HOMOMORFISMA RING DERET PANGKAT TERITLAK MIRING

Transkripsi

1 J. Sai MIPA Agutu 2009 Vol. 5 No. 2 Hal.: 9-24 ISSN HOMOMORFISMA RING DERET PANGKAT TERITLAK MIRING Ahmad Faiol Jurua Matematika FMIPA Uiverita Lampug Badar Lampug 3545 Idoeia faiol_mathuila@yahoo.co.id Diterima 9 Jui 2009 dietujui utuk diterbitka 28 Agutu 2009 ABSTRACT Let R be a rig ( S ) a trictly ordered mooid ad : S E d ( R ) a mooid homomorphim. Cotructed R[[ S ]] i.e. the et of all fuctio from S to R whoe upport i artiia ad arrow. With poitwie additio ad the kew covolutio multiplicatio R[[ S ]] become a rig called the kew geeralized power erie rig. I thi reearch we will ivetigate about homomorphim of kew geeralized power erie rig. Keyword: ordered mooid artiia arrow rig homorphim kew geeralized power erie rig.. PENDAHULUAN Rig poliomial R[X] didefiiika ebagai himpua emua fugi dari (bilaga bulat o egatif) ke R (rig dega eleme atua) dega yarat f ( ) 0 haya utuk berhigga bayak yag dilegkapi dega operai pejumlaha biaa da pergadaa ditributif. Selajutya rig poliomial R[X] digeeraliai mejadi rig deret pagkat formal R[[X]] yaitu dega cara meghilagka yarat f ( ) 0 haya utuk berhigga bayak ). Rig poliomial R[X] juga dapat digeeraliai mejadi rig mooid R[S] yaitu himpua emua fugi dari mooid S ke R (rig dega eleme atua) dega yarat upp( f ) { S f ( ) 0} berhigga yag dilegkapi dega operai pejumlaha biaa da pergadaa kovolui. Selajutya Ribeboim 6) megkotruki rig deret pagkat teritlak (geeralized power erie rig) R[[S]] yag merupaka geeraliai dari rig deret pagkat formal R[[X]] da rig mooid R[S] yaitu himpua emua fugi dari mooid terurut tega S ke R (rig dega eleme atua) dega yarat upp( f ) { S f ( ) 0} Arti da arrow yag dilegkapi dega operai pejumlaha da pergadaa yag ama pada rig mooid R[S]. Ribomboim 7) juga megkotruki homomorfima rig deret pagkat teritlak (RDPT). Mazurek da Ziembowki 5) megkotruki rig baru yag merupaka geeraliai dari rig deret pagkat teritlak R[[S]] dega cara meambahka uatu homomorfima mooid : S Ed( R ) yag diguaka utuk merubah operai pergadaa kovolui pada R[[S]]. Selajutya rig baru ii diebut rig deret pagkat teritlak mirig (kew geeralized power erie rig) da diotaika dega R[[ S ]] atau R[[ S ]]. Dari uraia di ata telah dijelaka bahwa rig deret pagkat teritlak (RDPT) R[[S]] merupaka betuk khuu dari rig deret pagkat teritlak mirig (RDPTM) ehigga pada peelitia ii aka dikotruki homomorfima RDPTM berdaarka homomorfima RDPT yag udah ada. 2. METODE PENELITIAN Peelitia ii dilakuka berdaarka tudi literatur berupa buku-buku da jural-jural ilmiah khuuya yag berkaita dega himpua terurut mooid terurut ifat Arti da arrow rig deret pagkat teritlak (RDPT) homomorfima RDPT da rig deret pagkat teritlak mirig (RDPTM). Alur peelitia ecara utuh digambarka pada diagram (Gambar ) di bawah ii FMIPA Uiverita Lampug 9

2 A. Faiol Homomorfima Rig Deret Pagkat Mempelajari Himpua Terurut Sifat Arti da arrow Mooid Terurut Rig da homomorfima rig Mempelajari kotruki RDPT da homorfima RDPT Mempelajari kotruki RDPTM Megkotruki homomorfima RDPTM berdaarka homomorfima RDPT Membuktika homomorfima RDPTM yag telah dikotruki Gambar. Diagram alur peelitia Pada tahap awal dipelajari koep-koep daar tetag himpua terurut ifat Arti da arrow mooid terurut teori rig da homomorfima rig. Koep-koep daar ii yag atiya aka bayak membatu utuk memahami kotruki RDPT da RDPTM. Berikut ii aka diajika beberapa defiii lemma da teorema yag terkait dega himpua terurut ifat Arti da arrow mooid terurut teori rig da homomorfima rig. Defiii (Himpua Terurut) ) Diberika himpua tak koog S. a. Relai bier pada S diebut relai uruta parial jika memeuhi: i. reflekif :( x S) x x. ii. ati imetri : ( x y S)( x y y x x y) iii. traitif : ( x y z S)( x y y z x z) b. Relai uruta parial pada S diebut relai uruta total jika utuk ebarag x y S berlaku x y atau y x. c. Suatu eleme m S diebut eleme miimal jika ( x S )( x m m x ). d. Himpua S yag dilegkapi dega uatu uruta parial diebut himpua terurut (ordered et). Utuk elajutya otai ( S ) meyataka S himpua terurut terhadap uruta parial. Defiii 2 (Arti da arrow) 6) Diketahui ( S ) himpua terurut. Himpua terurut ( S ) dikataka Arti jika etiap baria turu tega dari eleme-eleme S elalu berhigga. Himpua terurut ( S ) dikataka Noether jika etiap baria aik tega dari eleme-eleme S elalu berhigga. Utuk elajutya otai ( z i ) i meyataka baria ecara umum baik higga maupu takhigga. Teorema (Arti da arrow) 2) Jika ( S ) himpua terurut maka peryataa berikut ekuivale :. S Arti da arrow. 2. Jika ( ) baria eleme-eleme S maka terdapat ehigga FMIPA Uiverita Lampug

3 J. Sai MIPA Agutu 2009 Vol. 5 No Jika ( ) S maka terdapat 2 ehigga 2. Defiii 3 (Mooid) 4) Groupoid ( S ) artiya himpua tak koog S dega operai bier " " terdefiii. Dega kata lai dipuyai pemetaa : S S S. Selajutya ( S ) diebut emigrup jika " " berifat aoiatif yaitu: S)( ) ( ). ( ( 2 S)( 2 2 Jika ( S ) mempuyai ifat tambaha ) maka ( S ) diebut emigrup komutatif. Jika terdapat eleme di dalam S edemikia ehigga ( S) ( ) maka diebut eleme idetita di dalam S da S diebut emigrup dega idetita atau mooid. Defiii 4 (Mooid Terurut) 7) Himpua terurut ( S ) dikataka mooid terurut jika S mooid da relai uruta kompatibel yaki jika ( t S )( t t ) da ( S ) dikataka mooid terurut tega jika urutaya kompatibel tega yaki jika ( t S )( t t). Defiii 5 (Rig) 3) Rig ( R ) adalah himpua tak koog R yag dilegkapi dega dua operai bier yag diebut pejumlaha da pergadaa yag terdefiii di dalam R edemikia ehigga ifat-ifat berikut terpeuhi :. ( R ) grup komutatif (abelia). 2. Pergadaa ( ) berifat aoiatif. 3. Utuk etiap a b c R ifat ditributif kiri a ( b c) ( a b) ( a c) da ifat ditributif kaa ( a b) c ( a c) ( b c) terpeuhi. Defii 6 (Homomorfima Rig) 3) Diberika rig R da R. Pemetaa : R R merupaka homomorfima jika memeuhi : i. (a + b) = (a) + (b) ii. (ab) = (a) (b) Utuk etiap a b R. Setelah mempelajari koep-koep daar diata lagkah berikutya adalah mempelajari kotruki RDPT da homomorfima RDPT. Pertama aka diajika tetag kotruki RDPT. Diketahui R ebuah rig dega eleme atua da ( S ) mooid terurut tega. Dibetuk uatu himpua S R yaki himpua emua pemetaa f : S R. Utuk S f R upport f didefiiika ebagai upp( f ) { S f ( ) 0}. Kemudia dibetuk A { f R upp( f ) Arti da arrow }. Utuk ebarag S da f f 2 f A himpua X ( f f2 f) {( x x x ) upp( f ) x x upp( f ) x x x } berhigga. 2 2 Selajutya didefiiika operai pejumlaha da pergadaa pada A : ( ) : ( f g A)( f g : S R ) ( f g)( ) f ( ) g( ) ( ) : ( f g A)( f g : S R) ( f g)( ) f ( x) g( y) ( x y) X ( f g ) Dega dua operai di ata Ribemboim 6) telah membuktika bahwa A merupaka rig. Rig ii S elajutya diebut Rig Deret Pagkat Teritlak (RDPT) da diimbolka dega[[ R ]] atau R[[ S ]]. S 2009 FMIPA Uiverita Lampug 2

4 A. Faiol Homomorfima Rig Deret Pagkat Selajutya aka dikotruki homomorfima RDPT. Diketahui R da R rig ( S ) da ( S ) mooid terurut tega A da A RDPT. Mialka : R R homomorfima rig da : ( S ) ( S ) homomorfima tega. Utuk etiap S ( ( )) ( S ) terurut trivial. Jika f A maka upp( f ) ( ( S)) berhigga. Selajutya didefiika f : S R dega f ( ( )) f ( t) utuketiap S t ( ( )) f ( t ) 0 jika t ( S) Di ii lai jika ijektif maka f ( ( )) f ( ) utuk etiap S. Selajutya didapat upp( f ) (upp( f )) yag berakibat upp( f ) Arti da arrow ubet ( S ). Dega kata lai S f A [[ R ]]. Da ii medefiiika pemetaaa : A A. Ribemboim 7) telah membuktika bahwa pemetaa terebut merupaka homomorfima rig. Lagkah terakhir mempelajari kotruki RDPTM da megkotruki homomorfima RDPTM berdaarka homorfima RDPT yag udah ada da kemudia membuktika homomorfima RDPTM yag telah dikotruki. Lagkah terakhir ii aka dijelaka pada bagia Hail da Pembahaa di bawah ii. 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.. Rig Deret Pagkat Teritlak Mirig Mazurek da Ziembowki 5) megkotruki rig baru yag merupaka geeraliai dari RDPT yag telah dikotruki oleh Ribemboim 6) dega cara meambahka uatu homomorfima mooid : S Ed( R ) yag diguaka utuk merubah operai pergadaa kovolui pada RDPT. Di bawah ii aka diajika kotruki RDPTM. Diketahui R ebuah rig dega eleme atua ( S ) mooid terurut tega da : S Ed ( R ) homomorfima mooid. Utuk ebarag S melambagka image yaki (). Dapat dibuktika yag berarti merupaka eleme idetita Ed(R). Diberika uatu himpua A yaki himpua emua pemetaa f : S R dega upp( f ) { S f ( ) 0} Arti da arrow. Utuk ebarag S da f f 2 f A himpua X ( f f2 f ) {( x x2 x ) upp( f) x x upp( f ) xx 2 x} berhigga. Selajutya didefiiika operai pejumlaha da pergadaa pada A : ( ) : ( f g A)( f g : S R ) ( f g)( ) f ( ) g( ) ( ) : ( f g A)( f g : S R) ( f g)( ) ( x y) X ( f g ) f ( x) ( g( y)) ; X ( f g) x 0 ; X ( f g) Dega dua operai di ata Mazurek da Ziembowki 5) telah membuktika bahwa A merupaka ebuah rig yag elajutya diebut Rig Deret Pagkat Teritlak Mirig (RDPTM) da diimbolka dega R[[ S ]] atau R[[ S ]] Homomorfima Rig Deret Pagkat Teritlak Mirig Berdaarka homomorfima RDPT yag telah dikotruki Ribemboim 7) di bawah ii aka dicoba dikotruki homomorfiam RDPTM FMIPA Uiverita Lampug

5 J. Sai MIPA Agutu 2009 Vol. 5 No. 2 Diketahui R da R rig ( S ) da ( S ) mooid terurut tega A da A RDPTM. Mialka : R R homomorfima rig da : ( S ) ( S ) homomorfima tega. Mialka : S E d ( R ) da : S E d ( R ) homomorfima mooid. Utuk etiap S ( ) melambagka image dari jadi R R merupaka edomorfima. Da utuk etiap S ( ) melambagka image dari jadi : R R merupaka edomorfima. Selajutya didefiika pemetaaa Aka ditujukka Bukti : (i) Utuk ebarag ( f )( ( )) t ( 0 : A A f ( t) ( )) : A A ebagai berikut : merupaka homomorfima rig. f g A da S berlaku : ( f g)( ( )) ( f g)( t) t ( ( )) : f ( t) g( t) t ( ( )) t ( ( )) f ( t) g( t) t ( ( )) t ( ( )) ( f )( ( )) ( g)( ( )) ( f ) ( g) ( ( )) (ii) Utuk ebarag f g A da S berlaku : ( fg)( ( )) ( fg)( t) t ( ( )) cd t ( t) ( ) cd t ( t) ( ) f ( c) ( g( d)) c f ( c) ( g( d)) c f ( c) ( g( d)) c d ( S ) c S d S ( c) c ( d ) d c f ( c) c d ( S ) c S d S ( c) c ( d ) d c ( g( d)) 2009 FMIPA Uiverita Lampug 23

6 A. Faiol Homomorfima Rig Deret Pagkat c c d ( S ) c S d S ( c) c ( d ) d c d ( ) Dari (i) da (ii) maka terbukti bahwa f ( c) g( d) ( f )( c ) ( g)( d ) ( f ). ( g) ( ( )) c : A A merupaka homomorfima rig. 4. KESIMPULAN Dapat dikotruki homomorfima RDPTM berdaarka homomorfima RDPT yag udah ada dega medefiiika pemetaaa : A A ebagai berikut : ( f )( ( )) t ( 0 f ( t) ( )) Pemetaa ii merupaka homomorfima rig jika diberi bataa DAFTAR PUSTAKA.. Adki W.A. ad Weitraub S.H. 992 Algebra A Approach Via Module Theory Spriger-Verlag New York. 2. Elliot G.A. ad Ribeboim P. 990 Field of Geeralized Power Serie Arch. Math. 54: Fraleigh J.B A Firt Coure i Abtract Algebra Addio-Weley Publihig Compay New York. 4. Howie J.M. 976 A Itroductio to Semigroup Theory Academic Pre Ic. Lodo. 5. Mazurek R. ad Ziembowki M Uierial Rig of Skew Geeralized Power Serie J. Algebra 38: Ribeboim P. 990 Geeralized Power Serie Rig I Lattice Semigroup ad Uiveral Algebra Pleum Pre New York Ribeboim P. 99 Rig of Geeralized Power Serie : Nilpotet elemet Abh. Math. Sem. Uiv. Hamburg. 6: FMIPA Uiverita Lampug