KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana. Bagian 3. Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR

Transkripsi

1 KALKULUS (IT 131) Fakultas Teknologi Informasi - Universitas Kristan Satya Wacana Bagian 3 Limit & Kontinuitas ALZ DANNY WOWOR

2 Topik yang dibahas A. Limit Fungsi B. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit) C. Kontinuitas

3 A. Limit Fungsi

4 1. Pengertian Limit Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, yang melihat tentang perilaku suatu fungsi mendekati suatu titik tertentu.

5 Contoh 1 Selidikilah perilaku dari fungsi f(x) = x 2 x + 2 untuk x mendekati 2.

6 Perhatikan Tabel berikut memberikan nilai-nilai f(x) untuk x mendekati 2, tetapi tidak sama degan 2.

7 Proses ini, juga dapat dilakukan dengan mengambil nilai x sedekat mungkin dengan 2, hal ini diungkapkan dengan limit fungsi f(x) = x 2 x + 2, jika x mendekati 2 sama dengan 4, Notasinya:

8 Defenisi 1 (Limit fungsi) Diberikan merupakan limit f(x) ketika x mendekati a sama dengan L Jika dapat dibuat nilai f(x) sembarang yang dekat dengan L (sedekat yang kita inginkan), dengan cara mengambil nilai x yang sedekat dengan a, tetapi tidak sama dengan a.

9 2. Hal penting dalam Limit Perhatikan kalimat tetapi x a pada defenisi limit. Hal ini menujukkan bahwa dalam menentukan limit f(x) ketika x mendekati a, tidak pernah dianggap x = a. Bahkan tidak harus terdefenisi pada x = a. Hal yang diperlukan adalah bagaimana f didefenisikan di dekat a

10 Perhatikan ketiga grafik fungsi f(x) berikut:

11 Dari ketiga grafik di atas Bagian (a) f(x) terdefenisi disemua titik Bagian (b) nilai f(a) L Bagian (c), f(a) tidak terdefenisi Pada ketiga kasus di atas, apa pun yang terjadi di titik a,

12 Contoh 2 Carilah nilai Pembahasan: Diketahui fungsi f(x) tifdak terdefenisi pada saat x = 1. Tetepi dengan limit menjadi tidak masalah karena dicari nilai x yang mendekati a.

13 Gambar f(x) dan tabel nilai, Sehingga

14 Contoh 3 Diberikan sebuah fungsi Hitunglah

15 Pembahasan Contoh 3 Gambar dari g(x) adalah Sehingga diperoleh: dan

16 3. Limit Satu Sisi Limit satu sisi merupakan teknik menentukan nilai limit dengan melihat satu sisi (sisi kiri dan kanan) dari fungsi terhadap titik yang didekati.

17 Defenisi 2 Diberikan sebuah fungsi f(x) maka limit f(x) ketika x mendakati a dari kiri dan limit f(x) ketika x mendakati a dari kanan

18 Defenisi 3 Nilai suatu limit f(x) ada, misalanya jika dan hanya jika

19 Contoh 4 Gunakan grafik berikut untuk menyatakan nilai limit berikut (jika ada)

20 Pembahasan Contoh 4 tidak ada

21 Limit Takhingga Untuk menerangkan limit takhingga, dijelaskan melalui contohcontoh berikut.

22 Contoh 5 Carilah jika ada

23 Dibuat tabel Dari tabel, ketika x diambil mendekati 0, f(x) semakin besar. Dengan demikian nilai f(x) tidak mendekati suatu bilangan, sehingga tidak ada

24 Contoh 6 Diberikan fungsi f(x), maka tentukanlah

25 Dari grafik f(x) diperoleh tidak ada

26 2. Perhitungan Limit (menggunakan hukum limit)

27 1. Hukum Limit Andaikan bahwa c adalah konstanta dan dan ada, maka

28 Hukum Limit (tambahan) jika dengan n bilangan bulat positif

29 Hukum Limit (tambahan) dengan n bilangan bulat positif dengan n bilangan bulat positif (Jika n genap, diasumsikan bahwa a > 0) dengan n bilangan bulat positif (Jika n genap, diasumsikan bahwa )

30 Contoh 7 Hitunglah Pembahasan

31 Contoh 8 Hitunglah Pembahasan

32 Defenisi 3 Jika f adalah fungsi polinom atau rasional dan a dalam daerah asal f, maka Catatan: Apabila hasil limit berbentuk, atau yang lainnya maka limit tersebut harus dirasionalkan untuk dihitung kembali.

33 Contoh 9 Hitunglah Pembahasan

34 Contoh 10 Hitunglah jika ada Pembahasan

35 2. Limit menuju dan Pada fungsi polinomial: Pada fungsi rasional: Untuk tiap p(x) dan q(x) membagi variabel berderajat paling tinggi.

36 Contoh 11 Hitunglah Pembahasan:

37 Contoh 12 Hitunglah Pembahasan:

38 3. Kontinuitas

39 Defenisi 4 (kontinuitas) Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika Jika f tidak kontinu di a, maka f disebut diskontinu.

40 Secara eksplisit, defenisi kontinuitas mensyaratkan: 1. f(a) terdefenisi (yaitu a berada di daerah asal f) 2. ada (sehingga f harus terdefenisi pada selang 3. f(a). terbuka yang memuat a)

41 Contoh 13 Dimanakah masing-masing fungsi berikut diskontinu?

42 Pembahasan (contoh 13) a) Perhatikan bahwa f(2) tidak terdefenisi, maka f diskontinu pada x = 2. b) Disini f(0) = 1, terdefenisi. Tetapi tidak ada, maka f diskontinu di x = 0.