ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 3, Dosen FMIPA - ITB

Transkripsi

1 (Semester I Tahun ) Dosen FMIPA - ITB hgunawan@math.itb.ac.id. October 3, 2011

2 6.3 Limit Sepihak, Limit di Tak Hingga, dan Limit Tak Hingga

3 Bila sebelumnya kita mempelajari limit barisan, maka pada bab ini kita akan mempelajari limit fungsi, dan fungsi yang akan dibahas adalah fungsi yang terdefinisi pada himpunan bagian dari R atau R n dengan nilai di R atau R n.

4 Ruang Euclid R n R n adalah ruang vektor x = (x 1,..., x n ), dengan x 1,..., x n R, yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar: x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ), αx := (αx 1,..., αx n ), serta norma dan hasil kali titik: x := x x n, 2 x y := x 1 y x n y n.

5 Barisan x k di R n dikatakan konvergen ke x R n apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat N N sedemikian sehingga x k x < ɛ untuk k N. Dalam hal ini kita tuliskan lim k x k = x. Proposisi 0. Barisan x k konvergen ke x jika dan hanya jika barisan x ki konvergen ke x i untuk tiap i = 1,..., n. Sebagai akibatnya, teorema limit barisan untuk penjumlahan dan perkalian dengan skalar (seperti pada Proposisi 5 di Bab 3) berlaku pula untuk barisan di R n.

6 Misalkan ɛ > 0. Lingkungan-ɛ dari suatu titik x R n adalah bola buka B(x, ɛ) := {y R n : x y < ɛ} yang berpusat di x dan berjari-jari ɛ. (Di R, B(x, ɛ) merupakan interval buka, sementara di R 2 merupakan cakram lingkaran buka.) Jika D R n, maka x disebut titik akumulasi dari D apabila setiap lingkungan-ɛ dari x memuat tak terhingga banyak anggota D. Catat bahwa titik akumulasi dari D tidak harus merupakan anggota D, dan sebaliknya anggota D pun tidak harus merupakan titik akumulasi dari D.

7 Definisi Limit Fungsi di Suatu Titik Misalkan f : D R dan x 0 titik akumulasi dari D. Maka, f dikatakan mempunyai limit L di x 0 dan kita tuliskan lim f (x) = L, x x 0 apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga 0 < x x 0 < δ dan x D f (x) L < ɛ. Di sini x 0 tidak harus merupakan anggota D, dan dalam hal x 0 D nilai f di x 0 tidak mempengaruhi nilai limit f di x 0.

8 Proposisi 1 (Ketunggalan Limit) Jika f : D R mempunyai limit di x 0, maka limitnya tunggal. Bukti. Andaikan f mempunyai limit L 1 dan L 2 di x 0. Maka, untuk setiap ɛ > 0, terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f (x) L 1 < ɛ/2 dan f (x) L 2 < ɛ/2 untuk 0 < x x 0 < δ dan x D. Akibatnya, untuk x tersebut, L 1 L 2 L 1 f (x) + f (x) L 2 < ɛ. Karena ini berlaku untuk ɛ > 0 sembarang, maka kita simpulkan bahwa L 1 = L 2.

9 Contoh 2 (a) Misalkan f : R R dengan f (t) = 2t. Maka, untuk sembarang t 0 R, kita mempunyai lim f (t) = 2t 0. t t 0 Di sini, untuk setiap ɛ > 0, pilih δ = ɛ/2. (b) Misalkan f (t) = t 2, t R. Maka, untuk sembarang t 0 R, kita mempunyai lim f (t) = t 2 t t 0 0. { Di sini, untuk setiap ɛ > 0, pilih δ = min 1, ɛ 1+2 t 0 }.

10 Contoh 3 Misalkan f = χ Q menyatakan fungsi karakteristik Q, yang bernilai 1 pada Q dan bernilai 0 pada R \ Q. Maka, f tidak mempunyai limit di titik manapun.

11 Contoh 4 (a) Misalkan f (t) = sin(1/t), t 0. Maka, f tidak mempunyai limit di 0. (b) Misalkan g(t) = t sin(1/t), t 0. Maka, lim g(t) = 0, t 0 karena t sin(1/t) t untuk setiap t 0. Di sini, diberikan ɛ > 0, pilih δ = ɛ.

12 Contoh 5 Misalkan f (x 1, x 2 ) = x 1 x 2, (x 1, x 2 ) R 2. Maka, Perhatikan bahwa lim f (x 1, x 2 ) = 0. (x 1,x 2 ) (0,0) f (x 1, x 2 ) 0 = x 1 x 2 x 2, dengan x = (x 1, x 2 ). Jadi, diberikan ɛ > 0, pilih δ = ɛ.

13 Contoh 6 Misalkan f (x 1, x 2 ) = x2 1 x2 2, (x x1 2 1, x 2 ) (0, 0). Maka, f tidak +x2 2 mempunyai limit di (0, 0). Sepanjang garis x 2 = mx 1, fungsi f bernilai 1 m2, yang bergantung 1+m 2 pada nilai m. (Bila m = 0, maka f = 1; namun bila m = 1, maka f = 0.)

14 Soal Latihan 1 Buktikan Proposisi 0. 2 Buktikan bahwa x merupakan titik akumulasi dari D jika dan hanya jika setiap lingkungan-ɛ dari x memuat suatu anggota D yang tidak sama dengan x. 3 Tentukan semua titik akumulasi dari (a) Z dan (b) Q. 4 Diketahui D = { 1 n : n N}. Tentukan semua titik akumulasi dari D. 5 Diketahui f (t) = t, t 0. Buktikan bahwa, untuk sembarang t 0 > 0, lim t t0 f (t) = t 0. 6 Tentukan limit dari f (x 1, x 2 ) = x 1+x 2 x 2 1 +x2 2 di (0, 0), bila ada.

15 Proposisi 7 Misal f : D R dan x 0 titik akumulasi dari D. Maka, lim f (x) = L jika dan hanya jika untuk setiap barisan x k di x x 0 D \ {x 0 } dengan lim x k = x 0 berlaku lim f (x k) = L. k k

16 Bukti. Misalkan lim f (x) = L dan lim x k = x 0, dengan x x0 k x k D \ {x 0 } untuk tiap k N. Diberikan ɛ > 0, pilih δ > 0 sedemikian sehingga f (x) L < ɛ untuk x D dengan 0 < x x 0 < δ. Terdapat pula N N sedemikian sehingga x k x 0 < δ untuk k N. Akibatnya, untuk k N, berlaku f (x k ) L < ɛ. Ini menunjukkan bahwa lim f (x k) = L. k Sebaliknya, misalkan lim x x0 f (x) L. Maka, terdapat ɛ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap k N terdapat x k D dengan 0 < x k x 0 < 1 k dan f (x k) L ɛ. Akibatnya lim k x k = x 0 sementara f (x k ) tidak konvergen ke L.

17 Akibat 8 Misal f : D R dan x 0 titik akumulasi dari D. Maka, lim f (x) x x0 ada jika dan hanya jika untuk setiap barisan x k di D \ {x 0 } dengan lim x k = x 0 nilai lim f (x k) ada. k k Bukti. Berdasarkan Proposisi 7, bagian hanya jika jelas berlaku. Untuk bagian jika, misalkan lim x k = x 0 dan lim y k = x 0 k k dengan x k, y k D \ {x 0 }, dan misalkan lim f (x k) = L 1 dan k lim f (y k) = L 2. Definisikan barisan z k dengan z 2k = x k dan k z 2k+1 = y k. Maka lim z k = x 0, sehingga lim f (z k) ada. Dalam k k hal ini L 1 = L 2, dan menurut Proposisi 7 mestilah lim f (x) = L x x0 (ada).

18 Teorema 9 Jika lim f (x) = L dan lim g(x) = M, maka x x0 x x0 (i) lim [f (x) + g(x)] = L + M. x x0 (ii) lim αf (x) = αl untuk α R. x x0 (iii) lim f (x)g(x) = LM x x0 f (x) (iv) lim x x0 g(x) = L M asalkan M 0. Teorema 9 merupakan akibat langsung dari Proposisi 7 dan teorema limit barisan.

19 Proposisi 10 Misalkan lim x x0 f (x) = L. Maka, terdapat M > 0 dan suatu lingkungan-δ dari x 0 sedemikian sehingga f (x) M untuk tiap x B(x 0, δ) D. Bukti. Terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f (x) L < 1 untuk x D dengan 0 < x x 0 < δ. Selanjutnya, jika x 0 / D, pilih M = L + 1; dan jika x 0 D, pilih M = maks{ f (x 0 ), L + 1}. Catatan. Proposisi 10 mengatakan bahwa fungsi yang mempunyai limit di suatu titik bersifat terbatas secara lokal di sekitar titik tersebut. Fungsi f dikatakan terbatas pada himpunan H apabila f (H) merupakan himpunan terbatas.

20 Proposisi 11 Misalkan lim x x0 f (x) = L 0. Maka, terdapat m > 0 dan suatu lingkungan-δ dari x 0 sedemikian sehingga f (x) m untuk tiap x B(x 0, δ) D \ {x 0 }. Bukti. Terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f (x) L < L 2 untuk x D dengan 0 < x x 0 < δ. Untuk x tersebut, berlaku f (x) > L 2.

21 Limit Fungsi Bernilai Vektor Karena kita mempunyai definisi jarak di R m, maka definisi limit fungsi di suatu titik dapat diperumum untuk fungsi yang bernilai vektor di R m. Misalkan x 0 adalah suatu titik akumulasi dari D R n dan f = (f 1,..., f m ) : D R m. Maka kita definisikan jika dan hanya jika lim f(x) = L R m x x 0 lim f(x) L = 0. x x 0

22 Proposisi 12 lim f(x) = L jika dan hanya jika lim f i (x) = L i untuk x x 0 x x0 i = 1,..., m. Sebagai akibat dari Proposisi 12, teorema limit untuk penjumlahan dan perkalian dengan skalar berlaku untuk fungsi bernilai vektor (namun tidak untuk perkalian dan pembagian karena kedua operasi ini tidak terdefinisi untuk fungsi bernilai vektor).

23 Proposisi 13 (Teorema Limit untuk Hasil Kali Titik) Jika lim x x0 f(x) = L dan lim x x0 g(x) = M, maka lim f(x) g(x) = L M. x x 0

24 Soal Latihan 1 Buktikan Teorema 9 bagian (iii) dan (iv) dengan menggunakan Proposisi 10 dan Buktikan Proposisi Buktikan Proposisi 13.

25 Definisi Limit Sepihak Misal D R dan f = (f 1,..., f m ) : D R m. Misal x 0 titik akumulasi dari D (x 0, ) dan f 0 adalah pembatasan f pada D (x 0, ), yang didefinisikan sebagai f 0 (x) := f(x), x D (x 0, ). Maka, f dikatakan mempunyai limit kanan di x 0 apabila f 0 mempunyai limit di x 0. Dalam hal ini kita tuliskan lim x x + 0 f(x) = lim x x0 f 0 (x) = R atau f(x) R bila x x + 0.

26 Dengan cara serupa, limit kiri di x 0 didefinisikan bila x 0 merupakan titik akumulasi dari D (, x 0 ). Dalam hal ini kita tuliskan atau lim x x 0 f(x) = L f(x) L, bila x x 0. Karena limit kanan dan limit kiri merupakan kasus khusus dari limit fungsi di suatu titik, proposisi dan teorema limit untuk penjumlahan, perkalian dengan skalar, dll, berlaku pula untuk limit sepihak.

27 Fungsi Monoton Misal I adalah suatu interval di R. Fungsi f : I R dikatakan naik [naik murni] pada I apabila untuk x, y I dengan x < y berlaku f (x) f (y) [f (x) < f (y)]. Fungsi f dikatakan turun [turun murni] apabila f naik [naik murni]. Proposisi 14 Misal a < x 0 < b dan I = (a, b). Jika f : I R monoton pada I, maka f mempunyai limit kanan dan limit kiri di x 0.

28 Bukti. Akan dibuktikan jika f naik pada I, maka f mempunyai limit kanan di x 0. Misal R = inf{f (x) : x 0 < x, x I }. Ambil ɛ > 0. Maka, terdapat x 1 I, x 0 < x 1, sedemikian sehingga f (x 1 ) < R + ɛ. Pilih δ = x 1 x 0. Akibatnya, jika 0 < x x 0 < δ, maka R f (x) f (x 1 ) < R + ɛ. Ini menunjukkan bahwa lim x x + 0 f (x) = R. Bukti untuk limit kiri serupa. Demikian pula bukti untuk kasus f turun pada I.

29 Limit di Tak Hingga Untuk fungsi yang terdefinisi pada R, kita dapat mendefinisikan limit di tak hingga sebagai berikut. Misal f = (f 1,..., f m ) : [a, ) R m, untuk suatu a R. Maka, f dikatakan mempunyai limit L R m di apabila untuk setiap ɛ > 0 terdapat M a sedemikian sehingga Dalam hal ini kita tuliskan f(x) L < ɛ untuk x M. atau lim f(x) = L x f(x) L, bila x.

30 Limit di didefinisikan secara serupa. Secara intuitif, f mempunyai limit L di (atau di ) apabila nilai fungsi f(x) mendekati L untuk x yang cukup besar (atau untuk x yang cukup besar). Proposisi 15 Misal f : [a, ) R monoton. Maka, lim x f (x) ada jika dan hanya jika f terbatas pada [a, ). Dalam hal f naik, dan dalam hal f turun, lim f (x) = sup{f (x) : x a}; x lim f (x) = inf {f (x) : x a}. x

31 Bukti (untuk kasus f naik). Misal lim x f (x) = L. Maka terdapat M a sedemikian sehingga untuk x M berlaku f (x) L < 1. Akibatnya f (a) f (x) L + 1 untuk setiap x a. Sebaliknya, misalkan f terbatas di atas pada [a, ). Dalam hal ini, misalkan sup{f (x) : x a} = A. Diberikan ɛ > 0, kita dapat memilih M a sedemikian sehingga f (M) > A ɛ. Akibatnya, untuk x M, kita mempunyai A f (x) f (M) > A ɛ. Ini menunjukkan bahwa lim f (x) = A. x

32 Misal D R n, x 0 titik akumulasi dari D, dan f : D R. Kita tuliskan lim x x 0 f (x) = apabila untuk setiap M R terdapat δ > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x D dengan 0 < x x 0 < δ berlaku f (x) M. Limit dengan nilai didefinisikan secara serupa.

33 Proposisi 16 Misal lim x x0 f (x) =. Misal g : D R terbatas di bawah. Maka, lim x x 0 [f (x) + g(x)] =.

34 Soal Latihan 1 Buktikan Proposisi 14 untuk limit kiri dan untuk kasus f turun. 2 Buktikan Proposisi 15 untuk kasus f turun. 3 Misalkan f : (a, b) R naik dan terbatas. Buktikan bahwa lim f (x) dan lim f (x) ada. x a + x b 4 Buktikan bahwa lim f (x) = jika dan hanya jika untuk x x0 setiap barisan x k di D \ {x 0 } dengan lim x k = x 0 berlaku k lim f (x k) =. k