PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT
|
|
- Devi Kusnadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DIKTAT Oleh: Rippi Maya Eliva Sukma Cipta PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 016
2 Kata Pegatar Diktat ii disusu sebagai baha ajar kuliah Matematika Diskrit ( SKS) di program studi Pedidika Matematika UIN-SGD Badug. Ada 3 Bab dalam diktat ii. Bab I berisi tetag Iduksi Matematik. Pada bab ii aka dibahas beberapa prisip iduksi matematik (PIM), yaitu sederhaa, yag dirampatka da kuat. Bab II tetag Rekuresi. Pada bab ii, aka dibahas tetag barisa yag terdefiisi secara rekursif da relasi rekuresi. Bab III tetag Prisip Peghituga, yag haya aka membahas kaidah pejumlaha da perkalia, prisip iklusi eksklusi, da prisip sarag merpati. Diktat ii masih jauh dari sempura. Oleh sebab itu, agar mahasiswa dapat memahami secara keseluruha materi Matematika Diskrit, maka hedakya mahasiswa membaca buku Matematika Diskrit dari sumber lai yag lebih legkap. Namu, dega segala keterbatasaya, diktat ii diharapka dapat bermafaat bagi mahasiswa khususya da pembaca pada umumya. Badug, September 016 Peulis Rippi Maya rippimaya@gmail.com Eliva Sukma Cipta elivasukmacipta@gmail.com i
3 DAFTAR ISI Kata Pegatar. i Daftar Isi... ii BAB 1 INDUKSI MATEMATIK Prisip Iduksi Sederhaa Prisip Iduksi yag Dirampatka Prisip Iduksi Kuat Betuk Iduksi Secara Umum. 16 BAB REKURSI Barisa yag Terdefiisi secara Rekursif Solusi Rekuresi yag Berkaita dega Poliom Karakteristik 6.3 Solusi Relasi Rekuresi: Fugsi Pembagkit... 3 BAB 3 PRINSIP PENGHITUNGAN Kaidah Peumlaha da Perkalia Prisip Iklusi-Eksklusi Prisip Sarag Burug Merpati...53 DAFTAR PUSTAKA 60 ii
4 BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga bulat. Metode pembuktia ii sagat petig dalam matematika. Beberapa Prisip Iduksi Matematik (PIM) yag perlu diketahui: 1. Sederhaa. Yag dirampatka (geeralized) 3. Kuat 1.1 Prisip Iduksi Sederhaa Prisip Iduksi Sederhaa Misal P ( ) adalah suatu proposisi (peryataa) tetag bilaga bulat positif. Aka dibuktika bahwa P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Utuk membuktika P ( ) bear, cukup ditujukka: (i) P(1) bear, (ii) Jika Pbear, ( ) maka P ( 1) juga bear utuk setiap 1, sehigga P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif. Tahap (i) dalam pembuktia disebut basis iduksi, semetara tahap (ii) disebut lagkah iduksi. Asumsi yag dikemukaka dalam tahap (ii) disebut sebagai hipotesis iduksi. Cotoh 1.1: Dega iduksi matematik, buktika bahwa: ( 1)( ) 1 3 1, utuk semua 1. 3 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
5 Bukti : Misalka Basis Iduksi: Utuk 1: Ruas kiri: ( 1)( ) P( ) :1 3 1, utuk semua (), da Ruas kaa: 1()(3) 3 Karea kedua ruas berilai sama, maka P (1) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis iduksi: Adaika Aka dibuktika P ( ) bear, yaitu: bear, yaitu ( 1)( )( 3) ( 1)( ). 3 Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: Jadi P ( 1) bear utuk setiap 1. ( 1)( ) P ( 1) ( 1)( ) 1() (3)... ( 1) ( 1)( ) ( 1)( ) 3 ( 1)( ) 3( 1)( ) 3 ( 1){ ( ) 3( )} 3 ( 1)( 5 6) ( 1)( )( 3) 3 3 Kesimpula: Karea P(1) da P(+1) bear utuk setiap 1, maka P ( ) juga bear utuk semua bilaga bulat positif. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
6 3 Cotoh 1.: Dega megguaka iduksi matematik buktika bahwa: ( 1)( 1) (1), utuk semua 1. 3 Bukti: ( 1)( 1) Misalka P( ) : ( 1), utuk semua 1. 3 Basis iduksi: Utuk 1: Ruas kiri: 1 (1) 1 (1) (1) 1 1 da ruas kaa: Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: Karea kedua ruas berilai sama, maka bear. Lagkah iduksi Hipotesis iduksi: Adaika bear yaitu ( 1)( 1) ( 1). 3 Aka dibuktika + juga bear, yaitu Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
7 4 Jadi P ( 1) bear utuk setiap 1. Kesimpula: Karea P (1) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 1, utuk semua bilaga bulat positif 1. maka P bear Cotoh 1.3: Dega iduksi matematik, buktika bahwa 1. 1 habis dibagi 3, utuk semua Bukti: Misalka P ( ) : 1 habis dibagi 3, utuk semua 1. Basis Iduksi: (1) Utuk 1: adalah kelipata 3 yag habis dibagi 3. Jadi P(1) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi: adaika P ( ) bear, yaitu 1 habis dibagi 3, utuk semua 1, maka terdapat k, sehigga 13 k. Aka dibuktika P ( 1) bear, yaitu 1 habis dibagi 3, utuk semua 1. ( 1) Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: ( 1) Berdasarka hipotesis iduksi, 1 habis dibagi 3 da 3. adalah (3 1) 1 kelipata 3 yag habis dibagi 3, sehigga jumlah dibagi 3. Jadi P ( 1) bear utuk setiap da 1 juga habis Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
8 5 Kesimpula: Karea P (1) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 1, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 1. Cara lai utuk lagkah iduksi: Karea 1 3 k, k, maka 1 3k 3k1, sehigga Karea 3 4k 1 adalah kelipata 3 yag habis dibagi 3, maka P ( 1) bear utuk setiap 1. ( 1) k k 3 3 4k 1 Kesimpula: Karea P (1) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 1, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 1. Cotoh 1.4: Dega iduksi matematik, buktika bahwa 1. Bukti: 3 1 habis dibagi 8, utuk semua Misalka P ( ) : 3 1 habis dibagi 8, utuk semua 1. Basis Iduksi:.1 Utuk 1: habis dibagi 8. Jadi P(1) bear. Lagkah Iduksi: Adaika P ( ) bear, yaitu 3 1 habis dibagi 8, utuk semua 1 (hipotesis iduksi). Maka terdapat bilaga bulat k, sehigga 3 18k. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
9 6 Aka dibuktika P ( 1) bear utuk semua 1 1, yaitu 3 1 habis dibagi 8. Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: ( 1) Berdasarka hipotesis iduksi, 3 1 habis dibagi 8 da 3. 3 adalah (8 1) kelipata 8 yag habis dibagi 8, sehigga jumlah 3. 3 da 3 1 dibagi 8. Jadi P ( 1) bear utuk setiap 1. juga habis Kesimpula: Karea P (1) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap bilaga bulat positif 1, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 1. Cara lai utuk lagkah iduksi: Karea k, k, maka 3 1 8k 3 8k1, sehigga Karea 8 9k 1 adalah kelipata 8 yag habis dibagi 8, maka P ( 1) bear utuk setiap bilaga bulat positif 1. ( 1) k k 8 8 9k 1 Kesimpula: Karea P (1) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap bilaga bulat positif 1, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 1. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
10 7 Soal-soal Latiha Buktika peryataa berikut ii dega megguaka iduksi matematik , a 1 a a... a, 1 a ( 1), (3 ), utuk semua 0 da a , 1. ( 1) 6. (a) , utuk setiap bilaga asli ( 1) (b) , utuk setiap bilaga asli. 4 (c) Guaka hasil pada soal (a) da (b) utuk meyataka bahwa , utuk semua habis dibagi, utuk 1. habis dibagi 3, utuk habis dibagi 5, utuk habis dibagi 4, utuk habis dibagi 6, utuk semua habis dibagi 5, utuk setiap habis dibagi 9, utuk habis dibagi 3, utuk 1. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
11 8 1. Prisip Iduksi yag Dirampatka Prisip Iduksi yag Dirampatka (geeralized) Misal P ( ) adalah proposisi (peryataa) tetag bilaga bulat. Aka dibuktika P ( ) bear utuk semua bilaga bulat 0. Utuk membuktika P ( ) bear, cukup ditujukka: (i) P ( 0) bear, (ii) Jika P ( ) bear, maka P ( 1) juga bear utuk setiap 0, sehigga P ( ) bear utuk semua bilaga bulat 0. Cotoh 1.5: Dega iduksi matematik buktika bahwa! positif 4., utuk semua bilaga bulat Bukti: Misal P():!, utuk semua bilaga bulat positif 4. Basis iduksi: Utuk = 4: 4! 4 da 4 16, sehigga 4 4!. Jadi P(4) bear. Lagkah iduksi: Adaika P ( ) bear, yaitu! utuk semua bilaga bulat positif 4. 1 Aka dibuktika + juga bear yaitu 1!. Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: 1! 1! 1 berdasarka hipotesis iduksi 1. karea 4 maka Jadi 1!. Dega kata lai P ( 1) bear utuk setiap 4. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
12 9 Kesimpula: Karea P(4) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 4, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 4. Cotoh 1.6: Buktika bahwa, utuk 5. Bukti: Misalka P(): Basis iduksi:, utuk 5. Utuk = 5: Jadi P(5) bear. Lagkah iduksi: Adaika P(): Aka dibuktika ( 1), utuk 5 bear (hipotesis iduksi) 1 P bear, yaitu 1. Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut: 1. berdasarka hipotesis iduksi 5 3 (karea 5 5 ) 1 1 (karea ) 1 Jadi 1. Dega kata lai P ( 1) bear utuk setiap 5. Kesimpula: Karea P(5) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 5, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 5. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
13 10 Cotoh 1.7: Sebuah toko buku mejual amplop dalam paket yag berisi 5 amplop da 7 amplop. Fatimah aka membeli amplop. Buktika dega iduksi matematik bahwa utuk setiap 4, toko buku ii dapat memeuhi pesaa tepat amplop. Asumsika bahwa persediaa utuk setiap paket amplop tidak terbatas. Bukti: Misalka P ( ) adalah proposisi yag meyataka bahwa utuk membeli (memesa) amplop sebayak ( 4 ), diperluka paket amplop berisi 5 amplop da 7 amplop. Basis iduksi: Utuk 4 (5) (7) 4. Artiya utuk membeli amplop sebayak 4, diperluka paket amplop berisi 5 amplop da paket amplop berisi 7 amplop. Jadi P (4) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi : Misalka Pbear. ( ) Aka dibuktika + bear. Ada dua kemugkia solusi: 1) Misalka Fatimah aka memesa amplop sebayak amplop, maka ia sedikitya aka meerima 1 paket amplop berisi 7 amplop. Dega meggati paket berisi 7 amplop dega 3 paket berisi 5 amplop aka diperoleh amplop sebayak 1 amplop. ) Misalka utuk memesa amplop sebayak amplop ( 4 ), tidak ada paket amplop berisi 5 amplop, haya paket amplop berisi 7 amplop yag tersedia. Maka dega meggati 4 paket amplop berisi 5 amplop dega 3 paket amplop berisi 7 amplop, aka diperoleh amplop sebayak 1 amplop. Jadi P ( 1) bear utuk setiap 4. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
14 11 Kesimpula: Karea P(4) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap 4, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 4. Jadi utuk memesa amplop sebayak amplop, cukup dilakuka dega memesa paket yag berisi 5 amplop da amplop saja. Cotoh 1.8: Utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 3 se da peragko 5 se saja. Buktika peryataa tersebut dega iduksi matematik. Bukti: Misal: : utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 3 se da peragko 5 se. Basis Iduksi: Utuk 8: 8 1(3) 1(5). Artiya utuk membayar peragko seilai 8 se dapat diguaka 1 peragko 3 se da 1 peragko 5 se. Jadi P (8) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi : Adaika bear. Aka dibuktika + bear. Ada dua kemugkia solusi: 1) Misalka kita bayar biaya pos seilai se dega sedikitya 1 peragko 5 se. Dega meggati 1 peragko 5 se dega peragko 3 se aka diperoleh biaya pos seilai +. ) Misalka utuk biaya pos seilai se ( ) dega sedikitya 3 peragko 3 se. Dega meggati 3 peragko 3 se dega peragko 5 se aka diperoleh biaya pos sebesar + se. Jadi P ( 1) bear utuk setiap. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
15 1 Kesimpula: Karea P(8) da P ( 1) terbukti bear utuk setiap, maka P ( ) bear utuk semua bilaga bulat positif 8. Jadi utuk semua selalu dapat diguaka peragko 3 se da 5 se utuk membayar biaya pos. Soal-soal Latiha 1. Buktika bahwa <! utuk semua bilaga asli > 6.. Buktika bahwa 3 1 utuk semua bilaga asli Sebuah kios peukara uag haya mempuyai pecaha uag seilai Rp. 000,00 da Rp ,00. Utuk uag seilai berapa saja yag dapat ditukar dega kedua pecaha uag tersebut? Buktika kebeara jawaba ada dega megguaka iduksi matematik. 4. Buktika bahwa utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 5 se da peragko 6 se saja. 5. Buktika bahwa utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 3 se da peragko 8 se saja. 1.3 Prisip Iduksi Kuat Prisip Iduksi Kuat Misalka adalah peryataa tetag bilaga bulat. Aka dibuktika bear utuk semua bilaga bulat. Utuk membuktika ii cukup ditujukka: (i) P( 0 ) bear, (ii) Jika, +,..., bear maka + juga bear, utuk setiap bilaga bulat, sehigga P() bear utuk semua bilaga bulat 0. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
16 13 Catata: Iduksi kuat mirip iduksi yag dirampatka. Perbedaaya terdapat pada lagkah (ii). Iduksi kuat megambil hipotesis yag lebih kuat, yaitu:,,..., bear. Prisip ii memugkika kita mecapai kesimpula yag sama meskipu memberlakuka pegadaia yag lebih bayak. Cotoh 1.9: Guaka iduksi kuat utuk membuktika bahwa setiap bilaga asli adalah bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima. Bukti: Misalka P ( ) adalah proposisi bahwa setiap bilaga asli adalah bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima. Basis Iduksi: Utuk =, maka peryataa di atas bear karea adalah bilaga prima. Lagkah Iduksi: Hipotesis iduksi: Adaika P(), P(3),..., P( ) bear. Artiya bahwa setiap bilaga asli tersebut (, 3,, ) merupaka bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima. Aka ditujukka: + juga merupaka bilaga prima atau hasil kali bilaga prima. Ada dua kasus yag perlu dibuktika, yaitu jika + prima atau + buka prima: Jika + prima, maka jelas peryataa bear; Jika 1 buka prima, maka 1 dapat difaktorka, yaitu 1 dega ab, yag memeuhi a, b 1. Berdasarka hipotesis iduksi, a da b merupaka bilaga prima atau merupaka hasil kali bilaga prima, sehigga + juga merupaka hasil kali prima. Jadi, setiap bilaga asli adalah bilaga prima atau merupaka hasil kali prima. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit ab
17 14 Cotoh 1.10: Guaka prisip iduksi kuat utuk membuktika bahwa utuk meyelesaika suatu puzzle dega potoga, diperluka lagkah. Bukti: Misalka P ( ) adalah proposisi yag meyataka bahwa utuk meyelesaika suatu puzzle dega potoga, diperluka lagkah. Basis Iduksi: Utuk puzzle dega 1 potoga tidak diperluka cara meyelesaikaya. Jadi P (1) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi: adaika P(1), P(), P(3),..., P( ) bear. Artiya utuk meyelesaika puzzle dega lagkah. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit =,,,..., potoga diperluka Aka ditujukka bahwa puzzle dega + potoga memerluka lagkah utuk meyelesaikaya. Bagi + potoga mejadi dua bagia yaitu da bagia, sehigga + = +. Meurut hipotesis iduksi: - utuk meyelesaika puzzle dega potoga diperluka lagkah, - utuk meyelesaika puzzle dega potoga diperluka lagkah. Apabila kedua lagkah tersebut digabugka dega satu lagkah terakhir utuk meyatukaya, maka diperoleh: 1 1 Jadi P ( 1) bear utuk setiap 1. Kesimpula: ( 1) ( 1) Karea P(1) da P ( 1) bear utuk setiap 1, maka P ( ) bear utuk setiap bilaga positif. Dega kata lai, utuk meyelesaika puzzle dega potoga diperluka lagkah.
18 15 Cotoh 1.11: Buktika dega iduksi kuat bahwa utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 4 se da atau peragko 5 se saja. Bukti: Misal: : utuk membayar biaya pos sebesar se selalu dapat diguaka peragko 4 se da atau peragko 5 se. Basis Iduksi: Utuk = =. Artiya utuk membayar peragko seilai 1 se dapat diguaka 3 peragko 4 se. Jadi P (1) bear. Lagkah Iduksi: Hipotesis Iduksi: Adaika,,,..., bear = = + + = + = + + = + = + + = = + + = = = + = P( ) k(4) l(5) dega kl,. Aka dibuktika bahwa P ( 1) bear. Berdasarka hipotesis iduksi, diperoleh pola peggatia peragko, yaitu 1 peragko 4 se dapat digati dega 1 peragko 5 se atau 3 peragko 5 se digati dega 4 peragko 4 se, sehigga diperoleh biaya pos seilai + se. Jadi + bear utuk setiap. Kesimpula: Karea P (1) da + bear utuk setiap, maka bear utuk semua. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
19 Betuk Iduksi Secara Umum Agar iduksi matematik dapat diguaka utuk pembuktia yag berkaita dega bilaga atau obyek secara umum, tidak haya berkaita dega bilaga bulat positif saja, maka dibuat betuk iduksi secar umum. Syaratya, himpua bilaga atau obyek tersebut harus mempuyai keteruruta da eleme terkecil. Berikut ii adalah defiisi terurut dega baik. Defiisi 1.1: Terurut dega baik (Well OrderigPriciple ) Relasi bier < pada himpua R dikataka terurut dega baik, jika: 1. Diberika,,, < da < < (sifat trasitif). Diberika, : < atau < atau =, 3. Jika A himpua bagia tidak kosog dari R, terdapat eleme x A sedemikia sehigga utuk semua. Dega kata lai, setiap himpua bagia tidak kosog R memuat eleme terkecil. Dari defiisi terurut dega baik tersebut, didefiisika iduksi secara umum. Defiisi 1.: Iduksi secara umum Misal: X terurut dega baik oleh <. adalah peryataa perihal eleme dari X. Utuk membuktika bear utuk semua x X, cukup ditujukka: 1. P( ) bear, dega adalah eleme terkecil dalam X,. jika P(y) bear utuk <, maka P(x) juga bear utuk setiap > dalam X, sehigga Px ( ) bear utuk semua x X. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
20 17 Cotoh 1.1: Perhatika barisa bilaga bulat yag didefiisika sebagai berikut: jika = da =, = {, + jika =, + jika Cotoh barisa bilaga, =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + =, =, + = + = Buktika dega iduksi matematik, bahwa utuk pasaga tak egatif m da, berlaku, = +. Bukti: Misalka Px ( ) adalah peryataa yag berkaita dega S m, yag didefiisika pada soal di atas. Basis Iduksi: x0 0,0 adalah eleme terkecil di dalam X, sehigga P( x0 ) S0,0. S0, , sedagka berdasarka defiisi S0,0 0. Jadi Px ( 0) bear. Lagkah Iduksi: Misalka P( y) m S ', ' da P x S, ( ) m. Adaika, = + bear utuk semua, <, (Hipotesis Iduksi). Aka dibuktika bahwa, = + juga bear utuk semua ( m, ) (0,0) di X. Dega kata lai, berdasarka defiisi di atas aka ditujukka bahwa, = +, baik utuk = atau. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
21 18 Kasus I: Jika =, maka dari defiisi, =, +. Sm1, m 1, Karea, <, maka dari hipotesis iduksi Sm, Sm1, 1 m 1 1 m. Jadi S, P( x) bear. sehigga m Kasus II: Jika, maka dari defiisi, =, +. Karea, <, maka dari hipotesis iduksi S m sehigga m, 1 1, Sm, Sm, 1 1 m 1 1 m. Jadi S, P( x) bear. Dari kasus I da II disimpulka bahwa, = + bear utuk (m,) di X. Kesimpula: Karea P( x0 ) S0,0 da P( x) Sm, bear maka terbukti bahwa, = + bear utuk semua pasaga tak egatif m da. m Latiha 1.14: Perhatika barisa bilaga yag didefiisika sebagai berikut:, =, = {, + jika =, + jika Buktika dega iduksi matematika bahwa utuk semua pasaga bilaga bulat positif, berlaku S, ( m ) 1. m Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
22 19 BAB REKURSI.1 Barisa yag Terdefiisi secara Rekursif Misalka adalah bilaga asli. dapat ditulis sebagai.... Dega kata lai, 1 k k da utuk k 1,... (i) Peryataa (i) tersebut merupaka salah satu cotoh dari defiisi rekursif. Peryataa tersebut dega jelas meyataka defiisi, jika 1. Kemudia dega megasumsika terdefiisi utuk k, maka aka didefiisika utuk k 1. Berdasarka Prisip Iduksi Matematik (PIM), telah terdefiisi utuk semua bilaga bulat 1... Cotoh lai dari defisi rekursif adalah: da utuk 0! 1 k 0, k 1! k 1. k! yag berdasarka PIM,! telah terdefiisi utuk setiap 0. Barisa bilaga-bilaga serig didefiisika secara rekursif. Barisa adalah fugsi-fugsi yag domaiya merupaka himpua bulat tak berhigga (serig diyataka dega ) da yag daerah hasilya (rage) merupaka himpua bilaga real. Karea domaiya dapat dihitug, maka biasaya suatu barisa diyataka dega meyebutka daerah hasilya. Sebagai cotoh, barisa di maa fugsi f : didefiisika oleh f ( ), biasaya secara umum diyataka oleh 1,4,9,16,... Bilaga-bilaga dalam barisa tersebut diyataka sebagai suku-suku barisa (the terms of the sequece). Barisa,4,8,16,... dapat didefiisika secara rekursif sebagai: a da utuk k 1, a a... (ii) 1 k1 k Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
23 0 Bila dijabarka, a a 4, a a 4 8, a a , 4 3 da seterusya. a k1 a disebut relasi rekuresi da k a1 disebut kodisi awal. Defiisi rekursif lai yag mugki utuk barisa (ii) adalah Atau a da utuk k 0, a a 0 k1 k a1 da utuk k, ak ak 1. Setelah meyebutka beberapa suku barisa, dapat diduga rumus umum utuk a. Utuk cotoh di atas, rumus umumya adalah a, da ii disebut. sebagai solusi relasi rekuresi. Cotoh: 1. Tuliska eam suku pertama dari barisa yag didefiisika oleh a 1, a 3a 1, utuk k 1. 1 k1 Perkiraka rumus utuk a da buktika dega PIM bahwa rumusmu bear. k Jawab: a 1, Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit a a a a a 1 3a 1 3(1) 1 4, 1 3a , 3 3a 1 3(13) 1 40, 4 3 3a 1 3(40) 1 11, 5 4 3a 1 3(11) a 3 1. Meurut dugaa, rumus utuk barisa di atas adalah Bukti dega PIM: 1 1, a1 (bear). 1 Utuk
24 1 1 diasumsika bear. k Utuk k 1, a k bear. k1 Aka dibuktika a k 1 Berdasarka defiisi relasi rekuresi, a k ak Suatu barisa didefiisika oleh k k k1.. terbukti. a 1, a 4 da a 4a 4 a, Tuliska eam suku pertama dari barisaya. Perkiraka rumus utuk a da periksa keabsaha dugaamu. Jawab: Perhatika bahwa a 1, a 4, a 4a 4a , a 4a 4a , a 4a 4a , a 4a 4a Dugaaya adalah a a a a (8) 8 4(8) (16) 16 5(16) (3) 3 6(3) Bukti: Utuk Utuk 0 0, (0 1) 1(1) 1 a0 bear 1 1, (1 1) 4 a1 bear Asumsika bahwa utuk k > 1, da a ( 1), utuk semua dalam selag Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit 0 k. Aka dibuktika rumus bear utuk = k, yaitu a ( k 1) k. Karea k
25 k da dari defiisi ak 4ak 1 4ak, maka dega meerapka hipotesis iduksi utuk k - 1 da k ( 0 k ak k, sehigga k a k k 1 k k k 1 ), diperoleh 1 k ak k da k k k k k k k. k. k. k 1 terbukti. Jadi berdasarka PIM, rumusya berlaku utuk semua 0. Perhatika bahwa dari defiisi diperoleh rumus a Da dari defiisi diperoleh rumus a 1, a 4,da utuk 1, a 4a 4a a 1, a 4, da utuk 1, a 4a 4 a, Barisa Aritmetika Defiisi: Barisa aritmetika dega suku pertama a da selisih d, adalah barisa yag didefiisika oleh a1 a, da utuk k 1, ak 1 ak d Barisa aritmetika umum mempuyai betuk: Sehigga utuk 1, suku ke- barisa adalah a, a d, a d, a 3 d,... a a ( 1) d Jumlah suku barisa aritmetika dega suku pertama a da selisih d adalah S a 1 d Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
26 3 Cotoh: 100 suku pertama dari barisa -17, -1, -7, -, 3, mempuyai jumlah 100 S Da suku ke-100 adalah a (5) 478. Jika diketahui bilaga 038 termasuk salah satu suku barisa tersebut, maka dapat ditetuka suku ke berapa bilaga 038 tersebut: a 17 ( 1) Jadi bilaga 038 merupaka suku ke-41 dari barisa tersebut. Defiisi:. Barisa Geometri Barisa geometri dega suku pertama a da rasio r adalah barisa yag didefiisika oleh a a da utuk k 1, a r. a. 1 k1 k Barisa geometri secara umum mempuyai betuk 3 a, ar, ar, ar,..., ar,... da suku ke- adalah 1 ar.. Jumlah suku barisa geometri, dega r 1 adalah Cotoh: a(1 r ) S 1 r 1. Jumlah 9 suku barisa geometri dega 1 a 8 da 1 r adalah Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
27 S Suku ke-30 dari barisa geometri tersebut adalah a Barisa Fiboacci Sekilas tetag asal usul barisa Fiboacci. Leoardo Fiboacci/Leoardo of Pisa ( ) adalah salah seorag matematikawa terkemuka yag mecetuska barisa Fiboacci, yag berkaita dega pertumbuha kelici. Misalka kelici yag baru lahir mempuyai keturua pada akhir bula ke-dua kehidupaya. Setelah masa itu, mereka meghasilka sepasag kelici setiap bula (satu jata, satu betia). Dega asumsi bahwa pada awalya ada satu pasag kelici, maka berapa kelici yag hidup setelah 1 tahu? Barisa yag meyataka bayakya pasaga kelici pada akhir bula, disebut Barisa Fiboacci. Setelah 1 bula, haya ada 1 pasag kelici, tetapi pada bula-bula berikutya, pasaga ii bertambah dega kelahira keturua-keturuaya, sehigga setelah bula, ada pasag kelici. Pada akhir bula tertetu, bayakya pasaga kelici adalah bayakya kelici yag hidup pada akhir bula sebelumya ditambah bayakya pasaga yag hidup bula yag lalu, karea setiap pasaga yag hidup dua bula yag lalu, meghasilka sepasag keturua. Barisaya diyataka sebagai berikut: 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1,, yag didefiisika secara rekursif sebagai berikut: f 1, f 1, da utuk k, f f f. 1 k1 k k1 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
28 5 Suku ke- dari barisa Fiboacci adalah bilaga bulat yag terdekat dega bilaga Beberapa ilaiya adalah 0,7361; 1,1708; 1,89443; 3,0655; 4,95967; 8,049; 1,98460 da 1,0095. Bilaga bulat yag terdekat dega bilaga-bilaga tersebut adalah 8 suku pertama dari barisa Fiboacci, yag sudah disebutka sebelumya. Perlu diperhatika bahwa barisa yag kelihataya terdefiisi secara rekursif, teryata tidak medefiisika barisa yag sebearya, sebagaimaa terlihat dalam cotoh berikut ii. Cotoh: Perhatika defiisi rekursif berikut ii: 1 ak /, jika kgeap a1 1, da utuk k 1, ak. 1 a3k 1, jika k gajil Bila diuraika relasi rekuresiya, maka diperoleh suku-suku barisa sebagai berikut: a 1, a 1 a a 1 a 1 (1 a ) a (1 a ) 3 a 5. a a 3. 4 a 1 a 1 (1 a ) a (1 a ) a 3 (1 a ) 4 a 4 (1 a ) a (tidak mugki 0 5) Jadi tidak ada barisa yag telah didefiisika. Latiha: 1. Tuliska 6 suku pertama dari barisa yag didefiisika sebagai berikut: Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
29 6 1 ak /, jika k geap a1 1 da utuk k 1, ak 1 a3k 1, jika k gajil.. Berika defiisi rekursif utuk barisa-barisa berikut ii: a ,5,5,5,5,... b. 5,3,1, 1, 3,... c. 4,1,3,,5, 7,1, 19,31,... d. 1,,0,3, 1,4,,.... Solusi Rekuresi yag Berkaita dega Poliom Karakteristik Dalam sub bab ii aka dibahas prosedur utuk peyelesaia relasi rekuresi yag berbetuk: Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit a ra 1 sa f ( ),... (i) Dega r da s kostata, f( ) adalah fugsi dari. Relasi rekuresi tersebut dikeal sebagai relasi rekuresi liier orde ke-dua dega koefisie kostata. Jika f( ) 0, maka relasiya disebut homoge. Orde ke-dua merujuk pada defiisi relasi rekuresi yag meyataka bahwa a sebagai fugsi dari dua suku yag medahuluiya. Cotoh 1: Berikut ii adalah beberapa cotoh relasi rekuresi liier orde ke-dua dega koefisie kostata. 1. a a, 1 a yaitu relasi rekuresi yag mucul dalam defiisi barisa Fiboacci. Relasi ii homoge dega r s 1. Perhatika bahwa relasi rekuresi tersebut merupaka modifikasi dari betuk a, 1 a a 1 seperti pada defiisi barisa Fiboacci a a a r 5, da s 6 da f., dega 3. a 3a 1. Ii relasi homoge dega r 3, da s 0.
30 7 Cotoh : Perhatika dua relasi rekuresi berikut: 1. a 5a 1 3a 3. Ii buka relasi rekuresi orde ke-dua.. a a a 1.. Ii relasi rekuresi yag tidak liier. Relasi rekuresi homoge a ra 1 sa dapat ditulis dalam betuk a r. a s. a 0, yag berkaita dega poliom kuadrat: 1 disebut poliom karakteristik dari relasi rekuresi. x rx s, yag Cotoh: Relasi rekuresi a 5a 1 6a mempuyai poliom karakteristik da akar-akar karakteristik da 3. x 5x 6 Teorema: Misalka x1da x adalah akar-akar poliom x rx s. Maka solusi dari relasi rekuresi a r. a 1 s. a, adalah a c1x 1 cx, jika x1 x. a c1x 1 c x, jika x1 x x Pada masig-masig kasus, c1da c adalah kostata yag ditetuka oleh kodisi awal. Latiha 1: Selesaika relasi rekuresi a 5a 1 6 a,, bila diketahui a0 1, a1 4. Latiha : Selesaika relasi rekuresi a 4a 1 4 a,, dega kodisi awal a 1, a Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
31 8 Latiha 3: Tetuka rumus suku ke- dari barisa Fiboacci, bila diketahui kodisi awalya a 0 a1 1 buka a1 a 1. Perhatika betuk umum relasi rekuresi orde ke-dua: a ra 1 sa f ( ). (i). Misalka diperoleh satu solusi khusus p dari relasi rekuresi di atas, maka p rp 1 sp f ( ). (ii) Misalka t adalah solusi lai dari relasi rekuresi (i) di atas, maka t r t 1 st f ( ).. (iii) Dega meguragka persamaa (iii) dega (ii), diperoleh t p r t p s t p. (iv). 1 1 Persamaa (iv) ii meujukka bahwa t p memeuhi relasi rekuresi homoge a ra 1 sa. Tulis t p q, maka t p q, dega p adalah solusi khusus dari persamaa (i) da homoge yag berkaita. Teorema: Misalka q memeuhi relasi rekuresi p adalah solusi khusus utuk relasi rekuresi a ra 1 sa f ( ), dega kodisi awalya diabaika. Misalka q adalah solusi utuk relasi rekuresi homoge a ra 1 sa, dega kodisi awal diabaika. Maka p q adalah solusi utuk relasi rekuresi a ra 1 sa f ( ). Kodisi awal meetuka kostata-kostata di q. Cotoh: Selesaika relasi rekuresi a 3 a 1, 1, dega a0 1. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
32 9 Jawab: I. Mecari solusi khusus p Karea f liier, maka pilih p fugsi liier, yaitu p a b, dega a da b aka ditetuka. Substitusika a + b ke dalam relasi rekuresi yag diketahui sehigga diperoleh: a b 3a b 1 3a 3b 13b. Dega demikia, a 3a 3b da b1 3b, sehigga diperoleh 4a 3b 0 4a 3b a 3 a. 4b 1 b Jadi p adalah solusi khusus utuk relasi rekuresi tersebut, dega 16 4 megabaika kodisi awal. II. Mecari solusi homoge q Relasi rekuresi homoge yag berkaita dega kasus ii adalah a 3a 1, yag poliom karakteristikya adalah x adalah -3 da 0. Jadi solusi relasi rekuresi homogeya adalah 3x, dega akar-akar karakteristikya q c c c 1 1 III. Meerapka kodisi awal utuk memperoleh solusi ohomoge a p q Dari solusi khusus p da homoge q yag diperoleh, dapat ditetuka solusi relasi ohomogeya, yaitu a p q c 3 Karea a0 1, maka a c c1 1 c Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
33 30 Jadi solusiya adalah a 3 Latiha: Selesaika a a 13a 5,, dega a0, a1 1. Jawab: I. Mecari solusi khusus p f, maka pilih p 5. Substitusika p tersebut ke dalam Karea 5 persamaa rekuresi yag ada, sehigga diperoleh. Karea 5 0, maka 5 p 5. 1 Jadi solusi khusus p p 3p a5 3a5 a 5 a 5 3a a3a a 10a 3a a 5 a p II. Mecari solusi relasi rekuresi homoge: q Dari relasi rekuresi homoge a a 1 3a, maka dapat ditetuka poliom karakteristik yaitu x x 3, yag mempuyai akar-akar karakteristik: -1 da 3. Jadi solusi homogeya adalah q c 1 c 3. 1 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
34 31 III. Meerapka kodisi awal utuk meetuka solusi relasi rekuresi ohomoge a p q Berdasarka teorema, relasi rekuresi yag diketahui mempuyai solusi Dari kodisi awal a0 diperoleh Dari kodisi awal a0 1 diperoleh 5 5 a q p c1 1 c a0 5 c1 1 c c1 c c1 c a c1 1 c c1 3c 1 c1 3c Dega megguaka metode elimiasi, diperoleh hasil c1 da c, 4 8 sehigga solusi relasi rekuresi liier orde ke-dua adalah Latiha: a I. Carilah solusi relasi rekuresi homoge berikut: 1. a a 1 a a0 a1 6,, jika diketahui 1, 3.. a a 1 a a0 a1 6 7,, jika diketahui 3, a a 1 a a0 a1 6 9,, jika diketahui 5, a a 1 a a0 a1 9 6,, jika diketahui 3, 1. II. Carilah solusi relasi rekuresi ohomoge berikut: 1. 1 a 4a 4 a,, diketahui a0 5, a1 9 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
35 3. a 4a 1 8, 1, diketahui a a 5a 6a 3,, diketahui a0, a a 6a 1 9a 3,, diketahui a0, a a a a, diketahui a0 0, a ,.3 Solusi Relasi Rekuresi: Fugsi Pembagkit Fugsi Pembagkit adalah suatu poliom yag berlagsug selamaya (goes o forever), yaitu sebuah ekspresi dalam betuk f ( x) a a x a x a x... a x Tidak seperti poliom pada umumya, di maa koefisie a i semuaya ol setelah titik tertetu, fugsi pembagkit biasaya mempuya tak higga bayakya suku tak ol. Ada kaita yag jelas atara fugsi pembagkit dega barisa a, a, a,..., sebut saja 1 3 a a x a x a x... a, a, a, a, Defiisi: Fugsi pembagkit dari suatu barisa a1, a, a 3,... adalah ekspresi f x a a x a x ( ) Cotoh: Fugsi pembagkit dari barisa 1,,3, bilaga asli adalah f ( x) 1 x 3 x..., semetara fugsi pembagkit dari barisa aritmetik 1,4,7,10, adalah f x x x x 3 ( ) Fugsi pembagkit dapat dijumlahka da dikalika suku demi suku seperti pada poliom. Jika f x a a x a x da ( ) g x b b x b x maka ( ) f ( x) g( x) a b a b x a b x f ( x) g( x) a b a b a b x a b a b a b x Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
36 33 Catata: Meski fugsi pembagkit mempuyai takberhigga bayakya suku, amu defiisi pejumlaha da perkalia tidak melibatka jumlah takberhigga; sebagai cotoh, koefisie Latiha: Jika tetuka f x x x x x dalam perkalia f ( x) g( x ) adalah jumlah berhigga ( ) a b a b a b... a b da f ( x) g( x) da f ( x) g( x ). Jawab: g( x) 1 x x x... 1 x..., 3 f ( x) g( x) 1 x x... x... 1 x x x... 1 x x x x x x f ( x) g( x) 1 x x... x x x x... 1 x... x x x x x... Bagi mahasiswa yag perah belajar kalkulus lebih dari satu tahu, dapat melihat kemiripa yag jelas di atara fugsi pembagkit da deret kuasa da aka merasa yama dega keyataa bahwa fugsi pembagkit serig diyataka sebagai kuosie dari poliom. Sebuah cotoh yag petig adalah 1 1 x 3 1 x x x... yag meujukka bahwa 1/(1-x) adalah fugsi pembagkit dari barisa 1,1,1, 1 x1 x x... x x x x x x x 1., Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
37 34 Rumus lai yag sagat bermafaat adalah yag meujukka bahwa bilaga asli. 1 1 x x x x x 1 1 x adalah fugsi pembagkit dari barisa Misalka f( x ) adalah fugsi pembagkit dari barisa 0,1,,3,, yaitu Maka f x x x x x x 3 4 ( ) f x x x x x x 3 4 ( ) x x x x x x 1 x x 1 x Latiha: Selesaika relasi rekuresi a 3 a 1, 1 diketahui a0 1. Jawab: Perhatika fugsi pembagkit f ( x) a a x a x a x... a x... dari barisa a0, a1, a, a3,..., a,... Kalika dega 3x da tuliska hasil kali 3 xf ( x ) di bawah f( x ) sehigga suku-suku yag melibatka Hasil peguragaya adalah x sesuai tempatya: f ( x) a a x a x a x... a x... 3 xf ( x) 3a x 3a x 3 a x... 3 a x f ( x) 3 xf ( x) a a 3a x a 3 a x... a 3 a x Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
38 35 Karea a0 1, a1 3a0 da secara umum, a 3a 1, hal ii meujukka bahwa 13x f x 1. Jadi f x sebelumya diperoleh 1 1 3x da dega megguaka rumus x 3x 3 x... 3 x x x x x x Dapat disimpulka bahwa a yag merupaka koefisie dega 3. Jadi Latiha: a 3 adalah solusi dari relasi rekuresi di atas. x di f( x ), harus sama Selesaika relasi rekuresi a a 1 a, diketahui a0 3, a1 -. Jawab: Misalka f( x ) adalah fugsi pembagkit dari barisa dalam pertayaa di atas, maka f x a0 a1x ax ax xf x a x a x... a x x f x a x... a x f x xf x x f x a a a x a a a x a a a x x karea a0 3, a1 da a a 1 a 0 utuk 0 sehigga 1 x x f x 38x 1 x f x 3 8x. 1 f x 38x 1 x 3 1 x 3x 4 x... 1 x x 3 3 x 7x 1 x x x 7x 1 x x... da a 3 5 adalah solusi relasi rekuresi yag diharapka. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
39 36 Latiha: Dega megguaka fugsi pembagkit, carilah solusi relasi rekuresi berikut ii. Guaka metode poliom karakteristik utuk memeriksa kebeara jawabamu. 1. a 3a 1 10a,, bila diketahui a0 1, a1 4.. a 4a 1 3a,, bila diketahui a0, a a 10a 1 5a,, bila diketahui a0 1, a a a 1 3, 1, bila diketahui a a 5a 1 3, 1, bila diketahui a0. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
40 37 BAB 3 PRINSIP PENGHITUNGAN Prisip peghituga merupaka bagia dari Kombiatorika, yag mempelajari struktur diskret yag terhitug atau berhigga, yag berkaita dega pegatura obyek-obyek. Solusi yag diigika adalah jumlah atau bayakya cara/pegatura obyek-obyek tertetu dalam himpuaya. Dalam prisip peghituga ii aka dipelajari prisip/kaidah pejumlaha da perkalia, prisip iklusi-eksklusi, da prisip sarag burug merpati. 3.1 Kaidah Pejumlaha da Perkalia Cotoh: 1. Ada 5 karakter yag terdiri dari dua huruf yag diikuti dega 3 agka, yag mucul di belakag satu series mikrokomputer buata salah satu pabrik elektroik. Bayakya kemugkia pegatura karakter dalam series tersebut adalah: a) 6x6x10x10x10= , jika karakterya dapat diulag; b) 6x5x10x10x10= , jika hurufya tidak dapat diulag; c) 6x5x10x9x8= , jika tidak ada karakter yag dapat diulag.. Seorag dose mempuyai 5 mahasiswa di kelas Kalkulus da 31 mahasiswa di kelas Statistik. 13 mahasiswa dari dose tersebut megikuti kuliah. Ada 3 kejadia yag mucul dari peristiwa ii: a) Kejadia pertama adalah bahwa seorag mahasiswa yag dipilih secara acak megikuti kuliah Kalkulus, tapi buka Statistik. Hal ii terjadi dalam 1 cara, yaitu 5-13=1. b) Kejadia ke dua adalah bahwa seorag mahasiswa yag dipilih secara acak megikuti kuliah Statistik, tapi buka Kalkulus. Hal ii terjadi dalam 18 cara, yaitu 31-13=18. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
41 38 c) Kejadia ke tiga adalah bahwa seorag mahasiswa yag dipilih secara acak megikuti kuliah Statistik da Kalkulus. Hal ii terjadi dalam 13 cara. Jadi bayakya mahasiswa yag megikuti kedua kuliah tersebut adalah =43 orag. Dega memperhatika kedua cotoh tersebut dapat dilihat bahwa cotoh pertama diselesaika dega megguaka perkalia da cotoh yag kedua dega megguaka pejumlaha. Atura atau kaidah yag diguaka dalam meyelesaika masalah seperti pada cotoh tersebut dikeal dega ama Pricipal of Coutig (Kaidah Meghitug). Kaidah ii terdiri dari kaidah perkalia (multiplicatio rule) da kaidah pejumlaha (additio rule). a. Kaidah Perkalia Misalka ada barisa dari r kejadia E 1, E,, E r sedemikia sehigga: i. Ada i cara di maa E i mucul (i = 1,,,r), da ii. Bayakya cara suatu kejadia dalam barisa dapat terjadi tidak bergatug pada bagaimaa kejadia dalam barisa sebelumya terjadi. Dega kata lai, dua kejadia itu bebas satu sama lai. Maka ada ( 1 ).( ) ( r ) cara di maa semua kejadia dalam barisa tersebut terjadi. b. Kaidah Pejumlaha Misalka ada r kejadia E 1, E,, E r sedemikia sehigga: i. Ada i hasil utuk E i (i = 1,,,r), da ii. Dua kejadia tidak dapat terjadi secara bersamaa. Maka ada ( 1 ) + ( ) + + ( r ) cara di maa salah satu kejadia dapat mucul (terjadi). Latiha.1: Tetuka bayakya bilaga bulat gajil dari 0 sampai 99. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
42 39 Jawab: Bayakya bilaga gajil dari 0 sampai 99 adalah 50. Dega megguaka kaidah perkalia, dapat diperoleh hasil sebagai berikut: i. Bilaga bulat di atara 0 da 99 mempuyai digit satua da digit puluha, jika agka 0 sampai 9 ditulis sebagai 00, 01,, 09. ii. Misalka E adalah kejadia memilih digit dari digit satua. Hal ii dapat dilakuka dega 5 cara (karea bilaga gajil, maka digit yag dipilih adalah 1,3,5,7,9). iii. Misalka F adalah kejadia memilih digit dari digit puluha, maka hal ii dapat dilakuka dega 10 cara (yaitu agka 0,1,,9). Perhatika bahwa bayakya cara dalam E dapat terjadi tapa tergatug pada bagaimaa F dapat terjadi, demikia pula sebalikya. Maka barisa F, E dapat mucul dalam 50 cara. Latiha.: Misalka soalya sama seperti pada Latiha.1, amu dega digit yag berbeda. Jawab: Kasus I: i. E dapat dipilih dega 5 cara. ii. F dapat dipilih dega 9 cara. Perhatika bahwa bayakya cara F terjadi tidak bergatug pada bagaimaa E terjadi. Maka dega atura perkalia, barisa E, F dapat terjadi dalam 45 cara. Jadi ada 45 bilaga bulat gajil yag berbeda. Kasus II: i. Jika F adalah kejadia pertama, maka F dapat dipilih dega 10 cara. ii. E sebagai kejadia ke dua dapat dipilih dega 5 cara, jika F ya geap da 4 cara jika F ya gajil. Dega kata lai bayakya cara di maa E terjadi bergatug kepada kejadia F mucul, sehigga atura perkalia tidak dapat diberlakuka utuk barisa F, E. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
43 40 Latiha.3: Tetuka bayakya bilaga geap dari yag tidak mempuyai pegulaga digit. Jawab: Kasus I: bilagaya berakhir dega agka 0 Karea bilagaya terdiri dari tiga digit da digit ke-tiga sudah diambil oleh agka 0, maka tiggal dua digit yag harus ditetuka bayakya piliha. Utuk digit pertama, ada 9 piliha (yaitu 1-9) da utuk digit ke-dua, ada 8 piliha (agka 0 da digit pertama tidak termasuk), sehigga secara keseluruha ada 98 7 bilaga geap yag berakhir dega agka 0. Kasus II: bilagaya tidak berakhir dega agka 0 Digit terakhir ada 4 piliha (yaitu,4,6,8), digit pertama ada 8 piliha (agka 0 da digit terakhir tidak termasuk) da digit ke-dua ada 8 piliha (digit pertama da terakhir tidak termasuk), sehigga secara keseluruha ada bilaga geap yag tidak berakhir dega agka 0. Berdasarka kaidah pejumlaha, ada bilaga geap dari dega tidak ada pegulaga digit. Latiha.4: Soalya sama dega Latiha.3. Perhatika kasus II di atas. Utuk soal ii, pemiliha bilaga dimulai dari digit terakhir, digit pertegaha da digit pertama, dega memisahka kasus mejadi digit pertegaha adalah 0 da digit pertegaha adalah buka 0. Jawab: Kasus I: jawabaya sama dega soal Latiha.3 kasus pertama, ada 7 bilaga geap yag berakhir dega agka 0. Kasus II: bilagaya tidak berakhir dega agka 0 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
44 41 a. Jika digit pertegaha adalah 0, maka digit terakhir ada 4 piliha (,4,6,8) da digit pertama ada 8 piliha (digit terakhir da 0 tidak termasuk), sehigga ada 48 3 bilaga geap dega tipe ii. b. Jika digit pertegaha buka agka 0, maka digit terakhir ada 4 piliha (,4,6,8), digit pertegaha ada 8 piliha (0 da digit terakhir tidak termasuk) da digit pertama ada 7 piliha, sehigga ada bilaga dega tipe ii. Utuk kasus II ada = 56 bilaga geap dega tipe ii. Jadi secara keseluruha, ada = 38 bilaga geap dari yag tidak mempuyai pegulaga digit. Latiha.5: Soalya sama dega Latiha.3, tetapi peyelesaiaya dibagi dalam 4 kasus, yaitu: i) Dua digit pertama geap, ii) Dua digit pertama gajil, iii) Digit pertama geap, digit ke-dua gajil, iv) Digit pertama gajil, digit ke-dua geap. Jawab: Pemiliha digit pertama da ke-dua dibagi dalam empat kasus: Kasus 1: Jika dua digit pertama geap, maka utuk digit pertama ada 4 piliha (,4,6,8), digit ke-dua ada 4 piliha (digit pertama tidak termasuk) da digit terakhir ada 3 piliha (agka 0, digit pertama da digit ke-dua tidak termasuk), sehigga ada bilaga dega tipe ii. Kasus : Jika dua digit pertama adalah gajil, maka utuk digit pertama ada 5 piliha (1,3,5,7,9), digit ke-dua ada 4 piliha (digit pertama tidak termasuk) da digit terakhir ada 5 piliha (0,,4,6,8), sehigga ada bilaga dega tipe ii. Kasus 3: Jika digit pertama geap da digit ke-dua gajil, maka utuk digit pertama ada 4 piliha (,4,6,8), digit ke-dua ada 5 piliha (1,3,5,7,9) da digit Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
45 4 terakhir ada 4 piliha (digit pertama tidak termasuk), sehigga ada bilaga dega tipe ii. Kasus 4: Jika digit pertama gajil da digit ke-dua geap, maka utuk digit pertama ada 5 piliha (1,3,5,7,9), digit ke-dua ada 5 piliha (0,,4,6,8) da digit terakhir ada 4 piliha (digit ke-dua tidak termasuk), sehigga ada bilaga dega tipe ii. Jadi secara keseluruha, bayakya bilaga geap yag tidak mempuyai digit yag berulag ada Prisip Iklusi-Ekslusi Proposisi: Misalka himpua A da B adalah subset dari himpua berhigga U. Maka (a) A B A B A B (b) AB mi A, B, miimum dari A da B (c) A \ B A A B A B c (d) A U A, dega U adalah himpua semesta (e) A B A B A B A B A B A\ B B \ A (f ) A B A B Prisip Iklusi-Eksklusi: Diketahui sejumlah berhigga himpua berhigga A1, A,..., A. Bayakya eleme dalam gabuga himpua berhigga tersebut adalah A A... A A A A A A A 1 i i j i j k i i j i jk A A... A 1 Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
46 43 Latiha.6: Tetuka bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 300 yag: a) Habis dibagi palig sedikit salah satu dari 3, 5, atau 7. b) Habis dibagi 3 da 5, tetapi tidak habis dibagi 7. c) Habis dibagi 5, tetapi tidak habis dibagi 3 maupu 7. Jawab: Misalka himpua A, B da C adalah himpua-himpua bilaga bulat dari 1 sampai 300 yag habis dibagi 3, 5 da 7: 1 300,3, B 1 300,5 A C 1 300,7., da a). Bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 300 yag habis dibagi palig sedikit salah satu dari 3,5 atau 7, berarti mecari: A B C A B C A B AC B C A B C. A 300 / 3 100, B 300 / 5 60, C 300 / 7 4. A B 0, B C 8, A C 14, 37 1 A B C Jadi A B C Dega demikia, bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 100 yag habis dibagi palig sedikit salah satu dari 3, 5, 7 adalah 16 bilaga. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
47 44 Catata: Fugsi Bawah (The Floor Fuctio) Utuk suatu bilaga real x, batas bawah dari x, ditulis x, adalah bilaga bulat terbesar yag kurag dari atau sama dega x, yaitu bilaga bulat tuggal x yag memeuhi x 1 x x. Cotoh: 3,05 3,,95, 4 4, 5,17 6, 1,87. b). Bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 3 da 5 tetapi tidak habis dibagi 7 adalah bayakya bilaga bulat dalam himpua A B \ C, sehigga peyelesaiaya sebagai berikut: A B \ C A B A B C c). Bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 5, tetapi tidak habis dibagi 3 atau 7 adalah bilaga bulat dalam himpua B \ ( A C) sehigga peyelesaiaya sebagai berikut: Berdasarka prisip iklusi-eksklusi, Sehigga B \ A C B B A C B B A B C B A B C B A B C B A B C B A B C B AC 0 8 6, B \ AC B B AC Jadi bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 3 da 7 adalah sebayak 34 bilaga. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
48 45 Latiha.7: Tetuka bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 500 yag a). habis dibagi 3 atau 5. b). habis dibagi 3 tetapi tidak oleh 5 atau 6. Jawab: Misalka A, B da C adalah himpua-himpua bilaga bulat yag habis dibagi 3, 5 da 6: 1 500,3, B 1 500,5, C A 1 500,6. a). Bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 500 yag habis dibagi 3 atau 5 adalah A B A B A B Keteraga: A , 3 B , 5 A 500 B b). Bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi oleh 5 atau 6 adalah bayakya bilaga dalam himpua A \ B C : A\ B C A A B C A A B A C. (1) Berdasarka prisip iklusi-eksklusi, A B AC A B AC A B AC A B AC A B C Dega perhituga diperoleh hasil: () A B 33, A C 83, lcm(3, 6) 6 A B C 16, lcm(3,5, 6) 30 sehigga persamaa () mejadi: A B AC , da persamaa (1) mejadi Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
49 46 A\ B C Jadi bayakya bilaga bulat yag habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 5 atau 6 ada 66 bilaga. Catata: lcm = least commo multiple (kelipata persekutua terkecil) Latiha.8: Tetuka bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 50 yag habis dibagi oleh salah satu dari tiga bilaga bulat berikut: 4, 6 da 15? Jawab: Misalka P, Q da R adalah himpua-himpua bilaga bulat dari 1 sampai 50 yag habis dibagi 4, 6 da , 4, Q 1 50,6, R P 1 50,15. Maka bayakya bilaga bulat yag habis dibagi salah satu tiga bilaga bulat 4, 6 atau 15 adalah: P Q R P Q R P Q P R Q R P Q R.. (3) Dega perhituga diperoleh: P 6, Q 41, R 16, P Q 0, P R 4, lcm 4,15 60 lcm 4, Q R 8, lcm 6, P Q R 4 lcm 4, 6,15 60, sehigga hasil perhituga dari persamaa (3) adalah P Q R Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
50 47 Jadi bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 50 yag habis dibagi oleh salah satu dari tiga bilaga 4, 6, atau 15 ada 91 bilaga. Latiha.9: a). Tetuka bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7. b). Tetuka bayakya bilaga bulat di atara 1 da 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7. Jawab: a). Misalka K, L, M da N adalah himpua-himpua bilaga bulat dari 1 sampai 1000 yag habis dibagi, 3, 5 da ,, L K ,5, N M , ,3, Maka bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C K L M N 1000 K L M N K L M N K L M N K L K M K N L M L N M N K L M K L N L M N K L M N Jadi bayakya bilaga bulat dari 1 sampai 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C K L M N 1000 K L M N bilaga. Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
51 48 Keteraga: K , L 333, 3 00, M 5 N , 7 K L 166, 3 100, K M 5 K N , 7 66, L M , L N 37 M N , 57 33, K L M 35 K L N , 37 9, L M N 357 K 1000 L M N b). Dega cara yag sama seperti pada peyelesaia soal a), diperoleh hasil jawaba sebagai berikut: Misalka R, S, T da U adalah himpua-himpua bilaga bulat di atara 1 da 1000 yag habis dibagi, 3, 5 da ,, S ,3, T R U , ,5, Maka bayakya bilaga bulat di atara 1 da 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C R S T U 998 R S T U R S T U R S T U R S R T R U S T S U T U R S T R S U S T U R S T U Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
52 49 Jadi bayakya bilaga bulat di atara 1 da 1000 yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah C R S T U 998 R S T U bilaga. Keteraga: R , S 33, 3 T 199, 5 14, U R S 166, 3 RT 99, 5 71, R U ST 66, 35 47, S U , T U R L T 33, 35 3, R S U 37 S T U , R S T U 357 Latiha.10: Tetuka bayakya bilaga prima yag tidak lebih dari 100. Jelaska jawabamu. Jawab: Bayakya bilaga bulat positif yag tidak lebih dari 100 adalah 100 bilaga. Berdasarka The Sieve of Eratosthees (sariga Eratosthees), bilaga prima yag tidak lebih dari 100 dapat dicari dega acua bahwa bilaga prima p tidak boleh lebih dari akar 100 ( p 100 ). Karea p 10 maka bilaga prima p adalah, 3, 5, da 7. Tuliska bilaga bulat positif secara terurut dari sampai 100, lalu elimiasi bilaga-bilaga yag merupaka kelipata p, 3p, 4p, 5p,... Perhatika bahwa bilaga-bilaga yag tidak terelimiasi adalah bilagabilaga bulat yag tidak habis dibagi, 3, 5, atau 7. Utuk meghitug bayakya bilaga prima adalah dega jala meghitug bayakya bilaga Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
53 50 bulat positif yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7, dikuragi 1 (bilaga 1 buka prima), ditambah dega 4 bilaga prima pertama, yaitu, 3, 5 da 7. Misalka himpua A, B, C da D adalah himpua-himpua yag elemeya habis dibagi, 3, 5 atau ,, B 1 100,3, C 1 100,5 A D 1 100,7., Maka dega megguaka prisip iklusi-eksklusi, diperoleh rumus utuk meghitug bayakya bilaga bulat yag habis dibagi, 3, 5 atau 7. A B C D A B C D A B AC A D B C B D C D A B C A B D AC D B C D A B C D dega: A , 33, B , C 5 D , 7 A 100 B 16, 3 A 100 C 10, 5 A 100 D 7, 7 B 100 C 6, 35 B 100 D 4, 37 C 100 D, 57 A 100 B C 3, 35 A 100 B D, 37 A 100 C D 1, 57 B 100 C D 0, 357 A 100 B C D Maka bilaga bulat dari 1 sampai 100 yag habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah: A B C D ( ) ( ) (3 1 0) Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
54 51 Bayakya bilaga bulat yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 adalah = (termasuk bilaga 1). Jadi bayakya bilaga prima yag kurag dari 100 adalah bayakya bilaga bulat yag tidak habis dibagi, 3, 5 atau 7 dikurag 1 (bilaga 1) ditambah 4 bilaga prima pertama (, 3, 5 da 7), yaitu = 5 bilaga prima. Latiha.11: Hituglah bayakya bilaga prima yag kurag dari 00. Jelaska jawabamu dega megguaka prisip iklusi-eksklusi. Latiha.1: Tetuka bayakya bilaga dari sampai 100 yag merupaka kuadrat sempura, pagkat tiga sempura atau pagkat lebih tiggi. Jawab: Perhatika himpua obyek-obyek {,3,,100}. Misalka eleme dari himpua ii mempuyai sifat i jika eleme tersebut sama dega pagkat ke i dari suatu bilaga bulat. Karea 7 >100, maka tidak ada pagkat 7 dalam himpua da sifat-sifat yag ada haya sifat,3,4,5,da 6. Maka bayakya eleme yag mempuyai sifat,3,4,5 da 6 adalah A A3 A4 A5 A6 A A3 A4 A5 A6 A,3 A,4 A,5 A,6 A3,4 A3,5 A3,6 A4,5 A4,6 A5,6 A,3,4 A,3,5 A,3,6 A,4,5 A,4,6 A,5,6 A3,4,5 A3,4,6 A4,5,6 A,3,4,5 A,3,4,6 A3,4,5,6 A,3,4,5,6 1. Keteraga: Misalka: A = bayakya obyek yag mempuyai sifat = Obyek-obyekya adalah ,3 9, 4 16,5 5,6 36,7 49,8 64,9 81, Maya & Cipta: Pegatar Matematika Diskrit
BAB I INDUKSI MATEMATIK. Beberapa Prinsip Induksi Matematik (PIM) yang perlu diketahui: 1. Sederhana 2. Yang dirampatkan (generalized) 3.
BAB I INDUKSI MATEMATIK Iduksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia yag baku di dalam matematika, yag meyataka kebeara dari suatu peryataa tetag semua bilaga asli atau kadag-kadag semua bilaga
Lebih terperinciInduksi Matematika. Pertemuan VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusan Teknik Informatika UPN Veteran Yogyakarta
Iduksi Matematika Pertemua VII Matematika Diskret Semester Gasal 2014/2015 Jurusa Tekik Iformatika UPN Vetera Yogyakarta Metode pembuktia utuk peryataa perihal bilaga bulat adalah iduksi matematik. Cotoh
Lebih terperinciBARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI
BARISAN FIBONACCI DAN BILANGAN PHI Fiboacci Matematikawa terbesar pada abad pertegaha adalah Leoardo dari Pisa, Italia (80 0). Ia lebih dikeal dega ama Fibo-acci. Artiya, aak Boaccio. Meara Pisa yag terkeal
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinci1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES)
MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinciIII BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
Lebih terperinciBarisan Aritmetika dan deret aritmetika
BARISAN DAN DERET BILANGAN Peyusu: Atmii Dhoruri, MS Kode: Jejag: SMP T/P: / A. Kompetesi yag diharapka. Meetuka suku ke- barisa aritmatika da barisa geometri. Meetuka jumlah suku pertama deret aritmatika
Lebih terperinciSolusi Pengayaan Matematika
Solusi Pegayaa Matematika Edisi 11 Maret Peka Ke-, 2007 Nomor Soal: 101-110 101. Bilaga desimal 0,7777 diyataka dalam hasil bagi bilaga rasioal sebagai a b, dega a da b relatif prima. Nilai dari ab A.
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinciAn = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3
BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Prestasi itu diraih buka didapat!!! SOLUSI SOAL Bidag Matematika Disusu oleh : Eddy Hermato, ST Olimpiade Matematika Tk
Lebih terperinciISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25
head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Lebih terperinciKalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah
Lebih terperinciInduksi matematik untuk memecahkan problema deret dan bilangan bulat bentuk kuadrat sempurna
Iduksi matematik utuk memecahka problema deret da bilaga bulat betuk kuadrat sempura Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Februari 2011. Diuggah pada 3 Desember
Lebih terperinciSolusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama
Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika
Lebih terperinciBab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
Lebih terperinci,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Lebih terperinciHendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Lebih terperinciPendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X
Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..
Lebih terperinciARTIKEL. Menentukan rumus Jumlah Suatu Deret dengan Operator Beda. Markaban Maret 2015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
ARTIKEL Meetuka rumus Jumlah Suatu Deret dega Operator Beda Markaba 191115198801005 Maret 015 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN
Lebih terperinciInduksi Matematik dan Teorema Binomial
Modul Iduksi Matematik da Teorema Biomial Sukirma I PENDAHULUAN duksi matematik merupaka salah satu metode pembuktia dari bayak teorema dalam Teori Bilaga maupu dalam mata kuliah matematika laiya. Sedagka
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas
Lebih terperinci) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...
SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,
Lebih terperinciDistribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Lebih terperinciBAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS
BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada
Lebih terperinciMatematika Diskret (Kombinatorial - Permutasi) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs
Matematika Diskret (Kombiatorial - Permutasi) Istruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs Pedahulua Sebuah sadi-lewat (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa
Lebih terperinciBAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
Lebih terperinciSistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat
Lebih terperinciB a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Lebih terperinciHALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =
Lebih terperinciPREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 196 JAKARTA. Jawab : Nilai dari. Jawab :.3.3 = 27
PREDIKSI SOAL ULANGAN AKHIR SEMESTER GENAP KELAS IX SMP NEGERI 9 JAKARTA No. Idikator Soal Prediksi Soal Peserta didik dapat meyataka betuk pecaha aljabar yag pembilag da peyebutya berpagkat egatif mejadi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya
5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel
Lebih terperinciTUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.
TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa
Lebih terperinciKompleksitas dari Algoritma-Algoritma untuk Menghitung Bilangan Fibonacci
Kompleksitas dari Algoritma-Algoritma utuk Meghitug Bilaga Fiboacci Gregorius Roy Kaluge NIM : 358 Program Studi Tekik Iformatika, Istitut Tekologi Badug Jala Gaesha, Badug e-mail: if8@studets.if.itb.ac.id,
Lebih terperincii adalah indeks penjumlahan, 1 adalah batas bawah, dan n adalah batas atas.
4 D E R E T Kosep deret merupaka kosep matematika yag cukup populer da aplikatif khusuya dalam kasus-kasus yag meyagkut perkembaga da pertumbuha suatu gejala tertetu. Apabila perkembaga atau pertumbuha
Lebih terperincimempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.
Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciBab 8 Teknik Pengintegralan
Catata Kuliah MA3 Kalkulus Elemeter II Oki Neswa,Ph.D., Departeme Matematika-ITB Bab 8 Tekik Pegitegrala Metoda Substitusi Itegral Fugsi Trigoometrik Substitusi Merasioalka Itegral Parsial Itegral Fugsi
Lebih terperincib. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:
Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah
Lebih terperinciPendekatan Nilai Logaritma dan Inversnya Secara Manual
Pedekata Nilai Logaritma da Iversya Secara Maual Moh. Affaf Program Studi Pedidika Matematika, STKIP PGRI BANGKALAN affafs.theorem@yahoo.com Abstrak Pada pegaplikasiaya, bayak peggua yag meggatugka masalah
Lebih terperinciPERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
Lebih terperinciREGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan
REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k
Lebih terperinciEKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI
EKSPANSI MULTINOMIAL, KOMBINASI, DAN PERMUTASI Oleh: Sutopo Jurusa Fisika FMIPA UM sutopo@fisika.um.ac.id Ditulis pada sekitar bula Maret 2011. Diuggah pada 3 Desember 2011 PROBLEM Gambar di bawah ii meyataka
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur
Lebih terperinciKekeliruan dalam Perhitungan Numerik dan Selisih Terhingga Biasa
Modul 1 Kekelirua dalam Perhituga Numerik da Selisih Terhigga Biasa D PENDAHULUAN Dr. Wahyudi, M.Pd. i dalam pemakaia praktis, peyelesaia akhir yag diigika dari solusi suatu permasalaha (soal) dalam matematika
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Materi ke 1
BARISAN DAN DERET Materi ke 1 Pola Bilaga adalah? Susua bilaga yag disusu meurut atura tertetu. Cotoh : 1. Pola Bilaga Gajil 1, 3, 5,... 2. Pola Bilaga Geap 2, 4, 6,... PERHATIKAN SSNAN BILANGAN DI BAWAH
Lebih terperinciSetelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;
Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika
Lebih terperinci1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus
ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy
BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag
Lebih terperinciPEMBAHASAN SALAH SATU PAKET SOAL UN MATEMATIKA SMA PROGRAM IPS TAHUN PELAJARAN 2012/2013
http://asyikyabelajar.wordpress.com PEMBAHAAN ALAH ATU PAKET OAL UN MATEMATIKA MA PROGRAM IP TAHUN PELAJARAN 0/0. Igkara dari peryataa emua makhluk hidup memerluka air da oksige adalah... A. emua makhluk
Lebih terperincitheresiaveni.wordpress.com NAMA : KELAS :
theresiaveiwordpresscom NAMA : KELAS : 1 theresiaveiwordpresscom BARISAN DAN DERET Barisa da deret dapat diguaka utuk memudahka peyelesaia perhituga, misalya buga bak, keaika produksi, da laba/rugi suatu
Lebih terperinciKALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN
KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS
DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN
Lebih terperinciBAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK
BAB II CICILAN DAN BUNGA MAJEMUK 2.1. Buga Majemuk Ada sedikit perbedaa atara suku buga tuggal da suku buga majemuk. Pada suku buga tuggal, besarya buga B = Mp tidak perah digabugka dega modal M. Sebalikya
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT FUNGSI
1 MATEMATIKA DISKRIT FUNGSI Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2010 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Waktu : 210 Menit
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 00 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 0 Waktu : 0 Meit KEMENTERIAN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN
Lebih terperinciBAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada
8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia
Lebih terperinciHimpunan/Selang Kekonvergenan
oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)
Lebih terperinciBarisan Dan Deret Arimatika
Barisa Da Deret Arimatika A. Barisa Aritmatika Niko etera memiliki sebuah peggaris ukura 0 cm. Ia megamati bilaga-bilaga pada peggarisya ii. Bilaga-bilaga tersebut beruruta 0, 1,, 3,, 0. etiap bilaga beruruta
Lebih terperinciKombinatorial dan Peluang. Adri Priadana ilkomadri.com
Kombiatorial da Peluag Adri Priadaa ilkomadri.com Pedahulua Sebuah kata-sadi (password) pajagya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau agka. Berapa bayak kemugkia kata-sadi yag dapat dibuat?
Lebih terperinciMETODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/2012 SUGENG2010. Copyright Dale Carnegie & Associates, Inc.
METODE NUMERIK JURUSAN TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 7/4/0 SUGENG00 Copyright 996-98 Dale Caregie & Associates, Ic. Kesalaha ERROR: Selisih atara ilai perkiraa dega ilai eksakilai
Lebih terperinciSoal-soal Latihan: jika Misalkan n adalah bilangan genap. Buktikan bahwa
Soal-soal Latiha:. Misalka kita aka meyusu kata-kata yag dibetuk dari huru-huru dalam kata SIMALAKAMA, jika a. huru S mucul setelah huru K (misalya, ALAMAKSIM). b. huru A mucul berdekata. c. tidak memuat
Lebih terperinciBarisan, Deret, dan Notasi Sigma
Barisa, Deret, da Notasi Sigma B A B 5 A. Barisa da Deret Aritmetika B. Barisa da Deret Geometri C. Notasi Sigma da Iduksi Matematika D. Aplikasi Barisa da Deret Sumber: http://jsa007.tripod.com Saat megedarai
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM
MATEMATIKA BISNIS OLEH: SRI NURMI LUBIS, S.Si GICI BUSSINESS SCHOOL BATAM BAB BARISAN DAN DERET A. BARISAN Barisa bilaga adalah susua bilaga yag diurutka meurut atura tertetu.betuk umum barisa bilaga a,
Lebih terperinciBab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.
Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga
Lebih terperinciBAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA
MATERI KULIAH a 1 Kalkulus Lajut BARISAN DAN DERET TAK BERHINGGA Sahid, MSc. FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 010 BARISAN DAN DERET DI SMA: BARISAN & DERET ARITMETIKA
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan 3/28/2012. Semesta Pembicaraan Semua mobil di Indonesia
Himpua Suatu himpua atau gugus adalah merupaka sekumpula obyek. Pada umumya aggota dari gugus tersebut memiliki suatu sifat yag sama. Suatu himpua bagia atau aak gugus merupaka sekumpula obyek yag aggotaya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:
4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap
Lebih terperinciSelang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan
Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa
Lebih terperinciMETODE NUMERIK TKM4104. Kuliah ke-2 DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT
METODE NUMERIK TKM4104 Kuliah ke- DERET TAYLOR DAN ANALISIS GALAT DERET TAYLOR o Deret Taylor adalah alat yag utama utuk meuruka suatu metode umerik. o Deret Taylor bergua utuk meghampiri ugsi ke dalam
Lebih terperinciHimpunan Kritis Pada Graph Caterpillar
1 0 Himpua Kritis Pada Graph Caterpillar Chairul Imro, Budi Setiyoo, R. Simajutak, Edy T. Baskoro {imro-its,budi}@matematika.its.ac.id, {rio,ebaskoro}@ds.math.itb.ac.id Ues, Semarag, 4 7 Juli 006 Abstrak
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET
Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...
Lebih terperinciBab IV. Penderetan Fungsi Kompleks
Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya
Lebih terperinciModel Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika
Prosidig Semirata FMIPA Uiversitas Lampug, 0 Model Pertumbuha BeefitAsurasi Jiwa Berjagka Megguaka Deret Matematika Edag Sri Kresawati Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Sriwijaya edagsrikresawati@yahoocoid
Lebih terperinciUKURAN PEMUSATAN UKURAN PENYEBARAN
UKURAN PEMUSATAN DATA TUNGGAL DATA KELOMPOK. MEAN / RATA-RATA. MODUS 3. MEDIAN 4. KUARTIL. MEAN / RATA-RATA. MODUS 3. MEDIAN 4. KUARTIL UKURAN PENYEBARAN JANGKAUAN HAMPARAN RAGAM / VARIANS SIMPANGAN BAKU
Lebih terperinciBAB 4 LIMIT FUNGSI Standar Kompetensi Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah
BAB LIMIT FUNGSI Stadar Kompetesi Megguaka kosep it ugsi da turua ugsi dalam pemecaha masalah Kompetesi Dasar. Meghitug it ugsi aljabar sederhaa di suatu titik. Megguaka siat it ugsi utuk meghitug betuk
Lebih terperinciProjek. Contoh Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri a. Barisan Geometri. Perhatikan barisan bilangan 2, 4, 8, 16,
Projek Himpulah miimal tiga masalah peerapa barisa da deret aritmatika dalam bidag fisika, tekologi iformasi, da masalah yata di sekitarmu. Ujilah berbagai kosep da atura barisa da deret aritmatika di
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Barisa da Deret Reto Wika Tyasig Ada P PENDAHULUAN okok bahasa dalam modul ii terdiri atas dua kegiata belajar. Yag pertama tetag barisa, yag kedua tetag deret da cotoh-cotoh pemakaia deret. Pembahasa
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
Lebih terperinci