ESTIMASI REGRESI WAVELET THRESHOLDING DENGAN METODE BOOTSTRAP. Staf Program Studi Statistika Jurusan Matematika FMIPA UNDIP 2

Transkripsi

1 ESTIMASI REGRESI WAVELET THRESHOLDING DENGAN METODE BOOTSTRAP Supart Achmad Mustofa da Agus Rusgyoo 3 3 Staf Program Stud Statsta urusa Matemata FMIPA UNDIP Alum urusa Matemata FMIPA UNDIP l. Prof. H. Soedarto SH Tembalag Semarag 5075 Abstract. Wavelet s a fucto that has the certaly characterstc for example t oscllate about zero pot ascllatg localzed the tme ad frequecy doma ad costruct the orthogoal bases L (R space. O of the wavelet applcato s to estmate o parametrc regresso fucto. There are two ds of wavelet estmator.e. lear ad o lear wavelet estmator. The o lear wavelet estmator s called a thresholdg wavelet rstmator. The applcato of the bootstrap methode the thresholdg wavelet fucto estmato s resample the wavelet coeffcet of resdual. The best of the thresholdg wavelet estmator wth bootstrap method has mmal of mea square error (MSE. The mmal MSE deped from the umber of replcato. Keywords: o parametrc regresso thresholdg wavelet estmator bootstrap method.. PENDAHULUAN Model regres stadar dar seumlah data pegamata depede {( X Y } adalah: Y f ( X + ε (. dega X varabel predtor Y varabel respo da f fugs regres yag tda detahu. Semetara ε varabel radom depede dega mea 0 da vara σ. Ada dua pedeata dalam megestmas fugs f yatu pedeata parametr da pedeata o-parametr []. Pedeata parametr dlaua a asums betu fugs f detahu tergatug dar suatu parameter msalya lear espoesal da la-la sedaga pedeata oparametr dlaua a asums betu f tda detahu. Te regres o-parametr sepert metode erel da deret Fourer megasumsa bahwa fugs f termuat dalam elas fugs mulus artya mempuya turua yag otu. a fugsya tda mulus maa edua metode tersebut tda dapat dguaa dega ba. Sedaga dega metode wavelet asums emulusa fugs dapat dperlemah area wavelet mampu megestmas ba fugs mulus maupu tda mulus. Estmator wavelet sedr dbedaa mead dua macam yatu estmator wavelet lear da estmator wavelet o-lear. Estmator wavelet olear damaa uga estmator wavelet thresholdg atau estmator wavelet shrage. Salah satu uura ebaa dar estmator tersebut adalah la Mea Square Error (MSE atau la Error Kuadrat Rata-rata Tertegras / Itegrated Mea Square Error (IMSE. Estmator wavelet lear mempuya peurua IMSE lebh cepat meuu ol dar pada estmator deret Fourer tetap sama cepatya dega estmator erel []. Sedaga estmator olear mempuya lau overges IMSE yag lebh cepat meuu ol dar estmator lear [3]. Bootstrap merupaa prosedur utu medapata estmas parameter dega resamplg data dega pegembala. Efro da Tbshra [4] megguaa metode bootstrap dalam meetua estmas fugs regres lear dega resamplg resdual. Sedaga dalam maalah metode bootstrap dalam estmas fugs regres wavelet thresholdg dega melaua resamplg oefse wavelet dar resdual sepert yag dlaua oleh Bruce da Gao [5]. 43

2 ural Matemata Vol. 0 No. Agustus 007: Estmator deret Fourer Dasumsa bahwa f L (R dega L R { f : f dx < } maa L (R merupaa ruag Hlbert [6]. Sebuah hasl al dalam pada ruag L (R adalah fugs yag megasosasa blaga rl f g dega masg-masg pasaga fugs f(x da g(x pada L (R. Hasl al dalam L (R dar dua fugs da orma sebuah fugs ddefsa f f g f g( x dx f f ( f dx. ϕ sstem Adaa { }... ortoormal legap (CONS dar L (R maa sembarag f L (R dapat dyataa sebaga f α ϕ dega α f ϕ da memeuh dettas Parseval f α. Karea f dx < maa α < sehgga α 0 utu. Oleh area tu f dapat ddeat oleh f α ϕ utu blaga bulat cuup besar. Khususya a f L [0π] maa f dapat ddeat dega deret Fourer f a0 + ( a cos + b s (. dega oefse Fourer π a f cos(. π π f cos( x dx 0 dega 0 da b f s(. π f s( x dx π π 0 dega. a {( Y } X merupaa data observas depede mempuya model π (. dega X da X [ 0π ] maa estmator regres f adalah fˆ ˆ ( ˆ cos( ˆ a0 + a x + b s (.3 dega aˆ Y cos( X 0 da bˆ Y s( X 3... Fugs Wavelet Fugs wavelet adalah suatu fugs dega sfat-sfat tertetu dataraya yag beroslas d setar ol (sepert fugs sus da cosus terloalsas dalam doma watu da freues serta membetu bass ortogoal dalam L (R [7]. Fugs wavelet dbedaa atas dua es yatu wavelet ayah (φ da wavelet bu (ψ yag mempuya sfat: φ dx da ψ dx 0. Dega dlatas dad da traslas teger wavelet ayah da wavelet bu melahra eluarga wavelet yatu ( ( φ x p φ( p x da ( ( ψ x p ψ ( p x utu suatu salar p>0 da tapa megurag eumuma dapat dambl p sehgga / φ φ( x da / ψ ψ ( x. Fugs φ ( x da ψ ( x mempuya sfat φ φ ' dx δ ' ψ φ ' dx 0 ψ ψ ' ' dx δ ' δ ' a dega δ 0 a. 44

3 Supart Achmad Mustofa da Agus Rusgyoo (Estmas Regres Wavelet Thresholdg dega Metode... Cotoh wavelet palg sederhaa adalah wavelet Haar yag mempuya rumus 0 x ψ ( x / x < 0 x yag la da 0 x φ ( x 0 x yag la Gambar adalah beberapa cotoh wavelet yag melput wavelet Haar wavelet Daubeches (Daublet symmetrs (Symmlet da Cofma (Coflet [8]. Gambar. Beberapa cotoh wavelet. ANALISIS MULTIRESOLUSI Aalss multresolus L (R adalah ruag baga tertutup {V Z} yag memeuh V - V - V 0 V V Z V {0} Z V L (R f V f (. V + v f V0 f (. V0 Z v Terdapat sebuah fugs φ V0 sehgga φ 0 φ(. Z membetu bass ortoormal utu V 0 dmaa utu semua Z ( x φ ( x φ. a {V Z} aalss multresolus dar L (R maa ada bass ortoormal ψ Z utu L (R: { } ; / ψ ψ ( x sehgga utu sembarag f pada L (R P f P f + < f ψ > ψ. yatu Z ψ yag dturua dar ( c( + ψ x. ( φ Z Abat. Bla φ adalah fugs salar yag membagu aalss multresolus da ψ(x ( c( + φ (x Z maa deomposs sembarag f L (R e dalam wavelet ortoormal adalah f c φ + d ψ ( (. o o x Z o Z dega c o < f φ o > da d < f ψ >. 3. ESTIMATOR WAVELET LINEAR Msala terdapat seumpula data depede {( (X Y } yag mempuya model (. da m dega m blaga bulat postp. a X racaga tt reguler pada terval [0] dega X / maa proyes f pada ruag V dapat dtuls mead ( P f c φ atau Z f x c φ dega c ( Z f φ f φ dx. Utu maa f (x f(x. Berdasara deomposs fugs e dalam wavelet ortoormal (. utu sembarag fugs f L ( R dperoleh f c o φ o + d ψ dega Z 0 o Z < f φ o > f φ o dx da c o < f ψ > f ψ dx. d

4 ural Matemata Vol. 0 No. Agustus 007:43-50 Karea fugs regres f tda detahu maa estmator f pada ruag V dapat dtuls sebaga f ˆ x cˆ dega ˆ c ( Z φ Y φ ( X atau o o x o Z fˆ cˆ φ + dˆ ψ ( (3. dega Z ĉ dˆ o Y o ( X φ Y ( X ψ. Estmator wavelet (5 damaa estmator wavelet lear. 4. ESTIMATOR WAVELET THRESHOLDING a dbera data {( X Y } dega model ( maa dar Var ( d Y ~ N ( g( σ d m da X. Mea da vara ˆ adalah [ d ] d σ ˆ da E ˆ sehgga ˆ ~ N(d d ad oefse wavelet emprs d σ. ˆ memuat seumlah ose da haya relatf sedt yag memuat syal sgfa. Oleh area tu dapat dreostrus estmator wavelet dega megguaa seumlah oefse terbesar [79]. Ya haya oefse yag lebh besar dar suatu la tertetu yag dambl sedaga oefse selebhya dabaa area daggap 0. Nla tertetu tersebut damaa la threshold ( la ambag da estmatorya meghasla cˆ φ + ( dˆ ψ o o fˆ (4. o o dega meyataa fugs thresholdg atau fugs ambag dega la ambag atau threshold. Estmator (6 damaa estmator wavelet o lear estmator d wavelet shrage atau estmator wavelet thresholdg. Karea thresholdg dracag utu membedaa atara oefse wavelet emprs yag masu da yag eluar dar reostrus wavelet sedaga utu membuat eputusa ada fator yag mempegaruh etepata estmator yatu uura sampel da tgat ose σ maa setap oefse merupaa calo uat masu d dalam reostrus wavelet a uura sampel besar atau tgat ose ecl. Karea ˆ σ berdstrbus ormal dega vara utu seluruh da σ maa estmator thresholdg dar d ada- lah ~ σ dˆ d σ sehgga estmator wavelet thresholdgya adalah ( ( ( + dˆ fˆ σ x cˆ o φo x ψ x (4. o 0 σ dega c ˆ o : peduga dar c o dˆ : peduga dar d : parameter threshold : fugs thresholdg Lagah-lagah Thresholdg Lagah-lagah thresholdg adalah sebaga berut.. Pemlha Fugs Thresholdg Ada dua es fugs thresholdg yatu: a. Hard Thresholdg H (x x x > 0 x yag la b. Soft Thresholdg x x > S (x 0 x x + x < dega merupaa parameter threshold. 46

5 Supart Achmad Mustofa da Agus Rusgyoo (Estmas Regres Wavelet Thresholdg dega Metode... Fugs Hard thresholdg lebh deal area terdapat dsotyu dalam fugs thresholdg sehgga la x yag berada d atas threshold tda dsetuh. Sebalya fugs soft thresholdg otyu yatu sea la x berada d atas threshold. Motvas pegguaa soft thresholdg berasal dar prsp bahwa ose mempegaruh seluruh oefse wavelet. uga eotyua dar fugs soft shrage membuat ods yag lebh ba utu alasa statst.. Estmas σ Dalam mereostrus fugs wavelet basaya la σ tda detahu. Oleh area tu σ harus destmas dar data. Ogde [7] membera estmas σ berdasara oefse wavelet emprs pada level resolus tertgg dega fugs Meda Devas Absolut (MAD yatu: meda( dˆ meda( dˆ σˆ Pemlha Parameter Threshold Pada estmas fugs dega metode wavelet thresholdg tgat emulusa estmator dtetua oleh level resolus fugs thresholdg da parameter threshold. Namu pemlha da tda sedoma. Nla yag terlalu ecl membera estmas fugs yag sagat tda mulus (uder smooth sedaga la yag terlalu besar membera estmas yag sagat mulus (over smooth. Oleh area tu perlu dplh parameter threshold yag optmal utu medapata fugs yag optmal. Utu memlh la threshold optmal ada dua ategor pemlha yatu memlh satu harga threshold utu seluruh level resolus ( pemlha secara global da pemlha threshold yag tergatug pada level resolus. Utu pemlha global threshold Ogde [7] membera pemlha threshold yag haya bergatug pada bayaya data pegamata yatu threshold uversal ( log da threshold mmax yag telah dtabela oleh Dooho da ohstoe [0]. Nla-la threshold mmax selalu lebh ecl dbadga dega la threshold uversal utu uura sampel yag sama. Pemlha la threshold berdasara level resolus membera emuga adaya perbedaa la threshold yag dplh utu tap le-vel resolus. Ada beberapa cara pem-lha threshold yag tergatug pada level resolus dataraya threshold Adapt da threshold Top. Threshold adapt ddasara pada prsp utu memmala Ste Ubased Rs Estmator (SURE pada suatu level resolus. Threshold adapt utu hmpua oefse detal d yag beraggotaa K oefse ddefsa sebaga arg mt 0SURE( d t dega SURE K ( d t K [ ] + d tσ K m {( d / σ t } Sedaga la threshold Top dtetua berdasara besar prosetase oefse yag aa dguaa dar eseluruha oefse wavelet dalam mereostrus fugs. 4. Estmator Regres Wavelet Thresholdg Terba dega Metode Bootstrap Suatu ebaa estmator dapat dlhat dar besarya tgat esalaha. Sema ecl tgat esalahaya sema ba estmatorya. Salah satu uura ebaa suatu estmator adalah MSE. Suatu estmator f ˆ( x mempuya MSE ( f ˆ( x var( f ˆ +bas ( f ˆ( x dega bas( f ˆ( x E( f ˆ -f(x. Karea f(x tda detahu maa la MSE tda dapat detahu uga sehgga perlu dlaua estmas MSE. Abramovch da 47

6 ural Matemata Vol. 0 No. Agustus 007:43-50 Beam [] membera estmas dar MSE sebaga MSE y y ˆ l. ( y yˆ Bootstrap merupaa suatu metode resamplg dega pegembala. Bootstrap dalam estmas regres dapat dlaua melalu resamplg pada data resdual atau yag la. Dalam maalah bootstrap dlaua dega meresamplg oefse wavelet dar resdual. Utu medapata estmator regres wavelet thresholdg terba dega metode bootstrap a dbagta sampel bootstrap sebaya M al maa aa ddapata Mea Square Error (MSE sebaya M. Dar sebaya M MSE dplh MSE mmal. Estmator yag memmala MSE merupaa estmator terba dar M resamplg bootstrap. Secara gars besar lagah-lagah utu meetua estmator regres wavelet thresholdg dega metode bootstrap sebaga berut.. Melaua estmas fugs regres wavelet thresholdg Yˆ dega prosedur wavelet shrage stadar.. Meghtug resdual dar estmas wavelet thresholdg. 3. Meghtug oefse dar resdual 4. Membetu oefse wavelet baru dega melaua resamplg bootstrap pada oefse wavelet resdual secara sedr-sedr atau bersama-sama. 5. Meyusu data baru Y * berdasara bootstrap oefse wavelet resdual. 6. Mereostrus estmas regres wavelet thresholdg Yˆ berdasara sam- ( ( ple bootstrap Y *. 7. Meghtug Mea Square Error (MSE. 8. Megulag lagah 4 sampa dega 7 sebaya M al sehgga dperoleh M estmas fugs regres bootstrap ˆ ( ˆ ( ˆ ( 3 ˆ ( M Y Y Y Y. ( 9. Memlh Yˆ dega MSE terecl. 0. Gambar estmator wavelet thresholdg terba. ( 4. Stud asus Utu meerapa metode bootstrap dalam estmas regres wavelet dguaa data berat da umlah gas perml model automobl 990 []. Dalam hal varabel-varabelya sebaga berut. Sebaga varabel respo Y meyataa umlah gas perml Sebaga varabel predtor X (dalam utal meyataa berat automobl Dar data tersebut dcar hubuga atara Y da X yatu mecar estmas urva regres wavelet thresholdg dega metode bootstrap terba. Berut adalah estmas dega thresholdg uversal da mmax megguaa program S-PLUS + Wavelets Gambar. Estmas Wavelet Thresholdg Megguaa Threshold Uversal dega Prosedur Bootstrap 48

7 Supart Achmad Mustofa da Agus Rusgyoo (Estmas Regres Wavelet Thresholdg dega Metode... Gambar 3. Estmas Wavelet Thresholdg Megguaa Threshold Mmax dega Prosedur Bootstrap Keteraga Gambar da Gambar 3. / : data : estmas regres wavelet thresholdg : estmas regres wavelet thresholdg terba dega bootstrap : pedeata 90% terval ofdes dega bootstrap Dar Gambar estmas wavelet thrsholdg dega bootstrap terba da tapa bootstrap meghasla urva yag hampr sama. Dar 0 pegulaga 90 perseya sebaga besar mash berada pada gars-gars tebal da tt-tt yag berada pada gars yag salg berdeata merupaa la-la yag deat dega estmas tap ada tt-tt yag dluar estmasya. Dar data sebaya 66 da resamplg sebaya 0 al ddapata MSE wavelet thresholdg tapa bootstrap sebesar da MSE mmal setelah pembootstrapa sebesar yag terleta pada sampel e -3 Dar Gambar 3 estmas wavelet thresholdg dega threshold mmax dega bootstrap terba da tapa bootstrap dhasla urva yag hampr sama. Dar 0 pegulaga 90 perseya sebaga besar mash berada pada gars-gars tebal da tt-tt yag berada pada gars yag salg berdeata merupaa lala yag deat dega estmas tap ada tt-tt yag dluar estmasya. Dar data sebaay 66 da resamplg sebaya 0 al ddapata MSE wavelet thresholdg tapa bootstrap sebesar da MSE mmal setelah pembootstrapa sebesar yag dcapa pada sampel e -84. Dar pegestmasa urva dega metode bootstrap megguaa threshold uversal da mmax MSE mmal dega megguaa threshold uversal mmax lebh ecl dar MSE mmal dega threshold uversal. 5. KESIMPULAN Pada estmas wavelet thresholdg dega bootstrap pemlha parameter threshold da bayaya replas bootstrap berpegaruh pada hasl MSE. Pegguaa parameter threshold mmax meghasla MSE yag lebh ecl dar pada threshold uversal. 6. DAFTAR PUSTAKA [] Abramovch F. ad Beam Y. (995 Thresholdg of Wavelet Coeffcets as Multple Hypothess Testg Procedure I Wavelets ad Statstcs Sprger-Verlag New Yor

8 ural Matemata Vol. 0 No. Agustus 007:43-50 [] Bruce A. ad Gao H Y. (996 Appled Wavelet Aalss wth S- PLUS Sprger-Verlag. New Yor. [3] Daubeches I. (99 Te Lectures o Wavelets Captal Cty Press Phladelpa. [4] Dooho D.L ad ohstoe I.M. (994 Ideal Spatal Adaptato by Wavelet Shrage Bometra 8 ( [5] Dooho D.L. ohstoe I.M. Keryachara G. ad Pcard D. (996 Desty Estmato by Wavelet Thersholdg. The Aals of Statstcs 4( [6] Efro B. Tbshra. (993 A Itroducto to the Bootstrap Chapma ad Hall. New Yor. [7] Hall P ad Patl. P. (995 O Wavelet Methods for Estmatg Smooth Fucto Beroull (/ [8] Hardle W. (993 Appled Noparametrc Regresso. Cambrdge Uversty Press. New Yor. [9] Illustrato of desty oparametrc [0] Ogde R.T. (997 Essetal Wavelet for Statstcal Applcato ad Data Aalyss Brhauser Bosto. [] Supart da Subaar H. (000 Estmas Regres dega Metode Wavelet Shrage. ural Sas & Matemata 8( [] Vetterl M. ad Kovacevc. (995 Wavelets Ad Subbad Co-dg. Pretce Hall PTR New ersey. 50