BAB 2 FUNGSI. 2.1 Fungsi dan Grafiknya. Diktat Kuliah TK 301 Matematika Definisi Fungsi

Transkripsi

1 Diktt Kulih TK Mtmtik BAB FUNGSI Fungsi dn Grikn Dinisi Fungsi Fungsi didinisikn sbgi turn ng mmtkn stip unsur himpunn A pd sbuh unsur himpunn B Himpunn A disbut drh sl (domin) dn himpunn B disbut drh hsil (rng) Fungsi dpt diibrtkn sbuh sistm ng mnghsilkn output unik untuk stip input (stu input hn mnghsilkn stu output) A B A (b) Gmbr Fungsi dn (b) bukn ungsi B Gmbr mngilustrsikn hubungn ntr du buh himpunn Pd Gmbr stip unsur himpunn A tpt diptkn pd sbuh unsur himpunn B Hubungn ng mmtkn kdu himpunn ini disbut ungsi Sblikn, pd Gmbr (b) d unsur himpunn A ng diptkn pd du buh unsur (tu dpt lbih) himpunn B Hubungn ng mmtkn kdu himpunn sprti ini bukn sbuh ungsi Fungsi dilmbngkn olh huru tunggl sprti, g, h, F, G, dn lin Lmbng (), dibc dri tu pd, mnunjukkn nili ng dibrikn kpd Aturn ungsi sring dintkn dlm bntuk prsmn = () dngn disbut vribl bbs dn disbut vribl trikt CONTOH Jik ( ), cri (), (), ( ),, dn (/) Pnlsin () () () Aip Sripudin Fungsi -

2 Diktt Kulih TK Mtmtik () () () ( ) ( ) ( ) 7 ( ) CONTOH Tntukn () jik ( ) Pnlsin Jik = dimsukkn k ungsi di ts, pnbutn nol Pmbgin dngn nol tidk didinisikn Jdi, ungsi ( ) tidk trdinisi pd = Drh Asl dn Drh Hsil dri Fungsi Drh sl sbuh ungsi d ng dintkn scr ksplisit dn tidk Fungsi () =, 5 mrupkn contoh ungsi ng drh sln dintkn scr ksplisit, kni bilngn rl ng mmnuhi prtidksmn 5 Jik drh sl ungsi = () tidk disbutkn, drh sln disumsikn sbgi himpunn smu bilngn rl sdmikin rup shingg ungsi = () trdinisi Himpunn ini disbut drh sl lmi Du hl ng hrus diprhtikn dlm mnntukn drh sl lmi, kni mnghindri pmbgin dngn nol dn kr bilngn ngti Drh sl ungsi dilmbngkn olh D Drh hsil dri ungsi, dilmbngkn olh R, dlh himpunn bilngn rl () untuk sluruh D Drh sl lmi ungsi, D, dn drh hsiln, R, diprlihtkn pd Tbl - Tbl - Drh sl dn drh hsil bbrp ungsi Fungsi Drh Asl (D ) Drh Hsil (R ) ( ) (, ) (, ) ( ) / (, ) (, ) (, ) (, ) ( ) (, ) (, ) ( ) (, ] (, ) ( ) [, ] [, ] dri bbrp ungsi Aip Sripudin Fungsi -

3 Diktt Kulih TK Mtmtik CONTOH Cri drh sl msing-msing ungsi brikut Pnlsin ( ) (b) ( ) (c) ( ) Hindri pmbgin dngn nol mk drh sl untuk ungsi ( ) dlh bilngn rl ng mmnuhi srt Jdi, D : {, R} tu (, ) (, ) (b) Hindri kr bilngn ngti mk drh sl untuk ungsi ( ) bilngn rl ng mmnuhi srt Slnjutn, tu dlh Jdi, D : [, ] (c) Hindri pmbgin dngn nol dn kr bilngn ngti mk drh sl untuk ungsi ( ) dlh bilngn rl ng mmnuhi Liht cr pd jwbn (b), jdi D : (, ) Grik Fungsi Misln mrupkn unsur himpunn drh sl ng brkitn dngn unsur himpunn drh hsil, titik-titik (, ) dlm koodint bidng kn mmbntuk sbuh grik ungsi Grik ungsi = +, sbgi contoh, mrupkn skumpuln titik dngn koordint (, ) ng mmnuhi = + CONTOH Gmbrkn grik ungsi ( ) pd koordint bidng Pnlsin Scr ksr, pnggmbrn grik dpt dilkukn dngn mrjh bbrp titik ng mmnuhi ungsi di ts, kmudin dngn mnghubungkn stip titik, diprolh grikn sbgi brikut Aip Sripudin Fungsi -

4 Diktt Kulih TK Mtmtik =() Gmbr Titik-titik potong grik dpt ditntukn sbgi brikut Titik potong dngn sumbu-, = mk ( ) shingg diprolh = dn = Dngn dmikin, grik ( ) mmotong sumbu- pd titik (, ) dn (, ) Smntr itu, titik potong dngn sumbu-, = mk = () =, jdi grik mmotong sumbu- di titik (, ) Bbrp contoh grik ungsi pngkt ng sring muncul dlm klkulus diprlihtkn pd Gmbr brikut = = Gmbr Aip Sripudin Fungsi -

5 Diktt Kulih TK Mtmtik Ksimtrin Grik: Fungsi Gnp dn Fungsi Gnjil Gmbr mnunjukkn du buh grik ungsi Pd Gmbr, grik = () simtri trhdp sumbu-, sdngkn pd Gmbr (b) simtri trhdp titik sl Fungsi ng grikn simtri trhdp sumbu- disbut ungsi gnp Smntr itu, ungsi ng grikn simtri trhdp titik sl disbut ungsi gnjil = () = () (b) Gmbr Ksimtrin grik (): simtri trhdp sumbu- dn (b) simtri trhdp titik sl Ksimtrin grik dpt diprdiksi dri prsmn ungsi Sbuh ungsi diktkn ungsi gnp (simtri trhdp sumbu-) jik ( ) ( ) dn ungsi gnjil (simtri trhdp titik sl) jik ( ) ( ) Fungsi ng tidk mmnuhi slh stu dri prsmn di ts bukn mrupkn ungsi gnp tu ungsi gnjil (bukn kdun) CONTOH 5 Pnlsin Priks pkh ungsi-ungsi brikut mrupkn ungsi gnp, ungsi gnjil, tu bukn kdun () = (b) () = (c) () = + () = mk ( ) = shingg diprolh ( ) = () Jdi, () = mrupkn ungsi gnjil Aip Sripudin Fungsi - 5

6 Diktt Kulih TK Mtmtik (b) () = mk ( ) = ( ) = shingg diprolh ( ) = () Jdi, () = mrupkn ungsi gnp (c) () = + mk ( ) = ( ) + = + Krn ( ) () dn ( ) (), () = + bukn mrupkn ungsi gnp tu ungsi gnjil 5 Fungsi Sbgin-sbgin Tinju sbuh ungsi ng didinisikn sbgi brikut, ( ) 5, Ungkpn di ts mntkn bhw () = untuk < dn () = 5 untuk Fungsi ng didinisikn brbd pd tip bgin dominn, sprti pd contoh di ts, disbut ungsi sbgin-sbgin CONTOH 6 Gmbrkn grik ungsi brikut, ( ) Pnlsin Pd intrvl <, () =, pd intrvl <, () =, dn pd intrvl, () = Grikn sbgi brikut o Tnd bult kosong [ ] mnunjukkn bhw bgin () tidk didinisikn pd bgin domin ng ssui Aip Sripudin Fungsi - 6

7 Diktt Kulih TK Mtmtik SOAL-SOAL LATIHAN Mnkh di ntr grik brikut ng mrupkn ungsi tu bukn ungsi? Brikn lsnn Pd sol nomor 6 8 brikut, gmbrkn grik ungsin 6 ( ) 7 h ( t) t (b) 8 g( s) s Pd sol nomor 9 -, tntukn pkh ungsi trsbut mrupkn ungsi gnp, ungsi gnjil, tu bukn kdun (c) 9 g ( ) h ( ) F ( t) t Pd sol nomor, gmbrkn grik ungsin Kmudin tntukn drh sl dn drh hsiln (d) ( ),, h ( s) s, s, s, s s 5 s 5 Pd sol nomor 5 brikut, tntukn drh sl dn drh hsil stip ungsi ( ) Pd sol nomor 5, tntukn prsmn ungsin 5 g( ) H ( t) t h ( w) w t t w 5 5 o Aip Sripudin Fungsi - 7

8 Diktt Kulih TK Mtmtik Fungsi Komposisi Di wl tlh disbutkn bhw ungsi dpt diibrtkn sbuh sistm ng mnghsilkn output unik untuk stip input (stu input hn mnghsilkn stu output) Skrng tinju du sistm ng trkit stu sm lin (Gmbr 5) Sistm prtm mndpt input shingg mnghsilkn output () Output dri sistm prtm mrupkn input dri sistm kdu shingg sistm kdu mnghsilkn output g(()) Fungsi g(()) disbut ungsi komposisi () g g[()] Gmbr 5 Komposisi du ungsi Komposisi ungsi g pd dilmbngkn olh g Aturnn ditulis sbgi brikut g ( ) g ( ) Brdsrkn turn di ts jls bhw g brbd dngn g CONTOH Jik ( ) dn g ( ), cri drh sl dri ( g)( ) dn 9 (b) ( g)() Pnlsin Untuk mnntukn drh sl dri g, prhtikn gmbr brikut D g D g R g D R R g D R og Drh sl g ( ) dlh D g = [, ) Drh hsil g ( ) dlh R g = [, ) Drh sl ( ) dlh D = (, ) (, ) (, ) tu 9 Aip Sripudin Fungsi - 8

9 Diktt Kulih TK Mtmtik Dri gmbr di ts, drh sl g dlh D g ng diptkn olh g k drh R g D Krn R g D = [, ) {(, ) (, ) (, )} = [, ) (, ) = R kculi = Ini brrti g ( ) shingg 9 Jdi, drh sl dri g dlh [, 9) (9, ) (b) ( ) dn g ( ) mk 9 g [ g( )] ( ) [ ] 9 9 shingg diprolh ( g)() 9 7 CONTOH Dikthui ( ) dn Pnlsin g g ( ) Tntukn drh sl dri Drh sl Drh hsil Drh sl ( ) dlh D = [, ) ( ) dlh R = [, ) g ( ) dlh D g = (, ) Slnjutn, drh sl g dlh D ng diptkn olh g k drh R D g Krn R D g = [, ) (, ) = [, ) = R mk drh sl g dlh [, ) CONTOH Ntkn ungsi s() = ( + 5) sbgi ungsi komposisi o g Pnlsin Ambil g( ) 5 mk s ( ) shingg ( ) g ( g( )) s SOAL-SOAL LATIHAN Jik ( ) dn g ( ), tntukn g (b) ( g)() (c) g (d) ( g )( ) Jik ( ) dn g ( ), 9 tntukn drh sl dn drh hsil dri: g (b) g Aip Sripudin Fungsi - 9

10 Diktt Kulih TK Mtmtik Pd sol nomor 5, () dn g() jik: h g Tntukn h ( ) h ( ) 5 h( ) 5 Fungsi Stu k Stu dn Fungsi Invrs Fungsi Stu k Stu Prhtikn Gmbr 6 Stip unsur himpunn A hn brhubungn dngn stu unsur himpunn B ng brbd Sblikn, stip himpunn bgin B jug hn brhubungn dngn stu unsur himpunn A ng brbd Hubungn sprti ini diktkn hubungn stu k stu Fungsi ng mmtkn stip unsur himpunn A k stu unsur himpunn B tu sblikn disbut ungsi stu k stu A B Gmbr 6 Dinisi ungsi stu k stu sbgi brikut Sbuh ungsi () disbut ungsi stu k stu pd drh sln, D, jik ( ) ( b) untuk b Grik stu k stu mrupkn grik monoton murni (ungsi nik tu ungsi turun) pd drh sln Dngn dmikin, stip ungsi ng monoton murni psti mrupkn ungsi stu k stu CONTOH Knli pkh ungsi brikut mrupkn ungsi stu k stu tu bukn ( ), dn (b) ( ) Aip Sripudin Fungsi -

11 Diktt Kulih TK Mtmtik Pnlsin Grik ungsi 7 ( ), dn ) ( msing-msing diprlihtkn pd Gmbr Dri Gmbr 7 jls bhw () monoton nik pd Dngn kt lin, ( ) ( b) untuk b Jdi, ( ), mrupkn ungsi stu k stu (b) Dri Gmbr 7(b) jls bhw () monoton turun pd < () monoton nik pd Dngn kt lin, d ( ) ( b) untuk b {sbgi contoh: ( ) = () = } Jdi, ( ) bukn ungsi stu k stu =, (b) = Gmbr 7 Fungsi Invrs Krn stip output ungsi stu k stu brsl dri stu input, ungsi stu k stu dpt diblikkn untuk mngirimkn output kmbli k inputn Fungsi ng didinisikn dngn mmblikkn ungsi stu k stu disbut invrs dri Invrs dri dibri simbol (dibc: invrs) Prhtikn bhw tnd pd kt lin, dlm hl ini ( ) / ( ) bukn mntkn pngkt Dngn Krn grik ungsi stu k stu mrupkn grik monoton murni, brlku torm brikut Jik monoton murni pd drh sln, mmiliki invrs Slnjutn, du buh ungsi, dn, diktkn psngn invrs jik dn hn jik ( ( )) dn ( ( )) Aip Sripudin Fungsi -

12 Diktt Kulih TK Mtmtik CONTOH Buktikn bhw ( ) dn Pnlsin Prtm mbil Slnjutn, ( ) g( ) mk ( ( )) ( ( )) g ( ) mrupkn psngn invrs ( g( )) Krn mmnuhi ( ( )) dn ( ( )) mrupkn psngn invrs mk ( ) dn g ( ) CONTOH Tunjukkn bhw ( ) mmiliki invrs dn tntukn invrsn Vriiksi hsiln Pnlsin Grik ( ) mrupkn gris lurus dngn grdin mk monoton nik (murni) pd D = (, ) Krn monoton murni, mmiliki invrs Untuk mndptkn invrsn, mbil ( ) Tukrkn dn pd hsil trkhir mk Dngn dmikin diprolh ( ) Untuk mmvriiksi hsiln, ( ( )) Aip Sripudin Fungsi -

13 Diktt Kulih TK Mtmtik ( ( )) ( ) Dngn dmikin jls bhw invrs dri ungsi ( ) dlh ( ) SOAL LATIHAN Untuk sol No, knli pkh ungsi trsbut stu k stu tu bukn ( ) ( ) ( ), ( ) Sol No 5 7 Tntukn invrs dri ungsi trsbut 5 ( ), 6 ( ) 7 ( ) 5 Sol No 8, tntukn () jik 8 ( ), / 9 ( ), ( ), Fungsi Trigonomtri Dinisi Fungsi Trigonomtri Prhtikn sbuh sgitig ng brd pd lingkrn stun (lingkrn dngn jri-jri stun) sprti ditunjukkn pd Gmbr 8 Nili sinus dn cosinus sutu sudut didinisikn sbgi brikut sin t dn cos t P(, ) r t (, ) (, ) dngn t dintkn dlm stun rdin (rd) Gmbr 8 Dlm stun rd, t didinisikn sbgi pnjng busur dibgi jri-jri Untuk jri-jri stun, nili t sm dngn pnjng busur Dngn mngingt bhw pnjng kliling lingkrn brjri-jri r dlh r mk, untuk r =, pnjng kliling lingkrn dlh Sbgi contoh, brdsrkn pd dinisi dn Gmbr 6 di ts, diprolh bbrp nili sin t dn cos t sprti pd Tbl - brikut Aip Sripudin Fungsi -

14 Diktt Kulih TK Mtmtik Tbl - P(, ) t sin t cos t (, ) (, ) / (, ) (, ) / Hubungn ntr stun rdin (rd) dn drjt sbgi brikut 8 o = rd tu rd = 8 o / Slin ungsi sinus dn cosinus, ungsi-ungsi trigonomtri linn sbgi brikut Tngnt : sin tn Cotngnt : cos cot tn Scnt : sc Coscnt : cos csc sin Bbrp nili ungsi trigonomtri pd t trtntu diprlihtkn pd Tbl - Tbl - o tu /6 5 o tu / 6 o tu / 9 o tu / sin cos tn Tidk didinisikn Bbrp rumus brkitn dngn ungsi trigonomtri sbgi brikut sin( ) sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos( ) cos cos sin sin sin cos sin sin cos tn sc cos sin cos Aip Sripudin Fungsi -

15 Diktt Kulih TK Mtmtik 5 5 CONTOH Tntukn sin dn (b) cos Pnlsin sin sin sin cos cos sin ( )( ) 5 (b) cos cos cos cos sin sin ( )( ) ( )( ) ( 6 ) 5 CONTOH Buktikn bhw cos t sin t Pnlsin Dri rumus cos( ) cos cos sin sin diprolh cos t cos( t t) cos t cos t sin t sin t cos t sin t (*) Slnjutn, dri rumus sin cos mk sin t cos t tu cos sin t shingg (*) mnjdi cos t cos t sin t ( sin t) sin t sin t Grik Fungsi Trigonomtri Grik ungsi-ungsi trigonomtri diprlihtkn pd Gmbr 9 Priod dn Amplitudo pd Fungsi Trigonomtri Priod Scr umum, sutu ungsi () diktkn priodik jik d sbuh bilngn positi p sdmikin shingg ( p) ( ) untuk stip Nili p trkcil pd ng mmnuhi prsmn di ts disbut priod Fungsi-ungsi trigonomtri mrupkn ungsi priodik Sbgi contoh, dpt dibuktikn bhw sin sin( ) Slin itu, jug dipnuhi sin( ) sin( ) sin( ) sin Nili-nili,,, dn dlh smu bilngn p ng mmnuhi sin( p) sin Krn mrupkn nili p trkcil, priod dri ungsi sinus dlh Slnjutn, jik ungsi sinus dintkn sbgi sin T, Aip Sripudin Fungsi - 5

16 Diktt Kulih TK Mtmtik priodn dlh T sbb sin T sin sin T T T = sin = cos - (b) = tn = cot (c) (d) = sc =csc () Gmbr 9 Grik ungsi trigonomtri: sinus, (b) cosinus, (c) tngnt, (d) cotngnt, () scnt, dn (d) coscnt () CONTOH Tntukn priod ungsi trigonomtri brikut: sin Pnlsin Bndingkn sin dngn sin mk diprolh T Jdi, priod ungsi T sin dlh ½ T Aip Sripudin Fungsi - 6

17 Diktt Kulih TK Mtmtik Amplitudo Jik ungsi priodik mmprthnkn nili mksimum dn minimum, mplitudo A didinisikn sbgi stngh kli jrk ntr nili mksimum dn nili minimum CONTOH Tntukn mplitudo dri sin dn (b) 5 sin Pnlsin Drh hsil dri sin dlh [, ] mk (b) Drh hsil dri A m min [ ( )] 5 sin dlh [, 7] mk A (7 ) m min SOAL-SOAL LATIHAN Ubh ukurn drjt brikut k dlm rdin 5 o (b) 6 o (c) o (d) 5 o Tnp mnggunkn klkultor, hitung: o sin 75 (b) cos 5 (c) (d) o tn 5 o csc 5 Buktikn bhw sin (csc o sin ) cos (b) ( sin )( sin ) cos Tntukn priod dn mplitudo ungsi priodik brikut Kmudin gmbrkn grikn (b) cos t sin t 5 Mn di ntr ungsi-ungsi trigonomtri brikut ng mrupkn ungsi gnjil tu gnp tu bukn kdun? sin (b) cos( ) (c) cos (d) sin( ) Aip Sripudin Fungsi - 7

18 Diktt Kulih TK Mtmtik Fungsi Eksponn dn Logritm Fungsi Eksponn Fungsi ksponn umum Fungsi ksponn umum didinisikn sbgi brikut Jik > dn R, ungsi disbut ungsi ksponn dngn bsis ( ) Sit-sit ksponn sbgi brikut Jik > dn b >, prsmn brikut bnr untuk smu bilngn rl dn b ( b) 5 b b Fungsi ksponn sli Fungsi ksponn dngn bsis = =, , kni ( ), disbut ungsi ksponn sli Fungsi ksponn sli sring digunkn untuk mmodlkn prtumbuhn tu pluruhn ksponn Scr umum, ungsi prtumbuhn tu pluruhn ksponn dintkn olh k dngn k > untuk prtumbuhn ksponn, k > untuk pluruhn ksponn, dn dlh nili wl CONTOH Sjumlh bktri ng tumbuh stlh t jm mmnuhi prsmn,69t B Brpkh jumlh bktri pd st wl? (b) Brp jumlh bktri stlh 6 jm? Pnlsin Jumlh bktri pd st wl, t =, dlh B,69t (b) Jumlh bktri stlh 6 jm, t = 6, dlh B,69t,69 6,8 6, ,7 668 Aip Sripudin Fungsi - 8

19 Diktt Kulih TK Mtmtik Fungsi Logritm Fungsi logritm umum Fungsi logritm dngn bsis > dngn, ( ) log, mrupkn kblikn dri ungsi ksponn ) ( Dngn kt lin, log Fungsi logritm sli Jik =, log ditulis sbgi ln Fungsi ln disbut ungsi logritm sli Fungsi ini mrupkn kblikn dri ungsi ksponn sli Dngn dmikin, ln Sit-sit logritm dn ksponn nturl sbgi brikut () ln = () ln r r ln () ln ln ln b (5) ln, b () ln b ln ln b (6) ln CONTOH Tntukn jik dikthui log 8 Pnlsin Gunkn rumus log, (b) log 6 log8 8 mk = (b) log CONTOH Sdrhnkn ungkpn brikut (b) ln (c) ln ln (d) ln ln Aip Sripudin Fungsi - 9

20 Diktt Kulih TK Mtmtik Pnlsin Gunkn sit () dn (5) mk ln ln (b) Gunkn sit (6) mk ln (c) Gunkn sit (), (), (), dn (5) mk ln ln ln ln ln ln (d) Gunkn sit (), (5), dn (6) mk ln ln ln ln CONTOH Tntukn jik ln t dn (b) Pnlsin Gunkn rumus ln mk ln t t (b) ln shingg ln, 5 CONTOH 5 Pnlsin kt N N N N Jumlh unsur rdiokti mluruh stip st mmnuhi prsmn kt N N, dngn k > dn N dlh jumlh unsur pd st wl Tntukn wktu ng diprlukn untuk mluruh shingg jumlh unsur trsbut tinggl stnghn (disbut wktu pruh) Ntkn dlm k kt kt shingg Slnjutn, mbil logritmn mk ln kt ln kt ln shingg diprolh wktu pruhn dlh t ln k SOAL LATIHAN Tntukn jik dikthui: log 8 ln t 5 log Aip Sripudin Fungsi -