XIII. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 5 0

Transkripsi

1 XIII Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

2 CERMAT Cerdas Matematika MODUL DAN LEMBAR KERJA SISWA (LKS) MATEMATIKA KELOMPOK TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XII SEMESTER GASAL Disusun oleh : Dirwanto Nama Siswa N I S Tingkat :.. :.. :.. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

3 KATA PENGANTAR Puji syukur penyusun panjatkan kehadirat Allah SWT karena hanya dengan ridho Nya penyusun telah menyelesaiakan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) matematika SMK untuk Tingkat XII semester gasal pada kelompok Teknologi dan Industri. Tujuan dalam penyusunan Modul dan Lembar Kerja Siswa (LKS) ini adalah untuk membantu proses belajar mengajar, sehingga diharapkan bisa menjadi sarana belajar siswa agar lebih mudah untuk memahami materi yang dipelajari. Dan juga Modul dan LKS ini dapat dijadikan sebagai alat untuk mengukur tingkat keberhasilan siswa dalam proses belajar mengajar. Modul dan Lembar Kerja Siswa ini disusun berdasarkan kurikulum SMK edisi tahun 6 yang isinya mencakup : * Materi singkat * Contoh soal-soal * Latihan soal-soal * Evalausi tiap pokok bahasan * Ulangan harian * Ulangan Umum Semester Penyusun menyadari bahwa dalam penyusunan Modul dan LKS ini masih jauh dari sempurna, untuk itu saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan agar lebih baik lagi. Penyusun mengucapkan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah mambantu penyusun sehingga terselesaikannya Modul dan LKS ini. Jakarta, Mei 9 Penyusun Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

4 STANDAR KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR MATEMATIKA TEKNOLOGI DAN INDUSTRI TINGKAT XII KURIKULUM 6 Standar Kompetensi 6. Menggunakan konsep it fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar 6. Menjelaskan secara intuitif arti it fungsi di suatu titik dan di tak hingga 6. Menggunakan sifat it fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri 6. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi 6. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah 6. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya 7. Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah 7. Memahami konsep integral tak tentu dan integral tentu 7. Menghitung integral tak tentu dan integral tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang sederhana 7. Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dan volum benda putar Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

5 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL. KATA PENGANTAR.. PETA KOMPETENSI. DAFTAR ISI... KOMPETENSI 6LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI 6..Pengertian it fungsi Limit fungsi aljabar da n trigonometri Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri Turunan fungsi aljabar dan trigonometri Turunan Fungsi Aljabar Turunan Fungsi Trigonometri Fungsi naik, fungsi turun, dan stationer.... Fungsi naik, turun, dan stationer.... Persamaan garis singgung.... Teorema L'Hospital Pemakaian turunan Hubungan antara jarak, kecepatan dan percepatan.... Maksimum dan Minimum... 6 KOMPETENSI 7INTEGRAL Integral tak tentu dan integral tertentu.... Integral Tak Tentu Integral Tertentu Integral substitusi dan intergal parsial.... Integral Substitusi Integral Parsial Pemakaian integral Luas Daerah Volume Benda Putar LATIHAN ULANGAN UMUM 7 DAFTAR PUSTAKA. 78 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

6 KOMPETENSI 6 LIMIT DAN TURUNAN FUNGSI LIMIT AND DERIVATIVE FUNCTION Standar Kompetensi : 6. Menggunakan konsep it fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : 6.. Menjelaskan secara intuitif arti it fungsi di suatu titik dan di tak hingga 6.. Menggunakan sifat it fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri 6.. Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi 6.. Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah 6.. Menyelesa ikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya. Alokasi Waktu : 6 jam pelajaran Dilaksanakan : Pada minggu ke s.d. ke 9 Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dasar it dan turunan fungsi pada permasalahan, baik dalam pelajaran di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari. 6.. Pengertian Limit Fungsi 6.. Understanding of Limit Function Indikator :. Arti it fungsi di satu titik dijelaskan melalui perhitungan nilai-nilai disekitar titik tersebut. Arti it fungsi di tak hingga dijelaskan melalui grafik dan perhitungan. Tujuan : Siswa dapat :. Menjelaskan pengertian tentang it fungsi disuatu titik melalui perhitungan. Menjelaskan pengertian tentang it fungsi ta k terhingga. Menerapkan konsep it fungsi dalam menyelesaikan masalah program keahlian Uraian Materi : Limit dapat digunakan unuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik tertentu terhadap fungsi tersebut. Kita ambil contoh untuk fungsi f () +, untuk, hasilnya adalah bilangan () + () yang tak terdefinisikan yaitu : f (). Sehingga tidak dapat mencari nilai fungsi untuk tepat sama dengan, ma lainkan mendekati. + Nilai it fungsi f () untuk mendekati ditulis :. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

7 Pendekatan suatu bilangan ada dua arah, yaitu arah dari bilangan yang lebih kecil disebut it kiri dan dari arah bilangan yang lebih besar disebut it kanan. Jika nilai it kiri f() sama dengan nilai it kanan f() maka ada nilai itnya. Sebaliknya jika nilai it kiri f() tidak sama dengan nilai it kanan f() maka nilai itnya tidak ada. Limit kiri yaitu + pendekatan dari arah kiri,,,6,8,9,99 f () 6 7 7, 7, 7,6 7,8 7,9 7,99 f () 8 + Limit kanan yaitu pendekatan dari kanan +,8,6,,,, f () 9 8,8 8,6 8, 8, 8, 8, Dengan demikian it kiri sama dengan it kanan, yaitu : f () 8 Untuk contoh kedua, kita ambil untuk fungsi f () trigonometri dengan it mendekati. sin f () ( dalam radian), untuk maka f () tidak terdefinisikan, karena o sin f (). sin Untuk bergerak mendekati ( ) dari kanan ke kiri, hasilnya bisa dilihat pada tabel di bawah ini. (radian),,8,6,,, sin,8,8967,9,97,99,9999 sin Untuk bergerak mendekati ( ) dari kiri ke kanan, hasilnya dapat dilihat + pada tabel berikut ini. (radian),,8,6,,, sin,8,8967,9,97,99,9999 Dari kedua tabel di atas ternyata untuk, f (). Berdasarkan hasil tersebut dapat sin dinyatakan dengan rumus : Berdasarkan uraian tersebut kita dapat mendefinisikan it secara intuitif, yaitu : Bahwa f () k berarti bila dekat tetapi berlainan dari a maka f () dekat ke k. a Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

8 6.. Limit Fungsi Aljabar dan Trigonometri 6.. Limit of Algebraic and Trigonometric Function Indikator :. Sifat-sifat it digunakan dalam menghitung nilai it. Bentuk tak tentu dari it fungsi ditentukan nilainya. Limit fungsi aljabar dan trigonometri dihitung dengan menggunakan sifat-sifat it Tujuan : Siswa dapat :. Menentukan sifat-sifat it fungsi.. Menghitung it fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat it.. Melakukan perhitungan it dengan manipulasi aljabar. Mengenal macam-macam bentuk tak tentu. Menghitung nilai it tak tentu. 6. Menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat it fungsi Uraian Materi :. Limit Fungsi Aljabar. Limit of Algebraic Function Secara umum bentuk it ditulis : Jika f (a) k, maka Jika f (a) k, maka f a f a () k () f a () f (a) Jika f (a) k, maka f a () 8 Untuk menentukan nilai dari it, diganti dengan a (batas dari it). Contoh : () + () + (). + () + () + 6 6() Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 7

9 Jika f a () dan g () a atau diuraikan terlebih dahulu. Contoh :., sehingga f() a g() maka harus difaktorkan substitusi langsung : (tidak boleh) (...)( ) (perhatikan angka belakang : berapa kali ( -) - ( ) hasilnya (+) (-) - + ( -). ( - ) - - ( - ) ( ) ( ) + 6 Substitusi langsung : (tidak boleh) ( ) + ( ) (...) ( + ) (perhatikan angka belakang : berapa kali (...) ( + ) (+) hasilnya (-) dan berapa kali (+) hasilnya (+6) (-) dan (+) ( ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ? substitusi langsung : (tidak boleh) 7 ( ).( 9) + + ( 9) ( ) ? substitusi langsung : (tidak boleh). ( - 6) + ( - 6) ( - ) ( - ) 6 Jika f () dan g () a dengan f() dan g() fungsi akar, sehingga a f() maka harus dikalikan dengan nilai satu dari faktor sekawannya. a g() (a + b) sekawannya : (a b) atau sebaliknya (a b) sekawannya : (a + b) Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 8

10 Contoh :.? substitusi langsung : (tidak boleh) ( ). ( + ( ) ) substitusi langsung : (tidak boleh) ( + ). + + ( )( + + ) ( ) ( )( + + ) ( + + ) boleh) () substitusi langsung : () ( )( ) ( + ) ( + 7) (tidak ( )( ) + 7 ( )( ) ( ) ( ) ( () ) (+). + + substitusi langsung : +. ( + )( + ) ( )( + + ) ( )( + ) ( )( + + ) (tidak boleh) ( + ) ( + + ) Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 9

11 Jika f() dan g(), sehingga f() g() maka harus dibagi dengan pangkat tertinggi dari pembilang atau penyebutnya. Contoh : substitusi langsung : (tidak boleh) f () atas dan bawah harus dibagi dengan pangkat tertinggi ( ) ( ) + ( ) substitusi langsung : + 6 ( ) + 6( ) ( ) boleh) (tidak Jika f() dan g() dengan f() dan g() fungsi akar, sehingga f() g() maka harus diselesaikan dulu dengan dikalikan nilai satu dari faktor sekawannya. Contoh :. + + substitusi langsung : + ( ) + (tidak boleh) ( + ) ( ) Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

12 substitusi langsung : + 7 (tidak boleh) ( + 7) ( ) Untuk menjawab soal pilihan ganda : f() Untuk soal : maka yang harus dilihat pangkat terendahnya. g() Jika ada diatas hasilnya 8, jika ada dibawah hasilnya dan jika atas dan bawah pangkat terendahnya sama maka hasilnya lihat angka didepan f() Untuk soal : maka harus dilihat pangkat tertingginya g() Jika diatas hasilnya 8, jika pangkat tertingginya dibawah hasilnya dan jika atas dan bawah pangkat tertingginya sama maka hasilnya lihat angka di depan ; ; Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

13 Soal latihan : Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan sifat-sifat it a.. b a.. b a.. b.. +. a.. b a.. b. 6. EVALUASI A. Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar Nilai dari. a. 7 b. 6 c. d. e... a. b. c. d. e a. b. c. d. e a. b a. b. 8 6 c. d. c. d. e. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. e.

14 a. b a. 8 b. c. d. c. d a. b. c. d Nilai dari... + a. b. c. d... + a. b. c. d. 8 e. e. 6 e. e. e. B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

15 . Limit Fungsi Trigonometri. Limit of Trigonometric Function sin tan atau sin sin a a a sin a tan a a atau tan a tan a Untuk bentuk yang lainnya, jika dimasukan langsung ha silnya funsi f () harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri. Contoh :. sin sin sin... sin atau :. 6 6 tan 6.. tan tan 6. 6 atau : tan 6.. sin sin tan sin... tan. tan sin atau : tan o o cos cos. cos 9 π o o o o cos sin cos sin cos sin fungsi harus diuraikan dengan aturan rumus trigonometri. cos cos sin (cos sin ) (cos + sin ) cos (cos sin) (cos + sin ) π cos sin (cos sin ) π (cos + sin ) π cos o + sin o +. o cos cos substitusi langsung : (tidak boleh) o sin ().sin. f() harus diuraikan dengan menggunakan rumus trigonometri cos ( sin ) cos sin sin sin + sin sin sin sin. sin sin sin.. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

16 Soal latihan : Selesaikan soal-soal di bawah ini dengan aturan it. a. sin 6. b. tg.. a. sin tg. b. tg sin.. sin. b. sin. tg.. tg. b. tg.. sin cos. b. π cos sin. EVALUASI A. Pilihlah jawaban yang benar. sin.. a. b. sin. tg.. sin a. b... tg. sin 6 a. b.. sin a. b. c. d. e. c. d. e. 7 c. c. 9 d. e. d. e. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

17 sin.. a. b. c. d. e. 8 tg 6.. sin a. b. c. d. e. sin. cos 7.. π sin 8. a. b. + cos. π cos 6 c. d. e. a. b. c. d. e. 9. Nilai sin cotg adalah a. b. c. d. e. cos.... a. b. c. d. e. B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.. sin. tg 8.. tg sin.. cos.. cos. sin cos.. sin Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

18 ULANGAN HARIAN A. Pilihlah jawaban yang benar.. +. a. b. c. d. e.. 8. a. b. c. d. e a. b. c. d. e a. b. c. 7 d. e.. +. a. b. c. d. e. 6.. a. 8 b. c. d. e a. b. c. d. e a. b. 7 c. d. e a. b. c. d. e a. b. c. d. e. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 7

19 sin.. a. b. c. d. e. tg.. sin a. b. c. d. e. cos.. sin a. b. c. d. e. cos.. sin a. b. c. d. e.. π cos sin. a. b. c. d. e. B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar sin tg cos sin..... cos π cos sin.... Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 8

20 6.. Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri 6.. Derivative Algebraic and Trigonometric Function Indikator :. Arti fisis (sebagai laju perubahan) dan arti geometri dari turunan dijelaskan konsepnya. Turunan fungsi yang sederhana dihitung dengan menggunakan definisi turunan. Turunan fungsi dijelaska n sifat-sifatnya. Turunan fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan dengan menggunakan sifat-sifat turunan. Turunan fungsi komposisi ditentukan dengan menggunakan aturan rantai. Tujuan : Siswa dapat :. Mengtahui konsep laju perubahan nilai fungsi dan gambaran geometrisnya. Menjelaskan pengertian turunan fungsi.. Menghitung nilai turunan fungsi aljabar dengan menggunakan aturan turunan fungsi.. Menurunkan sifat-sifat turunan dengan menggunakani sifat lmit. Menentukan berbagai turunan fungsi aljabar dan trigonometri 6. Menentukan turunan fungsi dengan menggunakan aturan rantai 7. Melakukan latihan soal tentang turunan fungsi Uraian Materi :. Turunan Fungsi Aljabar. Derivative Algebraic Function Turunan pertama dari fungsi f() dilambangkan dengan f'(), dirumuskan dengan : f( + h) f() f'() h h Contoh :. Tentukan turunan pertama dari f() f ( + h) f ( ) ( + h) f'() h h h h ( + h + h ) + 8h + h h h h h 8h + h h(8 + h) (8 + h) h h h h h 8 + () 8 Jadi f() f'() 8 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 9

21 . Tentukan turunan pertama dari f() 6 f ( + h) f ( ) {( + h) 6( + h)} ( 6) f'() h h h h + h + h + h 6 6h + 6 h + h h h h h h( + h + h 6) ( + h + h 6) h h h + () + () 6 6 Jadi f() 6 f'() 6 + h 6h a. Rumus Turunan Fungsi Aljabar a. Formula of Derivative Algebraic Fuction Rumus Dasar Turunan. f () a n fi df ()/d atau f' () n. a n. f () a fi f' () a. f () a fi f' (). f () ln fi f'(). f () e fi f' () e Contoh :. Tentukan turunan pertama dari f() + f'() Turunan dari f() + 6 adalah : f' () Turunan dari f() ( ) ( + 6) adalah : f () f' () +. Turunan dari f() ( + ) adalah : f () f' () 8 + Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

22 + 6. Tentukan turunan pertama dari f () Sebelum diturunkan, fungsinya disederhanakan dulu 6 f () f' () + (-). f' () f' (). Turunan dari f () e adalah : f' () e f' () e 6. Tentukan turunan pertama dari fungsi f () f () f' ().. f' () Soal latihan : Tentukan turunan pertama dari fungsi :. a. f() + b. f() a. f() ( + ) b. f() ( + ) ( ).... a. f() ( 6) b. f() ( + ) a. f() b. f().... a. f() + b. f() ( )... Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

23 b. Aturan Rantai b. Chine Rule Turunan bentuk pangkat Contoh :. Tentukan turunan pertama dari f() ( + ) Misal : U + du/d f(u) U df()/du U ( + ) f'() df()/d df()/du. du/d ( + ). f'() 6( + ). Tentukan turunan pertama dari f() ( ) Misal : U du/d f(u) U df()/du U ( ) f'() df()/d df()/du. du/d ( ). f'() 8( ) Dari contoh diatas dapat dirumuskan sebagai berikut : F() U n fi f'() n. U n. U ' Contoh :. Tentukan turunan pertama dari f() ( ) f'(). ( ). ( ). Tentukan turunan pertama dari f() ( + 7) 7 f'() 7. ( + 7) 6. 8( + 7) 6. Tentukan turunan pertama dari f() ( + ) f() ( + ) ( + ) f'() ( + ). f'() ( + ).( + ) Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

24 Turunan bentuk perkalian Contoh :. Tentukan turunan pertama dari f() ( ) ( + ) Misal : U U' du/d V + V' dv/d f() U. V f'() du/d. V + dv/d. U f'() ( + ) + ( ) + + f'() + 7. Tentukan turunan pertama dari f() ( + ) ( ) Misal : U + U' du/d V V' dv/d f() U. V f'() du/d. V + dv/d. U f'() ( ) + ( + ) f'() + Dari contoh diatas maka dapat dirumuskan : f() U. V fi f'() U'. V + V'. U Contoh :. Tentukan turunan pertama dari f() (6 + ) ( ) f'() 6( ) + (6 + ) f'() 6 +. Tentukan turunan pertama dari f() ( ) ( + ) f'() ( + ) + ( ) + + f'() + Turunan bentuk pembagian Contoh : U U'. V V'. U f() f' () V V. Tentukan turunan pertama dari ( + ) ( ) ( ) f ( ) ( + ) f '( ) ( + ) f '( ) ( + ) ( + ) Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

25 ( + ). Tentukan turunan pertama dari f ( ) ( ) ( ) ( ( ) + ) 6 8 ( ) f '( ) 8 6 f '( ) ( ) 6 Dengan cara lain : a + b a. d c. b f ( ) f '( ) c + d ( c + d) Contoh : ( + ).( ). 9. f ( ) f '( ) ( ) ( ) ( ) 9 ( ). ( )..( ) + f ( ) f '( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Turunan fungsi f() e U F() e U fi f'() U'. e U Contoh :. f() e f'() e. f() e ( ) ( ) f'() e Soal latihan : Tentukan turunan pertama dari :. a. f() ( 7) b. f() (6 + ).... a. f() ( ) 6 b. f().... a. f() ( 7) (6 + ) b. f() ( + ) ( ).... a. f() ( + ) ( ) b. f() ( ) ( + ).... a. ( ) ( + 6) f ( ) b. f ( ) ( + ) ( + 7)... Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

26 c. Nilai Turunan c. Derivative Value Untuk menentukan nilai dari turunan fungsi f() f'(a). Fungsinya diturunkan terlebih dahulu, kemudian nya diganti dengan a Contoh :. Tentukan nilai f'() dari : f() + f'() 8 + f'() 8() Tentukan nilai f'() dari : f() ( + ) ( ) f() + + f'() + f'() () Tentukan nilai f'() dari : f() ( ) f() + f'() 8 f'() 8(). Tentukan nilai f'() dari : f() ( ) f'() ( ). 9( ) f'() 9(() ) 9(6 ) 9. 6 ( 7). Tentukan nilai f'() dari : f ( ) ( ).( ).( 7) + f '( ) ( ) ( ) ( ) f () (() ) ( ) ' Soal latihan : Tentukan nilai dari turunan pertama berikut ini.. a. f() + 9 f'()... b. f() + f'() a. f() ( + ) ( ) f'()... b. f() ( + ) ( ) f'( ) a. f() ( 7) f'( )... b. f() ( + ) f'() a. f() ( + ) f'()... b. f() ( ) f'() a. ( + ) ( ) f ( ) f'()... b. f ( ) f'()... ( + ) ( )... Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

27 EVALUASI A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. Turunan pertama dari fungsi f () + 6 adalah f' (). a c e. + 6 b d Turunan dari f () + adalah. a. b. c. d. e. +. Turunan pertama dari fungsi f () ( ) ( + ) adalah f' (). a. + c. 6 6 e. + b d Turunan pertama dari fungsi f () ( ) adalah f' (). a. + c. + e. b. + d.. Turunan pertama dari fungsi f () 8 6 adalah f' (). a. 8 b. 8 + c. 8 d. 8 + e Turunan pertama dari fungsi f () ( ) adalah f' (). Nilai f' (). a. 8 b. c. 6 d. e. 7. Turunan perta ma dari fungsi f () ( ) adalah f' (). Nilai f' (). a. b. 8 c. d. e Turunan pertama dari f() ( ) ( + 6) adalah f'(). Nilai dari f'(). a. 8 b. c. 8 d. 6 e. 9. (6 + ) Turunan pertama dari fungsi f () ( + ) adalah f' (). a b. c. d. e. ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + 6. Turunan pertama dari fungsi f() 6 6 a. + c b. + d. + adalah f'()... 6 e. + B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.. Tentukan turunan pertama dari fungsi : a. f() ( + ) ( ) b. f() ( + ). Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi : a. f() + unuk f'(). b. f() ( + ) untuk f'() c. f() ( ) ( + ) untuk f'( ) Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

28 . Turunan Fungsi Trigonometri. Derivative of Trigonometric Function a. Rumus Turunan Fungsi Trigonometri a. Formula of D erivative Trigonometric Function Rumus :. f () sin fi f' () cos ; f () sin a? f' () a cos a. f () cos fi f' () - sin ; f () cos a? f' () -a sin a. f () sin (a + b)? f' () a cos (a + b). f () cos (a + b)? f' () -a sin (a + b). f () tan? f' () sec ; f () tan a? f' () a sec a Contoh :. Turunan dari f () sin adalah : f'(). cos 6 cos. Turunan dari f () cos ( ) f'() -. cos ( ) -8 sin ( ). Tentukan turuna n pertama dari f() sin cos f'(). cos + sin 8 cos + sin. Tentukan turunan pertama dari f() sin f'() cos sin + cos. Tentukan turunan pertama dari f() sin ( ) + cos ( ) f'(). cos ( ) (-) sin ( ) 8 cos ( ) + sin ( ) 6. Tentukan turunan pertama dari f() cos ( + ) + sin ( 7) f'() sin ( + ) + cos ( 7) Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 7

29 b. Nilai Turunan b. Derivative Value Setelah fungsi f() diturunkan, kemudian diganti dengan nilai yang diminta Contoh :. Tentukan nilai f'(6 o ) dari f() sin adalah : f'() cos f' (6 o ) cos 6 o.. Tentukan nilai f'( o ) dari f() cos f'() 6 sin f'( o ) 6 sin ( o ) 6 sin 9 o Tentukan nilai f'( o ) dari f() sin f'() 8 cos f'( o ) 8 cos ( o ) 8 cos 8 o 8. ( ) 8 Soal Latihan :. Tentukan turunan pertama dari fungsi : a. f () sin c. f () sin ( ) b. f () sin d. f () sin ( ). Tentukan turunan pertama dari fungsi : a. f () cos c. f () cos ( ) b. f () cos d. f () cos ( ). Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi : a. f () sin f' ( o ). b. f () cos f' ( o ). EVALUASI A. Pilihlah jawaban yang paling benar.. Turunan pertama dari f () cos adalah f' (). a. 6 sin c. -6 sin e. sim b. 6 cos d. cos. Turunan pertama dari f () sin - cos adalah f' ()... a. cos - sin c. - cos + sin e. cos + sin b. - cos - sin d. sin - cos Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 8

30 . Turunan pertama dari f () cos ( - ) adalah f' ()... a. sin ( - ) c. - sin ( - ) e. - sin ( - ) b. sin ( - ) d. sin ( - ). Turunan dari f () sin ( - ) adalah f' ()... a. - cos ( - ) c. cos ( - ) e. sin ( - ) b. cos ( - ) d. -cos ( - ). Turunan pertama dari fungsi f () sin adalah f' (). a. cos c. cos e. sin b. cos d. cos 6. Turunan pertama dari fungsi f () cos ( ) adalah f' (). a. sin ( ) c. sin ( ) e. 6 sin ( ) b. 6 sin ( ) d. sin ( ) 7. Turunan pertama dari fungsi f () sin cos adalah f' (). a. cos sin c. cos 6 sin e. sin + 6 cos b. cos + sin d. cos + 6 sin 8. Turunan dari fungsi f() sin ( + 6 o ) adalah f'(). Nilai dari f'( o )... a. b. c. d. e. 9. Turunan dari f () cos adalah f' (). Nilai dari f ( o )... a. - b. - c. d. e.. Turunan dari sin adalah f' (). Nilai dari f' (6 o )... a. 6 b. c. d. - e. -6 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar!. Tentukan turunan pertama dari fungsi f () sin ( ).... Tentukan turunan dari f () cos ( ). Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi f () sin unuk f' (9 o ). Tentukan nilai turunan pertama dari fungsi f () cos () untuk f' ( o ).... Tentukan nilai dari turunan pertama dari fungsi f () sin - cos untuk f'( o )... Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 9

31 6.. Fungsi naik, Fungsi turun dan Stationer 6.. Function Increase, Decrease and Stationer Indikator :. Fungsi monoton naik dan turun ditentukan dengan menggunakan konsep turunan pertama. Sketsa grafik fungsi dinggambar dengan menggunakan sifat-sifat turunan. Titik ekstrim grafik fungsi ditentukan koordinatnya. Garis singgung sebuah fungsi ditentukan persamaannya Tujuan : Siswa dapat :. Mengenal secara geometris tentang fungsi naik dan turun. Mengidentifikasi fungsi naik atau fungsi turun menggunakan aturan turunan.. Menggambar sketsa grafik fungsi dengan menentukan perpotongan sumbu koordinat, titik stasioner dan kemonotonannya. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya. Menentukan persamaan garis singgung fungsi. Uraian Materi :. Fungsi naik, Fungsi turun dan Stationer. Function Increase, Decrease and Stationer y f () turun y f () f () naik Pada gambar fungsi f (), titik P terletak pada kurva dengan koordinat {a, f (a)}. Untuk < a, fungsi f () merupakan fungsi turun. Sedangkan untuk > a, fungsi f () merupakan fungsi naik. Untuk a, fungsi f () dalam kondisi diam(tidak turun dan tidak naik). Kondisi diam tersebut dinamakan stationer. {a, f ()} a. Fungsi turun, jika turunannya f' () < b. Fungsi naik, jika turunannya f' () > c. Fungsi diam (stationer), jika turunannya f' () Contoh :. Tentukan himpunan penyelesaian dari f () jika fungsinya turun. Syarat fungsi turun jika turunan fungsi f () < f' () < f () f' () < < (dibagi dengan ) + < ( + ) ( ) < + > < < < HP : { < < } Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

32 . Tentukan nilai yang memenuhi dari f () 8 + f () 8 + f' () 8 < 8 < < 8 <. Tentukan himpunan penyelesaian dari f () ( + ) jika fungsinya naik. Syarat fungsi naik jika turunan fungsi f () > f' () > f () ( + ) ( + + ) + + f' () > ( + ) ( + ) > + > > > + < < HP : { < atau > }. Tentukan nilai yang memenuhi dari f () + jika fungsinya naik. f () + f'() 6 > 6 > (dibagi dengan ) > + < ( ) ( + ) < < < < + > > HP : { < < }. Tentukan nilai yang memenuhi dari f () jika fungsinya diam (stationer). Syarat fungsi stationer jika turunan fungsi f () f' () f () f' () (dibagi dengan ) ( ) ( + ) + HP : {, } Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

33 Soal latihan :. Tenuktan himpunan penyelesaian dari fungsi berikut, jika fungsinya turun : a. f () + 6 b. f () +. Tentukan himpunan penyelesaian dari fungsi berikut, jika fungsinya naik : a. f () b. f () Tentukan nilai stationer dari fungsi : a. f () + b. f ().... Persamaan Garis Singgung. Equation of Polecat Line Persamaan garis singgung pada kurva parabola di titik P (, y ) adalah. y y m ( ) m gradien garis f'() Contoh :. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y 6 di titik (, ). y 6 y' m () y y m ( ) y (-) ( ) y y + + y +. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y + di titik dengan absis. y + y' m () y () y m ( ) + y y ( ) + 8 y y Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

34 . Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y yang sejajar dengan garis y 6. y y' 6 m 6 y 6 y' m Karena garisnya sejajar maka m m 6 y ( ) ( ) y m ( ) + y y ( ) + y + y atau y + Soal latihan :. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva : a. y di titik (, ) b. y + di titik (, ) c. y + di titik dengan absis d. y + + di titik dengan absis. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y +, jika : a. sejajar dengan garis y + b. tegak lurus dengan garis y. Teorema L'Hospital. L'Hospital Theorem Jika Jika a f() g() f a () dan g () a f' (). (masing-masing diturunkan) a g'(), sehingga f() a g() maka Contoh :. () () 7 () 7 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

35 . 8 6 (). cos sin cos cos o EVALUASI A. Pilihlah jawaban yang benar.. Himpunan penyelesaian dari f () + + jika fungsinya turun adalah. a. { < atau > } c. { < < } e. { < < } b. { < atau > } d. { < < }. Fungsi f () +, naik pada. a. { < atau > } c. { < atau > } e. { < < } b. { < atau > } d. { < < }. Nilai yang memenuhi fungsi f () + 6, jika fungsinya turun adalah. a. { < atau > } c. { < < } e. { < < } b. { < atau > } d. { < < }. Himpunan penyelesaian dari f () , jika fungsinya diam adalah. a. {, } c. {, ) e. {, } b. {, } d. {, }. Fungsi f (), stationer pada titik. a. {, } c. {, } e. {, } b. (, } d. (, } 6. Nilai yang memenuhi fungsi f () +, jika fungsinya naik adalah. a. { < atau > } c. { < atau > } e. { < < } b. { < atau > } d. { < < } 7. Persamaan garis yang menyinggung kurva y + di titik (, ) adalah. a. y + c. y e. b. y d. y + 8. Persamaan garis yang menyinggung kurva y di titik dengan absis adalah. a. y + 7 c. + y 7 e. + y + 7 b. y 7 d. y Persamaan garis yang menyinggung kurva y di titik (, 6) adalah. a. y + 6 c. y + 6 e. y 6 b. y + 6 d. y + 6. Persamaan garis yang menyinggung kurva y dan sejajar dengan garis y 6 adalah. a. 6 + y + 7 c. + 6y + 7 e. 6 y 7 b. 6 + y 7 d. 6y 7 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

36 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.. Tentukan himpunan penyelesaian dari fungsi f (), jika fungsinya turun.. Tentukan nilai yang memenuhi dari fungsi f () , jika fungsinya naik.. Tentukan nilai stationer dari fungsi f () Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y + di titik (, ). Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y di titik dengan absis 6.. Pemakaian Turunan 6.. The Derivative Indikator :. Masalah-masalah yang bisa diselesaikan dengan konsep ekstrim fungsi disusun model matematikanya. Model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi ditentukan penyelesaiannya Tujuan : Siswa dapat :. Menentukan variabel-variabel ( dan y) dari masalah ekstrim fungsi. Menyatakan masalah nyata dalam kehidupan sehari-hari dibentuk ke dalam model matematika. Menentukan penyelesaian model matematika dengan menggunakan konsep ekstrim fungsi. Uraian Materi :. Hubungan antara Jarak (S), Kecepatan (v) dan Percepatan (a). Relationship between distance (S), speed (v) and acceleration (a) Jika persamaan dari jarak S (t) diturunkan terhadap waktu (t) maka menjadi kecepatan atau v (t). ds(t) S (t) S'(t) v (t) dt Jika persamaan dari kecepatan v (t) diturunkan erhadap waktu (t) maka menjadi perceparat atau a (t). dv(t) v (t) v'(t) a (t) dt Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

37 Contoh :. Benda bergerak sepanjang lintasannya dengan persamaan gerak S (t) t + t. Jika jarak dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t detik. S (t) t + t v (t) 6t + 6t? v () m/s a (t) t + 6? a () m/s. Benda bergerak sepanjang lintasannya dengan persamaan gerak S (t) t + t + 8. Jika jarak dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan kecepatan dan percepatan pada saat t detik. S (t) t + t + 8 ds(t) v (t) 8t + dt v () 8 () + + m/s v (t) 8t + dv(t) a (t) 8 dt a () 8 m/s (gerak beraturan). Maksimum dan Minimum. Maimum and Minimum Syarat nilai maksimum dan minimum adalah turunan dari fungsi f () atau f' (). Contoh :. Sebuah bola ditembakan tegak lurus ke atas dengan memenuhi persamaan gerak h (t) t. Jika ketinggian maksimum dalam satuan meter dan waktu dalam satuan detik, tentukan ketinggian maksimum yang dicapai bola. h (t) t t h' (t) 8t Syarat maksimum jika h' (t) 8t 8t t detik h () () () meter.. Sebuah ba lok dengan alas berbentuk bujur sangkar dan bagian atasnya tanpa tutup dibuat agar dapat menampung volume cm. Tentukan ukuran dari balok agar bahan yang dipakai minimum. Volume balok : V p l t alas berbenuk bujur sangkar, p l p p t t p Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

38 Luas permukaan balok anpa tutup : Lp p l + p t + l t p l Lp p p + p t + p t Lp p + pt Lp p + p. Lp p 8 + p p Agar luas bahan yang digunakan minimum Lp' 8 Lp' p p 8 p (dikali dengan p ) p p 8 p 6 p 6 cm l p cm t cm p Jadi ukuran balok adalah panjang cm, lebar cm dan tinggi cm. Soal latihan :. Sebuah benda bergerak sepanjang lintasannya memenuhi persamaan gerak S (t ) t t + 8t + (satuan meter). Pada saat benda bergerak dalam waktu detik, tentukan : a. kecepatan b. percepatan. Peluru ditembakan keatas tegak lurus dengan persamaan h (t) 6t t (meter) Berapa tinggi maksimum sebelum peluru kembali lagi ke bawah?. Reaksi obat tidur setelah disuntikan pada tubuh dapat dinyatakan dengan persamaan F (t) 6t t, dimana t adalah waktu perjam. Tentukan reaksi maksimum yang dicapai.. Talang air terbuat dari seng denan lebar meter. Jika penampang talang berbentuk persegi panjang dengan ukuran dan y, tentukan ukuran penampang talang agar air yang mengaliir sebanyak-banyaknya.. Sebuah tabung tanpa tutup terbuat dari seng, dapat menampung minyak se banyak 6π cm. Tentukan ukuran dari tabung agar luas bahan yang digunakan minimum. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 7

39 ULANGAN HARIAN A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. Turunan pertama dari f () ( + ) adalah f' (). a. + c. + e. ( + ) b. + d. ( + ). Turunan pertama dari fungsi f () ( ) adalah f'(). a. c. + e. + b. + d.. Turunan pertama dari : f () ( + ) ( ) adalah. a. 6 + c e. + 6 b. 6 + d Turunan pertama dari f () ( + ) adalah. a. f '() + c. f '() + e. f '() ( + ) b. f '() 6 + d. f '() ( + ). Turunan pertama dari f () ( ) ( + 6) adalah f' (). a. + 8 c e. 6 ( + ) b. + d. ( + 6) 6. Turunan pertama fungsi f () 6 + adalah f ' (). a. c. + e. b. d Turunan pertama fungsi y 7 adalah y'. a. 8 c. e b. d Turunan dari fungsi y sin ( + ) adalah f (). a. ¼ cos ( + ) c. cos ( + ) d. cos ( + ) b. ¼ cos ( + ) d. cos ( + ) 9. Turunan pertama dari y sin cos adalah. a. cos + sin c. cos + sin e. cos sin b. cos sin d. cos + sin. Turunan fungsi f () + 8 adalah f' (). Nilai f' ( ). a. 6 c. e. b. d.. Persamaan garis singgung kurva y pada titik P (, ) adalah. a. y c. + y + e. y b. y + + d. y +. Grafik fungsi f () +, naik pada interval. a. - < < c. > atau > e. < - atau > b. < < - d. < atau > -. Fungsi y, turun pada interval. a. > c. < < e. > b. > d. < < Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 8

40 . Fungsi f () + +, turun pada interval. a. < < c. - < < e. - < < b. - < < d. - < <. Fungsi f yang ditentukan oleh : f () + 9 naik pada interval: a. < - atau > c. < - atau > e. - < < b. < - atau > - d. - < < B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar!. Tentukan turunan pertama dari fungsi f () ( ) ( + ).. Tentukan turunan pertama dari fungsi f () 8. Tentukan turunan pertama dari fungsi f () sin + cos. Tentukan persamaan garis yang menyinggung kurva y + pada titik yang berbsis.. Grafik fungsi f () +, naik pada interval. Siapa yang keluar rumah untuk menuntut ilmu maka ia berjuang fisabilillah hingga kembali Who went out to the science he struggled to return Fisabilillah Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 9

41 KOMPETENSI 7 INTEGRAL INTEGRAL Standar Kompetensi : 7. Integral Kompetensi Dasar : 7.. Memahami konsep Intergral tak tentu dan Integral tentu 7.. Integral Subsitusi dan Integral Parsial 7.. Pemakaian Integral Alokasi Waktu : 6 jam pelajaran Dilaksanakan Pada : Minggu ke s.d. ke 8 Tujuan Pembelajaran Umum : Siswa dapat menerapkan konsep dari integral dalam memecahkan permasalahan baik di sekolah maupun dalam kehidupan sehari-hari. 7.. Integral Tak Tentu dan Tertentu 7.. Not Necessarily and a Certain Integral Indikator :. Fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan integral tak tentunya. Fungsi aljabar dan trigonometri ditentukan integral tentunya. Menyelesaikan masalah yang melibatkan integral tentu dan tak tentu Tujuan : Siswa dapat :. Mengenal integral tak tentu sebagai anti turunan. Menentukan integral tak tentu dari fungsi sederhana. Merumuskan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan trigonometri. Merumuskan sifat-sifat integral tak tentu. Mengenal integral tentu seba gai luas daerah dibawah kurva 6. Mendiskusikan teorema dasar kalkulus 7. Merumuskan sifat integral tentu 8. Menyelesaikan masalah aplikasi integral tak tentu dan integral tentu Uraian Materi :. Integral Tak Tentu. Not Necessarily Integral A. Fungsi Aljabar A. Algebraic Function Rumus Dasar Integral tak tentu :. n a n + a d + C fi n - n +. a d a + C -. d d ln + C Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

42 Contoh :. ( + ) d C + + C 6. ( 6 + ) d C + + C. ( + ) d C C C (. + ) d C C C. ( + ) d C C C + + C 8 Soal Latihan :. a. 6 d. b. ( 6) d.. a. ( 8 + ) d. b. ( ) d.. a. ( ) d. b. ( ) d Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

43 ( 8. a. ( + ) d. b. 6 + ) d. (. ( + ) d. b. 6 + ) d. Bentuk Perkalian Untuk menyelesaikan integral bentuk perkalian, sebelum di integralkan perkaliannya diselesaiaka n dulu. Contoh :. ( + ) d ( + ) d + + C C. ( + ) ( - ) d ( + 6 -) d ( + -) d + + C Bentuk Pembagian Untuk menyelesaikan integral bentuk pembagian, sebelum di integralkan pembagiannya di selesaikan dulu Contoh : ( ) d ( + ) d ln - + C. + + ) d ( - - ( + + ) d ln C 9 + ln - + C Bentuk Pangkat Untuk menyelesaikan integral bentuk pangkat, sebelum di integralkan fungsinya di pangkatkan dulu. Contoh :. ( + ) d ( ) d C. ( ) d ( 6 + 6) d C Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

44 Bentuk Akar Untuk menyelesaikan integral bentuk akar, akarnya diubah dulu ke bentuk pangkat pecahan. Contoh :. d. d d d -. d + C + C - + C - + C Soal latihan :. a. (8 9 + ) d. b. ( ) d.. a. ( + ) d. b. ( + ) ( + ) d a. ( + ) d. b. ( ) d.. a. ( + ) d. b. ( ) d.. a. d. b. ( ) d. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

45 EVALUASI 6 A. Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar. ( 6 + ) d. a. 6 + C d. b. + + C e. c. + + C. ( + + ) d. + + C C a C d C b C e C c C. ( ) d... a C c C e C b C d C. ( + ) d. a C d C b C e C c C. ( 6) d. a. b. c. 6. a. b. c C d C e C + 6 ) d C d C e. ( ln C 6 + C 6 + C ln C ln C Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

46 7. ( + ) ( ) d... a C c C e C b C d C 8. d. a C b. 9 + C 9. ( ) d. a. b C c C d.. ( ) d C e C C a. + C c. + C e. b. + C d. + C B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.. ( + ) d. + C. ( )( + ) d.. ( + ) d d.. 7 d. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

47 B. Fungsi Trigonometri B. Trigonometric Function Rumus dasar integral :. sin d cos C. sin a d cos a + C ; a sin (a + b) d cos(a + b) + C a. cos d sin + C. cos a d sin a + C ; a cos (a + b) d sin (a + b) + C a Contoh :. cos d sin + C. sin d cos + C. (cos - sin 6) d sin + cos 6 + C. ( + sin 8 + cos ) d cos 8 + sin + C 8 Soal latihan :. a. (sin cos ) d. b. ( cos + sin ) d.. cos ( + ) d. b. sin ( + ) d.. (cos + sin + ) d. b. ( sin + cos ( )) d.. ( sin + 6cos ) d. b. 6 ( cos + sin 7) d.. ( cos 8 + sin + ) d. b. ( sin ( ) + 6 cos ) d. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

48 A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. sin ( + ) d... EVALUASI 7 a. ¼cos ( + ) + C c. sin ( + ) + C e. cos ( + ) + C b. ¼cos ( + ) + C d. sin ( + ) + C. ( cos sin ) d... a. sin - cos + C d. sin - cis + C b. -sin - cos + C e. sin + cos + C e. sin + cos + C. sin( ) d... a. b. cos ( - ) + C d. cos ( - ) + C cos ( + ) + C e. - cos ( - ) + C c. - cos ( - ) + C. ( 6sin cos ) d... a. cos + sin + C d. cos - sin + C b. -cos + sin + C e. sin + cos + C c. -cos - sin + C. cos ( + ) d. a. sin + C c. sin ( + ) + C e. sin + C b. - sin + C d. - sin ( + ) + C 6. sin ( ) d. a. cos ( ) + C c. - cos ( ) + C e. - cos + C b. cos ( ) + C d. - cos ( ) + C 7. ( cos - sin ) d... a. sin cos + C d. sin + cos + C b. sin cos + C e. sin + cos + C c. sin cos + C Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 7

49 8. (cos - sin ) d... a. -sin 6 cos + C d. b. sin + 6 cos + C e. c. sin + cos + C 6 9. ( + cos + sin ) d. sin cos + C sin + cos + C a. + sin - cos + C d. - sin + cos + C b. + sin + cos + C e. + sin - cos + C c. - sin - cos + C. ( - sin + cos ) d. a. cos + sin + C d. cos + sin + C b. cos + sin + C e. + cos + sin + C c. + cos + sin + C B. Jawablah pertanyaan dibawah ini dengan benar!. ( 6 + 8) d.... ( + ) ( + ) d.... ( + ) d.... d.... (cos ( + ) + sin ) d... Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 8

50 . Integral Tertentu. Certain Integral A. Bentuk Umum Integral Tertentu A. The Form of a General Integral b f ()d F () a F (b) - F (a) a Dimana : a batas bawah b batas atas F () fungsi hasil integral dari f () F (b) nilai fungsi F () untuk b F (a) nilai fungsi F () untuk a b B. Sifat-sifat Integral Tertentu B. Attributes a Certain Integral b a. f ()d - f ()d a b. c b c f ()d f () d + f ()d ; a < b < c a a b a. f ()d a. b b k.f ()d k f ()d ; k konstanta a a Contoh :. d... Penyelesaian : d [ ] ( ) 9 8 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 9

51 . ( + + ) d. Penyelesaian : ( + + ) d + + ( ) + ( ) + ( ) (8 ) + ( ) ( + ) d. Penyelesaia n : + ) ( d ( ) d + ( ) + ( ) + 9 ( ) (7 ) + (9 ) d. Penyelesaian : d d ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

52 6. ( + ) d. Penyelesaian : ( + ) d ( + 6 ) d ( ) + ( ) ( ) π 6. sin d. π Penyelesaian : π π π sin d 7. cos d. π 6 Penyelesaian : π cos d π 6 π cos (cos. 8 o cos. 9 o ) π (cos 6 o cos 8 o ) ( (-)). - π sin π 6 (sin. 9 o sin. o ) (sin 6 o sin o ) ( ) 8 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

53 Soal latihan :. a. ( + ) d. b. ( + ) d.. a. ( + ) d. b. ( + ) ( + ) d.. a. ( + ) d. b. ( ) d.. a. d. b. ( + ) d. π. a. sin d π. b. π cos d. EVALUASI 8 A. Pilihlah jawaban yang paling benar!. ( + ) d. a. 9 b. c. 8 d. e. 7. ( + ) d. a. b. c. d. 6 e. 6. ( + + ) d. a. b. 7 c. d. 9 e.. ( ) d. a. 8 b. c. d. 6 e. 8. ( + ) d. a. 6 b. c. d. e. 8 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

54 6. ( ) d. a. b. 9 c. 7 d. 6 e ( ) d. a. 79 b. c. d. 7 e d. a. 6 b. c. d. 8 e. 7 π 9. sin d. a. - b. - c. d. e. π. cos d. a. - b. c. d. e. B. Jawablah pertanyaan di bawah!. ( + ) d.. ( 6 + ) d.. ( + ) d.. ( + ) d. π. sin d. π Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

55 7.. Integral Substitusi dan Integral Parsial 7.. Substitution Integral and Partial Integral Indikator :. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara parsial. Nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi trigonometri Tujuan : Siswa dapat :. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara parsial. Menentukan nilai integral suatu fungsi ditentukan dengan cara substitusi trigonometri. Melakukan teknik pengintegralan untuk menyelesaikan masalah. Uraian Materi :. Integral Substitusi. Substitution Integral Untuk mengerjakan soal-soal integral benuk perkalian, pembagian, dan bentuk pengkat, maka sebelum diintegralkan erlebih dahulu harus diselesaikan dalam bentuk penjumlahan atau selisih. Jika bentuk-bentuk ttersebut tidak dapat diubah ke bentuk jumlah atau selisih, maka harus diselesaikan dengan cara substitusi. Ingat rumus dasar intergal : n n+ d + c ; n n + sin d cos + c cos d sin + c Karena yang akan diselesaikan adalah fungsi dari aljabar dan fungsi trigonometri, maka untuk integral substitusi rumusnya adalah : u n n+ du u + C n + sin udu cos u + C cos udu sin u + C ; n dan u f () Contoh :. Selesaikan : ( ) d Misal : u du du atau d d du ( ) d. u u du + ( + ) u + C u + C ( ) + C 8 8 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

56 6. Selesaikan : ( + ) d du Misal : u + atau d du d 6 ( + ) d. u 6 du Karena masih ada unsur, maka harus dinyatakan dalam u. u + u (u ), jadi : 6 6 ( + ) d ( u ). u du 7 6 u u du u 8 u 7 + C 8 7 ( + ) 8 ( + ) 7 + C 7. Selesaikan : d ( ) Misal : u du du d d du du d ( ) u u u du u + + C ( + ) u + C ( ) + C + C ( ). Selesaikan : + 6 d Misal : u du du + 6 d d du + 6 d u u du + u + C u + C ( + ) ( ) ( + 6) + C ( C ) Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm.

57 . Selesaikan : cos( ) d Misal : u du du d d cos( ) du d cos u cos udu sin u + C sin ( ) + C 6. Selesaikan : sin. cos d du Misal : u sin cos d d du sin. cos d u cos cos u du u + C sin + C du cos Soal latihan :. Selesaikan : a. ( + ) d b. ( )(.... Selesaikan : a. ( ) d b. ( + )( + ) d. Selesaikan : ( + ) a. d b. ( ) d ( + ). Selesaikan : a. d b. + d. Selesaikan : a. sin( 6) d b. cos. sin d ) d Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

58 . Integral Parsial. Partial Integral Integral parsial digunakan untuk menyelesaikan soal-soal integral fungsi aljabar dan fungsi trigonometri yang tidak dapat diselesaikan dengan cara substiusi. Rumus Integral Parsial : u '. vd uv uv' d dimana : u f () dan v f () u' turunan dari u dan v' turunan dari v n cos.sin n sin n n d + sin d n n n sin.cos n cos n n d + cos d n n Contoh :. Selesaikan : sin d Misal : u' sin u cos v v' sin d uv uv' d cos. cos. d coc + cos d coc + sin + c sin cos + c. Selesaikan : cos d Misal : u' cos u sin v v' cos d uv uv' d sin. sin. d sin sin d Misal : u' sin u cos v v' cos d sin {( cos. ) cos. d} cos d sin + cos - cos d cos d sin + cos - sin + C Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 7

59 . Selesaikan : sin d cos.sin sin d + sin d cos. sin + sin d cos. sin cos + c Dalam menyelesaiakn integral parsial dapat juga dilakukan dengan cara tabel contoh :. ( cos ) d. di depan diturunkan sampai hasilnya dan di belakang diintegralkan, kemudian kalikan silang. cos d sin + C - cos + C Hasilnya :. ( sin ) + -. (- cos ) + C sin + cos + C tanda (+) tanda (-). cos d. di depan diturunkan sampai hasilnya dan di belakang diintegralkan, kemudian kalikan silang. cos d sin + C -cos + C -sin + C Hasilnya : sin - (-cos ) - sin + C sin + cos - sin + C tanda (+) tanda (-) tanda (+) Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 8

60 Soal latihan : Selesaikan soal-soa l di bawah ini.. a. cos d b. sin d. a. sin d b. cos d. a. ( + ) sin d b. ( - ) cos d. a. cos d b. sin d. a. cos d b. sin d 7.. Pemakaian Integral 7.. The Integral Indikator :. Daerah yang dibatasi oleh kurva dan/atau sumbu-sumbu koordinat dihitung luasnya menggunakan integral.. Volume benda putar dihitung dengan menggunakan integral. Tujuan : Siswa dapat :. Menggambar grafik-grafik fungsi dan menentukan perpotongan grafik fungsi sebagai batas integrasi.. Menentukan luas daerah dibawah kurva dengan menggunakan integral. Menyelesaikan soal yang berkaitan dengan luas daerah di bawah kurva. Mendiskusikan cara menentukan volume benda putar (menggambar daerahnya, batas integrasi). Menghitung volum benda putar dengan menggunakan integral Uraian Materi :. Luas Daerah. Wide Area a. menentukan luas daerah antara kurva dan sumbu. Daerah diatas sumbu y y f() a b Jika y f () > maka luas daerah yang dibatasi kurva y f (), sumbu, garis a dan b dapat dihitung dengan rumus : b L f () d (daerah diatas sumbu ) a Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 9

61 . Daerah dibawah sumbu y a b y f() Jika y f () < maka luas daerah yang dibatasi kurva y f (), sumbu, garis a dan b dapat dihitung dengan rumus : b L f () d (daerah dibawah sumbu ) a. Daerah diatas dan dibawah sumbu y Jika y f () > dan y f () <, (daerah diatas dan dibawah sumbu ), maka dapat dihitung dengan rumus : a b c b L a f () d c f b () d Contoh :. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y +, sumbu, garis dan! Penyelesaian : y y + y f() L ( + ) d [ + ] ( ) + ( ) satuan luas. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y 6 dan sumbu! Penyelesaian : Titik potong kurva dengan sumbu 6 y (6 )? dan 6 6 L ( 6 L ) d 6 (6 ) (6 ) L 6 satuan luas Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

62 . Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y 6 + 8, sumbu, dan Penyelesaian : Luas daerah ada dibawah sumbu (tanda integral negatif) L - ( 6 + 8) d L { ( ) ( ) + 8 ( )} - { (6 8) (6 ) + 8. } - ( ) - (- ) L satuan luas y. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y ; sumbu ; -, dan seperti terlihat pada gambar! Penyelesaian : y L - d + L - d + - ( (-) )+ ( ) - (-) + + L satuan luas. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y sin ; sumbu ; dan π y π π π Penyelesaian : π L sin d L cos π π π sin d cos π π Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

63 - (cos. 9 o cos. o ) + (cos. 8 o cos. 9 o ) - (cos 8 o cos o ) + (cos 6 o cos 8 o ) - (- ) + ( (-)) - (-) +. + L satuan luas Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f() dan sumbu dapat dihitung dengan rumus : D. D L dengan D diskriminan 6a D b -.a.c Contoh :. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y - + dan sumbu. a ; b - ; c Titik potong kurva dengan sumbu y - + ( - ) ( - ) dan D b -.a.c (-) D. D L 6a satuan luas. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y dan sumbu. a ; b -6 ; c D b -.a.c (-6) D. D. L 6a satuan luas Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

64 b. Menentukan Luas Daerah antara dua Kurva y Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y f () dan y g (), dimana f () > g () dalam interval a dan g() b, dapat dihitung dengan rumus : b L {f () g ()} d a f() Untuk luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dan sumbu dapat juga dihitung D. D dengan rumus : L 6a dengan D b -.a.c Contoh :. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y dan garis y! Penyelesaian : Perpotongan kedua kurva : y y ; y y y ( ) dan L { ( )} d ( + ) d ( L ( ) ( ) L L satuan luas ) d D. D Dihitung dengan rumus : L 6a Perpotongan dua kurva : - a ; b - ; c D b -.a.c (-) D. D 6. 6 L 6a satuan luas Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

65 . Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y dan y! Penyelesaian : Perpotongan kedua kurva y dan y y y + y 6 ( ) dan L {( ) ( )} d ( + ) d L (6 ) d L ( ) ( ) L 7 8 L 9 satuan luas D. D Dihitung dengan rumus L 6a Perpotongan dua kurva : - 6 a ; b -6 ; c D b -.a.c (-6) D. D 6. 6 L 6a satuan luas Soal latihan :. Tentukan luas daerah dari kurva dan garis -garis berikut ini : a. y ; - dan b. y ; dan c. y ; dan d. y ; dan Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

66 . Tentukan luas daerah yang diarsir pada gambar berikut ini : a. c. y y y y b. d. y y 6 y 9 y EVALUASI 9 A. Pilihlah jawaban yang dianggap paling benar.. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y 6 +, dan adalah satuan luas. a. b. c. 6 d. 8 e.. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y, dan adalah satuan luas. a. -8 b. -9 c. 9 d. 8 e. 7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y, dan adalah satuan luas. a. b. c. 8 d. e.. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y +, sumbu, dan adalah satuan luas. a. 6 b. 7 c. d. e.. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y + seperti terlihat pada gambar di bawah ini adalah satuan luas. y + a. y b. 6 c. 8 d. e. Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 6

67 6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y 8, sumbu, dan sumbu seperti terlihat pada gambar adalah satuan luas. y a. b. 6 c. - d. e. 6 y 8 7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y, untuk dan seperti terlihat pada gambar di bawah ini adalah satuan luas. a. b. c. y d. 8 e. 8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y + dan y adalah satuan luas. a. 8 b. c. d. e. 9. Luas daerah yang diarsir pada gambar berikut adalah satuan luas. a. 8 y b. y + c. d. e Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y dan y +, sumbu adalah... satuan luas. a. b. c. d. e. 9 Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 66

68 B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan benar.. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh kurva : a. y + dengan, dan b. y - - dengan, dan c. y dengan -, dan.... Hitunglah luas daerah antara dua kurva berikut ini : a. y 7 + dan y b. y dan y.... Volume benda putar. Volum of Play a. Perputaran terhadap sumbu y Jika daerah yang dibatasi kurva y f (), garis a dan b diputar mengelilingi sumbu, maka akan didapatkan benda yang volumenya : a b V p b a y d b. Perputaran terhadap sumbu y y f (y) Jika daerah yang dibatasi kurva f (y), garis y a dan y b diputar mengelilingi sumbu y, maka akan b didapatkan benda yang volumenya : V p b a dy a Contoh :. Hitunglah volume benda putar yang dibatasi oleh kurva y +, dan diputar mengelilingi sumbu Penyelesaian : b V π y d a V + ) π ( d π ( + + ) d Cermat : Modul dan LKS Mst. Teknik Sm. 67