BAB 7 Rantai Markov. Probabilitas Probabilitas Probabilitas Transisional Transisional Transisional. t 1 t 2 t 3 t 4

Transkripsi

1 BAB 7 Rnt Mrov Rnt Mrov (Mrov Chns) dlh sutu ten mtemt yng bs dgunn untu melun pemodeln (modellng) bermcm-mcm sstem dn proses bsns. Ten n dpt dgunn untu memperrn perubhn-perubhn d wtu yng n dtng dlm vrbel-vrbel dnms ts dsr perubhn-perubhn dr vrbel-vrbel dnms tersebut d wtu yng llu. Ten n dpt dgunn jug untu mengnlss ejdn-ejdn d wtu-wtu mendtng secr mtemts. Model Rnt Mrov dtemun oleh seorng hl Rus yng bernm A.A. Mrov pd thun 1906, ytu: Untu setp wtu t, et ejdn dlh K t dn seluruh ejdn sebelumny dlh K t(j),..., K t(j-n) yng terjd dr proses yng dethu, probblts seluruh ejdn yng n dtng K t(j) hny bergntung pd ejdn K t(j-1) dn td bergntung pd ejdn-ejdn sebelumny ytu K t(j-2), K t(j-3),..., K t(j-n). Gmbrn mengen rnt Mrov n emudn dtungn dlm Gmbr 1 dmn gern-gern dr beberp vrbel d ms yng n dtng bs dpreds berdsrn gern-gern vrbel tersebut pd ms llu. K t4 dpengruh oleh ejdn K t3, K t3 dpengruh oleh ejdn K t2 dn demn seterusny dmn perubhn n terjd ren pernn probblts trnss (trnston probblty). Kejdn K t2 mslny, td n mempengruh ejdn K t4. Probblts Probblts Probblts Trnssonl Trnssonl Trnssonl K 1... K 2... K 3... K 4... K n t 1 t 2 t 3 t 4 Gmbr 1 Perstw dlm Rnt Mrov Kejdn-ejdn d ts sftny bernt. Oleh ren tu, teor n denl dengn nm Rnt Mrov. engn demn, Rnt Mrov n menjelsn gern-gern beberp vrbel dlm stu perode wtu d ms yng n dtng berdsrn pd gern-gern vrbel tersebut d ms n. Secr mtemts dpt dtuls: K t(j) P x K t(j-1) dmn, K t(j) pelung ejdn pd t(j) P Probblts Trnssonl t(j) wtu e-j 87

2 wjnto Rset Opers hlmn 88 Pelung ejdn K t(j) dnytn e dlm bentu vetor sehngg jumlh seluruh selny n sellu 100%. 1. Probblts Absolut dn Trnss engn dethu { j (0) } dn P dr sebuh rnt Mrov, probblts bsolut dr sstem tersebut setelh sejumlh trnss tertentu dtentun sebg berut. Anggplh { j (0) } dlh probblts bsolut dr sstem tersebut setelh n trnss, ytu pd st t n. Espres umum dr { j (0) } dlm bentu { j (0) } dn P dpt dtemun sebg berut. Jug j (1) 1 (0) P 1j + 2 (0) P 2j + 3 (0) P 3j +... (0) P j (2) j (1) (0) (0) Pj ( P ) Pj ( P Pj ) (0) P (2) j dmn ( 2 P P dlh probblts trnss du lngh tu order edu (two step P ) j j tu second-order trnston probblty), ytu probblts untu berger dr edn e edn j dlm tept du trnss. emn pul dpt dperlhtn berdsrn ndus bhw ( n) j (0) ( n 1) ( P Pj dmn P j(n) dlh probblts trnss n lngh tu order n dengn dethu rumus reursf ( n) ( n 1) P P P Secr umum, untu semu dn j ( n) j ( n m m ) ( ) 0 < Pj P Pj, m < n Persmn-persmn n denl sebg persmn Chpmn-Kolmogorov. Elemen-elemen dn mtrs trnss yng lebh tngg P j(n) dpt dperoleh secr lngsung dengn perln mtrs. Jd P (2) j P j P j P 2 (3) P j P 2 j P j P 3 dn secr umum, P (n) j P n-1 P P n Jd, j probblts bsolut ddefnsn dlm bentu vetor sebg (n) { (n) 1, (n) 2, (n) 3,...} M (n) (0) P n j (0) P ( n) j Contoh Pertmbngn rnt Mrov berut n dengn du edn dengn (0) (7 3). Tentun (1), (4), (8) 2 P 6 8 4

3 wjnto, Rset Opers hlmn 89 solus P P P P P P P jd (1) (4) (8) ( 7 3) ( 32 68) ( 7 3) ( ) ( 7 3) ( ) Hsl yng menr dlh bhw brs-brs dr P 8 cenderung dent. Jug, 8 cenderung dent dengn brs-brs dr P 8. Hsl n bertn dengn sft jng pnjng dr rnt Mrov, hsl tersebut menyrtn bhw probblts bsolut jng pnjng td bergntung dr (0). lm sus n, probblts yng dhsln denl sebg stedy-stte probbltes. 2. Rnt Mrov yng rreducble Sebuh rnt Mrov dtn Irreducble, j setp edn E j dpt dcp dr setp edn ln E setelh sejumlh terbts trnss, ytu untu j. P j (n) > 0, untu 1 n < lm sus n semu edn dlm rnt tersebut beromuns. 3. Hmpunn Tertutup dn Kedn yng Menyerp lm rnt Mrov, hmpunn C dr edn-edn dtn tertutup j sstem tersebut, begtu berd dlm stu edn C n tetp berd dlm C. Sebuh contoh sus dr sebuh hmpunn tertutup dlh stu edn E j dengn probblts trnss P j 1. lm sus n, E j dtn edn yng menyerp (bsorbng stte). Semu edn dr sebuh rnt yng bersft rreducble pst membentu sebuh hmpunn tertutup dn td d sub-hmpunn ln yng dpt tertutup. Hmpunn tertutup C jug memenuh semu onds dr sebuh rnt Mrov dn ren tu dpt dpeljr secr ndependen. Contoh Pertmbngn rnt Mrov berut n: 1/ 2 1/ 4 1/ P 1/ 3 0 1/ 3 1/

4 wjnto Rset Opers hlmn 90 Rnt n dlustrsn secr grf dlm gmbr.2. Gmbr n memperlhtn bhw eempt edn n td membentu sebuh rnt yng rreducble, ren edn 0, 1, dn 2 td dpt dcp dr edn 3. Kedn 3 secr sendrn membentu sebuh hmpunn tertutup dn ren tu menyerp. Kt dpt jug mengtn bhw edn 3 membentu sebuh rnt yng rreducble. 0 1/4 1 1/2 1/3 0 1/ /3 1 1/3 Gmbr 2. Proses Model Rnt Mrov 1 4. Menyusun Mtrs Probblts Trnss Untu menggmbrn proses Mrov, n dsjn sutu contoh mslh tentng egtn-egtn pemlhn mere dn permln probblts trnss yng emungnn dlun pr onsumen, ytu pergntn dr stu mere e mere ln. Anggpn bhw smpel onsumen terdr dr ombns 1000 responden yng tersebr pd 4 mere, A, B, C, dn. Anggpn selnjutny dlh bhw smpel tersebut telh mewl eseluruhn elompo dlm esetny terhdp sutu mere dn pol pergntn dr stu mere e mere ln. Konsumen berpndh dr stu mere e mere ln dpt ren perlnn, promos husus, hrg, etdpusn, dn ln-ln. lm Tbel 1, sebgn besr pelnggn yng mul-mul membel mere A, tetp memlh mere tersebut pd perode edu. Mespun demn, d 50 onsumen tmbhn dbndng 45 onsumen yng berpndh dr mere A e mere-mere ln. Tbel 1. Perubhn Pelnggn Perode Perpndhn Perde ` Pertm Kedu A B C JML Mespun t mempuny nforms pol perpndhn mere lnggnn dlm tbel d ts, tetp td d perubhn pd jumlh dn totl pelnggn. Hl n merupn rterst dsr proses-proses Mrov, ytu serngn perubhn progresf dn slng etergntungn. Selnjutny dlh t bentu probblts trnss dn mtrsny

5 wjnto, Rset Opers hlmn 91 Mtrs Probblts Trnss A 175 B 20 C mere A C 0.04 mere 0 mere Gmbr.3. Perhtungn mere oleh pelnggn mere Perhtungn Mtrs Probblts Trnss Mere 0.86 A 175/220 0,796 40/3000,133 0/ /2500,040 B 20/2200, /3000,767 25/2300,109 15/2500,060 C 10/2200,046 5/3000, /2300,891 10/2500,040 15/2200,067 25/3000,083 0/ /2500,860 B t n dpt mermln tngt d mn sutu mere n mendptn tu ehlngn mret shre-ny dn dpt menunjun emungnn mret shre eulbrum d wtu yng n dtng sehngg mnjemen dpt mengrhn ush-ush promosny. 5. Frst-Order dn Hgh-Order Anls Mrov Proses Mrov dpt berbed order. Frst-Order hny mempertmbngn plhnplhn mere yng dbut selm sutu perode untu penentun probblts plhn dlm perode berutny. Second-order nls Mrov mengnggp plhn-plhn untu sutu mere tertentu dlm perode berutny tergntung pd plhn-plhn mere yng dbut oleh pr pelnggn selm du perode terhr. Begtu jug untu thrd-order, proses Mrov yng dgunn untu mereml perlu perode berutny terhdp mere-mere tertentu berdsrn pol pemlhn mere pr pelnggn selm du perode terhr. Bny rset pemsrn telh membutn bhw penggunn nggpn frst-order untu msud-msud permln dlh vld.

6 wjnto Rset Opers hlmn Menghtung Kemungnn Mret Shre d Wtu yng An tng Mret Shre untu mere A, B, C, dn serng dlh 22, 30, 23, dn 25 persen untu perode pertm. Mnjemen n memperoleh mnft bl mere mengethu berp mret shreny d perode wtu yng n dtng. Perhtungn mret shre yng mungn untu mere A, B, C, dn dlm perode edu dpt dperoleh dengn mengln mtrs probblts trnss dengn mret shre pd perode pertm. A B C Setelh pemechn untu perode edu, perode etg dpt dtentun dengn du cr. Metode pertm dlh elnjutn pendetn perhtungn terdhulu, mengln mtrs probblts trnss mul-mul dengn mret shre perode edu yng n menghsl mret shre perode etg. Metode edu dlh mengudrtn mtrs probblts trnss untu jumlh perode yng dngnn emudn mengln mtrs yng dhsln dengn mret shre wl. Perhtungn Metode Pertm Perln mtrs dgunn lg untu mencr mret shre setp mere. A B C Perhtungn Metode Kedu A B C A B C

7 wjnto, Rset Opers hlmn Menentun Konds Eulbrum Eulbrum dlh stlh untu mennd terjdny esembngn ntr du eutn yng slng mencr onds yng slng menguntungn bg msng-msng. Mslny, esembngn psr ntr permntn dn penwrn. lm pembhsn rnt Mrov n, esembngn tu n menjelsn bgmn perubhn-perubhn vrbel d dlm sstem tu hrny membw K t(j) dlm onds yng td berubh-ubh lg tu stbl. Secr mtemts, j K t(j) P x K t(j-1) m onds eulbrum n tercp j : K t(eq) P x K t(eq) Contoh Perushn G mempuny du pesng dlm sutu segmen psr dun bsnsny. Pd thun n, mret shre yng dus msng-msng perushn dlh sebg berut: Perushn G 30%, pesng A 20% dn pesng B 50%. Mtrs probblts trnss (rnt Mrov frst order), yng menujun rus pr pelnggn dlh sebg berut: G G 0.6 A 0.1 B 0.3 A B Persmn untu mret shre perushn G pd eulbrum sm dengn 0.6 bgn yng dus dlm perode eulbrum sebelumny (tu eq.-1) dtmbh 0.2 bgn pesng A pd perode eulbrum durng stu perode dn 0.2 bgn pesng B pd perode eulbrum durng stu perode. Persmn tersebut dpt dtuls: G eq G eq A eq B eq.-1 Bentu persmn yng sm dpt dbut untu edu pesng. Tg persmn dlm contoh dpt dnytn berut n: I. G 0.6 G A B II. A 0.1 G A B III. B 0.3 G A B IV. 1.0 G + A + B (persmn n menunjun bhw totl etg mret shre bru 1) engn d blngn yng sm pd edu ss persmn, dpt dhsln persmn yng menunjun tmbhn dn ehlngn untu setp perushn sebg berut: I G A B II G 0.4 A B III G A 0.4 B IV. 1.0 G + A + B r persmn I dn III G A B G A 0.4 B G B 0.7 G 0.6 B G B

8 wjnto Rset Opers hlmn 94 Persmn III dln 4/ G A B G A B A B A B A B Substtusn nl-nl G dn A 1 G + A + B B B B B B (B pd eulbrum) Kemudn menentun nl-nl G dn A G x (G pd eulbrum) A x (A pd eulbrum) Untu membutn bhw telh tercp onds eulbrum dlh dengn mengln mtrs probblts trnss dengn mret shre eulbrum. In dpt dhtung dengn menggunn ljbr mtrs dn dtunjun sebg berut: G G 0.6 A 0.1 B 0.3 A B Eulbrum Mrov dengn Progrm Lndo Eulbrum Mrov jug dpt dselesn dengn menggunn progrm Lndo. Kren progrm n menghend formt nput bu, m t gunn persmn V-VIII. Output Progrm Lndo untu eulbrum Mrov mx Geq + Aeq + Beq st -0.4 Geq Aeq Beq Geq Aeq Beq Geq Aeq Beq 0 Geq + Aeq + Beq 1 End OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REUCE COST GEQ AEQ BEQ

9 wjnto, Rset Opers hlmn 95 ROW SLACK OR SURPLUS UAL PRICES 2) ) ) ) RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGE: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE ECREASE GEQ INFINITY INFINITY AEQ INFINITY INFINITY BEQ INFINITY INFINITY RIGHTHAN SIE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE ECREASE INFINITY Mn hsl perhtungn Progrm Lndo dserhn epd pembc.