Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio.

Transkripsi

1 Uji Uji Deret Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015

2 Uji Deret Uji Deret yang mempunyai suku-suku positif menjadi bahasan pada uji integral ini. Uji integral ini menggunakan ide dimana suatu integral didefinisikan melalui bentuk jumlahan. Memang, kedua notasi Σ dan ini mempunyai kaitan yang erat. Teorema Jika a k = f (k) dimana f (x) fungsi positif, kontinu dan turun pada x 1 maka kedua ekspresi berikut a k dan 1 f (x)dx sama-sama konvergen atau sama-sama divergen

3 Bukti Perhatikan ilustrasi grafik berikut ini Uji Figure: Jumlah Atas dan Bawah Luas Persegipanjang

4 Uji Luas persegipanjang pada gambar di atas adalah L1 = A1, L2 = A2,..., LN = A n 1 Luas persegipanjang pada gambar dibawah adalah A1 = a1, A2 = a2,..., AN = an Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f (x) dari x = 1 sampai dengan x = n adalah I n = n 1 f (x)dx Dari ketiga luasan tersebut berlaku hubungan A1 + A2 + A An I n L1 + L2 + L Ln a 2 + a 3 + a a n I n a 1 + a 2 + a 3 + a a n 1

5 Uji Jadi, S n a 1 I n S n a n (1) Misalkan integral 1 f (x)dx < (konvergen), maka berdasarkan persamaan di atas didapatkan dan S = 1 f (x)dx := lim n I n lim n S n a 1 a k := lim n S n 1 f (x)dx + a 1 <

6 Uji Sebaliknya, jika deret a k konvergen maka lim n a n = 0 dan berdasarkan (3.1) diperoleh 1 f (x)dx := lim n I n lim n (S n a n ) = S 0 < Selanjutnya, kedivergenan kedua ekspresi ini juga didasarkan pada ketidaksamaan (3.1) dan dapat dilakukan dengan cara yang sama seperti diatas.

7 Uji Contoh Lakukan uji integral untuk melihat bahwa deret S = 1 k divergen. Penyelesaian Diambil f (x) := 1 x, x 1. Fungsi f (x) kontinu, positif dan turun pada x 1 dan f (k) = 1 k. Selanjutnya, 1 f (x)dx = 1 1 x dx = lnx 1 = ln ln1 = (divergen) Deret S = 1 k disebut Deret Harmonik. Lebih umum, deret harmonik diperumum menjadi Deret-p,

8 Uji Contoh Tentukan harga p agar deret-p berikut S = konvergen. Penyelesaian 1 k p Diambil f (x) = 1 x p, x 1. Fungsi f (x) kontinu, positif, turun pada x 1 dan f (k) = 1 k. Telah diperoleh pada Bab Integral p Tak Wajar bahwa x p dx = p 1, p > 1 divergen, p 1 Oleh karena itu deret S = 1 k p konvergen untuk p > 1

9 Uji Jika diperhatikan pada integral diatas maka Integral dimulai dari x = 1. Dalam kasus batas ini lebih dari 1 maka teorema ini tetap berlaku. Untk kasus ini kita harus menentukan nilai b > 1 sehingga fungsi f (x) positif, kontinu dan turun untuk x > b. Secara sederhana hasil ini dikaitkan pada kenyataan bahwa kekonvergenan suatu deret tidak ditentukan oleh sejumlah berhingga suku-suku awal tapi ditentukan oleh takberhingga banyak suku-suku dibelakangnya.

10 Uji Contoh Ujilah kekonvergenan deret berikut Σ k, dan jika ek/5 konvergen hitunglah jumlahnya secara aproksimasi. Penyelesaian Bila diambil fungsi f (x) = x maka fungsi ini positif dan e x/5 kontinu untuk x > 0. Tetapi sifat turunnya belum dapat dipastikan.

11 Diperhatikan grafiknya pada gambar berikut Uji Figure: Grafik Fungsi f(x)

12 Uji Berdasarkan gambar tersebut, fungsi f (x) = pada awalnya e x/5 naik kemudian turun terus. Untuk memastikan titik dimana fungsi mulai turun, digunakan materi pada kalkulus elementer, f turun jika dan hanya jika f (x) < 0. ( ) 1 f (x) = e x/5 x 5 e x/5 < 0 e x/5 (1 x/5) < 0 x

13 Uji Karena e x/5 0 maka diperoleh harga nolnya, (1 x/5) = 0 x = 5. jadi fungsi f (x) turun untuk x > 5. Selanjutnya, kekonvergenan deret diperiksa dengan menghitung integral tak wajar. 5 xe x/5 dx Dengan menggunakan definisi integral tak wajar, dan teknik integrasi parsial diperoleh

14 Uji 5 T xe x/5 dx = lim xd( 5e x/5 ) T 5 ( = lim 5xe x/5 T 5 T = lim T ( 5xe x/5 25e x/5 ) T 5 5 ) 5e x/5 dx = lim T ( 5Te T /5 25e T /5 + 25e e 1 ) T + 5 = 5 lim + lim 50 T T e = 5 lim T e T / et /5 e = e < Karena integral tak wajat ini konvergen maka disimpulkan deret di atas juga konvergen

15 Uji Uji Deret Uji ada dua macam uji komparasi, yaitu uji komparasi langsung dan uji limit komparasi Ide pada uji ini adalah membandingkan suatu deret dengan deret lain yang konvergen, juga dengan deret lain yang divergen.

16 Uji Uji Deret Uji Misalkan ada dua deret tak berhingga a k dan b k dengan 0 a k b k untuk setiap k N, N suatu bilangan asli. i. Jika deret b k konvergen maka deret a k konvergen ii. Jika deret a k divergen maka deret b k divergen

17 Uji Bukti i. Karena b k konvergen maka b k <. Selanjutnya a k = N 1 a k + a k N 1 a k + b k < (2) yang berarti deret a k konvergen

18 Uji ii. Karena a k divergen dan a k 0 maka a k = sehingga a k = k=n Akhirnya didapat, b k = N 1 b k + N 1 a k a k = (3) b k k=n = N 1 N 1 b k + a k (4) k=n b k + = (5) yang berarti deret b k divergen

19 Uji Untuk menggunakan uji ini dibutuhkan deret lain sebagai pembanding. pekerjaan memilih deret yangtepat yang akan digunakan sebagai bahan perbandingan tidaklah sederhana, sangat bergantung dari pengalaman. Namun dua deret penting yaitu deret p dan deret geometri sering digunakan sebagai deret pembanding. Contoh Ujilah kekonvergenan deret k (k + 2)2 k

20 Uji Penyelesaian a k = k (k + 2)2 k = k k + 2 ( ) 1 k 2 ( ) 1 k 2 ( ) 1 k m Diambil b k =. Diperhatikan bahwa ( ) 1 k 2 2 merupakan deret geometri yang konvergen sebab r = 1/2. jadi, deret k juga konvergen. Dengan menggunakan (k + 2)2k pendekatan numerik diperoleh jumlah deret secara aproksimasi adalah 0,4548 (Silahkan cek)

21 Uji Latihan Gunakan uji integral untuk mengetahui kekonvergenan deret di bawah ini. Bila konvergen, tentukan nilai untuk aproksimasi jumlahnya 1. k=2 2. k=2 1 (2 + 3k) 2. lnk k.

22 Uji Deret Uji Limit Misalkan a k > 0 dan b k > 0 untuk k cukup besar, diambil a k I := lim k b k Jika 0 < L < maka kedua deret a k dan b k sama-sama konvergen atau sama-sama divergen. Untuk melakukan uji ini dalam menguji kekonvergenan deret a k dilakukan prosedur sebagai berikut: 1. Temukan deret b k yang sudah diketahui sifat kekonvergenannya, dan bentuk suku-sukunya b k mirip dengan a k a k 2. Hitunglah limit L = lim k, pastikan nilainya positif. b k 3. Sifat kekonvergenan deret a k akan sama dengan deret b k

23 Uji Dalam kasus dimana L = 0 maka pengujian dengan alat ini dinyatakan gagal, sehingga harus dilakukan dengan uji yang lain. Latihan Lakukan uji komparasi limit untuk mengetahui sifat kekonvergenan deret, nila konvergen, hitunglah jumlahnya secara aproksimasi a. b. 3k + 2 k(3k 5) 1 k k c. 1 2k + 3 d. 1 kk 2

24 Uji Deret Uji Secara intuitif, deret a k dengan suku-suku positif akan konvergen jika kekonvergenan barisan a k ke nol cukup cepat. Bandingkan kedua deret ini 1 k dan 1 k 2 Telah diketahui bahwa deret pertama divergen sedangkan deret kedua konvergen. Faktanya, kekonvergenan barisan 1 k 2 menuju nol lebih cepat dari barisan 1 k. Selain daripada itu, untuk mengukur kecepatan konvergensi ini dapat diperhatikan pola rasio a k+1 /a k untuk k cukup besar. Ide ini merupakan dasar pembentukan uji rasio, seperti pada teorema berikut ini

25 Uji Teorema Diberikan deret a k dengan a k > 0, dan dihitung L = lim k a k+1 a k diperoleh hasil pengujian sebagai berikut: 1 Jika L < 1 maka deret a k konvergen 2 Jika L > 1 atau L = maka deret a k divergen 3 L = 1 maka pengujian gagal (tidak dapat diambil kesimpulan) Contoh Dengan menggunakan uji rasio, ujilah kekonvergenan deret berikut k k k!

26 Uji Penyelesaian Karena a k = kk k! k k L = lim k k! = lim k = lim k = lim k maka diperoleh (k + 1) k+1 (k + 1)! k k k! (k + 1) k k k (k + 1) k+1 k k = lim k (k + 1)! k! (k + 1) k = lim k k k ( k ) k = e 2, 7183

27 Uji Latihan Dengan menggunakan uji rasio, ujilah kekonvergenan deret berikut k 2 2 k

28 Uji Deret Uji Pada bahasan sebelumnya kita dapatkan bahwa lim k a k = 0 belumlah menjamin bahwa deret konvergen, karena dapat saja deret tersebut divergen. Pada uji akar ini akan dilihat kekonvergenan deret melalui suku-suku k a k. Teorema Diberikan deret a k dengan a k 0 dan dihitung L = lim k k ak diperoleh hasil pengujian sebagai berikut: 1 Jika L < 1 maka deret a k konvergen 2 Jika L > 1 atau L = maka deret a k divergen 3 L = 1 maka pengujian gagal (tidak dapat diambil kesimpulan)

29 Uji Latihan Gunakan uji akar untuk mengetahui apakah deret ( ) k 2 k konvergen. Bila konvergen, aproksimasikan jumlahnya.

30 Uji Pemilihan uji merupakan masalah tersendiri yang juga membutuhkan pengalaman agar tepat memilih uji mana yang akan dipakai. Namun, dari beberapa contoh sebelumnya, uji rasio lebih cocok digunakan pada deret yang suku-sukunya memuat eksponen dan faktorial. Sedangkan uji akar lebih cocok untuk deret dengan suku-suku memaut pangkat k.

31 Uji Latihan Gunakan uji rasio atau uji akar untuk mengetahui kekonvergenan deret dibawah ini, jika konvergen hitung nilainya. a. b. c. ) k ( k 3k + 1 ( k 5 ) ( k! 2 k k! )