Sudaryatno Sudirham. Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
|
|
|
- Johan Hartanto
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Sudrytno Sudirhm Mtriks Dn Sistem Persmn inier
2 hn Kulih Teruk dlm formt pdf tersedi di dlm formt pps ernimsi tersedi di
3
4 Mtrik dlh susunn tertur ilngn-ilngn dlm ris dn kolom yng mementuk sutu susunn persegi pnjng yng kit perlkukn segi sutu kestun. Contoh: ris ilngn ini is erup ilngn nyt tu kompleks. Kit kn meliht mtriks erisi ilngn nyt. kolom Notsi: Nm mtriks: huruf esr cetk tel, Contoh:
5 Elemen Mtriks Isi sutu mtriks diseut elemen mtriks Contoh:,, dn,, dlh elemen-emenen mtriks yng mementuk ris Ukurn Mtriks, dn,, dn, dlh elemen-elemen mtriks yng mementuk kolom Secr umum sutu mtrik terdiri dri ris dn k kolom, sehingg sutu mtrik kn terdiri dri k elemen-elemen Ukurn mtriks dinytkn segi k Contoh: dlh mtriks erukurn
6 Nm Khusus Mtriks dengn k diseut mtriks ujur sngkr. Mtriks dengn k diseut mtriks kolom tu vektor kolom. Mtriks dengn diseut mtriks ris tu vektor ris. Mtriks dengn k diseut mtrik segi pnjng Notsi nm vektor: huruf kecil cetk tel Contoh: k mtriks ujur sngkr, k mtriks segi pnjng p k vektor kolom [ ] q vektor ris
7 Digonl Utm Secr umum, mtriks dpt kit tuliskn segi m m n n mn [ ] k elemen-elemen mn diseut digonl utm
8 Mtriks Segitig Contoh: d du mcm mtriks segitig yitu mtriks segitig wh dn mtriks segitig ts Mtriks segitig wh dlh mtriks yng elemen-elemen di ts digonl utmny ernili nol. Mtriks segitig ts dlh mtriks yng elemen-elemen di wh digonl utmny ernili nol. Mtriks segitig wh : Mtriks segitig ts : T T
9 Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh mtriks yng elemen-elemen di ts mupun di wh digonl utmny ernili nol. Contoh: D
10 Mtriks Stun Jik semu elemen pd digonl utm dlh, sedng elemen yng lin dlh, mtriks itu diseut mtriks stun. Contoh: I Mtriks Nol Mtriks nol,, yng erukurn mn dlh mtriks yng erukurn mn dengn semu elemenny ernili nol.
11 nk mtriks tu su-mtriks [ ] [ ] - Du nk mtriks, yitu: - Tig nk mtriks, yitu: - Enm nk mtriks yitu: [], [], [], [], [], []; - Enm nk mtriks yitu: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] - Tig nk mtriks yitu: Contoh: Mtriks memiliki:
12 Mtriks dpt dipndng segi tersusun dri nk-nk mtriks yng erup vektor-vektor dpt kit pndng segi mtriks dengn nk-nk mtriks erup vektor ris [ ] [ ] [ ] dpt kit pndng segi mtriks [ ] dengn nk-nk mtriks yng erup vektor kolom Contoh: Contoh yng lin:
13
14 Kesmn Mtriks Du mtriks dn diktkn sm jik dn hny jik erukurn sm dn elemen-elemen pd posisi yng sm jug sm. Contoh: Jik mk hruslh.
15 Mtriks Negtif Negtif dri mtriks erukurn mn dlh mtriks erukurn mn yng diperoleh dengn menglikn seluruh elemenny dengn fktor ().. Contoh:
16 Penjumlhn Penjumlhn du mtriks hny didefinisikn untuk mtriks yng erukurn sm Jumlh dri du mtriks dn yng msing-msing erukurn mn dlh seuh mtriks C erukurn mn yng elemenelemenny merupkn jumlh dri elemen-elemen mtriks dn yng posisiny sm Contoh: Jik mk 5 7 Sift-sift penjumlhn mtriks: ( ) C ( C)
17 Pengurngn Mtriks Pengurngn mtriks dpt dipndng segi penjumlhn dengn mtriks negtif ) ( Contoh:
18 Perklin Mtriks Perklin ntr du mtriks dn yitu C hny terdefinisikn jik nyk kolom mtriks sm dengn nyk ris mtriks. Dlm perklin mtriks, urutn htus diperhtikn. Perklin mtriks tidk komuttif. Jdi jik mtriks erukurn mn dn erukurn pq p m m m n q n q mn pq mk perklin hny dpt dilkukn jik n p. Hsil kli mtriks erup mtriks erukurn mq dengn nili elemen pd ris ke kolom ke k merupkn hsil kli internl (dot product) vektor ris ke dri mtriks dn vektor kolom ke k dri mtriks
19 Perklin Mtriks dengn ilngn Sklr Hsil kli sutu ilngn sklr dengn mtriks erukurn mn dlh mtriks erukurn mn yng seluruh elemenny ernili kli Perklin mtriks dengn ilngn sklr ini mempunyi sift-sift segi erikut ( ) ( ) [ ] ( ) Contoh:
20 Perklin Internl Vektor (dot product) Perklin internl ntr du vektor dn yitu c hny terdefinisikn jik nyk kolom vektor sm dengn nyk ris vektor. Dlm perklin internl vektor, urutn perklin hrus diperhtikn. Contoh: vektor ris: [ ] kolom. vektor kolom: ris c [ ] [ ] [ 7] Jik urutn dilik, : kolom, : ris, perklin jug dpt dilkukn tetpi memerikn hsil yng ered d 6 9 Perklin mtriks tidk komuttif. [ ] perklin internl dpt dilkukn
21 Perklin Mtriks Dengn Vektor Mislkn dn dpt diklikn kolom ris 7 C Jik urutn perklin dilik, perklin tidk dpt dilkukn kren terdiri dri stu kolom sedngkn terdiri dri du ris. Contoh:
22 Perklin Du Mtriks ujur Sngkr 5 dn Contoh: dpt diklikn kolom ris Mtriks kit pndng segi Mtriks kit pndng segi [ ] [ ] C
23 Perklin du mtriks persegi pnjng dn dpt diklikn kolom ris C Contoh:
24 [ ] [ ] C Pernytn mtriks dengn nk mtriks pd contoh di ts dlh, sehingg. Dlm opersi perklin mtriks: mtriks yng pertm kit susun dri nk mtriks yng erup vektor ris mtriks yng kedu kit susun dri nk mtriks yng erup vektor kolom Jdi perklin mtriks dlh perklin dri ris ke kolom
25 Sift-sift perklin mtriks. sositif dn distriutif terhdp penjumlhn ( ) ( ) ( ) ( C) ( )C ( ) C C C C ( ) C C. Tidk komuttif. Jik perklin mupun terdefinisikn, mk pd umumny c. Hukum pemtln tidk sellu erlku. Jik tidk sellu erkit tu.
26
27 Putrn Mtriks (Trnsposisi) Putrn mtriks tu trnsposisi dri mtriks erukurn mn dlh sutu mtriks T yng erukurn nm dengn kolomkolom mtriks segi ris-risny yng errti pul hw ris-ris mtriks menjdi kolom-kolom mtriks T Jik m m n n mn [ ] k mk T n n m m mn [ ] pq
28 Putrn Vektor ris Dn Vektor Kolom Putrn vektor ris kn menjdi vektor kolom. Selikny putrn vektor kolom kn menjdi vektor ris. [ ] T [ ] 5 5 T Contoh:
29 Putrn Jumlh Du Vektor ris Putrn jumlh du vektor ris sm dengn jumlh putrn msing-msing vektor Contoh: Jik mk [ ] dn [ ] [ 7 5] 5 T T T ( ) 7 Secr umum : T T T ( )
30 Putrn Hsil Kli Vektor ris Dn Vektor Kolom Putrn hsil kli vektor ris dengn vektor kolom tu vektor kolom dengn vektor ris, sm dengn hsil kli putrn msing-msing dengn urutn dilik Contoh: Jik mk [ ] dn [ ] T T T [ ] [ ]
31 Contoh: Jik [ ] dn mk ( ) [ ] T T T Secr umum : ( ) T T T
32 Putrn Mtriks Persegi Pnjng Contoh: Jik mk T Jik mtriks dinytkn segi susunn dri vektor ris m mk T [ ] T T m Jik mtriks dinytkn dengn vektor kolom [ ] m mk T m
33 Putrn Jumlh Mtriks Putrn jumlh du mtriks sm dengn jumlh putrn msingmsing mtriks. Hl ini telh kit liht pd putrn jumlh vektor ris. ( ) T T T [ ] m [ ] m [ ] m m Jik Dengn demikin dn mk ( ) ( ) ( ) T T T T T T T T T T T T T m m m m m m
34 Putrn Hsil Kli Mtriks Putrn hsilkli du mtriks sm dengn hsil kli putrn msing-msing dengn urutn yng dilik. Hl ini telh kit liht pd putrn hsil kli vektor ris dn vektor kolom. ( ) T T T m [ ] n n m n m n Jik dn mk [ ] T T T m n n m n m n Dengn demikin mk
35 Mtriks Simetris erkitn dengn putrn mtriks, kit mengenl kesimetrisn pd mtriks nyt. Mtriks simetris dlh mtriks yng putrnny sm dengn mtriksny sendiri. Jdi mtriks diktkn simetris pil T Jik T diktkn hw mtriks dlh simetris miring. Kren dlm setip putrn mtriks nili elemen-elemen digonl utm tidk eruh, mk mtriks simetris miring dpt terjdi jik elemen digonl utmny ernili nol.
36 Sistem Persmn inier
37 Sutu sistem persmn linier (tu himpunn persmn linier simultn) dlh stu set persmn dri sejumlh unsur yng tk dikethui. entuk umum:.. m. n.... n. mn n. n n.. m Sistem ini mengndung m persmn dengn n unsur yng tk dikethui yitu. n. ilngn.. mn diseut koefisien dri sistem itu, yng isny merupkn ilngn-ilngn yng dikethui. ilngn-ilngn. m jug merupkn ilngn-ilngn yng dikethui, is ernili tidk nol mupun ernili nol Jik seluruh ernili nol mk sistem persmn terseut diseut sistem persmn homogen
38 Dri sistem persmn linier dihrpkn dny solusi yitu stu set nili dri n yng memenuhi sistem persmn terseut. Jik sistem ini homogen, i mengndung solusi trivil (solusi tk penting) yitu,., n. Pertnyn-pertnyn yng timul tentng solusi dri sistem persmn ini dlh: ). enr dkh solusi dri sistem ini? ). gimnkh cr untuk memperoleh solusi? c). Klu sistem ini mempunyi leih dri stu solusi, gimnkh himpunn solusi terseut? d). Dlm kedn gimnkh sistem ini tept mempunyi stu solusi?
39 Opersi ris.. m. n.... n. mn n. n n.. m Pd sistem ini kit dpt melkukn opersi-opersi yng diseut opersi ris segi erikut: ). Rus kiri dn rus knn dri setip persmn dpt diklikn dengn fktor ukn nol yng sm, tnp mempengruhi himpunn sistem persmn terseut. ). Rus kiri dri setip persmn dpt dijumlhkn ke rus kiri persmn yng lin sl rus knnny jug dijumlhkn. Opersi ini tidk menggnggu keseluruhn sistem persmn terseut. c). Mempertukrkn tempt (urutn) persmn tidklh menggnggu himpunn sistem persmn.
40 Penulisn Dlm entuk Mtriks
41 Sistem persmn linier dpt dituliskn dlm entuk mtriks dengn memnftkn pengertin perklin mtriks. entuk itu dlh m n mn m m n n Penulisn Persmn inier Dlm entuk Mtriks tu secr singkt m n mn m m n n ; ; dengn
42 Dri cr penulisn terseut di ts, kit dpt memngun sutu mtriks ru yng kit seut mtriks gndengn, yitu dengn menggndengkn mtriks dengn menjdi ~ m m n n mn m Mtriks gndengn ini menytkn sistem persmn linier secr lengkp. Opersi-opersi ris pd sistem persmn linier kit terjemhkn ke dlm mtriks gndengn menjdi segi erikut ). Setip elemen dri ris yng sm dpt diklikn dengn fktor ukn nol yng sm. ). Stu ris oleh dijumlhkn ke ris yng lin. c). Tempt ris (urutn ris) dpt dipertukrkn.
43 Setip opersi ris kn menghsilkn mtriks gndengn ru. Mtriks gndengn ru ini diseut segi setr ris dengn mtriks gndengn yng lm. Opersi ris dpt kit lkukn lgi pd mtriks gndengn ru dn menghsilkn mtriks gndengn yng leih ru lgi dn yng terkhir inipun setr ris dengn mtriks gndengn yng lm. Dengn singkt kit ktkn hw opersi ris menghsilkn mtriks gndengn yng setr ris dengn mtriks gndengn slny. Hl ini errti hw mtriks gndengn ru menytkn sistem persmn linier yng sm dengn mtriks gndengn slny.
44 Eliminsi Guss
45 Eliminsi Guss Eliminsi Guss merupkn lngkh-lngkh sistemtis untuk memechkn sistem persmn linier. Kren mtriks gndengn merupkn pernytn lengkp dri sutu sistem persmn linier, mk eliminsi Guss cukup dilkukn pd mtriks gndengn ini. Sutu sistem persmn linier: Contoh: 5 D C D C C Kit tuliskn persmn ini dlm entuk mtriks: 5 D C
46 Mtriks gndengny dlh: 5 ngkh-: ngkh pertm pd eliminsi Guss pd mtriks gndengn dlh memperthnkn ris ke- (diseut mengmil ris ke- segi pivot) dn memutsuku pertm ris-ris erikutny menjdi ernili nol. ris) ( ris) ( ris) ( pivot 5 Pd mtriks yng dierikn ini, lngkh pertm ini dilksnkn dengn menmhkn ris ke- ke ris ke-, mengurngkn ris ke- dri ris ke- dn menmhkn ris ke- ke ris ke-. Hsil opersi ini dlh
47 ngkh-: ngkh kedu dlh mengmil ris ke- dri mtriks gndeng yng ru sj kit peroleh segi pivot, dn memut suku kedu ris-ris erikutny menjdi nol. Ini kit lkukn dengn menglikn ris ke- dengn / kemudin menmhknny ke ris ke-, dn mengurngkn ris ke- dri ris ke-. Hsil opersi ini dlh 5 (-ris ) ) / ris ( (pivot) 6 / / 5
48 Klikn ris ke dengn gr diperoleh ilngn ult 6 / / 5 6 6
49 6 6 ngkh-: ngkh ketig dlh mengmil ris ke- segi pivot dn memut suku ke- dri ris ke- menjdi nol. Ini dpt kit lkukn dengn menglikn ris ke- dengn kemudin menmhkn kepdny ris ke-. Hsilny dlh: ris pivot
50 Mtriks gndeng terkhir ini menytkn entuk mtriks: D D C C yng dengn sustitusi mundur kn memerikn: ; ; ; C D Hsil terkhir lngkh ketig dlh: Mtriks terkhir ini menytkn sistem persmn linier: D C
51 Sistem Tertentu dn Tidk Tertentu
52 Sistem-sistem Tertentu Dn Tidk Tertentu Sistem tertentu dlh sistem yng memerikn tept stu solusi. Sistem tertentu terjdi jik unsur yng tk dikethui sm nyk dengn persmnny, dn persmn-persmn ini tidk sling ergntungn. Jik unsur yng tk dikethui leih nyk dri persmnny, mk sistem itu menjdi kurng tertentu. Sistem yng kurng tertentu memerikn tidk hny stu solusi kn tetpi nyk solusi. Jik persmn leih nyk driunsur yng tk dikethui, sistem menjdi tertentu erleihn. Sistem yng kurng tertentu sellu mempunyi solusi (dn nyk) sedngkn sistem tertentu dn tertentu erleihn is memerikn solusi is jug tidk memerikn solusi.
53 Contoh Sistem Persmn Yng Memerikn nyk Solusi C C Mtriks gndeng: Eliminsi Guss: Contoh:
54 Mtriks gndengn ini menytkn sistem persmn : C Dri persmn ke- kit mendptkn yng kemudin memerikn ( C ( C ) / ) / Kren C tetp semrng mk kit mendptkn nyk solusi. Kit hny kn memperoleh nili dn jik kit menentukn nili C leih dulu
55 Contoh Sistem Yng Tidk Memerikn Solusi C C Mtriks gndeng dn eliminsi Guss memerikn Contoh:
56 Sistem persmn dri mtriks gndeng terkhir ini dlh C Kit liht di sini hw penerpn eliminsi Guss pd khirny menghsilkn sutu kontrdiksi yng dpt kit liht pd ris terkhir. Hl Ini menunjukkn hw sistem persmn yng sedng kit tinju tidk memerikn solusi.
57 entuk Eselon entuk mtriks pd lngkh terkhir eliminsi Guss, diseut entuk eselon. dn Secr umum entuk eselon mtriks gndengn dlh m r r rn rr n n k k c c M M Dri contoh di ts, entuk eselon mtriks koefisien dn mtriks gndengnny dlh
58 dn sistem yng telh tereduksi pd lngkh khir eliminsi Guss kn erentuk c k rr r k n n rn n n M n r r M dengn,, krr Perhtikn entuk ini:, m, dn r n ). Jik r ndn r, K msm dengn nol tu tidk d, mk sistem persmn ini kn memerikn tept stu solusi. ). Jik r < ndn r, K, m sm dengn nol tu tidk d, mk sistem persmn ini kn memerikn nyk solusi. c). Jik r ntupun r < ndn r, K, m tidk sm dengn nol tu mempunyi nili, mk sistem persmn ini tidk memerikn solusi.
59 Jdi sutu sistem persmn kn memerikn solusi jik dengn nol tu tidk d., sm, r K m Pd sutu sistem persmn yng memerikn solusi, ketunggln solusi terjdi jik r n. Jik r < n persmn kn memerikn nyk solusi. Nili r yng dimiliki oleh mtriks gndengn ditentukn oleh nykny vektor ris yng es linier dlm mtriks gndeng. Pengertin tentng keesn linier vektor-vektor kit hs erikut ini.
60 es inier Dn Tk-es inier Vektor-Vektor
61 es inier Dn Tk-es inier Vektor-vektor Mislkn,, m dlh vektor-vektor ris dri sutu mtriks [ k ]. Kit tinju sutu persmn vektor c c c m m pil persmn vektor ini terpenuhi hny jik semu koefisien (c c m ) ernili nol, mk vektor-vektor ris terseut dlh es linier. Jik persmn vektor terseut dpt dipenuhi dengn koefisien yng tidk semuny ernili nol (rtiny setidk-tidkny d stu koefisien yng tidk ernili nol) mk vektor-vektor itu tidk es linier.
62 Jik stu himpunn vektor terdiri dri vektor-vektor yng es linier, mk tk stupun dri vektor-vektor itu dpt dinytkn dlm kominsi linier dri vektor yng lin. Hl ini dpt dimengerti kren dlm persmn terseut di ts semu koefisien ernili nol untuk dpt dipenuhi. Jik vektor-vektor tidk es linier mk nili koefisien pd persmn terseut di ts (tu setidk-tidkny segin tidk ernili nol) mk stu vektor dpt dinytkn segi kominsi linier dri vektor yng lin. Vektor mislny, dpt dinytkn segi c m m c c kren koefisien-koefisien ini tidk seluruhny ernili nol c
63 Contoh: Du vektor ris [ ] dn [ 6 ] Vektor dn dlh es linier kren c [ ] [ 6 ] c c c hny kn terjdi jik c c mil vektor ketig [ 6 ] Vektor dn tidk es linier kren kit dpt menytkn segi 6 [ ] [ ] Vektor, dn jug tidk es linier kren kit dpt menytkn segi [ ] [ 6 ] [ 6 ] kn tetpi jik kit hny meliht dn sj, merek dlh es linier.
64 Rnk Mtriks
65 Rnk Mtriks Dengn pengertin tentng vektor yng es linier, didefinisikn rnk mtriks. nykny vektor ris yng es linier dlm sutu mtriks [ k ] diseut rnk mtriks disingkt rnk. Jik mtrik mk rnk dlh nol. gimn menentukn rnk sutu mtriks? Opersi ris pd sutu mtriks menghsilkn mtriks yng setr ris dengn mtriks slny. Hl ini errti pul hw rnk mtriks ru sm dengn rnk mtriks slny. Dengn perktn lin opersi ris tidk menguh rnk mtriks. Jdi rnk sutu mtriks dpt diperoleh mellui opersi ris, yitu sm dengn rnk mtriks yng dihsilkn pd lngkh terkhir eliminsi Guss. entuk eselon mtriks yng diperoleh pd lngkh terkhir eliminsi Guss, mengndung vektor-vektor ris yng es linier kren vektor yng tk es linier telh tereliminsi.
66 entuk eselon mtriks koefisien dn mtriks gndengnny dri sistem persmn yng memerikn solusi tunggl dlm contoh, dlh dn Dlm ksus ini rnk mtriks koefisien sm dengn rnk mtriks gndengn, yitu. Selin dri pd itu rnk mtriks sm dengn nykny unsur yng tk dikethui yitu Contoh:
67 entuk eselon mtriks koefisien dn mtriks gndengnny dri sistem persmn yng memerikn nyk solusi, dlh Contoh: dn Dlm ksus ini rnk mtriks koefisien sm dengn rnk mtriks gndengn, yitu. kn tetpi rnk mtriks ini leih kecil dri nykny unsur yng tk dikethui.
68 Contoh: entuk eselon mtriks koefisien dn mtriks gndengnny dri sistem persmn yng tidk memerikn solusi, dlh dn Dlm ksus ini rnk mtriks koefisien tidk sm dengn rnk mtriks gndengn. Rnk mtriks koefisien dlh sedngkn rnk mtriks gndengnny dlh. Ketidk smn rnk dri kedu mtriks ini menunjukkn tidk dny solusi.
69 p yng kit mti dlm contoh-contoh di ts ternyt erlku umum. ). gr sutu sistem persmn memerikn solusi mk rnk mtriks koefisien hrus sm dengn rnk mtriks gndengnny; ). gr sistem persmn memerikn solusi tunggl mk rnk mtriks koefisien hrus sm dengn nykny unsur yng tk dikethui; c). jik rnk mtriks koefisien leih kecil dri nykny unsur yng tk dikethui mk kn diperoleh nyk solusi.
70 Sudrytno Sudirhm Sistem Persmn Homogen
71 Sistem Persmn Homogen Sistem persmn diseut homogen pil nili di rus knn dri persmn sistem ernili nol. Jik tidk demikin mk sistem itu diseut tk homogen. Sistem persmn homogen erentuk n mn m m n n n n entuk mtriks gndengn sistem ini dlh ~ mn m m n n
72 Eliminsi Guss pd sistem demikin ini kn menghsilkn ~ mn n n Jik rnk mtriks gndengn terkhir ini sm dengn nykny unsur yng tk dikethui, r n, sistem persmn khirny kn erentuk n mn n n n n M Dri sini terliht hw dn sustitusi mundur khirny memerikn semu ernili nol. Ini merupkn solusi trivil dn solusi trivil ini dikitkn oleh kenytn hw r n. Solusi tk trivil hny kn diperoleh jik. n n r <
73 Sistem Persmn Homogen Yng Hny Memerikn Solusi Trivil 5 D C D C C Mtriks gndengn sistem ini dn hsil eliminsi Guss-ny dlh Rnk mtrik koefisien dlh ; nykny unsur yng tk dikethui jug. Sistem persmn linierny menjdi 6 6 D D C C C D yng khirny memerikn Inilh solusi trivil yng dihsilkn jik terjdi kedn n r Contoh:
74 Sistem Persmn Yng Memerikn Solusi Tk Trivil 6 5 D C D C C Mtriks gndengn dn hsil eliminsiny dlh Contoh: eliminsi Guss: Sistem persmn menjdi 6 D C C
75 Jik kit mengmil nili C D mk kn diperoleh 6 ; Solusi ini mementuk vektor solusi ; / / 6 / yng jik mtriks koefisienny digndwlkn kn menghsilkn vektor nol. 6 / / 6/
76 Jik kit menetpkn nili D yng lin, mislny diperoleh vektor solusi yng lin, yitu D kn Penggndwln mtriks koefisienny jug kn menghsilkn vektor nol Vektor solusi ini merupkn perklin solusi seelumny dengn ilngn sklr (dlm hl ini ), yng sesungguhny is ernili semrng. Secr umum vektor solusi erentuk c c dengn c dlh sklr semrng
77 Vektor solusi yng lin lgi dpt kit peroleh dengn menjumlhkn vektor-vektor solusi, mislny dn. / / 6 / Jels hw jug merupkn solusi kren jik digndwlkn kn memerikn hsil vektor nol. Jdi secr umum vektor solusi dpt jug diperoleh dengn menjumlhkn vektor solusi yng kit nytkn segi j c
78 Contoh di ts memperlihtkn hw solusi dri sistem persmn homogen mementuk vektor-vektor yng seluruhny dpt diperoleh mellui perklin slh stu vektor solusi dengn sklr sert penjumlhn vektor-vektor solusi. Kit ktkn hw solusi dri sistem persmn homogen mementuk sutu rung vektor. Dlm sistem persmn homogen yng sedng kit tinju ini, rung vektor yng terentuk dlh er-dimensi stu. Perhtikn hw setip vektor solusi merupkn hsilkli sklr dengn vektor. Jik kit perhtikn leih lnjut rung vektor yng terentuk oleh vektor solusi kn erdimensi (n r), yitu selisih ntr nykny unsur yng tk dikethui dengn rnk mtriks koefisien. Dlm ksus yng sedng kit tinju ini, nykny unsur yng tk dikethui dlh sedngkn rnk mtriks koefisien dlh.
79 Sistem Persmn Dengn Vektor Solusi erdimensi D C D C D C Contoh: Mtriks gndengn dn hsil eliminsi Guss dlh Rnk mtriks ini dlh sedngkn nykny unsur tk dikethui. Sistem persmn menjdi 5 D C
80 dn D C 5/ ; / 5 Jik kit memeri nili kit kn mendptkn. 5/ 5/ dlh slh stu vektor solusi Gnd-wl mtriks koefisien dengn vektor ini kn memerikn vektor 5 5 5/ 5/ 5/ 5/ 5
81 Jik, mk perklin dengn sklr k kn memerikn k dn k k k k ) c k ( Dengn kt lin, jik dlh vektor solusi, mk, k, k, ( k k) dlh jug vektor-vektor solusi dn segimn kit thu vektorvektor ini kit peroleh dengn memeri nili C dn. D
82 Jik dn kn kit peroleh / C D dn / yng mementuk vektor solusi / / Dengn sklr l semrng kit kn memperoleh vektor-vektor solusi yng lin seperti l, l, ( l l) Secr keseluruhn mk vektor-vektor solusi kit dlh k l Inilh vektor-vektor solusi yng mementuk rung vektor erdimensi.
83 Dri du contoh terkhir ini terukti teorem yng menytkn hw solusi sistem persmn linier homogen dengn n unsur tk dikethui dn rnk mtriks koefisien r kn mementuk rung vektor erdimensi (n r).
84 Kelikn Mtriks Dn Metod Eliminsi Guss-Jordn Pengertin tentng kelikn mtriks (inversi mtriks) ert kitnny dengn pemechn sistem persmn linier. Nmun demikin pengertin ini khusus ditujukn untuk mtriks ujur sngkr n n. Kelikn mtriks (inversi mtriks ) didefinisikn segi mtriks yng jik digndwlkn ke mtriks kn menghsilkn mtriks identits. Kelikn mtriks dituliskn segi sehingg definisi ini memerikn relsi I Jik erukurn n nmk jug erukurn n n dn demikin pul mtriks identitsny.
85 Tidk semu mtriks ujur sngkr memiliki kelikn; jik memiliki kelikn mk diseut mtriks tk singulr dn jik tk memiliki kelikn diseut mtriks singulr. Jik dlh mtriks tk singulr mk hny d stu kelikn ; dengn kt lin kelikn mtriks dlh unik tu ersift tunggl. Hl ini mudh dimengerti se jik mempunyi du kelikn, mislny P dn Q, mk P I P dn jug Q I Q, dn hl ini hny mungkin terjdi jik P Q. P IP ( Q) P QP Q( P) QI Q
86 erekl pengertin kelikn mtriks, kit kn meninju persmn mtriks dri sutu sistem persmn linier tk homogen, yitu Jik kit menggndwlkn kelikn mtriks ke rus kiri dn knn persmn ini, kn kit peroleh I Persmn ini menunjukkn hw kit dpt memperoleh vektor solusi dri sistem persmn linier jik kelikn mtriks koefisien d, tu jik mtriks tk singulr. Jdi persoln kit sekrng dlh gimn mengethui pkh mtriks singulr tu tk singulr dn gimn mencri kelikn mtriks jik i tk singulr.
87 Dri pemhsn seelumny kit mengethui hw jik mtriks koefisien dlh mtriks ujur sngkr n n, mk solusi tunggl kn kit peroleh jik rnk sm dengn n. Hl ini errti hw vektor pd persmn di ts dpt kit peroleh jik rnk sm dengn n. Dengn perktn lin mtriks yng erukurn n n tk singulr jik rnk n dn kn singulr jik rnk <n. Mencri kelikn mtriks dpt kit lkukn dengn cr eliminsi Guss-Jordn. Metod ini didsri oleh persmn. Jik X dlh kelikn mtriks mk X I
88 Untuk mencri X kit entuk mtriks gndengn ~ [ I] Jik kit lkukn eliminsi Guss pd mtriks gndengn ini eruh menjdi [ U H] dengn U erentuk mtriks segitig ts. Eliminsi Guss-Jordn selnjutny eropersi pd [ U H] yitu dengn mengeliminsi unsur-unsur segitig ts pd U sehingg U erentuk mtriks identits I. ngkh khir ini kn menghsilkn [ I X] ~
89 Contoh: Kit kn mencri kelikn dri mtriks Kit entuk mtriks gndengn [ ] I [ ] I Kit lkukn eliminsi Guss pd mtriks gndengn ini ris ris pivot 5
90 ris pivot Kemudin kit lkukn eliminsi Guss-Jordn /) ( / / / ris.5 ris / 5/ 7 / ris / 5/ 7 / 6 / /
91 Hsil terkhir ini memerikn kelikn mtriks, yitu / 5/ 7 / 6/ / Dengn demikin untuk sutu sistem persmn linier tk homogen yng persmn mtriksny vektor solusiny dlh 7 / 5/ 7 / 6 / /
92 Kelikn Mtriks Digonl Kelikn mtriks digonl dpt dengn mudh kit peroleh. / / nn nn Kelikn Dri Kelikn Mtriks Kelikn dri kelikn mtriks dlh mtriks itu sendiri. ( )
93 Kelikn Dri Perklin Mtriks Kelikn dri perklin du mtriks dlh perklin dri kelikn msing-msing mtriks dengn urutn dilik. ( ) Hl ini dpt diuktikn segi erikut I ( )( ) I ( ) ( )( ) ( ) ( ) I( ) ( ) ( ) I ( )
94 hn jr Mtriks dn Sistem Persmn inier Sudrytno Sudirhm
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
1. Pengertian Matriks
BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng
ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :
MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.
BAB 3 SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
A. Kompetensi Dasar : Menyelesaikan sistem persamaan linear. B. Materi : 1. Sistem Persamaan Linear dan Matriks 2. Determinan
(Oleh: Winit Sulndri, M.Si) A. Kompetensi Dsr : Menyelesikn sistem persmn liner B. Mteri :. Sistem Persmn Liner dn Mtriks. Determinn C. Indiktor :. Mendefinisikn persmn liner dn sistem persmn liner. Mengenl
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
Bab 3 M M 3.1 PENDAHULUAN
B SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pd gin ini kn dijelskn tentng sistem persmn liner (SPL) dn r menentukn solusiny. SPL nyk digunkn untuk memodelkn eerp mslh rel, mislny: mslh rngkin listrik, jringn komputer, model
VEKTOR. Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya sama. Artinya suatu vektor letaknya bisa di mana saja asalkan besar dan arahnya sama.
-1- VEKTOR PENGERTIAN VEKTOR dlh sutu esrn yng mempunyi nili (esr) dn rh. Sutu vektor dpt digmrkn segi rus gris errh. Nili (esr) vektor dinytkn dengn pnjng gris dn rhny dinytkn dengn tnd pnh. Notsi vektor
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
Fungsi f dikatakan pada / onto / surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan
III FUNGSI 15 1. Definisi Fungsi Definisi 1 Mislkn dn dlh himpunn. Relsi iner f dri ke merupkn sutu fungsi jik setip elemen di dlm dihuungkn dengn tept stu elemen di dlm. Jik f dlh fungsi dri ke, mk f
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil rhdindims@yhoo.com JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh
IAH IAAH I H HAAH xaah I A b x2ah x23h I A 3 x23b H 2
GRMMR CONTEXT-FREE DN PRING entuk umum produksi CFG dlh :, V N, (V N V T )* nlisis sintks dlh penelusurn seuh klimt (tu sentensil) smpi pd simol wl grmmr. nlisis sintks dpt dilkukn mellui derivsi tu prsing.
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
DETERMINAN. Matematika Industri I. TIP FTP UB Mas ud Effendi. Matematika Industri I
DETERMINAN Mtemtik Industri I TIP FTP UB Ms ud Effendi Mtemtik Industri I Pokok Bhsn Determinn Determinn orde-ketig Persmn simultn dengn tig ilngn tidk dikethui Konsistensi sutu set persmn Sift-sift determinn
Vektor di R2 ( Baca : Vektor di ruang dua ) adalah Vektor- di ruang dua )
A Pengertin Vektor Di R Vektor di R ( B : Vektor di rung du ) dlh Vektor- di rung du ) dlh Vektor-vektor ng terletk pd idng dtr pengertin vektor ng leih singkt dlh sutu esrn ng memiliki esr dn rh tertentu
BILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
BILANGAN BULAT. Oprersi Hitung pd Bilngn Bult Bilngn ult (integer) memut semu ilngn cch dn lwn (negtif) ilngn sli, yitu:,, 4,,, 1, 0, 1, 2, 3, 4,, Bilngn ult disjikn dlm gris ilngn segi erikut. Bilngn
Definisi Vektor. Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
VEKTOR Definisi Vektor Vektor dlh esrn yng mempunyi esr dn rh Besr vektor rtiny pnjng vektor Arh vektor rtiny sudut yng dientuk dengn sumu X positif Vektor disjikn dlm entuk rus gris errh Gmr Vektor B
MATERI I : VEKTOR. Pertemuan-01
MATERI I : VEKTOR Pertemun-0. Pendhulun Definisi Vektor didefinisikn segi esrn yng memiliki rh. Keeptn, gy dn pergesern merupkn ontoh ontoh dri vektor kren semuny memiliki esr dn rh wlupun untuk keeptn
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ tinprdj.mth@gmil.com DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
matematika K-13 IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBOLA K e l a s A. Definisi Hiperbola Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN HIPERBLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi dn unsur-unsur hiperol.. Dpt menentukn persmn
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU. Indikator Pencapaian Hasil Belajar. Ringkasan Materi Perkuliahan
LUAS DAERAH APLIKASI INTEGRAL TENTU Indiktor Pencpin Hsil Beljr Mhsisw menunjukkn kemmpun dlm :. Menghitung lus pd idng dtr Ringksn Mteri Perkulihn Jik sutu derh ditsi oleh kurv f(), g(), gris dn dengn
Matriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
RUANG VEKTOR UMUM. Dosen Pengampu : Darmadi S.Si M.Pd. Disusun oleh :
RUNG VEKTOR UMUM Dosen Pengmpu : Drmdi S.Si M.Pd Disusun oleh : 1. gung Dwi Chyono (84.56) 2. rdie Kusum (84.73) 3. Heri Chyono (84.145) 4. Lingg Nio Prdn (84.18) 5. Yudh Sofyn Mhmudi (84.293) PROGRM STUDI
VEKTOR. Vektor vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama dinamakan ekuivalen.
VEKTOR Vektor dlh sesutu yng mempunyi esrn tu pnjng dn rh. Vektor dpt dinytkn ser geometris segi segmen segmen gris terrh tu pnh pnh di rung- tu rung- dengn rh pnh menentukn rh vektor dn pnjng pnh menytkn
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
Vektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
INTEGRAL. Misalkan suatu fungsi f(x) diintegralkan terhadap x maka di tulis sebagai berikut:
INTEGRAL.PENGERTIAN INTEGRAL Integrl dlh cr mencri sutu fungsi jik turunnn di kethui tu kelikn dri diferensil (turunn) ng diseut jug nti derivtif tu nti diferensil. Untuk menentukn integrl tidk semudh
1. Identitas Trigonometri. 1. Identitas trigonometri dasar berikut ini merupakan hubungan kebalikan.
1. Identits Trigonometri Pengertin Identits Trigonometri dlh kesmn yng memut entuk trigonometri dn erlku untuk semrng sudut yng dierikn. Jenis Identits Trigonometri 1. Identits trigonometri dsr erikut
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
Universitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
Suku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Kasus Maksimum
PERTEMUAN 4 Metode Simpleks Ksus Mksimum Untuk menyelesikn Persoln Progrm Linier dengn Metode Simpleks untuk fungsi tujun memksimumkn dn meminimumkn crny ered Model mtemtik dri Permslhn Progrm Linier dpt
3 PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA
PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA.. Pngkt Pngkt dri seuh ilngn dlh sutu indeks ng menunjukkn nkn perklin ilngn ng sm secr eruntun. Notsi n errti hw hrus diklikn degn itu sendiri senk n kli. Notsi ilngn erpngkt
IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS. Tujuan Pembelajaran
K-13 mtemtik K e l s I IRISAN KERUCUT: PERSAMAAN ELIPS Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut. 1. Memhmi definisi elips.. Memhmi unsur-unsur elips. 3. Memhmi eksentrisits
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..
(c) lim. (d) lim. (f) lim
FMIPA - ITB. MA Mtemtik A Semester, 6-7. Pernytn enr dn slh. () ()! e Solusi. Benr. Fungsi eksonensil (enyeut) memesr leih cet drid fungsi olinom (emilng) sehingg emginny menghsilkn nili Dengn Hoitl s
RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:
INTEGRAL RANGKUMAN MATERI A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jik kit mengmil uku dri temptny mk kit dpt mengemliknny lgi ke tempt semul. Opersi yng kedu menghpus opersi yng pertm. Kit ktkn hw du opersi
02. OPERASI BILANGAN
0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.
OSN 2015 Matematika SMA/MA
Sol 5. Mislkn,, c, d dlh ilngn sli sehingg c d dn d c. Buktikn hw () (cd) mx{,}. Jw: Klim hw c. Jik = 1 mk jels memenuhi pernytn. Mislkn p prim dn = p t s dengn p s. Untuk menunjukkn hw c cukup kit tunjukkn
ALJABAR LINIER. Ruang Hasil Kali Dalam. Oleh : Kelompok VI / VB
ALJABAR LINIER Rung Hsil Kli Dlm Dosen Pengmpu : DARMADI, S.Si, M.Pd Oleh : Kelompok VI / VB 1. Agustin Syrswri ( 08411.060 ) 2. Chndr Andmri ( 08411.095 ) 3. Mei Citr D.A ( 08411.186 ) 4. Nur Alfin Lil
BAB 3 MATRIKS, SISTEM PERSAMAAN LINEAR, DAN DETERMINAN
iktt Kulih EL- Mtemtik Teknik I BB MTRIKS, SISTEM PERSMN LINER, N ETERMINN Petemun ke- Pokok/Su Pokok Bhsn Tuun Pemelrn Mtriks, Sistem Persmn Liner, dn eterminn Mtriks dn opersin Sistem Persmn Liner; Eliminsi
E-LEARNING MATEMATIKA
MODUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD. NIP. 9705 00 00 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn DIPA BLU UNY TA 00 Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor
Sistem Persamaan Linier
b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,
Hendra Gunawan. 30 Oktober 2013
MA MATEMATIKA A Hendr Gunwn Semester I, 2/24 Oktoer 2 Ltihn. Fungsi g =,, terintegrlkn pd [, ]. Nytkn integrl tentu g pd [, ] segi limit jumlh Riemnn dengn prtisi reguler, dn hitunglh niliny. //2 c Hendr
3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 1
PENGAYAAN MATEMATIKA SOLUSI SOAL-SOAL LATIHAN 6y y 8y. Dikethui R dn. Temukn nili y. y y 8y 6 Solusi: 6y y 8y y y 8y 6 6y y 8y 8y y 6 y 8 0 y y y 0 y y y 0 ( y ) ( y ) 0 y y 8y 6 ( y )(y ) 0 y 0tu y 0
VEKTOR. seperti AB, AB, a r, a, atau a.
VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor. 3. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn rn genng, dn turn poligon. 4. Menghitung
TEORI BAHASA DAN AUTOMATA
MODUL VII TEORI BAHASA DAN AUTOMATA Tujun : Mhsisw memhmi ekspresi reguler dn dpt menerpknny dlm ergi penyelesin persoln. Mteri : Penerpn Ekspresi Regulr Notsi Ekspresi Regulr Huungn Ekspresi Regulr dn
Erna Sri Hartatik. Aljabar Linear. Pertemuan 3 Aljabar Vektor (Perkalian vektor-lanjutan)
Ern Sri Hrttik Aljr Liner Pertemun Aljr Vektor (Perklin vektor-lnjutn) Pemhsn Perklin Cross (Cross Product) - Model cross product - Sift cross product Pendhulun Selin dot product d fungsi perklin product
6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, (3) Bilangan rasional melibatkan hasil bagi dua bilangan bulat, seperti. 04, tidak termasuk bilangan rasional
Diktt Kulih TK Mtemtik BAB PENDAHULUAN. Sistem Bilngn Rel Terdpt eerp sistem ilngn itu: ilngn sli, ilngn ult, ilngn rsionl, ilngn irrsionl, dn ilngn rel. Msing-msing ilngn itu segi erikut. ) Bilngn sli
BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
BAB I PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Sistem persmn ditemukn hmpir di semu cng ilmu pengethun Dlm idng ilmu ukur sistem persmn diperlukn untuk mencri titik potong eerp gris yng seidng, di idng ekonomi tu
E-LEARNING MATEMATIKA
MOUL E-LEARNING E-LEARNING MATEMATIKA Oleh : NURYAIN EKO RAHARJO, M.P. NIP. 7 Penulisn Modul e Lerning ini diiyi oleh dn IPA BLU UNY TA Sesui dengn Surt Perjnjin Pelksnn e Lerning Nomor./H./PL/ Tnggl Juli
selisih positif jarak titik (x, y) terhadap pasangan dua titik tertentu yang disebut titik
Hiperol 7.1. Persmn Hiperol Bentuk Bku Hiperol dlh himpunn semu titik (, ) pd idng sedemikin hingg selisih positif jrk titik (, ) terhdp psngn du titik tertentu ng diseut titik fokus (foci) dlh tetp. Untuk
Tujuan Pembelajaran. ) pada hiperbola yang berpusat di (0, 0). 2. Dapat menentukan persamaan garis singgung di titik (x 1
K-3 mtemtik K e l s XI IRISAN KERUCUT: GARIS SINGGUNG PADA HIPERBOLA Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Dpt menentukn persmn gris singgung di titik (, ) pd
det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
MODUL 4 PEUBAH ACAK. Peubah acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap elemen dari ruang sampel ke bilangan Real. X : S R
MODUL 4 EUBAH ACAK engntr Sutu percon melempr mt ung yng setimng senyk kli. Rung smpel dri percon terseut dlh S= { AAA, AGG, AGA, AAG, GAG, GGA, GAA, GGG } Sutu kejdin A : dri ketig lemprn nykny gmr sejumlh
Graf Berarah (Digraf)
Grf Berrh (Digrf) Di dlm situsi yng dinmis, seperti pd komputer digitl tupun pd sistem lirn (flow system), konsep grf errh leih sering digunkn dindingkn dengn konsep grf tk errh. Apil rus sutu grf errh
DETERMINAN dan INVERS MATRIKS
// DETERMINN n INVERS MTRIKS Trnspose Mtriks () Jik mtriks mxn, mk trnspose ri mtriks ( t ) lh mtriks erukurn nxm yng iperoleh ri mtriks engn menukr ris engn kolom. Ex: t // SIFT Trnspose Mtriks () Sift:.
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : husnrifh@uny.c.id Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
Latihan 2. Ruang Vektor. Bagian 1
Ltihn. Rung Vektor Bgin. Andikn H = {,,,,, }. Opersi penjumlhn pd H dlh opersi penjumlhn modulo. Apkh H merupkh grup? Grup elin?. Dengn opersi penjumlhn modulo 8, selidiki pkh himpunn G merupkn Grup? Grup
UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 2015
-. UNTUK MENDAPATKAN SOAL PREDIKSI SBMPTN 015 SILAHKAN KLIK KUNJUNGI: WWW.E-SBMPTN.COM Ltihn Sol Fisik 1. Thun hy dlh stun dri... (A) jrk (D) momentum (B) keeptn (E) energi (C) wktu. Stu wtt hour sm dengn...
Penyelesaian Persamaan Kuadrat 1. Rumus abc Rumus menentukan akar persamaan kuadrat ax 2 bx c 0; a, b, c R dan a 0
PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh c 0,,,c R, 0 Penyelesin Persmn Kudrt. Rumus c Rumus menentukn kr persmn kudrt c 0;,, c R dn 0, = ± 4c. Memfktorkn
ELIPS. A. Pengertian Elips
ELIPS A. Pengertin Elips Elips dlh tempt kedudukn titik-titik yng jumlh jrkny terhdp du titik tertentu mempunyi nili yng tetp. Kedu titik terseut dlh titik focus / titik pi. Elips jug didefinisikn segi
BAB VI PEWARNAAN GRAF
85 BAB VI PEWARNAAN GRAF 6.1 Pewrnn Simpul Pewrnn dri sutu grf G merupkn sutu pemetn dri sekumpuln wrn ke eerp simpul (vertex) yng d pd grf G sedemikin sehingg simpul yng ertetngg memiliki wrn yng ered.
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN
BAB IV METODE ANALISIS RANGKAIAN. Anlisis Arus Cng Anlisis rus cng memnftkn hukum Kirchoff I (KCL) dn hukum Kirchoff I (KVL). Contoh - Tentukn esr rus dlm loop terseut dn gimn rh rusny? Ohm 0V 0V Ohm 0V
Oleh. Ir. Hastha Sunardi, MT
Oleh Ir. Hsth Sunrdi, MT VEKTOR I. KOMPETENSI YANG DICAPAI Mhsisw dpt :. Menggmr vektor dengn sistem vektor stun.. Menghitung perklin vektor.. Menghitung penmhn vektor dengn turn segitig, turn jjrn genjng,
METODE ANALISIS. Tentukan arus pada masing-masing tahanan dengan menggunakan metode arus cabang untuk rangkaian seperti pada Gambar 1.
1. Anlisis Arus Cng METODE ANALSS Metode rus ng dlh slh stu metode penyelesin nlisis rngkin il rngkin terdiri dri du tu leih sumer. Pd metode rus ng ini, kn diperoleh rus pd setip ng dri sutu rngkin yng
Integral Tak Tentu dan Integral Tertentu
Integrl Tk Tentu dn Integrl Tertentu Pengertin Integrl Jik F dlh fungsi umum yng ersift F = f, mk F merupkn ntiturunn tu integrl dri f. Pengintegrln fungsi f terhdp dinotsikn segi erikut : f d F c notsi
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL )
E. INTEGRASI BAGIAN ( PARSIAL ) Integrsi gin (prsil) digunkn untuk mengintegrsikn sutu perklin fungsi yng msing-msing fungsiny ukn koefisien diferensil dri yng lin ( seperti yng sudh dihs pd su. B. D )
[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]
![[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]](/thumbs/55/35374920.jpg "[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]")
http://meetied.wordpress.com SMAN BoneBone, Luwu Utr, SulSel Keslhn teresr yng diut mnusi dlm kehidupnny dlh terusmenerus mers tkut hw merek kn melkukn keslhn (Elert Hud) [RUMUS CEPAT MATEMATIKA] Vektor
7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
LEMBAR KERJA SISWA. Pengurangan matriks A dengan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B.
LEMBAR KERJA SISWA Juul (Mteri Pokok) : Pengertin, Kesmn, Trnspos, Opersi n Sift Mtriks Mt Peljrn : Mtemtik Kels / Semester : XII / Wktu : menit Stnr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor n trnsformsi