optmal dapat dplh salah satu dataraya yatu = 46,47. Karea dega pemlha optmal bersar atara 45,6 sampa dega 46,47 meghasla la cross valdas yag sama maa urva estmasya pu aa sama. Tabel. Cross Valdas pada Data Smulas Nla dar Fugs Cross Valdas Nla Threshold ( M ˆ ( ) ) ( ) 9779,78 45,5 45,6 45,7 45,8 45,30 45,35 45,40 45,45 45,50 45,55 45,65 45,75 45,85 45,95 46,05 46,5 46,35 46,45 46,46 46, ,78 46, ,78 46, ,78 46,50 Karea threshold optmal dar setegah data sebesar 46,47 maa dega megguaa Persamaa () dperoleh threshold optmal utu seluruh data sebesar 50,7. Plot data da plot estmas regres wavelet thresholdg pada threshold optmal = 50,7 dapat dlhat pada Gambar. 67

10 Meda Statsta, Vol., No., Desember 009: Keteraga : Gambar. Kurva Estmas Wavelet Thresholdg : plot data : estmas regres wavelet thresholdg 4. Kesmpula Metode cross valdas las dega megeluara satu data utu meghtug la preds tda dapat dterapa pada estmator regres wavelet, area pada regres wavelet data dsaraa sebaya dega teger sehgga a satu data deluara, data yag terssa bua data pagat dar. Oleh area tu metode cross valdas yag dguaa adalah cross valdas dua lpata (Twofold Cross Valdato), yatu meghtug la preds dega megeluara setegah dar data. Dar hasl smulas, threshold optmal yag dperoleh tda tuggal. Mespu threshold optmal yag dperoleh tda tuggal, tetap setelah dmasua pada estmas regres wavelet thresholdg meghasla estmas optmal yag tuggal. DAFTAR PUSTAKA. Bruce, A. ad Hog-Ye, G., Appled Wavelet Aalyss wth S-PLUS, Sprger, New Yor, Daubeches, I., Te Lectures o Wavelets, Captal Cty Press, Phladelpa, Dooho, D.L ad Johstoe, I.M., Ideal Spatal Adaptato by Wavelet Shrage, Bometra, 994, Vol. 8, No. 3: Hall, P. ad Patl, P., O Wavelet Methods for Estmatg Smooth Fuctos, Beroull 995, Vol., No. : Hardle, W., Appled Noparametrc Regresso, Cambrdge Uversty Press, New Yor, Naso, G.P., Choce of the threshold parameter wavelet fucto estmato. I Wavelets ad Statstcs. Atoads, A. ad Oppehem, G.(eds.), Sprger-Verlag, New Yor, Ogde, R.T., Essetal Wavelets for Statstcal Applcatos ad Data Aalyss, Brhauser, Bosto, Supart, Taro da Haryoo, Y., Pemlha Parameter Threshold Optmal dalam Estmator Regres Wavelet Thresholdg dega Prosedur False Dscovery Rate (FDR), Meda Statsta, 008, Vol., No. :

11 Pemlha Threshold Optmal (Supart) 9. Supart, Satoso, R. da Putra, S.W, Pemlha Threshold Optmal pada Estmator Regres Wavelet thresholdg dega Prosedur U Hpotess Multpel, Jural Sas & Matemata, 007, Vol. 5, No. 4: Supart da Subaar, H., Estmas Regres dega Metode Wavelet Shrage, Jural Sas & Matemata, 000, Vol. 8, No. 3:

12 Meda Statsta, Vol., No., Desember 009: