PENYELESAIAN SISTEM DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS

Transkripsi

1 PENYELESIN SISEM U SISI LM LJR MX-PLUS Rtn Novtsr, Suono Jurusn Mtemt FMIP Unversts ponegoro Jurusn Mtemt FMIP Insttut enoog Sepuuh Nopemer e-m : rtnnop@hoocom, suono@teomnet str m penetn n, sstem n dseesn dengn menggunn ters dpun metode ng dgunn dh metode terntf Senutn, metode terntf n dgunn untu meneesn sstem du ss Kemudn dern sstem du ss dengn srt husus, tu, dengn c d untu setp N dn M ng n dseesn dengn menggunn ters Kewords: r m-pus, sstem du ss Pendhuun n penetn ng teh memhs mengen peneesn sstem du ss, ntr n Steppng Stone Method (utovc, ), Metode terntf (unnnghme-green, ) dn ng memndngn edu metode terseut (mnu, ) Pd penetn n, n dhs mengen msh peneesn dr sstem, sstem du ss secr umum dn sstem du ss dengn srt husus, dengn c d untu setp N dn M, menggunn ters Untu menentun n omputs dgunn tooo r M-Pus dengn progrm Sc r M-Pus defnsn def dn def dmn R dh hmpunn ngn r e Hmpunn R ms dh hmpunn R efns dr strutur r dr R ms desn dm defns erut n: efns Strutur r R ms (ce d,, h ), Smo R ms mentn hmpunn R dengn du opers ner tu msmum ng dnotsn dn penumhn ng dnotsn

2 Untu setp, R ms, ddefnsn opers dn dh def ms, dn def Sehngg untu setp R ms dn, ddptn dn Hmpunn R ms dengn opers dn dseut r M-Pus dn dntn dengn R = (R ms,,,, e) Hmpunn mtrs d dm r M-Pus dntn dengn R n, m N defnsn n,,, n n m m s, dmn Eemen dr mtrs R n m pd m s rs e dn oom e dntn dengn tu, untu n dn s m Mtrs segmn s dpt dtus dengn n n m m nm Opers penumhn mtrs, R n m m s ddefnsn ms,, dnotsn dengn,, dmn n dn m dpun opers pern R n m dengn sr m s R ms, ddefnsn oeh, dengn n dn m rnpose dr mtrs R n m dnotsn m s, ddefnsn seg, untu n dn m dpun defns egenvue dn egenvector dm r M-Pus dern seg erut: efns (Hedergott d, ) Msn R n n dh mtrs uur sngr J m s R ms dh seuh sr dn v R n m s dh seuh vetor ng memut mnm stu eemen ng erhngg sehngg memenuh v v, m dseut egenvue dr mtrs dn v dh egenvector dr mtrs ng ersesun dengn egenvue Untu mendptn egenvue dn egenvector dr sutu mtrs dm r M-Pus dgunn gortm mgo (Suono, )

3 Peneesn Sstem u Ss Persmn ner = dm r M-Pus dtus Mtrs m n R ms dn n R Kren errt msmum, m ddptn, sehngg untu setp n dn, m dm r s mend:,, n, mn, n, ms, n, ms,, () Pd sstem, dengn mtrs dn mempun rs tu oom mnm terdr dr stu eemen erhngg Sstem n n dseesn menggunn Persmn () dengn cr ters ontoh ern sutu persmn dn n ddptn peneesnn Mtrs dn dengn dn Msn d m Untu r =, ddptn, dn sert Untu r =, dperoeh,, dn

4 Untu r =, dperoeh, dn Kren dn, m peneesn dr persmn dh dn unnnghm-green() mengenn sutu gortm ng onvergen e sutu peneesn ng erhngg dr serng tt w erhngg Metode n dnmn Metode terntf, dengn gortmn dh seg erut gortm (unnnghme-green, ) Ph serng vetor ng erhngg etpn r = dn () = Htung efnsn Htung Htung etpn r = r + dn ung hngg onvergen ut: ethu hw U U W W Jd, M erut n dern contoh untu mendptn peneesn dr persmn dengn menggunn metode terntf d ts ontoh ern, dengn mtrs dn sepert pd ontoh

5 J dern dperoeh dn ng ug merupn peneesn dr dengn dn J dern dperoeh dn ng ug merupn peneesn dr, tetp dn Jd, peneesn dr persmn td tungg tu psngn dn, dn tu eptn msng-msng Pd sstem, = m ddptn ng merupn sstem du ss engn menggunn metode terntf, n dseesn sstem du ss sepert pd contoh erut n ontoh ern sutu Sstem dn n ddptn peneesnn Msn mtrs dn mtrs m serng M dperoeh

6 J dern n w J dern n w dperoeh dperoeh Jd, peneesn dr persmn tu eptnn erut n dh sstem du ss dengn srt husus tu:, dengn c d untu setp N dn M, () dengn N mentn hmpunn rs {,,, n} dn M dh hmpunn oom {,,, m} dr mtrs dn Uurn mtrs dn n hrush sm erut n n dern sutu emm ng mentn srt hw sstem du ss td mempun peneesn Lemm (echrov, ) J d seuh rs sehngg c > d untu setp, m sstem du ss td mempun peneesn ut: n dutn dengn menggunn ontrds nggp hw seuh vetor dh seuh peneesn dr Sstem du ss () dn hw n msmum pd rus r dh c c nn dh d d ms n n msmum pd rus ms M ddptn c c d Kren c d, errt hw un merupn peneesn dr Sstem du ss () se merupn peneesn sehrusn c d Jd, ontrds

7 r Lemm d ts, memern t seg erut: t (echrov, ) Untu tp Sstem du ss () ng mempun peneesn, d untu tp rs sutu ndes sehngg c = d ut: Msn vetor dh peneesn dr Sstem du ss () Sehngg n msmum pd rus r dh c c ms Sedngn n msmum pd rus nn dh d d ms M ddptn c d H n errt untu tp rs d = sehngg c d dn ddptn d c Pd sstem du ss, c d untu setp N dn M J dern n w serng, m ddptn Sehngg sstem eruh mend Kren dn dethu, m s dperoeh H n dun erung-ung hngg ddptn n ng memenuh erut n n dern contoh meneesn sstem du ss, dmn c d untu setp N dn M ontoh ern sutu sstem du ss, dmn c d untu setp N dn M dengn mtrs dn mtrs dptn mtrs dn

8 Ms d m Untu r =, m dperoeh sehngg ddptn tn, dperoeh n Untu r =, ddptn n sehngg M dperoeh n Untu r =, dperoeh n sehngg tn ddptn n Untu r =, ddptn M peneesn dr sstem du ss, dmn d c untu setp N dn M dh

9 erut n dern gortm untu meneesn sstem du ss gortm Ph serng vetor ng erhngg etpn r = dn () = Htung efnsn Htung Htung Ung hngg memenuh Pemutn gortm sm dengn pemutn gortm erut n dern contoh untu mendptn peneesn dr persmn dengn menggunn gortm d ts ontoh ern sutu sstem du ss, dmn d c untu setp N dn M dengn mtrs dn sepert pd ontoh J dern n w m dperoeh ng merupn eptn dr J dern n w m dperoeh ng un merupn eptn dr

10 J dern n w m dperoeh ng un merupn eptn dr tu Jd, peneesn sstem du ss, dmn d c untu setp N dn M dh td tungg tu,, tu eptnn Kesmpun Sstem du ss dpt dseesn dengn ters menggunn metode terntf Sstem du ss dengn srt husus, dengn d c untu setp N dn M, dpt dseesn dengn menggunn ters Peneesn ng dhsn s tungg tu td tungg ng erup eptnn ftr Pust mnu, duhd, utovc,p, (), omprson of methods for sovng twosded sstems n m-ger, cce, F, ohen, G, Osder, GJ dn Qudrt, JP (), Snchronzton nd Lnert n ger for screte Event Sstems, John We & Sons, New Yor

11 utovc, P, Zmmermnn, K, (), strong ponom gorthm for sovng two-sded ner sstems n m-ger, heoretomput Sc, h - echrov, K (), Egenvectors of Interv Mtrces over M-Pus ger, Journ of screte pped Mthemtcs, vo, h unnnghme-green, R, utovc, P (), he Equton over(m, +), Journ of heoretc omputer Scence, vo, h Hedergott,, Osder, GJ dn Woude, J vn der (), M Pus t Wor, Modeng nd nss of Snchronzed Sstems: ourse on M-Pus ger nd Its ppctons, Prnceton Unverst Press, New Jerse Suono (), M-pus ger ooo, ver, Jurusn Mtemt Insttut enoog Sepuuh Nopemer, Sur