TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH I TRANSFORMASI GEOMETRI

Transkripsi

1 TELAAH MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH I TRANSFORMASI GEOMETRI OLEH: 1. RATMI QORI ( ) 2. FAUZIAH ( ) 3. NYAYU ASTUTI ( ) 4. ISKA WULANDARI ( ) PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAR SRIWIJAYA 2014 PETA KONSEP

2 Terhadap garis y=mx+c Koordinat Matriks Grafik PETA KONSEP Penjumlahan & Pengurangan Matriks Perkalian syar Matriks at Determinan Matriks Invers Matriks - Garis - Pers.kuadrarat - Trigonometri TRANSFORMA SI PENGERTIAN Translasi (Pergeseran) Refleksi (Pencermina n) Rotasi (Perputaran) Dilatasi (Peskalaan/Perk alian) Pengertian Pengertian Pengertian Pengertian T=(a,b) Terhadap sumbu x atau sumbu y Terhadap titik (0,0) Terhadap garis y=x atau y=-x Sejauh dengan pusat (a,b) Sejauh dengan pusat (0,0) Dengan pusat (a,b) dan faktor skala k Dengan pusat (0,0) dan faktor skala k

3 TRANSFORMASI GEOMETRI Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain : Translasi (Pergeseran) Refleksi (Pencerminan) Rotasi (Perputaran) Dilatasi (Penskalaan) 1.TRANSLASI / PERGESERAN Translasi adalah pemindahan atau pergeseran suatu objek sepanjang garis lurus dengan arah dan jarak tertentu. a.tranlasi oleh titik : Dari gambar disamping, terdapat titik (x,y) yang ditranlasikan oleh (a,b) maka di dapatlah sebuah titik baru (x,y ). Jadi, untuk mencari hasil tranlasi (x,y) oleh titik (a,b) : dimana : a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)

4 b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-) b.tranlasi pada garis Dari gambar disamping merupakan tranlasi pada garis y = mx+c terhadap (a,b) Sama halnya dengan translasi pada titik, x =x +a atau x=x a y = y+b atau y= y b untuk mendapatkan hasil tranlasi garis y = mx + c oleh (a,b) sunstitusi x dan y ke persamaan garis tersebut, didapat: CONTOH SOAL (translasi oleh titik): Tentukan koordinat bayangan titik A (2, 4) yang ditranlasikan oleh titik (3,6) Jawab : T =( 3 6 ) A (2,4) A (2+3,4 +6) jadi, A =(5,10)

5 CONTOH SOAL (tranlasi pada garis) Tentukan bayangan persamaan garis y + 2x +3 ditranlasikan oleh titik (3,2) Jawab : x =x+3 atau x=x 3 y = yatau y= y 2 Jadi, bayangannya adalah y 2=2 (x 3 )+3 y=2 x 1 2.REFLEKSI / PENCERMINAN Refleksi adalah transformasi yang memindahkan setiap titi pada bidang dengan sifat pencerminan. Refleksi terhadap sumbu x Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu x, maka : x =x y = y persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk : x =1. x+0. y y =0. x +( 1). y atau dalambentuk matriks : ( x' y ') = ( )( x y)

6 Refleksi terhadap sumbu y Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y, maka : x = x y = y persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk : x =( 1). x+0. y y =0.x+1. y atau dalambentuk matriks : x' = 1 0 x Refleksi terhadap garis y = x Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=x, maka : OA=OB atau x = y AP =BPatau y =x persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk : x =0. x+1. y y =1. x+0. y atau dalambentuk matriks : ( x' y ') = ( )( x y)

7 Refleksi terhadap garis y = -x Refleksi terhadap (0,0) Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap sumbu y=-x, maka AP =BPatau x = y atau x = y OA=OB atau y =xatau y = x persamaantersebut dapat ditulis dalam b ent x =0. x+( 1). y y =( 1).x+0. y atau dalambentuk matriks : ( x' y ') = ( )( x y) Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap titik (0,0) maka: OA=BP atau x =x atau x = x AP Dari =OB gambar atau disamping y = y atau terdapat y = y titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap persamaantersebut garis x = h maka: dapat ditulis dalam be x =( 1). Untuk sumbu x+0. yx : y =0.x+( 1). OA=x dan OB=h y atau AB=h dalambentuk x matriks : ( x' BC= y ') = ( 1 AB=h 0 x 0 1)( x y) OC=OB+BC Refleksi terhadap garis x = h x =h+h x x =2 h x Untuk sumbu y: CP = AP

8 Refleksi terhadap garis y = k Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang direfleksikan terhadap garis y = k maka: Untuk sumbu x: CP = AP x =x Untuk sumbu y: OA= y dan OB=k AB=OB OA=k y BC= AB=k y OC=OB+BC CONTOH SOAL Jika titik A(15,8) dicerminkan terhadap y =k+k y garis x=7, maka bayangan titik A adalah titik A dengan koordinat. Jawab: A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A ( a ',b' ( a' b') = ( )( 15 8 ) + ( 2(7) 0 ) ( 15 8 ) + ( 14 0 )

9 ( 1 8 ) A(15,8) direfleksikan terhadap garis x=7 A ( 1,8 Jadi bayangan titik A(15,8) dicerminkan terhadap garis 1,8 x=7 adalah A ( b.refleksi pada garis sama halnya dengan rotasi oleh titik, hanya saja hasil rotasi di substitusikan ke persamaannya. Misalkan garis Ax + By+c =0 direfleksikan terhadap : a. sumbu x e. t itik (0,0) Dengan : x =x dan y = y Dengan : x = x dan y = y bayangannya adalah : A (x)+b( y)+c=0 b. s umbu y bayangannya adalah : A ( x)+b( y)+c=0 f. garis x=h Dengan : x = x dan y = y Dengan : x =2h x dan y = y bayangannya adalah : A ( x)+b( y)+c=0 c. garis y=x bayangannya adalah : A (2h x)+b( y)+c=0 g. garis y=k Dengan : x = y dan y = x Dengan : x =x dan y =2k y bayangannya adalah : A ( y)+b (x)+c=0 bayangannya adalah : A (x)+b(2k y)+c=0 d. garis 3.ROTASI y = x / PERPUTARAN Dengan : x = y dan y = x Rotasi adalah transformasi dengan cara memutar objek dengan titik pusat bayangannya adalah : tertentu Di dalam segitiga OAP: OA=OP cos x=r cos Rotasi dengan pusat (0,0) AP=OP sin y=r sin Di dalam segitiga OBP: + OB=OP cos + x =r cos x =r coscos r sin sin x =x cos ysin + BP =OP sin + y =rsin y =rsin cos+r cossin

10 x =x cos ysin y =x sin+ y cos dalam bentuk matriks : ( x' y ') = ( cosθ sinθ sin θ cosθ )( x y) Rotasi dengan pusat M(a, b) Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang dirotasikan dengan pusat M(a,b) maka: x a=(x a)cos ( y k)sin y b=(x b)sin+( y b)cos CONTOH SOAL Tentukanlah bayangan P(3,-5) jika dirotasi 90 o dengan pusat rotasi di A(1,2) dilengkapi dengan gambarnya! Jawab: P(3, -5) = P(a, b)

11 A(1, 2) = A(x, y) a = (a x) cos a (b y) sin a + x b = (a x) sin a + (b y) cos a + y a = (3 1) cos 90 o (-5 2) sin 90o + 1 = = 8 b = (3 1) sin 90 o (-5 2) cos 90o + 2 = = 4 Jadi, bayangan P(3, 5) adalah P (8, 4) 4.DILATASI / PENSKALAAN Dilatasi dengan pusat (0,0) Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (0,0) maka: OP =k x OP OP ' OP =k OP 1' OP 1 =OP ' OP x ' =k x'=kx x P ' P 1' PP1 =OP ' OP y ' =k y '=ky y persamaantersebut dapat ditulis dalam bentuk : x =k. x+0. y y =0.x+k. y atau dalambentuk matriks : Dilatasi dengan pusat (a,b) Dari gambar disamping terdapat titik P(x,y) yang didilatasikan dengan pusat (a,b) maka: x =a+k(x a) y =b+k( y b)

12 CONTOH SOAL: Tentukan persamaan peta dari garis 3 x 5 y+ 15=0 oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5! Jawab: 3 x 5 y+ 15=0 didilatasi terhadap pusat O(0,0) dengan faktor skala 5, maka: ( x' y ') = ( )( x y) = ( 5 x 5 y) ( x y) =( 1 5 x' ') 1 5 y Sehingga diperoleh x= 1 5 x' dan 1 5 y '. Maka bayangannya adalah : 3( 1 5 x' ) 5( 1 5 y' )+15=0 3 5 x' 5 5 y' +15=0 3 x' 5 y'+75=0 3 x 5 y+75=0

13 LATIHAN SOAL 1. Bayangan persamaan lingkaran x 2 +y 2 =25 oleh translasi T = ( 1 3 ) adalah

14 2. Oleh suatu translasi, peta titik (1,-5) adalah (7.-8). Bayangan kurva y = x 2 + 4x 12 oleh translasi tersebut adalah. 3. Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah di rotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran 90 o adalah. 4. Garis 2x 3y = 6 memotong sumbu x di A dan memotong sumbu y di B. karena dilatasi [0, -2], titik A menjadi A dan titik B menjadi B. Hitunglah luas segitiga OA B 5. Persamaan bayangan parabola y =3x 2 6x + 1 setelah di rotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut adalah 6. Titik B(1,3) dirotasikan terhadap titik (0,0). Tentukan bayangan titik B apabila titik B dirotasikan 7. Bayangan titik P(3,5) oleh translasi [ 2 3 ] adalah. 8. Bayangan garis y=2x -3 yang dicerminkan terhadap garis y=-x adalah. 9. Bayangan titik B(-1,2) dilatasi terhadap titik pusat A(2,3) dengan faktor sekala adalah. 10.Hasil transformasi matriks [ ] terhadap titik B(2,3) adalah.

15 DAFTAR PUSTAKA Wirodikromo, Sartono Matematika 3A untuk SMA Kelas XII IPA Semester 1..Jakarta:Erlangga