METODE PRIMAL AFFINE-SKALING UNTUK MASALAH PROGRAM LINEAR

Transkripsi

1 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI EODE PRIL FFINE-SKLING UNUK SLH PROGR LINER Srps Dajua utu emeuh Salah Satu Sarat emperoleh Gelar Sarjaa Sas Program Stud atemata Oleh: jeg Retojwat NI : 343 PROGR SUDI EIK JURUSN EIK FKULS EIK DN ILU PENGEHUN L UNIVERSIS SN DHR YOGYKR 7

2 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

3 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

4 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI HLN PERSEBHN Da apa saja ag amu mta dalam doa dega peuh eperaaa, amu aa meermaa. atus : ermaash uha Yesus Egau batu au melewat satu pergumula lag dalam hdup Kupersembaha ara utu: uha Yesus da Buda ara Bapa, Ibu, as Purwad, as Sugeg, smbah da eluargau v

5 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI v

6 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI BSRK Utu meelesaa masalah program lear, sela dega metode graf atau metode smples dapat juga dselesaa dega metode tt-dalam. Salah satu elas dalam metode tt-dalam adalah metode prmal affe-salg. Utu meetua peelesaa masalah program lear dega metode prmal affesalg dmula dega memlh tt-dalam awal, atu dar suatu daerah laa d ruag peelesaa awal. Kemuda dtrasformas oleh trasformas affesalg, atu sedema sehgga hasl trasformas dpossa deat dega pusat d ruag peelesaa hasl trasformas. Hasl trasformas sebut saja. Lagah selajuta, dar djalaa e tt-dalam la, atu ag meggeraa la f sampa f optmum dapa sesua dega alur teras d, dega adalah arah laa turu teruram steepest d deset ag meebaba la fugs berurag dega epat. Da adalah besara lagah ag meataa seberapa jauh arah tersebut aa meuju e tt optmum ag tetap berada pada daerah laa. Peelesaa ag ddapat d ruag peelesaa tersebut dtrasformasa embal dega trasformas vers, atu. Proses teras dulag hgga peelesaa optmum dapa. v

7 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI BSRC Lear programmg problems ot ol a be solved wth graph method or smple method, but also t a be solved wth teror-pot method. Oe of the lasses of the teror-pot method s prmal affe-salg method. o fd the soluto of lear programmg usg prmal affe-salg method, we should start b seletg the teror-pot soluto, amel from sde feasble rego orgal soluto spae. he, s trasformed wth a affe-salg trasformato, whh s alled, so that the seleted teror-pot soluto s plaed ear the trasformed feasble rego. he mage of alled. he, from we move to aother teror-pot, whh mproves the value of objetve futo f, aordae to the terato d. Here, d s the dreto of steepest deset that auses the fastest rate of derease the objetve futo. Whle s the step-legth whh gves how far the dreto a move to the optmum pot but t stll remas the feasble rego. he soluto, whh s foud the soluto spae, s trasformed ba wth verse trasformato, alled. hs proess wll be repeated utl we obta a optmum soluto wth the desred aura. v

8 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI K PENGNR Puj suur peuls pajata epada uha Yesus atas segala ash da perlduga-na sehgga peulsa srps dapat terselesaa. Srps dsusu dalam raga melegap salah satu sarat utu memperoleh gelar Sarjaa Sas pada Program Stud atemata, Jurusa atemata, Faultas atemata da Ilmu lam, Uverstas Saata Dharma Yogaarta. Peulsa srps tda lepas dar batua da duuga dar berbaga pha. Oleh area tu, pada esempata peuls g meampaa uapa terma ash epada:. Ibu Lusa Krsmat, S.S,.S sebaga dose pembmbg ag peuh perhata da esabara telah membmbg serta member sara da rt epada peuls selama proses peulsa srps.. Bapa Y.G. Hartoo, S.S,.S sebaga dose pembmbg da selau Ketua Program Stud atemata, dose pembmbg aadem da dose peguj ag telah membera duuga, sara da rt dalam srps. 3. Bapa Ir. Ig. rs Dwatmoo,.S selau Dea faultas IP ag telah member duuga dalm peulsa srps. 4. Ibu Herawat, S.S,.S selau dose peguj ag telah membera sara da rt dalam srps. 5. Bapa da Ibu dose d Faultas IP ag telah membmbg da medd peuls selama meutut lmu d Uverstas Saata Dharma. v

9 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 6. Bapa da Ibu arawa Uverstas Saata Dharma, hususa seretarat faultas IP da perpustaaa Uverstas Saata Dharma atas segala batua da fasltas ag telah dbera. 7. Sahabat-sahabatu seperjuaga agata : Ver, Up, Yul, Da, abta, Faa, dre, Idah, rel, ges, Era, Wwt, Deta, ara, Rta, lam, Vrsa, Dael, ed, Ra, prl, rd, serta aa-aa agata 998, 999, da ad-ad agata, 3, 4 ag telah membatu da meduug peuls. 8. Dhe-dhe da eluarga ag telah member duuga, semagat da doaa. 9. e, e, Bau, Helb, Sta, He, Her, ba u da eluarga, mba Nov, ur, R om, tema-tema Glora Graha da teme-teme rado masdha, ag telah member duuga, semagat da doaa.. Semua pha ag telah membatu peuls ba seara lagsug maupu tda lagsug hgga selesaa peulsa srps. Peuls meadar bahwa srps mash baa euragaa. Oleh area tu, peuls meguapa terma ash bla ada rt da sara ag dapat membagu peuls. Peuls berharap semoga srps dapat bermafaat da mejad referes bag pembaa. Yogaarta, 7 Februar 7 Peuls

10 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI DFR ISI Halama HLN JUDUL.... HLN PERSEUJUN PEBIBING... HLN PENGESHN.. HLN PERSEBHN... PERNYN KESLIN KRY... BSRK.... BSRC.... K PENGNR.. DFR ISI.... DFR GBR.. BEL v v v v v BB I PENDHULUN Latar Belaag asalah.. B. Rumusa asalah C. Pembatasa asalah D. ujua Peulsa... 4 E. afaat Peulsa... 4 F. etode Peulsa G. Sstemata Peulsa... 5

11 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI BB II OROGONLIS DN OPIISSI UNUK PERSOLN LINER. 6. Sstem Persamaa Lear Da atrs B. Ruag Vetor.... Ruag Vetor Hasl Kal Dalam Da Ortogoaltas rasformas Lear. 3 C. asalah Program Lear Betu Stadar asalah Program Lear.. 3. Dualtas.. 37 D. Optmsas Fugs Utu Persoala Lear.. 4. Optmsas.. 4. Kelaaa E. etode rah Laa F. etode rah uru eruram Steepest Deset BB III EODE PRIL FFINE-SKLING etode Prmal ffe-salg rasformas ffe-salg eetua rah Laa.. 6 a. Betu asalah Program Lear d Ruag Peelesaa Hasl rasformas. 6 b. eetua rah Laa.. 66

12 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI. Perumusa rah Lagah Dega rah uru eruram eetua Besar Lagah B. lgortma Prmal ffe-salg C. plas etode Prmal ffe-salg Utu eelesaa asalah Program Lear Dega Program atlab BB IV PENUUP Kesmpula B. Sara... DFR PUSK. LPIRN..

13 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI DFR GBR Halama Gambar. etode tt-dalam vs metode smples.. Gambar... 8 Gambar 3. Ide trasformas affe-salg Gambar 3. t-dalam dtrasformasa oleh e poss e Gambar 3.3 Sfat-sfat dar trasformas affe-salg. 59 Gambar 3.4 Daerah laa soal 65 Gambar 3.5 Daerah laa soal B Gambar 3.6 Proes e ruag ol.. 7 Gambar 3.7 Daerah laa sebelum dea trasformas affe salg Gambar 3.8 Daerah laa ag sudah dtrasformas oleh trasformas affe salg.. 95 BEL Halama abel Hasl teras otoh abel Hasl ter5as otoh

14 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI BB I PENDHULUN. LR BELKNG SLH asalah program lear adalah suatu masalah peelesaa sstem persamaa lear. asalah program lear dapat dselesaa dega ara metode graf atau metode smples. Pada metode graf peelesaaa husus derjaa haa utu dua varabel saja, sehgga apabla memuat lebh dar dua varabel aa sult meelesaaa. espu dalam pratea masalah program lear jarag ag haa memuat dua varabel tetap metode graf mempermudaha orag dalam memaham pegerta-pegerta ag tmbul dalam masalah program lear. Utu meelesaa masalah program lear ag memuat dua atau lebh varabel dapat dguaa metode smples. da metode la atu metode tt-dalam ag dapat dguaa utu meelesaa masalah program lear ag memuat dua atau lebh varabel. Perbedaa proses peelesaa atara metode smples da metode ttdalam, atu pada metode smples peelesaa dlaua dega mejau setap tt-tt sudut pada batas dar daerah laa hgga dapa tt optmum. Sedaga pada metode tt-dalam dega mejau tt-tt ag berada dalam daerah laa hgga dapa tt optmum. Sehgga apabla program lear memuat masalah ag omples maa proses peelesaa ag dlaua dega metode tt-dalam dapat lebh epat da efse dbadga dega metode smples. Karea pada metode smples apabla program lear memuat masalah

15 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI ag omples maa program lear tersebut juga aa meml baa tt batas. Sehgga dbutuha proses lebh pajag dbadga dega metode ttdalam utu meapa tt optmum. Sebaga lustras perhata gambar. berut: Lagah-lagah etode Smples Lagah-lagah metode tt-dalam Gambar. etode t-dalam vs etode Smples da dua lagah ag dperlua dar metode tt-dalam, atu a. ear arah laa ag memperba la fugs sasara pada tt ag dtetua dar tap teras. b. eetua besar lagah ag berada pada daerah laa sesua arah laa ag memperba la fugs sasara. etode tt-dalam dbag mejad empat elas utama, atu metode affe-salg affe-salg method, metode proetf projetve method atau lebh deal dega metode Karmarar, metode path-followg path-followg method, da metode potesal-redus potetal-reduto method. Dalam tulsa haa aa dbahas metode affe-salg. etode affe-salg adalah salah satu metode tt-dalam ag palg sederhaa datara

16 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 3 semua metode tt-dalam. Dsebut metode affe-salg area trasformas ag dguaa adalah trasformas affe-salg. etode affe-salg ag aa dguaa dbatas haa utu masalah prmal program lear ag memmuma fugs sasara. Sehgga metode dsebut juga sebaga metode prmal affe-salg. Ide dasar metode prmal affe-salg atu dmula dega memlh suatu tt-dalam awal ddalam daerah laa. Kemuda tt dalam ag dplh dtrasformas oleh trasformas affe-salg sedema sehgga hasl trasformas tt-dalam ag dplh dpossa deat dega pusat d ruag peelesaa hasl trasformas. Hasl trasformas tt-dalam ag dplh djalaa e suatu tt-dalam la dega arah laa da besar lagah ag sesua. Peelesaa ag ddapat d ruag peelesaa tersebut dtrasformas embal dega trasformas vers ag sesua. Proses teras dulag hgga peelesaa optmum dapa. Sela dbahas metode prmal affe-salg juga aa dbahas aplasa dega megguaa program matlab utu meelesaa masalah program lear. B. RUUSN SLH Berdasara latar belaag masalah d atas, maa dbuat rumusa sebaga berut:. Bagamaa meelesaa masalah program lear dega megguaa metode prmal affe-salg?

17 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 4. Bagamaa aplas dar metode prmal affe-salg dega megguaa program matlab? C. PEBSN SLH. Peuls haa aa membahas masalah dalam betu memmuma, sehgga masalah memasmuma harus dubah dalam betu memmuma, atu egatf dar masmum fugsa.. etode ag dguaa adalah metode prmal affe-salg. 3. rasformas ag dguaa adalah trasformas affe-salg. 4. Daerah laa dar soal program lear adalah terbatas da tda osog. 5. Haa memuat varabel urag dar atau sama dega. D. UJUN PENULISN Sesua dega latar belaag d atas, peulsa srps bertujua utu meujua lagah-lagah metode prmal affe-salg utu meelesaa masalah program lear ag memuat da dapat dpertaggugjawaba lagah dem lagah. E. NF PENULISN afaat dar peulsa srps adalah membera tambaha referes dalam meelesaa masalah program lear dega metode prmal affe - salg.

18 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 5 F. EODE PENULISN etode ag dguaa dalam srps adalah peelta epustaaa, atu dega mempelajar buu-buu ag berata dega top srps, sehgga dalam tulsa tda dtemua hal-hal ag baru. G. SISEIK PENULISN Peulsa srps megguaa sstemata sebaga berut: Bab I PENDHULUN Bab bers latar belaag masalah, perumusa masalah, pembatasa masalah, tujua peulsa, mafaat peulsa, da metode peulsa. Bab II OROGONLIS DN OPIISSI UNUK PERSOLN LINER Bab bers tetag dasar teor ag berata da dguaa dalam metode prmal affe-salg, atu megea sstem persamaa lear da matrs, ruag vetor, masalah program lear, optmsas fugs utu persoala lear, metode arah laa da metode arah turu teruram. Bab III EODE PRIL FFINE-SKLING Bab membahas tetag lagah-lagah metode prmal affe-salg da aplasa megguaa program matlab. Bab IV PENUUP Bab bers beberapa esmpula da sara berdasara hasl pembahasa da eseluruha proses peusua srps.

19 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 6 BB II OROGONLIS DN OPIISSI UNUK PERSOLN LINER Pada bab aa dbahas hal-hal ag meladas bab beruta. Defs, teorema serta osep-osep megau pada daftar pustaa.. Sstem Persamaa Lear Da atrs Defs. Persamaa Lear Persamaa lear dalam varabel,,, L adalah persamaa ag dapat dataa dalam betu a a L a b. dega a, a,, a K da b adalah ostata real da a, a, K, a tda semua sama dega ol. Defs. Sstem Persamaa Lear Suatu sstem persamaa lear m adalah hmpua m persamaa lear dega varabel, ag dapat dataa dalam betu a a am a a a m L L O L a a a m b b b m. dega a, a,, a K da b adalah ostata real da a,, a, K a tda semua sama dega ol, utu,, K, m.

20 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 7 Dalam sstem persamaa lear m, dapat terjad m, m > atau m <. pabla t, t, L, t dmaa t, t, K, t adalah ostata-ostata real ag memeuh semua persamaa lear dalam sstem., maa pasaga terurut t, t, K, t dsebut peelesaa atau jawab dar sstem persamaa lear.. Defs.3 Kosste da da Kosste. Sstem persamaa lear dsebut osste ja sstem persamaa tersebut mempua peelesaa.. Sstem persamaa lear dsebut tda osste ja sstem persamaa tersebut tda mempua peelesaa. Sstem ag osste dapat mempua tepat satu peelesaa atau mempua baa peelesaa. Sstem persamaa lear. d atas dapat dtulsa dega otas matrs sebaga berut: a a am a a a m L L O L a a a m b b b m.3 tau lebh sgat dtuls b, dmaa a atu matrs oefse, j da b, utu, K, m da j, L, j b

21 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 8 Defs.4 Sstem Persamaa Lear Homoge Suatu sstem persamaa lear dsebut sstem persamaa lear homoge ja ostata b, utu setap,,..., m. Sstem persamaa lear homoge mempua betu umum: a a am a a a m L L O L a a a m.4 Sstem persamaa lear homoge selalu osste area,,..., selalu merupaa peelesaa. Peelesaa dsebut peelesaa trval. Ja ada peelesaa la maa peelesaa tu dsebut peelesa otrval. Defs.5 atrs Legap atrs legap dar sstem persamaa lear. adalah a a a m a a a m L a L a O L a m b b b m Defs.6 Operas Bars Elemeter Operas bars elemeter pada suatu matrs adalah salah satu operas:. euar leta dar dua bars matrs tersebut, a meuar bars e- da e- j, dega otas R R. j

22 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 9. egala suatu bars dega ostata ta ol, a megala bars e- dega blaga,, dega otas R. 3. eggat suatu bars dega hasl pejumlaha bars tersebut da elpata bars la, a meggat bars e- dtambah al bars e- j, dega otas R R. j Defs.7 atrs Evale Bars atrs B dataa evale bars dega matrs ja terdapat matrs elemeter E, E,..., E sehgga B E E... E atau E E... E B. Dega operas bars elemeter, matrs legap dar suatu sstem persamaa lear harus dubah mejad suatu matrs dar sstem persamaa lear ag mudah dar jawaba, a dega matrs eselo. Defs.8 atrs Eselo atrs E dsebut matrs eselo ja memeuh dua sfat berut:. Setap bars ag haa terdr dar blaga ol terleta sesudah bars ag memuat eleme ta ol.. Pada setap bars dar matrs E ag mempua eleme ta ol, eleme ta ol ag pertama harus terleta d olom sebelah aa eleme ta ol dar bars sebeluma. atrs eselo dsebut juga matrs eselo bars. Eleme ta ol pertama dar suatu bars dsebut eleme utama atau eleme pvot. Sfat edua dar matrs eselo megataa bahwa eleme d bawah eleme pvot haruslah ol.

23 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI B. Ruag Vetor. Ruag Vetor Defs.9 Ruag Vetor Ruag Vetor atas lapaga F adalah hmpua tda osog V ag dlegap dega operas pejumlaha da operas perala dega salar sedema sehgga,, z V da, β F memeuh sarat - sarat berut: a. V b. sfat omutatf. z z sfat asosatf d. erdapat eleme V, V, usur dettas e. V V sehgga eleme vers f. V g. sfat dstrbutf h. β β. j. β β Eleme eleme d V dsebut vetor da basaa dataa dega huruf huruf a, b, K,,, K. Eleme eleme d F dsebut salar.

24 Cotoh. sala da adalah vetor vetor d R. Pejumlaha pada R ddefsa sebaga berut: R,,.5 da operas perala dega salar d R ddefsa sebaga berut: R R,,.6 ujua bahwa R merupaa ruag vetor. But: sala,, da z z z z, R z,,, R β, a. a dtujua R. Sudah jelas dar persamaa.5 b. a dtujua PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

25 . a dtujua z z z z z z z z z z z z z z z z d. a dtujua ada eleme dettas terhadap operas pejumlaha. Eleme dettasa sehgga e. a dtujua mempua vers. Ivers dar adalah sehgga f. a dtujua R. Sudah jelas dar persamaa.6 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

26 3 g. a dtujua h. a dtujua β β β β β β β β β β β β β β. a dtujua ada eleme dettas terhadap operas perala j. a dtujua β β _ β β β β β β β β β β β β. ~ Defs. Subruag Subspaes Ja W adalah subhmpua ta osog dar suatu ruag vetor V da W memeuh sarat-sat berut: PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

27 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 4 a. utu W da sebarag salar F maa W b. utu W da W maa vetor W maa W dsebut subruag vetor dar V. Defs. Ruag Nol Null Spaes sala adalah matrs beruura m. sala N meataa hmpua semua peelesaa dar sstem persamaa homoge. Jad N { R }.7 N dsebut sebaga ruag ol. Cotoh. ujua bahwa N { R } merupaa ruag vetor. But: sala,, da z z z, z,, z R,, β R a. a dtujua N Jad N b. a dtujua

28 5. a dtujua z z z z d. a dtujua ada eleme dettas terhadap operas pejumlaha Eleme dettasa sehgga e. a dtujua ada eleme vers Ivers dar adalah sehgga PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

29 6 f. a dtujua N N g. a dtujua h. a dtujua β β β β β β β β β β β β. a dtujua ada eleme dettas terhadap operas perala j. a dtujua β β β β β β β β β β β β. ~ PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

30 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 7 eorema. N { R } merupaa subruag dar But: a dbuta bahwa N adalah subruag dar R. R, a a. sala N da suatu salar, maa. Jad N. b. sala da adalah eleme eleme dar N, maa Jad N. Dar a da b terbut bahwa N adalah subruag dar R. Defs. Kombas Lear sala,, K adalah vetor vetor dalam suatu ruag vetor V atas, lapaga F. Jumlaha vetor-vetor ag berbetu L.8 dsebut suatu ombas lear dar,, K, dega salar,, F, K. Defs.3 eretag spa Ja,,, K adalah vetor-vetor pada ruag vetor V da ja masgmasg vetor pada V dapat dataa sebaga ombas lear dar,, K, maa dapat dataa bahwa vetor-vetor,, K, meretag

31 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 8 V da dlambaga S,, K,. eorema. Ja,, K adalah vetor-vetor dalam ruag vetor V maa, S,, K, adalah subruag dar V. But: sala β suatu salar da msala b L adalah sebarag eleme dar S,, K,. aa β b β β L β Jad β b S,, K, Selajuta aa dtujua bahwa sebarag jumlah eleme-eleme dar S,, K, juga berada dalam S,, K, sala b L β β L β da aa b L β β β Jad b S,, K, Jad S,, K, adalah subruag dar V. Defs.4 Hmpua Peretag Hmpua,, K, } dsebut hmpua peretag utu ruag vetor V { ja haa ja V S,, K,.

32 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 9 Cotoh.3 sala e adalah vetor dalam R ag ompoe e- adalah da ompoe ag laa semua sama dega ol, utu,, K,. Jad Setap vetor e, e, L, e. v R dapat dataa sebaga ombas lear dar vetor-vetor, e, L e tersebut, atu ja e, v v v adalah sebarag vetor dalam v R, maa v v L e ve v e. Oleh area tu {, e,, e } e L adalah hmpua peretag utu R. ~ Defs.5 Bebas lear learl depedet Vetor vetor,, K dalam ruag vetor V dsebut bebas lear ja, L.9 megabata semua salar salar, K harus sama dega ol., Defs.6 Bergatug Lear learl depedet Vetor vetor,,, K dalam ruag vetor V dsebut bergatug lear ja terdapat salar salar, K, ag tda semuaa ol sehgga L.

33 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI Defs.7 Bass sala V suatu ruag vetor atas lapaga F. Hmpua vetor - vetor {,,., } K membetu bass utu ruag vetor V ja da haa ja a. {,,., } K bebas lear b. {,,., } K meretag V Cotoh.4 ujua bahwa { e, e,, } But: K e adalah bass. Dalam otoh.3 telah dtujua bahwa, e, K e meretag e, R. Bla v e ve L v e maa v v, sehgga v v L v. v Jad, e, K e bebas lear. e, aa { e, e,, } K e merupaa bass utu Bass tersebut dsebut bass bau utu R R. ~ Defs.8 Vetor-Vetor Bars da Vetor-Vetor Kolom sala matrs a a am a a a m L L O L a a a m. Vetor-vetor dalam R atu r [ a a ], r [ a a ],, r [ a a L a ] a L a L L m m m m

34 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI ag dbetu dar bars-bars matrs damaa vetor-vetor bars dar da vetor-vetor dalam m R, atu a a, a m a a, L, a m a a a m ag dbetu dar olom-olom matrs, damaa vetor-vetor olom dar. Defs.9 Ruag Bars da Ruag olom a. Subruag ag dretag oleh m vetor bars matrs merupaa subruag dar R da dsebut ruag bars. b. Subruag ag dretag oleh vetor olom matrs merupaa subruag dar m R da dsebut ruag olom. Ruag olom dapat dotasa { b R } m b R R utu Defs. Ra Dar atrs Ra dar matrs beruura m dtujua dega r. Ra matrs peuh ja r m { m, }.

35 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI. Hasl Kal Dalam Da Ortogoaltas Defs. Ruag Hasl Kal Dalam Hasl al dalam pada ruag vetor V adalah sebuah operas pada V ag meuju setap pasag vetor - vetor da d dalam V sebuah blaga real, ag memeuh sarat berut: a.,, da, ja haa ja. b.,,, V. β, z, z β, z,,, z V da, β R Sebuah ruag vetor V dega hasl al dalama dsebut ruag hasl al dalam. Cotoh.5 Ruag vetor R. ujua bahwa hasl al salar ag ddefsa: [ ], L K.. adalah hasl al dalam utu Persamaa. dapat juga dtuls dega R ag dsebut hasl al dalam bau.,. meataa traspose matrs.

36 3 But: mbl sebarag vetor,, da z z z z dalam ruag vetor R da sebarag salar R β, a. Dbuta, Detahu, [ ], K L Jad, Detahu, Utu... dperoleh... jad Detahu Dbuta,, [ ] L PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

37 4 Jad... K b. Dbuta R,,, atu dbuta,,, [ ] K L K [ ] L, Jad.3 Jad terbut R,,,. Dbuta R z z z z,,,,,, β β, R β, [ ] z z z L, β β β β z z z z z z z β β β K K z z z z z z K K β PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

38 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 5 z z [ ] L [ L ] z β z z z z β z.4, z β, z Jad terbut β, z, z β, z,,, z R Dar a, b, terbut bahwa hasl al dalam d ruag vetor R adalah hasl al salar,. ~ Defs. Pajag atau orma Ja adalah sebuah vetor d dalam sebuah ruag hasl al dalam R, pajag atau orma dar ddefsa K.5 Defs.3 Ortogoal Dua vetor dalam, ja R, atu da, dataa orthogoal, dlambaga.6 Defs.4 Subruag Yag Ortogoal Dua subruag vetor dalam R, atu X da Y, dataa orthogoal ja

39 6 X, da Y.7 Ja X da Y salg orthogoal, dapat dtuls sebaga Y X. eorema.3 b adalah osste ja haa ja b R But: a dbuta b R, arta b berada d ruag olom dar R sala adalah matrs m da R Karea b adalah osste maa b mempua peelesaa sala adalah peelesaa aa m m m a a a a a a a a a L O L L m m m a a a a a a a a a L L L b m b b b tau dapat dtuls a a a b L PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

40 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 7 Perhata bahwa b merupaa vetor ag dretag oleh vetor-vetor olom matrs. I berart b berada d ruag olom. Jad b R a dbuta b adalah osste Karea b R maa b dapat dretaga oleh oleh vetor-vetor olom matrs, ag dapat dtuls b a a L a Berart memeuh sstem b Jad adalah peelesaa Jad b adalah osste. eorema.4 sala matrs beruura m. daa matrs mempua ra peuh m. sala N meataa ruag ol da R meataa ruag olom dar maa N da R merupaa subruag ag salg orthogoal. But: sala N da R a dbuta N R

41 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 8 Berart uup dbuta, arta, N, R N { R } da R m { R z z R } utu aa z z Karea aa z aa Jad Jad N R. R dsebut juga sebaga ruag jawab dar z. Dar teorema.4 telah dperlhata bahwa N R da R R adalah subruag ag salg orthogoal. sala N da R da, R. Gambar..

42 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 9 dapat juga dtuls.8 Karea z, maa ddapata z.9 Kala edua ruas dega, maa ddapata Detahu bahwa, maa ddapata z z z z. Substusa persamaa. e persamaa.9, maa ddapata [ I ] P. dega P [ I ]. Defs.5 atrs Proes Orthogoal atrs P beruura, dega P [ I ] dsebut matrs proes ruag ol atau matrs proes orthogoal. Perhata bahwa R, maa berdasara persamaa. z R.3

43 3 dega R.4 Sfat. sala P adalah matrs proes orthogoal beruura, dega ] [ I P maa a. P P b. P P But: a. Detahu ] [ I P aa ] [ ] [ I I P I I I I P b. P ] [ I I I I P. PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

44 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 3 3. rasformas Lear Defs.6 rasformas sala V da W dua ruag vetor. rasformas atau pemetaa atau fugs dar V e dalam W adalah atura ag memasaga setap eleme d V dega satu da haa satu eleme d W. Utu selajuta, trasformas dtuls : V W Ruag vetor V dsebut daerah asal. Nla trasformas utu eleme V dtuls ag merupaa eleme d W. Eleme dsebut peta dar. Defs.7 rasformas Lear sala V da W dua ruag vetor. rasformas : V W dsebut trasformas lear ja a. Utu sebarag vetor da d V berlau.5 b. Utu sebarag blaga real s da vetor d V berlau s s.6

45 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 3 C. asalah Program Lear. Betu Stadar asalah Program Lear Perumusa masalah program lear dbag mejad dua, a fugs sasara da edala-edala. Defs.8 Fugs sasara Fugs sasara dalam masalah program lear dapat dataa sebaga f p j j j.7 dega p merupaa blaga bulat ag meataa baaa varabel, j merupaa varabel e- j, da R merupaa oefse ogos dar varabel j e- j, dega j, K, p Kedala-edala dbag dua, a edala utama da edala ta egatf. Defs.9 Kedala utama Kedala utama masalah program lear berbetu p j a j j,, b,,,..., m ; j, K, p.8 dega m merupaa baaa persamaa, a R merupaa oefse j varabel e- j pada persamaa e- da b meataa ostata d ruas aa utu persamaa e-.

46 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 33 Defs.3 Kedala a Negatf Kedala ta egatf berbetu ; j,,..., p..9 j Utu mear peelesaa dar sstem.8, edala utama ag berbetu pertdasamaa dubah mejad persamaa, dega ara sebaga berut: p a. Kedala ag berbetu a b, pada ruas r dsspa varabel j pegetat sla varable s sedema sehgga dpeuh: j j p j a j j s b dega s,,,..., m ; j,,..., p Dalam hal, p ja a b ;,,..., m ; j,,..., p maa s j j p j da ja a < b ;,,..., m ; j,,..., p maa s > j j j p b. Kedala ag berbetu a b, pada ruas aa dsspa varabel j j surplus surplus varable t sedema sehgga dpeuh: j p j a t b ;,,..., m ; j,,..., p j j ag evale dega p j a j j t b dega t,,,..., m ; j,,..., p

47 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 34 Dalam hal, p ja a b ;,,..., m ; j,,..., p maa t j p j j ja a > b ;,,..., m ; j,,..., p maa t > j j j Dega dema edala utama aa berubah mejad sstem persamaa lear: j a b ;,,..., m ; j,,...,.3 j j a dega member lambag varabel pegetat atau varabel surplus j dmula dar j p sampa j, dega adalah baaa varabel. Da supaa peelesaa sstem.3 mejad laa mash harus dpeuh edala ta egatf ; j,,...,..3 j j Utu meesuaa dega betu edala ag baru, fugs sasara ag semula berbetu p f j j... j p p.3 dlegap mejad j j pp p p j f dega... p p

48 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 35 Dega dema, suatu masalah program lear dapat dataa dalam betu sebaga berut: asmuma atau mmuma f j j j.34 dega edala j a b ;,,..., m ; j,,...,..35 j j ; j,,...,..36 j Betu d atas dega semua edala utama berbetu persamaa dsebut betu stadar dar masalah program lear. Betu d atas bla dtuls dalam otas matrs adalah sebaga berut asmuma atau muma dega edala f.37 {,, } b.38 dega j adalah oefse matrs edala a j b adalah vetor suu tetap b adalah vetor ogos j.39 Dmaa,,..., m ; j,,...,.

49 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 36 Defs.3 Peelesaa Laa Nla-la varabel ag memeuh edala utama.38 da edala ta egatf.39 dsebut peelesaa laa. Pada umuma sstem persamaa lear.38 mempua peelesaa tahgga baa. D atara peelesaa-peelesaa tersebut dar juga ag memeuh.39, da pada umuma mash mempua peelesaa tahgga baa. Kemuda d atara peelesaa laa ag tahgga baa dar ag megoptmuma fugs sasara, maa aa dperoleh peelesaa optmum. Defs.3 Peelesaa Bass Suatu vetor merupaa peelesaa bass, ja: a. memeuh persamaa edala dalam program lear b. olom-olom matrs edala ag bersesuaa dega vetor ta ol adalah bebas lear. Defs.33 Peelesaa Laa Bass Suatu vetor dsebut peelesaa laa bass ja vetor merupaa peelesaa bass ag memeuh edala ta egatf. Defs.34 Peelesaa Laa Bass Optmum Suatu vetor dsebut peelesaa laa bass optmum ja adalah

50 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 37 peelesaa laa bass ag membera la optmum utu fugs sasara.. Dualtas Dalam masalah program lear tmbul hubuga dual atara dua soal program lear tertetu da masg-masg peelesaa optmuma aa berata. Perhata otoh berut. Cotoh.6 sala terdapat masalah program lear, amaa saja soal P, a asmuma dega edala f.4 b.4.4 asalah program lear berpola masmum stadar. Soal P dsebut soal prmal area lebh dulu dtetua. Dar soal prmal dapat dtetua soal dual, a muma g b w.43 dega edala w.44 w.45 dega adalah peelesaa dar soal prmal da w peelesaa dar soal dual. Perhata bahwa vetor suu tetap dalam.4 mejad vetor ogos dalam.43 da sebala vetor ogos dalam.4 mejad vetor suu

51 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 38 tetap dalam.44. Sedaga oefse matrs edala.4 adalah traspose matrs oefse edala.44. eorema.5 Ja suatu peelesaa laa dar soal prmal da w peelesaa laa dar soal dual maa b w berart la f ag bersesuaa dega soal prmal lebh el atau sama dega la g ag bersesuaa dega soal dual But: sala adalah peelesaa laa dar soal prmal da w w w adalah peelesaa laa dar soal dual w m aa aj j j b, utu, K, m Bla edua ruas dala dega w, maa ddapata w j a j j w b, utu, K, m area w Bla djumlaha meurut, maa ddapata j L wm aj j wb j w aj j L w m b m Dar persamaa., maa

52 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 39 m w j a j j m w b w w b Dar persamaa.3, maa ddapata w b w.46 Karea w peelesaa laa dar soal dual. aa m aj w j, utu j, K,. Bla edua ruas dala dega j, maa ddapata m aj w j j j, utu j, K, m waj j j j, utu j, K, Bla djumlaha meurut j, maa ddapata m m L wa w a L m a L a L w m w j a j j j j j w.47 Dar persamaa.46 da persamaa.47, maa w b w Jad b w.

53 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 4 eorema.6 Ja adalah peelesaa laa dar soal prmal da w peelesaa laa dar soal dual dega b w, maa adalah peelesaa optmum utu soal prmal da w peelesaa optmum utu soal dual. I berart f masmum g mmum. But: Detahu b w. Dar teorema.5, maa b w utu sebarag peelesaa laa. Jad berart adalah peelesaa optmum bag soal prmal. alog dega but d atas, utu sebarag peelesaa w bag soal dual berlau b w b w. Jad b w b w berart w adalah peelesaa optmum utu soal dual. Sehgga f masmum b w g. mmum D. Optmsas Fugs Utu Persoala Lear. Optmsas Optmsas merupaa suatu proses peetua peelesaa ag terba dar suatu masalah. Dalam masalah optmsas fugs sasara adalah megoptmuma memasmuma/memmuma la suatu fugs. Perhata masalah berut mum a S f, dega R

54 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 4 Karea masalah memasmuma dapat juga dataa sebaga masalah ag memmuma sepert berut asmum S f mum f S da emuda la optmum sasaraa dala dega -. lasa lah sehgga uup utu dbahas masalah mmum saja. Defs.35 Pembuat mum Global Suatu tt * S dsebut pembuat mmum global f atas S ja utu setap S berlau f * f. Defs.36 Pembuat mum Loal Suatu tt * dsebut pembuat mmum loal f atas S ja utu setap S terdapat δ > da * < δ sedema hgga berlau f * f.. Kelaaa Defs.37 t Laa da Daerah Laa a. Suatu tt ag memeuh semua edala dsebut tt laa feasble pot b. Hmpua dar tt laa-tt laa dsebut daerah laa feasble rego atau hmpua laa feasble set da dotasa dega S.

55 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 4 Defs.38 Persetara Neghbourhoods Persetara dar tt R adalah hmpua dar tt tt { R : } N ε < ε, dega ε >.48 Defs.39 t Dalam Iteror Pot Suatu tt * dataa tt dalam dar hmpua S ja ada persetara dar * sedema sehgga semua tt dalam persetara dar S, a * juga berada dalam N * ε S.49 Defs.4 t batas Suatu tt dataa tt batas dar hmpua S ja setap persetara dar terdr dar tt ag berada d dalam da d luar S, dotasa N S φ N S φ.5 ε ε E. etode arah laa etode arah laa merupaa suatu metode utu meelesaa masalah program lear dega bergera dar suatu peelesaa laa e peelesaa laa ag la pada suatu arah d sehgga dperoleh la sasara ag lebh ba dega sarat-sarat ag meertaa. Pada masalah memmuma, de dasar dar metode arah laa adalah memlh tt awal ag memeuh semua

56 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 43 edala, emuda e tt ag lebh ba sesua dega alur teras: d adalah peelesaa laa pada teras e-, d arah peara adalah besar lagah > Nla dplh sedema sehgga la tetap berada pada daerah laa. Sedaga arah lagah d dplh sedema sehgga pada setap perpdaha dalam terasa tda melaggar edala ag dbera sehgga dapat memperba la dar fugs sasara. Jad, tt ag dperoleh dpaa sebaga tt baru utu teras beruta da teras dulag sampa dperoleh suatu tt sebut * sedema sehgga tda dapat dtetua lag arah laa ag memperba la sasara atau dega ata la tt tu sudah memeuh sarat arah lagah d ag memperba la sasara. Defs.4 rah laa Feasble dreto Dbera masalah memmuma f dega edala S da S adalah hmpua laa. Suatu vetor d R, d adalah arah laa pada S ja: > d S,, ].5 [ Selajuta, vetor d, d dsebut arah laa ag memperba la sasara mprovg feasble dreto pada S ja: > d S da f d < f,, ].5 [

57 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 44 Dar defs.4, seara umum teras dar metode arah laa memerlua dua lagah, atu:. ear arah laa ag memperba la sasara pada tt ag dtetua dar tap terasa.. eetua besar lagah ag berada pada daerah laa sesua arah laa ag memperba la sasara. F. etode rah uru eruram Steepest Deset Dreto etode arah turu teruram adalah metode arah laa ag dalam meetua besar lagah dplh utu memperoleh harga masmum dar peurua fugs sasara pada setap lagaha. etode arah turu teruram dguaa utu mear mmum suatu fugs, a dega megguaa la egatf dar grade fugs d suatu tt. Dguaa la egatf dar grade area grade membera la eaa ag sema besar. Dega la egatf dar grade maa aa dperoleh la peurua ag sema besar.

58 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 45 BB III EODE PRIL FFINE SKLING etode affe-salg adalah salah satu elas dalam metode tt-dalam ag palg sederhaa. Dalam tulsa aa dbatas haa utu masalah prmal program lear ag memmuma fugs sasara, sehgga metode ag dguaa dsebut sebaga metode prmal affe-salg. Peelesaa masalah program lear megguaa metode prmal affe-salg dmula dega memlh tt-dalam teror pot, amaa, dar suatu daerah laa d ruag peelesaa awal. Kemuda dtrasformas oleh trasformas affe-salg, amaa, sedema sehgga hasl trasformas dpossa deat dega pusat d ruag peelesaa hasl trasformas. Hasl trasformas affe-salg tersebut amaa. Selajuta dar meggeraa la djalaa e tt-dalam la, atu ag f sampa f optmum. Dguaa arah turu teruram steepest deset, a dega megguaa la egatf dar grade fugs ag aa doptmuma d suatu tt, ag bertujua utu memlh peapaa jumlah masmum beruraga la fugs sasara. Peelesaa ag ddapat d ruag peelesaa tersebut dtrasformasa embal dega trasformas vers ag sesua, atu e ruag peelesaa awal. Proses teras dulag hgga peelesaa optmum dapa.

59 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 46 Dalam bab aa dbahas atu bagamaa metode dmula, bagamaa ara peetua arah laa perpdaha terba dalam memperba f, da bagamaa proses terasa berhet.. etode Prmal ffe-salg Utu meelesaa masalah program lear dega megguaa metode prmal affe-salg dguaa betu prmal stadar masalah program lear berut: muma: dega edala: f 3. b 3. dega adalah matrs 3.3 m ag mempua ra peuh m, dega m, b adalah vetor ag pajaga m, da adalah vetor ag pajaga. Defs 3. Daerah Laa Daerah laa dar soal prmal adalah hmpua { R b } P, 3.4 Defs 3. Daerah Laa Dalam Daerah laa dalam dar P adalah hmpua { R b > } P, 3.5

60 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 47 Defs 3.3 Peelesaa Dalam Iteror Soluto t dsebut peelesaa dalam dar masalah program lear ja P φ. P da Defs 3.4 Ortat ta egatf R R dsebut ortat taegatf dar R dega, K,. R ja, > Defs 3.5 Pusat Vetor e R adalah vetor ag setap elemea sama dega, a e. Vetor e dsebut sebaga pusat R. Berut merupaa otoh utu meetua da mempereala tt-dalam dar soal program lear Cotoh 3. muma: f dega edala: 5 5, gar mejad betu stadar, varabel pegetat dtambaha pada masalah program lear tersebut, a:

61 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 48 muma: f 3 4 dega edala: 5 3 4,, 3, 4 Utu meelesaa masalah program lear dega metode prmal affesalg, dperlua tt-dalam awal ag memeuh persamaa 3.5. Utu meetua tt-dalam awal dapat dguaa substus mudur atau algortma Gauss-Jorda. Dalam otoh 3. dguaa substus mudur. atrs legap dar persamaa edala d atas adalah Kemuda matrs legap dar sstem persamaa edala datas dubah mejad matrs eselo 5 R R Setelah ddapata matrs eselo. etua varabel bebas da varabel ta bebas. 3, 4 adalah varabel bebas da, adalah varabel ta bebas. Kemuda ataa varabel bebas tersebut dala parameter. sal 3 s da 4 t Dar persamaa terahr ddapat t Dar persamaa pertama ddapata s t

62 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 49 Jad peelesaa dar persamaa lear tersebut adalah s 5 t s t t Karea betu umum peelesaa dar sstem persamaa lear detahu, beberapa peelesaa dar sstem persamaa lear dapat dar dega meetua la s da t, dega atata harus memeuh persamaa 3.5. sal s 7 da t 3, maa ddapat adalah peelesaa dalam utu soal d atas. ~. rasformas ffe-salg Lagah pertama dar metode prmal affe-salg adalah trasformas affe-salg, atu megubah peelesaa dalam ag dplh dega trasformas affe-salg sedema sehgga peelesaa dalam ag dplh dpossa deat dega pusat dar daerah laa. Ide dasar dar trasformas, atu a. Ja peelesaa dalam ag dplh letaa deat dega pusat dar daerah laa sepert tt pada gambar 3.. aa dapat dbuat perpdaha e tt * ag masmum dega tetap memeuh elaaa. Sehgga dhasla

63 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 5 juga perbaa la fugs sasara ag masmum. Sedaga ja peelesaa dalam ag dplh letaa deat batas daerah laa sepert tt pada gambar 3.. aa haa sedt perpdaha dapat dbuat dega tetap memeuh elaaa. Sehgga dhasla juga perbaa la fugs sasara ag el. Perpdaha tersebut dlaua dega megguaa arah turu teruram dar fugs sasaraa. Dega dema arah turu teruram lebh efetf ja peelesaa dalam ag dplh berada deat dega pusat dar daerah laa. * Gambar 3. Ide trasformas affe-salg Keteraga: * adalah tt optmum ag g dapa, adalah tt-dalam ag dplh da letaa deat dega pusat dar daerah laa, adalah tt-dalam ag dplh da letaa deat dega batas dar daerah laa b. apa harus megubah soal, suatu trasformas ag sesua dapat dguaa sedema sehgga peelesaa dalam ag dplh dpossa deat dega pusat daerah laa.

64 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 5 Defs 3.6 atrs salg Salg atr sala R adalah tt-dalam dar orta ta egatf R atu > utu, L,. atrs dagoal dega eleme dagoala adalah ttdalam matrs Karea dsebut matrs salg X, dtulsa sebaga berut L L X dag 3.6 O L X adalah matrs osgular dega matrs versa, atu L L X dag 3.7 O L X da X adalah matrs dagoal sehgga X 3.8 X da X X 3.9 Defs 3.7 rasformas affe-salg ffe-salg raformato sala, R, trasformas affe-salg atau dapat dtuls dar R e R ddefsa X 3.

65 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 5 Sfat 3. sala R. rasformas affe-salg dega X adalah trasformas lear. But: a. Utu sebarag vetor da d X R X X b. s X s s X s Jad X adalah trasformas lear. rasformas meml beberapa sfat atu: Sfat 3. Ja adalah suatu tt-dalam d dega ba well defed dar But: R e R maa adalah pemetaa ag terdefs R. erdefs dega ba atu, R, a dbuta dega otrapostfa, atu

66 53 sala R, Bla da dea trasformas affe-salg, maa ddapat X da X Karea aa X X X X X X Jad Jad adalah pemetaa ag terdefs dega ba dar R e R. Sfat 3.3 memetaa e poss pusat dar R, atu e. But: sala R Bla dea trasformas affe-salg, maa ddapat X L O L L PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

67 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 54 e Jad e. 3. Seara geometr pemetaa trasformas affe salg dapat dperlhata pada lustras dalam R berut e Gambar 3.. t-dalam ag dplh dtrasformasa oleh e poss e. Sfat 3.4 Ja adalah tt batas dar S maa adalah tt batas dar S. But: Dar defs.4, suatu tt dataa tt batas dar S ja setap persetara dar terdr dar tt ag berada d dalam da d luar S, a N S φ N S ε ε φ

68 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 55 a dbuta tt batas dar S Cuup dbuta a. N S φ ε b. N S φ ε a dbuta a. N S φ ε Bla dea trasformas affe-salg, maa ddapata X L L O L atau dapat juga dtuls, dega, K, a dbuta dega otradsa daa N ε S φ Berart N ε, < Plh, dega S N ε aa > area > da > mbul otrads maa pegadaa salah

69 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 56 Jad N S φ ε b. N s φ ε daa N ε s φ Berart N ε, > Karea N S φ ε aa ada < sehgga < area < da > mbul otrads maa pegadaa salah Jad N S φ ε Karea N S φ N S φ ε ε Jad adalah tt batas dar R. Sfat 3.5 Ja * adalah tt-dalam dar S maa * adalah tt-dalam dar S. But: Suatu tt * dataa tt-dalam dar S berart a dbuta * tt-dalam * Cuup dbuta N S * daa N S ε Berart N ε, S ε N ε * S

70 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 57 Karea * S berart * > Da > * aa > berart S mbul otrads maa pegadaa salah * Jad N S ε Jad * tt-dalam. Sfat 3.6 merupaa pemetaa satu-satu oe to oe da juga pemetaa pada oto dega trasformas vers, sehgga X 3. But: a. merupaa pemetaa satu-satu oe to oe, atu, R a dbuta dega otrapostfa, atu, R sala, R Bla da dea trasformas affe salg, maa ddapata X da X Karea

71 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 58 aa aa X X Jad pemetaa satu-satu b. merupaa pemetaa pada oto, atu R R sala R Klam X 3.3 Bla dea trasformas affe salg, maa ddapata X X X Jad pemetaa pada Jad merupaa pemetaa satu-satu da juga pemetaa pada. gar lebh memaham sfat-sfat dar trasformas affe-salg otoh 3. berut. Cotoh 3., perhata sala a, b,, d,,, z d 3 R. sala 3 3 a,, adalah tt-dalam 5

72 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI b,,, 3 3,,, 7 7,, 4 4 d, [,,], [,,], z [,,] adalah tt batas. t-tt a, b,, d,,, z dtrasformas oleh trasformas affe- salg. etua hasl dar trasformas affe-salg tersebut. Perhata gambar 3.3 berut z z b a b a d d Gambar 3.3. t-dalam a dtrasformasa oleh tetap meghasla tt-dalam juga, atu a, tttt pada batas atu, b,, d,,, z dtrasformasa tetap meghasla tt pada batas juga, atu b,, d,,, z. Jawab: sala a adalah tt-dalam, maa dapat dbuat matrs salg X, atu 3 X da 3 5 X Dar persamaa 3., atu X

73 6 aa bla 5 3,, 3 a dea trasformas affe-salg, aa dperoleh a e Sesua dega sfat 3.3 sala 3,, 3 b, 7 6, 7,,, 4, 4 3 d, [ ],,, [ ],,, [ ],, z adalah tt pada batas aa bla z d b,,,,, dea trasformas affe-salg, aa dperoleh b d PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

74 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 6 z aa ddapata b,, d,,, z ag merupaa tt pada batas d 3 R. Sesua dega sfat 3.4. ~. eetua rah Laa Setelah tt-dalam ag dplh dtrasformas oleh traformas affe- salg, lagah selajuta adalah meetua e arah maa suatu tt tu aa meuju e tt ag lebh ba tt optmum pada la fugs, dega atata araha adalah arah laa atu arah ag tetap pada daerah laa. a. Betu asalah Program Lear d Ruag Peelesaa Hasl rasformas daa adalah peelesaa dalam ag detahu dar soal program lear berut muma: dega edala: f 3.4 b 3.5 dega adalah matrs b adalah vetor ag pajaga m, da Namaa soal. 3.6 m ag mempua ra peuh m, dega m,, adalah vetor ag pajaga.

75 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 6 Peelesaa dalam dtrasformas oleh trasformas affe-salg dpossa e e. Dar persamaa 3.3 a X, maa Fugs sasara f dar persamaa 3.4 dapat dtulsa f X Dar persamaa 3.8, maa ddapata f X X 3.7 dega X 3.8 Hmpua edala b dar persamaa 3.5 dapat dtulsa X b 3.9 atau b 3. dega X 3. Dega edala ta egatf d ruag peelesaa hasl trasformas, atu area 3. Dega dema ddapata soal program lear ag bersesuaa berorespodes d ruag peelesaa hasl trasformas, atu muma: dega edala: f 3.3 b dega X da X.

76 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 63 adalah matrs m ag mempua ra peuh m, dega m, b adalah vetor ag pajaga m, Namaa soal B. da adalah vetor ag pajaga. Cotoh 3.3 muma: f 5 dega edala: 3.a 8.a, Namaa soal Ubahlah soal d atas e betu soal B. Peelesaa: Betu stadar soal program lear tersebut, a: muma: f dega edala: 3.a a,, 3, 4 dega 5 3,, b 8

77 64 sal dplh tt-dalam awala 5 5 Kemuda dbuat matrs salg X, atu 5 5 X Dar persamaa 3.8 a X, dperoleh Dar persamaa 3. a X, dperoleh Sehgga ddapata suatu soal B ag bersesuaa dega soal, atu muma: [ ] PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

78 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 65 dega edala: ,,.., 4 gar dapat dataa seara graf abaa saja varabel pegetata. aa soal B dapat dtuls lag sebaga berut: 5 muma: dega edala:.b 6 8.b,, Dar Gambar 3.4 dperlhata bahwa daerah laa dar soal atu seg empat ag darsr. Gambar 3.4 Daerah laa soal

79 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 66 Dar Gambar 3.5 dperlhata daerah laa pada gambar 3.4 ag sudah dtrasformas oleh trasformas affe salg sehgga meghasl seg empat ag darsr ag merupaa daerah laa dar soal B. Gambar 3.5 Daerah laa soal B b. eetua rah Laa Dalam meetua arah laa harus dtetua apaah arah laa tersebut merupaa arah ag meuju e tt ag lebh ba, atu e tt ag membera la optmum fugs sasara. Oleh area tu aa dtetua arah laa ag memperba la fugs sasara tersebut. Perhata soal B berut: muma: dega edala: f 3.6 b dega dega X da X. adalah matrs beruura m ag mempua ra m, dega

80 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 67 m, b adalah vetor ag pajaga m, da adalah vetor ag pajaga. Dega memperhata soal B, aa dtetua apaah arah laa da apaah sasara. d merupaa d tersebut merupaa arah ag memperba la fugs sal adalah peelesaa laa, emuda aa djalaa e suatu tt laa la atu atu tt dega perubaha la sasaraa d ruag peelesaa hasl trasformas sesua dega alur teras berut: d 3.9 dega: adalah peelesaa laa pada teras e-, d adalah arah perpdaha d ruag peelesaa hasl trasformas adalah besar lagah > Nla dplh sedema sehgga la Sedaga arah lagah tetap berada pada daerah laa. d dplh sedema sehgga pada setap perpdaha dalam terasa tda melaggar edala ag dbera sehgga dapat memperba la dar fugs sasara. eurut defs.4, a d, dega d merupaa arah laa pada S ja terdapat sedema sehgga d S, >, ]. [

81 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 68 persamaa: aa vetor ta ol d merupaa arah laa ja memeuh edala b 3.3 dega d Dmaa d merupaa edala ta egatf utu setap, ] da S. Dar persamaa 3.9, maa Karea d b b, maa d b b d b d aa utu la ag uup el da postf, la dapat dabaa aa ddapata d 3.3 [ Jad d past berada d ruag ol dar matrs X. Sehgga d merupaa peelesaa d ruag ol matrs. Pada edala ta egatf a d dega >, detahu la, atu > atau ; sedaga la d ag mug adalah

82 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 69. d > atau d ja >. d ja Jad, dar uraa d atas. d d merupaa arah laa ja haa ja:. d ja > 3. d ja utu setap,, L, Selajuta aa dtujua apaah d merupaa arah laa ag memperba la sasara, meurut defs.4. Perhata betu d Betu merupaa tt baru teras, arta fugs f ddeat atau dhampr melalu tap teras sampa pada tt dega arah d ag meghasla tt baru d 3.3 Dar defs.4, utu masalah memmuma f, arah d merupaa arah ag memperba la sasara ja: f d < f atau f d f < 3.33 tau, sesua dega alur teras dapat dtuls f f < 3.34

83 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 7 Dapat juga dtuls < 3.35 Dar persamaa 3.9, maa ddapata d < d < d < d < 3.36 aa utu la ag uup el da postf, la dapat dabaa. aa ddapata Jad, d < 3.37 d merupaa arah laa ag memperba, atu ag meujua bahwa f f <, ja d < Perumusa rah Lagah Dega rah uru eruram teruram. a dtetua perumusa vetor arah perpdaha dega arah turu sala matrs beruura m ag mempua ra m. sala N meataa ruag ol dar matrs dtulsa sebaga berut

84 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 7 N { d R d } 3.39 Da R meataa ruag jawab dar m { R z, z R }, dtulsa sebaga berut R utu 3.4 Dar teorema.4 telah dperlhata ruag ol da ruag jawab merupaa subruag dar R ag salg orthogoal. Jad N R. sala d N da R da d, R. Perhata gambar 3.6 d Gambar 3.6 Grade egatf dar fugs f, atu dproesa e ruag ol agar terpta arah laa d. d dapat juga dtulsa sebaga d Karea z, maa ddapata d z 3.4

85 7 Bla edua ruas dala dega, maa ddapata z d Karea d, maa ddapata z z z 3.4 Substusa persamaa 3.4 e persamaa 3.4, maa ddapata d I ] [ P 3.43 dega ] [ I P 3.44 I P dsebut matrs proes orthogoal pada ruag ol Perhata bahwa R, maa berdasara persamaa 3.4 z R 3.45 dega R 3.46 Perhata persamaa 3.44, area X maa X X X X I P PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

86 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 73 I X X X X I X X X 3.47 Perhata persamaa 3.43, a ddapata arah perpdaha d P. Karea tujua ta adalah memmuma la dar fugs sasara, maa dguaa grade egatf dar fugs f, atu utu dproesa pada ruag ol matrs. Dguaa la egatf dar grade area grade membera la eaa ag sema besar. Dega la egatf dar grade maa aa dperoleh la peurua ag sema besar. Sehgga terpta arah d terba dega perubaha la fugs sasara ag masmum serta meurua la fugs sasara dar soal B. Sepert dgambara pada gambar 3.6. rah perpdaha d dega arah turu teruram dapat dtulsa d P 3.48 Dar persamaa 3.47 da persamaa 3.8, maa persamaa 3.48 dapat dtulsa d ] [ I X X X X 3.49

87 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI eetua Besar lagah Setelah dapat dtetua arah lagah d ag memperba la sasara maa selajuta aa dtetua sejauh maa arah bergera meuju tt optmum. Dbera vetor awal da d adalah suatu arah laa ag memperba la fugs sasara. Utu meetua vetor beruta atu d besar lagah dapat dperoleh dega mear peelesaa dar masalah muma: f d dega edala: d b d Perhata bahwa: b da d aa d b dpeuh utu setap Dalam edala ta egatf dperoleh bahwa d 3.5 Dega dema utu d maa batas masmum agar persamaa 3.5 tetap terpeuh adalah. mas

88 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 75 Da utu d < maa batas masmum agar persamaa 3.5 tetap terpeuh ddapat dar betu d d sehgga batas masmuma merupaa mmum dar d, utu,, K,. Dar sfat 3.3, maa d d. Sehgga utu meetua suatu besar lagah ag masmum da agar persamaa 3.5 tetap terpeuh maa dplh < <, atu dplh. 99 sehgga d d Jad.99 m d < 3.5 d Dega dema masalah d atas dapat dubah mejad masalah peara besar lagah muma: f d dega edala: mas

89 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 76 dega.99 m d ; d < ja d ja d < Lagah selajuta adalah memetaa peelesaa baru e ruag peelesaa awal, agar ddapat suatu perpdaha peelesaa embal utu soal. Hal dapat dlaua dega megguaa trasformas vers, a. Dar persamaa 3., maa ddapata X Dar persamaa 3.9, maa ddapata X d X X d Dar persamaa 3.3, maa ddapata X d 3.5 d 3.53 dega d X d 3.54 I berart arah perpdaha d ruag peelesaa awal atu d, dega. d X d da besar lagaha adalah

90 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 77 Perhata embal persamaa 3.5, atu X d Dar persamaa 3.49, maa X [ I X X X X ] X [ X X X [ w ] 3.55 ] dega w X X 3.56 Perhata persamaa 3.55, arah perpdaha d ruag peelesaa awal dapat juga dtuls d X [ w ] 3.57 Perhata embal persamaa 3.49, atu d [ I X X X ] X X X Dar persamaa 3.56, maa ddapata X X d X X w X [ w ] 3.58 atau d X r 3.59 dega r w 3.6

91 78 da dua pegamata petg ag perlu dperhata ds: Pegamata sala d P da d X d. sala P adalah pemetaa proes, maa dapat dlhat bahwa d d X Dar persamaa 3.8, maa ddapata d X d X Dar persamaa 3.8, maa ddapata d Dar persamaa 3.48, maa ddapata P Dar sfat., a, PP P da P P maa ddapata P P P P P P P P Dar persamaa.5, maa d 3.6 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI

92 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 79 Sehgga ja arah perpdaha d berart ada perpdaha ag terjad dar e. Sedaga ja d berart, maa berart sudah tda terjad perpdaha, maa proses teras berhet. Beberapa teorema ag petg utu ods arah laa d dbera oleh teorema berut: eorema 3. sala P. sala d pada ruag ol dar dega d > maa la fugs sasara f masalah program lear dar soal adalah ta terbatas ubouded, maa soal tda mempua peelesaa optmum. But: Detahu Karea P maa d pada ruag ol dar R dega b dega d >, > aa d adalah laa utu soal B, utu setap > Dar persamaa 3.6, a d Sehgga utu d > maa batas masmum ag memeuh d adalah mas aa aa meapa atau ta terbatas aa soal tda mempua peelesaa optmum.

93 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 8 eorema 3. sala P. sala d pada ruag ol dega d maa peelesaa laa dar soal adalah peelesaa optmum. But: Detahu P maa R dega b, > Detahu d P, dega P matrs proes pada ruag ol Karea d aa I d P u dega u Perhata bahwa sebeara u w, dega X. Dar persamaa 3.8 da persamaa 3., maa ddapata X u X Dar persamaa 3.8, maa ddapata X u X Dar persamaa.3, maa ddapata u X X u X X X X

94 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 8 u sala adalah peelesaa laa dar u u b u b b, maa Dega megguaa teorema.6, dperoleh peelesaa optmum soal prmal. Pegamata Ja adalah verte, maa persamaa 3.56, a w X X Dapat dsederhaaa mejad w B B 3.6 dega B X da X B Perhata persamaa 3.6, bla edua ruas dala dega B maa ddapata B w B B B B w B Vetor w dsebut sebaga peduga dual dual estmates ag bersesuaa dega peelesaa prmal.

95 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 8 Perhata persamaa 3.6, a r w Persamaa 3.6 d atas dapat dsederhaaa mejad r B B r dsebut vetor ogos teredus redued ost vetor ag bersesuaa dega. sala dea trasformas affe-salg, maa peelesaa prmal. Bla X Dar sfat 3.3, a e aa e X Bla edua ruas dtrasposa, maa ddapata e X Dar persamaa 3.9, maa ddapata e X e X X X e X Dar persamaa 3.8, maa ddapata e X X e Bla dala dega X e r r, maa r

96 PLGI ERUPKN INDKN IDK ERPUJI 83 Ja r, maa peduga dual w aa mejad peelesaa laa dual. Da X e r r dsebut dualt gap dar pasaga peelesaa laa, w, a b w e X r 3.63 Perhata persamaa 3.63 tersebut, ja e X r da r, maa b w, arta bahwa peelesaa laa soal prmal, atu sama dega peelesaa laa soal dual, atu w. Dar teorema.6, maa adalah peelesaa optmum soal prmal da soal dual. w adalah peelesaa optmum B. lgortma Prmal ffe-salg Dar uraa pada baga-baga sebeluma, maa algortma prmal affe- salg utu masalah: muma: dega edala: f b dega adalah matrs m ag mempua ra peuh m da m, b adalah vetor ag pajaga m,, adalah vetor ag pajaga. Dapat dsusu sebaga berut: Lagah : Isalsas Plh tt-dalam awal ag memeuh: