BAB II KAJIAN TEORI. memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri
|
|
- Hendra Iskandar
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II KAJIAN TEORI Analisis kekonvergenan pada barisan fungsi, apakah barisan fungsi itu? Apakah berbeda dengan barisan pada umumnya? Tentunya sebelum membahas mengenai barisan fungsi, apa saja jenis kekonvergenannya, dan bagaimana sifat-sifat dari barisan fungsi yang konvergen, terlebih dahulu harus memahami hal yang berkaitan dengan barisan fungsi seperti barisan, jenis-jenis fungsi, dan tentunya materi-materi yang akan mendukung untuk memahami sifat-sifat dari barisan fungsi. Pada bab ini akan diuraikan materimateri berupa definisi dan teorema yang akan dijadikan sebagai acuan untuk membahas mengenai barisan fungsi, antara lain himpunan terbatas, supremum infimum, sifat Archimedes, barisan, fungsi kontinu, diferensial, partisi dan integral Riemann. A. Himpunan Terbatas, Supremum Infimum dan Sifat Archimedes Sebelum membahas mengenai barisan ada beberapa materi yang harus dipahami dan nantinya akan mempermudah dalam memahami barisan, diantaranya mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan sifat Archimedes (Archimedean properties). Di bawah ini terdapat definisi yang disampaikan oleh ahli mengenai himpunan terbatas, supremum infimum dan sifat Archimedes. 4
2 1. Himpunan Terbatas Definisi 2.1: (Bartle & Sherbert, 2000: 35) Andaikan suatu himpunan tak kosong subset dari. 1) dikatakan terbatas atas jika ada bilangan sedemikian sehingga untuk setiap. Bilangan disebut juga sebagai batas atas dari 2) dikatakan terbatas bawah jika ada bilangan sedemikian sehingga untuk setiap. Bilangan disebut juga sebagai batas bawah dari 3) dikatakan terbatas jika terbatas atas dan terbatas bawah. Untuk lebih mudah memahami diberikan contoh, Contoh 2.1 : misalkan himpunan { }. { } Nilai maksimum dari adalah, untuk sebarang bilangan riil maka ada bilangan yang lebih besar dari. Jadi, terbatas atas. Nilai minimum dari tidak dapat didefinisikan karena nilai merupakan himpunan semua bilangan asli, akan tetapi nilai himpunan tersebut akan selalu lebih besar dari bilangan ( ). Hal ini menyebabkan memiliki batas bawah, maka terbatas bawah. Jadi, merupakan himpunan yang terbatas. 5
3 2. Supermum dan Infimum Misal adalah himpunan tak kosong subset dari 1) Supremum Definisi 2.2 : (Bartle & Sherbert, 2000: 35) Andaikan merupakan himpunan tak kosong yang terbatas atas, maka bilangan dikatakan sebagai supremum (batas atas terkecil) dari, jika memenuhi : i. adalah batas atas dari, dan ii. Jika adalah batas atas yang lainnya dari, maka. Nilai supremum dari suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan. 2) Infimum Definisi 2.3 : (Bartle & Sherbert, 2000: 36) Andaikan merupakan himpunan tak kosong yang terbatas bawah, maka bilangan dikatakan sebagai infimum (batas bawah terbesar) dari, jika memenuhi : i. adalah batas bawah dari, dan ii. Jika adalah batas bawah yang lainnya dari, maka. Nilai infimum dari suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan. 6
4 Contoh 2.2 : Misalkan { }. Nilai minimum dari himpunan tersebut adalah dan ada bilangan riil yang lebih kecil dari maka himpunan memiliki batas bawah. Bilangan 0 merupakan batas bawah karena untuk semua elemen himpunan tidak ada yang lebih kecil dari. Bilangan juga batas bawah terbesar dari himpunan tersebut karena untuk batas bawah yang lainnya lebih kecil dari atau dengan kata lain. Himpunan tidak memiliki nilai maksimum akan tetapi himpunan memiliki batas atas karena nilai dari anggota himpunan kurang dari atau dengan kata lain bilangan merupakan batas atas dari himpunan. Bilangan juga merupakan batas atas terkecil dari himpunan, hal ini terlihat dari tidak ada bilangan riil yang lebih kecil dari yang merupakan batas atas dari himpunan dan bukan anggota dari himpunan Atau dengan kata lain. 3. Sifat Archimedes Sifat Archimedes (Archimedean Property) digunakan untuk menunjukkan bahwa himpunan bilangan asli tidak terbatas atas pada himpunan bilangan riil. Atau dengan kata lain untuk setiap bilangan riil ada bilangan asli (yang bergantung pada ), sedemikian sehingga. Di bawah ini akan dijelaskan mengenai sifat Archimedes dan akibatnya. 7
5 Sifat Archimedes. (Bartle & Sherbert, 2000; 40) Jika, maka ada sedemikian sehingga. Bukti Andai pernyataan di atas bernilai salah maka untuk semua. Hal tersebut juga mengatakan bahwa merupakan batas atas dari. merupakan himpunan tak kosong mempunyai suatu supremum yaitu. merupakan supremum dari, dengan megurangkan nilai dengan 1 maka selalu lebih kecil dari. bukan batas atas dari, maka ada dengan. Tambahkan kedua ruas dengan, didapatkan, karena maka bukan batas atas dari. Faktanya merupakan supremum dari, terjadi kotradiksi maka pengandaian harus dinegasikan. Terbukti Jika, maka ada sedemikan sehingga. Akibat 2.4 : (Bartle & Sherbert, 2000: 40) Jika { }, maka. Bukti merupakan himpunan tak kosong dan terbatas bawah oleh, himpunan memiliki infimum dan misal, maka. Sifat Archimedes mengatakan, untuk setiap maka ada 8
6 sedemikian sehingga atau dengan kata lain. Dari pernyataan-pernyataan tersebut diperoleh Nilai yang memenuhi adalah. Akibat 2.5 : (Bartle & Sherbert, 2000: 40) Jika, maka ada sedemikian sehingga. Bukti Nilai dari { } dan, maka bukan batas bawah dari himpunan tersebut. Maka ada sedemikian sehingga B. Barisan Barisan fungsi, kata pertama dari kata benda tersebut adalah barisan. Tentunya sebelum mengenal barisan fungsi terlebih dahulu harus mengenal barisan. Apa itu barisan? Untuk memudahkan pemahaman mengenai barisan, di bawah ini terdapat definisi dari beberapa ahli mengenai barisan Definisi 2.6 : (Bartle & Sherbert, 2000: 53) Barisan bilangan riil (barisan pada ) adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli { } dimana range termuat dalam himpunan bilangan riil. 9
7 Jika adalah barisan, nilai dari pada dinotasikan dengan. Nilai disebut dengan elemen dari barisan. Suatu barisan dinotasikan dengan { }, dengan adalah bilangan ke- dari { } dan dituliskan. Contoh sederhana dari barisan bilangan riil adalah { } { } { }. Telah dijelaskan pada bagian di atas mengenai suatu barisan, selain itu barisan juga memiliki sifat-sifat, tentunya perlu dipahami juga karakter dari suatu barisan jika kita ingin mengenal barisan fungsi. Apakah barisan tersebut konvergen atau divergen? Apa itu barisan monoton dan subbarisan? Ada beberapa definisi yang telah dijelaskan oleh para ahli mengenai hal tersebut, diantaranya sebagai berikut. 1. Barisan Konvergen Definisi 2.7: (Bartle & Sherbert, 2000: 54) Barisan { } pada kovergen ke atau merupakan limit dari { }, jika untuk setiap terdapat suatu bilangan asli sedemikian sehingga untuk semua, memenuhi. Jika nilai limit barisan untuk ( ), maka barisan tersebut konvergen dan sebaliknya jika barisan tidak mempunyai limit, maka barisan tersebut divergen. Contoh 2.3 : Suatu barisan bilangan riil dengan rumus { } { }. Barisan { } { } konvergen menuju, karena jika diberikan ada 10
8 sedemikian sehingga untuk semua nilai. 2. Barisan Divergen Definisi 2.8 : (Kosmala, 2004 : 81) Suatu barisan { } divergen ke jika dan hanya jika untuk sebarang, ada sedemikian sehingga untuk semua. Atau dapat dituliskan. Misal { } suatu barisan dengan rumus { } { }, menurut sifat Archimedes untuk sebarang, ada sedemikian sehingga, sedangkan nilai maka nilai untuk semua yang artinya barisan { } divergen. Teorema 2.9 : (Kosmala, 2004 : 83) Misal { } adalah sebuah barisan, dengan. Barisan { } divergen ke jika dan hanya jika barisan { } konvergen ke. Bukti : 1) Misal { } adalah sebuah barisan, dengan. Jika { } divergen ke maka barisan { } konvergen ke { } divergen ke jika dan hanya jika untuk setiap, ada sedemikian sehingga untuk semua. Ambil sebarang. Barisan { } divergen ke maka 11
9 Terbukti { } konvergen ke. 2) Misal { } adalah sebuah barisan, dengan. Jika barisan { } konvergen ke maka { } divergen ke. Barisan { } konvergen ke, jika diberikan ada sedemikian sehingga untuk semua berlaku Nilai, dimana untuk semua maka divergen ke. Teorema 2.10 : (Kosmala, 2004 : 82) Jika suatu barisan { } divergen ke dan untuk semua, maka barisan { } sudah pasti divergen ke. 12
10 Bukti Andai { } konvergen ke maka, untuk semua. Nilai untuk semua, artinya { } konvergen menuju. Terjadi kontradiksi maka pengandaian harus dinegasikan, yaitu { } divergen menuju. 3. Subbarisan Definisi 2.11 : (Bartle & Sherbert, 2000: 75 ) Misal { } adalah barisan bilangan riil dan adalah barisan bilangan asli yang naik tegas. { } dimana { } Maka dikatakan sebagai subbarisan dari. Contoh subbarisan dari barisan, { } Pilih untuk bernilai genap, maka didapat barisan baru { } Barisan merupakan subbarisan dari, dimana,,. 13
11 Teorema 2.12 : (Bartle & Sherbert, 2000: 76) Jika barisan bilangan real { } konvergen ke bilangan real maka setiap subbarisan { } dari juga konvergen ke Bukti Jika diberikan maka ada sedemikian sehingga jika maka. Karena adalah barisan naik dari bilangan asli maka. Di samping itu, jika maka kita juga mempunyai maka. Atau dengan kata lain subbarisan { } konvergen ke. Teorema 2.13 : (Bartle & Sherbert, 2000: 76) Jika { } merupakan barisan bilangan real. Pernyataanpernyataan berikut saling ekuivalen (i) Barisan { } tidak konvergen ke (ii) Ada suatu sedemikian sehingga untuk setiap, ada sedemikian sehingga dan (iii) Ada dan suatu subbarisan { } dari sedemikian sehingga Bukti (i) (ii) Jika { } tidak konvergen ke, maka untuk beberapa tidak memungkinkan ditemukan suatu bilangan asli sedemikian 14
12 sehingga untuk semua syarat memenuhi. Oleh karena itu, untuk setiap pertidaksamaan tidak benar untuk semua terpenuhi. Atau dengan kata lain, untuk setiap ada bilangan asli sedemikian sehingga. (ii) (iii) Diberikan seperti pada kondisi (ii) dan diberikan sedemikian sehingga dan. Kemudian diberikan sedemikian sehingga dan. Dengan cara yang sama didapatkan subbarisan { } dari sedemikian sehingga untuk semua. (iii) (i) Jika { } memiliki subbarisan { } memenuhi kondisi poin (iii). Maka tidak dapat konvergen ke, menurut teorema 2.12 Jika konvergen menuju maka subbarisan juga konvergen menuju Hal ini tidak mungkin terjadi, karena tidak ada kondisi yang memenuhi. 4. Barisan Cauchy Definisi 2.14 : (Bartle & Sherbert, 2000: 81) Suatu barisan bilangan riil ada bilangan asli disebut Barisan Cauchy jika untuk setiap sedemikian sehingga untuk semua bilangan asli maka kondisi memenuhi. 15
13 Contoh 2.14 : Suatu barisan { } { }. Jika diberikan, menurut sifat archimedes maka ada bilangan asli sedemikian sehingga untuk kita mempunyai dan. Maka untuk nilai diperoleh Terbukti { } merupakan barisan Cauchy C. Kekontinuan Fungsi Fungsi kontinu merupakan suatu konsep yang akan sering digunakan dalam bahasan kita selanjutnya, baik dalam diferensial, integral maupun dalam mengidentifikasi sifat-sifat dari barisan fungsi. Oleh karena itu, kita perlu memahami apa yang dimaksud kekontinuan dari suatu fungsi. Akan tetapi sebelum membicarakan mengenai fungsi kontinu, akan dikenalkan terlebih dahulu mengenai cluster point dan limit dari suatu fungsi. Di bawah ini terdapat definisi dari ahli mengenai cluster point, limit fungsi dan fungsi kontinu. Definisi 2.15 : (Bartle & Sherbert, 2000: 97) Misalkan. Titik adalah cluster point dari jika untuk setiap ada sedikitnya satu titik, sedemikian sehingga. 16
14 Definisi 2.16 : (Bartle & Sherbert, 2000: 98) Misalkan, dan merupakan cluster point dari. Untuk suatu fungsi, suatu bilangan riil dikatakan limit dari fungsi di, jika diberikan ada sedemikian sehingga jika dan, maka. Definisi 2.17 : (Bartle & Sherbert, 2000: 120) Misalkan, dan. Fungsi kontinu pada jika diberikan sebarang, ada sedemikian sehingga jika adalah sembarang titik pada yang memenuhi, maka. Kondisi tersebut mirip dengan definisi limit (definisi 2.16) sedemikian sehingga fungsi kontinu dapat didefinisikan merupakan fungsi kontinu di jika dan hanya jika. Jika fungsi tidak kontinu pada, maka diskontinu pada. Contoh 2.5 : Misalkan suatu fungsi dengan rumus pada. Jika diberikan ada sedemikian sehingga jika, maka dan kita pilih sedemikian sehingga. Fungsi kontinu pada, D. Diferensial Definisi 2.18 : (Kosmala, 2004: 184) Suatu fungsi dengan, adalah titik akumulasi dari, dan. Derrivatif dari pada didefinisikan 17
15 Jika limitnya ada maka dapat dikatakan terdiferensial pada. Definisi 2.19 : (Varbeg and Purcell, 2010: 163) Turunan fungsi adalah fungsi lain (dibaca aksen ) yang nilainya pada sembarang bilangan adalah Asalkan nilai limitnya ada Contoh 2.6 :. Suatu fungsi, terdefinisi dengan. Nilai dari adalah Nilai dari, karena merupakan nilai yang berhingga maka dapat dikatakan terdiferensial pada. Teorema 2.20 : (Brannan, 2006: 212) Misal fungsi terdefinisi pada interval terbuka, dan Jika terdiferensial di, maka juga kontinu di Bukti Fungsi terdiferensial di, maka 18
16 Dari persamaan di atas diperoleh { } { } { } { } { } Nilai limit untuk sama dengan nilai atau dengan kata lain fungsi kontinu di. Teorema 2.21 : (Goldberg, 1976: 200) Misal adalah fungsi kontinu bernilai riil pada interval tertutup dan terbatas. Jika nilai maksimum dari terdapat pada titik, dimana, dan jika ada maka. Bukti Andai nilai. Jika maka Untuk dimana merupakan bilangan positif. Pilih maka sedemikian sehingga nilai dari 19
17 atau. Terjadi kontradiksi dimana nilai maksimum dari fungsi berada pada titik. Jika maka Untuk dimana merupakan bilangan positif. Pilih maka sedemikian sehingga nilai dari atau. Terjadi kontradiksi dimana nilai maksimum dari fungsi berada pada titik. Nilai dari tidak mungkin lebih besar atau lebih kecil dari, jadi nilai. Teorema 2.22 (Teorema Rolle) : (Goldberg, 1976: 200) Misal adalah fungsi kontinu bernilai riil pada interval tertutup dan terbatas, dengan. Jika terdiferensial untuk semua, maka ada suatu titik dimana. Bukti Jika bernilai pada interval, ada titik maka sedemikian sehingga Terbukti jika fungsi bernilai pada interval. 20
18 Jika untuk, maka pada interval tersebut fungsi memiliki nilai maksimum pada suatu titik dan tentunya nilai maksimum fungsi bukan pada titik atau karena. Misal titik maksimum fungsi adalah dan fungsi terdiferensial pada, menurut teorema 2.21 maka nilai dari. Teorema 2.23 (Teorema Nilai Rata-Rata) : (Goldberg, 1976: 203) Jika adalah fungsi kontinu pada interval tertutup terbatas dan jika ada untuk semua, maka ada sedemikian sehingga Bukti Kita definisikan suatu fungsi sebagai berikut Subtitusi nilai Subtitusi nilai Akan ditunjukkan terdiferensial pada interval, ambil sebarang pada interval 21
19 terdiferensial pada interval, sedemikian sehingga Fungsi terdiferensial pada interval, menurut teorema 2.18 maka juga kontinu pada interval. Fungsi kontinu, terdiferensial pada interval dan, menurut teorema Rolle s maka ada suatu titik sedemikian sehingga E. Partisi dan Integral Riemann 1. Partisi Definisi 2.24 :(Bartle & Sherbert, 2000: 145) Suatu partisi dari suatu interval adalah suatu himpunan dengan { } merupakan himpunan dari interval tertutup yang tidak saling tumpang tindih dan gabungan dari interval-interval 22
20 tersebut adalah interval. Interval-interval tersebut dinotasikan dengan, dimana Titik-titik merupakan titik partisi dari. Jika dipilih sebuah titik dari masing-masing interval, untuk maka titik-titik disebut juga dengan (label) dan himpunan interval dengan pasangan-pasanganya { } { } disebut juga tagged partition dari. 2. Integral Riemann Definisi 2.25 :(Bartle & Sherbert, 2000: 196) Suatu fungsi dikatakan terintegral secara Riemann pada jika ada suatu bilangan sedemikian sehingga untuk setiap ada sedemikian sehingga jika suatu tagged partition dari dengan maka ( ). ( )atau sering disebut Riemann Sum (Penjumlahan Riemann) didefinisikan sebagai berikut ( ) Definisi tersebut secara tidak langsung mengatakan bahwa merupakan limit dari ( ) untuk nilai (partisi semakin halus). 23
21 Himpunan yang terintegral secara Riemann dinotasikan dengan. merupakan sutau bilangan tertentu sering juga disebut integral Riemann dari di. Biasa juga ditulis atau. Contoh 2.7 : Fungsi pada interval merupakan fungsi yang terintegral secara Riemann. Hal tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut misal untuk adalah partisi dari dan kita pilih label dari interval yaitu yang merupakan titik tengah dari dimana, sedemikian sehingga didapatkan dengan { } untuk, maka didapatkan jumlahan Riemann ( ) Misalkan { } untuk merupakan partisi berlabel yang lainnya pada interval dengan sedemikian sehingga untuk. Misalkan dan mempunyai titik- 24
22 titik partisi yang sama, merupakan titik tengah dari interval dan juga terdapat dalam interval sedemikian sehingga. Menggunakan ketaksamaan segitiga ( ) ( ) Karena ( ), maka ( ) ( ) ( ) Nilai. Pilih sedemikian sehingga ( ) Atau dengan kata lain dan. Teorema 2.26 (Teorema Fundamental Kalkulus) : (Bartle & Sherbert, 2001: 210) Suatu fungsi pada dan pada interval,, dimana : (a) (b) (c) kontinu pada interval untuk semua terintegral secara Riemann 25
23 Maka Bukti Diberikan, karena terintergral secara Riemann ( ) maka ada sedemikian sehingga jika adalah tagged partition dari dengan, maka ( ) Jika subinterval-subinterval pada adalah, dengan mengaplikasikan teorema nilai rata-rata pada fungsi, ada sedemikian sehingga Kita jumlahkan nilai dari untuk Fungsi didefinisikan pada interval maka Sedemikian sehingga 26
24 Misalkan merupakan tagged partition dimana adalah untuk subinterval-subinterval pada, maka { } untuk, sedemikian sehingga ( ) Jadi ( ) ( ), diperoleh Atau dapat dikatakan Terbukti bahwa 27
II. LANDASAN TEORI ( ) =
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Definisi 2.1.1 Fungsi Bernilai Real Fungsi bernilai real adalah fungsi yang domain dan rangenya adalah himpunan bagian dari real. Definisi 2.1.2 Limit Fungsi Jika adalah suatu
Lebih terperinciBAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi
BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan
Lebih terperinciANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI
34 Jurnal Matematika Vol 6 No 1 Tahun 2017 ANALISIS KEKONVERGENAN PADA BARISAN FUNGSI THE CONVERGENCE ANALYZE ON THE SEQUENCE OF FUNCTION Oleh: Restu Puji Setiyawan 1), Dr. Hartono 2) Program Studi Matematika,
Lebih terperinciBAB III INTEGRAL LEBESGUE. Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh
BAB III INTEGRAL LEBESGUE Pada bab sebelumnya telah disebutkan bahwa ruang dibangun oleh fungsi-fungsi terukur dan memenuhi sifat yang berkaitan dengan integral Lebesgue. Kajian mengenai keterukuran suatu
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan
BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab Landasan Teori ini akan dibahas mengenai definisi-definisi, dan teorema-teorema yang akan menjadi landasan untuk pembahasan pada Bab III nanti, diantaranya: fungsi komposisi,
Lebih terperinciBAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Permasalahan Ilmu pengetahuan merupakan hal yang mengalami perkembangan secara terus-menerus. Diantaranya teori integral yaitu ilmu bidang matematika analisis yang
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS REAL
Seri Analisis dan Geometri No. 1 (2009), -15 158 (173 hlm.) PENGANTAR ANALISIS REAL Oleh Hendra Gunawan Edisi Pertama Bandung, Januari 2009 2000 Dewey Classification: 515-xx. Kata Kunci: Analisis matematika,
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann. Sebagaimana telah diketahui, pengkonstruksian integral Riemann dilakukan dengan cara pemartisian
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit Limit, supremum, dan infimum Titik limit 3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3
Lebih terperinciBAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE. Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada
BAB III FUNGSI TERUKUR LEBESGUE Setelah dibahas mengenai ukuran Lebesgue dan beberapa sifatnya pada Bab II, selanjutnya pada bab ini akan dipelajari gagasan mengenai fungsi terukur Lebesgue. Gagasan mengenai
Lebih terperinci5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real
5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui
Lebih terperinciFUNGSI KONTINU. sedemikian sehingga jika x adalah titik dari A (c), maka f (x) berada pada Vg (f (c)). (Lihat Gambar 5.1.1).
FUNGSI KONTINU 51 FUNGSI KONTINU 511 Definisi A R, f: A R, dan c A Kita mengatakan bahwa f kontinu di c jika, diberi persekitaran Vg (f (c)) dari f (c) terdapat persekitaran (c) dari c sedemikian sehingga
Lebih terperinciF. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR
F. RANCANGAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR No. (TIU) : 1. Pendahuluan Mahasiswa dapat memahami pengertian dan konsep himpunan, fungsi dan induksi matematik, mampu menerapkannya dalam penyelesaian soal dan
Lebih terperinciYOHANA SUWANDI NIM 83950
INTEGRAL MCSHANE TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains YOHANA SUWANDI NIM 83950 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI
Lebih terperinciCATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT
CATATAN KULIAH ANALISIS REAL LANJUT May 26, 203 A Lecture Note Acknowledgement of Sources For all ideas taken from other sources (books, articles, internet), the source of the ideas is mentioned in the
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun dari berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciHUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL
HUBUNGAN LIMIT FUNGSI DAN LIMIT BARISAN PADA TOPOLOGI REAL Ukhti Raudhatul Jannah Program Studi Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Madura Alamat Jalan Raya Panglegur 3,5 KM Pamekasan Abstrak: Tulisan
Lebih terperinciBAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS
BAB III SUB BARISAN DAN TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS Dalam bab ini akan kita bahas pengertian tentang sub barisan dari barisan bilangan real, yang lebih umum dibandingkan ekor suatu barisan, serta dapat
Lebih terperinciBAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciMemahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
Lebih terperinciADLN Perpustakaan Universitas Airlangga SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH
SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI SITI MAISYAROH PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012 SIFAT JARAK PADA RUANG METRIK SKRIPSI Sebagai
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinci03/08/2015. Sistem Bilangan Riil. Simbol-Simbol dalam Matematikaa
0/08/015 Sistem Bilangan Riil Simbol-Simbol dalam Matematikaa 1 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa Simbol-Simbol dalam Matematikaa 4 0/08/015 Simbol-Simbol dalam Matematikaa 5 Sistem bilangan N :
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciBAGIAN PERTAMA. Bilangan Real, Barisan, Deret
BAGIAN PERTAMA Bilangan Real, Barisan, Deret 2 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 3 0. BILANGAN REAL 0. Bilangan Real sebagai Bentuk Desimal Dalam buku ini pembaca diasumsikan telah mengenal dengan
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinci3 LIMIT DAN KEKONTINUAN
Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan,
Lebih terperinciasimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Lebih terperinciEKSISTENSI SUPREMUM DAN INFIMUM DENGAN TEOREMA CANTOR DEDEKIND. Nursiya Bito. Staf Dosen Jurusan Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo
EKSISTENSI SUPREMUM DAN INFIMUM DENGAN TEOREMA CANTOR DEDEKIND Nursiya Bito Staf Dosen Jurusan Matematika dan IPA Universitas Negeri Gorontalo ABSTRACT In this paper, we will try to proof existence of
Lebih terperinciDEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1. Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS. Abstrak
DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1 An-2 1. PENDAHULUAN Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS Abstrak Tujuan dari tulisan ini adalah membahas tentang integral Lebesgue
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciURAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN
Pertemuan ke-: 10, 11, dan 12 Penyusun : Kosim Rukmana Materi: Barisan Bilangan Real 7. Barisan dan Limit Barisan 6. Teorema Limit Barisan 7. Barisan Monoton URAIAN POKOK-POKOK PERKULIAHAN 7. Barisan dan
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4.2 Sifat-Sifat Fungsi Kontinu Diberikan f dan g, keduanya terdefinisi pada himpunan A, kita definisikan f + g, f g, fg, f/g secara
Lebih terperinciKONSTRUKSI SISTEM BILANGAN
KONSTRUKSI SISTEM BILANGAN KEVIN MANDIRA LIMANTA 1. Konstruksi Aljabar 1.1. Bilangan Natural. Himpunan bilangan paling primitif adalah bilangan natural N, yang dicacah dengan aturan sebagai berikut: (1)
Lebih terperinciCARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL (SUATU KAJIAN TEORITIS)
CARA LAIN PEMBUKTIAN TEOEMA ARZELA-ASCOLI DAN HUBUNGANNYA DENGAN EKSISTENSI PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL SUATU KAJIAN TEORITIS) Sufri Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Jambi Kampus
Lebih terperinciHUKUM ITERASI LOGARITMA. TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM.
HUKUM ITERASI LOGARITMA TUGAS AKHIR untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar sarjana sains SORTA PURNAWANTI NIM. 00290 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciANALISIS VARIABEL REAL 2
2012 ANALISIS VARIABEL REAL 2 www.alfirosyadi.wordpress.com UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 1/1/2012 IDENTITAS MAHASISWA NAMA : NIM : KELAS : KELOMPOK : 2 PENDAHULUAN Modul ini disusun untuk membantu mahasiswa
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI SISTEM BILANGAN REAL. Sifat Aljabar Bilangan Real......................2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real.............4 Supremum
Lebih terperinciSifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji
Sifat Barisan Subhimpunan Tutup di Ruang Metrik yang Completion-nya adalah Ruang Atsuji Hendy Fergus A. Hura 1, Nora Hariadi 2, Suarsih Utama 3 1 Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424,
Lebih terperinci16. BARISAN FUNGSI. 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik
16. BARISAN FUNGSI 16.1 Barisan Fungsi dan Kekonvergenan Titik Demi Titik Bila pada bab-bab sebelumnya kita membahas fungsi sebagai sebuah objek individual, maka pada bab ini dan selanjutnya kita akan
Lebih terperinciDaftar Isi 3. BARISAN ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 29, 2011 Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori penelitian ini. 2. Konsep Dasar Graf Teori dasar mengenai graf
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral merupakan salah satu konsep penting dalam matematika dan banyak aplikasinya. Dalam kehidupan sehari-hari integral dapat diaplikasikan dalam berbagai
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. dan Integral Bawah Darboux, Integral Darboux, Teorema Bolzano Weierstrass,
II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa konsep mendasar meliputi Integral Atas dan Integral Bawah Darboux, Integral Darboux, Teorema Bolzano Weierstrass, serta teorema-teorema yang mendukung
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab II ini dibahas teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu tentang Persamaan Nonlinier, Metode Newton, Aturan Trapesium, Rata-rata Aritmatik dan
Lebih terperinci) dengan. atau sub barisan (subsequences) dari X ,,,..., kemudian dipilih hasil index barisan Contoh, jika X =
Section 3.4 Barisan Bagian dan Teorema Bolzano Weierstrass Di bagian ini kita akan diberikan konsep dari barisan bagian dari barisan bilangan real. Secara informal, barisan bagian dari barisan adalah satu
Lebih terperinciUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,
DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.
Lebih terperinciANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ANALISIS REAL 1 SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta salam
Lebih terperinciBAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN
BAB I TEOREMA TEOREMA LIMIT BARISAN Definisi : Barisan bilangan real X = (x n ) dikatakan terbatas jika ada bilangan real M > 0 sedemikian sehingga x n M untuk semua n N. Catatan : X = (x n ) terbatas
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut "pola" tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
Lebih terperinciDASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dijelaskan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam pembahasan berikutnya. 2.1 Teori Peluang Definisi 2.1.1 (Percobaan Acak) (Ross 2000) Suatu percobaan
Lebih terperinciMuhafzan FUNGSI KONTINU. Muhafzan, Ph.D
1 FUNGSI KONTINU, Ph.D FUNGSI KONTINU 3 1 Kekontinuan Bab ini akan diawali dengan klas fungsi yang terpenting dalam analisis riil, yaitu klas fungsi-fungsi kontinu. Terlebih dahulu akan didenisikan gagasan
Lebih terperinciVARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS
VARIABEL KOMPLEKS SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ALJABAR & ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2009 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI 2 1 Sistem Bilangan Kompleks (C) 1 1 Pendahuluan...............................
Lebih terperinci11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Lebih terperinciIntegral Baire-1 Stieltjes, Henstock-Stieltjes dan Riemann-Stieltjes. The Stieltjes Integrals of Baire-1, Henstock and Riemann
Integral Baire-1 Stieltjes, Henstock-Stieltjes dan Riemann-Stieltjes Kalfin D Muchtar 1, Jullia Titaley 2, Mans L Mananohas 3 1 Program Studi Matematika, FMIPA, UNSRAT Manado, kalfin_muchtar@yahoocom 2
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinciSistem Bilangan Real
TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M0108022 M0108050 M0108056 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Eudoxus & Lingkaran Fakta bahwa luas lingkaran sebanding dengan kuadrat diameternya dibuktikan* secara rigorous oleh Eudoxus
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Analisis merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari antara lain barisan, limit, deret, kekontinuan, kekonvergenan, integral, dan yang lainnya.
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA
SATUAN ACARA PERKULIAHAN ( SAP ) MATA KULIAH ANALISIS REAL I ( MT403) / 3 SKS KOSIM RUKMANA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2008 0
Lebih terperinciDwi Lestari, M.Sc: Konvergensi Deret 1. KONVERGENSI DERET
1. KONVERGENSI DERET Suatu barisan disebut konvergen jika terdapat bilangan Z yang setiap lingkungannya memuat semua. Jika bilangan Z itu ada maka dapat ditulis: lim sehingga dapat dikatakan bahwa barisan
Lebih terperinciPENDAHULUAN LANDASAN TEORI
1 PENDAHULUAN Latar Belakang Dalam kehidupan sehari-hari, banyak permasalahan yang dapat dimodelkan dengan proses stokastik. Proses stokastik dapat dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu
Lebih terperinciAsimtot.wordpress.com FUNGSI TRANSENDEN
FUNGSI TRANSENDEN 7.1 Fungsi Logaritma Asli 7.2 Fungsi-fungsi Balikan dan Turunannya 7.3 Fungsi-fungsi Eksponen Asli 7.4 Fungsi Eksponen dan Logaritma Umum 7.5 Pertumbuhan dan Peluruhan Eksponen 7.6 Persamaan
Lebih terperinciTITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111
TITIK TETAP NADLR FUNGSI MULTI NILAI KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK ( ) Rinurwati Jurusan Matematika FMIPA-ITS Jl. Arif Rahman Hakim Surabaya 60111 Abstract. In this paper was discussed about Nadlr fixed
Lebih terperinciMODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV
MODUL RESPONSI MAM 4222 KALKULUS IV Mata Kuliah Wajib 2 sks untuk mahasiswa Program Studi Matematika Oleh Dr. WURYANSARI MUHARINI KUSUMAWINAHYU, M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinci-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id Konsep Limit Fungsi mendasari pembentukan kalkulus dierensial dan integral. Konsep ini
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciTINJAUAN SINGKAT KALKULUS
A TINJAUAN SINGKAT KALKULUS Salah satu syarat yang diperlukan untuk mempelajari komputasi numerik adalah pengetahuan dasar tentang kalkulus, termasuk pengenalan beberapa notasi dalam kalkulus, sifat-sifat
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 2.2 Sistem Bilangan Real sebagai Lapangan Terurut Operasi Aritmetika. Sifat-sifat dasar urutan dan aritmetika dari Sistem Bilangan
Lebih terperinciMisal, dan diberikan sebarang, terdapat sehingga untuk setiap
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO PENYELESAIAN SOAL UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP TA 2012/2013 Mata Ujian : Analisis Real 1 Tipe Soal : Reguler Dosen : Dr. Julan HERNADI Waktu : 90 menit
Lebih terperinciSyarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan. Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2. Abstrak
Syarat Fritz John pada Masalah Optimasi Berkendala Ketaksamaan Caturiyati 1 Himmawati Puji Lestari 2 1,2 Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY 1 wcaturiyati@yahoo.com 2 himmawatipl@yahoo.com Abstrak
Lebih terperinciPertemuan 1 HIMPUNAN. a.himpunan Kosong Ǿ adalah himpunan yang mempunyai nol anggota(tidak mempunyai elemen.)
Pertemuan 1 HIMPUNAN 1.3.1. Definisi a.himpunan Kosong Ǿ adalah himpunan yang mempunyai nol anggota(tidak mempunyai elemen.) b. Misalkan nєν Himpunan S dikatakan mempunyai n anggota jika ada suatu fungsi
Lebih terperinciSistem Bilangan Riil. Pendahuluan
Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Konsep integral sering digunakan untuk menentukan luas daerah di bawah kurva. Selain itu, integral juga sering digunakan untuk mencari penyelesaian dari suatu
Lebih terperinciINTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN. (Skripsi) Oleh PURNOMO AJI
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN (Skripsi) Oleh PURNOMO AJI JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016 ABSTRAK INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
Lebih terperinciKEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT
KEKONVERGENAN LEMAH PADA RUANG HILBERT Moch. Ramadhan Mubarak 1), Encum Sumiaty 2), Cece Kustiawan 3) 1), 2), 3) Departemen Pendidikan Matematika FPMIPA UPI *Surel: ramadhan.101110176@gmail.com ABSTRAK.
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Purcell, hal atau lebih:
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315 Mg Ke- Pokok & Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum (TIU) Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Materi & Pendekatan Media Tes
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan,
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan landasan teori tentang optimasi, fungsi, turunan, pemrograman linear, metode simpleks, teorema dualitas, pemrograman nonlinear, persyaratan karush kuhn
Lebih terperinciIII. HASIL DAN PEMBAHASAN
III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Masalah Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBARISAN BILANGAN REAL
BAB 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah menengah barisan diperkenalkan sebagai kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu, misalnya barisan aritmatika dan barisan geometri. Biasanya barisan dan
Lebih terperinci1 Preliminaries The Algebra of Sets... 3
Contents 1 Preliminaries 3 1.1 The Algebra of Sets............................ 3 2 Bilangan Riil 5 2.1 Sifat-sifat Aljabar dari R......................... 5 2.1.1 Sifat Aljabar dari R........................
Lebih terperinciPenerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass
Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi 1 Penerapan Aproksimasi Fejer dalam Membuktikan Teorema Weierstrass Islamiyah Abbas 1, Naimah Aris 2, Jusmawati M 3. Abstrak Dalam skripsi ini dibahas pembuktian
Lebih terperinci