Handout Mata Kuliah: Aljabar Matriks (2 SKS) Dosen: Dra. Hj Ade Rohayati, M. Pd.

Transkripsi

1 Hndout Mt Kulih: Aljbr Mtriks ( SKS) Dosen: Dr. Hj Ade Rohyti, M. Pd. No. Indiktor Urin Mteri. menyebutkn definisi mtriks.. membut beberp contoh mtriks dengn menggunkn notsi yng tept.. menentukn ordo dri sutu mtriks yng diberikn.. menuliskn bentuk umum dri mtriks yng berordo m n.. menentukn letk sutu unsur dri sutu mtriks yng diberikn. Mtriks Definisi. Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segiempt yng ditur dlm bris dn kolom Bilngnbllngn dlm susunn itu disebut nggot/elemen/unsure dri mtriks tersebut. Cr memberi nm sutu mtriks dn unsur-unsurny. Sutu mtriks diberi nm dengn menggunkn huruf kpitl seperti A, B, C, dn sterusny, sedngkn nggotny dinytkn dengn huruf kecil. Anggot dri sutu mtriks dpt pul dinytkn dengn huruf kecil yng berindeks gnd ( ij ), dengn indeks pertm menytkn di bris mn unsur itu terletk dn indeks kedu menytkn di kolom mn unsur itu terletk. Sebgi contoh rtiny unsur tersebut terletk pd bris kestu dn kolom kedu. Begitu jug rtiny unsur tersebut terletk pd bris kedu dn kolom ketig. Cr menytkn mtriks Notsi yng digunkn untuk menytkn mtriks bis dengn kurung kecil : ( ), kurung siku : [ gris tegk dobel :. Contoh: A = ; B = Odo/Ukurn/Order dri sutu mtriks ]}, tu dengn Ordo/ukurn dri sutu mtriks ditentukn oleh bnykny bris dn kolom yng dimiliki oleh mtriks tersebut. Contoh: Mtriks A pd contoh di ts meniliki du buh bris dn tig buh kolom, sehingg kit ktkn mtriks A berordo dn ditulis. Begitu jug mtriks B meniliki du buh bris dn du buh kolom,

2 sehingg kit ktkn mtriks B berordo dn ditulis. Bentuk umum sutu mtriks Secr umum sutu mtriks dituliskn dengn dengn m menytkn bnykny bris dn n menytkn bnykny kolom. Dengn demikin m =,,,..., m dn n =,,,..., n, sehingg bentuk umumny: A = m m n n mn. merumuskn definisi jenis mtriks tertentu mellui pengmtn terhdp mtriksmtriks yng diberikn.. membedkn jenis-jenis mtriks.. membut kitn ntr mtriks digonl, mtriks sklr, dn mtriks stun.. membut miniml sebuh contoh untuk msingmsing jenis Mcm-mcm Mtriks Mtriks persegipnjng: mtriks yng memiliki bnyk bris tidk sm dengn bnykny kolom. Contoh : A = Mtriks persegi: mtriks yng memiliki bnykny bris sm dengn bnykny kolom. Contoh: B = Mtriks nol: mtriks yng semu unsurny nol.,, Mtriks bris/ vektor bris: mtriks yng hny terdiri dri stu bris. C =

3 mtriks. Mtriks kolom/ vektor klom: mtriks yng hny terdiri dri stu kolom. Contoh : K = 9 Mtriks digonl: mtriks persegi yng unsur-unsur selin unsur digonl utmny dlh nol. Contoh : D = = Dig (, -, ) Mtriks sklr: mtriks digonl yng semu unsur digonl utmny dlh sklr k yng sm. Contoh : A = Mtriks stun/mtriks Identits: mtriks sklr yng semu unsur digonl utmny. Contoh : I =, I = Mtriks segitig ts: mtriks persegi yng semu unsur di bwh digonl utmny nol. Atu dpt diktkn sutu mtriks persegi A = [ ij ] dlh segitig ts jik dn hny jik ij = untuk i > j. 7 Contoh : C = Mtriks segitig bwh: mtriks persegi yng semu unsur di ts digonl utmny nol. Atu dpt diktkn

4 sutu mtriks persegi A = [ ij ] dlh segitig bwh jik dn hny jik ij = untuk i < j. Contoh : B = 9 Mtriks simetri: mtriks persegi yng semu unsur ij = unsur ji untuk setip i dn j. 8 Contoh : S = 8 Mtri nti symmetry/simetri miring (skew symetry): mtriks persegi yng semu ij = - ji untuk setip i dn j. Contoh : K = Dst.

5 . menentukn syrt penjumlhn du buh mtriks gr terdefinisi.. menentukn syrt pengurngn du buh mtriks gr terdefinisi.. menentukn syrt perklin mtriks dengn mtriks gr terdefinisi.. menjumlhkn du buh mtriks. melkukn opersi pengurngn mtriks.. menglikn sklr dengn mtriks.. 7 menglikn mtriks dengn mtriks. 8 mencri unsur- Definisi. Jik A dn B dlh mtriks-mtriks yng berukurn sm, mk jumlh A + B dlh mtriks yng diperoleh dengn menmbhkn nggot-nggot B dengn nggot-nggot A yng berpdnn, dn selisih A B dlh mtriks yng diperoleh dengn mengurngkn nggot-nggot A dengn nggot-nggot B yng berpdnn. Mtriks-mtriks berukurn berbed tidk bis ditmbhkn tu dikurngkn. Contoh: A = dn B =, mk A + B = dn A B = A = Definisi. Jik A dlh sembrng mtriks dn k dlh sembrng sklr, mk hsil kli ka dlh mtriks yng diperoleh dengn menglikn setip nggot A dengn k. Contoh: A = dn k =, mk ka = 9 Definisi. Jik A dlh sebuh mtriks m, mk hsil kli AB dlh mtriks m n yng unsur-unsur pd bris ke-i dn kolom ke-j ny diperoleh dengn menjumlhkn hsil kli unsurunsur yng berpdnn dri bris ke- dn kolom ke-j. Contoh: A = = dn B =, mk AB =

6 unsur ij dri sutu hsil kli mtriks dengn mtriks untuk i dn j tertentu tnp mencri hsil kli secr keseluruhn.. 9 menentukn trnspos dri sutu mtriks.. menentukn trce dri sutu mtriks.. membuktikn teoremteorem opersi hitung mtriks. Mencri unsur-unsur yng terletk pd bris tu kolom tertentu dri hsil kli du buh mtriks Contoh: jik B = 9 dn C = ) Crilh unsur-unsur bris kestu dri hsil kli mtriks B dn C, b) Crilh unsur-unsur kolom kedu dri hsil kli mtriks B dn C, Jwb: 9 ) Unsur-unsur bris kestu dri hsil kli BC didptkn dengn cr menglikn 9 = b) Unsur-unsur kolom kedu dri hsil kli BC didptkn dengn cr menglikn, 9 = 8 Trnspos dri sutu Mtriks Definisi. Jik A dlh mtriks yng berordo m n, mk trnspose A, dinytkn dengn A T, didefinisikn sebgi mtriks n m yng didptkn dengn mempertukrkn bris dn kolom dri A; yitu kolom pertm dri A T dlh bris pertm dri A, kolom kedu dri A T dlh bris kedu dri A, dn seterusny.

7 Contoh : Jik B = C = D = [7], mk B T = C T = D T = [7] Trce dri sutu Mtriks Definisi. Jik A dlh sutu mtriks persegi, mk trce A, dinytkn dengn tr(a), didefinisikn sebgi jumlh nggot-nggot pd digonl utm A. Contoh: Berikut dlh contoh-contoh mtriks dn trce-ny. A = B = tr(a) = + + tr(b) = = Teorem-teorem Opersi Hitung Mtriks. Teorem. Dengn mengnggp bhw ukurn mtriks-mtriks di bwh ini dlh sedemikin hingg opersi yng ditunjukkn bis dilkukn, mk turn-turn ritmetik berikut ini dlh shih. () A + B = B + A (hukum komuttif untuk penjumlhn) (b) A + (B + C) = (A + B) + C (hukum sositif untuk penjumlhn) (c) A(BC) = (AB)C (hokum sositif untuk penjumlhn)

8 (d) A(B + C) = AB + AC (hukum distributif kiri) (e) (B + C)A = BA + CA (hukum distributif knn) (f) A(B - C) = AB - AC (g) (B - C)A = BA CA (h) (B + C) = B + C (i) (B - C) = B - C (j) ( + b) C = C + bc (k) ( - b) C = C - bc (l) A(bC) = (b)c (m) A(BC) = (B)C = B(C) Teorem. Dengn mengnggp ukurn mtriks dlh sedemikin sehingg opersi yng ditunjukkn bis dilkukn, turn-turn ritmetik mtriks berikut ini dlh shih. () A + O = O + A = A (b) A A = O (c) O A = -A (d) AO = O; OA = O Teorem. Jik R dlh sebuh mtriks n n dri mtriks A berbentuk eselon-bris tereduksi, mk R mempunyi sebuh bris nol tu R merupkn mtriks identits I n. Teorem. Jik B dn C keduny dlh invers dri mtriks A, mk B = C Teorem. Jik A dn B dlh mtriks-mtriks yng invertible dn berukurn sm, mk : () AB invertible (b) (AB) - = B - A -.

9 . membut contoh persmn liner.. membedkn ntr contoh dn bukn contoh persmn liner dri contoh-contoh persmn yng diberikn.. menyebutkn definisi sistem persmn liner.. membedkn ntr mtriks yng berbentuk eselon bris dn eselon bris tereduksi. mereduksi sutu mtrik yng diperbesr dri sutu SPL menjdi bentuk eselon bris.. mereduksi sutu mtriks yng diperbesr dri sutu SPL Persmn Liner Persmn liner dlh persmn yng pngkt tertinggi dri peubh/vribelny dlh stu. Sutu persmn liner dlm peubh, y dpt ditulis + y = b Sutu persmn liner dlm n peubh,,, n dpt disjikn dlm bentuk n n = b dengn,,, n dn b konstnt rel. Beberp contoh persmn liner + y = 7 y = + z = n = Beberp contoh yng bukn persmn liner + y = 7 y sin = + y z + z = + + = Sistem Persmn Liner Definisi. Sebuh himpunn terhingg persmn liner dlm peubh-peubh,,, n disebut sebuh sistem persmn liner tu sebuh sistem liner. Sederet ngk s, s,, s n disebut sutu penyelesin sistem tersebut jik = s, = s,, n = s n. merupkn penyelesin dri setip persmn dlm sistem

10 menjdi bentuk eselon bris tereduksi.. menyelesikn sutu sistem persmn liner dengn eliminsi Guss.. menyelesikn sutu sistem persmn liner dengn eliminsi Guss- Jordn.. Membut miniml sebuh contoh SPL tk konsisten yng mempunyi peubh yng lebih bnyk dripd persmnny.. menuliskn bentuk umum SPL homogen yng terdiri dri m persmn dengn n vribel.. membut tersebut. Bentuk umum sistem persmn liner dengn m persmn dn n vribel,,, n : m m n mn n n n n b b bm Contoh sistem persmn liner dengn persmn dn vribel : + = = - Sistem tersebut mempunyi penyelesin =, =, = -, kren nili-nili ini memenuhi kedu persmn di ts. Akn tetpi, =, = 8, = buknlh penyelesin kren nili-nili ini hny memenuhi persmn pertm dri sistem. Jenis penyelesin dri sistem persmn liner SPL) Sutu SPL mungkin memiliki tept stu penyelesin, tidk memiliki penyelesin, tu memiliki bnyk (tk hingg) penyelesin. SPL yng tidk memiliki penyelesin disebut inconsistent. Contoh SPL yng memiliki tept stu penyelesin: 9

11 contoh SPL homogen yng memiliki penyelesin trivil.. membut contoh SPL homogen yng memiliki penyelesin tk trivil.. meyelesikn SPL homogen.. membedkn SPL homogen yng mempunyi penyelesin trivil dn non trivil.. menentukn gmbrn geometris dri sutu SPL homogeny yng memiliki penyelesin trivil... 7 menentukn gmbrn geometris dri sutu SPL homogen yng Contoh SPL yng tidk memiliki penyelesin: 7 Contoh SPL yng memiliki bnyk penyelesin: + = = Untuk mencri penyelesin dri sistem persmn liner, dpt digunkn pereduksin terhdp ugmented mtri (mtriks yng diperbesr) dengn menerpkn tig jenis opersi bris elementer (OBE), yitu:. Klikn sebuh bris dengn sebuh konstnt tk-nol.. Pertukrkn du bris. Tmbhkn perklin dri sutu bris ke bris linny. Eliminsi Gussin Untuk menyelesikn sutu sistem persmn liner dpt digunkn eliminsi Gussi, yitu pereduksin terhdp ugmented mtri smpi bentuk eselon bris tu eselon bris tereduksi. Jik pereduksin dilkukn smpi diperoleh bentuk eselon bris, mk disebut eliminsi Guss dn jik dilkukn hingg diperoleh bentuk eselon bris tereduksi mk disebut eliminsi Guss-Jordn. Contoh : Selesikn SPL: 9 Untuk menyelesikn sistem persmn tersebut pertm-tm kit hrus menuliskn ugmented mtri-

12 memiliki penyelesin tktrivil. ny terlebih dhulu, yitu: 9. Selnjutny reduksilh dengn menggunkn OBE hingg didptkn mtriks dlm bentuk eselon bris () tu mtriks dlm bentuk eselon bris tereduksi... () Sift-sift mtriks yng berbentuk eselon bris tereduksi. Jik sutu bris tidk seluruhny terdiri dri nol, mk ngk tk-nol pertm dlm bris tersebut dlh ngk. (Kit sebut utm).. Jik d sembrng bris yng seluruhny terdiri dri nol, mk bris-bris ini dikelompokkn bersm di bgin bwh mtriks.. Jik du bris yng berurutn yng seluruhny tidk terdiri dri nol, utm dlm bris yng lebih bwh terletk di sebelh knn utm dlm bris yng lebih ts.. Msing-msing kolom yng berisi sebuh utm mempunyi nol di tempt linny. Sutu mtriks yng memiliki sift,, dn (tetpi tidk perlu ) disebut mempunyi bentuk eselon bris. Sistem persmn yng berkoresponden dengn bentuk () dlh: + + = 9

13 + 7 = = 7 Sistem persmn yng berkoresponden dengn bentuk () dlh: = = = Dri contoh di ts, terliht bhw: Jik kit bekerj smpi didptkn mtriks yng berbentuk eselon bris tereduksi, mk kit lngsung mendptkn hrg untuk vribel utmny, yitu =, =, dn = Jik kit bekerj smpi didptkn mtriks yng berbentuk eselon bris, mk kit hrus melkukn substitusi blik, dengn lngkh-lngkh sebgi berikut:. Selesikn persmn untuk peubh-peubh utm. Muli dri persmn yng pling bwh dn lnjutkn ke ts, secr berturut-urut substitusikn msing-msing persmn ke semu persmn di tsny. SPL Homogen Bentuk umum SPL homogen dengn m persmn dn n vribel dlh: m m n n mn n n n

14 Jenis Penyelesin SPL Homogen Ad du kemungkinn jenis penyelesin SPL homogen, yitu penyelesin trivil dn penyelesin nontrivil. Tk d stu pun SPL homogen yng inconsistent, kren miniml memiliki penyelesin trivil. Contoh SPL homogen yng mempunyi penyelesin trivil: Contoh SPL homogen yng mempunyi penyelesin non-trivil: = = Menyelesikn SPL Homogen Untuk menyelesikn SPL homogen crny serup dengn cr untuk menyelesikn SPL, yitu dengn menggunkn eliminsi Guss-Jordn. Gmbrn geometris dri sutu SPL homogen, yng memiliki penyelesin trivil, berup gris-gris yng berpotongn di titik pngkl. Sedngkn gmbrn geometris dri sutu SPL homogen, yng memiliki penyelesin non-trivil, berup gris-gris yng berimpit dn berpotongn di titik pngkl. 7. menyebutkn definisi mtriks elementer. 7. membut contoh mtriks elementer. 7. membedkn Mtriks Elementer Definisi. Sutu mtriks n n disebut mtriks elementer (dsr) jik mtriks ini bis diperoleh dri sutu mtriks identits n n, I n dengn melkukn sutu opersi bris tunggl. Beberp contoh mtriks elementer:

15 mtrks elementer dn bukn mtriks elementer. 7. menentukn opersi bris yng kn mengemblikn mtriks elementer yng diberikn pd mtriks stun., 7 Klikn bris kedu I dengn -7, Pertukrkn bris Kedu dn keempt Dri I, Klikn bris Pertm dri I dengn Tmbhkn kli bris ketig dri I pd bris pertm 8. menentukn invers sutu mtriks dengn OBE. 8. menentukn singulrits sutu mtriks. 8. membuktikn teoremteorem invers mtriks. 8. menggunkn invers mtriks untuk menyelesikn SPL Beberp contoh bukn mtriks elementer,,, 8 Jik kit membut mtriks elementer dri mtriks stun dengn OBE tertentu, mk kit bis melkukn opersi bliknny untuk menghsilkn kembli mtriks stun dri mtriks elementer. Opersi-opersi tersebut dpt diliht pd Tbel berikut. Tbel Opersi bris pd I yng menghsilkn E Opersi bris pd E yng menghsilkn I lgi Klikn bris i dengn c Klikn bris i dengn /c Pertukrkn bris i dn j Pertukrkn bris i dn j

16 Tmbhkn c kli bris i ke bris j Tmbhkn -c kli bris i ke bris j Beberp Teorem yng Berkitn dengn Mtriks Elementer Teotem. Jik mtriks elementer E dihsilkn dri sutu opersi bris tertentu terhdp I n dn jik A dlh sutu mtriks m sm dikenkn pd A. n, mk hsil kli EA dlh mtriks yng dihsilkn jik opersi bris yng Teorem. Setip mtriks elementer invertible, dn inversny jug merupkn sutu mtriks elementer. Teorem. Jik A dlh sutu mtriks m n, mk pernytn-pernytn berikut ini ekuivlen, yitu semu benr tu semu slh. () A invertible (b) A = O hny mempunyi penyelesin trivil (c) Bentuk eselon bris tereduksi dri A dlh I n (d) A dpt dinytkn sebgi hsil kli mtriks-mtriks elementer. Dri teorem di ts () dn (c) dpt diktkn bhw sutu mtriks yng memiliki invers, determinnny dn disebut singulr. Untuk mendptkn invers dri sutu mtriks A yng inverible, kit hrus menemukn serngkin OBE yng mereduksi A menjdi mtriks Identits dn kemudin melkukn serngkin opersi yng sm pd I n untuk memperoleh invers A.

17 Sistem Persmn Liner dn Keterblikn Teorem. Setip system persmn liner bis tidk mempunyi penyelesin, tept stu penyelesin, tu tk hingg bnykny penyelesin. Teorem. Jik A dlh sutu mtriks n n yng invertible (dpt diblik/ memiliki invers), mk untuk setip mtriks b, n, sistem persmn A = b tept mempunyi stu penyelesin, yitu = A - b Teorem. Anggp A dlh sutu mtriks persegi. () Jik B dlh sutu mtriks persegi yng memenuhi BA = I, mk B = A -. (b) Jik B dlh sutu mtriks persegi yng memenuhi AB = I, B = A -. Teorem. Jik A dlh sutu mtriks n n, mk pernytn-pernytn berikut ekuivlen. () A invertible (b) A = O hny mempunyi penyelesin trivil (c) Bentuk eselon bris tereduksi dri A dlh I n (d) A dpt dinytkn sebgi hsil kli mtriks-mtriks elementer. (e) A = b konsisten untuk setip mtriks b, n (f) A = b tept mempunyi stu penyelesin untuk setio mtriks b, n. Teorem. Anggp A dn B dlh mtriks-mtriks ersegi berukurn sm. Jik AB invertible, mk A dn B jug psti invertible membut klsifiksi dri DETERMINAN

18 sutu permutsi 9. mendefinisikn fungsi determinn mellui pemhmn permutsi dn hsil kli elementer. 9. membentuk rumus determinn dri mtriks persegi yng berordo empt. 9. menentukn nili determinn dri sutu mtriks dengn menggunkn definisi determinn. Untuk mendefinikn determinn perlu diphmi terlebih dhulu beberp istilh, dintrny: Permutsi Definisi. Sutu permutsi himpunn bilngn bult (,,..., n} dlh sutu susunn bilngn-bilngn bult ini dlm sutu urutn tnp penghilngn tu pengulngn. Untuk menytkn permutsi umum dri himpunn {,,..., n}, kn dituliskn dengn (j, j,..., j n ) dengn j dlh bilngn bult pertm dlm permutsi, j dlh yng kedu, dn seterusny. Contoh: Ad enm permutsi yng berbed dri dri himpunn bilngn bult {,, }. Permutsipermutsi tersebut dlh (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (,, ). Dlm sutu permutsi (j, j,..., j n ) diktkn terjdi pemblikn, jik sutu bilngn bult yng lebih besr mendhului yng lebih kecil. Definisi. Sutu permutsi disebut genp jik totl jumlh pemblikn merupkn sutu bilngn bult genp dn disebut gnjil jik totl jumlh pemblikn merupkn sutu bilngn bult gnjil. Klsifiksi berbgi permutsi dri {,, } sebgi genp tu gnjil, dpt diliht pd tble berikut. Permutsi Jumlh Pemblin Klsifiksi (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) genp gnjil gnjil genp genp gnjil Hsil kli elementer dri A

19 Hsil kli elementer dri mtriks A yng berordo n n dlh hsil kli dri n unsur mtriks A yng bersl dri bris dn kolom yng berbed. Contoh: () Hsil kli elementer dri mtriks dlh: dn. (b) Hsil kli elementer dri mtriks dlh:,,,,, dn. Hsil kli elementer bertnd dri A Hsil kli elementer dri mtriks A yng berordo n n dlh hsil kli elementer yng diklikn dengn + jik permutsi yng dinytkn dengn (j, j,..., j n ) merupkn permutsi genp tu - jik (j, j,..., j n ) merupkn permutsi gnjil. Contoh. Dftrkn semu hsil kli elementer bertnd dri mtriks-mtriks () mtriks (b) Penyelesin: ()

20 Hsil kli Dsr Permutsi Terkit Genp tu Gnjil Hsil Kli Elementer Bertnd (, ) (, ) genp gnjil - (b) Hsil kli Dsr Permutsi Terkit Genp tu Gnjil Hsil Kli Elementer Bertnd (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) genp gnjil gnjil genp genp gnjil - - Definisi Determinn Determinn dri mtriks persegi A dpt didefinisikn sebgi jumlh hsil kli elementer bertnd dri mtriks tersebut. Secr simbolis dpt kit nytkn bhw determinn dri mtriks A yng berordo n n dlh det(a) =... n.

21 Contoh: Hitung determinn dri mtriks () (b) Penyelesin: () Jumlh hsil kli elementer bertnd dri mtriks dlh - sehingg nili determinn dri mtriks tersebut dlh (-) =. (b) Jumlh hsil kli elementer bertnd dri mtriks dlh sehingg nili determinn dri mtriks tersebut dlh =. Pembentukn rumus untuk menghitung determinn yng ordony lebih besr dri dn contoh penggunnny dilkukn oleh mhsisw dn hsilny didiskusikn 9. membuktikn teoremteorem sift fungsi determinn.. menentukn nili determinn dengn bntun teoremteorem sift determinn.. menggunkn sift determinnt Menghitung Determinn dengn Pereduksin (Penghilngn Bris) Dlm menghitung nili determinn dengn cr pereduksin, digunkn teorem-teorem tentng determinn. Teorem-teorem yng digunkn tersebut dlh: Teorem. Anggp A dlh sutu mtriks persegi () Jik A mempunyi sebuh bris nol tu kolom nol, mk det(a) =. (b) Det (A) = det (A ). Teorem. Jik A dlh sutu mtriks segitig n n (segitig ts, bwh, tu digonl), mk det(a) dlh hsil kli nggot-ngot pd digonl utmny, yitu det(a) =... nn. Teorem. Anggp A dlh sutu mtriks n n

22 untuk memeriks invertibilits sutu mtriks. () Jik B dlh mtriks yng dihsilkn jik sutu bris tunggl tu kolom tunggl dri A diklikn dengn sutu sclr k, mk det(b) = k det(a). (b) Jik B dlh mtriks yng dihsilkn jik du bris tu du kolom dri A dipertukrkn, mk det(b) = - det(a). (c) Jik B dlh mtriks yng dihsilkn jik sutu penggndn sutu bris A ditmbhkn pd bris linny tu jik sutu penggndn sutu kolom ditmbhkn pd kolom linny, mk det(b) = det(a). Teorem. Anggp E dlh sutu mtriks dsr n n () Jik E dihsilkn dri menglikn sutu bris dri I n dengn k, mk det(e) = k. (b) Jik E dihsilkn dri mempertukrkn du bris dri I n, mk det(e) = -. (c) Jik E dihsilkn dri menmbhkn sutu penggndn sutu bris dri I n ke bris linny, mk det(e) = Teorem. Anggp A dlh sutu mtriks n n dengn du bris prporsionl tu du kolom proporsionl, mk det(a) =. Sift-sift Fungsi Determinn Anggp A dn B mtriks n n dn k dlh sembrng sclr, mk berlku hubungn: () det(ka) = k n det (A). (b) Det (A + B) det(a) + det(b) Teorem-teorem Fungsi Determinn

23 Teorem. Anggp A, B, C dlh mtriks n n yng berbed hny pd slh stu brisny, ktknlh bris ke-r, dn nggp bris kr-r dri C bis diperoleh dengn menmbhkn nggot-nggot yng berpdnn pd bris ke-r dri A dn B. Mk det(c) = det(a) + det(b). Hsil yng sm berlku untuk kolom. Contoh Det det det 7 ( ) 7 Teorem. Sutu mtriks persegi A dpt diblik jik dn hny jik (A) det(a). Teorem. Jik A dn B dlh mtriks persegi berukurn sm, mk det(ab) = det(a). det(b). Teorem. Jik A bis diblik (invertible), mk det(a - ) = det( A ).. mencri minor dri sutu unsur.. mencri kofktor dri sutu unsur.. menentukn nili determinn dri sutu mtriks dengn menggunkn kofktor.. mencri djoint dri sutu Definisi. Jik A dlh sutu mtriks bujursngkr, mk minor ij dinytkn dengn M ij dn didefinisikn sebgi determinn dri sub mtriks setelh bris ke-i dn kolom ke-j dihilngkn dri A. Bilngn (-) + j M ij dinytkn oleh C ij dn disebut kofktor dri unsur ij. 7 Contoh. Jik A, mk 7 Minor dri dlh M = = - Kofktor dlh C = (-) + M =

24 mtriks.. dpt menentukn invers dri sutu mtriks invertible dengn menggunkn djoint.. menggunkn turn Crmer untuk menyelesikn sutu SPL. Minor dri dlh M = = - Kofktor dlh C = (-) + M =, dst. Klu diperhtikn, ternyt C ij = ± M ij. Perlusn Kofktor Selin dengn cr-cr yng sudh diurikn pd bgin lin (menggunkn definisi dn pereduksin yng diserti dengn teorem-teorem yng berlku), untuk mencri nili determinn dpt jug dilkukn dengn perlusn kofktor. Untuk keperlun tersebut perhtikn teorem berikut. Teorem. Determinn sutu mtrik A n n bis dihitung dengn menglikn nggot-nggot pd sembrng bris (kolom) dengn fktorny dn menjumlhkn hsil kli yng didptkn; yitu untuk setip i n dn j n, det(a) = j C j + j C j + + njcnj (perlusn kofktor di sepnjng kolom ke-j) dn det(a) = i C i + j C j + + njcnj (perlusn kofktor di sepnjng bris ke-i). Contoh 7 Jik A =, mk 7 perhitungn det(a) dengn perlusn kofktor di sepnjng bris pertm dpt dilkukn sebgi berikut:

25 det(a) = = (-) 7() + (8) = -9 dn perhitungn det(a) dengn perlusn kofktor di sepnjng kolom kedu dlh: det(a) = = = (-7) () - (-7) = -9 Untuk menghitung nili determinn yng ordony besr, dpt dilkukn dengn menggbungkn cr pereduksin dengn perlusn kofktor. Adjoint dri sutu mtriks Definisi. Jik A dlh sembrng mtriks n n dn C ij dlh kofktor dri ij, mk mtriks dinytkn dengn dj(a). disebut mtriks kofktor dri A. Trnspos dri mtriks ini disebut djoin A dn Contoh

26 Jik A = 7 7 Kofktor dri A dlh : C = C = C = - C = C = C = C = C = = C = Sehingg mtriks opertorny dlh dn djoin A dlh Invers sutu mtriks Slh stu cr mencri invers dri sutu mtriks dlh dengn menggunkn djoin, rumusny dituliskn dlm teorem berikut. Teorem. Jik A dlh sutu mtriks yng dpt diblik, mk A dj( A) det( A)

27 Aturn Crmer Aturn Crmer merupkn slh stu cr untuk menyelesikn sistem persmn liner dengn syrt determinn dri mtriks koefisienny tidk sm dengn nol. Teorem. Jik A = b merupkn sutu sistem persmn liner dlm n peubh sedemikin sehingg det(a), mk sistem tersebut mempunyi sutu penyelesin yng unik. Penyelesin ini dlh det( A ) det( A ) det( An),,... n det( A) det( A) det( A) Dengn A j dlh mtriks yng dperoleh dengn menggntikn nggot-nggot pd kolom j dri A dengn nggot-nggot pd mtriks b = Contoh. Selesiknlh sistem persmn berikut dengn menggunkn turn Cemer. + = = = 8 Penyelesin: A = A = A = A = Dengn demikin

28 det( A ) det( A), det( A ) det( A) 7 8, det( An) det( A) 8. menentukn fktor dri sutu trnsformsi tertentu.. menentukn persmn byngn sutu bngun geometri yng disebbkn oleh sutu trnsformsi tertentu.. menentukn mtriks opertor dri sutu trnsformsi bidng.. menentukn mtriks opertor dri sutu komposisi trnsformsi bidng.. menentukn byngn sutu bngun Refleksi, Rotsi, dn Diltsi Pd bgin ini dibicrkn bgimn cr mendptkn mtriks opertor untuk beberp trnsformsi, yitu mtrik: untuk mtriks opertor refleksi terhdp sumbu, untuk mtriks opertor refleksi terhdp sumbu y, untuk mtriks opertor refleksi terhdp gris y =, untuk mtriks opertor refleksi terhdp gris y = -, untuk mtriks opertor rotsi terhdp O dn sudut putr sebesr untuk mtriks opertor diltsi dengn fktor skl p dn pust perklin O. Komposisi Trnsformsi Bidng. Dlm bgin ini didiskusikn bgimn menentukn mtriks opertor untuk komposisi trnsformsi. Hsil trnsformsi didptkn dengn cr menglikn mtriks opertor dengn koordint slny (, y). Dengn demikin untuk mtriks opertor komposisi trnsformsi kit dptkn dengn cr menglikn

29 geometri yng disebbkn oleh sutu komposisi trnsformsi mtriks-mtriks opertor untuk msing-msing refleksiny.