PENERAPAN OPTIMASI CHAOS DAN METODE BFGS (BROYDEN, BROYDEN, FLETCHER, GOLDFARB, AND SHANNO) PADA PENYELESAIAN PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER

Transkripsi

1 PENERAPAN OPTIMASI CHAOS DAN METODE BFGS (BROYDEN, BROYDEN, FLETCHER, GOLDFARB, AND SHANNO PADA PENYELESAIAN PERMASALAHAN SISTEM PERSAMAAN NONLINIER Rully Soelama, Nur Chasa Faultas Teolog Iormas Isttut Teolog Sepuluh Nopember Kampus Keputh, Suollo, Surabaya 0, Idoesa Emal : rully@s.ts.ac.d Abstra Peyelesaa permasalaha sstem persamaa oler merupaa salah satu hal yag palg sult dalam asus omputas umer da metode Newto merupaa salah satu metode yag baya dguaa utu meyelesaaya. Koverges dar metode Newto sagat sest terhadap perraa awal solus. Tetap sagatlah sult memlh perraa awal solus yag bagus utu sebaga besar sstem persamaa oler. Sela tu, pegguaa matrs Jacoba membuat baya omputas utu metode Newto mejad besar. Metode Quas-Newto merupaa perbaa dar metode Newto. Dega memaaata emampua pecara global dar optmas chaos da la overges yag tgg dar metode Quas-Newto, maa pedeata gabuga dar edua metode tersebut dusula. Pada paper dguaa algortma optmas chaos yag haslya aa djada put sebaga perraa awal solus pada algortma Quas- Newto. Dar hasl peguja da evaluas, dega pedeata gabuga dperoleh tgat overges yag tgg da tda dperlua lag perraa awal solus utu dapat meyelesaa permasalaha sstem persamaa oler. Kata uc : sstem persamaa oler, optmas chaos, metode Quas-Newto.. Pedahulua Peyelesaa sstem persamaa o ler merupaa salah satu hal yag palg sult dalam asus omputas umer. Dperlua usaha yag besar utu bsa meyelesaa stem persamaa o ler da sampa searag terdapat baya macam teor da algortma yag dguaa utu meyelesaa asus. Para ahl berlomba mecar metode yag palg bear, palg eet da palg ese. Tetap pada eyataaya mash dtemu rtaga dalam peyelesaa sstem persamaa o ler. Setap metode da algortma yag ada mempuya elebha da euraga masg-masg. Chaos, sat acau atau tda beratura yag sebearya bersat determst atau bsa dtetua, merupaa eomea yag baya terjad d baya sstem dalam bdag lmu pegetahua. Chaos Optmzato Algorthm (COA merupaa algortma optmas yag berdasara ergodcty, stochastc propertes, da regularty dar chaos tu sedr. Metode Newto merupaa metode yag palg baya dguaa utu meyelesaa sstem persamaaa o ler. Tetap metode mempuya elemaha, atara la tggya watu yag dguaa area pada metode terdapat teras yag d dalamya megadug matrs Jacoba. Utu megatas masalah tersebut, mucullah metode Quas-Newto yag merupaa perbaa dar metode Newto. Quas- Newto meggat omputas yag bersat dervat dega ugs omputas lagsug. Quas-Newto merupaa salah satu ucostraed Optmzato utu permasalaha o ler. D dalam paper aa dcar peyelesaa sstem persamaa o ler dega megguaa suatu pedeata yag merupaa peggabuga atara dua metode d atas yatu Chaos Optmzato Algorthm (COA dega metode Quas-Newto. Dharapa elebha dar edua metode tersebut aa meghasla peyelesaa yag ese yatu dega megambl emampua global search dar COA da rata-rata overges loal yag tgg yag dml oleh metode Quas-Newto.. Sstem Persamaa Noler Peyelesaa persamaa o ler adalah peetua aar-aar persamaa oler, dmaa aar sebuah persamaa ( = 0 adalah la-la yag meyebaba la ( sama dega ol. Sstem persamaa oler adalah umpula dar beberapa persamaa oler yag dcar

2 peyelesaaya. Betu persamaaya adalah sebaga berut (,,, 0 (, (,,,,, 0 0 ( Hasl peyelesaaya adalah = (,,..., T. Utu meyelesaa sstem persamaa o ler euvale dega memmala ugs utama yag d jabara sebaga berut: Dcar : = (,,..., T, Φ M : F ( ( ( dmaa Φ adalah ruag peyelesaa. Fugs det post da meml global mmum d setap aar pemecahaya. Bla mmsas dar F( adalah 0, maa adalah solus yag tepat [].. Metode Quas-Newto dega BFGS Metode merupaa perbaa dar metode Newto. Metode Newto bergera berdasara ormas dervat da berasal dar aalss deret Taylor []. Format terat utu metode Newto dapat dtuls sebaga berut ( ( ( ( J ( ( ( dmaa J( adalah matrs Jacoba ( ( J ( ( ( ( ( ( ( ( ( Utu asus optmas, metode Newto dterapa pada ods ( 0 []. Jacoba dar ( adalah ( matrs Hessa, sehgga da basa dsebut ( ( ( ( H ( J ( ( Metode Quas-Newto meggat omputas yag bersat dervat dega ugs omputas lagsug. Matrs Hessa H dgat dega aprosmas atau perraa matrs Hessa A yag merupaa matrs det post yag mempuya sat sepert matrs Hessa []. Format terat dar metode adalah sebaga berut: ( ( ( ( S ( ( dmaa adalah step legth yag dapat ( ( ( memmuma ugs ( ( S da ( S adalah search drecto. Search drecto ddesa sebaga berut: ( ( ( S ( A ( (7 Metode Quas-Newto berbeda dalam bagamaa perraa matrs Hessa dbetu da dupdate. Metode Quas-Newto yag palg sederhaa meetapa perraa matrs Hessa sebaga matrs dettas. Cara update yag palg tereal adalah dega metode Broyde, Fletcher, Goldarb, ad Shao (BFGS. Metode deal aa etahaaya (robustess da dapat mecapa oerges superlear dega ba []. Rumus yag dguaa utu update matrs Hessa adalah ( ( T ( ( T ( ( q ( q g ( g A A ( T ( ( T ( ( q s ( g (8 dmaa q ( ( ( ( (, g (, ( ( ( ( S, s ( ( (. Algortma Optmas Chaos (COA Optmas chaos merupaa te pembagta blaga radom dega megguaa ugs chaos, bsa berbetu ugs polomal atau espoesal sepert persamaa logst d dalam eolog yag dguaa utu meghtug pertumbuha populas suatu speses [0]. Salah satu ugs chaos sederhaa adalah persamaa logst (logstc map. Persamaa logst dyataa sebaga berut [] t t ( t (9 dmaa ostata λ meyataa laju pertumbuha ugs, yag dalam hal 0 λ, 0 t 0, = 0,,,..., Keta [., ] meyebaba persamaa (9 mejad chaotc. Chaos Optmzato Algorthm (COA merupaa algortma optmas yag berdasara ergodcty, stochastc propertes, da regularty dar chaos tu sedr. Utu masalah optmas sepert dbawah m (,,,, [ a, b ],,,, (0 dperraa,,,, t ( t, t,, t. ( Secara umum gars besar algortma optmas chaos dapat dbera sebaga berut: Step. Isalsas = 0, r = 0, adalah varabel tada utu setap teras chaos, r adalah varabel tada utu

3 pecara. Tetapa jumlah teras masmum utu varabel chaos yatu K ma da jumlah teras masmum utu pecara (e search yatu r ma. Membuat la t 0 dega radom la atara [0,] da emuda memasta bahwa t 0 (0, 0., 0., 0.7,.0. Tetapa bahwa la 0 0 r r t t, t* t, a a, b b, dmaa t* adalah varabel chaos terba pada saat, a da b adalah batas ruag pecara (search space, emuda tetua la * dega megaca (radom dega batas ruag pecara [a,b] da htug *= (*. Step. Mappg varabel yatu Memetaa t e daerah optmas, sehgga r r r a t ( b a Step Htug (, badga haslya dega *. Ja ( < * maa * = (, * =, t* t Step. Iteras varabel chaos = + ; t t (.0 t Step Ja < K ma maa ulag step. Ja tda, maa r = r + da lajuta e step. Step. Ubah batas pecara r * r r r * r r a ( b a ; b ( b a Ja r r a < a r maa a r b > b r maa b = r r a r. Ja b dmaa (0,0. Step 7 Ja r < r ma, maa buat t 0 melalu radom, 0 t t, emuda embal tetua = 0, da e step. Ja tda, maa COA dahr da * adalah solusya.. Pedeata gabuga Ide utama dalam paper adalah meggabuga dua metode optmas utu meyelesaa permasalaha sstem persamaa oler. Optmas chaos (COA dguaa utu meyelesaa sstem persamaa oler dega megoptmas persamaa (, sedaga metode Quas-Newto dguaa utu meyelesaa sstem persamaa oler berdasara persamaa ( dega megguaa solus yag dhasla dar optmas chaos (COA sebaga perraa awal solus. Proses aa dulag sampa ddapata solus yag aurat []. Gabuga atara metode bsa djabara sepert berut : Step I. Meetua soluto error 0 da mejalaa step dar metode COA. Step II. Mejalaa step - dar metode COA da ugs objetya ddesrpsa sebaga persamaa ( Step III. Jada solus * yag ddapata dar COA sebaga salsas awal pada metode quas Newto, emuda selesaa sstem persamaa o lear yag ddesrpsa d persamaa ( da dapata solus **; ja F(** < F(*, buat * = **. Step IV Ja = ma ( (* ( =,,..., < 0. algortma hybrd dheta; ja tda r > r ma, heta algortma hybrd, ja tda buat * sebaga perraa awal dar pecara chaos. Hasla t 0 dega aca, = 0, t = t 0, r := r +, emuda embal e step. Uj Coba da Aalss Uj coba dlaua pada sebuah PC dega prosesor Itel(R Core(TM Duo CPU ( CPUs dega memor sebesar MB RAM. Sstem operas yag dguaa adalah Wdows Vsta Home Basc da bahasa omputas yag dguaa utu mplemetas metode adalah Matlab Vers 7.0. Utu membuta apabltas metode yag dtawara, uj coba dlaua terhadap sstem persamaa oler yag berbeda.. Sstem persamaa oler Betu dar sstem persamaa oler adalah ( ( ( ( ( ( e e. 0.9 Solus utu sstem persamaa oler [] adalah * = (-,, -,, -, T, *= (-.,.70, -0.,.789, -0.78,.97 T da *= (-.0, -0.09, 0.9,.797, -.09,.98 T. Ujcoba dlaua dega megguaa ma 00, r ma 00 da batas ruag pecara a da b atara [0, 0].

4 Hasl perhtuga dar percobaa adalah sebaga berut : - Solus COA : (0.99, 0.09,.98, 0.98,.7,.9 - Solus Ahr : (-,, -,, -, - Jumlah teras : 0 Pada tahap uj coba, setap sstem persamaa oler meml gra trayetor yag merepresetasa pergeraa la aprosmas solus yag dhasla oleh metode peyelesaa pada tap teras. Gambar merupaa gra trayetor peyelesaa sstem persamaa oler dega megguaa COA, sedaga gambar merupaa gra trayetor peyelesaa sstem persama oler dega megguaa metode gabuga. Dar Gambar dapat dlhat bahwa metode gabuga (COA da quas-newto dapat meujua perorma establa da overges pada satu tt esetmbaga yag mejad solus optmal dar sstem persamaa oler. Gambar Gra trayetor peyelesaa SPNL dega COA Gambar Gra trayetor peyelesaa SPNL dega metode gabuga Utu megetahu ebeara dar solus yag dhasla dar metode gabuga, maa solus yag sudah ddapat dbadga dega solus sebearya yag sudah terseda pada [] da dar Gambar dapat terlhat bahwa tgat esalaha dar solus yag ddapat utu sstem persamaa oler mecapa aga 0. Selsh terahr atara solus yag dhasla dar metode gabuga dega solus sebearya adalah (0, 0, 0, 0, 0, 0 da solus sama dega *. Gambar Gra tgat esalaha SPNL. Sstem persamaa oler Betu dar sstem persamaa oler adalah sebaga berut A bh ( b t ( h t, I I y bh ( b t ( h t ( h t ( b t h b t Sstem persamaa oler merupaa pecara solus utu uura geometr dar baga balo peyagga (grder secto rectagular pada suatu bagua []. b adalah lebar dar baga grder, h adalah tgg dar baga grder da t adalah etebala dar baga grder. Detahu bahwa A=, I y = 99, I = 8. Utu asus, terdapat ods bahwa h b t 0. Kods mejada sstem persamaa oler mempuya batasa (costrat yag berupa pertdasamaa, batasa tersebut adalah g ( b h 0, g ( t b 0, g ( t 0 Utu megatas permasalaha area adaya batasa, maa dguaa ugs pealty, sehgga ugs objet drumusa sebaga berut: t F ( M ma( 0, g ( ( Dmaa M adalah oese pealty. Solus sebearya berdasara [] adalah * = (.899,.,.7898 T, * = - *, *= (.78,8.9089,.977 T, *= - *,,

5 * = (.77, -.70,.0078 T, * = - *. Ujcoba dlaua dega megguaa ma 00, r ma 00 da batas ruag pecara a da b atara [0, 0]. Dar Gambar dapat dlhat bahwa metode gabuga (COA da quas-newto dapat meujua perorma establa da overges pada satu tt esetmbaga yag mejad solus optmal dar sstem persamaa oler. Hasl perhtuga dar uj coba adalah sebaga berut : - Solus COA : (.878,.88,. - Solus Ahr : (.909,.8, Jumlah teras : Da dar Gambar dapat dlhat juga bahwa tgat esalaha dar solus yag ddapat utu sstem persamaa oler medeat aga 0, hal meujua bahwa solus yag dhasla merupaa solus yag tepat. Selsh terahr atara solus yag dhasla dar metode gabuga dega solus sebearya adalah (0.07, 0.087, da solus megarah pada *. Gambar Gra trayetor peyelesaa SPNL dega COA Gambar Gra trayetor peyelesaa SPNL dega metode gabuga Gambar Gra tgat esalaha SPNL. Sstem persamaa oler Betu dar sstem persamaa oler adalah sebaga berut K K K K K K 0, 9 0 j j R 0, , ( p / 7 ( p / ( p / 8 0, 0, 8 ( p / ( p / 9 0, 0, 0, 0, 0 R 0, Sstem persamaa oler dguaa utu mecar solus dar permasalaha Combusto o Propae []. Masalah esetmbaga ma meggambara pembaara propae d udara. Terdapat varabel, dmaa ( =,,,..., 0 adalah jumlah mol dar setap produ yag terbetu utu setap pembaara propae. Varabel e- dguaa utu meyederhaaa persamaa da merupaa jumlah dar 0 varabel yag la. Terdapat 0 produ dar pembaara yag dtujua dega ( =,,,..., 0. Persamaa merupaa syarat bahwa jumlah dar 0 varabel ( =,,,..., 0 adalah sama dega varabel e-. Parameter yag sudah past adalah p (teaa pada atmoser da R (perbadga udara tehadap baha baar. K, K, K 7, K 8, K 9, da K 0 adalah uura data. Idealya, dharapa semua ( =,,,..., mejad ol.

6 Parameter-parameter yag dguaa utu sstem persamaa oler adalah : R = 0, p = 0, K =.0, K =.0, K 7 =.0, K 8 = 0., K 9 =.0, K 0 = 0.. Karea sstem persamaa oler megguaa operas, maa,,,, da harus lebh besar dar ol. Metode quasewto tda bsa mejam hal. Berdasara percobaa yag sudah dlaua, ja program dmplemetas berdasara persamaa maa aa selalu terjad eaeha. Sehgga, operas drubah mejad. Berdasara [], solus sebearya utu sstem persamaa oler adalah * = (.78887,.7909, 8.80,.,.08,.09798, 0.9, 0.0,.80, 0.07, T * = (.0,.79,.7, -.0, -.89,.890,.0007, -0.7, , 0.70,.8 T. Ujcoba dlaua dega megguaa ma 00, r ma 00 da batas ruag pecara a da b atara [0,0]. Dar Gambar 7 dapat dlhat bahwa metode gabuga (COA da quas-newto dapat meujua perorma establa da overges pada satu tt esetmbaga yag mejad solus optmal dar sstem persamaa oler Hasl perhtuga dar uj coba adalah sebaga berut : - Solus COA : (.8, 8.0,.97, , 0.7, 7.77,.78, 0.8,.9, 8.78,.8 - Solus ahr : (.7888,.79, 8.8,.,.08,.0979, 0.909, 0.0,., 0.077, Jumlah teras : Gambar 8 meujua tgat esalaha dar solus yag dhasla metode peyelesaa terhadap solus sebearya. Dar gambar tersebut terlhat bahwa tgat esalaha medeat aga 0. Selsh hasl berdasara perhtuga adalah ( , , , , , , , ,0.0000, , Dega dema solus yag dhasla bsa dataa bear da solus sesua dega *. Utu megetahu pegaruh dar varabelvarabel yag ada, maa dlaua ujcoba utu masg-masg sstem persamaa oler dega merubah la varabel-varabel tersebut. Varabelvarabel yag duj adalah ma, r ma, da batas ruag pecara a da b. Khusus utu sstem persamaa oler, perubaha la M juga dperhtuga. Gambar 7 Gra trayetor peyelesaa SPNL dega COA Gambar 8 Gra trayetor peyelesaa SPNL dega metode gabuga Gambar 9 Gra tgat esalaha SPNL

7 Dar beberapa uj coba yag dlaua ddapata hasl sepert pada Tabel, Tabel, Tabel, da Tabel. Searo Searo Searo Solus ter Solus ter Solus ter Tabel Pegaruh ma, rma da batas ruag pecara terhadap solus SPNL Keteraga Tabel : Searo = ma 00, rma 00, a = 0, b = 0 Searo = ma 00, rma 00, a = 0, b = 0 Searo = ma 00, rma 00, a = 0, b = 0 Searo Searo Searo Solus ter Solus ter Solus ter Tabel Pegaruh ma, rma da batas ruag pecara terhadap solus SPNL Keteraga Tabel : Searo = ma 00, rma 00, a = 0, b = 00 Searo = ma 00, rma 00, a = 0, b = 00 Searo = ma 00, rma 00, a = 0, b = 0 Solus ter M = M = M = M = M = Tabel Pegaruh M terhadap solus SPNL Searo Searo Searo Solus ter Solus ter Solus ter Tabel Pegaruh ma, rma da batas ruag pecara terhadap solus SPNL Keteraga Tabel : Searo = ma 00, rma 00, a = 0, b = 00 Searo = ma 00, rma 00, a = 0, b = 00 Searo = ma 00, rma 00, a = 0, b = 0 Dar Tabel, Tabel, da Tabel terlhat bahwa jumlah teras masmum utu algortma COA cuup berpegaruh terhadap solus yag dhasla. Hal dapat dlhat dar jumlah teras da selsh atara solus yag dhasla dega solus sebearya. Sema besar teras masmum, maa sema aurat solus yag dhasla. Sema sempt batas ruag pecara, maa sema mudah solus dtemua. Tabel meujua pegaruh la pealty M terhadap solus yag dhasla pada sstem persamaa oler. Uj coba dlaua dega megguaa la ma = 00, rma = 00, a = 0, da b = 0. Nla perraa awal solus tda dambl dar algortma COA, tetap dtetapa berla (,, 7 T. Dar tabel tersebut terlhat bahwa haya uj coba dega M = 0 yag dapat membera hasl yag sesua dega solus sebearya, dega dema la M yag optmal utu sstem persamaa oler adalah Kesmpula Setelah dlaua uj coba da aalss terhadap peragat lua yag dbuat, maa dapat dambl smpula sebaga berut:. Metode gabuga dar algortma optmas chaos (COA da metode quas-newto dapat meyelesaa sstem persamaa oler dega ba.. Algortma optmas chaos mampu beerja dega ba dalam medapata la perraa awal solus yag selajutya dguaa sebaga puta pada metode quas-newto. Koverges utu algortma optmas chaos terjad pada jumlah teras yag besar. Hal dapat dlhat dar hasl ujcoba. Sema besar la ma da r ma maa solus yag dhasla sema medeat solus sebearya sehgga memudaha dalam peghtuga megguaa metode quas-newto.. Perubaha la batas ruag pecara (search space sagat mempegaruh eberhasla metode. Keta batas ruag pecara sema sempt da sema medeat batas ruag solus, maa solus sebearya aa sema mudah ddapata.. Khusus utu sstem persamaa oler, la oese pealty juga mempegaruh eberhasla metode. Koese pealty harus

8 masmal berla 0 utu bsa meyelesaa sstem persamaa oler. 8. Datar Pustaa [] Luo, Ya-Zhog, Guo-J Tag, L-N Zhou. (007. Hybrd approach or solvg systems o olear equatos usg chaos optmzato ad quas-newto method. SceceDrect, Appled Sot Computg 8 (008, [] Veatarama, P. (00. Appled Optmzato wth Matlab Programmg. Joh Wley & Sos, New Yor. [] Arora, Jasbr. S. (000. Itroducto to Optmum Desg. [] Dg, Yag, Eeleda Lush, Qgguo L. Ivestgato o Quas-Newto Methods or Ucostraed Optmzato. Smo Fraser Uversty, Caada. [] Nash, Stephe G., Arela Soer. (99. Lear ad Nolear Programmg. McGraw-Hll, USA. [] Rao, S.S. (98. Optmzato, Theory ad Applcatos (Secod Edto. Wley Easter Lmted, New Delh. [7] Hlbor, Robert C. (99. Chaos ad Nolear Dyamcs. Oord Uversty Press, New Yor. [8] Rasbad, S. Nel. (000. Chaotc Dyamcs o Nolear Systems. Joh Wley & Sos, New Yor. [9] Jaqag, Chuhua Wag, Yaoa Wag, Je Gog. (008. A New Adaptve Mutatve Scale Chaos Optmzato Algorthm ad ts Applcato. [J] Cotrol Theory ad Applcato, 008, ( : -. [0] Davedra, Doald, Iva Zela, Godrey Owubolu. (007. Chaotc Optmzato. Proceedgs st Europea Coerece o Modellg ad Smulato. [] Teg, Hao, Baohua Zhao, Bgru Yag, B He. Study o Quatum Geetc Algorthm Based o Mutatve Scale Chaotc Optmzato. Cha. [] Hu-Jua, Lu, Zhag Huo-mg, Ma Loghua. (00. A ew Optmzato Algorthm Based o Chaos. Joural o Zhejag Uversty Scece A, ISSN