Penerapan Metode Pengganda Lagrange Dalam Bidang Ekonomi. The Application of The Method of Lagrange Multipliers in The Economy

Transkripsi

1 Jural Ekspoesial Volume, Nomor, Nopember ISSN Peerapa Metode Peada arae Dalam Bida Ekoomi The Applicatio of The Method of arae Multipliers i The Ecoomy Syaripuddi Proram Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma Samarida Abstract This paper discusses the applicatio of the method of arae multipliers i the ecoomy. The purpose of this study was to chae the shape optimizatio problem i ecoomics is a problem of costraied optimizatio without costraits ad modeled i the form of optimizatio, the discussio focused o the issue of partial ad marial utility of cosumptio ad productio balace ad equilibrium partial marial productio. Keywords : arae Multipliers, Optimizatio Problem, Partial ad Marial Utilit Partial Marial Productio. I. Pedahulua Teori optimasi saat aplikatif pada permasalaha-permasalaha ya meyakut peoptimala, baik itu kasus maksimasi atau miimasi. Ada bayak metode-metode optimasi ya berkemba meikuti perkembaa terutama dibida idustri, perdaaa da bida-bida lai ya ua meuaka teori optimasi. Metode Peada arae adalah sebuah kosep populer dalam meaai permasalaha ii utuk proram-proram o-liear. Sesuai amaya, kosep ii dikemukaka oleh Joseph ouis arae (736-83). Teori ii dapat diuaka utuk meaai optimalitas dari permasalaha proram o-liear. Dalam bida ekoomi optimasi saat dibutuhka, seri kita dihadap-ka pada persoala peyelesaia termurah dea memeuhi kedala ya ada. Kasus optimasi bersyarat bayak diumpai misalya seseora hedak memaksimumka utilitas. Fusi utilitas ialah fusi ya meelaska besarya utilitas (kepuasa, keuaa) ya diperoleh seseora dari mekosumsi suatu bara atau asa. Utilitas dibai dua yaitu utilitas total da utilitas marial. Utilitas total ialah fusi dari umlah bara ya dikosumsi. Sedaka utilitas marial ialah utilitas tambaha ya diperoleh dari setiap satu uit bara ya dikosumsi. Pada umumya semaki bayak umlah suatu bara dikosumsi semaki besar utilitas ya diperoleh, kemudia mecapai titik pucakya (titik euh) pada umlah kosumsi tertetu, sesudah itu ustru meadi berkura atau bahka eatif ika umlah bara ya dikosumsi terus meerus ditambah. Secara matematik, persamaa utilitas total (total utilit U) dari mekosumsi suatu eis bara berupa fusi kuadrat parabolik, dea kurva berbetuk parabola terbuka ke bawah. Sedaka fusi utilitas marial merupaka derivatif pertama dari fusi utilitas total. Dea kata lai ika fusi utilitas total diyataka dea U = f (Q) dimaa U melambaka utilitas total da Q umlah bara ya dikosumsi, maka utilitas marialya: dq MU=U = du Peelitia ii membahas teta aplikasi metode Peada arae dalam bida ekoomi dimodelka dalam betuk optimasi. Aka disaika cotoh-cotoh persoala bida ekoomi dalam betuk optimasi dea kedala da aka diubah meadi persoala optimasi tapa kedala meuaka fusi arae. II. Tiaua Pustaka Optimasi Bersyarat Optimasi bersyarat adalah masalah optimasi ya memiliki syarat atau memiliki batasa - batasa ya merupaka masalah pemodela matematika dalam optimasi fusi ya mesyaratka beberapa kodisi atau syarat utuk diperoleh solusi optimal yaitu syarat ya meoptimumka fusi tuua. Maksimumka/Miimumka f = f (X) Kedala (X), =,, 3,..., m dea: X = (,, 3,..., ) T da m Metode ya dapat diuaka utuk meyelesaika masalah optimasi adalah metode Peada arae. Metode ii dimulai dea pembetuka fusi arae ya didefiisika sebaai: ( X, ) f ( X ) m ( X ) Teorema : Suatu matriks A disebut defiite positif ika determia dari setiap sub matrikya Proram Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma 9

2 Jural Ekspoesial Volume, Nomor, Nopember ISSN lebih besar ol da disebut defiite eatif ika determia dari sub matrik pertama lebih kecil ol, determia dari sub matrik kedua lebih besar ol, determia dari sub matrik ketia lebih kecil ol da seterusya. Teorema : Syarat perlu bai sebuah fusi f(x) dea kedala (X) =, dea =,,, aar mempuyai maksimum/miimum relatif pada titik X * adalah turua parsial pertama dari fusi araeya ya didefiisika sebaai =(,,,, λ, λ,, λ ) terhadap setiap arumetya mempuyai ilai ol. Teorema 3: Syarat cukup bai sebuah sebuah fusi f(x) aar mempuyai miimum/maksimum relatif pada titik X * adalah ika fusi kuadrat Q ya didefiisika sebaai : ( z) ( Q z) i i did m m m 3 m Dievaluasi pada titik X=X * harus defiit positif (atau defiit eatif) utuk setiap variasi ilai d adalah setiap akar dari poliomial zi, ya didapat dari determia persamaa dibawah ii harus positif (atau eatif). * * ( ( X, ) dimaa: i, i ( X ) i. i Fusi Utilitas Marial Fusi utilitas merupaka fusi ya meelaska besarya utilitas (kepuasa, keuaa) ya diperoleh seseora dari mekosumsi suatu bara atau asa. Pada umumya semaki bayak umlah suatu bara dikosumsi semaki besar utilitas ya diperoleh, kemudia mecapai titik pucakya (titik euh) pada umlah kosumsi tertetu, sesudah itu ustru meadi berkura atau bahka eatif ika umlah bara ya dikosumsi terus meerus ditambah. Utilitas total merupaka fusi dari umlah bara ya dikosumsi. Adapu persamaa utilitas total (total utilit U) dari mekosumsi suatu eis bara berupa fusi kuadrat parabolik, dea kurva berbetuk parabola terbuka kebawah. Utilitas marial (marial ( z) m m m m m utilit MU) merupaka utilitas tambaha ya diperoleh dari setiap uit bara ya dikosumsi. Secara matematik, fusi utilitas marial merupaka derivative pertama dari fusi utilitas total. Jika fusi utilitas total diyataka dea U=f(Q) dimaa U melambaka utilitas total da Q umlah bara ya dikosumsi, maka utilitas marial: dq MU=U = du III. Metode Peelitia Metode peelitia dalam tulisa ii dilakuka dea melakuka peelitia melalui tiaua pustaka. Adapu lakah lakahya adalah:. Membuat lakah lakah meetu-ka ilai ekstrim suatu fusi dea kedala fusi lai meuaka peada arae. Maksimumka/Miimumka f = f (X) Kedala (X), =,, 3,..., m dea: X = (,, 3,..., ) T da m. Fusi baru arae ya telah dimodifikasi meadi : ( X, ) f ( X ) m ( X ) 3. Meetuka syarat perlu utuk medapatka titik ekstrim m 4. Mecari semua solusi syarat cukup utuk ekstrim relatif. Dievaluasi pada titik X=X * harus defiit positif (atau defiit eatif) utuk setiap variasi ilai d adalah setiap akar dari poliomial zi, ya didapat dari determia persamaa : Q i i did harus positif (atau eatif). Ii diuaka utuk meetahui prilaku dari (, λ ) pada ilai kritisya. 5. Meetuka solusi optimal dari persoala optimasi bersyarat me-uaka metode peada arae serta peerapaya didalam bida ekoomi. 6. Mearik beberapa kesimpula yaitu meyimpulka hasil da iformasi dari peyelesaia permasalaha optimasi ya telah diselesaika. IV. Hasil da Pembahasa. Optimasi Bersyarat Metode peada arae merupaka salah satu metode ya dapat diuaka utuk meetuka ilai ekstrim bersyarat. Misalka Proram Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma 3

3 Jural Ekspoesial Volume, Nomor, Nopember ISSN f (, aka dimaksimumka atau dimiimumka dea syarat (,. Betuk fusi obektifya adalah : F(, ) f (, (, dimaa adalah peada arae. Syarat perlu utuk medapatka titik eksrim fusi F(, ) adalah : F F y f.() f.() y y F (,..(3) Dea memecaha ketia persamaa diatas maka diperoleh titik-titik kritis fusi F(, ) ya aka dimaksimumka atau dimiimumka. Cotoh-: Hubua atara umlah peuala S dea umlah-umlah da y ya dibelaaka utuk dua macam media ikla adalah y S. aba bersih adalah (5 ) ( seperlima dari umlah peuala dikurai biaya ikla. Aara belaa utuk ikla adalah 5. Tetuka alokasi aara belaa utuk kedua macam media ikla itu supaya diperoleh laba maksimum. Peyelesaia Fusi arae adalah : y F(, ) 5 (5 ) ( ) y y ( y 5) 4 y (5 ) ( y ( y 5) Meetuka syarat perlu utuk medapatka titik ekstrim: F (5 ) F y (5 ) ( (.() () F y 5..(3) Dari persamaa () da () diperoleh : (5 ) ( ( 5 ) (. (4) Subtitusi persamaa (3) ke (4) diperoleh : ( 5 5 ( 3 y y y, 5 da Jadi titik ekstrimya (,y ) = (, 5). Selautya aka titik ekstrim ii aka di ui apakah titik ekstrimya (,y ) = (, 5) maksimum atau miimum. z Q z z z Diperoleh z =. Karea ilai z semua (satusatuya titik kritis) eatif maka titik ekstrim 8 (,y ) = (, 5) maksimum.. Utilitas Marial Parsial da Keseimbaa Kosumsi Betuk umum fusi utilitas adalah U f (,,, ). Pada pembahasa ii kosume dimisalka haya mekosumsi dua macam bara saa, misalka da y sehia fusi utilitasya adalah U f (,. Turua pertama terhadap- disebut utilitas marial ya U besesuaia dea ditulis da Turua pertama terhadap-y disebut utilitas marial ya U besesuaia dea y ditulis. y Keseimbaa kosumsi adalah suatu keadaa dimaa kombiasi kosumsi beberapa macam bara memberika kepuasa optimum. Keseimbaa kosumsi teradi pada persiua kurva U f (, dea aris aara kosumsi cosume yaitu M P yp y dimaa M adalah pedapata kosume, P adalah hara bara da P y adalah hara bara y. Keseimbaa kosume dicari meuaka metode peada arae dea fusi arae sebaai berikut: F(, ) f (, ( P yp y Proram Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma 3

4 Jural Ekspoesial Volume, Nomor, Nopember ISSN Syarat supaya F(, ) mecapai maksimum adalah: F f U P P F f U Py P y y y y Dari kedua persamaa diatas diperoleh, U U y = P P y Dea kata lai keseimbaa kosumsi aka teradi ika hasil bai atara utilitas marial masi-masi bara terhadap hara bara masi-masi berilai sama. Cotoh-: Fusi utilitas utuk kedua komoditas ya diberika oleh fusi U y da aara peeluara 3 6y 8. Dari persamaa ilai da y ya memberika kepuasa optimum : Peyelesaia : Fusi arae adalah : (, ) y (3 6y 8) Meetuka syarat perlu utuk medapatka titik ekstrim: y 3 y...() 3 6 y...() 6 3 6y 8...(3) Dari persamaa () da () diperoleh : y atau y 3 atau y Subtitusi y kepersamaa (3) 4 diperoleh Jadi =4 da y= dea ilai U=6. 3. Produksi Marial Parsial da Keseimbaa Produksi Betuk umum fusi produksi adalah P f (,,, ). Pada pembahasa ii dimisalka haya diproduksi dua macam bara saa, misalka da y sehia fusi produksiya adalah P f (,. Turua pertama terhadap- disebut produksi marial P ya besesuaia dea ditulis da turua pertama terhadap-y disebut produksi marial P ya besesuaia dea y ditulis. y Keseimbaa produksi adalah suatu keadaa dimaa kombiasi faktor-faktor produksi memberika pecapaia produksi dea biaya ya teredah (optimum). Jika umlah daa ya diaarka utuk membeli faktor da y adalah M serta hara faktor da faktor y masi-masi P da P y maka persamaa tersebut ditulis M P yp y. Keseimbaa produksi dicari meuaka metode peada arae dea fusi arae sebaai berikut: F, ) f (, ( P yp ) ( y Syarat supaya F(, ) mecapai maksimum adalah: F f P P P F f P Py P y y y y Dari kedua persamaa diatas diperoleh, P P y = P P y Dea kata lai keseimbaa produksi aka tercapai ika hasil bai atara produksi marial masi-masi masuka terhadap hara masuka masi-masi berilai sama. Cotoh-3: Sebuah pabrik mehasilka dua tipe mesi berat yaki da y. Fusi produksiya adalah: P(, y y. Utuk memiimumka biaya berapa bayak mesi dari tiap-tiap tipe harus diproduksi, apabila umlah produksi mesi ii harus 8 buah. Peyelesaia : Fusi arae adalah : (, ) y y ( y 8) Meetuka syarat perlu utuk medapatka titik ekstrim: y y...() 4y y Proram Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma 3

5 Jural Ekspoesial Volume, Nomor, Nopember ISSN y...() y 8...(3) Dari persamaa () da () diperoleh: y 4y atau 3 5y atau Subtitusi 3 y. 5 3 y ke persamaa (3) diperoleh : Jadi =5 da y=3 dea ilai P(,=8. V. Kesimpula. Metode arae dapat diuaka utuk meyelesaika permasalaha optimasi dalam bida ekoomi.. Keseimbaa kosumsi aka teradi ika hasil bai atara utilitas marial masimasi bara terhadap hara bara masi-masi berilai sama. 3. Keseimbaa produksi aka tercapai ika hasil bai atara produksi marial masimasi masuka terhadap hara masuka masi-masi berilai sama. Daftar Pustaka Amiudi. 5. Prisip-prisip Riset Oprasi. Erlaa. Jakarta. Hadali da Pamutak.,987. Kalkulus Perubah Bayak, Peerbit ITB Badu. ukato, J.. Peatar Optimasi Noliier. Spieel, Murray R. Patur Silaba, 999,.Kalkulus lauta, Peerbit Erlaa, Jakarta. Setya Budhi, Woo, Diktat Kalkulus Peubah Bayak, Jurusa Matematika, FMIPA ITB, Badu. material/bab_iv.peuaa Turua.pdf. Diakses pada taal 9 ui Proram Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma 33

6 Jural Ekspoesial Volume, Nomor, Nopember ISSN Proram Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma 34

7 Jural Ekspoesial Volume, Nomor, Nopember ISSN HAAMAN INI JANGAN DIPRINT Proram Studi Statistika FMIPA Uiversitas Mulawarma 35