Induksi Matematik dan Teorema Binomial
|
|
- Sonny Hartanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Modul Iduksi Matematik da Teorema Biomial Sukirma I PENDAHULUAN duksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia dari bayak teorema dalam Teori Bilaga maupu dalam mata kuliah matematika laiya. Sedagka Teorema Biomial, selai sebagai dasar, bayak diguaka dalam peurua beberapa teorema da pemecaha masalah dalam matematika. Oleh karea itu, dalam mempelajari mata kuliah ii Ada diharapka dapat meerapka iduksi matematik da teorema biomial dalam pembuktia da dalam pemecaha soal-soal matematika. Secara lebih rici, setelah mempelajari modul ii, Ada diharapka dapat:. meetuka lagkah-lagkah yag harus ditempuh dalam pembuktia dega iduksi matematik;. meetuka basis iduksi dalam pembuktiaya; 3. meetuka lagkah iduksi dalam pembuktiaya; 4. terampil meerapka lagkah-lagkah pembuktia dega iduksi matematik; 5. meghitug koefisie biomial; 6. meetuka sifat-sifat koefisie biomial; 7. meerapka sifat-sifat koefisie biomial dalam pemecaha masalah terkait. Peguasaa kemampua-kemampua tersebut sagat petig bagi mereka yag aka mempelajari matematika karea bayak mata kuliah matematika yag megguaka prisip-prisip tersebut utuk meuruka teorema atau utuk pemecaha masalah. Hampir setiap modul berikutya.
2 . Teori Bilaga ati megguaka dua prisip tersebut, baik utuk membuktika teorema maupu utuk memecahka soal-soalya. Utuk membatu Ada dalam meguasai kemampua tersebut, dalam modul ii disajika uraia materi da cotoh-cotohya, latiha memecahka soal da tes pada tiap kegiata belajar. Modul ii terdiri dari kegiata belajar, yaitu sebagai berikut. Kegiata Belajar : Iduksi Matematik. Kegiata Belajar : Teorema Biomial. Agar Ada berhasil dega baik dalam mempelajari modul ii, ikutilah petujuk belajar berikut ii.. Bacalah dega cermat Pedahulua ii sehigga Ada memahami gambara secara global isi modul, utuk apa dipelajari, da bagaimaa mempelajariya.. Bacalah dega saksama uraia materi da cotoh-cotohya jika perlu carilah cotoh lai. Berilah tada-tada pada bagia-bagia yag Ada aggap petig. 3. Kuci utama agar berhasil dalam belajar matematika adalah kesaggupa utuk berlatih memecahka soal-soal. Oleh karea itu, kerjakalah soal-soal latiha baik secara idividual, dalam kelompok kecil atau dalam tutorial, utuk pematapa.
3 PAMA34/MODUL.3 I Kegiata Belajar Iduksi Matematik duksi Matematik merupaka salah satu argumetasi pembuktia suatu teorema atau peryataa matematika yag semesta pembicaraaya himpua bilaga bulat atau lebih khusus himpua bilaga asli. Perhatika cotoh peryataa-peryataa matematik berikut ii. Cotoh : = ( + ), utuk setiap bilaga asli. Bearkah peryataa ii? Utuk mejawab pertayaa ii, kita dapat mecoba dega mesubstitusika dalam peryataa itu dega sembarag bilaga asli. Apabila = maka peryataa itu mejadi =. ( + ), atau =, yaitu diperoleh suatu peryataa yag bear. Apabila = maka peryataa itu mejadi + =. ( + ), atau 3 = 3, yaitu diperoleh suatu peryataa yag bear. Apabila = 3 maka peryataa itu mejadi =. 3(3 + ), atau 6 = 6, yaitu suatu peryataa yag bear pula. Ada dapat melajutkaya utuk = 4; 5; atau bilaga asli laiya da aka selalu memperoleh peryataa yag berilai bear. Apakah dega memberika beberapa cotoh dega substitusi pada peryataa semula da diperoleh peryataa-peryataa yag bear, sudah memberika bukti tetag kebeara peryataa tersebut? Dalam matematika, pemberia beberapa cotoh seperti itu buka merupaka bukti dari kebeara suatu peryataa yag berlaku dalam himpua semestaya. Peryataa pada cotoh di atas, himpua semestaya ialah himpua semua bilaga asli. Apabila kita dapat memberika cotoh utuk tiap bilaga asli pada
4 .4 Teori Bilaga peryataa tersebut da masig-masig memperoleh peryataa yag bear maka hal tersebut dapat merupaka bukti kebeara dari peryataa itu. Aka tetapi, hal ii tidak efisie da tidak mugki kita lakuka karea bayakya himpua bilaga asli ada tak berhigga. Lalu bagaimaa cara membuktika peryataa tersebut? Salah satu caraya ialah memadag ruas pertama dari peryataa itu sebagai deret aritmetika dega suku pertama a =, bedaya b =, suku terakhirya ialah U = da memiliki buah suku. Maka, jumlah deret itu adalah S = (a + U ) = ( + ) = ( + ), yaitu ruas kedua dari peryataa yag dibuktika. Cara lai utuk membuktika peryataa itu adalah dega iduksi matematik. Lagkah-lagkah pembuktia dega iduksi matematik adalah sebagai berikut. Misalka, p() adalah suatu proposisi yag aka dibuktika bear utuk setiap bilaga asli. Lagkah-lagkah pembuktiaya dega iduksi matematik sebagai berikut: Lagkah () : Ditujukka bahwa p(l) bear. Lagkah () : Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k da ditujukka bahwa p(k+) bear. Jika lagkah-lagkah () da () berhasil ditujukka kebearaya maka selajutya disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. Megapa demikia? Lagkah (), yaitu p(l) bear, da karea lagkah () maka p() bear pula. Selajutya karea p() bear, meurut lagkah () maka p(3) bear pula. Da meurut lagkah () lagi maka p(4) bear pula, da seterusya sehigga p() bear utuk setiap bilaga asli. Lagkah () di atas serig disebut basis (dasar) iduksi, da lagkah () disebut lagkah iduksi. Kita sekarag aka meerapka lagkah-lagkah pembuktia dega iduksi matematik itu utuk membuktika peryataa pada Cotoh di atas.
5 PAMA34/MODUL.5 Cotoh : asli. Buktika bahwa = ( + ), utuk setiap bilaga Bukti: Misalka, p() meyataka = ( + ) () p() adalah = ( + ), yaitu =, jelas bear. () Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu: k = k ( k + ) bear. Selajutya harus ditujukka bahwa p(k+l) bear, yaitu: k ( k ) = ( k + )( k + ) Hal ii ditujukka sebagai berikut: k ( k ) = ( 3... k) ( k ) k ( k + ) +( k +) (karea diasumsika) = ( k+)( k) ( k )( k ) Jadi, k ( k ) = ( k )( k ), berarti p(k+l) bear. Sehigga p() bear utuk setiap bilaga asli. Jika kedua ruas pada cotoh tersebut dikalika maka diperoleh: = ( + ) Coba buktika dega megguaka iduksi matematik bahwa peryataa ii bear utuk setiap bilaga asli.
6 .6 Teori Bilaga Cotoh 3: Hituglah ( -). Jawab: ( -) sebagai deret aritmetika dega suku pertama a =, beda b = da bayakya suku adalah serta suku terakhirya U = ( -). Maka, jumlaha tersebut dapat dihitug dega rumus jumlaha deret aritmetika, yaitu: S ( au ) ( ) S Jadi () Aka tetapi, apabila kita lupa atau belum megerti rumus deret tersebut maka hal tersebut tidak dapat kita lakuka. Kita dapat membuat dugaa dega mecoba jumlah beberapa suku sebagai berikut = + 3 = = = 6 da seterusya =? Tampak bahwa jumlaha-jumlaha ii merupaka bilaga kuadrat sempura. Sehigga kita bisa meduga bahwa: (-) =. Aka tetapi, dugaa ii baru merupaka jawaba semetara sehigga harus dibuktika kebearaya. Pembuktiaya dapat dilakuka dega iduksi matematik sebagai berikut. Misalka, p() meyataka ( -) =. () p() adalah =, jelas bear. () Dimisalka p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu (k -) = k, da ditujukka bahwa p(k+l) bear, yaitu (k-) + (k + ) = (k + ).
7 PAMA34/MODUL.7 Hal ii ditujukka sebagai berikut: (k - ) + (k + ) = k + k + = (k + l). Sehigga p(k + ) bear. Jadi, p() bear utuk setiap bilaga asli. Cotoh 4: Buktikalah bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku: ( +)( +) Bukti: ( +)( +) Misalka, p() adalah (+)(.+) () p() adalah Jadi, p() bear. () Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu 3... k k(k +)(k +) Da harus ditujukka bahwa 6 p(k + ) bear, yaitu ditujukka bahwa 3... k (k ) (k +)(k + )(k +3). 6 Hal ii ditujukka sebagai berikut.
8 .8 Teori Bilaga 3... k (k ) k(k +)(k +) +(k +) 6 (k +) k(k +) +(k +) 6 (k +) (k + k +6k +6) 6 Jadi, p(k + ) bear. (k +)(k +7k +6) 6 (k +)(k +)(k +3). 6 Selajutya, dari lagkah-lagkah () da () disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. Notasi (sigma) Jumlaha utuk bilaga-bilaga yag teratur dapat ditulis lebih sigkat dega megguaka otasi (sigma). Berikut ii kosep, prisip da cotoh-cotoh pegguaa otasi. () k 3... k () k (k ) () k (3) ck c k dega suatu kostata k k (4) a b ( a b ) l l l l l l l (5) d d d d... d d l ---- suku----
9 PAMA34/MODUL.9 Cotoh 5: 5 () k 3455 k 7 7 () 6i6 i6( 34567) 68 i= i= 6 (3) t = k k 3 (4) 3k 3 k 3( 3) ( ) 3 k k k Cotoh 6: Buktika bahwa (3k ) (3 ) utuk setiap bilaga asli. k Bukti: Misalka, p() meyataka k (3k ) (3 ) () p() adalah (3. k ) (3. ) k 3. (3. ) Jadi, p() bear. () Diasumsika p(t) bear utuk suatu bilaga asli t, yaitu: t (3k ) (3 t t) da ditujukka bahwa p(t+l) bear, yaitu: k t k (3k ) 3( t ) ( t ) (3t 5t ) Hal ii ditujukka sebagai berikut:
10 .0 Teori Bilaga t t (3k ) (3k ) 3( t ) k k (3 t t ) 3 t (3 t t 6 t ) (3 t 5 t ) Jadi, p(t+) bear sehigga p() bear utuk setiap bilaga asli. Cotoh 6 ii dapat dibuktika megguaka sifat-sifat otasi sebagai berikut: (3k) 3k k k k 3 k,megguaka cotoh, maka k 3 ( ) Igat Cotoh bahwa k k 3... ( ) Cotoh 7: Buktika bahwa utuk setiap bilaga asli, 7 - selalu terbagi habis oleh 5. Bukti: Misalka p() meyataka 7 terbagi habis oleh 5, () p(l) adalah 7 - terbagi habis oleh 5, yaitu 5 terbagi habis oleh 5. Jadi, p(l) bear. () Diasumsika p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu 7 k - k terbagi habis oleh 5. Da ditujukka bahwa p(k+) bear, yaitu 7 k+ - k+ terbagi habis oleh 5. Hal ii ditujukka sebagai berikut.
11 PAMA34/MODUL. k+ k+ k k 7 - =7.7-. k k k k = k k k =7(7 - ) + (7-) k k k =7(7 - ) +.5 Telah diasumsika bahwa (7 k - k ) terbagi habis oleh 5. Maka 7(7 k - k ) terbagi habis oleh 5 pula. ( k.5) jelas terbagi habis oleh 5, sebab mempuyai faktor 5. Sehigga 7(7 k - k ) + k.5 terbagi habis oleh 5. Jadi 7 k+ - k+ terbagi habis oleh 5. Maka p(k + ) bear. Selajutya, dari lagkah-lagkah () da () dapat disimpulka bahwa 7 - terbagi habis oleh 5 utuk setiap bilaga asli. Cotoh 8: Misalka, bayakya eleme himpua S adalah (suatu bilaga asli). Berapakah bayakya semua himpua bagia dari S. Jawab: Misalka S = {a, a, a 3,..., a } Jika S = {a } maka himpua bagia dari S adalah da {a }. Sehigga bayakya himpua bagia dari S adalah. Coba periksalah bayakya himpua bagia dari himpua-himpua berikut ii! Bayakya himpua bagia dari S = {a, a } adalah 4. Bayakya himpua bagia dari S 3 = {a, a, a 3 ) adalah 8. Bayakya himpua bagia dari S 4 = {a, a, a 3, a 4 } adalah 6 da seterusya. Utuk melihat hal ii dega lebih jelas perhatika tabel.
12 . Teori Bilaga Table. Bayakya eleme S Himpua S {a} {a,a} {a,a,a3}... { a,a,a3,,a} Himpua bagia dari S,{a},{a},{a},{a,a},{a},{a},{a3},{a,a},{a,a3},{a,a3},{a,a,a3}... Bayak himpua bagia dari S = 0 = 4 = 8 = 3... Tampak dalam kolom terakhir dari Tabel. tersebut bahwa bayakya himpua bagia tersebut merupaka perpagkata dari. Sehigga kita dapat meduga bahwa bayakya himpua bagia dari S = {a, a, a 3,..., a } adalah. Aka tetapi, dugaa ii harus dibuktika kebearaya. Aka kita buktika dega iduksi matematik. Misalka, p() meyataka bayakya himpua bagia dari S {a, a, a 3,..., a } adalah utuk setiap bilaga asli. () p() adalah bayakya himpua bagia dari S = {a } adalah. Hal ii bear, sebab himpua bagia dari S adalah da {a }. Jadi, p(l) bear. () Diasumsika p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu bayakya himpua bagia dari S k ={a, a, a 3,..., a k ) adalah k da harus ditujukka bahwa p(k+l) bear, yaitu bayakya himpua bagia dari S k+ = {a, a, a 3,..., a k, a k+ } adalah k+. Telah diasumsika bahwa bayakya himpua bagia dari adalah S k adalah k. Maka, bayakya himpua bagia dari S k+ adalah bayakya himpua bagia dari S k ditambah dega bayakya himpua bagia dari S k+ yag buka merupaka himpua bagia dari S k, yaitu himpua-himpua bagia dari S k yag masig-masig dilegkapi dega eleme a k+, yaitu sebayak k pula. Jadi bayakya himpua bagia dari S k+ adalah k + k = k+. Sehigga p(k+) bear. Selajutya, dari lagkah-lagkah () da () dapat disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli.
13 PAMA34/MODUL.3 Perhatika lagi cotoh-cotoh di atas. Pembuktia dega iduksi matematik harus megikuti dua lagkah, yaitu lagkah () sebagai basis (dasar) iduksi, da lagkah () merupaka lagkah iduksi. Kedua lagkah ii harus ditaati, apabila megguaka cara pembuktia dega iduksi matematik. Kadag-kadag basis/dasar iduksi tidak diambil =, tetapi diambil = r utuk r >, sesuai dega permasalaha yag dihadapi. Utuk ii perhatika cotoh berikut ii. Cotoh 9: Buktika bahwa, utuk setiap bilaga asli 4. Bukti: Misalka p() adalah. () p(4) adalah 4 4 maka p(4) bear () Misalka, p(k) bear utuk suatu bilaga asli k 4, yaitu k k, da harus ditujukka bahwa p(k+) bear, yaitu (k + ) k+ Hal ii ditujukka sebagai berikut. (k+) = k + k + < k. k = k+. Jadi, p(k+l) bear. Selajutya, dari lagkah-lagkah () da () dapat disimpulka bahwa bear, utuk setiap bilaga asli 4. LATIHAN Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! ) Buktika bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku (6-) = (3+). ) Buktikalah ( + ) = 3 ( + )( + ) utuk setiap bilaga asli. 3) Buktika ( -) = asli. 4) Buktika bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku: 3 (4 -) utuk setiap bilaga
14 .4 Teori Bilaga ( ) 5) Buktikalah bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku: ()( ) 6) Buktikalah bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku 3 k k k k 7) Buktika bahwa a) > +, utuk setiap bilaga bulat. b) > 3, utuk setiap bilaga bulat > 9. 8) Buktikalah bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku a) l 4 terbagi habis oleh 7 b) terbagi habis oleh 3 Petujuk Jawaba Latiha Apabila Ada meemui kesulita dalam megerjaka soal-soal latiha tersebut, Ada dapat megikuti petujuk/rambu-rambu peyelesaiaya berikut ii. ) Misalka p() adalah (6-) = (3+). () p(l) adalah 4 = (3. + ). Jadi p() jelas bear. () Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu (6k-) = k(3k+). Da harus ditujukka bahwa p(k + ) bear, yaitu: (6k-) + (6k + 4) = (k + )(3k+4). Hal ii ditujukka sebagai berikut (6k - ) + (6k+4) = k(3k + ) + (6k + 4) = 3k + 7k + 4 = (k + )(3k + 4). Jadi, p(k+l) bear. Dari lagkah-lagkah () da () disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli.
15 PAMA34/MODUL.5 ) Misalka, kesamaa tersebut dega p(), yaitu: ( + ) = 3 ( + l)( + ) () Periksalah bahwa p(l) bear. () Asumsikalah bahwa utuk suatu bilaga asli, p() bear, yaitu: ( + ) = 3 ( + )( + ) Da tujukkalah bahwa p( + ) bear, yaitu ( + ) + ( + )( + ) = ( + )( + )( + 3) 3 Hal ii ditujukka sebagai berikut ( + ) + ( + )( + ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) 3 = ( + l)( + )( + 3) 3 Jadi, p(+l) bear utuk suatu bilaga asli. Selajutya dari lagkah-lagkah () da () disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. PERHATIAN: Pada cotoh-cotoh dalam uraia materi megguaka simbol k utuk meyataka suatu bilaga asli tertetu. Pada peyelesaia ii diguaka simbol. Ada dapat megguaka simbol laiya, utuk meujuk suatu bilaga asli tertetu. 3) Misalkalah kesamaa itu dega p(), yaitu: (-) = 3 (4 -) () Periksalah bahwa p(l) bear. () Asumsikalah bahwa p() bear, utuk suatu bilaga asli, yaitu: (-) = 3 (4 -) Tujukkalah bahwa p(+) bear, yaitu: (-) + (+) = 3 (+)(4 +8+3) Tujukkalah kebeara kesamaa ii, yaitu bahwa p(+l) bear utuk suatu bilaga asli. Selajutya, tariklah kesimpula bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli.
16 .6 Teori Bilaga 4) Misalkalah kesamaa tersebut dega p(), yaitu: ( ) () Periksalah bahwa p(l) bear () Asumsikalah bahwa p() bear utuk suatu bilaga asli, ( ) Selajutya tujukkalah bahwa p(+l) bear, yaitu ( ) ( )( ) Hal ii ditujukka sebagai berikut ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Ii telah meujukka bahwa p(+) bear utuk suatu bilaga asli. Selajutya, dari dua lagkah tersebut disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. 5) Misalkalah kesamaa itu dega p(), yaitu: ()( ) () Tujukkalah bahwa p(l) bear. () Asumsikalah bahwa p() bear, yaitu: ()( ) Tujukkalah bahwa p(+) bear, yaitu: ()( ) ( )( 3) 3 Cobalah membuktika kebeara kesamaa terakhir ii. Selajutya, berdasarka dua lagkah tersebut, Ada dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli.
17 PAMA34/MODUL.7 6) Kita aka membuktika bahwa telah megeal bahwa k Sehigga kita harus meujukka bahwa k = ( + ) 4 k 3 k k k k. Pada cotoh, kita k = = ( + ) 3 Misalka kesamaa terakhir ii dega p(). () Tujukkalah bahwa p(l) bear. () Asumsikalah bahwa p() bear utuk suatu bilaga asli, da tujukkalah bahwa p(+) bear, yaitu: 3 k = ( + ) ( ) 4 k Kesamaa terakhir ii ditujukka sebagai berikut k = k +( ) k k ( ) ( ) 4 3 ( ) ( 4( )) 4 ( ) ( ) 4 Hal ii kita telah meujukka bahwa p( + ) bear utuk suatu bilaga asli. Selajutya, Ada dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli, berdasarka dua lagkah di atas. 7) a) Kita harus membuktika bahwa > +, utuk setiap bilaga bulat maka sebagai dasar iduksi adalah =. Misalka, ketaksamaa ii dega p(). () Tujukkalah bahwa p() bear. () Asumsikalah bahwa p() bear utuk suatu bilaga ash, da Ada harus meujukka bahwa p(+l) bear, yaitu: ( + ) > +
18 .8 Teori Bilaga Coba tujukkalah ketaksamaa terakhir ii! Sehigga p(+) bear utuk suatu bilaga asli. Selajutya, berdasarka dua lagkah iduksi tersebut dapat disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. 7) b) Kita harus membuktika bahwa > 3, utuk setiap bilaga bulat > 9 maka sebagai basis iduksi adalah = 0. Misalka, ketaksamaa ii dega p(). () Tujukkalah kebeara dari p(0). () Asumsikalah bahwa p() bear utuk suatu bilaga ash > 9, da tujukkalah bahwa p ( + ) bear, yaitu: + > ( + l ) 3 Hal ii ditujukka sebagai berikut. + =. > ( + 9 )3. > ( + )3. 3 > ( +) 3 Jadi, p(+l) bear Selajutya berdasarka dua lagkah tersebut dapat disimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli > 9. 8) a) Kita aka membuktika bahwa utuk setiap bilaga ash berlaku 4 terbagi habis oleh 7. Dimisalka bahwa p() meyataka 4 terbagi habis oleh 7. () Tujukkalah bahwa p(l) bear. () Asumsikalah bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k, yaitu k 4 k terbagi habis oleh 7. Da kita harus meujukka bahwa p(k + ) bear, yaitu: l l k+ 4 k+ terbagi habis oleh 7. Kebeara peryataa ii ditujukka sebagai berikut. k+ 4 k+ = k. 4 k. 4 = k. k.4+ k.4 4 k. 4 = k.7 + 4( k 4 k ) Pada kesamaa terakhir ii, berilah alasa bahwa p(k + ) bear. Sehigga Ada dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. b) Kita aka membuktika bahwa utuk setiap bilaga asli berlaku terbagi habis oleh 3 Misalkalah bahwa p() adalah terbagi habis oleh 3 () Mudah sekali utuk meujukka bahwa p() bear.
19 PAMA34/MODUL.9 () Asumsika bahwa p(k) bear, yaitu k 3-4k + 6 terbagi habis oleh 3. Da tujukkalah bahwa p(k+) bear, yaitu (k+l ) 3 4(k+l) + 6 terbagi habis oleh 3 Hal ii ditujukka sebagai berikut. (k+l) 3 4(k+) + 6 = (k 3 4k + 6) + 3 (k + k + ) Memperhatika kesamaa terakhir ii da asumsi yag telah diambil mudah utuk memberi alasa bahwa p(k+l) bear. Sehigga kita dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. RANGKUMAN Iduksi matematik merupaka salah satu metode/cara pembuktia yag absah dalam matematika. Meskipu amaya iduksi matematik, amu metode ii merupaka pealara deduktif. Pembuktia dega iduksi matematik berkeaa dega pembuktia pada peryataaperyataa yag semestiya adalah himpua bilaga bulat atau lebih khusus himpua semua bilaga asli. Misalka, peryataa: p() adalah suatu proposisi yag berlaku utuk setiap bilaga asli. Pembuktia kebeara dari peryataa ii dega megguaka iduksi matematik megikuti lagkah-lagkah sebagai berikut. Lagkah (): Ditujukka bahwa p(l) bear. Lagkah (): Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k >, da ditujukka bahwa p(k + ) bear. Apabila kedua lagkah tersebut berhasil maka kita dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli. Lagkah () disebut basis (dasar) iduksi da lagkah () disebut lagkah iduksi. Basis iduksi tidak mesti diambil =, tetapi diambil sesuai dega permasalaha yag dihadapi atau peryataa yag igi dibuktika. Misalka, aka dibuktika bahwa p() berlaku utuk setiap bilaga asli t. Maka, lagkah-lagkah pembuktiaya dega iduksi matematik sebagai berikut. Lagkah (): Ditujukka bahwa p(t) bear. Lagkah (): Diasumsika bahwa p(k) bear utuk suatu bilaga asli k t, da ditujukka bahwa p(k + ) bear. Apabila kedua lagkah ii berhasil maka kita dapat meyimpulka bahwa p() bear utuk setiap bilaga asli t.
20 .0 Teori Bilaga TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! ) Misalka, kita aka membuktika peryataa: 3 < - utuk setiap pada suatu himpua bagia dari himpua semua bilaga asli dega metode iduksi matematik maka basis iduksi yag diambil adalah =. A. B. C. 3 D. 4 ) Basis iduksi dalam membuktika bahwa p(), yaitu! > utuk setiap dari suatu himpua bagia dari himpua semua bilaga asli adalah. A. p(l) B. p() C. p(3) D. p(4) 3) Suku ke dari deret adalah. A. 4 B. 5 C. 6 D ) Jumlah suku pertama dari deret adalah. A. (3 + ) + 4 B. ( ) + 4 C. 3( ) + 4 D. ( + ) + 4 5) Misalka, p() adalah asli maka p( + ) adalah. (k ) (4 ) utuk setiap bilaga k 3 A. k 3 (k ) ( )(4 8 3)
21 PAMA34/MODUL. B. C. D. k k k 3 (k ) ( )(4 3) 3 (k ) ( )(4 8 3) 3 (k ) ( )(4 3) 6) Apabila p() adalah (+)!> + maka p( + ) adalah. A. ( + )!> + + B. ( + )!> + C.!( + ) > ( + ) + D. ( + )!( + ) > + 7) Jika t maka jumlah suku pertama dari deret a + at + at + adalah. at ( ) A. t B. C. D. a( t ) t a( t ) t a( t ) t 8) Apabila p() adalah A. = B. = (i ) (4 ) maka p() adalah. i 3 C. = 3 D. = 3 9) Jumlah suku pertama dari deret adalah. A. ( + ) + 3 B. + 3
22 . Teori Bilaga C. ( + )+ 3 D. ( + ) ) Apabila p() adalah t ( i) maka p(+) adalah. A. B. C. D. t il t il 3 ( t) ( i) 3 t ( i) t il 3 ( t ) t ( i ) ( i ) t il 3 t ( i) t il Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal Arti tigkat peguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega Kegiata Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
23 PAMA34/MODUL.3 K Kegiata Belajar Teorema Biomial ita aka megigat kembali pegertia kombiasi dari sejumlah r objek yag diambil dari objek. Bayakya kombiasi dari r objek yag diambil dari objek (r ) adalah:! C(, r) r ( r)! r! Cotoh:. Misalka, ada 5 objek, yaitu a, b, c, d da e. Apabila dari 5 objek ii diambil 3 objek maka bayakya cara pegambila 3 objek tersebut adalah 5 5! cara. 3!.3! (.)(..3) Sepuluh cara pegambila itu adalah abc, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, da cde.. Misalka, dalam suatu kotak terdapat 3 kelereg merah da 4 kelereg putih. Apabila kita megambil 3 kelereg merah dari dalam kotak tersebut maka bayakya cara pegambila ada 3 3!..3 cara. 3 0!.3!...3 Aka tetapi, apabila kita megambil 3 kelereg dari dalam kotak itu maka bayakya cara pegambila ada 7 7! cara. 3 4!.3!..3 Jika kita megambil 4 kelereg dari dalam kotak tersebut maka bayakya cara pegambila ada 7 7! cara. 4 3!.4!..3
24 .4 Teori Bilaga 3. Misalka, ada tiga kotak yag masig-masig berisi satu bola merah da satu bola putih. Dari tiap-tiap kotak diambil satu bola sehigga terambil tiga bola. Bayakya cara pegambila 3 bola tersebut, agar terambil bola merah semua ada 3 3 cara. Bayakya cara pegambila 3 bola 3 tersebut, agar terambil dua bola merah ada 3 cara. Bayakya cara 3 pegambila 3 bola itu, agar terambil satu bola merah ada 3 cara. Bayakya cara pegambila 3 bola itu, agar tak terambil bola merah 3 ada 0 cara. Cotoh terakhir ii aka diguaka utuk meyataka suku bayak yag merupaka pejabara dari (m + p) 3. Perpagkata ii dapat diyataka sebagai perkalia berulag dega 3 faktor sama, yaitu: (m + p)(m + p)(m + p) = mmm + mmp + mpm + pmm + ppm + pmp + mpp + ppp Setiap suku dari ruas kaa kesamaa ii terdiri dari 3 faktor da masig-masig faktor berturut-turut diambil dari faktor pertama, faktor kedua da faktor ketiga dari ruas pertama. Memperhatika Cotoh 3 di atas maka 3 bayakya suku dega tiga m adalah 3, 3 bayakya suku dega dua m ada 3, 3 bayakya suku dega satu m ada 3, da 3 bayakya suku tapa m ada 0 Pada kesamaa terakhir itu jika suku-suku sejeisya dijumlahka maka aka diperoleh
25 PAMA34/MODUL.5 (m + p) 3 = m 3 + 3m p + 3mp + p 3 Koefisie-koefisie suku-suku dari ruas kaa dari kesamaa terakhir ii dapat diyataka dega kombiasi-kombiasi bayakya m dalam tiap sukuya sehigga kesamaa itu dapat ditulis sebagai berikut ( p m) p mp m p m 0 3 Dega argumetasi yag mirip dega ilustrasi di atas, kita dapat meuliska kesamaa-kesamaa berikut ii. Coba periksalah kebearaya! ( a x) a x 0 ( a x) a ax x ( a x) a a x ax x ( a x) a a x a x ax x k k k ( a x) a a x a x... a x... x Kesamaa-kesamaa tersebut baru merupaka dugaa karea kesamaakesamaa itu, khususya kesamaa terakhir diperoleh dega pealara iduktif. Maka, kesamaa itu perlu dibuktika kebearaya. Kita aka membuktika kebeara kesamaa tersebut, tetapi kita perlu beberapa persiapa berikut ii. Dari rumus kombiasi di atas, yaitu:! C(, r) r ( r)! r! Kita dapat memahami bahwa:! r r!( r)!
26 .6 Teori Bilaga Jadi, r r Teorema. Jika r maka r r Teorema ii serig disebut sifat simetrik dari koefisie biomial. Sifat ii membatu kita utuk meghitug lebih mudah ilai suatu kombiasi. Cotoh: ) ) Teorema. Jika k da r bilaga-bilaga asli dega k > r maka k k k r r r Bukti: k k k! k! r r ( k r )!( r )! ( k r)! r! k! r k!( k r ) ( k r)! r! k!( r k r ) ( k r)! r! k!( k ) ( k )! ( k r)! r! ( k r)! r! k k k r r r
27 PAMA34/MODUL.7 Sekarag kita siap utuk membuktika kebeara pejabara suku dua berpagkat di atas dega megambil a = da x = a, yag selajutya disebut Teorema Biomial. Teorema.3 (Teorema Biomial) 3 ( a) a a a... a... a 0 3 k k setiap bilaga asli. utuk Bukti: Kita buktika dega iduksi matematik. () Utuk =l maka ( a) a a 0,bear. () Diasumsika bahwa peryataa bear utuk = k, yaitu: k k k k k r k k ( a) a a... a... a 0 r k Selajutya, aka ditujukka bear utuk = k +. k k ( a) ( a) ( a) k k k k k a a... a ( a) 0 k k k k k k a k k k k a a a k k k k k k k k k k a a... a a 0 k k k Dari lagkah-lagkah () da () dapat disimpulka bahwa teorema terbukti bear utuk setiap bilaga asli. Koefisie-koefisie a pada ruas kaa pada Teorema.3 disebut koefisie biomial. Cotoh: ) Koefisie x 9 dari pejabara ( + x) adalah
28 .8 Teori Bilaga ) Koefisie x 8 dari uraia (x + ) adalah Apabila pada teorema biomial tersebut a = maka diperoleh kesamaa ( ) k k Kesamaa terakhir ii diyataka sebagai teorema berikut ii. Teorema.4 Jika suatu bilaga asli maka k Selajutya perhatika peurua rumus berikut ii. k! k!. k m ( k)! k! ( k m)! m!! ( m)!. ( m)! m! ( m k m)!( k m)! m m k m Rumus yag diperoleh ii diyataka sebagai teorema berikut ii. Teorema.5 Jika, m da k bilaga-bilaga asli dega > k > m maka k m k m m k m Utuk memperjelas maka dari teorema ii, perhatikalah cotoh berikut ii.
29 PAMA34/MODUL.9 Cotoh: Suatu perkumpula terdiri da 5 orag. Aka dibetuk suatu pegurus dari perkumpula tersebut yag terdiri 5 orag da orag di ataraya sebagai pegurus iti. Maka, bayakya piliha pegurus itu adalah: Pemiliha tersebut dapat pula dilakuka dega memilih orag pegurus iti da 5 orag da selajutya utuk melegkapi pegurus itu dipilih 3 orag da 3 orag (yag orag telah terpilih sebagai pegurus iti). Maka, bayakya piliha pegurus ii adalah: Tampak di sii bahwa 3 Pada Teorema.5 tersebut, apabila m = maka diperoleh: k k k Hubuga ii diyataka sebagai teorema berikut ii. Teorema.6 Jika da k bilaga-bilaga asli dega k maka k k k Koefisie-koefisie biomial pada teorema biomial di atas dapat kita susu secara rekursif, seperti tampak pada Gambar., da serig disebut segitiga Pascal sebagai berikut:
30 .30 Teori Bilaga Gambar. Bilaga-bilaga pada segitiga Pascal tersebut dapat dibagu tapa proses rekursif dega otasi kombiatorik seperti tampak pada Gambar.. Perhatika aak paah 5 pada Gambar. da Gambar.. Aak paah 5 itu meujukka bahwa =0 atau 3 Gambar..
31 PAMA34/MODUL.3 Fakta ii secara umum dapat dituliska sebagai berikut: k k k k 3 k r k r... k k k k k k Aak paah 6 pada Gambar. da Gambar. berturut-turut meujukka bahwa =0 atau Fakta ii secara umum dapat diyataka sebagai berikut k k k k 3 k r k r r r Selajutya, dua fakta ii diyataka sebagai teorema berikut ii Teorema.7 Jika da k bilaga-bilaga asli dega k maka k k k k 3 k r k r a) r r k k k k 3 k r k r b)... k k k k k k Buktikalah teorema 7 tersebut, sebagai latiha! (Guaka iduksi matematik) Cotoh: 3 Buktikalah bahwa (-)(-) = 3! 4 k! 3! k! k Jawab: ( k )( k ) k 3! ( k 3)! ( k 3)!3! 3
32 .3 Teori Bilaga Maka, jumlaha pada ruas kiri dalam soal tersebut dapat diyataka sebagai berikut: ! 3! 3!... 3! 3! !, sesuai teorema.7b) di atas. 4 Cotoh: + + Buktikalah bahwa = + 3 Jawab: Perhatika bahwa k dapat ditulis sebagai k = k(k - ) + k. Sehigga ruas kiri dari soal tersebut dapat ditulis sebagai (.0+ ) + (. + ) + (3. + 3) + ( ) (( - ) + ) = ( ( - )) + ( ) 3 4 ((... 3 ) (... ) 3 Cotoh: Buktikalah bahwa Jawab: Pada teorema biomial di atas jika a = maka diperoleh... ( )... ( ) () 0 3 k k k... ( ) k. ( )
33 PAMA34/MODUL.33 Selajutya, megigat teorema 4 diperoleh LATIHAN ) Tujukkalah bahwa = ) Buktikalah bahwa ( k ) k k +. 3) Buktika bahwa ) Hituglah Utuk memperdalam pemahama Ada megeai materi di atas, kerjakalah latiha berikut! k ( k ) k( k ) 5) Buktikalah bahwa ) Hituglah ) Hituglah deret berikut ii yag hasilya diyataka dalam otasi kombiasi ( + ) k 8) Hituglah ( ) k k k Petujuk Jawaba Latiha ) Pada Kegiata Belajar Cotoh dalam modul ii bahwa jumlaha itu adalah = ( ).
34 .34 Teori Bilaga ) Ruas kaa dari kesamaa ii, jika diyataka dalam otasi kombiasi adalah ( k) k k sama dega teorema.4. 3) Teorema Biomial diderivatifka ke a 3 ( a) a a a... a... a 0 3 k 4) k k ( a) a 3 a... a... 3 k a Pada kesamaa terakhir ii jika a = maka diperoleh seperti yag diigika. ( k )!3! k ( k ) k( k ) 3! ( k )!3! 3 sehigga k ( k ) k( k ) 7 k k 3 Selajutya, guaka teorema.7 b) da diperoleh 7 4 5) Tulislah teorema Biomial kembali da substitusi a dega. Apakah Ada memperoleh kesamaa berikut ii? ) (...) ( k )!! k 7) Perhatika bahwa kk ( )! ( k )!! sehigga
35 PAMA34/MODUL.35 k ( + ) = k, guaka teorema.7b) = 3 8) Igat bahwa k k k sehigga k k ( ) k ( ) 0 k k k k (igat cotoh terakhir pada kegiata belajar ii) RANGKUMAN. Bayakya kombiasi r objek yag diambil dari objek adalah:! C(, r) r ( r)! r!. Jika r maka r r 3. Jika k da r bilaga-bilaga asli dega k > r maka k k k r r r 4. Teorema Biomial 3 k ( a) a a a... a... a 0 3 k, utuk setiap bilaga asli. 5. Jika suatu bilaga asli maka a k b Jika, m da k bilaga-bilaga asli dega > k > m maka k m k m m k m
36 .36 Teori Bilaga 7. Jika da k bilaga-bilaga asli dega > k maka k k k 8. Jika da k bilaga-bilaga asli dega > k maka a. k k k k 3 k r k r r r b. k k k k 3 k r k r... k k k k k k TES FORMATIF Pilihlah satu jawaba yag palig tepat! ) Jika da k bilaga-bilaga asli da > k maka k A.! ( k )! k! B.! k! C.! k!( k)! D. k! ( k)!! ) Dega otasi kombiatorik, (k -)(k-)k(k + ) ditulis sebagai. A. k 4! 4 B. k 4 C. k 4 D. k 4! 4
37 PAMA34/MODUL.37 3) 4) 5) A. 9 3 B. 0 5 C. 9 6 D A. 0 6 B. 0 5 C. 9 6 D A. 0 9 B. 0
38 .38 Teori Bilaga C. D ) Koefisie dari suku yag memuat a 9 dari pejabara (a + ) 5 adalah 9 A. 6 B. C. D ) Apabila (a - b) l diuraika maka koefisie dari suku yag memuat ab 0 adalah. A. B. 64 C. 04 D. 0 8) ( )( + ) =. A. 3 3 B. C. D
39 PAMA34/MODUL.39 9) A. 0 6 B C D ) A B C D Cocokkalah jawaba Ada dega Kuci Jawaba Tes Formatif yag terdapat di bagia akhir modul ii. Hituglah jawaba yag bear. Kemudia, guaka rumus berikut utuk megetahui tigkat peguasaa Ada terhadap materi Kegiata Belajar. Tigkat peguasaa = Jumlah Jawaba yag Bear 00% Jumlah Soal
40 .40 Teori Bilaga Arti tigkat peguasaa: 90-00% = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurag Apabila mecapai tigkat peguasaa 80% atau lebih, Ada dapat meeruska dega modul selajutya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Ada harus megulagi materi Kegiata Belajar, terutama bagia yag belum dikuasai.
41 PAMA34/MODUL.4 Kuci Jawaba Tes Formatif Tes Formatif ) D. Jika disubstitusi dega,, da 3 meghasilka peryataaperyataa yag salah. ) D. Apabila disubstitusi dega,, da 3 meghasilka peryataaperyataa yag salah. 3) C. U, 4, U = 4 +.6, U 3 = 4 +.6, da seterusya. 4) C. S = 4, S = 4+.6, S 3 = 4+3.6, S 4 = 4+6.6,...,S = 4+ (-)6. 5) B. Pada ruas kaa, batas atas tada sigma mejadi + da pada ruas kiriya, digati dega +. 6) A. Gatilah dega + da diuraika. 7) A. Deret geometri dega suku awal a da rasio t. 8) B. Substitusi dega. 9) B. Kerjaka seperti petujuk omor 4. 0) B. Gatilah batas atasya dega +. Tes Formatif ) C. Igat rumus kombiasi C(,k). 4!( k )! k ) D. 4! 4!( k 3)! 4 3) B. Igat Teorema.. 4) A. Igat Teorema.7 b) 5) D. Igat Teorema.7 a) 6) B. Terapka teorema Biomial da guaka sifat simetrik. 7) A. Terapka teorema Biomial. 3!( )! 8) C. ( )( ) 3 3!( )! 9) D. Terapka Teorema.6. 0) C. Guaka Teorema.5.
42 .4 Teori Bilaga Daftar Pustaka Apostol, Tom M. (983). Itroductio to Aalytic Number Theory. New York: Joh Wiley & sos. Burto, David M. (986). Elemetary Number Theory Revised Pritig. Bosto: Ally ad Baco, Ic. Dudley, Uderwood. (969). Elemetary Number Theory. Sa Fracisco: W.H. Freema ad Compay. Rose, Keeth H. (993). Elemetary Number Theory ad Its Applicatios, Third Editio. New York: Addisio-Wesley Publishig Compay. Shapiro, Harold N. (995). Itroductio to the Theory of Numbers. New York: Spriger-Verlag. Sukirma. (00). Pegatar Teori Bilaga. Yogyakarta: FMIPA Uiversitas Negeri Yogyakarta.. Teori Bilaga. Jakarta: Proyek Peigkata Mutu Guru SLTP, 994/995. Tucker, Ala. (980). Applied Combiatorics Secod Editio. New York: Joh Wiley & Sos.
Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciSistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat
Lebih terperinciSetelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;
Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika
Lebih terperinciInduksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta
Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh
Lebih terperinciIII BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
Lebih terperincii adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.
4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciInduksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna
Iduksi matematik utuk memecahka problema deret da bilaga bulat betuk kuadrat sempura Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Februari 2011. Diuggah pada 3 Desember
Lebih terperinciKekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa
Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat
Lebih terperinciBARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal
Lebih terperinci1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Lebih terperinciRENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1. : 6 jam pelajaran
RENCANA PROGRAM PEMBELAJARAN KE - 1 Satua Pedidika Mata Pelajara Kelas/Semester Materi Pokok Waktu : SMA N 6 YOGYAKARTA : Matematika : XII IPS/ : Barisa da Deret : 6 jam pelajara 1. Stadar Kompetesi 4.
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT
PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DIKTAT Oleh: Rippi Maya Eliva Sukma Cipta PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 016 Kata Pegatar Diktat ii disusu sebagai
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinciModul Kuliah statistika
Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinciHendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET
Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...
Lebih terperinciPendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia
Lebih terperinciBarisan Aritmetika dan deret aritmetika
BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika
Lebih terperinciBAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS
BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Lebih terperinciSolusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama
Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika
Lebih terperinciPendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual
Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah
Lebih terperinciGalat dan Perambatannya
Modul 1 Galat da Perambataya Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDHULUN ada Modul 1 ii dibahas masalah galat atau derajat kesalaha da perambataya, dega demikia para peggua modul ii diharapka telah memahami
Lebih terperinciBAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
Lebih terperinciMETODE PENELITIAN. dalam tujuh kelas dimana tingkat kemampuan belajar matematika siswa
19 III. METODE PENELITIAN A. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia ii adalah seluruh siswa kelas VIII SMP Negeri 8 Badar Lampug tahu pelajara 2009/2010 sebayak 279 orag yag terdistribusi dalam tujuh
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA. Barisan dan Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO
MODUL MATEMATIKA Barisa da Deret UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2007 KATA PENGANTAR Halo...!!! selamat jumpa dalam Modul Matematika SMA. Dalam
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciEKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI
EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka
Lebih terperinciMetode Beda Hingga dan Teorema Newton untuk Menentukan Jumlah Deret. Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series
Jural ILM DASAR, Vol, No, Juli : 9-98 9 Metode Beda Higga da Teorema Newto utuk Meetuka Jumlah Deret Fiite Differece Method ad Newto's Theorem to Determie the Sum of Series Tri Mulyai,*), Moh Hasa ), Slami
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas
Lebih terperinciBAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3.
BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga
Lebih terperinciBab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinciMETODE BEDA HINGGA DAN TEOREMA NEWTON UNTUK MENENTUKAN JUMLAH DERET (Finite Difference Method and Newton's Theorem to Determine the Sum of Series)
Prosidig emiar Nasioal Matematika, Uiversitas Jember, 9 November 8 METODE BEDA HINGGA DAN TEOREMA NEWTON UNTUK MENENTUKAN JUMLAH DERET (Fiite Differece Method ad Newto's Theorem to Determie the um of eries)
Lebih terperinciKombinatorik: Prinsip Dasar dan Teknik
Kombiatorik: Prisip Dasar da Tekik Drs. Sahid, MSc. Jurusa Pedidika Matematika FMIPA Uiversitas Negeri Yogyakarta sahidyk@gmail.com March 27, 2009 1 Atura Pejumlaha (Atura Disjugtif) Jika utuk melakuka
Lebih terperinciBAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK
BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK 2.1. Buga Majemuk Ada sedikit perbedaa atara suku buga tuggal da suku buga majemuk. Pada suku buga tuggal, besarya buga B = Mp tidak perah digabugka dega modal M. Sebalikya
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd
MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber
Lebih terperinciBAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)
MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag
Lebih terperinci) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...
SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,
Lebih terperinciBarisan, Deret, dan Notasi Sigma
Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai
Lebih terperinciHimpunan. Modul 1 PENDAHULUAN. impunan sudah Anda kenal di sekolah menengah, bahkan sejak sekolah
Modul Himpua Dra Sri Haryati Kartiko, MS PENDHULUN impua sudah da keal di sekolah meegah, bahka sejak sekolah H dasar Himpua merupaka usur yag petig dalam probabilitas, sehigga dipelajari kembali dalam
Lebih terperinciKompleksitas dari Algoritma-Algoritma untuk Menghitung Bilangan Fibonacci
Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma utuk Meghitug Bilaga Fiboacci Gregorius Roy Kaluge NIM : 358 Program Studi Tekik Iformatika, Istitut Tekologi Badug Jala Gaesha, Badug e-mail: if8@studets.if.itb.ac.id,
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk
Lebih terperinciRING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF. Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayani, Suroto Universitas Jenderal Soedirman
JMP : Volume 7 Nomor 1, Jui 2015, hal 11-18 RING MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Achmad Abdurrazzaq, Ari Wardayai, Suroto razzaqgaesha@gmailcom Uiversitas Jederal Soedirma ABSTRACT This paper discusses a matrices
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
Lebih terperinciBAB 6. DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT Deret Taylor
Bab 6 Deret Taylor da Deret Lauret BAB 6 DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT 6 Deret Taylor Misal fugsi f aalitik pada - < R ligkara dega pusat di da jari-jari R Maka utuk setiap titik pada ligkara itu f dapat
Lebih terperinciBab IV. Penderetan Fungsi Kompleks
Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara
Lebih terperinciPROSIDING ISBN:
S-6 Perlukah Cross Validatio dilakuka? Perbadiga atara Mea Square Predictio Error da Mea Square Error sebagai Peaksir Harapa Kuadrat Kekelirua Model Yusep Suparma (yusep.suparma@ upad.ac.id) Uiversitas
Lebih terperinciB a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Lebih terperinciBab 8 Teknik Pengintegralan
Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi
Lebih terperinciPERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperinci,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Lebih terperinci4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN
4.7 TRANSFORMASI UNTUK MENDEKATI KENORMALAN Saat asumsi keormala tidak dipuhi maka kesimpula yag kita buat berdasarka suatu metod statistik yag mesyaratka asumsi keormala meadi tidak baik, sehigga mucul
Lebih terperinciPendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X
Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM
MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,
Lebih terperinciBarisan Dan Deret Arimatika
Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta
Lebih terperinciHendra Gunawan. 14 Februari 2014
MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga
Lebih terperinciModul ini adalah modul ke-3 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini
Aritmetika odular da Aritmetika Sosial ARITETIKA ODULAR DAN ARITETIKA SOSIAL podul p p3p p p PENDAHULUAN odul ii adalah modul ke-3 dalam mata kuliah atematika. Isi modul ii membahas tetag aritmetika modular
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula
Lebih terperincimempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.
Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah
Lebih terperinciSOAL PENYISIHAN =. a. 11 b. 12 c. 13 d. 14 e. 15
SOAL PENYISIHAN Petujuk pegerjaa soal : Jumlah soal 0 soal Piliha Gada da Uraia Utuk piliha gada diberi peilaia bear +, salah -, tidak diisi 0 Lama pegerjaa soal adalah 0 meit Kalau berai, silaka pilih
Lebih terperinciBAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada
8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia
Lebih terperinciPEMBEKALAN OSN-2011 SMP STELA DUCE I YOGYAKARTA MATA PELAJARAN: MATEMATIKA Pemateri: Murdanu
Pemateri: Murdau 1 BAGIAN A 1. Carilah dua bilaga yag hasilkali da jumlahya berilai sama!. Carilah dua bilaga yag perbadiga da selisihya berilai sama! 3. Diketahui: ab = 84, bc = 76, ac = 161. Berapakah
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
Lebih terperinciBatas Bilangan Ajaib Pada Graph Caterpillar
J. Math. ad Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 3, No., Nov 006, 49 56 Batas Bilaga Ajaib Pada Graph Caterpillar Chairul Imro Jurusa Matematika FMIPA ITS Surabaya imro-its@matematika.its.ac.id Abstrak Jika suatu
Lebih terperinciMETODE PENELITIAN. Subyek dalam penelitian ini adalah siswa kelas XI IPA 1 SMA Wijaya Bandar
III. METODE PENELITIAN A. Settig Peelitia Subyek dalam peelitia ii adalah siswa kelas XI IPA 1 SMA Wijaya Badar Lampug, semester gajil Tahu Pelajara 2009-2010, yag berjumlah 19 orag terdiri dari 10 siswa
Lebih terperinciIII. METODE PENELITIAN. kelas VIII semester ganjil SMP Sejahtera I Bandar Lampung tahun pelajaran 2010/2011
III. METODE PENELITIAN A. Latar Peelitia Peelitia ii merupaka peelitia yag megguaka total sampel yaitu seluruh siswa kelas VIII semester gajil SMP Sejahtera I Badar Lampug tahu pelajara 2010/2011 dega
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT
Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag
Lebih terperinciHimpunan Kritis Pada Graph Caterpillar
1 0 Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak
Lebih terperinciRange atau jangkauan suatu kelompok data didefinisikan sebagai selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, yaitu
BAB 4 UKURAN PENYEBARAN DATA Pada Bab sebelumya kita telah mempelajari beberapa ukura pemusata data, yaitu ukura yag memberika iformasi tetag bagaimaa data-data ii megumpul atau memusat Pada bagia Bab
Lebih terperincib. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:
Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah
Lebih terperincitheresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :
theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu
Lebih terperinciPENGARUH VARIASI PELUANG CROSSOVER DAN MUTASI DALAM ALGORITMA GENETIKA UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH KNAPSACK. Sutikno
sutiko PENGARUH VARIASI PELUANG CROSSOVER DAN MUTASI DALAM ALGORITMA GENETIKA UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH KNAPSACK Sutiko Program Studi Tekik Iformatika Fakultas Sais da Matematika UNDIP tik@udip.ac.id
Lebih terperinciHimpunan/Selang Kekonvergenan
oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)
Lebih terperinciREGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan
REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k
Lebih terperinciRuang Vektor. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Ruag Vektor Dr. Irawati D PENDAHULUAN alam buku materi okok Aljabar II ii kita secara erlaha-laha mulai megubah edekata kita dari edekata secara komutasi mejadi edekata yag lebih umum. Yag dimaksud
Lebih terperinciPREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27
PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi
Lebih terperinciMatematika SMA (Program Studi IPA)
Smart Solutio UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 202/203 Disusu Sesuai Idikator Kisi-Kisi UN 203 Matematika SMA (Program Studi IPA) Disusu oleh : Pak Aag SKL 5. Memahami kosep it, turua da itegral dari fugsi
Lebih terperinci-1- U n : suku ke-n barisan aritmetika a : suku pertama n : banyak suku b : beda/selisih
-- BARISAN DAN DERET PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Bisa yaitu susua bilaga yag didapatka di pemetaa bilaga asli yag dihubugka dega tada,. Jika pada bisa tada, digati dega tada, maka disebut deret. Bisa
Lebih terperinciHUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G
J Sais MIPA Desember 7 Vol 1 No Hal: 197 - ISSN 1978-187 ABSTRACT HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G Kristiaa Wijaya Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Jember
Lebih terperinciTEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL
Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig
Lebih terperinci