UNIVERSITAS INDONESIA ANALISIS STABILITAS DAN IMPLEMENTASI MODEL BRENNAN-SCHWARTZ TESIS TRI HANDHIKA

Transkripsi

1 UNIVERSITAS INDONESIA ANALISIS STABILITAS DAN IMPLEMENTASI MODEL BRENNAN-SCHWARTZ TESIS TRI HANDHIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPOK JULI 11 Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

2 UNIVERSITAS INDONESIA ANALISIS STABILITAS DAN IMPLEMENTASI MODEL BRENNAN-SCHWARTZ TESIS Diajukan sebagai salah sau syara unuk memperoleh gelar Magiser Sains TRI HANDHIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MATEMATIKA KONSENTRASI KEUANGAN DEPOK JULI 11 Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

3 Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

4 Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

5 Sesungguhnya dalam pencipaan langi dan bumi, dan perganian malam dan siang, erdapa anda-anda (kebesaran Allah) bagi orang yang berakal, (QS Ali Imran: 19) Dia memberikan hikmah kepada siapa yang Dia kehendaki. Barang siapa diberi hikmah, sesungguhnya dia elah diberi kebaikan yang banyak. Dan idak ada yang dapa mengambil pelajaran kecuali orang-orang yang mempunyai akal seha. (QS Al-Baqarah: 69) Tulisan ini kupersembahkan unuk Ayah, Ibu, Kakak, dan Isriku iv Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

6 KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjakan kehadira Allah Yang Maha Kuasa karena hanya aas berka dan rahma-nya sajalah sehingga penyusunan Tesis ini dapa erselesaikan. Tesis ini disusun unuk memenuhi salah sau syara memperoleh gelar Magiser Sains (S) pada Deparemen Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Indonesia. Penulis mengucapkan erima kasih yang sebesar-besarnya aas dukungan, bimbingan, dan pengarahan yang sanga berharga dalam penyelesaian Tesis ini kepada: 1. Kedua orang uaku (Muchid Arifin dan Yai Rani Anggraini), kedua meruaku (Lauw Eng Tjoan dan Lo Er Nie), isriku (Murni), sera kakakkakakku (Ika Arifiyani dan Dwi Arifiyano) yang selalu memberikan doa, semanga, dan kasih sayang kepada penulis unuk menyelesaikan Tesis ini.. Gao F. Herono, Ph.D dan Bevina D. Handari, Ph.D selaku pembimbing Tesis yang elah membimbing dan mengarahkan penulis. 3. Prof. Dr. Djai Kerami dan Dr. rer. na. Hendri Murfi selaku Keua dan Sekrearis Program Magiser Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Indonesia sera Dr. Dian Lesari selaku Dosen Wali. 4. Prof. Dr. Djai Kerami, Gao F. Herono, Ph.D, dan Dr. Sri Mardiyai M.Kom selaku penguji sidang Tesis. 5. Universias Gunadarma selaku penyandang dana bagi penulis selama menjalani pendidikan Program Magiser, Deparemen Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Indonesia ahun anggaran Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 v

7 6. Rekan-rekan Saf Pengajar pada Pusa Sudi Kompuasi Maemaika (PSKM), Universias Gunadarma, Ernasui, Edi Sukirman, Asep Juarna, Adang Suhendra, Ahmad Sabri, Lismano, Onggo Wiryawan, Ias Sri Wahyuni, Dina Indari, Nola Marina, Aini Suri Talia, dan Murni. 7. Segenap Saf Pengajar, Karyawan Taa Usaha, dan Perpusakaan Deparemen Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Indonesia. 8. Sahabaku Reza Henganing Ayodya, Bong Novi Herawai, Eva Rida Meilina Simaupang, Milka Huagalung, dan Murni yang selalu memberi inspirasi bagi penulis. 9. Rekan-rekan Asisen Dosen Deparemen Manajemen, Fakulas Ekonomi, Universias Indonesia, eruama Aja Adriansyah, Lenny Suardi, dan Agung Faradynawai yang membanu penulis dalam menjawab peranyaan-peranyaan yang muncul selama penyelesaian Tesis ini. 1. Rekan-rekan penelii SISORCO (Science and Social Research Consulan), Reza Henganing Ayodya, Murni, Adhika Jai, Dina Indari, Ias Sri Wahyuni, dan Nola Marina yang memberi banyak pengalaman dalam berorganisasi dan memahami dasar-dasar peneliian dengan baik. 11. Teman-eman Program Magiser Maemaika, Deparemen Maemaika, Fakulas Maemaika dan Ilmu Pengeahuan Alam, Universias Indonesia angkaan 9 yang elah mewarnai kehidupan penulis selama dua ahun di Universias Indonesia. 1. Semua pihak yang elah membanu penulis baik secara langsung maupun idak langsung yang idak dapa penulis sebukan sau per sau. Penulis menyadari bahwa Tesis ini masih belum sempurna dan perlu dilakukannya sudi yang lebih mendalam. Oleh karena iu, penulis mengharapkan kriik dan saran sebagai bekal penyempurnaan penulisan-penulisan selanjunya di kemudian hari. Akhir kaa, penulis berharap semoga ulisan ini dapa bermanfaa dalam pengembangan Ilmu Maemaika dan disiplin ilmu lainnya. Depok, Juli 11 Penulis vi Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

8 Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

9 ABSTRAK Nama : Tri Handhika Program Sudi : Maemaika Judul : Analisis Sabilias dan Implemenasi Model Brennan-Schwarz Tesis ini berujuan unuk menganalisis sabilias model Brennan-Schwarz dan menggunakannya sebagai panduan dalam menganalisis ingka bunga. Sabilias pening unuk menggambarkan keahanan suau model erhadap gangguan pada nilai awal aaupun parameer modelnya. Pada Tesis ini akan dibahas dua cara unuk menenukan sabilias sokasik, yaiu sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square. Krieria-krieria sabilias yang diperoleh dapa digunakan sebagai panduan unuk memilih parameer sehingga model menjadi ahan erhadap gangguan. Akan eapi, pada kenyaaannya parameer model Brennan-Schwarz idak dikeahui nilainya sehingga perlu dilakukan penaksiran erlebih dahulu. Pada Tesis ini, meode yang digunakan dalam menaksir parameer model Brennan-Schwarz adalah meode Maximum Likelihood dan dilanjukan secara ieraif menggunakan Algorima Nelder-Mead. Dalam implemenasi, aksiran parameer diperoleh melalui penerapan konsep perubahan measure. Hasil implemenasi menunjukkan bahwa solusi model Brennan-Schwarz cukup baik dalam menggambarkan pergerakan ingka bunga bulanan dari suau zero-coupon bond dengan mauriy ime 5 ahun periode Januari ahun 198 hingga Februari 11 yang daanya diunduh dari Kaa kunci: Model Brennan-Schwarz; Sabilias Model Sokasik; Maximum Likelihood; Algorima Nelder-Mead; Perubahan Measure. Bibliografi: 6 ( ) viii Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

10 ABSTRACT Name : Tri Handhika Sudy Program: Mahemaics Tile : Sabiliy Analysis of Brennan-Schwarz Model wih Implemenaion This hesis aims o analyze he sabiliy of he Brennan-Schwarz model and use i as a guideline o analyze ineres-rae. Sabiliy is imporan o describe resisance of he model o he perurbaion in he iniial sae or parameers of he model. Two ways o define sochasic sabiliy will be considered in his hesis: sochasically asympoically sable and mean-square sabiliy. These sabiliy crieria can be used as guidelines for selecing parameers ha make he model resisan o he perurbaion. However, Brennan-Schwarz model requires esimaion of parameers whose values are unknown. In his hesis, he mehod which is used o esimae parameers of Brennan-Schwarz model is he maximum likelihood esimaion mehod and will be coninued ieraively using he Nelder- Mead Algorihm. In he applicaion, parameer esimaors are obained by applying change of measure concep. Implemenaions show ha Brennan- Schwarz model is good enough o approximae he real daa of monhly ineresrae from a zero-coupon bond wih mauriy ime of 5 years: January, February, 11 in which daa is downloaded from Key words: Brennan-Schwarz Model; Sabiliy of Sochasic Model; Maximum Likelihood; Nelder-Mead Algorihm; Change of Measure. Bibliography: 6 ( ) ix Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

11 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... LEMBAR ORISINALITAS... LEMBAR PENGESAHAN... KATA PENGANTAR... i ii iii v LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... vii ABSTRAK... viii DAFTAR ISI... x DAFTAR GAMBAR... xii DAFTAR LAMPIRAN... xiv BAB 1. PENDAHULUAN 1.1 Laar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penulisan Sisemaika Penulisan... 4 BAB. LANDASAN TEORI.1 Teori Probabilias.1.1 Proses Sokasik Perubahan Measure Brownian Moion dan Kalkulus Sokasik..1 Brownian Moion Kalkulus Sokasik: Io-Doeblin Formula....3 Sabilias Persamaan Diferensial Sokasik Io Esimasi Parameer.4.1 Meode Maximum Likelihood Algorima Nelder-Mead Asse Pricing... 9 Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 x Universias Indonesia

12 BAB 3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Model Brennan-Schwarz Sabilias Model Brennan-Schwarz Penaksiran Parameer Model Brennan-Schwarz BAB 4. IMPLEMENTASI... 5 BAB 5. KESIMPULAN... 6 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xi Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

13 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 3..1 Daerah sabilias sokasik asimoik unuk sebarang nilai awal model Brennan-Schwarz erkai parameer dan Gambar 3.. Daerah sabilias mean-square model Brennan-Schwarz erkai parameer dan Gambar 4.1 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz dengan nilai awal berbeda unuk uji kesabilan sokasik asimoik di mana, ;, ; dan, Gambar 4. Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz dengan nilai awal berbeda unuk uji kesabilan sokasik asimoik di mana, 5;, ; dan, Gambar 4.3 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz dengan nilai parameer berbeda unuk uji kesabilan sokasik asimoik di mana r 14,94% Gambar 4.4 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz (1 simulasi) dengan nilai awal berbeda unuk uji kesabilan mean-square di mana,;,; dan, xii Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

14 Gambar 4.5 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz (1 simulasi) dengan nilai awal berbeda unuk uji kesabilan mean-square di mana,1;,; dan, Gambar 4.6 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz (1 simulasi) dengan nilai awal berbeda unuk uji kesabilan mean-square di mana,1;,; dan, Gambar 4.7 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz (1 simulasi) dengan nilai parameer berbeda unuk uji kesabilan mean-square di mana r 14,94% Gambar 4.8 Pergerakan ingka bunga bulanan dari suau zero-coupon bond dengan mauriy ime 5 ahun periode Januari 198 hingga Februari 11 dengan menggunakan model Brennan-Schwarz xiii Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

15 DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 Flowchar Nelder-Mead unuk Meode Maximum Likelihood Lampiran Skema Analisis Lampiran 3 Daa ingka bunga bulanan dari suau zero coupon bond pada Bank of England periode Januari 198 hingga Februari Lampiran 4 Sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz dengan nilai awal yang berbeda-beda... 7 Lampiran 5 Sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz dengan nilai parameer yang berbeda-beda Lampiran 6 Sabilias mean-square model Brennan-Schwarz dengan nilai awal yang berbeda-beda... 7 Lampiran 7 Sabilias mean-square model Brennan-Schwarz dengan nilai parameer yang berbeda-beda Lampiran 8 Algorima Nelder-Mead dalam menaksir parameer model Brennan-Schwarz dengan menggunakan meode Maximum Likelihood Lampiran 9 Pergerakan ingka bunga dengan model Brennan-Schwarz xiv Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

16 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Laar Belakang Dalam menenukan harga suau ase/produk keuangan (asse pricing), para ekonom mendasarinya aas dua hal, yakni preferensi resiko invesor aau biasa dikenal sebagai ase invesor dan disribusi paymens suau produk keuangan di masa depan aau eknologi ekonomi. Preferensi resiko seorang invesor haruslah konsisen dengan suau fungsi uilias yang diharapkan (Pennacchi, 8). Daniel Bernoulli elah menunjukkan bahwa fungsi uilias yang dimaksud merupakan fungsi increasing dan konkaf erhadap hara yang dimiliki seorang invesor. Semakin besar hara yang dimiliki seseorang idak meningkakan kepuasan seseorang dengan cukup signifikan. Hal ini dapa disebabkan oleh keakuan seorang invesor akan kehilangan hara yang dimiliki sehingga umumnya invesor dalam pasar keuangan ergolong risk averse. Unuk menangani risk averse, dalam dunia asuransi dikenal isilah risk premium, yaiu harga yang harus dibayar oleh seseorang unuk mengalihkan resiko yang mungkin erjadi. Sedangkan dalam masalah asse pricing, risk premium didefinisikan sebagai ekspekasi ingka pengembalian suau produk keuangan yang dimiliki oleh seorang invesor. Dengan kaa lain, resiko payoff suau produk keuangan di masa depan, seperi obligasi, opsi, aau swap, menenukan ingka pengembalian produk-produk keuangan ersebu pada ingka bunga erenu. Pembahasan mengenai keerganungan pada ingka bunga diperlukan pula dalam hal manajemen resiko maupun dalam spekulasi bisnis yang menunun pada asse pricing (Csajkova, 7; Pennacchi, 8). Keidakpasian pergerakan ingka bunga di masa depan merupakan bagian pening dalam eori pengambilan kepuusan keuangan. Keidakpasian ini juga merupakan kendala dalam Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 1 Universias Indonesia

17 menenukan harga suau produk urunan ingka bunga maupun dalam hal manajemen resiko (Yolcu, 5). Secara maemais, fenomena pergerakan ingka bunga direpresenasikan dengan Persamaan Diferensial Sokasik (PDS). Dalam Tesis ini akan dibahas mengenai salah sau model ingka bunga, yaiu model Brennan-Schwarz (Brennan, 198). Model Brennan-Schwarz mendeskripsikan pergerakan ingka bunga menuru sau sumber resiko aau sau variabel keidakpasian. Seperi halnya model Vasicek, Rendleman-Barer, maupun CIR, model Brennan- Schwarz juga ergolong ke dalam model ekuilibrium yang memiliki sifa mean reversion. Model Brennan-Schwarz mirip dengan model Vasicek, eapi koefisien difusi bersifa muliplikaif. Seperi halnya dalam persamaan diferensial deerminisik, suau PDS juga mengandung parameer. Dalam beberapa kasus, parameer-parameer ersebu erkadang dikeahui nilainya, seperi pada eksperimen dalam laboraorium fisika maupun kimia. Berbeda dengan kasus eksperimen, dalam koneks keuangan seringkali parameer-parameer ersebu idak dikeahui nilainya sehingga perlu diaksir erlebih dahulu pada saa implemenasi model erhadap daa riil. Oleh sebab iu, perlu dilakukan penaksiran erhadap parameer model Brennan- Schwarz dengan menggunakan daa observasi yang ersedia. Dalam penaksiran parameer model Brennan-Schwarz erdapa masalah perbedaan measure karena daa observasi yang digunakan memenuhi asumsi acual probabiliy measure. Sedangkan, model Brennan-Schwarz memenuhi asumsi risk-neural probabiliy measure. Dengan kaa lain, erdapa kemungkinan bahwa parameer yang diperoleh idak sesuai dengan yang diharapkan aau menyimpang dari yang sebenarnya. Taksiran parameer yang menyimpang dapa mengakibakan solusi yang menyimpang pula. Dengan demikian, solusi dari masalah yang diselesaikan mungkin juga menyimpang dari solusi masalah sebenarnya (Anggono, 4). Penyimpangan solusi yang erjadi akiba gangguan-gangguan baik berupa kesalahan penaksiran parameer maupun penenuan nilai awal solusi Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

18 3 menyebabkan diperlukannya suau panduan mengenai krieria nilai aksiran parameer yang dapa dierima sehingga model Brennan-Schwarz dapa diimplemenasikan pada daa riil. Salah sau panduan yang dapa digunakan adalah sabilias model. Sabilias model cukup menarik unuk dibahas karena dapa menggambarkan keahanan suau model erhadap gangguan-gangguan ersebu sehingga modelnya dapa digunakan dalam peramalan unuk jangka waku erenu. Pada model yang sabil sediki perubahan pada nilai awal aaupun nilai parameer suau PDS hanya akan menyebabkan sediki perubahan pada keseluruhan solusinya (Anggono, 4; Arnold, 1974; Kloeden, 199). Dalam Tesis ini, akan dibahas mengenai sabilias dan penaksiran parameer pada salah sau model ingka bunga, yakni model Brennan-Schwarz. Model Brennan-Schwarz merupakan PDS non-homogen yang memiliki solusi analiik (Bayazi, 4). Walaupun demikian, secara kualiaif erkadang hanya diperhaikan sifa sabilias model anpa menenukan solusinya erlebih dahulu (Kreyszig, 1999). Selain iu, penenuan krieria sabilias model Brennan- Schwarz eap diperlukan dalam menggambarkan keahanan model ersebu erhadap gangguan. Krieria sabilias model sokasik yang akan dibahas adalah krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square (Allen, 7; Higham, 1; Kloeden, 199). Dengan melakukan analisis sabilias dan penaksiran parameer erhadap model Brennan-Schwarz, diharapkan dapa dikeahui apakah hasil aksiran parameer model Brennan-Schwarz berdasarkan daa observasi ingka bunga yang ersedia menghasilkan solusi model yang cukup baik dalam menggambarkan pergerakan ingka bunga ersebu aau idak. 1. Perumusan Masalah Bagaimana menenukan krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square model Brennan-Schwarz sera implemenasi model pada daa riil. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

19 4 1.3 Tujuan Penulisan Tujuan penulisan Tesis ini adalah unuk menenukan krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square model Brennan-Schwarz sera implemenasi model pada daa riil dengan memberi informasi mengenai penaksiran parameer model Brennan-Schwarz; dan solusi model dalam menggambarkan pergerakan ingka bunga. 1.4 Sisemaika Penulisan Sisemaika penulisan Tesis ini dibagi menjadi lima bab, yaiu: Bab 1 membahas mengenai laar belakang, perumusan masalah, ujuan penulisan, dan sisemaika penulisan. Bab membahas landasan eori mengenai eori probabilias, Brownian Moion dan kalkulus sokasik, sabilias persamaan diferensial sokasik, esimasi parameer, dan asse pricing yang diperlukan pada pembahasan selanjunya. Bab 3 membahas mengenai model Brennan-Schwarz beriku dengan krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square sera penaksiran parameer model. Bab 4 membahas perbandingan ingka bunga bulanan dari suau zero coupon bond dengan mauriy ime 5 ahun periode Januari 198 hingga Februari 11 melalui model Brennan-Schwarz dengan menggunakan daa observasi yang diunduh dari Bab 5 berisi kesimpulan unuk Tesis ini. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

20 BAB LANDASAN TEORI Pada Bab beriku akan dibahas mengenai dasar-dasar eori yang digunakan dalam penulisan Tesis ini, yakni eori probabilias. Teori probabilias perlu dibahas erlebih dahulu sebelum pembahasan lebih lanju mengenai model ingka bunga yang idak sederhana di mana model berupa Persamaan Diferensial Sokasik (PDS). Teori probabilias mencakup proses sokasik, infomasi dan aljabar, sera perubahan measure. Selain iu, dibahas pula mengenai Brownian Moion beriku dengan sifa-sifanya. Salah sau sifa yang cukup pening unuk dibahas adalah variasi kuadraik dari Brownian moion karena menjadi dasar pembahasan mengenai kalkulus sokasik yang mencakup inegral sokasik Io dan formula Io-Doeblin. Kemudian, pembahasan dilanjukan dengan pengenalan PDS Io beriku dengan sabiliasnya. PDS mengandung parameer-parameer yang idak dikeahui nilainya sehingga diperlukan daa riil/hisoris unuk menaksir nilai-nilai parameer ersebu. Pada Tesis ini meode penaksiran parameer yang digunakan adalah meode Maximum Likelihood dan salah sau meode opimisasi numerik, yaiu algorima Nelder-Mead. Pada akhir Bab dibahas pula mengenai konsep maemaika keuangan dalam menenukan harga ase/produk keuangan. Harga ase yang erbenuk haruslah memenuhi kondisi no arbirage, yakni kondisi di mana suau ase diperdagangkan pada harga yang sama walaupun pada empa yang berbeda. Proses penenuan harga ase ersebu dapa melalui konsep perubahan measure yang dinyaakan dalam Teorema Girsanov. Berdasarkan Teorema Girsanov dapa didefinisikan suau probabiliy measure yang merupakan risk-neural probabiliy measure sehingga harga ase yang diperoleh ersebu memenuhi kondisi no arbirage sesuai dengan Teorema Fundamenal Asse Pricing. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 5 Universias Indonesia

21 6.1 Teori Probabilias.1.1 Proses Sokasik Pada Tesis ini akan dibahas salah sau masalah dalam maemaika keuangan, yaiu pergerakan ingka bunga di mana harga dari suau ase/produk keuangan dienukan pada ingka bunga erenu, seperi yang elah dijelaskan pada Bab 1. Pergerakan ingka bunga ersebu dapa dimodelkan ke dalam suau PDS di mana variabelnya merupakan suau proses sokasik yang didefinisikan pada ruang probabilias erenu. Oleh sebab iu, perama-ama akan dijelaskan mengenai ruang probabilias. Diberikan ruang probabilias,, dengan adalah himpunan seluruh hasil yang mungkin dari suau percobaan acak. Dalam pergerakan ingka bunga, berupa nilai ingka bunga yang mungkin erjadi, yaiu. Sedangkan, menyaakan koleksi subse-subse dari ruang sampel yang disebu sebagai ruang kejadian yang memenuhi sifa aljabar. Dalam pergerakan ingka bunga, pada suau dapa dienukan probabilias nilai ingka bunga pada waku erenu, misal. merupakan fungsi dengan domain dan codomain,1. menggambarkan disribusi dari ingka bunga ersebu, misalkan probabilias nilai ingka bunga bulan depan berada pada inerval 5% - 1%. Seelah mengeahui definisi ruang probabilias, akan dienukan probabilias dari suau kejadian. Dengan kaa lain, akan dimodelkan percobaan acak ersebu sehingga dapa diperoleh nilai probabiliasnya. Unuk ujuan pemodelan dapa didefinisikan suau peubah acak yang menggambarkan kejadiankejadian ersebu. Sedangkan, pada pergerakan ingka bunga, idak cukup hanya didefinisikan suau peubah acak, melainkan barisan peubah acak yang disebu sebagai proses sokasik karena berganung pula pada waku. Unuk menenukan probabilias dari kejadian erenu erkai peubah acak ersebu dapa didefinisikan suau Cumulaive disribuion funcion (cdf) yang merupakan fungsi dengan domain dan codomain,1. Selanjunya, percobaan Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

22 7 acak ersebu (pergerakan ingka bunga) dapa dimodelkan (digambarkan) unuk meliha karakerisiknya dengan probabiliy densiy funcion (pdf) koninu yang merupakan fungsi dengan domain dan codomain,. Beriku ini diberikan beberapa definisi yang diperlukan dalam pembahasan eori probabilias (Boes, 1974; Dokuchaev, 7). Definisi ( aljabar) Sebarang kumpulan subse-subse pada himpunan disebu aljabar dari subse-subse pada jika memenuhi a). b) Jika A maka \ A. c) Jika A1, A, maka A. i1 i Definisi.1.1. (Peubah Acak) Diberikan ruang probabilias,,, suau peubah acak X aau X merupakan suau fungsi dengan domain dan codomain sedemikian sehingga A : X r, r. r Definisi (Cdf) Cdf dari suau peubah acak X yang dinoasikan dengan FX didefinisikan sebagai fungsi dengan domain dan codomain,1 yang memenuhi F x X x : X x, x. X Berdasarkan Definisi.1.1.1,.1.1. dan elah dibahas mengenai definisi aljabar, peubah acak, dan cdf dari peubah acak di mana cdf menggambarkan disribusi dari nilai-nilai peubah acak. Selain iu, peubah acak dapa dibedakan aas peubah acak diskri dan peubah acak koninu. Oleh karena nilai ingka bunga memiliki disribusi yang koninu, maka pada Tesis ini hanya dibahas mengenai peubah acak koninu di mana disribusinya dapa dijelaskan Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

23 8 dengan probabiliy densiy funcion (pdf). Sedangkan, pembahasan mengenai peubah acak diskri dapa diliha pada Boes (1974). Definisi (Peubah Acak Koninu) Suau peubah acak X dikaakan koninu jika erdapa suau fungsi f sedemikian sehingga ; X x X. F x f u du x Definisi (Pdf dari suau Peubah Acak Koninu) Jika X merupakan peubah acak koninu, fungsi f X pada X x X F x f u du disebu pdf dari X. Pdf suau peubah acak koninu dapa diuliskan kembali sebagai beriku: f X x dfx x FX x x FX x x lim, dx x x sehingga f x x F x x F x x x x X x x yang X X X berari bahwa probabilias X erdapa di dalam inerval kecil yang mengandung nilai x diaproksimasi oleh koninu, X f x dikali lebar inerval. Unuk peubah acak f adalah suau fungsi dengan domain dan kodomain X X,. Pdf dapa pula digunakan unuk menghiung probabilias suau kejadian yang b erdefinisi pada peubah acak koninu X, conohnya: unuk a b. Berdasarkan definisi-definisi yang elah a X b f X x dx dibahas sebelumnya, maka probabilias dari suau kejadian elah dapa dienukan dan percobaan acak ersebu dapa dimodelkan (digambarkan). Kemudian, pembahasan dilanjukan dengan definisi ekspekasi (mean) dan variansi yang banyak digunakan dalam masalah-masalah erkai peubah acak aaupun disribusi yang digunakan pada Bab 3 (Boes, 1974; Shreve, 4). a Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

24 9 Definisi (Mean) Misalkan,, merupakan suau ruang probabilias dan misalkan pula X adalah suau peubah acak. Mean dari X yang dinoasikan dengan didefinisikan sebagai, E X X d xf x dx X X aau E X jika X koninu dengan pdf f X x. Selain iu, unuk sebarang peubah acak X. E X 1 FX x dx FX x dx, Definisi (Variansi) Misalkan X adalah suau peubah acak. Variansi dari X yang dinoasikan dengan X aau Var X didefinisikan sebagai Var X x f x dx, X X jika X koninu dengan pdf f X x. Selain iu, unuk sebarang peubah acak X. Var X x 1, FX x FX x dx X Unuk X koninu, E X dan Var X dapa erdefinisi jika inegralnya ada. Selain iu, dikaakan mean dan variansinya idak ada aau idak erdefinisi. Beriku ini adalah Definisi dan Teorema mengenai ekspekasi bersyara sera hubungannya dengan ruang probabilias yang akan banyak digunakan dalam penyelesaian masalah pergerakan ingka bunga pada Bab 3. Namun, sebelumnya akan dibahas definisi mengenai measurable dan saling bebas (independen) yang digunakan pada Definisi dan Teorema ekspekasi bersyara (Shreve, 4). Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

25 1 Definisi (Measurable) Misalkan X suau peubah acak yang erdefinisi pada suau ruang sampel idak kosong. Misalkan suau -aljabar dari subse. Jika seiap himpunan di dalam aljabar X juga ermasuk di dalam, maka X disebu measurable di. Definisi (Independen) Misalkan,, merupakan suau ruang probabilias dan misalkan 1,, 3, adalah barisan dari sub aljabar. Unuk suau bilangan bula posiif n, dikaakan bahwa n aljabar 1,, 3, independen jika A A A A A A unuk seiap 1 n 1 n A1 1, A,, An n. Misalkan 1,, 3, X X X adalah barisan peubah acak pada,,. Dikaakan bahwa n peubah acak X1, X,, X n independen jika aljabar- aljabar X X X 1,,, n independen. Dikaakan bahwa seluruh barisan aljabar 1,, 3, independen jika unuk seiap bilangan bula posiif n, n aljabar 1,,, n independen. Dikaakan bahwa seluruh barisan peubah acak X1, X, X 3, independen jika unuk seiap bilangan bula posiif n, n peubah acak X1, X,, X n independen. Definisi (Ekspekasi Bersyara) Misalkan diberikan ruang probabilias,, di mana merupakan sub aljabar dari, dan misalkan pula X adalah peubah acak yang non-negaif aau inegrable, dengan E X E X. Ekspekasi bersyara X diberikan yang dinoasikan adalah sebarang peubah acak yang memenuhi Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

26 11 a) (Measurabiliy) E X measurable. E X d X d A. b) (Parial Averaging), A Jika adalah suau aljabar yang dibangun oleh beberapa peubah acak W, maka ekspekasi bersyara X diberikan aljabar dinoasikan dengan E X daripada A E X. secara umum Teorema (Ekspekasi Bersyara) Misalkan diberikan ruang probabilias,, sub aljabar dari. dan misalkan pula merupakan a) Jika X dan Y merupakan peubah acak - peubah acak yang inegrable dan c 1 sera c merupakan konsana, maka E c X c Y c E X c E Y 1 1. b) Jika X, Y, dan XY merupakan peubah acak - peubah acak yang inegrable, dan X measurable di, maka XE Y. E XY c) Jika suau sub- -aljabar dari dan X merupakan peubah acak yang inegrable, maka E X. E E X d) Jika X inegrable dan independen dari, maka E X. E X Seelah dibahas definisi dan eorema yang berkaian dengan peubah acak koninu, mean, variansi, sera ekspekasi bersyara, selanjunya akan dipelajari disribusi koninu dari nilai ingka bunga yang dibahas pada Tesis ini, yaiu disribusi lognormal, seperi didefinisikan beriku ini (Karlin, 1998): Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

27 1 Definisi (Disribusi Normal dan Lognormal) Suau peubah acak X dikaakan berdisribusi Normal jika memiliki pdf sebagai beriku: 1 1 x f X x exp ; x, dengan mean dan variansi. Jika logarima naural dari suau peubah acak V berdisribusi Normal, maka V memiliki disribusi Lognormal. Sebaliknya, jika X berdisribusi Normal dengan mean dan variansi, maka V e berdisribusi Lognormal. Beriku ini diberikan pdf dari V : f V v v 1 1 ln exp, v dengan mean dan variansi masing-masing adalah dan 1 E V exp 1 Var V exp exp 1. X merupakan peubah acak Selanjunya, perlu dikeahui bahwa dalam masalah maemaika keuangan, khususnya ingka bunga, kejadian-kejadian (nilai ingka bunga) erkai dengan waku sehingga pada iap waku perlu didefinisikan suau peubah acak. Oleh sebab iu, dalam menggambarkan nilai ingka bunga perlu didefinisikan lebih dari sau peubah acak. Beriku ini akan dibahas beberapa definisi erkai dengan hal ersebu (Dokuchaev, 7). Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

28 13 Definisi Suau barisan peubah acak,,1,,, disebu sebagai suau proses sokasik dengan waku diskre. Definisi Misalkan diberikan T,. Suau pemeaan :,T disebu sebagai suau proses sokasik dengan waku koninu jika, merupakan peubah acak unuk hampir seiap. Suau proses sokasik memiliki dua peubah independen ( dan ), proses ersebu dapa diulis sebagai,,, aau hanya,. Pada Tesis ini nilai ingka bunga dinyaakan sebagai suau proses sokasik yang dinoasikan dengan r. Beriku ini diberikan beberapa definisi yang dapa digunakan unuk menggambarkan suau proses sokasik (Kloeden, 199): Definisi Unuk seiap,, :,T pah, aau rajecory. disebu sebagai suau realisasi, sample Teori proses sokasik mempelajari sifa-sifa sample pah (sifa-sifa rajecories), unuk yang diberikan. Definisi Suau proses, dengan waku koninu disebu koninu (sample pah koninu), jika rajecories, hampir pasi (almos surely) koninu di (dengan probabilias 1 aau unuk hampir seiap (almos every) ). Selanjunya, akan dibahas mengenai whie noise dan random walk yang menjadi dasar dalam Brownian moion pada Subbab..1. Brownian moion ini memegang peranan pening dalam pembenukan suau model ingka bunga yang menjadi objek masalah pada Tesis ini. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

29 14 Definisi Misalkan,,1,,, merupakan proses sokasik dengan waku diskri sedemikian sehingga muually independen dan memiliki disribusi yang sama, sera E. Maka, proses disebu sebagai suau whie noise dengan waku diskri. Definisi Misalkan whie noise dengan waku diskri, dan misalkan 1,,1,, di mana x X berari bahwa x erdefinisi sedemikian sehingga x X. Maka, proses disebu sebagai suau random walk. Nilai ingka bunga dipengaruhi oleh informasi-informasi nilai ingka bunga sebelumnya. Dalam konsep ruang probabilias,,, informasiinformasi yang dimaksud idak hanya unuk mengeahui nilai yang erkai saja, melainkan unuk mengeahui kemungkinan munculnya nilai-nilai ersebu. Oleh sebab iu, dalam eori probabilias informasi ersebu dimodelkan dengan menggunakan konsep aljabar. Selanjunya, beriku ini akan dibahas beberapa definisi erkai ekspekasi suau proses sokasik bersyara informasi sebelumnya. Perama-ama, asumsikan bahwa definisi-definisi beriku ini berlaku unuk waku, aau,1,, (Dokuchaev, 7): Definisi Suau himpunan dari -aljabar disebu sebagai suau filrasi jika s unuk s. Definisi.1.1. Misalkan merupakan suau proses sokasik, dan misalkan pula bahwa adalah suau filrasi. Proses sebarang peubah acak disebu adaped erhadap filrasi, jika measurable erhadap dengan B merupakan sebarang inerval buka). (conohnya: B Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

30 15 Definisi Misalkan merupakan suau proses sokasik. Filrasi didefinisikan sebagai filrasi minimal sedemikian sehingga. yang dibangun oleh adaped erhadap Definisi.1.1. Proses sokasik dan disebu independen jika dan hanya jika kejadiankejadian A dan 1,, n m, n, semua waku,, 1 n m B.,, B 1 m dan 1,, m independen unuk semua, sera semua himpunan n A dan Proses-proses independen jika dan hanya jika semua kejadian-kejadian dari filrasi yang dibangun oleh proses-proses ersebu muually independen. Selanjunya, pembahasan dilanjukan dengan konsep maringale yang memegang peranan pening dalam eori asse pricing. Teori mengenai asse pricing akan dijelaskan lebih lanju pada Subbab.5. Definisi Misalkan merupakan suau proses sedemikian sehingga E unuk semua, dan misalkan adalah suau filrasi. disebu sebagai suau maringale erhadap Definisi Misalkan jika E almos surely s, : s. s s merupakan suau proses, dan misalkan pula filrasi yang dibangun oleh proses ini. erhadap filrasi. adalah suau disebu sebagai suau maringale Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

31 16.1. Perubahan Measure Dalam maemaika keuangan, khususnya harga ase, pembenukan modelmodelnya didasarkan pada suau ruang sampel yang dapa dianggap sebagai himpunan skenario-skenario yang mungkin di masa depan. Himpunan skenarioskenario yang mungkin ini memenuhi acual probabiliy measure. Walaupun demikian, unuk ujuan asse pricing akan digunakan suau risk-neural probabiliy measure sehingga perlu dilakukan suau perubahan measure pada model erkai. Akan eapi, dikeahui bahwa dan merupakan dua buah measure yang ekivalen. Dengan kaa lain, keduanya memiliki pandangan yang sama mengenai mungkin aau idak mungkinnya suau kejadian, walaupun berbeda dalam hal nilai kemungkinannya. Perubahan dari acual ke risk-neural probabiliy measure hanya mengubah disribusi dari harga asenya saja anpa mengubah harga ase iu sendiri (Shreve, 4). Penjelasan lebih lanju mengenai asse pricing ini dapa diliha pada Subbab.5. Dalam maemaika keuangan, perubahan measure dapa dilakukan dengan menerapkan Teorema Girsanov. Beberapa Definisi dan Teorema pening erkai perubahan measure yang menjadi dasar dalam Teorema Girsanov pada Subbab.5 akan dibahas beriku ini (pembukian selengkapnya dapa diliha pada Shreve (4)): Teorema.1..1 Misalkan,, merupakan suau ruang probabilias dan merupakan suau peubah acak almos surely non-negaif dengan E 1. Unuk A, definisikan A d. A Maka merupakan suau probabiliy measure. Lebih jauh lagi, jika X adalah suau peubah acak non-negaif, maka Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

32 17. E X X d E X Jika almos surely sricly posiive, dapa juga didefinisikan Y E Y E unuk seiap peubah acak non-negaif Y. Definisi.1.. Misalkan merupakan suau himpunan idak kosong dan adalah suau aljabar dari subhimpunan-subhimpunan. Probabiliy measure dan pada, disebu ekivalen jika keduanya bersama-sama memberikan nilai probabilias nol unuk himpunan yang sama pada. Definisi.1..3 Misalkan,, measure lain pada, merupakan suau ruang probabilias, misalkan probabiliy yang ekivalen dengan, dan misalkan merupakan suau peubah acak almos surely posiif yang menghubungkan dan melalui Teorema Maka disebu urunan Radon-Nikodym dari erhadap dan diulis d. d Teorema.1..4 Misalkan dan merupakan dua probabiliy measure yang ekivalen dan erdefinisi pada,. Maka erdapa sebuah peubah acak yang almos surely posiif sedemikian sehingga E 1 dan A d A. A unuk seiap Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

33 18. Brownian Moion dan Kalkulus Sokasik..1 Brownian Moion Seperi elah dijelaskan sebelumnya, pada Tesis ini Brownian moion memegang peranan pening dalam pembenukan model ingka bunga yang direpresenasikan sebagai suau Persamaan Diferensial Sokasik (PDS). Pada Subbab ini akan dibahas mengenai pembenukan Brownian moion. Brownian moion, W, dapa dinyaakan sebagai n 1 W limw lim M n, n n n di mana n W disebu sebagai scaled symmeric random walk, sedangkan M n, n,1,,, disebu sebagai symmeric random walk, yakni: n M X, n 1,,, n j1 j dengan M dan X j 1 ; jika j H, 1 ; jika j T, unuk barisan ak hingga 1 3 dari suau percobaan acak, misalnya pelemparan koin seimbang (probabilias muncul masing-masing muka/head (H) dan belakang/ail (T) unuk seiap pelemparan adalah 1 ) dengan j adalah hasil yang mungkin keluar pada pelemparan ke-j. Symmeric random walk ini enunya memenuhi definisi random walk yang sebelumnya elah dibahas pada Definisi Secara formal, Brownian moion didefinisikan sebagai beriku (Shreve, 4): Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

34 19 Definisi..1.1 Misalkan,, merupakan suau ruang probabilias. Unuk seiap, misalkan erdapa suau fungsi koninu W,, yang memenuhi W dan berganung pada. Maka W,, adalah suau Brownian moion jika unuk seiap 1 m, incremen W,,,, W 1 W W 1 W W W 1 m m 1 independen dan seiap incremen-incremen ersebu berdisribusi normal dengan E W i1 W dan i Var W W. i1 i i1 i Berdasarkan Definisi.1.1.,.1.1.1, dan.1.1., beriku ini akan didefinisikan suau filrasi dari Brownian moion unuk merepresenasikan informasi-informasi erkai dengan Brownian moion di seiap waku,: Definisi..1. Misalkan,, merupakan suau ruang probabilias di mana Brownian moion W,, didefinisikan. Suau filrasi unuk Brownian moion adalah koleksi dari aljabar yang memenuhi: a) (Akumulasi informasi) Unuk s, seiap himpunan dalam s juga ermasuk ke dalam. Dengan kaa lain, informasi yang diperoleh pada waku, yaiu s. mengandung informasi yang diperoleh pada waku s, yaiu b) (Adapif) Unuk seiap, Brownian moion W pada waku measurable erhadap. Dengan kaa lain, informasi yang erdapa pada waku cukup unuk menenukan Brownian moion W pada waku ersebu. c) (Independen dari incremen unuk waku yang akan daang) Unuk u, incremen Wu W independen erhadap. Dengan kaa lain, sebarang incremen dari Brownian moion seelah waku independen dengan informasi yang erdapa pada waku. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

35 Berdasarkan definisi filrasi ersebu, dapa dibukikan Brownian moion memenuhi sifa maringale dan almos surely memiliki variasi kuadraik, T W W T unuk seiap T (Shreve, 4)... Kalkulus Sokasik: Formula Io-Doeblin Pada Subbab..1 elah dijelaskan beberapa sifa dari Brownian moion, salah saunya adalah Brownian moion memiliki variasi kuadraik yang idak nol (non-zero quadraic variaion). Sifa ini menimbulkan masalah karena model ingka bunga pada waku koninu mengandung suau Brownian moion di mana Inegral Riemann, Lebesgue, maupun Riemann-Sieljes dalam kalkulus deerminisik idak dapa dierapkan dalam menyelesaikan pemodelan ersebu karena inegral-inegral ersebu didasarkan pada asumsi zero quadraic variaion. Dengan demikian, diperlukan suau rumusan unuk menyelesaikan permasalahan ersebu di aas yang dikenal sebagai formula Io-Doeblin. Akan eapi, sebelum membahas lebih lanju mengenai formula Io-Doeblin, beriku ini akan didefinisikan erlebih dahulu inegral Io beriku dengan sifa-sifanya yang diperlukan dalam perumusan esebu. Perama-ama, misalkan merupakan suau proses sokasik yang adaped erhadap filrasi subinerval, dan koninu pada waku j, j 1 di mana 1 n T, sera memenuhi E udu T dalam seiap unuk suau bilangan posiif. Dalam maemaika keuangan,, 1,, n 1 dapa diarikan sebagai waku perdagangan suau ase. Sedangkan,,,, 1 n 1 diarikan sebagai posisi (jumlah saham) yang dijual/dibeli di seiap waku perdagangan dan dieksekusi pada waku perdagangan berikunya. Selanjunya, unuk ujuan ilusrasi misalkan Brownian moion saham dari suau ase pada waku (walaupun W diarikan sebagai harga per W memiliki kemungkinan bernilai Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

36 1 negaif sehingga idak layak unuk memodelkan harga dari suau ase). Secara umum, keunungan dari suau perdagangan pada waku k k 1 adalah sebagai beriku: k 1 1 I W W W W j j j k k j aau dalam noasi inegral dapa diulis sebagai, I dw, (...1) u u di mana inegral ersebu mengandung suau Brownian moion W u, yaiu u. Proses I Wu dan filrasi dari pada persamaan (...1) dikenal dengan nama inegral Io. Beberapa sifa yang dimiliki inegral Io dibahas pada Teorema beriku ini (Shreve, 4): Teorema... Misalkan T adalah suau konsana posiif dan, T, merupakan suau T proses sokasik yang adaped dan memenuhi E d. Maka I dw u u memiliki sifa: a) Kekoninuan, yakni sebagai fungsi dari limi aas erhadap inegrasi, linasan I koninu. b) Adaped, unuk seiap, I measurable erhadap c) Linier, yakni jika u u u I dw u u. dan J dw u u maka I J dw. Lebih jauh lagi, unuk seiap konsana c berlaku ci c dw. u u d) Maringale. e) Io isomeri, yakni E I E udu. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

37 I, I udu. f) Variasi kuadraik idak nol, yakni Dengan menggunakan konsep inegral Io di aas, dapa diperoleh formula Io-Doeblin unuk menyelesaikan masalah yang kerap muncul pada banyak kasus pemodelan dalam maemaika keuangan, seperi ingka bunga, saham, opsi, dan lain sebagainya. Akan eapi, sebelumnya perlu dikeahui bahwa formula Io- Doeblin yang digunakan pada Tesis ini adalah formula Io-Doeblin dari suau proses Io yang didefinisikan sebagai beriku (Shreve, 4): Definisi...3 Misalkan W,, adalah suau Brownian moion dan misalkan,, adalah suau filrasi yang bersesuaian. Proses Io adalah suau proses sokasik yang berbenuk X X dw du, u u u di mana X idak acak (non-random) dan u sera u merupakan proses sokasik yang adaped. Proses Io memiliki variasi kuadraik X, X u du. Proses Io dapa diuliskan pula ke dalam noasi diferensial dx dw d. Proses Io dalam noasi diferensial ini dikenal dengan Persamaan Diferensial Sokasik (PDS) Io yang akan dijelaskan lebih lanju pada Subbab.3. Selain iu, dapa didefinisikan pula inegral erhadap suau proses Io sebagai beriku (Shreve, 4): Definisi...4 Misalkan X,, adalah suau proses Io pada Definisi...3, dan misalkan pula,, adalah suau proses yang adaped. Maka dapa didefinisikan inegral erhadap suau proses Io beriku ini dx dw du. u u u u u u u Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

38 3 4): Akhirnya, dapa diperoleh formula Io-Doeblin sebagai beriku (Shreve, Teorema...5 Misalkan X,, adalah suau proses Io pada Definisi...3, dan misalkan f, x adalah suau fungsi dengan urunan parsial f, x erdefinisi sera koninu. Maka, unuk seiap berlaku xx f, x, f, x, dan x T T,,,, f T X f X f X d f X dx T x 1 T,, T T,,, f X d X X xx f X f X d f X dw x 1 T T f,,. x X dw f xx X d Selain iu, beriku ini juga dibahas suau Akiba dari formula Io-Doeblin yang akan digunakan pada pembukian Subbab 3.1 keika menenukan solusi analiik model Brennan-Schwarz: Akiba...6 Misalkan X dan Y adalah proses Io. Maka d X Y X dy Y dx dx dy..3 Sabilias Persamaan Diferensial Sokasik Io Pada Tesis ini, pergerakan ingka bunga dimodelkan ke dalam suau PDS yang dikenal dengan model Brennan-Schwarz. Berdasarkan Definisi...3, model ini ermasuk ke dalam kaegori PDS Io yang memiliki benuk umum sebagai beriku: dx g, X d h, X dw. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

39 4 Seperi halnya persamaan diferensial deerminisik, sebelum menyelesaikan suau PDS, erlebih dahulu harus dienukan keberadaan solusi unik dari PDS ersebu. Hal ersebu dapa diunjukkan melalui eorema beriku ini (Oksendal, 1998; Yolcu, 5): Teorema.3.1 Suau PDS memiliki solusi yang unik jika memenuhi iga kondisi beriku ini: g X g X h X h X C X X unuk suau konsana 1.,,,, C.. g, X h, X D 1 X 3. E X. unuk suau konsana D. Jika elah dikeahui bahwa suau PDS memiliki solusi yang unik, selanjunya dapa dilakukan pendekaan kuaniaif melalui penenuan solusi analiik dari PDS ersebu dengan menggunakan formula Io-Doeblin. Akan eapi, seringkali solusi analiik dari suau PDS idak dapa dienukan sehingga perlu dilakukan pendekaan kualiaif unuk mempelajari karakerisik dari suau PDS. Salah sau pendekaan kualiaif yang dapa dilakukan adalah dengan meliha sifa sabilias PDS ersebu. Perama-ama, misalkan diberikan masalah nilai awal sokasik beriku ini:,, dx g X d h X dw unuk T, X x, dengan g h,,, maka X merupakan solusi sasioner dari masalah nilai awal sokasik ersebu. Terdapa banyak cara dalam mendefinisikan sabilias sokasik unuk suau solusi sasioner dari sebuah persamaan diferensial sokasik. Akan eapi, hanya dua cara yang akan dibahas beriku ini, yakni sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square yang masing-masing didefinisikan sebagai beriku (Kloeden, 199): Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

40 5 Definisi.3. lim lim 1, maka X Jika P X x sabil secara sokasik asimoik. Definisi.3.3 Jika lim E X, x, di mana maka X sabil secara meansquare..4 Esimasi Parameer.4.1 Meode Maximum Likelihood Seperi elah dijelaskan sebelumnya, PDS mengandung parameer yang idak dikeahui nilainya sehingga perlu diaksir dengan menggunakan daa hisoris. Salah sau meode penaksiran parameer yang dapa digunakan adalah meode Maximum Likelihood. Perama-ama, misalkan X,,, adalah vekor random dengan pdf f x;, p X1 X X n di mana merupakan suau vekor dari p-parameer yang idak dikeahui nilainya. Dalam melakukan penaksiran Maximum Likelihood ada beberapa ahapan yang harus dilakukan. Perama, enukan join pdf dari X1, X,, X n, yaiu,,, ; f x1 x x n karena X adalah vekor random dari X1, X,, X n,,, ; x; f x x x f. 1 n T. Oleh maka Selanjunya, enukan fungsi likelihood yang didefinisikan sebagai join pdf dari X1, X,, X n dan dapa dianggap sebagai fungsi dari. Misalkan fungsi likelihood L ; x, x,, x L ; x, maka (Casella, 199) 1 n L x f x ; ;. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

41 6 Kemudian, lakukan penaksiran erhadap. Dalam meode Maximum Likelihood, aksiran dari diperoleh dengan menenukan nilai, sebu ˆ, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Maka ˆ ini disebu aksiran Maximum Likelihood dari. l ; x Menenukan nilai yang memaksimumkan fungsi ln L ; x, sebu, akan memberikan hasil yang sama dengan menenukan nilai yang memaksimumkan L ; x. Maka baik L; x aau l ; x dapa digunakan unuk menenukan nilai ˆ. Nilai yang memaksimumkan l ; x dapa diperoleh secara simulan dengan menenukan solusi dari persamaan-persamaan 1 L ; x l j ; x ln L; x j L; x ; unuk j 1,,, p. j Walaupun demikian, unuk mencegah angka yang kecil pada perhiungan, akan lebih baik jika menenukan nilai yang meminimumkan fungsi ln L ; x, sebu D; x, dibandingkan dengan menenukan nilai yang memaksimumkan fungsi ln L ; x (Allen, 7). Adakalanya sisem persamaan ini dapa diselesaikan secara analiik. Jika idak, meode opimisasi numerik (misal: algorima Nelder-Mead) dapa digunakan. Selain iu, dalam menjalankan prosedur penaksiran parameer dengan meode Maximum Likelihood di aas, erkadang meode numerik (misal: aproksimasi Euler) juga dapa digunakan dalam mengaproksimasi pdf dari suau peubah acak apabila pdf ersebu idak mudah unuk dienukan (Allen, 7). Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

42 7.4. Algorima Nelder-Mead Dalam bidang keuangan, penenuan harga suau produk keuangan, seperi saham, opion, maupun dalam hal penenuan ingka bunga biasanya memerlukan nilai maksimum/minimum dari fungsi dengan dua aau lebih variabel. Salah sau opimisasi numerik yang sanga berguna dan populer dalam menenukan akar-akar dari fungsi-fungsi mulivaria ersebu adalah dengan menggunakan algorima Nelder-Mead. Algorima ini mudah unuk diimplemenasikan dan sanga cepa konvergen walaupun sebarang nilai awal digunakan. Algorima Nelder-Mead dierapkan unuk menenukan nilai minimum dari suau fungsi mulivaria anpa harus menenukan nilai diferensialnya erlebih dahulu. Dalam menenukan nilai maksimum dari suau fungsi dapa dilakukan dengan mengubah anda dari fungsi ersebu unuk selanjunya menenukan nilai minimum dari fungsi yang diubah andanya ersebu (Rouah, 7). Unuk suau fungsi f x dengan n variabel, algorima Nelder-Mead memerlukan n 1 nilai awal. Susun n 1 nilai awal ersebu sebagai beriku: f1 f, fn fn 1 (.4..1) n di mana f f x dan x R i 1,,, n 1 k k i. Terliha bahwa nilai erbaik dari vekor ini adalah x1 karena menghasilkan nilai f x erkecil dan nilai erburuk adalah xn 1 karena menghasilkan nilai f x erbesar. Sedangkan, vekor sisanya erleak di engah. Unuk memulai ierasi, erlebih dahulu hiung suau iik reflecion xr x xn 1 di mana kemudian hiung f f x r r n xi x n i1 adalah mean dari n iik erbaik,. Pada seiap ierasi, nilai-nilai erbaik x 1, x,, xn diahan dan nilai erburuk xn 1 digani. Ierasi eap dilanjukan selama memenuhi oleransi erenu yang dieapkan, yakni oleransi anara nilai erbaik dengan nilai erburuk menuru auran beriku ini: Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

43 8 1. (Reflecion Rule) Jika f1 fr fn maka xn 1 digani dengan x r, n 1 iik x, x,, x, x 1 n r diuru berdasarkan nilai fungsinya sebagaimana halnya diberikan pada persamaan (.4..1) yang menghasilkan himpunan lain dari iik-iik eruru x1, x,, xn, xn 1. Ierasi selanjunya adalah memulai dengan iik erburuk xn 1. Jika idak erpenuhi f1 fr fn, maka proses dilanjukan dengan auran berikunya.. (Expansion Rule) Jika fr f1 hiung iik expansion xe xr x dan nilai dari fungsi f f x e. Jika fe fr maka gani xn 1 dengan x e, urukan e kembali iik-iik ersebu dan mulai dengan ierasi selanjunya. Jika idak erpenuhi fr f1 aau f e f r, proses dilanjukan dengan auran berikunya. 3. (Ouside Conracion Rule) Jika fn fr fn 1 hiung iik ouside conracion 1 1 xoc xr x dan nilai f f x oc. Jika foc fr maka gani xn 1 dengan oc x oc, urukan iik-iik ersebu, dan mulai dengan ierasi selanjunya. Jika idak erpenuhi fn fr fn 1 aau f oc f r, proses dilanjukan dengan auran 5 yang menunjukkan suau langkah penyusuan (shrink sep). 4. (Inside Conracion Rule) Jika fr fn xic x x dan nilai f f x n 1 ic ic hiung iik inside conracion. Jika fic fn 1 gani xn 1 dengan x ic, urukan iik-iik ersebu, dan mulai dengan ierasi selanjunya. Jika idak erpenuhi fr fn 1 aau fic fn 1, proses dilanjukan dengan auran 5 yang menunjukkan suau langkah penyusuan (shrink sep). 1 1 i 1 unuk 5. (Shrink Sep) Hiung f x pada iik-iik v x x x i,3,, n 1. Tiik-iik baru yang idak eruru adalah n 1 x v v 1,, 3,, vn 1 selanjunya. i iik. Urukan iik-iik ersebu dan mulai dengan ierasi Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

44 9 Unuk memudahkan pemahaman, algorima Nelder-Mead di aas dapa digambarkan ke dalam flowchar, seperi diberikan pada Lampiran 1 di mana f x merupakan suau fungsi likelihood..5 Asse Pricing Salah sau konsep dasar dalam menenukan harga suau ase/produk keuangan adalah harga ase ersebu haruslah sama walaupun diperdagangkan di empa yang berbeda. Kondisi semacam ini dalam maemaika keuangan dikenal dengan isilah no arbirage. Secara formal, kondisi arbirage sendiri dapa didefinisikan sebagai beriku (Shreve, 4): Definisi.5.1 Suau arbirage adalah suau kondisi di mana proses nilai ase memenuhi X dan juga 1 sera X T unuk T. X T Dengan kaa lain, seorang invesor yang menginvesasikan modalnya pada suau ase dengan kondisi arbirage pada pembenukan harga asenya, maka dapa dipasikan bahwa invesor ersebu akan memperoleh keunungan. Padahal, semua jenis invesasi memiliki fakor resiko. Oleh sebab iu, diperlukan suau cara unuk mengeahui apakah suau ase/produk keuangan memenuhi kondisi no arbirage aau idak. Beriku ini dibahas suau eorema yang dapa digunakan unuk mengaasi masalah ersebu (Shreve, 4): Teorema.5. (Teorema Fundamenal Asse Pricing) Jika suau model pasar memenuhi suau risk-neural probabiliy measure, maka idak erdapa arbirage pada model pasar ersebu. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

45 3 Berdasarkan Teorema.5., erlebih dahulu perlu dikeahui definisi mengenai keberadaan dari suau risk-neural probabiliy measure sebagai beriku (Shreve, 4): Definisi.5.3 (Keberadaan (Exisence) Risk-Neural Probabiliy Measure) Suau probabiliy measure dikaakan risk-neural jika a) dan ekivalen, yakni A A A, ; dan b) di bawah asumsi, harga ase saa ini (discouned asse price) memenuhi sifa maringale unuk seiap i 1,,, m. Dengan demikian, dapa disimpulkan bahwa suau ase/produk keuangan akan memenuhi kondisi no arbirage jika memenuhi Definisi.5.3. Walaupun masalah pada Tesis ini hanya melipui ingka bunga, namun pembahasan mengenai asse pricing eap diperlukan sebagai dasar pemodelan ingka bunga di bawah asumsi risk-neural probabiliy measure. Seperi elah dijelaskan sebelumnya pada Subbab.1., pembenukan model-model maemaika keuangan, khususnya harga ase, didasarkan pada suau ruang sampel yang memenuhi suau acual probabiliy measure. Oleh sebab iu, unuk ujuan asse pricing akan dilakukan perubahan measure pada model harga ase yang sebelumnya memenuhi acual probabiliy measure menjadi risk-neural probabiliy measure. Sebelumnya, dikeahui bahwa dan merupakan dua buah measure yang ekivalen. Perubahan measure ini dapa dilakukan dengan menerapkan suau eorema yang dikenal dengan Teorema Girsanov, seperi diberikan beriku ini (Shreve, 4): Teorema.5.4 (Teorema Girsanov) Misalkan W, T, adalah suau Brownian moion pada ruang probabilias,,, dan misalkan pula, T, adalah suau filrasi unuk Brownian moion ini. Misalkan, T, adalah suau proses yang adaped. Definisikan Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

46 31 1 Z dw du exp, u u u W W du, u T dan asumsikan bahwa E u Zu du. Benuk Z ZT. Maka E Z 1 dan di bawah asumsi probabiliy measure, W, T, juga merupakan suau Brownian moion. Z d A, maka proses A Pada Tesis ini, Teorema.5.4 digunakan sebaliknya unuk mengubah model ingka bunga di bawah asumsi risk-neural probabiliy measure menjadi model ingka bunga di bawah asumsi acual probabiliy measure. Perbedaan penerapan eorema ini disebabkan oleh model ingka bunga semula di bawah asumsi risk-neural probabiliy measure mengandung sejumlah parameer yang idak dikeahui nilainya sehingga perlu dilakukan penaksiran erlebih dahulu dengan menggunakan daa riil di bawah asumsi acual probabiliy measure. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

47 BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Pada Bab 3 ini akan dibahas mengenai salah sau model ingka bunga, yaiu model Brennan-Schwarz. Perama-ama akan dibahas mengenai karakerisik model Brennan-Schwarz. Oleh karena model Brennan Schwarz merupakan suau Persamaan Diferensial Sokasik (PDS), maka solusi analiiknya idak dapa diselesaikan menggunakan inegral Riemann, Lebesgue, maupun Riemann-Sieljes, melainkan dengan menggunakan inegral Io. Salah sau eorema pening yang akan dibahas erkai dengan ineral Io adalah formula Io- Doeblin. Pembahasan dilanjukan mengenai krieria sabilias model Brennan- Schwarz. Walaupun banyak dikenal beberapa krieria sabilias model sokasik, dalam Tesis ini hanya akan dibahas krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square dari model Brennan-Schwarz. Akan eapi, sabilias model Brennan-Schwarz ernyaa suli unuk dienukan karena seady soluion dari masalah nilai awal sokasik model Brennan-Schwarz ini merupakan nonzero soluion. Padahal, definisi-definisi erkai sabilias model sokasik didasarkan pada seady soluion yang berupa zero soluion. Dengan demikian, diperlukan suau ransformasi pada masalah nilai awal sokasik sehingga seady soluion dari masalah nilai awal sokasik ersebu yang sebelumnya berupa nonzero soluion dapa menjadi zero soluion. Pada akhir Bab 3, pembahasan diuup dengan penaksiran parameer model Brennan-Schwarz yang idak dikeahui nilainya. Dalam penaksiran parameer ersebu akan dibahas mengenai konsep perubahan measure dalam menaksir parameer-parameer ersebu. Perubahan measure ini diperlukan dalam penaksiran parameer menginga bahwa daa observasi yang digunakan pada saa menaksir parameer-parameer ersebu di bawah asumsi acual probabiliy measure. Hal ini berbeda pada saa penenuan ingka bunga di bawah asumsi risk-neural probabiliy measure. Pada Tesis ini, meode yang digunakan unuk menaksir parameer ersebu adalah meode Maximum Likelihood dengan daa 3 Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

48 33 observasi yang elah diperoleh. Akan eapi, hasilnya suli unuk dienukan secara analiik sehingga penaksiran parameer dilanjukan melalui opimisasi numerik dengan menggunakan algorima Nelder-Mead. Skema analisis dari Tesis ini dapa diliha pada Lampiran. 3.1 Model Brennan-Schwarz Model Brennan-Schwarz merupakan salah sau model ingka bunga yang dinyaakan dalam benuk Persamaan Diferensial Sokasik (PDS) sebagai beriku (Brennan, 198; Couradon, 198; Bayazi, 4):, dr r d rdw (3.1.1) dengan W merupakan suau Brownian moion pada risk-neural probabiliy measure (Shreve, 4) di mana r : ingka bunga pada waku, : reversion level dari ingka bunga, : kecepaan pengoreksian, r : infiniesimal variance dari proses. Parameer-parameer model Brennan-Schwarz pada persamaan (3.1.1) adalah,,. Model Brennan-Schwarz erdiri dari dua jenis koefisien, yakni koefisien drif dan difusi. Koefisien drif berupa r, sedangkan koefisien difusi berupa r. Terliha bahwa koefisien drif berganung pada nilai r, arinya jika r kurang dari, maka koefisien drif menjadi posiif, begiupun sebaliknya. Oleh sebab iu, ingka bunga bergerak menuju ke suau reversion level yang berganung pada kecepaan pengoreksiannya. Selain iu, koefisien difusi menggambarkan sandar deviasi perubahan ingka bunga (Brennan, 198). r Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

49 34 Seperi halnya persamaan diferensial deerminisik, sebelum menenukan solusi model Brennan-Schwarz erlebih dahulu perlu diperiksa apakah model ersebu memiliki solusi unik aau idak, yakni dengan membukikan bahwa model Brennan-Schwarz memenuhi Teorema.3.1 sebagai beriku: r r r r C r r unuk suau konsana C. 1. Buki: r r r r r r r r r r r r r r r r r r, dengan mengambil C maka diperoleh. r r D 1 r r r r r C r r. unuk suau konsana D. Buki: r r r r r r r r C r, r dengan mengambil D max, C maka diperoleh r r D D r D 1 r. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

50 35 3. E r. Buki: Oleh karena r merupakan suau ingka bunga pada saa, maka jelas bahwa E r. Seelah diunjukkan bahwa model Brennan-Schwarz memiliki solusi yang unik, selanjunya akan dienukan solusi eksplisi dari model Brennan-Schwarz. Berdasarkan persamaan (3.1.1), dikeahui bahwa model Brennan-Schwarz memiliki benuk PDS non-homogen (Kloeden, 199). Pembahasan lebih mendalam mengenai ahapan memperoleh solusi eksplisi PDS non-homogen dapa diliha pada Bayazi (4) aau Mikosch (1998). Perama-ama definisikan suau PDS homogen sebagai beriku: dx X d X dw. Dengan menggunakan formula Io-Doeblin pada Teorema...5 diperoleh,,,, f X f X f u X du f u X dx u u x u u 1,,,, u u u x u 1 f u X d X X xx u u u f u X du X f u X du X f u, X du u xx u X f u, X dw. u x u u Unuk memudahkan perhiungan, misalkan f x, ln x, sehingga diperoleh ln X ln X du X u du X u du X u X u 1 X u dw u X u 1 du du dw u Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

51 36 N 1 1 ln X ln X lim ;,, j 1 j j W W j j N 1 N 1 lim W W j 1 j N j 1 W W N 1 W W 1 W, X 1 ln W, X X X 1 W exp, 1 X X W exp Sekarang, definisikan 1 Y f, W exp W, (3.1.3) 1 f, x exp x. Berdasarkan formula Io-Doeblin pada di mana Teorema...5 dengan 1 Y f, W exp W exp 1, (3.1.4) maka persamaan (3.1.3) menjadi 1 f, W f, W f,,,,, u u W u du f x u W u dw u f xx u W u d W u W u 1 Y Y f,, +,, u u W u du f xx u W u du f x u W u dw u Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

52 37 Selanjunya, misalkan 1 1 Y Y du Y du Y dw 1 u u u u Y udu Y, udw u dy Y d Y dw 1, r Y Z (3.1.6) dengan Z f, r, unuk suau fungsi mulus f, x (Mikosch, 1998; Yolcu, 5). Persamaan (3.1.6) dapa diulis pula sebagai Z Y r. Dengan Io produc rule pada Akiba...6, dan berdasarkan (3.1.1) dan (3.1.5) diperoleh dz d Y r Y dr r dy dy dr Y r d r dw r Y d Y dw Y d Y dw r d r dw Y d, Y d Y r d Y r dw Y r d Y r d Y r dw Y r d aau dalam noasi inegral dapa diulis sebagai beriku: Z Z Y du, (3.1.7) u dengan Z merupakan suau nilai awal dari Z. Telah dikeahui pada persamaan (3.1.4) bahwa Y 1 sehingga Z Y r 1r r. Dengan demikian, berdasarkan (3.1.6) solusi analiik model Brennan-Schwarz pada persamaan (3.1.1) diperoleh sebagai beriku: 1 r Y r Y du u 1 1 exp W r exp u W u du Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

53 r r exp W exp u W u W du 1 1 u r exp W exp du, W W u di mana r berdisribusi lognormal dan berdasarkan Definisi diperoleh ekspekasi bersyara r diberikan filrasi sebagai beriku: E r E 1 r exp W 1 exp u W W u du 1 E r exp W 1 E exp u W W u du 1 r E W exp exp exp u 1 exp u E W W du 1 1 r exp exp exp 1 1 u exp udu u r e e du. dm Misal: m u dm du du, u m, u m. E r m r e e m r e e r e 1 e. dm Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

54 39 Jadi, dapa disimpulkan bahwa model Brennan-Schwarz memiliki solusi analiik pada persamaan (3.1.8). Seperi halnya dalam persamaan diferensial deerminisik, PDS juga memiliki krieria sabilias unuk masing-masing modelnya, ermasuk model Brennan-Schwarz. Oleh sebab iu, pada Subbab 3. akan dibahas mengenai sabilias model Brennan-Schwarz. 3. Sabilias Model Brennan-Schwarz Pada Subbab 3.1 elah diperoleh solusi eksplisi model Brennan-Schwarz. Berdasarkan hasil yang diperoleh pada persamaan (3.1.8), pada Bab 4 dapa diliha perilaku model Brennan-Schwarz melalui visualisasi persamaan (3.1.8) unuk jangka waku erenu. Akan eapi, visualisasi ersebu berganung pada parameer yang idak dikeahui nilainya. Oleh sebab iu, perlu dilakukan penaksiran erhadap masing-masing parameer. Walaupun demikian, erdapa kemungkinan bahwa aksiran parameer yang diperoleh menyimpang dari yang sebenarnya. Taksiran parameer yang menyimpang dapa mengakibakan solusi yang menyimpang pula. Oleh sebab iu, masalah sabilias model cukup menarik unuk dibahas karena dapa menggambarkan keahanan suau model erhadap gangguan sehingga modelnya dapa digunakan dalam peramalan unuk jangka waku erenu. Krieria sabilias model sokasik yang akan dibahas adalah krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square. Beriku ini diberikan masalah nilai awal sokasik model Brennan- Schwarz: dr r d r dw unuk T, r k. (3..1) Walaupun unuk r koefisien difusi dari model ersebu bernilai, eapi koefisien drif dari model ersebu, yaiu r r belum enu Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

55 4 sama dengan nol sehingga r bukanlah seady soluion dari masalah nilai awal sokasik ersebu (non-zero soluion) (Allen, 7). Unuk menangani masalah ini perlu diselesaikan melalui cara yang ekivalen dengan yang dierapkan pada model persamaan diferensial deerminisik (Anggono, 4; Thygesen, 1997). Pembahasan lebih mendalam mengenai sabilias unuk masalah nilai awal sokasik yang memiliki seady soluion berupa non-zero soluion dapa diliha pada Thygesen (1997). Misalkan K merupakan solusi masalah nilai awal sokasik pada persamaan (3..1). K disebu solusi nominal di mana sabilias solusi K ersebu akan dienukan. Selanjunya, ubah sediki nilai awal sehingga diperoleh sebarang solusi lain yang disebu sebagai solusi erganggu (perurbed soluion). Jika kecil kemungkinan erjadi perbedaan anara solusi erganggu dengan solusi nominal, maka r K yang merupakan solusi nominal unuk masalah nilai awal sokasik pada persamaan (3..1) sabil. Selanjunya, definisikan gangguan (perurbaion) beriku ini: r K. Jika dimisalkan benuk umum dari suau PDS beriku ini: dengan f, dan dr f, r d g, r dw, g,, maka benuk diferensial dari gangguan (perurbaion) ersebu dapa dinyaakan sebagai beriku: dr d dk,,,, f, f, K d g, g, K dw f d g dw f K d g K dw f, r K f, K d g, r K g, K dw. Jika r lain, r maka koefisien drif dan difusinya menjadi bernilai nol. Dengan kaa merupakan seady soluion dari masalah nilai awal sokasik pada Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

56 41 gangguan (perurbaion) ersebu (zero soluion). Dengan menerapkan langkahlangkah di aas pada model Brennan-Schwarz, diperoleh sebuah PDS beriku ini: dr d dk d dw K d K dw r d r dw. d Kd dw KdW K d K dw Dengan demikian, r sokasik beriku ini: merupakan seady soluion unuk masalah nilai awal dr r d r dw unuk T, r c, (3..) Jika r yang merupakan seady soluion unuk masalah nilai awal sokasik pada persamaan (3..) sabil, maka r K yang merupakan solusi nominal unuk masalah nilai awal sokasik pada persamaan (3..1) juga sabil (Thygesen, 1997). Sekarang, akan diunjukkan sabilias sokasik asimoik dari r. Perama-ama solusi analiik dari model pada persamaan (3..) dapa dienukan dengan cara yang ekivalen dengan solusi analiik yang diperoleh pada persamaan (3.1.) sehingga solusi analiik unuk model pada persamaan (3..) adalah sebagai beriku: 1 1 r r W c W exp exp. (3..3) Berdasarkan Definisi.3., selanjunya nilai absolu dari persamaan (3..3) adalah sebagai beriku: Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

57 4 dengan benuk limi 1 exp r c W 1 c exp exp exp W 1 c exp exp exp W 1 1 c exp exp exp exp exp W expw c exp exp exp W 1 c exp exp expw 1 exp exp c W 1 exp exp c W 1 c W exp exp, 1 lim r lim c exp W exp 1 c W lim exp exp. Berdasarkan persamaan (3..4) dan Definisi.3., r (3..4) akan sabil secara sokasik asimoik keika 1 sehingga 1 lim P lim r lim P c lim exp W exp 1. r c Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

58 43 Dengan demikian, krieria sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz adalah 1. (3..5) Beriku ini akan diunjukkan pula bahwa seady soluion r juga sabil secara mean-square. Berdasarkan persamaan (3..3) diperoleh nilai absolu kuadra sebagai beriku: sehingga 1 r c exp exp exp W 1 c exp exp exp W 1 1 c exp exp exp exp exp W expw c exp exp exp W, exp exp exp E r E c W c exp exp E exp W. Oleh karena expw berdisribusi lognormal, maka berdasarkan Definisi persamaan di aas dapa diulis menjadi 1 exp exp exp E r c 1 c exp exp exp 4 c exp exp exp c exp exp Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

59 44 exp exp E r c c exp c exp, sehingga lim c exp c lim E r lim c exp lim exp. (3..6) Berdasarkan persamaan (3..6) dan Definisi.3.3, r akan sabil secara mean-square keika, sehingga persamaan (3..6) menjadi lim E r c lim exp c. Dengan demikian, krieria sabilias mean-square model Brennan-Schwarz adalah. (3..7) Oleh karena r yang merupakan seady soluion unuk masalah nilai awal sokasik pada persamaan (3..) sabil baik secara sokasik asimoik maupun sabil secara mean-square, maka r K yang merupakan solusi nominal unuk masalah nilai awal sokasik pada persamaan (3..1) juga sabil baik secara sokasik asimoik maupun sabil secara mean-square (Thygesen, 1997). Akibanya, krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square r secara beruru-uru pada persamaan (3..5) dan (3..7) unuk masalah nilai awal sokasik pada persamaan (3..) sama dengan krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square r K unuk model pada persamaan (3..1) (Anggono, 4; Thygesen, 1997). Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

60 45 Berdasarkan persamaan (3..5), krieria sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz dapa diulis. Sedangkan, berdasarkan persamaan (3..7) krieria sabilias mean-square model Brennan-Schwarz dapa diulis. Krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square model Brennan-Schwarz di aas dapa divisualisasikan sebagai daerah sabilias model sokasik sebagai beriku: Gambar 3..1 Daerah sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz erkai parameer dan Gambar 3.. Daerah sabilias mean-square model Brennan-Schwarz erkai parameer dan Berdasarkan asumsi,, pada model Brennan-Schwarz dan berdasarkan Gambar 3..1 maka model Brennan-Schwarz akan sabil secara sokasik asimoik jika,,. Selain iu, erliha pula dari Gambar 3.. bahwa daerah sabilias mean-square model Brennan-Schwarz ermasuk di dalam daerah sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz, aau dengan kaa lain solusi model Brennan-Schwarz yang sabil secara mean-square juga akan sabil secara sokasik asimoik eapi idak berlaku sebaliknya (Higham, 1). Dengan demikian, krieria sabilias model Brennan-Schwarz dapa dijadikan panduan dalam melakukan penaksiran parameer pada model Brennan- Schwarz. Taksiran parameer yang ermasuk ke dalam krieria sabilias ersebu dapa diarikan bahwa model Brennan-Schwarz menjadi ahan erhadap gangguan sehingga solusi yang diperoleh idak erlalu menyimpang dari solusi sebenarnya dan model ersebu dapa digunakan dalam peramalan ingka bunga unuk jangka waku erenu. Selanjunya, pada Subbab 3.3 akan dibahas mengenai penaksiran parameer pada model Brennan-Schwarz. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

61 Penaksiran Parameer Model Brennan-Schwarz Berdasarkan Subbab 3.1 dan Subbab 3. elah diperoleh solusi analiik dan krieria sabilias sokasik asimoik sera krieria sabilias mean-square dari model Brennan-Schwarz. Dengan menggunakan sebarang parameer yang ermasuk dalam masing-masing krieria sabilias model akan diperoleh model yang sabil baik secara sokasik asimoik maupun secara mean-square (Higham, 1). Akan eapi, hal ersebu belum dapa mendeskripsikan masalah yang sedang dihadapi erkai dengan daa riil. Penggunaan sebarang parameer yang ermasuk dalam krieria sabilias model belum enu mencerminkan nilai parameer erkai dengan daa riil yang digunakan. Pada subbab ini akan dibahas mengenai penaksiran parameer model Brennan-Schwarz menggunakan daa riil (observasi). Dengan memisalkan observasi ersebu dapa diulis sebagai k k T unuk k,1,,, N maka daa N r, r, r,, r dengan r 1 N adalah suau proses sokasik di mana T. Daa observasi yang berasal dari dunia nyaa memiliki karakerisik saisik yang mencirikan disribusi proses r pada acual probabiliy measure. Oleh sebab iu, model yang dihasilkan memenuhi asumsi acual probabiliy measure (Brigo, 6). Sedangkan, solusi analiik yang diperoleh pada Subbab 3.1 diperoleh berdasarkan model dengan asumsi riskneural probabiliy measure. Dengan demikian, diperlukan penerapan konsep perubahan measure pada model keika menaksir parameer model Brennan- Schwarz ersebu. Sebelumnya, injau model Brennan-Schwarz pada persamaan (3.1.1). Berdasarkan Teorema.5.4, dengan mengambil, maka W W du, u W W W W du, aau dalam noasi diferensial dapa diulis sebagai Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

62 47 dw dw d, dw dw d, sehingga diperoleh dengan r d r dw d dr r d r dw d r d r dw r d d r d r d r dw d r d r dw r d r dw W suau Brownian moion pada acual probabiliy measure. Jadi, dapa disimpulkan bahwa model Brennan-Schwarz pada acual probabiliy measure dalam persamaan (3.3.1) merepresenasikan model Brennan-Schwarz pada riskneural probabiliy measure dalam persamaan (3.1.1). Selanjunya, model Brennan-Schwarz pada persamaan (3.3.1) dapa dinyaakan sebagai beriku: di mana, dr r d rdw (3.3.) W merupakan suau Brownian moion pada acual probabiliy measure. Dengan demikian, berdasarkan koefisien drif dan koefisien difusi pada persamaan (3.3.1) dan (3.3.) dapa diperoleh persamaan-persamaan beriku ini:,,,,. (3.3.3) Dengan menggunakan persamaan (3.3.3) di aas, aksiran parameerparameer model Brennan-Schwarz pada risk-neural probabiliy measure (3.1.1) dapa diperoleh melalui penaksiran parameer-parameer model Brennan- Schwarz pada acual probabiliy measure. Akan eapi, pada persamaan (3.3.3) parameer dan berganung pada suau parameer yang dikenal dengan isilah marke price of risk (Shreve, 4; Brigo, 6). Sebenarnya, penaksiran Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

63 48 parameer model Brennan-Schwarz menggunakan daa observasi pada acual probabiliy measure dapa dilakukan dengan mengkombinasikan dua pendekaan, yakni meode Maximum Likelihood unuk menaksir parameer,, dan, sera eknik kalibrasi unuk menaksir parameer (Brigo, 6; Csajkova, 7; Zeyun, 7). Akan eapi, dalam Tesis ini penaksiran parameer dilakukan dengan rial and error sedemikian sehingga aksiran parameer ˆ yang diperoleh berada di daerah sabilias model Brennan-Schwarz pada riskneural probabiliy measure. Perama-ama, akan diaksir parameer,, dan menggunakan meode Maximum Likelihood unuk model Brennan-Schwarz pada acual probabiliy measure dalam persamaan (3.3.). Berdasarkan Subbab.4.1, meode Maximum Likelihood memerlukan pdf suau peubah acak dan pada model Brennan-Schwarz yang diperlukan adalah pdf suau proses sokasik yang disebu sebagai pdf ransisi (Bhaacharya, 199). Unuk model Brennan-Schwarz pada acual probabiliy measure dalam persamaan (3.3.), pdf ransisi dari, r yang dimulai dari k adalah f k, r k 1, r ;,,, 1 r k 1 keadaan (sae) awalnya adalah f r,, likelihood-nya adalah sebagai beriku (Allen, 7): k k1 k k dengan pdf sehingga join pdf aau fungsi N k k k 1 k 1 k k k 1 k1 L,, ;, r, r ; k 1,,, N f r,, f, r, r ;,,. k 1 Selanjunya, akan dienukan aksiran parameer model Brennan-Schwarz pada acual probabiliy measure dengan meminimumkan fungsi beriku ini:,, ; k, 1, ; 1,,, ln,, ;, 1 1, ; 1,,, k k k k k k k1 ln f r,, N ln f k, r 1, ;,,. k k r k1 D r r k N L r r k N k1 Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

64 49 Hingga saa ini, prosedur dari meode Maximum Likelihood elah berjalan sebagaimana seharusnya. Akan eapi, pdf ransisi suau proses sokasik ernyaa idak mudah dienukan (Allen, 7). Hal ini berlaku pula unuk model Brennan- Schwarz pada acual probabiliy measure. Oleh sebab iu, pada Tesis ini pdf ransisi unuk model Brennan-Schwarz pada acual probabiliy measure dalam persamaan (3.3.) akan diaproksimasi melalui aproksimasi Euler. Seperi pada Allen (7), dengan memisalkan r r pada k 1, diperoleh k1 k 1 r r r r k k 1 k 1 k 1 k, dan ~ N,1 dengan T N k pada acual probabiliy measure sehingga berdasarkan eorema diperoleh dan E r r E r r r r k k 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 E r r E r r k 1 k 1 k 1 k 1 E r r k 1 k k 1 k, r r r E r k 1 k 1 k 1 k k 1 r r r k 1 k 1 k 1 r r k 1 1 Var r r Var r r r r k k 1 k 1 k 1 k 1 k k 1 Var r r Var r r rk 1 Var k rk 1 k 1 k 1 k 1 k 1 Var r r k 1 k k 1 r k 1 r k 1 1. Dengan demikian, aproksimasi pdf ransisi unuk model Brennan-Schwarz pada acual probabiliy measure merupakan pdf ransisi normal sebagai beriku: Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

65 5 1 rk rk 1 rk 1 f k, rk k 1, rk 1;,, exp. r k 1 rk 1 Seperi elah dijelaskan sebelumnya pada Subbab.4.1, maka prosedur dari meode Maximum Likelihood dilanjukan sebagai beriku: D,, ;, r, r ; k 1,,, N k k k 1 k 1 ln f r,, N 1 rk rk 1 rk 1 ln exp r r k 1 k 1 k 1 ln f r,, k 1 N 1 rk rk 1 rk 1 ln ln exp k 1 rk 1 rk 1 ln f r,, k 1 ln f f ln r,, r k 1 1 rk rk 1 rk 1 r k 1 N rk rk 1 rk ln k 1 r r 1 k 1 k ln r,, + N N k 1 r k r r r k 1 k 1 ln rk 1. Unuk meminimumkan fungsi D,, ; k, rk k 1, rk 1; k 1,,, N sedemikian sehingga diperoleh aksiran parameer model Brennan-Schwarz pada acual probabiliy measure dapa digunakan opimisasi numerik, salah saunya dengan algorima Nelder-Mead, seperi elah dijelaskan pada Subbab.4.. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

66 51 Dengan demikian, aksiran parameer model Brennan-Schwarz pada acual probabiliy measure dengan menggunakan meode Maximum Likelihood elah berhasil dienukan. Jadi, aksiran parameer ˆ, ˆ, dan ˆ yang diperoleh unuk model Brennan-Schwarz pada acual probabiliy measure, dapa digunakan dalam menaksir parameer-parameer,, dan unuk model Brennan- Schwarz pada risk-neural probabiliy measure dengan erlebih dahulu menemukan nilai sedemikian sehingga aksiran parameer ˆ berada pada daerah sabilias model Brennan-Schwarz. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

67 BAB 4 IMPLEMENTASI Beriku ini akan diimplemenasikan analisis sabilias dan penaksiran parameer pada model sokasik unuk ingka bunga bulanan dari suau zerocoupon bond dengan mauriy ime 5 ahun periode Januari ahun 198 hingga Februari 11 yang daanya diunduh dari (daa dapa diliha pada Lampiran 3). Pergerakan ingka bunga ersebu akan dimodelkan ke dalam salah sau model ingka bunga, yakni model Brennan-Schwarz sebagai beriku: dr r d r dw dengan,, dan W merupakan suau Brownian moion pada risk-neural probabiliy measure di mana r : ingka bunga pada waku, : reversion level dari ingka bunga, : kecepaan pengoreksian, r : variansi infiniesimal dari proses. Sebelum dibahas hasil penaksiran parameer model Brennan-Schwarz, erlebih dahulu akan divisualisasikan kesabilan sokasik asimoik dan kesabilan mean-square model Brennan-Schwarz dengan menggunakan perangka lunak Malab. Unuk ujuan perbandingan visualisasi erkai sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz akan dipilih parameer, walaupun model Brennan-Schwarz memiliki asumsi. Berdasarkan pembahasan pada Subbab 3., beriku ini diberikan perbandingan visualisasi model Brennan-Schwarz dengan nilai awal yang berbeda-beda unuk masing-masing parameer yang erleak di dalam dan di luar daerah sabilias sokasik asimoik model Brennan- Schwarz (source code program dapa diliha pada Lampiran 4): 5 Universias Indonesia Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

68 53 Gambar 4.1 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz dengan nilai awal berbeda unuk uji kesabilan sokasik asimoik di mana, ;, ; dan, Gambar 4. Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz dengan nilai awal berbeda unuk uji kesabilan sokasik asimoik di mana, 5;, ; dan,1 Gambar 4.1 merupakan visualisasi model Brennan-Schwarz dengan parameer-parameer yang erleak di dalam daerah sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz. Sedangkan, Gambar 4. merupakan visualisasi model Brennan-Schwarz dengan parameer-parameer yang erleak di luar daerah sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz. Berdasarkan Gambar 4.1 erliha bahwa model Brennan-Schwarz dengan parameer-parameer yang erleak dalam krieria sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz menghasilkan simulasi-simulasi linasan solusi model yang semakin lama akan saling berdekaan menuju suau nilai erenu. Hal ini sesuai dengan definisi dari sabilias sokasik asimoik yang elah diberikan pada Subbab.3. Sebaliknya, jika parameer-parameer yang digunakan erleak di luar daerah sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz maka linasan-linasan solusi model idak menuju ke suau nilai erenu, seperi diunjukkan pada Gambar 4.. Selain diujicobakan dengan nilai awal yang berbeda-beda, visualisasi sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz akan diujicobakan pula unuk nilai parameer yang berbeda-beda, seperi diunjukkan beriku ini (source code program dapa diliha pada Lampiran 5): Universias Indonesia Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

69 54 Gambar 4.3 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz dengan nilai parameer berbeda unuk uji kesabilan sokasik asimoik di mana r 14, 94% Terliha pada Gambar 4.3 bahwa linasan-linasan solusi model Brennan- Schwarz dengan parameer-parameer, 5;, ;, 3 dan,3;,5;, yang erleak dalam krieria sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz semakin lama akan saling berdekaan menuju suau nilai erenu. Sedangkan, linasan solusi model Brennan-Schwarz dengan parameer-parameer, ;, 3;, 5 yang erleak di luar daerah sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz idak saling berdekaan dengan solusi lainnya. Selanjunya, pada Gambar 4.4, 4.5, 4.6, dan 4.7 akan diinjau kesabilan mean-square model Brennan-Schwarz. Berdasarkan definisi sabilias meansquare yang elah diberikan pada Subbab.3, seiap linasan solusi model Brennan-Schwarz pada keempa gambar ersebu merupakan visualisasi linasan yang diperoleh berdasarkan raa-raa dari hasil simulasi yang dilakukan. Pada Tesis ini seiap linasan merupakan visualisasi dari raa-raa 1 simulasi yang dilakukan. Beriku ini diberikan perbandingan visualisasi model Brennan- Schwarz dengan nilai awal yang berbeda-beda unuk masing-masing parameer yang erleak di dalam dan di luar daerah sabilias mean-square model Brennan- Schwarz (source code dapa diliha pada Lampiran 6): Universias Indonesia Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

70 55 Gambar 4.4 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz (1 simulasi) dengan nilai awal berbeda unuk uji kesabilan mean-square di mana, ;, ; dan, 5 Gambar 4.5 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz (1 simulasi) dengan nilai awal berbeda unuk uji kesabilan mean-square di mana,1;, ; dan, 5 Gambar 4.4 merupakan visualisasi linasan-linasan solusi model Brennan- Schwarz dengan parameer-parameer yang erleak di dalam daerah sabilias mean-square model Brennan-Schwarz. Sedangkan, Gambar 4.5 merupakan visualisasi linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz dengan parameerparameer yang erleak di luar daerah sabilias mean-square model Brennan- Schwarz. Berdasarkan Gambar 4.4 erliha bahwa model Brennan-Schwarz dengan parameer-parameer yang erleak dalam krieria sabilias mean-square model Brennan-Schwarz semakin lama nilai ekspekasi dari mulak solusi kuadranya akan menuju nol sesuai dengan definisi sabilias mean-square pada Subbab.3. Seharusnya, jika parameer-parameer yang digunakan erleak di luar daerah sabilias mean-square model Brennan-Schwarz maka solusi modelnya idak menuju nol, eapi hal ersebu kurang erliha pada Gambar 4.5 karena nilai parameer yang diambil deka dengan daerah sabilias mean-square model Brennan-Schwarz. Oleh sebab iu, unuk ujuan perbandingan beriku ini akan divisualisasikan kembali sabilias mean-square model Brennan-Schwarz dengan parameer yang erleak agak jauh dari daerah sabilias mean-square model Brennan-Schwarz, yaiu, walaupun model Brennan-Schwarz memiliki asumsi : Universias Indonesia Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

71 56 Gambar 4.6 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz (1 simulasi) dengan nilai awal berbeda unuk uji kesabilan mean-square di mana,1;, ; dan, 3 Seperi halnya sabilias sokasik asimoik, beriku ini akan divisualisasikan pula sabilias mean-square model Brennan-Schwarz unuk nilai parameer yang berbeda-beda (source code program dapa diliha pada Lampiran 7): Gambar 4.7 Linasan-linasan solusi model Brennan-Schwarz (1 simulasi) dengan nilai parameer berbeda unuk uji kesabilan mean-square di mana r 14, 94% Terliha pada Gambar 4.7 bahwa linasan-linasan solusi solusi model Brennan-Schwarz dengan parameer-parameer, 5;, ;, dan,4;,5;, 5 yang erleak dalam krieria sabilias mean-square model Brennan-Schwarz semakin lama akan saling berdekaan menuju nol. Sedangkan, linasan solusi model Brennan-Schwarz dengan parameer-parameer, ;, 3;,3 yang erleak di luar daerah sabilias mean-square model Brennan-Schwarz idak menuju nol. Universias Indonesia Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

72 57 Selanjunya, parameer,, dan pada model Brennan-Schwarz ersebu akan diaksir. Akan eapi, seperi elah dijelaskan sebelumnya pada Subbab 3.3, penaksiran parameer,, dan idak dapa diperoleh secara langsung dengan meode-meode penaksiran parameer yang ada. Hal ini disebabkan oleh masalah perbedaan measure anara model Brennan-Schwarz pada risk-neural probabiliy measure dengan daa observasi yang diperoleh pada acual probabiliy measure. Oleh sebab iu, perama-ama akan dilakukan penaksiran parameer model Brennan-Schwarz pada acual probabiliy measure dengan parameer-parameernya adalah,, dan. Penaksiran parameer,, dan akan dilakukan dengan meode Maximum Likelihood. Seperi elah dijelaskan sebelumnya pada Subbab 3.3, opimisasi numerik yang akan digunakan adalah algorima Nelder-Mead. Dengan menggunakan algorima Nelder-Mead (source code dapa diliha pada Lampiran 8), diperoleh hasil aksiran parameer beriku ini: ˆ,7; ˆ,8; dan ˆ,13. (4.1) Berdasarkan persamaan (3.3.3), aksiran parameer model Brennan-Schwarz pada risk-neural probabiliy measure dapa diperoleh sebagai beriku: ˆ ˆ,13; ˆ ˆ ˆ, 7,13 ; ˆ ˆ,7,8,56 ˆ. ˆ, 7,13, 7,13 4. Selanjunya, parameer akan diperoleh dengan rial and error sedemikian sehingga memenuhi masing-masing krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square model Brennan-Schwarz pada persamaan (3..5) dan (3..7) aau Gambar 3..1 dan 3... Sebelumnya, akan diselesaikan secara maemais krieria nilai parameer yang dapa diujicobakan sebagai beriku: Universias Indonesia Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

73 58 Krieria nilai yang memenuhi krieria sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz ˆ ˆ,169,7,13 1, 69 Krieria nilai yang memenuhi krieria sabilias mean-square model Brennan- Schwarz ˆ ˆ,169,7,13, Berdasarkan persamaan (4.3), krieria nilai parameer yang dapa diujicobakan agar sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square model Brennan-Schwarz dapa ercapai secara bersamaan adalah,937. Dengan rial and error dieapkan 1 sehingga menghasilkan norm error model yang cukup kecil, yaiu,368. Norm error adalah nilai maksimum dari absolu error akiba perbedaan nilai ingka bunga yang diperoleh melalui model Brennan- Schwarz dengan nilai ingka bunga sebenarnya. Beriku adalah aksiran parameer model Brennan-Schwarz pada risk-neural probabiliy measure : ˆ ˆ,13; ˆ 1 ˆ ˆ, 7,13,135; ˆ ˆ,7,8,56 ˆ, ˆ, 7,13,135 Dengan menggunakan nilai aksiran parameer di aas, beriku ini divisualisasikan pergerakan ingka bunga dengan model Brennan-Schwarz rˆ dibandingkan daa observasi r (source code dapa diliha pada Lampiran 9): Universias Indonesia Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

74 59 Gambar 4.8 Pergerakan ingka bunga bulanan dari suau zero-coupon bond dengan mauriy ime 5 ahun periode Januari 198 hingga Februari 11 dengan menggunakan model Brennan- Schwarz yang daanya diunduh dari Terliha bahwa hasil visualisasi pergerakan ingka bunga dengan menggunakan model Brennan-Schwarz mendekai nilai ingka bunga sebenarnya sehingga dapa dikaakan bahwa model Brennan-Schwarz cukup baik dalam menggambarkan pergerakan ingka bunga bulanan dari suau zero-coupon bond dengan mauriy ime 5 ahun periode Januari 198 hingga Februari 11 dengan norm error sebesar,368. Universias Indonesia Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

75 BAB 5 KESIMPULAN Dari pembahasan Tesis ini dapa diarik beberapa kesimpulan, yakni model Brennan-Schwarz memiliki krieria sabilias sokasik asimoik dan sabilias mean-square yang dapa menjadi panduan keika melakukan pemilihan parameer model sedemikian sehingga model Brennan-Schwarz menjadi sabil. Selain iu, parameer model Brennan-Schwarz yang sesuai dengan krieria sabilias mean-square akan sesuai pula dengan krieria sabilias sokasik asimoik eapi idak berlaku sebaliknya. Dalam Tesis ini, parameer model Brennan-Schwarz dapa diaksir dengan menggunakan meode Maximum Likelihood kemudian dilanjukan dengan opimisasi numerik menggunakan algorima Nelder-Mead. Dalam implemenasi, aksiran parameer model Brennan- Schwarz yang diperoleh sesuai dengan krieria sabilias model. Hasil implemenasi menunjukkan bahwa solusi model Brennan-Schwarz cukup baik dalam menggambarkan pergerakan ingka bunga bulanan dari suau zero-coupon bond. 6 Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

76 DAFTAR PUSTAKA Allen, E. (7). Modeling wih Io Sochasic Differenial Equaions. Neherland: Springer. Anggono, S. (4). Kajian Sabilias pada Masalah dan Meode Numerik unuk Persamaan Diferensial Sokasik. Depok: Deparemen Maemaika, Universias Indonesia. Arnold, L. (1974). Sochasic Differenial Equaions. New York: John Wiley & Sons. Bayazi, D. (4). Yield Curve Esimaion and Predicion wih Vasicek Model. Turkey: Deparmen of Financial Mahemaics, Middle Eas Technical Universiy. Bhaacharya, R. N. dan Waymire, E. C. (199). Sochasic Processes wih Applicaions. Canada: John Wiley & Sons. Boes, D. C., Graybill, F. A., dan Mood, A. M. (1974). Inroducion o he Theory of Saisics. New York: McGraw-Hill. Brennan, M. J. dan Schwarz, E. S. (198). Analyzing Converible Bonds. J. Finan. Quan. Anal., 15, 4, Brigo, D. dan Mercurio, F. (6). Ineres Rae Model - Theory and Pracice: Wih Smile, Inflaion, and Credi. New York: Springer. Casella, G., McCulloch, C. E., dan Searle, S. R. (199). Variance Componens. New York: John Wiley & Sons. Couradon, G. (198). The Pricing of Opions on Defaul-Free Bonds. J. Finan. Quan. Anal., 17, 1, Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

77 6 Csajkova, A. U. (7). Calibraion of Term Srucure Models. Braislava: Faculy of Mahemaics, Physics, and Informaics, Comenius Universiy Braislava. Dokuchaev, N. (7). Mahemaical Finance Core Theory, Problems, and Saisical Algorihms. New York: Rouledge. Higham, D. J. (1). An Algorihmic Inroducion o Numerical Simulaion of Sochasic Differenial Equaions. SIAM Review, 43, 3, Karlin, S. dan Taylor, H. M. (1998). An Inroducion o Sochasic Modeling (Third Ediion). California: Academic Press. Khalil, H. K. (1996). Nonlinear Sysems. New Jersey: Prenice-Hall. Kloeden, P. E. dan Plaen, E. (199). Numerical Soluion of Sochasic Differenial Equaions. Heidelberg: Springer-Verlag. Kreyszig, E. (1999). Advanced Engineering Mahemaics. New York: John Wiley & Sons. Mikosch, T. (1998). Elemenary Sochasic Calculus wih Finance in View. Singapore: World Scienific. Oksendal, B. (1998). Sochasic Differenial Equaions: An inroducion wih Applicaions. New York: Springer. Pennacchi, G. (8). Theory of Asse Pricing. New York: Pearson. Rouah, F. D. dan Vainberg, G. (7). Opion Pricing Models and Volailiy Using Excel-VBA. New Jersey: John Wiley & Sons. Shreve, S. E. (4). Sochasic Calculus for Finance II Coninuous-Time Models. New York: Springer. Thygesen, U. H. (1997). A Survey of Lyapunov Techniques for Sochasic Differenial Equaions. IMM Technical Repor nr. 18. hp:// Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

78 63 Yolcu, Y. (5). One-Facor Ineres Rae Models: Analyic Soluions and Approximaions. Turkey: Deparmen of Financial Mahemaics, Middle Eas Technical Universiy. Zeyun, S. dan Gupa, A. (7). A Comparaive Sudy of he Vasicek and he CIR Model of he Shor Rae. ITWM Technical Repor. hp:// Bank of England, Yields. hp:// (8 Mar. 11, pukul 1.47 WIB) Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

79 Lampiran 1 Flowchar Nelder-Mead unuk Meode Maximum Likelihood Inpu n + 1 nilai awal Reflecion Rule? Ya Tidak Hiung fungsi Likelihood unuk seiap nilai Expansion Rule? Ya Tidak Ya Urukan nilai fungsi Likelihood dari nilai erkecil hingga nilai erbesar Ouside Conracion Rule? Ya Consrain? Tidak Tidak Shrink Sep Midpoin of he good side Inside Conracion Rule? Tidak Ya Consrain? Tidak <Toleransi? Ya Oupu 64 Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

80 65 Lampiran Skema Analisis Persamaan Diferensial Sokasik Exisence & Uniqueness? Tidak Penaksiran Parameer Ya Sabilias Analiik Numerik Taksiran Analiik (Ex: ML)? Ya Ya Solusi Analiik? Solusi Numerik Sabilias Model (Definisi aau Fungsi Lyapunov) Tidak Sabilias Model (Fungsi Lyapunov) Sabilias Numerik Tidak Numerik Aproksimasi Parameer (Ex: Nelder- Mead) Taksiran Parameer yang ermasuk dalam Krieria Sabilias Aproksimasi Solusi Universias Indonesia Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11

81 66 Lampiran 3 Daa ingka bunga bulanan dari suau zero coupon bond pada Bank of England periode Januari 198 hingga Februari 11. No. Tanggal r()% No. Tanggal r()% No. Tanggal r()% No. Tanggal r()% 1 31-Jan Dec- 3-Nov- 31-Oc Feb- 31-Dec- 3-Nov Jan Mar- 8-Feb- 31-Dec Jan Apr- 31-Mar- 9-Feb Jan May- 3-Apr- 31-Mar- 8-Feb Jun- 31-May- 3-Apr- 31-Mar Jul Jun- 31-May- 3-Apr Aug- 3-Jun- 31-May Jul Sep- 31-Aug- 3-Jun Jul Oc- 3-Sep- 31-Aug Jul Nov- 31-Oc- 3-Sep- 31-Aug Dec- 3-Nov- 31-Oc- 3-Sep Jan Dec- 3-Nov- 31-Oc Feb- 31-Dec- 3-Nov Jan Mar- 8-Feb- 31-Dec Jan Apr- 31-Mar- 8-Feb Jan May- 3-Apr- 31-Mar- 9-Feb Jun- 31-May- 3-Apr- 31-Mar Jul Jun- 31-May- 3-Apr Aug- 3-Jun- 31-May Jul Sep- 31-Aug- 3-Jun Jul Oc- 3-Sep- 31-Aug Jul Nov- 31-Oc- 3-Sep- 31-Aug Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

82 Dec Jan Feb Mar Apr May Jun Jan Jul Aug Sep Oc Nov Feb Mar Apr May Jun Jan Jul Aug Sep Oc Feb Mar- 9 3-Apr May- 9 3-Jun- 9 3-Nov Dec Oc Nov Dec Sep Oc- 9 3-Nov Dec Jan Jul Aug- 9 3-Sep- 9 8-Feb Mar Apr May Jun Jul Aug No. Tanggal r()% No. Tanggal r()% No. Tanggal r()% No. Tanggal r()% Sep- 31-Aug- 3-Jun Jul Oc- 3-Sep- 31-Aug Jul Nov- 31-Oc- 3-Sep- 31-Aug Dec- 3-Nov- 31-Oc- 3-Sep Jan Dec- 3-Nov- 31-Oc Feb- 31-Dec- 3-Nov Jan Mar- 8-Feb- 31-Dec Jan Apr- 31-Mar- 9-Feb Jan May- 3-Apr- 31-Mar- 8-Feb Jun- 31-May- 3-Apr- 31-Mar Jul Jun- 31-May- 3-Apr Aug- 3-Jun- 31-May Jul Sep- 31-Aug- 3-Jun Jul Oc- 3-Sep- 31-Aug Jul Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

83 Jan Feb Mar Apr May Jun Jan Jul Aug Sep Oc Nov Dec Feb Mar Apr May Jun Jan Jul Jan Feb Mar Apr May Jun Aug Sep Oc Nov Dec Feb Mar- 1 3-Apr May- 1 3-Jun- 1 3-Nov Dec Oc Nov Dec Sep- 31-Oc- 3-Nov- 31-Dec- 31-Aug- 3 3-Sep Oc- 3 3-Nov Dec Jan Jul Jan Jul Feb Mar Apr May Jun Aug- 1 3-Sep Oc- 1 3-Nov Dec- 1 9-Feb Mar- 4 3-Apr May- 4 3-Jun Jul Jan Feb- 31-Mar- 3-Apr- 31-May- 31-Aug- 4 3-Sep Oc- 4 3-Nov Dec Jan Feb Mar- 5 3-Apr No. Tanggal r()% No. Tanggal r()% No. Tanggal r()% No. Tanggal r()% May- 3-Sep- 31-May Jan Jun- 8-Feb- 31-Oc- 3-Jun Jul Mar- 3-Nov Jul Aug- 3-Apr- 31-Dec- 31-Aug Sep- 31-May- 3-Sep Jan Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

84 Oc- 5 3-Nov Dec- 5 3-Jun Jul Jan Feb Mar- 6 3-Apr May- 6 3-Jun Aug- 7 3-Sep Oc- 7 3-Nov Dec Jul Jan Jul Aug- 6 3-Sep Oc- 6 3-Nov Dec Feb Mar- 8 3-Apr May- 8 3-Jun Aug- 9 3-Sep Oc- 9 3-Nov Dec Feb Mar- 9 3-Apr May- 9 3-Jun Oc- 1 3-Nov Dec Jan Jan Jul Aug Feb Mar- 1 3-Apr Feb Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

85 7 Lampiran 4 Sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz dengan nilai awal yang berbeda-beda. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

86 71 Lampiran 5 Sabilias sokasik asimoik model Brennan-Schwarz dengan nilai parameer yang berbeda-beda. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

87 7 Lampiran 6 Sabilias mean-square model Brennan-Schwarz dengan nilai awal yang berbedabeda. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

88 73 Lampiran 7 Sabilias mean-square model Brennan-Schwarz dengan nilai parameer yang berbeda-beda. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

89 74 Lampiran 8 Algorima Nelder-Mead dalam menaksir parameer model Brennan-Schwarz dengan menggunakan meode Maximum Likelihood. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

90 75 (lanjuan) Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

91 76 (lanjuan) Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

92 77 (lanjuan) Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia

93 78 Lampiran 9 Pergerakan ingka bunga dengan model Brennan-Schwarz. Analisis sabilias..., Tri Handhika, FMIPA UI, 11 Universias Indonesia