DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
|
|
- Yuliani Tedja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawa 1 Geometri Ruag Hilbert Defiisi 1.1 Ruag vektor V atas lapaga K {R, C} disebut ruag hasilkali dalam jika ada fugsi (, : V V K sehigga utuk setiap x, y, z V da α K berlaku: (i (x, x > 0 da (x, x = 0 jika da haya jika x = 0 (ii (x, y + z = (x, y + (x, z (iii (x, αy = α(x, y (iv (x, y = (y, x Fugsi (.,. disebut hasilkali dalam (pada V. Perhatika bahwa (ii, (iii, da (iv berakibat (x, αy + βz = α(x, y + β(x, z da (αx, y = α(x, y. Meurut defiisi di atas hasilkali dalam bersifat liear terhadap kompoe kedua da bersifat kojugat liear terhadap kompoe pertama. Cotoh 1.2 Diberika C yaitu himpua semua -tupel bilaga kompleks. Fugsi (, : C C C dega (x, y = x j y j, j=1 utuk setiap x = (x 1,..., x, y = (y 1,..., y C medefiisika sebuah hasilkali dalam pada C. Cotoh 1.3 Diberika C[a, b] yaitu himpua semua fugsi kotiu berilai kompleks pada iterval [a, b]. Fugsi (, : C[a, b] C[a, b] C dega ( f, g = b a f (xg(x dx, utuk setiap f, g C[a, b] medefiisika sebuah hasilkali dalam pada C[a, b]. Defiisi 1.4 Dua vektor x da y di dalam ruag hasilkali dalam V dikataka ortogoal jika (x, y = 0. Himpua vektor {x i } V dikataka himpua ortoormal jika (x i, x i = 1 utuk setiap i da (x i, x j = 0 jika i = j. Utuk setiap x V didefiisika x := (x, x. Aka diperlihatka bahwa. merupaka orma pada V. Kita igat kembali defiisi orma. 1
2 Defiisi 1.5 Ruag vektor V atas lapaga K {R, C} disebut ruag berorma jika ada fugsi. : V R sehigga utuk setiap x, y V da α K berlaku: (i x 0 (ii x = 0 jika da haya jika x = 0 (iii αx = α x (iv x + y x + y (ketaksamaa segitiga Fugsi. disebut orma (pada V. Teorema 1.6 (Teorema Phytagoras Diberika {x } m himpua ortoormal di dalam ruag hasilkali dalam V. Maka utuk setiap x V, Bukti. Tulis x sebagai x 2 = x = m m (x, x 2 m 2 + x (x, x x (x, x x + ( x m (x, x x Dega megguaka sifat-sifat hasilkali dalam diperoleh bahwa m (x, x x da x m (x, x x. ortogoal. Oleh karea itu (x, x = m 2 m 2 (x, x x + x (x, x x = m (x, x 2 m 2 + x (x, x x. himpua ortoormal di dalam ruag hasil- Akibat 1.7 (Ketaksamaa Bessel Diberika {x } m kali dalam V. Maka utuk setiap x V x 2 m (x, x 2. Akibat 1.8 (Ketaksamaa Cauchy-Schwarz Jika x da y dua vektor di dalam ruag hasilkali dalam V, maka (x, y x y. { } Bukti. Kasus y = 0 trivial, jadi diasumsika y = y 0. Himpua merupaka himpua y ortoormal, maka dega meerapka ketaksamaa Bessel pada sebarag x V diperoleh ( x 2 y 2 (x, y 2 x, = y y 2 2
3 yaki diperoleh (x, y x y. Diigat bahwa setiap ruag berorma merupaka ruag metrik. Teorema berikut meujukka bahwa setiap ruag hasilkali dalam merupaka ruag berorma. Teorema 1.9 Setiap ruag hasilkali dalam V merupaka ruag berorma dega orma x = (x, x 1/2. Bukti. Karea V adalah ruag vektor, maka tiggal diperiksa bahwa. memeuhi sifat-sifat orma. Di sii haya aka ditujukka bahwa ketaksamaa segitiga berlaku. Ambil x, y V, maka dega megguaka ketaksamaa Cauchy-Schwarz x + y 2 = (x, x + (x, y + (y, x + (y, y = (x, x + 2R(x, y + (y, y (x, x + 2 (x, y + (y, y (x, x + 2(x, x 1/2 (y, y 1/2 + (y, y. Jadi x + y 2 ( x + y 2 da terbuktilah ketaksamaa segitiga. Teorema 1.9 meujukka bahwa di dalam ruag hasilkali dalam V terdapat metrik atural yag diiduksi oleh hasilkali dalam d(x, y = x y = (x y, x y. Dega megguaka metrik ii kita dapat medefiisika kosep kekovergea, kelegkapa, da kepadata di dalam V. Khususya, kita dapat melegkapka V ke suatu ruag berorma Ṽ dimaa V tersisip secara isometrik sebagai subhimpua padat. Catat bahwa Ṽ juga merupaka ruag hasilkali dalam sebab hasilkali dalam di V dapat diperluas ke Ṽ megguaka sifat kekotiua. Norma yag berasal dari hasilkali dalam haruslah memeuhi hukum jajargejag x + y 2 + x y 2 = 2 x y 2. Dega kata lai, apabila hukum jajargejag berlaku di dalam sebuah ruag berorma, maka ruag tersebut merupaka ruag hasilkali dalam. Lebih lajut hasilkali dalam tersebut dapat diperoleh kembali dari orma melalui idetitas polarisasi (x, y = 1 4 Lebih jelasya kita mempuyai teorema berikut. ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2. Teorema 1.10 Ruag berorma (V, merupaka ruag hasilkali dalam jika da haya jika orma memeuhi hukum jajargejag. 3
4 Defiisi 1.11 Ruag hasilkali dalam yag legkap disebut ruag Hilbert 1. Ruag hasilkali dalam serigkali disebut ruag pra-hilbert. Defiisi 1.12 Dua ruag Hilbert H 1 da H 2 dikataka isomorfik jika ada operator liear surjektif T dari H 1 ke H 2 sehigga (Tx, Ty H2 = (x, y H1 utuk setiap x, y H 1. Operator demikia dikataka uiter. Cotoh 1.13 Didefiisika L 2 [a, b] adalah himpua semua fugsi terukur Lebesgue yag berilai kompleks pada iterval higga [a, b] yag memeuhi b a f (x 2 dx <. Utuk f, g L 2 [a, b] didefiisika hasilkali dalam ( f, g = b Hasilkali dalam ii terdefiisi dega baik sebab a f (xg(x dx. f (xg(x 1 2 f (x g(x 2 sehigga f (xg(x L 1 [a, b]. Dapat ditujukka bahwa L 2 [a, b] legkap da kareaya merupaka ruag Hilbert. Selai itu L 2 [a, b] merupaka legkapa dari C[a, b] terhadap orma ( b 1/2 f = f (x dx 2. a Cotoh 1.14 Didefiisika l 2 adalah himpua semua barisa bilaga kompleks {x } yag memeuhi x 2 dx < dega hasilkali dalam ({x }, {y } = x y. Norma yag diiduksi oleh hasilkali dalam ii diberika oleh {x } = ( 1/2 x 2. Pertama kita periksa bahwa hasilkali dalam di atas terdefiisi dega baik. Perhatika jumlah parsial berikut ( N N 1/2 ( N 1/2 ( 1/2 ( 1/2 x y x 2 y 2 x 2 y 2 <. Karea jumlah parsialya terbatas maka deret x y koverge, da akibatya x y koverge. Mudah ditujukka bahwa l 2 merupaka ruag vektor da aksioma hasilkali dalam dipeuhi. Sekarag kita buktika kelegkapa l 2. Diberika sebarag barisa Cauchy {x (l } l, di l2 da sebarag ε > 0, maka ada M N sehigga {x (l } {x (k } = ( 1/2 x (k x (l 2 < ε 1/2, 1 David Hilbert ( , matematikawa Jerma. 4
5 utuk setiap k, l M. Jadi utuk setiap N N, N x (k x (l 2 < ε, utuk setiap k, l M...( Utuk sebuah yag tetap da megguaka (* diperoleh x (k Dega demikia barisa {x (k kataka x (l < ε 1/2, utuk setiap k, l M. } k=1 adalah barisa Cauchy di C, da kareaya koverge, y := lim k x (k, N. Hal ii berlaku utuk setiap N sehigga diperoleh barisa bilaga kompleks {y }. Karea setiap barisa Cauchy terbatas, maka ada K > 0 sehigga {x (k } K utuk setiap k N. Akibatya N x (k 2 < K 2, utuk setiap k, N N. Dega megambil k, N y 2 < K 2, utuk setiap N N. da dega megambil N disimpulka bahwa {y } l2. Kembali ke (* utuk N yag tetap, l M yag tetap, da k, maka N x (l y 2 = lim k N x (l x (k 2 ε. Dega megambil N, maka {x (l } l, {y } ε 1/2, utuk setiap l M. Ii memperlihatka kekovergea {x (l } l, di l2. Terbukti l 2 ruag Hilbert. Pada subbab 3 aka diperlihatka bahwa setiap ruag Hilbert berdimesi tak higga yag memiliki subhimpua terhitug yag padat isomorfik dega l 2. Dalam koteks ii l 2 adalah cotoh kaoik dari ruag Hilbert. Cotoh 1.15 Diketahui µ adalah ukura Borel pada R da L 2 (R, dµ adalah himpua semua fugsi terukur berilai kompleks pada R yag memeuhi f (x R 2 dµ <. L 2 (R, dµ adalah ruag Hilbert terhadap hasilkali dalam ( f, g = f (xg(x dµ. R Cotoh 1.16 Misalka (X, µ adalah ruag ukura da H adalah ruag Hilbert. L 2 (X, dµ; H meotasika himpua semua fugsi terukur pada X dega ilai di H yag memeuhi f (x 2 H dµ(x <. X 5
6 Himpua ii merupaka ruag Hilbert terhadap hasilkali dalam ( f, g = X ( f (x, g(x H dµ(x. Cotoh 1.17 (Jumlah lagsug Diberika ruag Hilbert H 1 da H 2. Himpua {(x, y : x H 1, y H 2 } merupaka ruag Hilbert terhadap hasilkali dalam ((x 1, y 1, (x 2, y 2 = (x 1, x 2 H1 + (y 1, y 2 H2. Ruag ii disebut jumlah lagsug dari H 1 da H 2, da diotasika dega H 1 H 2. Dua ukura µ 1 da µ 2 pada ruag M yag dilegkapi dega aljabar-σ A dikataka salig sigular jika ada A A dega µ 1 (A = 0 da µ 2 (M \ A = 0. Jika µ 1 da µ 2 adalah dua ukura Borel pada R yag salig sigular da µ = µ 1 + µ 2, maka L 2 (R, dµ isomorfik dega L 2 (R, dµ 1 L 2 (R, dµ 2. Kita juga dapat megkostruksi jumlah lagsug terhitug ruag Hilbert. Diberika barisa ruag Hilbert {H }. Misalka H adalah himpua semua barisa {x } dega x H yag memeuhi x 2 H <. Maka H adalah ruag Hilbert terhadap hasilkali dalam ({x }, {y } = (x, y H. 2 Teorema Represetasi Riesz Salah satu cara utuk megkostruksi ruag Hilbert adalah dega membatasi hasilkali dalam pada suatu subruag tertutup M dari ruag Hilbert H yag diberika. Terhadap hasilkali dalam di H, M merupaka ruag Hilbert. Kompleme ortogoal dari M, diotasika dega M, adalah himpua semua vektor di H yag ortogoal terhadap M. Mudah ditujukka bahwa M merupaka subruag tertutup dari H. Jadi M merupaka ruag Hilbert. Catat bahwa M M = {0}. Teorema berikut meujukka bahwa terdapat vektor yag tegaklurus dega setiap subruag proper tertutup, yaki H = M + M = {x + y : x M, y M }. Lema 2.1 Diketahui H ruag Hilbert, M subruag tertutup dari H, da x H. Maka terdapat dega tuggal z M yag jarakya terdekat ke x. Bukti. Misalka d = if y M y x. Pilih barisa {y } di M sehigga y x d. 6
7 Maka y y m 2 = (y x (y m x 2 = 2 y x y m x 2 2x + y + y m 2 = 2 y x y m x 2 4 x 1 2 (y + y m 2 2 y x y m x 2 4d 2 2d 2 + 2d 2 4d 2 = 0 utuk m,. Idetitas kedua berasal dari hukum jajargejag semetara ketaksamaa diperoleh dari fakta bahwa 1 2 (y + y m M. Jadi {y } adalah barisa Cauchy da karea M tertutup, {y } koverge ke suatu eleme z M. Jadi diperoleh x z = d. Misalka z 1, z 2 M dega jarak masig-masig ke x adalah d, maka z 1 z 2 2 z 1 x z 2 x 2 4d 2 = 0. Ii meujukka ketuggala titik dega jarak terdekat. Teorema 2.2 (Teorema proyeksi Diketahui H ruag Hilbert da M subruag tertutup dari H. Maka setiap x H dapat dituliska secara tuggal sebagai x = z + w dega z M da w M. Bukti. Ambil x H. Maka meurut Lema 2.1 terdapat dega tuggal z M dega jarak terdekat ke x. Defiisika w = x z. Ambil y M da t R. Jika d = x z, maka d 2 x (z + ty 2 = w ty 2 = d 2 2tR(w, y + t 2 y 2. Jadi, 2tR(w, y + t 2 y 2 0 utuk setiap t, yag berakibat R(w, y = 0. Secara aalog dega meggati peraa t dega it diperoleh I(w, y = 0. Jadi w M. Bukti ketuggala utuk latiha. Teorema proyeksi memberika isomorfisma atural atara M M dega H melalui (z, w z + w. Di dalam koteks isomorfisma ii kita tulis H = M M. Proposisi 2.3 Diketahui H ruag Hilbert da M subruag dari H. Maka M = ( M. Khususya, apabila M = {0}, maka M padat di dalam H. Bukti. Karea ( M tertutup da memuat M maka jelas bahwa M ( M. Selajutya, ambil sebarag x ( M = (M, x = m + m dega m M, m M. Jadi berlaku (x, m = 0 = (m, m. Akibatya (m, m = 0, yag berarti m = 0 da x = m M. Selajutya kita megigat kembali pegertia da sifat-sifat dasar operator liear terbatas di ruag berorma. 7
8 Defiisi 2.4 Operator liear terbatas dari ruag berorma (V 1,. 1 ke ruag berorma (V 2,. 2 adalah pemetaa T : V 1 V 2 yag memeuhi utuk setiap u, v V 1 da α, β K: (i T(αu + βv = αtu + βtv (ii Tu 2 C u 1 Kostata terkecil C yag memeuhi (ii disebut orma dari T, ditulis T. Jadi T = if{c : Tu 2 C u 1 } = sup{ Tu 2 : u 1 1}. Teorema 2.5 Diberika T suatu operator liear dari suatu ruag berorma ke ruag berorma yag lai. Maka ketiga peryataa berikut ekuivale: (a T kotiu di satu titik (b T kotiu di setiap titik (c T terbatas Teorema 2.6 Misalka T operator liear terbatas dari ruag berorma (V 1,. 1 ke ruag Baach (V 2,. 2. Maka T dapat diperluas secara tuggal ke operator liear terbatas T dari legkapa V 1 ke (V 2,. 2. Misalka L(H 1, H 2 adalah himpua semua operator liear terbatas dari ruag Hilbert H 1 ke ruag Hilbert H 2. Maka L(H 1, H 2 merupaka ruag Baach terhadap orma T = sup{ Tx H2 : x H1 1}. Utuk bagia selajutya aka dibicaraka kasus khusus yaki utuk H 2 = K. Defiisi 2.7 Ruag L(H, K disebut ruag dual dari H da diotasika dega H. Aggota H disebut fugsioal liear kotiu. Teorema berikut meyataka bahwa setiap fugsioal liear kotiu di dalam ruag Hilbert dapat diyataka sebagai hasilkali dalam. Teorema 2.8 (Teorema represetasi Riesz Utuk setiap T H, terdapat dega tuggal y T H sehigga Tx = (y T, x utuk setiap x H. Lebih jauh y T H = T H. Bukti. Defiisika N := {x H : Tx = 0}, yaki kerel dari T. Dega megguaka kekotiua T, N merupaka subruag tertutup. Jika N = H, maka Tx = 0 = (0, x utuk setiap x. Selajutya diasumsika N = H. Meurut teorema proyeksi terdapat vektor tak ol x 0 N. Kita defiisika y T := Tx 0 x 0 2 x 0. Aka diperlihatka bahwa y T memiliki sifat yag diigika. Jika x N, maka Tx = 0 = (y T, x. Selajutya apabila x = αx 0, maka Tx = T(αx 0 = αtx 0 = (Tx 0 x 0 2 x 0, αx 0 = (y T, αx 0. 8
9 Karea fugsi-fugsi T da (y T,. bersifat liear da berilai sama pada N da x 0, maka keduaya berilai sama pada ruag yag dibagu oleh N da x 0. Di lai pihak N da x 0 membagu H sebab setiap eleme y H dapat ditulis sebagai ( y = y Ty x 0 + Ty x 0. tx 0 Tx 0 Jadi Tx = (y T, x utuk setiap x H. Utuk bukti ketuggala, misalka Tx = (z, x, maka z y T 2 = (z, z y T (y T, z y T = T(z y T T(z y T = 0. Jadi z = y T. Terakhir dibuktika bahwa y T H = T H. Perhatika bahwa T = sup{ Tx : x 1} = sup{ (y T, x : x 1} sup{ y T x : x 1} = y T da ( T = sup{tx : x 1} T yt y T = ( y T, y T = y T. y T Catat bahwa ketaksamaa Cauchy-Schwarz meujukka bahwa kovers dari teorema represetasi Riesz berlaku: setiap y H medefiisika sebuah fugsioal liear kotiu T y pada H dega T y x = (y, x. Subbab ii diakhiri dega sebuah akibat petig dari teorema represetasi Riesz. Akibat 2.9 Jika B(, sebuah fugsi dari H H ke K yag memeuhi utuk setiap x, y, z H, α, β K: (i B(x, αy + βz = αb(x, y + βb(x, z (ii B(αx + βy, z = αb(x, z + βb(y, z (iii B(x, y k x y utuk suatu k > 0, maka terdapat dega tuggal operator liear terbatas A dari H ke H sehigga B(x, y = (Ax, y utuk setiap x, y H. Norma dari A adalah kostata terkecil k sehigga (iii berlaku. Bukti. Pilih sebuah x tetap, maka (i da (iii meujukka bahwa B(x, adalah fugsioal liear kotiu pada H. Teorema represetasi Riesz mejami adaya x H sehigga B(x, y = (x, y utuk setiap y H. Defiisika operator A dega Ax = x. Mudah ditujukka bahwa A adalah operator liear kotiu dega sifat yag diigika. Fugsi B seperti pada Akibat 2.9 serig disebut betuk seskuiliear. 9
10 3 Basis Ortoormal Pada subbab ii kita aka memperluas kosep basis dari ruag vektor dimesi higga ke ruag Hilbert. Jika S adalah sebuah himpua ortoormal di dalam ruag Hilbert H da tidak ada himpua ortoormal lai yag memuat S sebagai subhimpua proper, maka S disebut basis ortoormal (sistem ortoormal legkap dari H. Teorema 3.1 Setiap ruag Hilbert tak ol H mempuyai basis ortoormal. Bukti. Misalka O adalah himpua semua himpua ortoormal di dalam H. Catat bahwa O = (megapa?. Selajutya didefiisika relasi uruta pada O yaitu S 1 S 2 jika S 1 S 2. Jelas bahwa (O, merupaka himpua terurut parsial. Ambil sebarag {S i } i I subhimpua terurut liear dari O. Maka i I S i merupaka himpua ortoormal yag memuat semua S i, da kareaya merupaka batas atas utuk {S i } i I. Oleh karea itu meurut Lema Zor O memiliki eleme maksimal, yaki himpua ortoormal yag tidak termuat secara proper di dalam setiap himpua ortoormal yag lai. Teorema berikut memperlihatka bahwa seperti halya pada kasus ruag vektor dimesi higga setiap eleme dari ruag Hilbert dapat diyataka sebagai suatu kombiasi liear (mugki tak higga dari eleme-eleme basis. Teorema 3.2 Diberika H ruag Hilbert da S = {x α } α I sebuah basis ortoormal. Maka utuk setiap y H y = (x α, yx α (1 α I da y 2 = (x α, y 2 (2 α I Kesamaa (1 berarti bahwa jumlaha di ruas kaa koverge (tidak bergatug pada uruta α ke y di H. Sebalikya, jika α I c α 2 <, c α C, maka α I c α x α koverge ke suatu eleme dari H. Bukti. Pada subbab 1 telah ditujukka (ketaksamaa Bessel bahwa utuk setiap subhimpua berhigga A A, α A (x α, y 2 y 2. Jadi (x α, y = 0 utuk sejumlah palig bayak terhitug α di dalam A yag dapat kita urutka sebagai α 1, α 2,.... Lebih jauh karea N j=1 (x α j, y 2 aik mooto da terbatas, maka koverge utuk N. Misalka maka utuk setiap > m, y y m 2 = y = j=m+1 j=1 (x αj, yx αj, (x αj, yx αj 2 = (x αj, y 2. j=m+1 Jadi {y } adalah barisa Cauchy da kareaya koverge ke suatu y H. Perhatika bahwa ( (y y, x αl = lim y j=1 (x αj, yx αj, x αl = (y, x αl (y, x αl = 0, 10
11 da jika α = α l utuk suatu l maka (y y, x α = lim ( y j=1 (x αj, yx αj, x α = 0. Oleh karea itu y y ortogoal dega semua x α S. Megigat bahwa S adalah sistem ortoormal legkap maka haruslah y y = 0. Jadi yaki (1 berlaku. Lebih jauh y = lim j=1 2 ( 0 = lim y (x αj, yx αj = lim y 2 j=1 (x αj, yx αj, (x αj, y 2 = y 2 (x α, y 2, j=1 α I yaki (2 berlaku. Bukti peryataa kovers ditiggalka sebagai latiha. Idetitas (2 serigkali disebut sebagai idetitas Parseval da bilaga (x α, y serigkali disebut sebagai koefisie Fourier dari y terhadap basis {x α }. Sekarag kita aka membicaraka suatu prosedur utuk megkostruksi sebuah himpua ortoormal dari sebarag barisa vektor yag bebas liear. Prosedur ii dikeal sebagai ortogoalisasi Gram-Schmidt. Diberika barisa vektor yag bebas liear u 1, u 2,... da kita defiisika w 1 = u 1, v 1 = w 1 w 1 w 2 = u 2 (v 1, u 2 v 1, v 2 = w 2 w 2. 1 w = u. k=1 (v k, u v k, v = w w Himpua {v j } merupaka sebuah himpua ortoormal da mempuyai sifat bahwa utuk setiap m, {u j } m j=1 da {v j} m j=1 membagu ruag vektor yag sama. Khususya, himpua kombiasi liear berhigga dari v j, j = 1, 2,... sama dega himpua kombiasi liear berhigga dari u j, j = 1, 2,.... Sebagai cotoh poliomial Legedre diperoleh dega meerapka proses Gram-Schmidt ke fugsi 1, x, x 2, x 3,... pada iterval [ 1, 1] terhadap hasilkali dalam baku di L 2 [ 1, 1]. Defiisi 3.3 Sebuah ruag metrik dikataka separabel apabila memiliki subhimpua terhitug yag padat. Sebagia besar ruag Hilbert yag mucul dalam peerapa bersifat separabel. berikut memberika karakterisasi dari ruag Hilbert separabel. Teorema 11
12 Teorema 3.4 Ruag Hilbert H separabel jika da haya jika H memiliki basis ortoormal S yag terhitug. Jika S berhigga dega eleme maka H isomorfik dega C. Jika S deumerabel maka H isomorfik dega l 2 (cotoh Bukti. Misalka H separabel da {x } suatu himpua terhitug yag padat di dalam H. Dega membuag beberapa x kita dapat memperoleh subhimpua {x j } dari {x } yag terdiri dari vektor-vektor bebas liear dega ruag yag dibagu {x j } sama dega ruag yag dibagu oleh {x } da oleh kareaya {x j } padat di dalam H. Dega meerapka prosedur Gram-Schmidt pada {x j } kita memperoleh suatu sistem ortoormal legkap yag terhitug. Sebalikya, jika {y } adalah sistem ortoormal legkap dari ruag Hilbert H maka Teorema 3.2 megakibatka himpua kombiasi liear dari vektor-vektor di {y } dega koefisie rasioal padat di H. Karea {y } terhitug, maka H separabel. Misalka H separabel da {y } adalah sistem ortoormal legkap. Kita medefiisika pemetaa T : H l 2 dega Tx = {(y, x}. Teorema 3.2 meujukka bahwa pemetaa ii terdefiisi dega baik da bersifat pada. Mudah diperlihatka bahwa T uiter. Bukti bahwa H isomorfik dega C jika S berhigga dega eleme dilakuka dega cara yag sejala. Catat bahwa dalam kasus separabel, proses Gram-Schmidt memugkika kita utuk megkostruksi sebuah basis ortoormal tapa megguaka Lema Zor. Terakhir di bagia ii aka diberika sebuah cotoh yag meujukka bagaimaa ruag Hilbert mucul secara alami dari masalah di dalam aalisis klasik. Jika f sebuah fugsi teritegral pada [0, 2π] maka dapat didefiisika Deret c = 1 2π 2π 0 e ix f (x dx. 1 c e ix = 2π disebut deret Fourier dari f. Masalah klasik: utuk fugsi f yag maa da dalam jeis kekovergea apa deret Fourier dari f koverge ke f? Masalah ii mulai dipelajari oleh matematikawa Peracis Joseph Fourier sejak tahu 1811 da terus berkembag sampai sekarag dalam cabag matematika moder yag disebut aalisis harmoik atau aalisis Fourier. Salah satu hasil klasik di dalam aalisis Fourier adalah Teorema 3.5 Jika f fugsi terdiferesial kotiu da periodik dega periode 2π, maka fugsi koverge seragam ke f utuk. c 1 2π e ix Teorema di atas memberika syarat cukup kekovergea seragam dari deret Fourier suatu fugsi. Namu demikia mecari kelas fugsi sehigga deret Fourierya koverge seragam 12
13 atau koverge titik demi titik merupaka masalah yag cukup sukar. Salah satu pemecaha persoala ii adalah dega megguaka kosep kekovergea yag lai da disiilah teori ruag Hilbert mucul. Himpua fugsi { 1 2π e ix } = merupaka himpua ortoormal di ruag L 2 [0, 2π]. Apabila himpua ortoormal ii legkap maka Teorema 3.2 memberika kesimpula utuk setiap fugsi f L 2 [0, 2π] berlaku f (x = lim c 1 2π e ix dega kekovergea merupaka kekovergea terhadap orma L 2. Dapat dibuktika bahwa { 1 2π e ix } = merupaka sistem ortoormal legkap. Kita aka membuktika dega memafaatka hasil klasik di atas (Teorema 3.5. Teorema 3.6 Jika f L 2 [0, 2π], maka = c 1 2π e ix koverge ke f di dalam orma L 2 utuk. Bukti. Dapat diperlihatka bahwa ruag fugsi terdiferesial kotiu yag periodik C 1 p[0, 2π] padat di dalam L 2 [0, 2π]. Ideya adalah himpua fugsi tagga padat di dalam L 2 [0, 2π]. Lebih jauh setiap fugsi tagga dapat dihampiri di dalam orma L 2 oleh suatu fugsi di dalam C 1 p[0, 2π]. Detailya ditiggalka sebagai latiha. Utuk meujukka bahwa { 1 2π e ix } = legkap cukup ditujukka bahwa (e ix, g = 0 utuk setiap berakibat g = 0. Ambil sebarag f C 1 p[0, 2π], maka meurut Teorema 3.5 c 1 2π e ix f seragam da kareaya juga di dalam orma L 2. Oleh karea itu ( 1 ( f, g = lim c e ix, g 2π jika (e ix, g = 0 utuk setiap. Jadi g ortogoal dega semua fugsi f di dalam himpua padat C 1 p[0, 2π]. Hal ii berakibat g = 0. Jadi { 1 2π e ix } = adalah sistem ortoormal legkap da meurut Teorema 3.2 deret Fourier dari setiap f L 2 [0, 2π] koverge di dalam orma L 2 ke f. Teorema di atas meujukka bahwa kosep alami utuk kekovergea deret Fourier adalah kekovergea di dalam orma L 2. Hal ii juga megilustrasika salah satu dari prisip dasar dari aalisis fugsioal yaki memilih sebuah ruag abstrak da kosep kekovergea yag sesuai sehigga sebuah permasalaha dapat diselesaika dega mudah. = 0 4 Hasilkali Tesor Di dalam subbab 1 da 2 telah dibicaraka beberapa cara utuk membetuk ruag Hilbert dari ruag Hilbert yag lai (jumlah lagsug da subruag. Pada subbab ii aka dijelaska 13
14 hasilkali tesor H 1 H 2 dari dua ruag Hilbert H 1 da H 2. Hasil ii dapat diperluas dega mudah utuk megkostruksi hasilkali tesor H 1 H 2... H dari sejumlah berhigga ruag Hilbert. Diberika dua ruag Hilbert H 1 da H 2. Utuk setiap h 1 H 1, h 2 H 2, h 1 h 2 meotasika betuk kojugat liear yag beraksi pada H 1 H 2 meurut (h 1 h 2 ϕ 1, ϕ 2 = (ϕ 1, h 1 H1 (ϕ 2, h 2 H2. Defiisika E sebagai himpua semua kombiasi liear berhigga dari semua betuk kojugat liear yag dideskripsika di atas. Selajutya didefiisika hasilkali dalam (.,. pada E dega (h 1 h 2, g 1 g 2 = (h 1, g 1 H1 (h 2, g 2 H2 da kita dapat memperluas defiisi ii utuk aggota E megguaka kelieara. Lema 4.1 Hasilkali dalam (.,. di atas terdefiisi dega baik da bersifat defiit positif. Bukti. Utuk meujukka (.,. terdefiisi dega baik kita harus meujukka bahwa (ϕ, ϕ tidak bergatug pada betuk kombiasi liear berhigga yag meyusu ϕ da ϕ. Utuk itu cukup ditujukka jika µ adalah jumlaha berhigga yag merupaka betuk ol, maka (η, µ = 0 utuk setiap η E. Misalka η = i=1 N c i( f i g i, maka (η, µ = ( N c i ( f i g i, µ i=1 = N c i µ f i, g i = 0 i=1 karea µ adalah betuk ol. Jadi (.,. terdefiisi dega baik. Selajutya, misalka ϕ = k=1 M d k(η k µ k, maka {η k } k=1 M da {µ k} k=1 M berturut-turut membagu subruag M 1 H 1 da M 2 H 2. Jika kita pilih {ω j } N 1 j=1 basis ortoormal dari M 1 da {ψ l } N 2 l=1 basis ortoormal dari M 2, maka kita dapat meyataka setiap η k dalam ω j da µ k dalam ψ l da diperoleh ϕ = N 1 N 2 j=1 l=1 c jl (ω j ψ l. Dari sii diperoleh (ϕ, ϕ = ( N1 N 2 j=1 l=1 c jl (ω j ψ l, N 1 N 2 s=1 t=1 c st (ω s ψ t = = N 1 j=1 N 2 l=1 N 1 N 2 j=1 l=1 N 1 s=1 N 2 t=1 c jl 2. c jl c st (ω j, ω s H1 (ψ l, ψ t H2 Jadi (ϕ, ϕ = 0 berakibat c jl = 0 utuk semua j da l. Ii berarti ϕ adalah betuk ol. Terbukti (.,. defiit positif. Defiisi 4.2 Hasilkali tesor H 1 H 2 dari H 1 da H 2 didefiisika sebagai legkapa dari E terhadap hasilkali dalam (.,. yag didefiisika di atas. 14
15 Teorema 4.3 Jika {ω k } adalah basis ortoormal dari H 1 da {ψ l } adalah basis ortoormal dari H 2, maka {ω k ψ l } adalah basis ortoormal dari H 1 H 2 Bukti. Utuk peyederhaaa otasi, kita memperhatika kasus dimaa H 1 da H 2 keduaya berdimesi tak higga da separabel. Mudah dilihat bahwa himpua {ω k ψ l } ortoormal da kareaya kita haya perlu membuktika bahwa E termuat di dalam ruag tertutup S yag dibagu oleh {ω k ψ l }. Ambil sebarag ω ψ E. Karea {ω k } da {ψ l } adalah basis, maka ω = k c k ω k da ψ = l d l ψ l dega k c k 2 < da l d l 2 <. Akibatya l k c k d l 2 <. Jadi meurut Teorema 3.2 ada vektor µ = l k c k d l ω k ψ l di S. Dega perhituga lagsug diperoleh ω ψ c k d l ω k ψ l 0 utuk M, N. k<m,l<n Cotoh 4.4 Ruag Hilbert di dalam deskripsi mekaika kuatum dari sebuah partikel Schrödiger tuggal dega spi 1 2 adalah L2 (R 3, dx; C 2, yaki himpua pasaga (ψ 1 (x, ψ 2 (x dari fugsi-fugsi yag kuadratya teritegral Lebesgue. Dapat ditujukka bahwa L 2 (R 3, dx; C 2 = L 2 (R 3, dx C 2. 5 Operator di dalam Ruag Hilbert Pada bagia ii H da H i selalu meyataka ruag Hilbert atas lapaga K {R, C}. Pertama kita megigat pegertia operator adjoi ruag berorma. Diberika ruag berorma X ad Y dega ruag dualya berturut-turut X ad Y, da operator T L(X, Y. Operator adjoi (ruag berorma T : Y X didefiisika melalui dega y Y ad x X. (T y (x = y (Tx, Defiisi 5.1 Diberika ruag Hilbert H 1, H 2, T L(H 1, H 2, da Φ i : H i H i, i = 1, 2 adalah isomorfisma isometrik yag diberika oleh teorema represetasi Riesz. Operator adjoi (ruag Hilbert T dari T didefiisika sebagai T := Φ 1 1 T Φ 2. Dega kata lai berlaku, utuk setiap x H 1, y H 2. (Tx, y H2 = (x, T y H1, Sifat-sifat dasar dari operator adjoi diberika dalam teorema berikut. Teorema 5.2 Diberika S, T L(H 1, H 2, R L(H 2, H 3, da λ K. 15
16 (a (S + T = S + T (b (λs = λs (c (RS = S R (d S L(H 2, H 1 ad S = S (e S = S (f SS = S S = S 2 (g ker(s = (ra(s, ker(s = (ra(s. Khususya, S ijektif jika da haya jika ra(s padat di dalam H 1. Bukti. (a - (e mudah dibuktika dari defiisi operator adjoi. (f. Perhatika bahwa utuk setiap x H 1, yag berarti Sx 2 = (Sx, Sx = (x, S Sx x S Sx, S 2 = sup Sx 2 sup x S Sx S S S S = S 2. x 1 x 1 Hal ii memberika S 2 = S S da juga (g. Utuk setiap x H 1 berlaku S 2 = S 2 = S S = SS. Sx = 0 (Sx, y = 0 utuk setiap y H 2 (x, S y = 0 utuk setiap y H 2 x (ra(s. Ii berarti ker(s = (ra(s. Selajutya, ker(s = (ra(s = (ra(s. Dega demikia pemetaa S S merupaka sebuah isometri surjektif kojugat liear dari L(H 1, H 2 ke L(H 2, H 1. Perhatika bahwa hal ii aalog dega pemetaa λ λ pada C. Sekarag kita aka medefiisika beberapa kelas yag petig dari operator-operator di ruag Hilbert. Defiisi 5.3 Diberika T L(H 1, H T disebut operator uiter jika T ivertibel dega TT = Id H2 da T T = Id H1 2. Dalam hal H 1 = H 2, T disebut operator adjoi-diri (atau Hermitia jika T = T 3. Dalam hal H 1 = H 2, T disebut operator ormal jika TT = T T Dari defiisi ii kita memperoleh 16
17 T operator uiter jika da haya jika T surjektif da (Tx, Ty = (x, y utuk setiap x, y H 1 T operator adjoi-diri jika da haya jika (Tx, y = (x, Ty utuk setiap x, y H 1 T operator ormal jika da haya jika (Tx, Ty = (T x, T y utuk setiap x, y H 1 Operator adjoi-diri da operator uiter (dalam kasus H 1 = H 2 merupaka operator ormal T T da TT merupaka operator adjoi-diri Cotoh 5.4 (i. Diberika H = L 2 [0, 1] da T k L(H adalah operator itegral (T k (x := 1 0 k(s, tx(t dt. Maka T k = T k dega k (s, t = k(t, s, sebab dega megguaka Teorema Fubii kita memperoleh (T k x, y = = = 1 1 k(s, tx(t dt y(s ds k(s, tx(t dt y(s ds 0 ( 1 x(t k(s, t y(s ds dt ( = (x, T k y. T k merupaka operator adjoi-diri jika da haya jika k(s, t = k(t, s dt-hampir di maa-maa. Dalam hal ii k disebut kerel simetris. (ii. Diberika operator geser kiri T : l 2 l 2 yaki (s 1, s 2,... (s 2, s 3,.... Maka operator adjoi T dari T adalah operator geser kaa, yaki T ((t 1, t 2,... = (0, t 1, t 2,.... T buka operator ormal sebab TT = Id tetapi T T = P U dega U = {(s i : s 1 = 0}. P U adalah operator proyeksi pada subruag U. (iii. Trasformasi Fourier F : L 2 (R L 2 (R, yaki merupaka operator uiter. F( f (t = 0 1 f (xe itx dx (2π R Sifat berikutya secara geometris megataka bahwa operator yag megawetka jarak juga megawetka sudut. Lema 5.5 Diberika T L(H 1, H 2. Kedua peryataa berikut ekuivale: (i T isometri (ii (Tx, Ty = (x, y utuk setiap x, y H 1 17
18 Teorema 5.6 Diberika ruag Hilbert H atas lapaga C da T L(H. Kedua peryataa berikut ekuivale: (i T adjoi-diri (ii (Tx, x R utuk setiap x H Bukti. (i (ii: cukup jelas melalui (Tx, x = (x, T x = (x, Tx = (Tx, x. (ii (i: utuk λ C diperhatika bilaga real (T(x + λy, x + λy = (Tx, x + λ(tx, y + λ(ty, x + λ 2 (Ty, y. Dega megambil kojugat kompleks pada kedua ruas diperoleh (T(x + λy, x + λy = (Tx, x + λ(y, Tx + λ(x, Ty + λ 2 (Ty, y. Selajutya substitusika λ = 1 da λ = i utuk medapatka (Tx, y + (Ty, x = (y, Tx + (x, Ty da (Tx, y (Ty, x = (y, Tx + (x, Ty da dari sii disimpulka (Tx, y = (x, Ty. Tekik megguaka x + λy seperti dalam pembuktia di atas dikeal sebagai polarisasi. Lema 5.7 (Ketaksamaa Cauchy-Schwarz yag diperumum Jika operator T L(H adjoidiri, maka (Tx, y M x y, dega M := sup { (Tx, x : x 1}. Bukti. Perhatika dua kesamaa (T(x + y, x + y = (Tx, x + (Tx, y + (Ty, x + (Ty, y da (T(x y, x y = (Tx, x + (Tx, y + (Ty, x (Ty, y. Dega mejumlahka kedua kesamaa di atas da dega memafaatka sifat adjoi-diri dari T diperoleh 4R(Tx, y = (T(x + y, x + y (T(x y, x y. Dega megguaka argumetasi homogeitas diperoleh utuk setiap x H (Tx, x M x 2. 18
19 Selajutya hukum jajargejag memberika 4R(Tx, y = (T(x + y, x + y (T(x y, x y (T(x + y, x + y + (T(x y, x y M x + y 2 + M x y 2 = 2M( x 2 + y 2. Utuk x, y H dega x = y = 1 berlaku R(Tx, y M. Utuk x, y H dega x = y = 1 yag tetap dapat dipilih sebuah bilaga kompleks θ dega θ = 1 sehigga θ(tx, y = (Tx, y. Jadi (Tx, y = (Tx, θy = R(Tx, θy M. Dega meerapka kembali argumetasi homogeitas terbuktilah lema.. Teorema 5.8 Jika operator T L(H adjoi-diri, maka T = sup (Tx, x. x 1 Bukti. Dega megguaka ketaksamaa Cauchy-Schwarz sup (Tx, x sup Tx x = sup Tx = T. x 1 x 1 x 1 Sebalikya dega megguaka Lema 5.7 diperoleh T = sup Tx = sup x 1 x 1 sup y 1 (Tx, y sup sup x 1 y 1 M x y = sup (Tx, x. x 1 Catata: sup x 1 (Tx, x dapat diyataka sebagai { max sup (Tx, x, if (Tx, x x 1 x 1 Jika T L(H adjoi-diri da (Tx, x = 0 utuk setiap x H, maka T = 0. Terakhir aka diberika karakterisasi dari operator proyeksi yag adjoi-diri. Teorema 5.9 Diberika P L(H sebuah operator proyeksi, yaki P 2 = P dega P = 0. Kelima peryataa berikut ekuivale: (i P proyeksi ortogoal, yaki ra(p ker(p (ii P = 1 (iii P adjoi-diri (iv P ormal (v (Px, x 0 utuk setiap x H }. 19
20 6 Soal Latiha 1. Buktika Teorema Ruag Hardy pada cakram satua terbuka Diberika cakram satua terbuka D := {z C : z < 1} di bidag kompleks da 1 p <. Defiisika H p (D := { f : D C : f aalitik, N p ( f < }, dega Buktika: ( 1 2π 1/p N p ( f := sup f (re iθ dθ p. 0 r<1 2π 0 (i Utuk setiap z 0 D da setiap f H p (D berlaku f (z 0 dega D := {z C : z = 1}. (ii ( H p (D, N p merupaka ruag berorma (iii ( H p (D, N p merupaka ruag Baach 1 (d(z 0, D 2 1/p N p( f, (iv ( H p (D, N p ruag Hilbert jika da haya jika p = 2 (v Apabila f (z = a z, =0 maka f H 2 (D jika da haya jika (a 0 l 2. Lebih lajut, pemetaa h : H 2 (D l 2 yag didefiisika dega h( f = (a 0 merupaka isomorfisma isometrik ruag Hilbert. 3. Diberika X adalah ruag vektor dari semua fugsi f : R C dega N, c k C, α k R. f (t = c k e iαkt, k=1 (i Buktika bahwa pemetaa (, : X X C dega 1 a ( f, g := lim f (tg(t dt a 0 2a a merupaka sebuah hasilkali dalam pada X 20
21 (ii Apabila adalah orma yag diiduksi oleh (,, maka tujukka f = ( 1/2 c k 2, k=1 dega f X, f (t = k=1 c ke iα kt, α k = α j utuk k = j. (iii Apabila H adalah ruag Hilbert yag diperoleh sebagai legkapa dari X terhadap, buktika bahwa H tidak separabel. 4. (i Diberika dua ruag Hilbert H 1 da H 2, sistem ortoormal {e 1,..., e } H 1 da {b 1,..., b } H 2, λ 1,..., λ C, da T : H 1 H 2 dega defiisi Tetuka T. T(x = λ j b j (x, e j. j=1 (ii Diberika ruag ( Hilbert H da sebuah sistem ortoormal {e 1, e 2 } H, matriks a b persegi A = dega a, b, c, d C, da operator S, T : H H dega c d defiisi S(x = a(x, e 1 e 1 + b(x, e 2 e 2 da T(x = c(x, e 1 e 1 + d(x, e 2 e 2. Buktika: jika da haya jika S + T 2 + S T 2 = 2 ( S 2 + T 2 (max( a + c, b + d 2 + (max( a c, b d 2 = 2 ( max( a, b 2 + max( c, d 2. (iii Buktika apabila H adalah ruag Hilbert dega dimesi 2, maka L(H := L(H, H buka ruag Hilbert. 5. (a Buktika apabila µ 1 da µ 2 adalah dua ukura Borel pada R yag salig sigular da µ = µ 1 + µ 2, maka L 2 (R, dµ isomorfis dega L 2 (R, dµ 1 L 2 (R, dµ 2 (b Apabila µ adalah sebuah ukura Borel pada R, maka buktika bahwa L 2 (R, dµ separabel. (c Berika sebuah ruag ukura higga (yaki (M, F, µ dega µ(m < sehigga L 2 (M, dµ tidak separabel. (d Diberika (M 1, µ 1 da (M 2, µ 2 dua ruag ukura sehigga L 2 (M 1, dµ 1 da L 2 (M 2, dµ 2 separabel. Tujukka bahwa terdapat dega tuggal sebuah isomorfisma dari L 2 (M 1, dµ 1 L 2 (M 2, dµ 2 ke L 2 (M 1 M 2, dµ 1 dµ 2 sehigga f g f g. 6. (a Berika cotoh ruag hasilkali dalam X da sebuah subruag U X dega i. U = ( U ii. U U = X. (b Diberika ruag Hilbert H da M subruag dari H. Misalka f : M C sebuah fugsioal liear pada M dega batas K. Buktika bahwa terdapat dega tuggal perluasa dari f ke sebuah fugsioal liear kotiu pada H dega batas yag sama. 21
22 (c Tujukka bahwa bola satua di dalam suatu ruag Hilbert berdimesi tak higga memuat tak higga bayakya traslasi yag salig asig dari sebuah bola dega jari-jari (i Diberika ruag Hilbert H da A : H H operator adjoi-diri sehigga (Ax, x = 0 utuk setiap x H. Buktika A = 0. (ii Berika sebuah matriks tak ol M M 2 (R sehigga (Ax, x = 0 utuk setiap x R 2. (iii Diberika ruag Hilbert H atas R. Buktika ketiga peryataa berikut ekuivale: (a Utuk setiap T L(H dega sifat (Tx, x = 0 utuk setiap x H berlaku T = 0 (b dim R (H = 1 (c Topologi koveks lokal pada L(H yag dibagu oleh keluarga semiorma (p x x H adalah Hausdorff, dega p x (T := (Tx, x. Sifat ii memberika karakterisasi ruag Hilbert real berdimesi satu. 8. (a Diberika k L 2 ([0, 1] 2 da T k : L 2 [0, 1] L 2 [0, 1] adalah operator itegral dega defiisi (T k (s := 1 0 k(s, tx(t dt. Tetuka kodisi pada kerel k sehigga operator T k ormal. (b Diberika ruag Hilbert H atas lapaga C da operator T L(H adjoi-diri. Buktika bahwa operator T + iid da T iid bijektif da mempuyai ivers yag kotiu. Lebih jauh, tujukka bahwa trasformasi Cayley dega defiisi merupaka operator uiter. C T := (T + iid(t iid 1 9. Nilai karakteristik dari sebuah operator T adalah bilaga kompleks λ sehigga T λid mempuyai kerel tak trivial. Jika λ adalah sebuah ilai karakteristik dari operator T maka setiap peyelesaia tak trivial dari persamaa Tx = λx disebut vektor karakteristik dari T yag berkorespodesi dega ilai karakteristik λ. Apabila diberika ruag Hilbert H da sebuah operator adjoi-diri T L(H, buktika (i Semua ilai karakteristik dari T berilai real. (ii Setiap dua vektor karakteristik dari T yag berkorespodesi dega ilai karakteristik yag berbeda bersifat ortogoal. (iii Betuk kuadratik x (Tx, x berilai real. 10. Buktika Teorema
23 Daftar Pustaka [1] Alt, Has Wilhelm. Lieare Fuktioalaalysis, 5., überarb. Auflage. Berli, Heidelberg: Spriger, [2] Reed, Mike, ad Simo, Barry. Methods of Moder Mathematical Physics. I. Fuctioal Aalysis. New York: Academic Press, [3] Werer, Dirk. Fuktioalaalysis, 6., korrigierte Auflage. Berli, Heidelberg: Spriger, David Hilbert was old ad partly deaf i the ietee thirties. Yet beig a diliget ma, he still atteded semiars, usually accompaied by his assistat Richard Courat. Oe day a visitor was talkig o his ew fidigs i liear operators o Hilbert spaces. The professor was puzzled first. Soo he grew impatiet ad fially tured to Courat. "Richard, what is a Hilbert space?" he asked loudly. 23
LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam. pembahasan penelitian. 2.
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa kosep dasar (pegertia) yag aka diguaka dalam pembahasa peelitia 2.1 Ruag Vektor Defiisi 3.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. 2.1 Ruang Vektor. Definisi (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif dan (F,,. ) lapangan dengan elemen identitas
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruag Vektor Defiisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007) Diketahui (V, +) grup komutatif da (F,,. ) lapaga dega eleme idetitas 1. V disebut ruag vektor (vector space) atas F jika ada operasi
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
Lebih terperinciPERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
Lebih terperinci,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Lebih terperinciBAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada
8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 5. DERET
Pertemua 7. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuaku Tambusai Bagkiag 5. da kekovergeaya 5. DERET Diberika sebuah barisa a, dapat didefeisika barisa bilaga real S N dega S N := N a = a + a 2 +...
Lebih terperinciPEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati
Jural Matematika Muri da Terapa εpsilo Vol. 07, No.01, (2013), Hal. 33 44 PEMBUKTIAN SIFAT RUANG BANACH PADA B 1/4 (K) Malahayati Program Studi Matematika Fakultas Sais da Tekologi UIN Sua Kalijaga Yogyakarta
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciBab 2. Sistem Bilangan Real Aksioma Bilangan Real Misalkan adalah himpunan bilangan real, P himpunan bilangan positif dan fungsi + dan.
Bab Sistem Bilaga Real.. Aksioma Bilaga Real Misalka adalah himpua bilaga real, P himpua bilaga positif da fugsi + da. dari ke da asumsika memeuhi aksioma-aksioma berikut: Aksioma Lapaga Utuk semua bilaga
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciMariatul Kiftiah. JurusanMatematika FMIPA Universitas Tanjungpura, Pontianak Jl. A Yani Pontianak ABSTRACT
Prosidig Semirata2015 bidag MIPA BKS-PTN Barat Uiversitas Tajugpura Potiaak EKSISTENSI DAN KETUNGGALAN TITIK TETAP DARI PEMETAAN KANNAN DI RUANG MODULAR (THE EXISTENCE AND UNIQUENESS OF A FIXED POINT FOR
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi
Lebih terperinciTUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.
TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa
Lebih terperinciKEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG
KEKONVERGENAN BARISAN DI DALAM RUANG FUNGSI KONTINU C[a, b] Firdaus Ubaidillah 1, Soepara Darmawijaya, Ch. Rii Idrati 1 Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Gadjah Mada Yogyakarta e-mail: irdaus_u@yahoo.com
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciHALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinciHomomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus
Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
Lebih terperinciHendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Lebih terperinciDistribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua
Lebih terperinciHendra Gunawan. 14 Februari 2014
MA20 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 203/204 4 Februari 204 Sasara Kuliah Hari Ii 9. Barisa Tak Terhigga Memeriksa kekovergea suatu barisa da, bila mugki, meghitug limitya 9.2 Deret Tak Terhigga
Lebih terperinci1 Persamaan rekursif linier non homogen koefisien konstan tingkat satu
Secara umum persamaa rekursif liier tigkat-k bisa dituliska dalam betuk: dega C 0 0. C 0 x + C 1 x 1 + C 2 x 2 + + C k x k = b, Jika b = 0 maka persamaa rekursif tersebut diamaka persamaa rekursif liier
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas
Lebih terperinciTEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL
Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Struktur alabar adalah suatu himpua yag di dalamya didefiisika suatu operasi bier yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu. Gelaggag ( Rig ) merupaka suatu struktur
Lebih terperinciANALISIS RIIL I. Disusun oleh Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.
ANALISIS RIIL I Disusu oleh Bambag Hedriya Guswato, S.Si., M.Si. Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si. PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS SAINS DAN TEKNIK UNIVERSITAS
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.
BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha
Lebih terperinciANALISIS REAL I PENGANTAR. (Introduction to Real Analysis I) M. Zaki Riyanto, S.Si DIKTAT KULIAH ANALISIS
DIKTAT KULIAH ANALISIS PENGANTAR ANALISIS REAL I (Itroductio to Real Aalysis I) M Zaki Riyato, SSi e-mail: zaki@mailugmacid http://zakimathwebid COPYRIGHT 008-009 Pegatar Aalisis Real I HALAMAN PERSEMBAHAN
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR. Dosen Pengampu : Darmadi, S.Si, M.Pd
MAKALAH ALJABAR LINEAR SUB RUANG VEKTOR Dose Pegampu : Darmadi, S.Si, M.Pd Disusu : Kelas 5A / Kelompok 5 : Dia Dwi Rahayu (084. 06) Hefetamala (084. 4) Khoiril Haafi (084. 70) Liaatul Nihayah (084. 74)
Lebih terperinciB a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Lebih terperinciBARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi
Lebih terperinciPEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2
J. Math. ad Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 3, No. 2, Nopember 206, -0 PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG b-metrik CONE R BERNILAI R 2 Suarsii, Mahmud Yuus 2, Sadjido 3, Auda Nuril Z 4,2,3,4 Jurusa Matematika,
Lebih terperinciInfinityJurnal Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwangi Bandung, Vol 2, No.1, Februari 2013
IfiityJural Ilmiah Program Studi Matematika STKIP Siliwagi Badug, Vol 2, No.1, Februari 2013 KEKONTINUAN FUNGSI PADA RUANG METRIK Oleh: Cece Kustiawa Jurusa Pedidika Matematika FPMIPA UPI, cecekustiawa@yahoo.com
Lebih terperinciFOURIER Juni 2014, Vol. 3, No. 1, TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI
FOURIER Jui 04, Vol. 3, No., 4 6 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG QUASI METRIK TERASING TANPA MENGGUNAKAN SIFAT KEKONTINUAN FUNGSI Malahayati, Mutia Utami, Program Studi Matematika Fakultas Sais da tekologi
Lebih terperinciSetelah mempelajari modul ini Anda diharapkan dapat: a. memeriksa apakah suatu pemetaan merupakan operasi;
Modul 1 Operasi Dr. Ahmad Muchlis B PENDAHULUAN erapakah 97531 86042? Kalau Ada megguaka kalkulator, jawabaya amat bergatug pada tipe kalkulator yag Ada pakai. 9 Kalkulator ilmiah Casio fx-250 memberika
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciKalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)
3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT
Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinciSEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY
JMP : Volume 3 Nomor 1, Jui 2011 SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY Ari Wardayai da Suroto Prodi Matematika, Jurusa MIPA, Fakultas Sais da Tekik Uiversitas Jederal Soedirma (email
Lebih terperinciRUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK
Rahmawati Y. Ruag Metrik dega Sifat RUANG METRIK DENGAN SIFAT BOLA TERTUTUPNYA KOMPAK RAHMAWATI YULIYANI rahmawatiyuliyai @yahoo.co.id 08561299991 Program studi Tekik Iformatika, Fakultas Tekik, Matematika,
Lebih terperinciKETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL
KETERKAITAN ANTARA MODUL BEBAS DENGAN MODUL DILIHAT DARI SIFAT-SIFAT HOMOMORFISME MODUL Khusul Afifa 1, Abdussakir 2 1 Mahasiswa Jurusa Matematika UIN Maulaa Malik Ibrahim Malag 2 Dose Jurusa Matematika
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT
Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI
Lebih terperinciBAB VI BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BAB VI BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { },,,,, adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila,,,..,
Lebih terperinciANALISIS REAL I. Disusun Oleh : La Ode Muhammad Agush Salam. Dipergunakan untuk Mahasiswa S1 Prog. Studi Pend. Matematika Jurusan PMIPA
Had Out MATA KULIAH ANALISIS REAL I Disusu Oleh : La Ode Muhammad Agush Salam Diperguaka utuk Mahasiswa S Prog. Studi Ped. Matematika Jurusa PMIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALUOLEO
Lebih terperinciPendiferensialan. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Pediferesiala Prof R Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii dibahas fugsi berilai real yag didefiisika pada suatu iterval Defiisi derivatif suatu fugsi dimulai dega derivatif di suatu titik, kemudia
Lebih terperinciDasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai :
Defiisi Trasformasi Laplace Trasformasi Laplace Bilateral Trasformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari siyal berilai riil x(t) didefiisika sebagai : X B x(t)e Operasi trasformasi Laplace bilateral
Lebih terperinciBab IV. Penderetan Fungsi Kompleks
Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara
Lebih terperinciSistem Bilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Sistem Bilaga Real Prof. R. Soematri D PENDAHULUAN alam modul ii aka dibahas sifat-sifat pokok bilaga real. Meskipu pembaca sudah akrab bear dega bilaga real amu modul ii aka membahasya lebih cermat
Lebih terperinciFungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,
Lebih terperinciStatistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram
Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T
Lebih terperinciKALKULUS 4. Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN
KALKULUS Dra. D. L. Crispia Pardede DEA. SARMAG TEKNIK MESIN KALKULUS - SILABUS. Deret Fourier.. Fugsi Periodik.2. Fugsi Geap da Gajil.3. Deret Trigoometri.. Betuk umum Deret Fourier.. Kodisi Dirichlet.6.
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciANALISIS REAL I DAN II
Catata Selama Kuliah ANALISIS REAL I DAN II Sebuah terjemaha dari sebagia buku Itroductios to Real Aalysis karaga Robert G. Bartle Drs. Jafar., M.Si Prited by: Abu Musa Al Khwarizmi KOMUNITAS STUDI AL
Lebih terperinciSupriyadi Wibowo Jurusan Matematika F MIPA UNS
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA akultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 29 HUBUNGAN ANTARA ORDER DERIVATI- DARI UNGSI f : DENGAN DIMENSI-γ DARI HIMPUNAN RAKTAL Supriyadi
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN
Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. , membentuk struktur ring terhadap operasi penjumlahan matriks dan operasi pergandaan matriks baku. Himpunan bagian dari
BB I PENDHULUN. Latar Belakag Masalah Struktur rig (gelaggag) R adalah suatu himpua R yag kepadaya didefiisika dua operasi bier yag disebut pejumlaha da pergadaa yag memeuhi aksioma-aksioma tertetu, yaitu:
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
Lebih terperinciBAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA
BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL
SIFAT-SIFAT SEMIGRUP SIMETRIS INTERVAL Riza Febri Yusma Sri Gemawati Asli Sirait *riza_febri@yahoo.com Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiveritas
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya
5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber
Lebih terperinciREPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA
Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS. Abstrak
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA
Lebih terperinciISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25
head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperinciJurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 1-13 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D
Jural Mateatika Muri da Terapa Vol 4 No Deseber : - 3 TEOREMA TITIK TETAP BANACH PADA RUANG METRIK-D Muhaad Ahsar Kari, Dewi Sri Susati, da Nurul Huda Progra Studi Mateatika Uiversitas Labug Magkurat Jl
Lebih terperinciSolusi Soal OSN 2012 Matematika SMA/MA Hari Pertama
Solusi Soal OSN Matematika SMA/MA Hari Pertama Soal 1. Buktika bahwa utuk sebarag bilaga asli a da b, bilaga adalah bilaga bulat geap tak egatif. = F P B (a, b) + KP K (a, b) a b Solusi. Pertama aka dibuktika
Lebih terperinciEMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NILAI INTEGRAL POISSON., Sri Gemawati 2, Agusni 2. Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2
EMPAT CARA UNTUK MENENTUKAN NLA NTEGRAL POSSON Novrialma *, Sri Gemawati, Agusi Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika da lmu Pegetahua Alam Uiversitas Riau Kampus
Lebih terperinciBAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah
Lebih terperincioleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat
Lebih terperinci) didefinisikan sebagai persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk: a x a x a x b... b adalah suatu urutan bilangan dari bilangan s1, s2,...
SISEM PERSAMAAN LINIER DAN MARIKS. SISEM PERSAMAAN LINIER Secara umum, persamaa liier dega variabel ( x, x,..., x ) didefiisika sebagai persamaa yag dapat diyataka dalam betuk: a x a x a x b... dega a,
Lebih terperinci4 HASIL DAN PEMBAHASAN
7 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Studi Pedahulua Salah satu bahasa dalam aljabar liier yag merupaka kuci petig dalam latis adalah proses ortogoalisasi Gram-Schmidt. Proses ii aka mejadi ide utama dalam pembetuka
Lebih terperinciSolved Problems (taken from tutorials)
Lampira Kumpula Soal soal Tutorial da PR Aalisis Real Solved Problems (take from tutorials). Apakah f = { x = y } suatu fugsi? Jawab: Utuk meujukka bahwa f suatu fugsi, maka perlu diigat kembali
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 31-41, April 2004, ISSN :
Vol. 7. No. 1, 31-41, April 24, ISSN : 141-8518 Peetua Kestabila Sistem Kotrol Lup Tertutup Waktu Kotiu dega Metode Trasformasi ke Betuk Kaoik Terkotrol Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak
Lebih terperinciSemigrup Matriks Admitting Struktur Ring
Semigrup Matriks dmittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIP, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com bstrak Diberika adalah rig komutatif dega eleme satua da adalah
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuha Betuk ugsi pertumbuha satu jeis spesies pada umumya megguaka otasi ugsi aalitik yag diyataka dalam satu persamaa. Secara umum ugsi pertumbuha meyataka hubuga
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
Lebih terperinciIII BAB BARISAN DAN DERET. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB III BARISAN DAN DERET Tujua Pembelajara Setelah mempelajari materi bab ii, Ada diharapka dapat:. meetuka suku ke- barisa da jumlah suku deret aritmetika da geometri,. meracag model matematika dari
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ii aka dituliska beberapa aspek teoritis berupa defiisi, teorema da sifat-sifat yag berhubuga dega aljabar liear, struktur aljabar da teori kodig yag diguaka sebagai
Lebih terperinciBAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga
BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya
Lebih terperinciREGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan
REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k
Lebih terperinciTEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Riesz Frechet Representation Theorem in Hilbert Space)
Jural Barekeg Vol. 5 No. Hal. 8 (0) TEOREMA REPRESENTASI RIESZ FRECHET PADA RUANG HILBERT (Ries Frechet Represetatio Theorem i Hilbert Space) MOZART W TALAKUA, STENLY JONDRY NANURU Staf Jurusa Matematika
Lebih terperinciGambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i
INTEGAL LIPAT. Itegral Lipat Dua dalam Koordiat Kartesius Pada bagia ii, dipelajari itegral lipat dua dalam. Misalka diketahui dua iterval tertutup [a, b] da [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua iterval
Lebih terperinciBeberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Integral Admitting Struktur Ring 1
Beberapa Sifat Semigrup Matriks Atas Daerah Itegral Admittig Struktur ig K a r y a t i Jurusa Pedidika Matematika FMIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta Email: yatiuy@yahoo.com Abstrak Diberika adalah daerah
Lebih terperinci