Matematika

Transkripsi

1 Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia

2 Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat dicapai dalam praktiknya. 2 Ahli ekonomi yang berbicara mengenai keuntungan dalam kondisi ideal atau engineer yang menggambarkan spesifikasi ideal dari suatu mesin, sesungguhnya sedang berurusan dengan perilaku it. Proses it merupakan suatu perilaku dari sebuah fungsi f(x) sebagaimana x mendekati suatu nilai konstan c yang mungkin termasuk atau tidak termasuk dalam domain f.

3 f(x), x mendekati c sama dengan L, ditulis f(x) = L jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi x c, maka f(x) mendekati L.

4 Secara geometris, pernyataan it f(x) = L berarti bahwa ketinggian grafik y = f(x) mendekati L seiring x mendekati c.

5 Contoh 1 Tentukan nilai dari Solusi: x 1 x 1 x 1 Nilai f(x) mendekati 0.5 ketika x mendekati 1, maka x 1 x 1 = 0.5 x 1

6 Perlu diperhatikan bahwa it menggambarkan perilaku dari suatu fungsi yang mendekati suatu titik tertentu, belum tentu pada titik itu sendiri.

7 Perilaku Fungsi di mana x 3 f(x) = 4

8 Grafik berikut menunjukkan dua fungsi yang tidak memiliki it ketika x mendekati 2.

9 Jika f(x) dan g(x) ada, maka 1 [f(x) ± g(x)] = f(x) ± g(x) 2 [kf(x)] = k f(x), untuk suatu k konstan 3 [f(x)g(x)] = [ f(x)][ g(x)] f(x) 4 g(x) = f(x) g(x), jika g(x) 0 5 [f(x)] p = [ f(x)] p, jika [ f(x)] p ada

10 Contoh 2 a. Tentukan x 2 (2x 2 7x + 6). x 2 (2x2 7x + 6) = 2x 2 7x + 6 x 2 x 2 x 2 = 2 x 2 7 x + 6 x 2 x 2 x 2 ( ) 2 = 2 x 7x + 6 x 2 x 2 x 2 = = 0

11 b. Tentukan x 1 7x 2x 1 7x 2x 1 = 7x 2x 1 x 1 x 1 x 1 ( ) = 7 x (2x 1) x 1 x 1 = (7 1) = 7

12 Dua Fungsi Linier Dua Fungsi Linier Untuk suatu k konstan, k = k dan x = c yaitu, it dari suatu konstan adalah konstan itu sendiri, dan it dari fungsi f(x) = x bilamana x mendekati c adalah c.

13

14 Polinomial Polinomial Jika p(x) dan q(x) adalah polinomial, maka p(x) = p(c) dan p(x) q(x) = p(c), jika q(c) 0 q(c)

15 Contoh 3 1 Tentukan Solusi: x 1 x 2 1 x 1 x 2 1 x 2 3x+2 x 2 3x+2 = 2 Tentukan Solusi: x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1 x+1 = 1 2 x 1 x 1 x 1 (x 1)(x+1) (x 1)(x 2) = x+1 x 1 x 2 = 2 1 = 2 = ( x 1)( x+1) x 1 (x 1)( = x+1) x 1 x 1 (x 1)( x+1) =

16 Kanan dan Kiri Kanan f(x) = L berarti bahwa bilamana x mendekati c dari kanan, + maka f(x) dekat dengan L. Kiri f(x) = L berarti bahwa bilamana x mendekati c dari kiri, maka f(x) dekat dengan L.

17 Teorema 1 Akibat f(x) = L jika dan hanya jika f(x) = f(x) = L. + Jika f(x) f(x) maka f(x) tidak ada. +

18 Contoh 4 Tentukan x 1 f(x) jika ada, dengan f(x) = Solusi: Untuk x < 1, f(x) = 2x 1, maka Untuk x > 1, x 1 { 2x 1, x < 1 x 3, x > 1 f(x) = 1) = 1 (2x x 1 f(x) = x 1 + x 1 x3 = 1 + Karena f(x) = 1 = f(x), maka f(x) = 1. x 1 x 1 + x 1

19 Contoh 5 Tentukan f(x) di mana f(x) = x x 0 x. Solusi: Fungsi f(x) { mempunyai dua nilai yaitu: 1, x < 0 f(x) = 1, x > 0 diperoleh f(x) = 1 dan f(x) = 1, maka f(x) tidak x 0 x 0 + memiliki it ketika Atina Ahdika, x mendekati S.Si, M.Si 0.

20 Latihan 1 1 x 2 4 x 2 x 2 2 x 3 4x 2 +x+6 x 1 x+1 3 x 3 x 9 x 9 4 x 2 3x+2 x 2 x x 1 x 1 x 1 6 x 2 x 3 +8 x 4 16

21 Menuju Tak Hingga Menuju Tak Hingga Jika nilai dari f(x) mendekati L ketika x bertambah tanpa batas, Sama halnya dengan f(x) = L x + f(x) = M x jika nilai fungsi f(x) mendekati M ketika x turun tanpa batas.

22 Secara geometrik ditunjukkan oleh grafik berikut

23 Reciprocal Power Rules (Aturan Pangkat Berbanding Terbalik) Jika A dan k adalah konstanta dengan k > 0 dan x k berlaku untuk semua x, maka x + A x k = 0 dan x A x k = 0

24 Langkah Pengerjaan Menuju Tak Hingga dari f(x) = p(x) q(x) 1 Bagi masing-masing komponen pada f(x) dengan pangkat terbesar dari x k yang muncul pada penyebut polinomial q(x) 2 Hitung x + f(x) atau x aljabar it dan reciprocal power rules f(x) menggunakan sifat-sifat

25 Contoh 6 Hitunglah Jawab: 2x 2 +3x+1 x + 3x 2 5x+2 2x 2 + 3x + 1 x + 3x 2 5x + 2 = x + 1 x 2 x x + 2 x 2 = = 2 3

26 Tak Hingga Tak Hingga Suatu f(x) disebut it tak hingga naik atau turun tanpa adanya batas x c, dapat ditulis f(x) = + Jika f(x) naik tanpa batasan seperti x c f(x) = Jika f(x) turun tanpa batasan seperti x c

27 Contoh 7 Hitunglah Jawab: x 3 +2x+1 x + x 3 x 3 + 2x + 1 = x + x 3 x + x3 x + 2x x + 1 x x x 3 x x x = x x =

28 Suatu fungsi f(x) dikatakan kontinu di x = c jika memenuhi tiga kondisi sebagai berikut: 1 f(c) terdefinisi/ada 2 f(x) ada 3 f(x) = f(c) Jika f(x) tidak kontinu di x = c, maka f(x) dikatakan diskontinu di titik tersebut.

29 Contoh 8 Tunjukkan bahwa f(x) = x+1 x 2 kontinu di x = 3 Penyelesaian: 1 f(3) = = 4, ada 2 x+1 f(x) = x 3 x 3 3 x 3 f(x) = 4 = f(3) x 2 = f(x) kontinu di titik x = 3. x = 4, ada

30 Contoh 9 Periksa kekontinuan Penyelesaian: f(x) = 1 f(1) = 2 1 = 1, ada { x + 1, x < 1 2 x, x 1 2 f(x) = x + 1 = = 2 dan x 1 x 1 f(x) = 2 x = 2 1 = 1. Karena x 1 + x 1 + f(x) f(x), maka f(x) tidak ada + x 1 x 1 f(x) diskontinu di x = 1 x 1

31 Latihan 2 1. Periksa kekontinuan fungsi-fungsi berikut: a. f(x) = x 2 { x 4 di x = 4 x 2 + 1, x 3 b. f(x) = di x = 3 2x + 4, x > 3

32 2. Misalkan temperatur udara pada hari tertentu adalah 30 F. Kemudian, temperatur yang diakibatkan oleh angin (dalam F ) dengan kecepatan v mph, diberikan dengan rumus berikut 30, 0 v 4 W (v) = 1.25v v , 4 < v < 45 7, v 45 a. Berapakah temperatur yang diakibatkan angin dengan v = 20mph? Ketika v = 50mph? b. Berapakah kecepatan yang dihasilkan oleh angin dengan temperatur 0 F? c. Apakah fungsi W (v) kontinu di v = 4? Bagaimana dengan v = 45?