Pengintegralan Fungsi Rasional

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Pengintegralan Fungsi Rasional"

Transkripsi

1 Pengintegralan Fungsi Rasional Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember 25 Maret 2014

2 Pengintegralan Fungsi Rasional 1 Pengintegralan Fungsi Rasional 2

3 Pengintegralan Fungsi Rasional 1 Pengintegralan Fungsi Rasional 2

4 Pengintegralan Fungsi Rasional Fungsi Rasional (FR) merupakan hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). 1 Derajat pembilang kurang dari derajat penyebut (FR Sejati). f (x) = 2 (x + 1) 3 g(x) = 2x + 2 x 2 4x Derajat pembilang lebih dari derajat penyebut (FR Tidak Sejati). h(x) = x 5 + 2x 3 x + 1 x 3 + 5x

5 Pengintegralan Fungsi Rasional Fungsi Rasional (FR) merupakan hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). 1 Derajat pembilang kurang dari derajat penyebut (FR Sejati). f (x) = 2 (x + 1) 3 g(x) = 2x + 2 x 2 4x Derajat pembilang lebih dari derajat penyebut (FR Tidak Sejati). h(x) = x 5 + 2x 3 x + 1 x 3 + 5x

6 Pengintegralan Fungsi Rasional Fungsi Rasional (FR) merupakan hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). 1 Derajat pembilang kurang dari derajat penyebut (FR Sejati). f (x) = 2 (x + 1) 3 g(x) = 2x + 2 x 2 4x Derajat pembilang lebih dari derajat penyebut (FR Tidak Sejati). h(x) = x 5 + 2x 3 x + 1 x 3 + 5x

7 Pengintegralan Fungsi Rasional FR Tidak Sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah fungsi suku banyak dan FR sejati. h(x) = x 5 + 2x 3 x + 1 x 3 + 5x = x x + 1 x 3 + 5x

8 Pengintegralan Fungsi Rasional Tentukan 2 (x + 1) 3 dx = 2 (x + 1) 3 (x + 1) 2 d(x + 1) = 2 + C = 1 2 (x + 1) 2 + C Tentukan 2x + 2 x 2 4x + 8 dx Misal u = x 2 4x + 8; du = 2x 4

9 Pengintegralan Fungsi Rasional Tentukan 2 (x + 1) 3 dx = 2 (x + 1) 3 (x + 1) 2 d(x + 1) = 2 + C = 1 2 (x + 1) 2 + C Tentukan 2x + 2 x 2 4x + 8 dx Misal u = x 2 4x + 8; du = 2x 4

10 Pengintegralan Fungsi Rasional Tentukan 2 (x + 1) 3 dx = 2 (x + 1) 3 (x + 1) 2 d(x + 1) = 2 + C = 1 2 (x + 1) 2 + C Tentukan 2x + 2 x 2 4x + 8 dx Misal u = x 2 4x + 8; du = 2x 4

11 Pengintegralan Fungsi Rasional catatan: = 2x 4 x 2 4x + 8 dx + = ln x 2 4x C x 2 4x dx = 6 x 2 4x + 8 dx 1 x 2 4x dx 1 (x 2) 2 d(x 2) + 4 ( x 2 2x + 2 x 2 4x + 8 dx = ln x 2 4x tan 1 du a 2 + u 2 = 1 ( u ) a tan 1 + C = 1 ( x 2 a 2 tan ) + K ) + C

12 2 x (x + 1) + 3(x 1) = x + 1 (x 1)(x + 1) = 5x 1 (x 1)(x + 1) = 5x 1 x 2 1 Untuk keperluan yang kita pelajari adalah mengerjakan sebaliknya Contoh Jabarkan 3x 1, kemudian tentukan integralnya! x 2 x 6 3x 1 (x + 2)(x 3) = A x B x 3

13 2 x (x + 1) + 3(x 1) = x + 1 (x 1)(x + 1) = 5x 1 (x 1)(x + 1) = 5x 1 x 2 1 Untuk keperluan yang kita pelajari adalah mengerjakan sebaliknya Contoh Jabarkan 3x 1, kemudian tentukan integralnya! x 2 x 6 3x 1 (x + 2)(x 3) = A x B x 3

14 Penjabarannya 3x 1 = A(x 3) + B(x + 2) 3x 1 = Ax 3A + Bx + 2B 3x 1 = (A + B)x + ( 3A + 2B) A + B = 3 A = B + 3 3A + 2B = 1 3( B + 3) + 2B = 1 B = 8 5 ; A = = 7 5 3x 1 (x + 2)(x 3) = 7/5 x /5 x 3

15 Faktor Linear Berlainan Integralnya = = 3x 1 x 2 x 6 dx 3x 1 (x + 2)(x 3) dx 7/5 x + 2 dx + 8/5 x 3 dx = 7 5 ln x ln x 3 + C 5

16 Faktor Linear Berbeda Tentukan Jawab 5x + 3 (x 3 2x 2 3x) dx 5x + 3 (x 3 2x 2 3x) = 5x + 3 x(x + 1)(x 3) = A x + B x x + 3 = A(x + 1)(x 3) + Bx(x 3) + Cx(x + 1) C x 3 substitusikan x = 0; x = 1; x = 3 3 = A( 3) A = 1 2 = B(4) B = = C(12) C = 3 2

17 Faktor Linear Berbeda Tentukan Jawab 5x + 3 (x 3 2x 2 3x) dx 5x + 3 (x 3 2x 2 3x) = 5x + 3 x(x + 1)(x 3) = A x + B x x + 3 = A(x + 1)(x 3) + Bx(x 3) + Cx(x + 1) C x 3 substitusikan x = 0; x = 1; x = 3 3 = A( 3) A = 1 2 = B(4) B = = C(12) C = 3 2

18 Faktor Linear Berbeda 5x + 3 x 3 2x 2 3x dx 1 = x dx x + 1 dx x 3 = ln x 1 2 ln x ln x 3 +C 2

19 Faktor Linear Berulang Tentukan Jawab Penjabarannya x (x 3) 2 dx substitusi : x = 3; x = 0 3 = B 0 = A( 3) + B A = 1 x (x 3) 2 = A x 3 + B (x 3) 2 x = A(x 3) + B

20 Faktor Linear Berulang Tentukan Jawab Penjabarannya x (x 3) 2 dx substitusi : x = 3; x = 0 3 = B 0 = A( 3) + B A = 1 x (x 3) 2 = A x 3 + B (x 3) 2 x = A(x 3) + B

21 Faktor Linear Berulang Integralnya x (x 3) 2 dx = 1 x 3 dx (x 3) 2 dx = ln x 3 3 x 3 + C

22 Faktor Linear Berbeda dan Berulang Tentukan 3x 2 8x + 13 (x + 3)(x 1) 2 dx Jawab Penjabarannya 3x 2 8x + 13 (x + 3)(x 1) 2 = A x B (x 1) + C (x 1) 2 3x 2 8x + 13 = A(x 1) 2 + B(x 1)(x + 3) + C(x + 3)

23 Faktor Linear Berbeda dan Berulang Tentukan 3x 2 8x + 13 (x + 3)(x 1) 2 dx Jawab Penjabarannya 3x 2 8x + 13 (x + 3)(x 1) 2 = A x B (x 1) + C (x 1) 2 3x 2 8x + 13 = A(x 1) 2 + B(x 1)(x + 3) + C(x + 3)

24 Faktor Linear Berbeda dan Berulang Substitusikan : x = 1; x = 3; x = 0 8 = C(4) C = 2 64 = A(16) A = 4 13 = A + B( 3) + C(3) 13 = 4 + B( 3) + 6 B = 1 3x 2 8x + 13 (x + 3)(x 1) 2 dx = 4 dx x + 3 dx x = 4 ln x + 3 ln x 1 2 x 1 + C dx (x 1) 2

25 Faktor Linear Berbeda dan Berulang Substitusikan : x = 1; x = 3; x = 0 8 = C(4) C = 2 64 = A(16) A = 4 13 = A + B( 3) + C(3) 13 = 4 + B( 3) + 6 B = 1 3x 2 8x + 13 (x + 3)(x 1) 2 dx = 4 dx x + 3 dx x = 4 ln x + 3 ln x 1 2 x 1 + C dx (x 1) 2

26 Faktor Kuadrat yang Berbeda Tentukan 6x 2 3x + 1 (4x + 1)(x 2 + 1) dx Jawab Penjabarannya 6x 2 3x + 1 (4x + 1)(x 2 + 1) = A 4x Bx + C (x 2 + 1) 6x 2 3x + 1 = A(x 2 + 1) + (Bx + C)(4x + 1)

27 Faktor Kuadrat yang Berbeda Tentukan 6x 2 3x + 1 (4x + 1)(x 2 + 1) dx Jawab Penjabarannya 6x 2 3x + 1 (4x + 1)(x 2 + 1) = A 4x Bx + C (x 2 + 1) 6x 2 3x + 1 = A(x 2 + 1) + (Bx + C)(4x + 1)

28 Faktor Kuadrat yang Berbeda Substitusikan : x = 1 4 ; x = 0; x = = A( 17 6 ) A = 2 1 = 2 + C C = 1 4 = 4 + (B 1)(5) B = 1 6x 2 3x + 1 (4x + 1)(x 2 + 1) dx = 2 x 1 4x + 1 dx + x dx

29 Faktor Kuadrat yang Berbeda Substitusikan : x = 1 4 ; x = 0; x = = A( 17 6 ) A = 2 1 = 2 + C C = 1 4 = 4 + (B 1)(5) B = 1 6x 2 3x + 1 (4x + 1)(x 2 + 1) dx = 2 x 1 4x + 1 dx + x dx

30 Faktor Kuadrat yang Berbeda 6x 2 3x + 1 (4x + 1)(x 2 + 1) dx = 1 2 4dx 4x xdx x dx x = 1 2 ln 4x ln x tan 1 x + C du a 2 + u 2 = 1 a tan 1 ( u a ) + C

31 Faktor Kuadrat yang Berbeda 6x 2 3x + 1 (4x + 1)(x 2 + 1) dx = 1 2 4dx 4x xdx x dx x = 1 2 ln 4x ln x tan 1 x + C du a 2 + u 2 = 1 a tan 1 ( u a ) + C

32 Faktor Kuadrat Berulang Tentukan 6x 2 15x + 22 (x + 3)(x 2 + 2) 2 dx Jawab Penjabarannya 6x 2 15x + 22 (x + 3)(x 2 + 2) 2 = A x Bx + C x Dx + E (x 2 + 2) 2 6x 2 15x + 22 = A(x 2 + 2) 2 + (Bx + C)(x + 3)(x 2 + 2)+ (Dx + E)(x + 3)

33 Faktor Kuadrat Berulang Tentukan 6x 2 15x + 22 (x + 3)(x 2 + 2) 2 dx Jawab Penjabarannya 6x 2 15x + 22 (x + 3)(x 2 + 2) 2 = A x Bx + C x Dx + E (x 2 + 2) 2 6x 2 15x + 22 = A(x 2 + 2) 2 + (Bx + C)(x + 3)(x 2 + 2)+ (Dx + E)(x + 3)

34 Faktor Kuadrat Berulang substitusikan : x = 3; x = 0; x = 1; x = 2; x = 3 x = = A(121) A = 1 x = 0 22 = A(4) + C(6) + E(3) 18 = C(6) + E(3) E = 6 C(2) x = 1 13 = A(9) + B(12) + C(12) + D(4) + E(4) 4 = B(12) + C(12) + D(4) + E(4)...(1) x = 2 16 = A(36) + B(60) + C(30) + D(10) + E(5) 20 = B(60) + C(30) + D(10) + E(5)...(2) x = 3 31 = A(121) + B(198) + C(66) + D(18) + E(6) 90 = B(198) + C(66) + D(18) + E(6)...(3)

35 Faktor Kuadrat Berulang E = 6 + C(2)...(4) 1 = B(3) + C(3) + D + E 5 = B(3) + C + D...(5) 4 = B(12) + C(6) + D(2) + E 10 = B(12) + C(4) + D(2) 5 = B(6) + C(2) + D...(6) 15 = B(33)+C11)+D(3)+E 21 = B(33)+C(9)+D(3) 7 = B(11) + C(3) + D...(7) (5) dan (7) 5 = B(3) + C + D 7 = B(11) + C(3) + D 2 = B( 8) + C( 2)...(8)

36 Faktor Kuadrat Berulang E = 6 + C(2)...(4) 1 = B(3) + C(3) + D + E 5 = B(3) + C + D...(5) 4 = B(12) + C(6) + D(2) + E 10 = B(12) + C(4) + D(2) 5 = B(6) + C(2) + D...(6) 15 = B(33)+C11)+D(3)+E 21 = B(33)+C(9)+D(3) 7 = B(11) + C(3) + D...(7) (5) dan (7) 5 = B(3) + C + D 7 = B(11) + C(3) + D 2 = B( 8) + C( 2)...(8)

37 Faktor Kuadrat Berulang (6) dan (7) 5 = B(6) + C(2) + D 7 = B(11) + C(3) + D 2 = B( 8) + C( 2)...(9) (8) dan (9) 1 = B( 4) + C( 1) 2 = B( 5) + C( 1) B = 1 substitusi ke: (5), (6) dan (7) 2 = C + D...(10) 1 = C(2) + D...(11) 4 = C(3) + D...(12)

38 Faktor Kuadrat Berulang (6) dan (7) 5 = B(6) + C(2) + D 7 = B(11) + C(3) + D 2 = B( 8) + C( 2)...(9) (8) dan (9) 1 = B( 4) + C( 1) 2 = B( 5) + C( 1) B = 1 substitusi ke: (5), (6) dan (7) 2 = C + D...(10) 1 = C(2) + D...(11) 4 = C(3) + D...(12)

39 Faktor Kuadrat Berulang (6) dan (7) 5 = B(6) + C(2) + D 7 = B(11) + C(3) + D 2 = B( 8) + C( 2)...(9) (8) dan (9) 1 = B( 4) + C( 1) 2 = B( 5) + C( 1) B = 1 substitusi ke: (5), (6) dan (7) 2 = C + D...(10) 1 = C(2) + D...(11) 4 = C(3) + D...(12)

40 Faktor Kuadrat Berulang (10) dan (11) 2 = C + D 1 = C(2) + D 3 = C( 1) C = 3 substitusi ke pers (10) 2 = C + D D = 5 substitusi ke pers (4) E = 6 + C( 2) E = 0 sehingga diperoleh : A = 1; B = 1; C = 3; D = 5; E = 0

41 Faktor Kuadrat Berulang (10) dan (11) 2 = C + D 1 = C(2) + D 3 = C( 1) C = 3 substitusi ke pers (10) 2 = C + D D = 5 substitusi ke pers (4) E = 6 + C( 2) E = 0 sehingga diperoleh : A = 1; B = 1; C = 3; D = 5; E = 0

42 Faktor Kuadrat Berulang (10) dan (11) 2 = C + D 1 = C(2) + D 3 = C( 1) C = 3 substitusi ke pers (10) 2 = C + D D = 5 substitusi ke pers (4) E = 6 + C( 2) E = 0 sehingga diperoleh : A = 1; B = 1; C = 3; D = 5; E = 0

43 Faktor Kuadrat Berulang (10) dan (11) 2 = C + D 1 = C(2) + D 3 = C( 1) C = 3 substitusi ke pers (10) 2 = C + D D = 5 substitusi ke pers (4) E = 6 + C( 2) E = 0 sehingga diperoleh : A = 1; B = 1; C = 3; D = 5; E = 0

44 Faktor Kuadrat Berulang = 6x 2 15x + 22 (x + 3)(x 2 + 2) 2 = A x Bx + C x Dx + E (x 2 + 2) 2 6x 2 15x + 22 (x + 3)(x 2 + 2) 2 dx 1 x + 3 = x + 3 dx + x dx + 5x (x 2 + 2) 2 dx dx x x x dx x dx 5 2 2x (x 2 + 2) 2 dx = ln x ln(x 2 + 2) + 3 tan 1 ( x 5 ) (x 2 + 2) + C

45 Faktor Kuadrat Berulang catatan: = 1 a tan 1 ( u a ) + C du a 2 +u 2 Untuk faktor berbentuk (ax + b) k, penjabarannya: A 1 (ax + b) + A 2 (ax + b) 2 + A 3 (ax + b) A k (ax + b) k Untuk faktor berbentuk (ax 2 + bx + c) m, penjabarannya: B 1 x + C 1 (ax 2 + bx + c) + B 2 x + C 2 (ax 2 + bx + c) 2 + B 3 x + C 3 (ax 2 + bx + c) B mx + C m (ax 2 + bx + c) m

46 Pengintegralan Fungsi Rasional Latihan Soal x+3 x 2 9 dx 2x 2 +x 4 x 3 x 2 2x dx 2x 2 +x 8 dx x 3 +4x x 3 8x 2 1 (x+3)(x 2)(x 2 +1) dx x 3 4x (x 2 +1) 2 dx

47 Pengintegralan Fungsi Rasional Latihan Soal x+3 x 2 9 dx 2x 2 +x 4 x 3 x 2 2x dx 2x 2 +x 8 dx x 3 +4x x 3 8x 2 1 (x+3)(x 2)(x 2 +1) dx x 3 4x (x 2 +1) 2 dx

48 Pengintegralan Fungsi Rasional Latihan Soal x+3 x 2 9 dx 2x 2 +x 4 x 3 x 2 2x dx 2x 2 +x 8 dx x 3 +4x x 3 8x 2 1 (x+3)(x 2)(x 2 +1) dx x 3 4x (x 2 +1) 2 dx

49 Pengintegralan Fungsi Rasional Latihan Soal x+3 x 2 9 dx 2x 2 +x 4 x 3 x 2 2x dx 2x 2 +x 8 dx x 3 +4x x 3 8x 2 1 (x+3)(x 2)(x 2 +1) dx x 3 4x (x 2 +1) 2 dx

50 Pengintegralan Fungsi Rasional Latihan Soal x+3 x 2 9 dx 2x 2 +x 4 x 3 x 2 2x dx 2x 2 +x 8 dx x 3 +4x x 3 8x 2 1 (x+3)(x 2)(x 2 +1) dx x 3 4x (x 2 +1) 2 dx

51 Pengintegralan Fungsi Rasional Latihan Soal x+3 x 2 9 dx 2x 2 +x 4 x 3 x 2 2x dx 2x 2 +x 8 dx x 3 +4x x 3 8x 2 1 (x+3)(x 2)(x 2 +1) dx x 3 4x (x 2 +1) 2 dx

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegral MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 7: Teknik Pengintegralan Do maths and you see the world Integral atau Anti-turunan? Integral atau pengintegral adalah salah satu konsep (penting) dalam matematika disamping

Lebih terperinci

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a

SUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 2 Topik Bahasan Pendahuluan 2 Manipulasi Integran 3 Integral Parsial 4 Dekomposisi

Lebih terperinci

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1)

Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Teknik pengintegralan: Integral fungsi pecah rasional (bagian 1) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 07 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 07/02/2017 1 / 8 Pemeran-pemeran

Lebih terperinci

STANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah

STANDAR KOMPETENSI KOMPETENSI DASAR. Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah STANDAR KOMPETENSI Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah KOMPETENSI DASAR Menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah INDIKATOR Menentukan faktor, akar-akar

Lebih terperinci

POLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.

POLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa

Lebih terperinci

TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK PENGINTEGRALAN KALKULUS S- Teknik Industri Outline Integral Parsial Integral Fungsi Trigonometri Substitusi Trigonometri Integral Fungsi Rasional . Integral Parsial Formula Integral Parsial : u

Lebih terperinci

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1

TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Tugas 1 TEOREMA SISA 1. Nilai Sukubanyak Apa yang dimaksud sukubanyak (polinom)? Ingat kembali bentuk linear seperti 2x + 1 atau bentuk kuadrat 2x 2-3x + 5 dan juga bentuk pangkat tiga 2x 3 x 2 + x 7. Bentuk-bentuk

Lebih terperinci

Teknik Pengintegralan

Teknik Pengintegralan Jurusan Matematika 13 Nopember 2012 Review Rumus-rumus Integral yang Dikenal Pada beberapa subbab sebelumnya telah dijelaskan beberapa integral dari fungsi-fungsi tertentu. Berikut ini diberikan sebuah

Lebih terperinci

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL

Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 4 September 2013

Hendra Gunawan. 4 September 2013 MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 4 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Tentukan daerah asal dan daerah nilai fungsi 2 f(x) = 1 x. sudah dijawab 2. Gambar grafik fungsi

Lebih terperinci

Teorema Faktor. Misalkan P (x) suatu polynomial, (x k) merupakan faktor dari P (x) jika dan hanya jika P (k) = 0

Teorema Faktor. Misalkan P (x) suatu polynomial, (x k) merupakan faktor dari P (x) jika dan hanya jika P (k) = 0 Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Teorema ini cukup terkenal dan sangat berguna untuk menyelesaikan soal - soal baik level sekolah maupun soal level olimpiade. Berikut

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IPA/2 Alokasi Waktu: 8 jam Pelajaran (4 Pertemuan) A. Standar Kompetensi Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian

Lebih terperinci

Pecahan Parsial (Partial Fractions)

Pecahan Parsial (Partial Fractions) oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x)

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

SUKU BANYAK. Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut:

SUKU BANYAK. Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut: SUKU BANYAK A. Pengertian Suku Banyak Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut: Dinamakan suku banyak (polinom) dalam yang berderajat dengan bilangan cacah

Lebih terperinci

A. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

A. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Jurnal Materi Umum Persamaan Kuadrat Peta Konsep Fungsi Kuadrat Peta Konsep Daftar Hadir Materi A SoalLatihan PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester A. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Menyelesaikan

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA. 2. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) :

PERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA. 2. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) : PERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA.. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) : Bab 3 PERSAMAAN KUADRAT 1. Bentuk Umum : ax bx c 0, a 0, a, b, c Re al Menyelesaikan persamaan kuadrat

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world

MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis

Lebih terperinci

FUNGSI-FUNGSI INVERS

FUNGSI-FUNGSI INVERS FUNGSI-FUNGSI INVERS Logaritma, Eksponen, Trigonometri Invers Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 202 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 202 / 49 Topik Bahasan Fungsi Satu ke Satu 2

Lebih terperinci

log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) .

log2 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT = = 2 1 = 27 8 = 19 Jawaban : C = = = 2( 15 10) Jawaban : B . 4. log3 1 2 (1) . TRY OUT AKBAR UN SMA 08 PEMBAHASAN SOAL TRY OUT. 9 6 4 8 7 Jawaban : C 4 4 = = = 7 8 4 = 9. 5 + = 0 5 = 0 5 = 5 0 = ( 5 0). log5 5 log8 log6 4 log log4 = log5 5 4 log log log6 log4 =. log5 5. 4. log log

Lebih terperinci

SOLUSI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN 2013/ a 16. definit positif adalah...

SOLUSI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN 2013/ a 16. definit positif adalah... SOLUSI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN /. Nilai a yang menyebabkan fungsi kuadrat f x a x ax a a a a a a Solusi: [Jawaban D] a a a. () D a a a a a

Lebih terperinci

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari

MBS - DTA. Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI. SMK Muhammadiyah 3 Singosari MBS - DTA Sucipto UNTUK KALANGAN SENDIRI SMK Muhammadiyah Singosari SERI : MBS-DTA FUNGSI STANDAR KOMPETENSI Siswa mampu memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan fungsi linear dan fungsi

Lebih terperinci

Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :

Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut : Kumpulan Soal-Soal Diferensial 1. Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2) 4 +(4x-1) 3 adalah... Jawab: misalnya : f (x) = y = (3x-2) 4 misal U = (3x-2) du/dx = 3 dy/dx = n.u n-1. du/dx = 4. (3x-2) 4-1.3

Lebih terperinci

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012

SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2011/2012 SOAL-SOAL dan PEMBAHASAN UN MATEMATIKA SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 0/0. Akar-akar persamaan kuadrat x +ax - 40 adalah p dan q. Jika p - pq + q 8a, maka nilai a... A. -8 B. -4 C. 4 D. 6 E. 8 BAB III Persamaan

Lebih terperinci

Soal dan Pembahasan Tentang Suku Banyak

Soal dan Pembahasan Tentang Suku Banyak Soal dan Pembahasan Tentang Suku Banyak Oleh : Fendi Alfi Fauzi 9 Maret 014 1. Nilai suku banyak untuk f (x) = x 3 x 3x + 5 untuk x = adalah... f ( ) = ( ) 3 ( ) 3 ( ) + 5 = 16 4 + 6 + 5 = 0 + 11 = 9.

Lebih terperinci

BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA

BAB 2 PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA BAB 2 BIASA 2.1. KONSEP DASAR Persamaan Diferensial (PD) Biasa adalah persamaan yang mengandung satu atau beberapa penurunan y (varibel terikat) terhadap x (variabel bebas) yang tidak spesifik dan ditentukan

Lebih terperinci

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar

BAB 5 TEOREMA SISA. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Standar Kompetensi BAB 5 TEOREMA SISA Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar Menggunakan algoritma pembagian sukubanyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa pembagian

Lebih terperinci

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak

BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi

Lebih terperinci

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use

INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use INTISARI KALKULUS Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 010 Pengantar Kalkulus 1 & merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua

Lebih terperinci

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN

TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g() maka f(g())g () d = f(u) du = F(u) + c = F(g()) + c sin. 1.

Lebih terperinci

INTEGRAL TAK TENTU 1

INTEGRAL TAK TENTU 1 INTEGRAL TAK TENTU 1 Rumus umum integral b a f (x) dx F(x) =lambang integral f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan) a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah b = batas atas dx = faktor pengintegral

Lebih terperinci

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia

KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit

Lebih terperinci

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme

Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis

Lebih terperinci

MODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN SEMSTER GENAP

MODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN SEMSTER GENAP MODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN 05 06 SEMSTER GENAP STANDAR KOMPETENSI 4. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. KOMPETENSI DASAR 4. Menggunakan

Lebih terperinci

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d

MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: Bentuk Tak Tentu d MA1201 KALKULUS 2A (Kelas 10) Bab 8: dan Do maths and you see the world ? Pengantar Bentuk tak tentu? Bentuk apa? Bentuk tak tentu yang dimaksud adalah bentuk limit dengan nilai seolah-olah : 0 0 ; ; 0

Lebih terperinci

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear

PERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum

Lebih terperinci

Jakarta,. Guru Mata Pelajaran Memeriksa / Mengetahui Kepala SMP NIP... NIP...

Jakarta,. Guru Mata Pelajaran Memeriksa / Mengetahui Kepala SMP NIP... NIP... Kompetensi Dasar : 2.1 Mengenali bentuk aljabar dan unsur-unsurnya. 2.2 Melakukan operasi pada bentuk aljabar. Indikator : 1. Menentukan variabel, koefisien, konstanta, dan suku sejenis. 2. Menentukan

Lebih terperinci

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih

Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint

Lebih terperinci

JADWAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TAHUN AKADEMIK 2015/2016 PROGRAM STUDI S 1 MANAJEMEN

JADWAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TAHUN AKADEMIK 2015/2016 PROGRAM STUDI S 1 MANAJEMEN HARI/TANGGAL : SENIN, 4 APRIL 2016 WAKTU MATA KULIAH KLS JML RUANG 08.30-10.30 PENGANTAR BISNIS AX 17 B.0605 BX 20 B.0605 PENGANTAR EKONOMI MAKRO AX 48 C.0601 BX 49 CX 30 DX 48 B.0501 B.0503 EX 50 B.0503

Lebih terperinci

Kunci Jawaban Quis 1 (Bab 1,2 dan 3) tipe 1

Kunci Jawaban Quis 1 (Bab 1,2 dan 3) tipe 1 Kunci Jawaban Quis (Bab,2 dan 3) tipe. Tentukan representasi deret Taylor dari f(x) = ln( + x) di sekitar a =. Tuliskan sampai turunan ke 5. Kemudian estimasilah ln(.2) dengan menggunakan deret Taylor

Lebih terperinci

PTE 4109, Agribisnis UB

PTE 4109, Agribisnis UB MATEMATIKA EKONOMI PTE 4109, Agribisnis UB 1 Materi ang dipelajari Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear -Penggal -Simetri - Perpanjangan

Lebih terperinci

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K.

LOGO MAM 4121 KALKULUS 1. Dr. Wuryansari Muharini K. LOGO MAM 4121 KALKULUS 1 Dr. Wuryansari Muharini K. BAB I. PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN REAL, NOTASI SELANG, dan NILAI MUTLAK PERTAKSAMAAN SISTEM KOORDINAT GRAFIK PERSAMAAN SEDERHANA www.themegallery.com

Lebih terperinci

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I

Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):

Lebih terperinci

Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan

Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan Modul 05 Persamaan Linear dan Persamaan Linear Simultan 5.1. Persamaan Linear Persamaan adalah pernyataan kesamaan antara dua ekspresi aljabar yang cocok untuk bilangan nilai variable tertentu atau variable

Lebih terperinci

KETIDAKSAMAAN. A. Pengertian

KETIDAKSAMAAN. A. Pengertian A. Pengertian KETIDAKSAMAAN Ketidaksamaan dinotasikan dengan 1. < (lebih Kecil 2. ( lebih kecil atau sama dengan)) 3. > ( lebih besar) 4. ( lebih besar atau sama dengan) Tanda di atas digunakan untuk membuat

Lebih terperinci

matematika PEMINATAN Kelas X SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT K13 A. Pertidaksamaan Linear B. Daerah Pertidaksamaan Linear

matematika PEMINATAN Kelas X SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT K13 A. Pertidaksamaan Linear B. Daerah Pertidaksamaan Linear K13 Kelas matematika PEMINATAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan

Lebih terperinci

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN/SNMPTN 2008

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SBMPTN/SNMPTN 2008 Soal-Soal dan Pebahasan Mateatika IPA SBMPTN/SNMPTN 008. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f(x) g(x) x - x untuk setiap bilangan real x. Jika g(), f ' () f(), dan g ' () f(), aka g ' () A. C. 0 E.

Lebih terperinci

Kata Pengantar. Cirebon, oktober Penulis

Kata Pengantar. Cirebon, oktober Penulis Kata Pengantar Alhamdulillah, segala puji kita panjatkan kepada Allah SWT atas limpahan Taufiq dan Hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas program komputer ini dengan baik. Tugas ini membahas

Lebih terperinci

Persamaan Di erensial Orde-2

Persamaan Di erensial Orde-2 oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011

Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011 Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.

Lebih terperinci

PREDIKSI UAN MATEMATIKA SESUAI KISI-KISI PEMERINTAH

PREDIKSI UAN MATEMATIKA SESUAI KISI-KISI PEMERINTAH PREDIKSI UAN MATEMATIKA SESUAI KISI-KISI PEMERINTAH. Apabila P dan q kalimat pernyataan, di mana ~p q kalimat bernilai salah, maka kalimat yang benar berikut ini, kecuali (d) p q (~p ~q) (~p ~q) ~ (~p

Lebih terperinci

Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor

Suku Banyak. A. Pengertian Suku Banyak B. Menentukan Nilai Suku Banyak C. Pembagian Suku Banyak D. Teorema Sisa E. Teorema Faktor Bab 5 Sumber: www.in.gr Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi komposisi dalam pemecahan masalah; menggunakan konsep, sifat, dan aturan fungsi invers

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 008/009. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh

Lebih terperinci

Ujian Nasional. Tahun Pelajaran 2010/2011 IPA MATEMATIKA (D10) UTAMA. SMA / MA Program Studi

Ujian Nasional. Tahun Pelajaran 2010/2011 IPA MATEMATIKA (D10) UTAMA. SMA / MA Program Studi Ujian Nasional Tahun Pelajaran 00/0 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D0) c Fendi Alfi Fauzi alfysta@yahoo.com Ujian Nasional Tahun Pelajaran 00/0 (Pelajaran Matematika) Tulisan ini bebas dibaca

Lebih terperinci

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP

INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP A. Soal dan Pembahasan. ( x ) dx... Jawaban : INTEGRAL (ANTI DIFERENSIAL) Tito Adi Dewanto S.TP ( x) dx x dx x C x C x x C. ( x 9) dx... x Jawaban : ( x 9) dx. (x x 9) dx x 9x C x x x. (x )(x + ) dx =.

Lebih terperinci

SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015

SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015 SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 0 Paket Pilihlah jawaban yang paling tepat!. Diberikan premis-premis berikut!. Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kemacetan di ruas jalan

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,

Lebih terperinci

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi

Lebih terperinci

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan

Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2010

Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2010 Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN. Diketahui a dan b adalah dua buah bilangan bulat positif yang memenuhi : Nilai ab (a+b) adalah.. A. 68 C. 68 E. 6 B. 8 D. 9 a b 6 a b 6 b a ab a+b ab 6 6

Lebih terperinci

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I

PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I PENYELESAIAN PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 1 - I 1. Pendahuluan Pengertian Persamaan Diferensial Metoda Penyelesaian -contoh Aplikasi 1 1.1. Pengertian Persamaan Differensial Secara Garis Besar Persamaan

Lebih terperinci

I N T E G R A L (Anti Turunan)

I N T E G R A L (Anti Turunan) I N T E G R A L (Anti Turunan) I. Integral Tak Tentu A. Rumus Integral Bentuk Baku. Derifatif d/ X n = nx n- xn = Integral x n+ n. d/ cos x = - sin x sin x = - cos x. d/ sin x = cos x cos x = sin x 4.

Lebih terperinci

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5.

16. INTEGRAL. A. Integral Tak Tentu 1. dx = x + c 2. a dx = a dx = ax + c. 3. x n dx = + c. cos ax + c. 4. sin ax dx = 1 a. 5. 6. INTEGRAL A. Integral Tak Tentu. dx = x + c. a dx = a dx = ax + c. x n dx = n+ x n+ + c. sin ax dx = a cos ax + c 5. cos ax dx = a sin ax + c 6. sec ax dx = a tan ax + c 7. [ f(x) ± g(x) ] dx = f(x)

Lebih terperinci

fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum,

fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, fungsi rasional adalah rasio dari dua polinomial. Secara umum, Fungsi Rasional Fungsi rasional adalah fungsi yang memiliki bentuk Dengan p dan d merupakan polinomial dan d(x) 0. Domain dari V(x) adalah

Lebih terperinci

MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012

MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012 MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar

Lebih terperinci

PROGRAM STUDI S1. MANAJEMEN

PROGRAM STUDI S1. MANAJEMEN JADWAL UJIAN AKHIR SEMESTER GENAP TAHUN AKADEMIK 2016 / 2017 PROGRAM STUDI S1. MANAJEMEN HARI/TANGGAL : SENIN, 5 JUNI 2017 JURUSAN : MANAJEMEN WAKTU MATA KULIAH KLS JML RUANG 08.30-10.30 Lab. Pengantar

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483

Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483 Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode 8 Oleh Tutur Widodo. Di dalam kotak terdapat bola biru, 6 bola merah dan bola putih. Jika diambil 8 bola tanpa pengembalian,

Lebih terperinci

Notasi turunan. Penggunaan turunan. 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah.

Notasi turunan. Penggunaan turunan. 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. Turunan fungsi adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya misalkan fungsi f menjadi f' TURUNAN Notasi turunan y' atau f'(x) atau dy/dx fungsi naik Penggunaan turunan fungsi turun persamaan garis singgung

Lebih terperinci

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 27 Januari 2017 Bab Sebelumnya 7. Teknik Pengintegralan 7.1 Aturan Dasar Pengintegralan 7.2 Pengintegralan Parsial 7.3 Integral Trigonometrik

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan

Lebih terperinci

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.

Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran. 4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan

Lebih terperinci

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010

TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010 . Perhatikan argumen berikut ini. p q. q r. r ~ s TRY OUT MATEMATIKA PAKET B TAHUN 00 Negasi kesimpulan yang sah dari argumen di atas adalah... A. p ~s B. p s C. p ~s D. p ~s E. p s. Diketahui npersamaan

Lebih terperinci

MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI DAN GRAFIK. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi.

MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI DAN GRAFIK. DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi. MATEMATIKA EKONOMI 1 FUNGSI DAN GRAFIK DOSEN Fitri Yulianti, SP, MSi. Fungsi Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan : 1. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya

Lebih terperinci

Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part)

Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Teknik pengintegralan: Integral parsial (Integral by part) Kalkulus 2 Nanang Susyanto Departemen Matematika FMIPA UGM 06 Februari 2017 NS (FMIPA UGM) Teknik pengintegralan 06/02/2017 1 / 14 Mari mengingat

Lebih terperinci

Aljabar Linear dan Matriks. Semester Pendek TA 2010/2011 S1 Teknik Informatika. Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.

Aljabar Linear dan Matriks. Semester Pendek TA 2010/2011 S1 Teknik Informatika. Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom. 1. Introduction Mata Kuliah: Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2010/2011 S1 Teknik Informatika Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom. Sistem Persamaan Linear Sistem Linear m kali n : suatu himpunan

Lebih terperinci

FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan

FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan

Lebih terperinci

MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq

MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h

Lebih terperinci

Regresi Linier. Metode Numerik POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA

Regresi Linier. Metode Numerik POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA POLITEKNIK ELEKTRONIKA NEGERI SURABAYA DEPARTEMEN TEKNIK INFORMATIKA DAN KOMPUTER PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Regresi Linier Metode Numerik Zulhaydar Fairozal Akbar zfakbar@pens.ac.id 2017 TOPIK Pengenalan

Lebih terperinci

Soal-Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 2010/2011 Program Studi IPA

Soal-Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 2010/2011 Program Studi IPA Soal-Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 010/011 Program Studi IPA 1. Akar-akar persamaan 3x -1x + = 0 adalah α dan β. Persamaan Kuadrat baru yang akar-akarnya (α +) dan (β +)

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial Biasa

Persamaan Diferensial Biasa Persamaan Diferensial Biasa Titik Tetap dan Sistem Linear Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB Oktober 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB Oktober 2012 1 / 31 Titik Tetap SPD Mandiri dan Titik Tetap Tinjau

Lebih terperinci

Solusi: [Jawaban C] Solusi: [Jawaban ]

Solusi: [Jawaban C] Solusi: [Jawaban ] SOLUSI SMA/MA MATEMATIKA Program Studi IPA Kerjasama UNIVERSITAS GUNADARMA dengan Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta, Kota/Kabupaten BODETABEK, Tangerang Selatan, Karawang, Serang, Pandeglang, dan Cilegon

Lebih terperinci

A. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT

A. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT K-13 Kelas X matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem

Lebih terperinci

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009

SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 2008/2009 SOAL DAN PEMBAHASAN UJIAN NASIONAL SMA/MA IPA TAHUN PELAJARAN 8/9. Perhatikan premis premis berikut! - Jika saya giat belajar maka saya bisa meraih juara - Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut

Lebih terperinci

β α α β SOAL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

β α α β SOAL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat 1. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a 1) x + (3a 1) x 3a = 0 adalah 1, maka akar lainnya adalah.... Nilai m yang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m + 1) x +

Lebih terperinci

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir

Jenis Jenis--jenis jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Jenis-jenis fungsi dan fungsi linier Hafidh Munawir Diskripsi Mata Kuliah Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu

Lebih terperinci

Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial TKS 4003 Matematika II Persamaan Diferensial Linier Non Homogen Tk. 2 (Differential: Linier Non Homogen Orde 2) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Solusi umum merupakan jumlah

Lebih terperinci

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.

1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E. 1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik

Lebih terperinci

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Tahun 2012

Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Tahun 2012 Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Tahun 2012 Bidang Matematika Dasar Kode Paket 623 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Jika a dan b adalah bilangan bulat positif yang memenuhi

Lebih terperinci

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS

BEBERAPA FUNGSI KHUSUS BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan

Lebih terperinci

Vol. 1 No. 1 Th. Jan-Des 2016 ISSN:

Vol. 1 No. 1 Th. Jan-Des 2016 ISSN: PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN MODEL BERBALIK (RECIPROCAL TEACHING) UNTUK MENINGKATKAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SISWA Asria Hirda Yanti Mahasiswa Pascasarjana (S-2) UNIB E-mail: asriahirdayanti@gmail.com

Lebih terperinci

AB = c, AC = b dan BC = a, maka PQ =. 1

AB = c, AC = b dan BC = a, maka PQ =. 1 Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 9. Jika a, b, maka pernyataan di bawah ini yang benar adalah A. B. a b ab C. ab b a D. ab ab E. ab ab ab b a karena pada jawaban terdapat ab maka selesaikan

Lebih terperinci

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2009

Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2009 Pembahasan Matematika IPA SIMAK UI 2009 Kode 924 Oleh Kak Mufidah 1. Diketahui fungsi. Agar fungsi tersebut senantiasa berada di bawah sumbu x, maka nilai m yang mungkin adalah Agar fungsi tersebut senantiasa

Lebih terperinci

matematika WAJIB Kelas X SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) K-13 A. Definisi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

matematika WAJIB Kelas X SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) K-13 A. Definisi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel K-13 Kelas X matematika WAJIB SISTEM PERSAMAAN LINEAR TIGA VARIABEL (SPLTV) TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi sistem persamaan

Lebih terperinci

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.

FUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit. FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel

Lebih terperinci

JENIS JENIS FUNGSI 2. Gambar. Jenis Fungsi. mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n

JENIS JENIS FUNGSI 2. Gambar. Jenis Fungsi. mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Telkom University Alamanda JENIS JENIS FUNGSI1 JENIS JENIS FUNGSI 2 Jenis Fungsi Gambar 1. FUNGSI POLINOM mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebas y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n 2.

Lebih terperinci

matematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran

matematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran KTSP & K-3 matematika K e l a s XI GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi garis singgung lingkaran..

Lebih terperinci

LIMIT DAN KEKONTINUAN

LIMIT DAN KEKONTINUAN LIMIT DAN KEKONTINUAN 10.1 PENDAHULUAN Sebelum mambahas it fungsi di suatu titik terlebih dahulu kita akan mengamati perilaku suatu fungsi bila peubahnya mendekati suatu bilangan ril c tertentu. Misal

Lebih terperinci