I GUSTI AYU MADE SRINADI DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI

Transkripsi

1 I GUSTI AYU MADE SRINADI DESAK PUTU EKA NILAKUSMAWATI JURUSAN ILKOM FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA

2 PENGANTAR Bahan ajar yang berjudul Aljabar Linear Elementer ini, dirasakan penyusun sangat memberikan manfaat untuk menambah bahan pustaka di Jurusan Matematika dan Jurusan Ilmu Komputer, Fakultas MIPA Universitas Udayana, serta merupakan salah satu buku pegangan bagi mahasiswa yang mengambil mata kuliah Aljabar Linear Elementer. Materi-materi yang disajikan dalam bahan ajar meliputi: Sistem Persamaan Linear, Determinan, Vektor pada R dan R, Ruang Vektor Euclidean, Ruang-ruang Vektor Umum, Hasil Kali Dalam, dan Nilai Eigen & Vektor Eigen. Dalam setiap Bab menguraikan teori-teori, disertai dengan pembuktian-pembuktian teorema. Penyajian contoh-contoh latihan soal diuraikan secara jelas dan bertahap sehingga diharapkan dapat memudahkan pembaca untuk memahami isi materi. Pada akhir setiap Bab disajikan Soal-soal latihan, yang dapat dimanfaatkan oleh dosen pengampu sebagai tugas terstruktur, untuk mengetahui daya serap mahasiswa terhadap isi materi. Pengalaman, pengetahuan dan materi kepustakaan yang terbatas, merupakan kendala dalam penyusunan bahan ajar ini, sehingga jauh dari sempurna. Kritik dan saran dari berbagai pihak, untuk ikut menyempurnakan bahan ajar ini akan diterima dengan senang hati. Akhir kata, semoga bahan ajar ini bermanfaat bagi kita semua. Denpasar, Februari Penyusun i

3 DAFTAR ISI PENGANTAR..... DAFTAR ISI. i ii BAB I. SISTEM PERSAMAAN LINEAR..... Sistem Persamaan Linear.. Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan. 6.. Matriks dan Operasi Matriks Invers dan Kaidah Aritmatika Matriks..5. Hasi-hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan & Keterbalikan... 6 BAB II. DETERMINAN.... Fungsi Determinan..... Menghitung Determinan dengan Reduksi Baris 5.. Sifat-sifat Determinan.... Perluasan Kofaktor Aturan Cramer.. 9 BAB III. VEKTOR PADA R DAN R Vektor. 5.. Norm Vektor dan Aritmatika Vektor 7.. Hasil Kali Silang Dot Product (Hasil kali Titik/Skalar) 5.5. Vektor-vektor Ortogonal Proyeksi Ortogonal Jarak Antara Titik dan Garis Hasil kali Silang (Cross Product) Vektor pada Garis dan Bidang dalam Ruang Tiga Dimensi. 6 BAB IV. RUANG VEKTOR EUCLIDEAN Ruang Berdimensi-n Euclidean.... Ortogonalitas (Ketegaklurusan) Transformasi Linear dari R n ke R m 7.. Geometri Transformasi Linear Sifat-sifat Transformasi Linear dari R n ke R m 7 75 BAB V. RUANG-RUANG VEKTOR UMUM Aksioma Ruang Vektor Subruang (Subspace) Kombinasi Linear Rentang Bebas Linear Basis dan Dimensi 85 BAB VI. HASIL KALI DALAM Hasil Kali Dalam Sudut dan Keortogonalan dalam Ruang Hasil Kali Dalam... 9 ii

4 6.. Komplemen-komplemen Ortogonal. 6.. Basis Ortogonal 6.5. Koordinat-koordinat Relatif Terhadap Basis-basis Ortonormal Proses Gram-Schmidt untuk Membentuk Basis-basis Ortogonal/Ortonormal Dimensi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Kosong BAB VII. NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi. 7.. Diagonalisasi Ortogonal.. 8 DAFTAR PUSTAKA 5 iii

5 BAB I SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem Persamaan Linear.. Persamaan Linear Persamaan linear adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu, (tidak memuat bentuk trigonometri, eksponen, logaritma), tidak ada perkalian atau pembagian dengan variabel lain/dirinya sendiri. Misal : a + ay = b Sebuah persamaan jenis ini disebut sebuah Persamaan Linear dalam variabel/ peubah dan y. Secara umum kita mendefinisikan suatu persamaan linear dalam n peubah,,,n sebagai suatu persamaan yang bisa disajikan dalam bentuk : a+a+ +ann = b Dengan a,a,,an dan b konstanta real. Peubah-peubah dalam suatu persamaan linear kadang-kadang disebut yang tak diketahui. Contoh-contoh Persamaan yang Bukan Persamaan Linear. + y = (persamaan Linear). + y = 7 (bukan persamaan Linear karena y berpangkat ) Solusi dari persamaan linear a + a+ + ann = b adalah deret dari n bilangan s, s,,sn, sehingga persamaan tersebut akan tepat bila = s, = s,, n = sn. Solusi tersebut yaitu {s, s,, sn} disebut himpunan jawab (solution set) atau solusi umum (general solution) dari persamaan linear. Contoh : Himpunan jawab dari + y = adalah : = t, y=-t atau = / (-t), y=t Sistem Persamaan Linear merupakan sejumlah persamaan yang mengandung n variable dengan himpunan jawab s, s,, sn jika dan hanya jika =s, =s,, n= sn

6 Tidak semua sistem persamaan mempunyai penyelesaian. Misalnya jika kita mengalikan persamaan kedua dalam sistem berikut : + y = + y = 6 dengan ½, akan terbukti bahwa tidak ada penyelesaian karena terjadi ketakkonsistenan: +y = + y = Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai sistem yang tak konsisten; jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka sistem itu disebut konsisten. Persamaan-persamaan linear dalam dua variabel/peubah tersebut dapat dibuat dalam suatu grafik yang berbentuk garis lurus, karena suatu titik (,y) terletak dalam suatu garis jika dan hanya jika angka dan y memenuhi persamaan garis tersebut, penyelesaian sistem persamaan tersebut berpadanan dengan titik-titik potong g dan g,sehingga terdapat kemungkinan : Garis g dan g mungkin sejajar, dimana tidak ada perpotongan dan akibatnya tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut. Garis g dan g mungkin berpotongan hanya di satu titik,dimana sistem tersebut tepat mempunyai satu persamaan. Garis g dan g mungkin berimpitan,dimana ada tak terhingga titik potong dan akibatnya ada banyak penyelesaian untuk sistem tersebut.

7 Secara umum dapat diringkaskan mengenai Sistem Persamaan Linear sebagai berikut: Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan m persamaan, n variable : a a... a b a a... m a a m a a n n mn n n n b... b m SPL HOMOGEN b = b = = bm = SPL TAK HOMOGEN Tidak semua bi =, bi KONSISTEN (mempunyai solusi) KONSISTEN TAK KONSISTEN Tak ada titik potong Solusi Trivial = = =n= Solusi Non Trivial Ada i, i=,,,n Satu Solusi Banyak Solusi.. Metode Eliminasi Ada Operasi dasar yang dapat dilakukan pada sistem persamaan linear tanpa mengubah jawaban sistem persamaan tersebut.. mengubah urutan persamaan pada sistem tersebut.. mengalikan sebuah persamaan dari sistem dengan bilangan tak nol.. untuk sembarang bilangan real, c... Matriks Yang Diperluas Untuk menyusun matriks-matriks yang diperbanyak peubah-peubah harus ditulis dalam urutan yang sama dalam setiap persamaan dan konstanta harus berada disebelah kanan.

8 Untuk menyederhanakan penulisan SPL di atas, dapat dituliskan dalam bentuk matriks gandengan/matriks diperluas/matriks diperbesar (Augmented Matrices) dengan menuliskan koefisien-koefisien persamaan dan konstanta nilai persamaan dalam satu matriks sbb : a a : a m a a a : m :... a a a n n : mn b b b : m.. Operasi Baris Elementer Ada tiga operasi yang dapat dilakukan pada suatu sistem persamaan linear tanpa mengubah jawabannya. Ketiga operasi tersebut, yaitu : Menukar letak dari dua baris matriks tersebut Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain Ketiga operasi ini dapat dijalankan pada matriks lengkapnya dan disebut operasi baris elementer. Adapun notasi ketiga baris tersebut adalah :. Menukar baris ke-i dan ke j : Bij atau Bi Bj. Mengalikan baris ke-i dengan bilangan c, c : Bi (c) atau c Bi Bi. Mengalikan baris ke-i dengan c, ditambahkan pada baris ke-j : Bji (c) atau Bj + c Bi Bj Contoh : B B Contoh : B ()

9 5 Contoh : ( ) B..5 Eselon Baris Bentuk Eselon-baris, matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :. Jika suatu baris tidak nol, maka angka pertama yang tidak nol pada baris tersebut harus bernilai (leading ).. Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan pada barisbaris bawah dari matriks.. Jika ada dua baris tidak nol, maka posisi leading pada baris di bawahnya, harus berada lebih kanan dari leading baris di atasnya.. Masing-masing kolom yang memiliki leading, elemen-elemen lain pada kolom tersebut bernilai nol. Contoh : Suatu proses eliminasi sampai memperoleh bentuk Eselon Baris Tereduksi (memenuhi sifat s/d ) disebut Eliminasi Gauss Jordan Sedangkan proses eliminasi hingga memperoleh bentuk Eselon Baris (memenuhi sifat s/d, sifat tidak terpenuhi) disebut Eliminasi Gauss Contoh matriks eselon baris tereduksi : 8 ; ; Contoh matriks eselon baris tapi bukan eselon baris tereduksi : ; ; 6

10 6. Eliminasi Gauss, Eliminasi Gauss Jordan Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss Jordan adalah suatu prosedur mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana. Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Contoh : Diketahui persamaan linear + y + z = 6 + y + z = 9 + y + z = Tentukan Nilai, y dan z! Jawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks: B ( ) B( ) B () B ( ) 9 Maka mendapatkan persamaan linier baru yaitu + y + z = 6 y + z = z = Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan: y + z = + y + z = 6 y + = + + = 6 y = = Jadi nilai dari =, y =,dan z =

11 7. Matriks dan Operasi Matriks Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan atau unsur-unsur (elemen-elemen) yang teratur dalam baris dan kolom. Matriks juga bisa didefinisikan sebagai suatu susunan bilangan yang berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut elemen(unsur) dari matriks tersebut. Secara umum matriks bisa di ditulis sebagai berikut : a a a n a a a n A = [.... ].... a m a m a mn Ukuran (ordo) dari matriks dinyatakan dengan m n, dimana m menyatakan banyaknya baris, dan n menyatakan banyaknya kolom dari matriks tersebut. Elemen matriks dapat ditulis dengan tanda kurung siku [ ] atau dalam tanda kurung besar ( ). Notasi matriks dinyatakan dengan huruf capital, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf kecil. Maka matriks A di atas dapat dinotasikan dengan : [a ij ] m n atau [a ij ] atau elemen baris ke-i dan kolom ke-j matriks A dinotasikan dengan (A) ij = a ij Matriks yang mempunyai satu baris saja disebut matriks baris dan sebaliknya. Secara umum matriks baris atau matriks kolom lebih sering dinyatakan dengan huruf kecil b b dicetak tebal, misal : a = [a, a,, a n ] ; b =.. [ b m ] Contoh : A = [ 7 ] Kita mempunyai (A) =, (A) =, (A) = 7, (A) =.. Ukuran dan Operasi pada Matriks Ukuran matriks diberikan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Misalkan, matriks B = [ ], mempunyai baris dan kolom, sehingga 6 9 ukurannya adalah. Dua ukuran matriks didefinisikan sama jika mempunyai ukuran yang sama dan elemen-elemen yang berpadanan/bersesuaian sama. Jika matriks berukuran sama, maka jumlah dari kedua matriks tersebut adalah menjumlahkan elemenelemen yang sepadan dari kedua matriks. Matriks yang mempunyai ukuran yang berbeda

12 8 tidak bisa untuk dijumlahkan atau dikurangkan. Jika matriks A = m r dan meatriks B = r n, maka hasil kali AB adalah matriks m n. Untuk mencari elemen-elemen dalam baris i dan kolom j dari AB, pilih baris i dari matriks A dan kolom j dan matriks B. Kalikan elemen-elemen yang berpadanan dari baris dan kolom secara bersama-sama dan kemudian jumlahkan hasil kalinya. Definisi definisi yang terdapat dalam operasi operasi matriks:. Dua matriks didefinisikan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan anggota anggotanya yang berpadanan sama Contoh: Tinjau matriks matriks berikut: A = [ ] B = [ ] C = [ 5 ] Jika = 5 maka A = B tetapi untuk semua nilai lainnya matriks A dan B tidak sama, karena tidak semua anggota anggotanya yang berpadanan sama. Tidak ada nilai yang membuat A = C karena A dan C mempunyai ukuran yang berbeda.. Jika A dan B adalah matriks matriks berukuran sama, maka jumlah A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan anggota anggota B dengan anggota anggota A yang berpadanan, dan selisih A B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan anggota anggota A dengan anggota anggota B yang berpadanan. Matriks matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. (A + B) ij = (A) ij + (B) ij = a ij + b ij (A B) ij = (A) ij (B) ij = a ij b ij Contoh: Tinjau matriks matriks Maka, A = [ A + B = [ 7 7 ] B = [ ] + [ 5 ] C = [ ] 5 5 ] = [ ] 5

13 9 A B = [ 7 ] [ 5 6 ] = [ ] 5. Jika A adalah sebarang matriks dan c adalah sebarang skalar, maka hasil kali ca adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan c. Dalam notasi matriks, jika A = [a ij ], maka (ca) ij = c(a) ij = ca ij Contoh: Untuk matriks matriks A = [ ] B = [ Maka kita akan mendapatkan: A = [ [ 7 5 ] C = 6 [9 ] = [ 6 6 ] = [ 7 6 ] C = [9 5 ] 8 ] ( )B = [ ] 7 5 ] =. Jika A, A,, A n matriks dengan ukuran sama c, c,, c n skalar, maka bentuk c A + c A + + c n A n disebut sebagai kombinasi linier dari A, A,, A n dengan koefisien c, c,, c n. Contoh: Jika A = [ ] B = [ A B + C = A + ( B) + 6 C = [ 6 = [ ] C = [9 5 ] 8 ] + [ ] maka, 7 ] + [ 5 5. Jika A matriks berukuran m n dan B matriks berukuran n r, maka hasil kali AB adalah suatu matriks berukuran m r dengan unsur unsur sebagai berikut: ] Contoh: A = [ 6 (AB) ij = a i b j = a i b j + a i b j + + a in b nj ] B = [ 7 i j ] 5

14 Karena A adalah matriks dan B adalah matriks, maka hasil kali AB adalh sebuah matriks. Maka, AB = [ 6 ] [ 7 7 ] = [ ].. Partisi Matriks Sebuah matriks dapat dipartisi ke dalam matriks yang lebih kecil dengan menyisipkan garis horizontal atau vertikal diantara baris atau kolom yang ditentukan. Misalkan matriks A berukuran m n dapat dipartisi menjadi : a a a n a a a n A = [.... A ] = [ A ].... A A a m a m a mn a a a n a a a n A = [.... ] =.... a m a m a mn r r.. [ r m ] a a a n a a a n A = [.... ] = [c, c,, c n ].... a m a m a mn Contoh: Jika A = dan B 6 8 maka : a. Matriks Kolom kedua dari AB = b. Matriks Baris pertama dari AB =

15 . Invers dan Kaidah Aritmatika Matriks Diasumsikan bahwa matriks memenuhi sehinga operasi aritmatik matriks tersebut valid, meliputi : a. A + B = B + A b. A +(B+C) = (A+B)+ C c. A(BC) = (AB) C d. A(B+C) = AB + AC e. (B+C)A = BA + CA f. A(B-C) = AB-AC g. (B-C)A = BA-BC h. a(b+c) = ab+ac i. (a+b)c = ac+bc j. (a+b)c = ac-bc k. a(bc) = abc l. a(bc) =(ab)c = B(aC).. Invers Matriks Jika A sebuah matriks segi (bujur sangkar), dan matriks B berukuran sama didapatkan sedemikian hingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik (invertible) dan B adalah invers dari A. Contoh : B = [ 5 5 ] adalah invers dari A = [ ] Teorema : Misal A = [ a b c d ] maka inversnya adalah A = [ d b ad bc c a ] = [ Contoh:. Tentukan invers dari matriks [ 7 ] Penyelesaian: Kita beri nama mtriks diatas dengan matriks A, sehingga: A = [ 7 ] d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc ]

16 Sedangkan matriks identitasnya: I = [ ] Kemudian kita gandengkan matriks A dengan matriks I, sehingga menjadi: [A I] = [ 7 ] (matriks gandengan ini kita beri nama matriks Y) Kita lakukan operasi baris dasar sampai matriks A menjadi matriks I Y = [ 7 [ ] ~B ( ) [ ] ~B ( ) [ ] ~B ( ) [ 7 ] ] Maka A = [ 7 ].. Sifat-Sifat Invers. Invers suatu matriks bersifat unik. Jika B dan C keduanya merupakan invers dari A maka B = C.. Suatu hasil kali berapapun banyaknya matriks yang bisa dibalik adalah matriks yang bisa dibalik, dan invers dari hasil kali tersebut adalah hasil kali invers inversnya dalam ukuran terbalik. Jika A dan B matriks-matriks berukuran sama dan dapat dibalik, maka: a. AB dapat dibalik b. (AB) = B A c. Jika A n n A = I ; A n = A. A. A... A (n faktor, n >). Jika A bisa dibalik, maka : A n = (A ) n = A A A (n faktor). A r A s = A r+s ; (A r ) s = A rs.. Jenis Jenis Matriks Matriks dapat dibedakan menurut jenisnya, antara lain:. Matriks Nol Suatu matriks dikatakan sebagai matriks nol, jika semua elemennya sama dengan nol. Misalnya,

17 ,. Matriks Baris Suatu matriks dikatakan sebagai matriks baris, jika matriks tersebut hanya terdiri atas satu baris, misalnya 7, 5 6. Matriks kolom Suatu matriks dikatakan sebagai matriks kolom, jika matriks tersebut hanya terdiri dari satu kolom. Misalnya,, Matriks persegi dan matriks bujur sangkar Suatu matriks dikatakan sebagai matriks persegi atau matriks bujur sangkar, jika banyak baris pada matriks tersebut sama dengan banyak kolomnya. Misalnya, 7 5, 6 8 Pada suatu matriks persegi ada yang dinamakan sebagai diagonal utama dan diagonal sekunder. Perhatikan matriks berikut. a a a a a a a a a Elemen-elemen yang terletak pada diagonal utama pada matriks tersebut adalah a, a dan a (sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri atas ke kanan bawah). Sebaliknya, elemen-elemen yang terletak pada diagonal sekunder sesuai dengan arsiran yang berasal dari kiri bawah ke kanan atas, dalam hal ini: a, a, a. 5. Matriks segitiga Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemen-elemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-

18 duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yangada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemenelemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah. Misalnya, Matriks segitiga bawah Matriks segitiga atas 6. Matriks Diagonal Suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks diagonal jika elemenelemen yang ada di bawah dan di atas diagonal utamanya bernilai nol, atau dengan kata lain elemen-elemen selain diagonal utamanya bernilai nol. Misalnya, 7. Matriks Skalar Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika semua elemenelemen yang terletak pada diagonal utamanya memiliki nilai yang sama, misalnya, Matriks Identitas dan matriks satuan Suatu matriks skalar dikatakan sebagai matriks identitas jika semua elemen yang terletak pada diagonal utamanya bernilai satu, sehingga matriks identitas disebut juga matriks satuan. Misalnya,

19 5 Metode untuk mencari matriks kebalikan adalah melalui operasi baris dasar matriks gandengan antara A dan I [A I]~obe[I A ] Selain itu ada satu cara menentukan solusi SPL apabila matriks A invertible, maka: A = b punya solusi tunggal yaitu = A b Contoh: Tentukan solusi SPL berikut: y + 6y + y = y + y y = y + y + 5y = Penyelesaian: Kita ubah Sistem Persamaan Linier di atas ke dalam bentuk matriks dan kita beri nama E: E = [ 5 ] 8 Sedangkan matriks identitasnya: I = [ ] Kemudian gandengkan matriks E dengan matriks I dan kita beri nama matriks tersebut dengan K [E I] K = [ 5 8 ] ~B ( ) B ( ) [ 5 ] [ 5 ] ~B () [ ] 5 [ 5 ] ~B ( ) [ ] 5

20 6 [ 5 ] ~B () B ( ) [ 6 5 ] 5 [ ] ~B ( ) [ ] Sehingga E = [ 5 ] Maka = E b = [ 5 ] [ ] = [ 6] 5 Jadi solusi untuk Sistem Persamaan Linier diatas adalah: y = 9 y = 6 y =.5 Hasil-hasil Selanjutnya Mengenai Sistem Persamaan dan Keterbalikan Teorema: Setiap sistem persamaan linier bisa tidak mempunyai penyelesaian, tepat satu penyelesaian, atau tak hingga banyaknya penyelesaian Teorema: Jika A adalah suatu matriks n n yang bisa dibalik, maka untuk setiap matriks b, n, sistem persamaan A = b tepat mempunyai satu penyelesaian yaitu = A b Contoh: e + 6e + e = e + e e = e + e + 5e = Jika sitem persamaan linier ini diubah ke dalam bentuk matriks maka: Y = [ 5 ] e = [ e ] b = [ ] 8 e e

21 7 Sedangkan matriks identitasnya: I = [ ] Kemudian kita akan mencari invers dari matriks Y dengan menggandengkan matriks tersebut dengan matriks identitasnya, kita beri nama matriks tersebut dengan matriks D. [E I] D = [ 5 8 ] ~B ( ) B ( ) [ 5 ] [ 5 ] ~B () [ ] 5 [ 5 ] ~B ( ) [ ] 5 [ 5 ] ~B () B ( ) [ 6 5 ] 5 [ ] ~B ( ) [ ] Sehingga Y = [ 5 ] Maka e = Y b = [ 5 ] [ ] = [ 6] 5 Jadi solusi untuk Sistem Persamaan Linier diatas adalah: e = 9 e = 6 e =

22 8 Latihan Soal Soal. y + 6y + y = y + y ay = y + y + 5y = b Pada sistem persamaan linier di atas tentukan nilai a dan b sehingga sistem persamaan linier memiliki: a. Solusi tunggal b. Banyak solusi c. Tidak ada solusi ( tidak konsisten ). Selesaikan sistem berikut ini dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan + + = 8 + = 7 + =. Bila E = [ 8 6 ] Tentukan p(e) jika: a. p() = + + b. p() = 6 e f. Diketahui matriks Y = [ ] buktikan bahwa g h A = (e + h)a (eh fg)i cos γ sin γ 5. Tentukan invers dari matriks E, untuk E = [ sin γ cos γ ] Penyelesaian. y + 6y + y = y + y ay = y + y + 5y = b Penyelesaian: Kita ubah terlebih dahulu sitem persamaan di atas ke dalam bentuk matriks. Sehingga menjadi: 6 E = [ a 5 ] b

23 9 Kemudian matriks diatas kita reduksi. 6 6 E = [ a ] ~B ( ) B () [ 8 8 a ] 5 b 8 9 b [ 8 8 a ] ~B [ 8 9 b + ] 8 9 b a 6 6 [ 8 9 b + ] ~B ( 9 8 (b + ) 8] a 8 8 a 6 8 ( 6b + ) 8 [ 9 8 (b + ) 8] ~B ( 6) B (8) [ 9 8 (b + ) 8 ] 8 8 a a b + a. Sistem Persamaan Linier tersebut memiliki solusi tunggal jika dan hanya jika a a b. Sistem Persamaan Linier tersebut memiliki banyak solusi jika dan hanya jika: a = dan b + = a = b = c. Sistem Persamaan Linier tersebut tidak mempunyai solusi jika dan hanya jika: a = dan b + a =. + + = 8 + = 7 + = Penyelesaian: b Kita ubah terlebih dahulu sistem persamaan linier di atas ke dalam bentuk matriks Y = [ 7 8 ] ~B () B ( ) [ ] ~B ( ) [ ] ~B ( ) B () [ ] ~B ( 5 ) 7 [ 5 7 9] ~B ( 7) B (5) [ ]

24 . E = [ 8 6 ] Menentukan p(e) dari a. p() = + + b. p() = 6 Penyelesaian: a. p() = + + dimana = E p(e) = E + E + I p(e) = [ 8 6 ] [8 6 ] + [8 6 ] + [ ] 88 6 p(e) = [ ] + [6 8 8 ] + [ ] 88 6 p(e) = [ ] + [ ] 5 7 p(e) = [ 8 ] b. p() = 6 dimana = E p(e) = 6E I p(e) = 6 [ 8 6 ] [ ] 8 6 p(e) = [ ] [ ] 5 6 p(e) = [ 9 ] e f. Y = [ g h ] Kita akan membuktikan bahwa: A = (e + h)a (eh fg)i Penyelesaian: A = (e + h)a (eh fg)i e f f f [ ] [e ] = (e + h) [e ] (eh fg) [ g h g h g h ]

25 [ e + fg ef + fh + h) f(e + h) fg) ge + hg gf + h] = [e(e ] [(eh g(e + h) h(e + h) (eh fg) ] [ e + fg ef + fh ge + hg gf + h ] = [ e + eh fe + fh fg) ge + hg he + h] [(eh (eh fg) ] [ e + fg ef + fh ge + hg gf + h ] = + fg ef + fh [e ge + hg gf + h] Terbukti. cos γ sin γ 5. E = [ sin γ cos γ ] Invers dari matriks E adalah E γ sin γ = cos γ ( sin [cos γ) sin γ cos γ ] E = cos γ + sin γ γ sin γ [cos sin γ cos γ ] = γ sin γ γ sin γ [cos ] = [cos sin γ cos γ sin γ cos γ ]

26 Soal-Soal Latihan : Sistem Persamaan Linear. Reduksilah (lakukan operasi baris dasar) matriks berikut sehingga menjadi matriks eselon baris (bentuk eselon) dan kemudian menjadi matriks eselon baris tereduksi (bentuk kanonik baris) : a. 5 9 b c d Jika ada tentukan solusi SPL-SPL berikut: a. 5 y y y d. 8 z y z y z y g t z y t z y t z y b. 9 y y e. 5 z y z y z y h z y z y z y c. 7 5 z y z y z y f t z y t z y t z y i t z y t z y t z y. Tentukan nilai a dan b agar SPL berikut mempunyai: (i) satu solusi (ii) tak ada solusi (iii) banyak solusi a. 5 by a y b. 5 y a by c. ay by d. b z y az y y 5 5 z. Perhatikan SPL berikut: a. b z y az y y a b. b az y z ay y z c. b z y a z ay y az

27 Untuk setiap a nilai berapakah setiap sistem mempunyai solusi unik, dan untuk pasangan nilai (a, b) berapakah setiap sistem memiliki lebih dari satu solusi? 5. Jika,, dan maka tentukan nilai,, dari sistem persamaan tak linear berikut : sin cos tan sin cos tan 6sin cos tan 9 6. Tentukan nilai, y, dan z dari sistem persamaan tak linear berikut: y z 6 y y z z 7. Tentukan syarat yang harus dipenuhi b agar SPL konsisten : y 5z b 5y 8z b y z b 8. Bila A, Tentukan p(a) jika : (i) p ( ) ; (ii) p ( )

28 BAB II DETERMINAN. Fungsi Determinan Fungsi determinan merupakan suatu fungsi bernilai real dari suatu peubah matriks. Fungsi determinan dinyatakan dengan det. Misalnya A adalah suatu matriks bujur sangkar, maka fungsi determinan dari matriks A dapat dinyatakan dengan det(a). Terdapat beberapa konsep-konsep yang perlu dipahami dalam menentukan determinan suatu matriks segi, meliputi :.. Permutasi Permutasi dari himpunan bilangan bulat : {,,.,n} adalah banyak susunan berbeda dari bilangan-bilangan integer tersebut tanpa adanya penghilangan atau pengulangan. Suatu metode yang mudah untuk mendaftarkan permutasi secara sistem adalah dengan menggunakan suatu pohon permutasi. Misalnya permutasi dari bilangan {,,} dapat disusun : (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) (,,) Dari pohon permutasi tersebut didapat bahwa ada enam permutasi yang berbeda dari himpunan bilangan {,,}. Secara umum, himpunan {,,} akan mempunyai n! permutasi yang berbeda (n=banyak elemen). Untuk himpunan {,,},! =.. = 6.

29 5 Inversi (pasangan negatif) Suatu inversi dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j, j,, jn) jika suatu bilangan bulat yang lebih besar mendahului bilangan bulat yang lebih kecil. Total jumlah inversi yang terjadi dalam suatu permutasi bisa didapat sebagai berikut : ) Cari bilangan bulat yang lebih kecil dari j dan yang mengikuti j dalam permutasi tersebut, ) Cari bilangan bulat yang lebih kecil dari j dan yang mengikuti j dalam permutasi tersebut, ) Teruskan proses menghitung ini untuk j,, jn-. Total dari jumlah-jumlah tersebut adalah total jumlah inversi dalam permutasi tersebut. Contoh : Jumlah pembalikan dalam permutasi (,,,, 5) adalah : =. Dari mariks segi A = (ajj)nn, unsur-unsur aij dan akl dikatakan pasangan negatif jika dan hanya jika k<i dan l>j atau k>i dan l<j dan dikatakan pasangan positif jika dan hanya jika k<i dan l<j atau k>i dan l>j. Permutasi dikatakan genap apabila total inversi jumlahnya genap, dan permutasi dikatakan ganjil apabila total inversi jumlahnya ganjil. Contoh : Dalam permutasi (,,,, 5), jumlah pembalikannya adalah jadi permutasi tersebut dikatakan permutasi ganjil.. Menghitung Determinan Dengan Reduksi Baris Menghitung determinan dengan reduksi baris adalah dengan mereduksi matriks yang diberikan menjadi bentuk segitiga atas melalui operasi baris elementer. Kemudian menghitung determinan dari matriks segitiga atas, kemudian menghubungkan determinan tersebut dengan matriks aslinya. a. Menghitung Determinan Matriks dan Matriks A = [ a a a a ], maka det(a) = a a a a = a a a a

30 6 Matriks a a a A = [ a a a ], maka : a a a dengan menggunakan aturan Sarrus a a a a a det(a) = a a a a a a a a a a = a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a b. Teorema-teorema dasar tentang Determinan Teorema Bila A adalah matriks segi (bujur sangkar) : a. Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol, maka det(a) = Contoh : A = [ ] det (A) = =.. = A = [ 7 6 ] det (A) = = (.. ) + (.6.9) + (.7.) (..9) (.6.) (.7. ) = b. det(a) = det(a T ) Teorema Contoh : A = [ ] det (A) = =.7.5 = A T = [ 5 5 ] det (A) = =.7 5. = Maka terbukti det (A) = det (A T ) Jika A adalah matriks segitiga n n (segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal), maka det(a) adalah hasil kali elemen-elemen diagonal utamanya, yaitu det(a) = a a... ann. a a A = [ a a a a ] det (A) = a a a a a a a a

31 7 Contoh : A = [ 5 ] det (A) = 5 = ()( )(6)(9) = Teorema Bila A adalah suatu matriks n n : a. Jika B suatu matriks yang diperoleh bila satu baris atau baris atau satu kolom dari A dikalikan dengan skalar k, maka det(b) = k det(a) 6 A = [ 5 7 6] baris pertama A dikalikan, menjadi B = [ 5 7 6] 8 8 det (A) = = = det (B) = = = det (B) = k det (A) =. = 6 (terbukti) b. Jika B suatu matriks yang diperoleh bila dua baris atau dua kolom dari A dipertukarkan, maka det(b) = - det(a) A = [ 5 7 6] baris pertama dan kedua dipertukarkan B = [ ] 8 det (A) = = = det (B) = = = 8 8 det (B) = det (A) (terbukti)

32 8 c. Jika B suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris atau kolom dengan satu konstanta kemudian ditambahkan pada baris atau kolom yang lain, maka det(b)=det(a) A = [ 5 7 6] baris pertama ditambah kali baris kedua B 8 7 = [ ] 8 det (A) = = = det (B) = = = 8 8 det (B) = det (A) (terbukti) Teorema Bila Enn matriks elementer : a. Jika E diperoleh dengan mengalikan satu baris In dengan k, maka det(e) = k E = [ ] baris kedua dikalikan E maka det (E) = k = b. Jika E diperoleh dengan menukarkan dua baris In, maka det(e) = - E = [ ] baris pertama dan terakhir dipertukarkan E maka det (E) =

33 9 c. Jika E diperoleh dengan menambahkan k kali satu baris In ke baris yang lain,maka Teorema 5 det(e) = E = [ ] baris pertama ditambah 8 baris terakhir 8 E maka det (E) = Jika A adalah sebuah matriks segi dengan dua baris/kolom yang proporsional, maka det(a) =. 5 A = [ 7 6] karena baris ketiga adalah kali dari baris pertama, maka baris ketiga tersebut kita tambahkan kali baris pertama 5 untuk mendapatkan suatu baris nol A = [ 7 6] 5 maka det (A) = = (terbukti) Contoh : 5 A = [ 6 9] 6 Penyelesaian : 5 A = [ 6 9] 6 5 Det (A) = [ 6 9] = - [ 5] 6

34 = - [ 5] 6 = - [ 5 ] 5 = - [ 5 ] 55 = (-) (-55) [ 5] Det (A) = (-) (-55) () = 65 c. Menghitung Determinan dengan Operasi Kolom Contoh : Penyelesaian : E [ 7 6 ] Det (A) = [ ] = [ ] Det (A) = () (7) () (-6). Sifat sifat Determinan. A T = A Pembuktian: A 6 A A T A T 6

35 Jadi A T A. Bila unsur-unsur salah satu atau kolom dari suatu matriks persegi bernilai nol maka determinan matriks tersebut = Contohnya : A A B 9 B 9. Jika salah satu baris atau kolom dikalikan dengan konstanta c, maka determinan matrik baru adalah c kali determinan matriks sebelumnya * A c A Contohnya : A A 6 misalkan C A 6 6 A 8 6 * * Jadi : A * C A 6 ( ) 6 6

36 . Jika dua baris atau dua kolom dipertukarkan maka * A A Contohnya : A A 6 A A 6 * * Jadi : A * A ( ) 5. Jika suatu matriks mempunyai dua baris atau kolom yang sama atau sebanding, maka determinannya adalah nol contohnya : baris; A 8 kolom; A 9 6 A A Bila matriks B diperoleh dari matriks A dengan menambahkan kelipatan suatu baris/kolom pada baris/kolom yang lain, maka A B contohnya A A 6 B diperoleh dengan menambahkan baris ke I pada baris ke II pada matriks A B 5 8 B 8 5 8

37 7. E matriks yang dihasilkan dari operasi dasar pada matriks Identitas Bila matriks E diperoleh dengan mengalikan satu baris matriks Identitas dengan konstanta k maka Contoh ; E dengan mengalikan K = 7 pada baris ke I I n 7 E E jadi E K Bila matriks E diperoleh dengan menambahkan K kali satu baris pada baris yang lain suatu matrik identitas maka E Contoh ; E diperoleh dengan menambahkan X baris ke-i pada baris ke-ii dari matrik identitas E E jadi E E Bila matrik E diperoleh dengan menukarkan dua baris matrik identitas maka Contoh ; E diperoleh dari menukarkan baris ke I dengan baris ke II pada matriks identitas E E jadi E

38 8. Jika A memiliki invers, maka det( A ) det( A) contoh; A A 6 A A A 6 A Jadi A A A 9. Bila A adalah matriks (n n) dan k suatu konstanta, maka det (ka)= det (A) k berpangkat n contohnya A A 8 5 K... K K KA K K K K K KA K K K K K K 8 (8 ) 5 n Jadi det( KA) K det( A). Jika A, B dan C matriks berukuran n n, unsur-unsurnyahanya berbeda pada satu baris (misalnya baris ke-r ), diasumsikan bahwa baris ke-r dari matriks C diperoleh dengan menambahkan baris ke-r matriks A dan baris ke-r matriks B maka det (C)= det (A) + det (B)

39 5 contoh A B C maka C A B 6 ( 9) ( ) Jadi det( C) det( A) det( B). Jika A dan B matriks segi dengan ukuran sama, maka det (AB)= det (A) det(b) contoh A, B matiks A B AB maka AB A B ( )(8 5) 7 7 Jadi det( AB) det( A)det( B). Determinan matriks diagonal, matriks segitiga atas da matriks segitiga bawah adalah hasil kali unsur-unsur diagonal utamanya. contoh A B C A B C

40 6. Perluasan Kofaktor Jika A adalah suatu matrik bujur sangkar, maka minor anggota. Dinyatakan oleh dan didefinisikan sebagai determinan submatrik yg masih tersisa setelah baris ke-i i j dan kolom ke-j dihilangkan dari matrik A. Bilangan ( ) M ijdinyatakan oleh Cij disebut kofaktor anggota aij. Secara singkat C M Dan untuk menentukan tanda + atau gunakan papan periksa ij ij aij Cij C C C C C.. 5 C C C C C 5.. C C C C C 5.. C C C C C 5.. C C C C C Contoh : A M C M M 6 M C M M 6

41 7 Perluasan Kofaktor Perluasan kofaktor dari suatu matrik A ialah cara mencari determinan dari matrik A dengan mengalikan anggota- anggota pada suatu kolom/suatu baris dari matrik A dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang di dapat. Pemahaman: misalkan matriks A dengan ordo berikut : A a a a a a a a a a A A a a aa aaa aaa aaa aaa aaa a a a a a a a a a a a a a a A a C ac ac Contoh soal : misal matriks ordo berikut : A a C a C a C A A a C a C a C A A A... A..8. A A kita akan mencari determinannya dengan perluasan kofaktor.5 Adjoin Suatu Matriks Definisi: jika A adalah sembarang matrik n n dan C(ij) adalah kofaktor dari a(ij) maka matriks

42 8 C C.... C n C C.... C n Cn Cn C nn disebut matrik kofaktor dari A. transpos dari matrik ini disebut adjoin A dan dinyatakan oleh adj (A). Contoh adjoin matriks, misalkan A adalah matrik maka adjoin matrik A diperlihatkan dibawah sbg berikut: C C C A C C C C C C mk( A) T adj( A) [ mk( A)] Aplikasi rumus adjoin untuk invers suatu matriks yaitu sebagai berikut Contoh : A adj( A) det( A) kita ambil nilai adjoin matrik A pada contoh diatas lalu kita cari inversnya A maka( A ) adj( A)

43 9.6 Aturan Cramer Jika A=b merupkan suatu sistem n persamaan linier dalamn peubah sedemikian hingga (A) tidak, maka sistem tersebut mempunyai suatu penyelesaian unik, yaitu sebagai beriut; det( ) det( ) det( ),,... det( ) det( ) det( ) n n A A A A A A dengan Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada kolom ke-j dari A dengan anggota-anggota pada matriks Contoh penerapan aturan Cramer Selesaikanlah SPL berikut: + y + z = + y + z = 6 +y +z = 7 Jawab: b n b b b.. 5 ) det( ) det( ) det( ) det( A A A A A A A A 5 5 ) det( ) det( 5 5 ) det( ) det( 5 5 ) det( ) det( A A z A A y A A jadi

44 Latihan Soal Soal. Jika A = [ ] Tentukan A = A. A! a b c. Jika d e f = 6 g h i a b c Tentukan d e f g d h e i f 7. Tentukan. Jika A = [ ] 5 6 Tentukan A dengan cara: a. A = adjoin A A b. [A I]~[I A ] 5 Penyelesaian:. A = [ ] A = A. A [ ] = [ ] [ ] [ ] = [ 9 6 ] 9 6

45 a b c. d e f = 6 g h i a b c Kita akan ubah matriks diatas menjadi bentuk d e f dengan cara g d h e i f mereduksi terlebih dahulu: a b c a b c a b c d e f ~B ( ) d e f ~B ( ) d e f g h i g h i g d h e i f Kemudian B ( ) merupakan E dan B ( ) merupakan E Sehingga : E E A = A.. 6 = A 8 = A a b c Jadi d e f = 8 g d h e i f 7. 5 =? Kita reduksi terlebih dahulu menjadi matriks segitiga atas: 5 7 ~B () ~B ( ) ~B 5( )

46 Maka =.... = = A Karena B () merupakan E, B ( ) merupakan E, B 5( ) merupakan E Sehingga : E E E A = A... A = A = 7 Jadi 5 =. A = [ ] 5 6 a. Dengan metode A = (adjoin A)T A Kita cari terlebih dahulu determinan A, = 5 = A Kemudian kita cari adjoin A dengan cara kofaktor: α = = + = 6 α = = 6 = 5 6

47 α = = = 5 α = 6 = = α = = 5 = 5 6 α = = = 5 α = = 6 = α = = 8 = 5 α = = + = 5 Maka adjoin A: [ ] jika ditranspose maka [ 5 ] Maka A = A (adjoin A)T = 5 [ 5 ] = [ 5 b. Dengan metode [A I]~[I A ] [ 5 6 ] ~B [ ] 5 5 ] ~B ( ) B ( 5) [ 5 5 ] ~B [ ( 5 5 ) 5 ] ~B ( ) B (5) 5 5 [ ] ~B ( ) [ ] ~B ( ) B ( )

48 [ ] Soal Latihan DETERMINAN. Tentukan determinan dan matriks adjoin dari matriks A berikut : 5 A. Selesaikan SPL berikut ini dengan aturan Cramer y z z 8 5y z y. Perhatikan SPL berikut: k y z ky z y kz Dengan menggunakan konsep determinan, tentukan nilai k sehingga SPL memiliki : (i) solusi tunggal (ii) banyak solusi (iii) tak ada solusi

49 5 BAB III VEKTOR PADA R DAN R. Vektor Vektor adalah suatu besaran yang memiliki panjang dan arah. Secara geometri, vector dinyatakan sebagai ruas garis terarah atau anak panah pada ruang berdimensi atau ruang berdimensi. Sebuah vector dapat ditulis dengan : v AB, dimana A sebagai titik awal dari vector v dan B sebagai titik akhir. Vektor adalah suatu besaran yang memiliki besar atau panjang dan arah. Contoh : - kecepatan - gaya Vektor bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi- dan berdimensi-, arah panah menunjukkan arah vektor Secara Geometri : B titik ujung (terminal point) v= AB A titik pangkal (intial point) Definisi: Penjumlahan Vektor Jika v dan w merupakan vektor sebarang, maka jumlah v+w ditentukan dengan : tempatkan vektor w sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpitan dengan titik akhir v. dapat digambarkan dengan :

50 6 Selisih Vektor. Jika v dan w adalah vektor sebarang, maka selisih u dari v adalah u v = u - v Vektor dalam Sistem Koordinat Kita misalkan v adalah vektor sebarang pada suatu bidang. y v (v, v) ket : v dan v adalah komponen dari vector v Vektor vektor dikatakan ekuivalen, bila vektor- vektor tersebut memiliki komponen yang sama, dalam arti memiliki panjang dan arah yang sama. y ( v + w, v + w ) v (w, w) w v + w w v (v, v) v w V dan w ekuivalen, jika dan hanya jika v = w dan v = w

51 7 Vektor dalam R y u U (u,u) u inisial point dipusat koordinat O(,) dan terminal point di U(u,u) U UO Komponen vektor = (u,u) Vektor-vektor ekuivalen panjang dan arahnya sama. Dua buah vektor u dan v ekuvalen bila diletakkan sehingga initial pointnya berada pada pusat koordinat atau titik asal (,) maka pash terminal poitnya berimpit u dan v memiliki komponen komponen yang sama. Dua buah vektor u dan v memiliki panjang dan arah yang sama U= (u,u) v= (v,v) U ekuivalen dengan v u=v dan u=v Juga memenuhi : U+v = (u+v, u+v) u-v = (u-v, u-v) Ku = K(U,U)= (ku,ku). Norm Vektor dan Aritmatika Vektor Sifat-sifat vektor pada R dan R diuraikan dalam teorema berikut : Jika U, V, dan W adalah vektor-vektor pada R atau R, k dan l adalah scalar, maka memenuhi hubungan- hubungan berikut : a) u + v = v + u b) (u+v) + w = u + (v+w)

52 8 c) u + = + u = u d) u + (-u) = e) k(lu) = (kl)u f) k(u+v) = ku + lu g) (k+l)u = ku + kl h) u = u Pembuktian : a) u + v = v + u = (v + v + v) + (u + u + u) = (v + u, v + u, v + u) = (u + v, u + v, u + v) = (u, u, u) + (v, v, v) = u + v b) (u + v) + w = u + ( v + w) = (u,u,u) + [(v,v,v) +(w,w,w)] = (u,u,u) + (v+w,v+w,v+w) = [(u+v) + w, (u+v)+w, (u+v)+w] = (u+v, u+v,u+v) + (w,w,w) = (u+v) + w c) u + = + u = u = (,,) + (u,u,u) = (u,u,u) = u d) u + (-u) = = (u,u,u) + (-u,-u,-u) = (u-u, u-u, u-u) = e) (kl)u = k(lu) = k [ l(u,u,u)] = k ( lu, lu,lu) = (klu, klu, klu) = kl ( u, u, u) = kl(u)

53 9 f) k(u+v) = ku + kv = k(u,u,u) + k(v,v,v) = (ku,ku,ku) + (kv,kv,kv) = (ku+kv, ku+kv, ku+kv) = k (u+v, u+v, u+ v) = k (u+v) g) (k+l)u = ku + lu = k(u,u,u) + l(u,u,u) = (ku,ku,ku) + (lu,lu,lu) = (ku + ku, ku + lu, ku + lu) = (k+l)u h) u = u = (u,u,u) y = u,u,u = u Panjang vektor ( Norm Vektor ) u dinotasikan sbg u u u (u,u) Jadi, u = u + u u z O u P(u,u,u) S y u = (OR) + (RP) = (OQ) + (OS) + (RP) = u + u +u Q R Jadi, u = u + u + u Suatu vector yang mempunyai panjang disebut vector satuan ( Unit Vektor ) Demikian juga, jika P(,y) dan P(,y) adalah titik-titik dalam ruang berdimensi-, maka jarak antara kedua titik tersebut diberikan oleh:

54 5 z P(,y,z) d= P(,y,z) y Jarak antara P dan P adalah norma vektor PP Contoh : a Bila u = (,,5), u =. Jawab : u = = 5 = 5 b Bila koordinat titik P(,) dan Q(6,), PQ =? Jawab : PQ = (6,-) (,) = (,-5) PQ = = p(,y,z) p(a,b,c) v c P(,y,z) b o y a a v = OP = (a,b,c) = [ b] c

55 5 Sumbu Sumbu Translasi y Y Y p k O (k,l) O (,) Sistem koordinat y ditranslasi ke system koordinat y, dimana titik asal O pada system koordinat y mempunyai koordinat O (k,l) titik P R memiliki koordinat (,y) dan (,y ). Untuk melihat hubungan keduanya, diperhatikan vector O P. Pada system koordinat y, inisial point O (k,l) dan terminal point P(,y) sehingga komponen O'P = (-k, y-l) Pada system koordinat y, inisial point O (,) dan terminal point P(,y ) sehingga komponen OP =(,y ) Diperoleh persamaan translasi : = k ; = + k ; y =y-l y + y + l. Hasil Kali Silang Jika U = (U, U, U ) dan V= (V, V, V ) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi,maka hasil kali silang U V adalah vector yang didefinisikan sebagai Atau dalam notasi determinan U V= (U V U V, U V U V, U V U V ) U V = ( U U V V, U U V V, U U V V )

56 5 Contoh: Cari U V, di mana U = (,, ) dan V = (,,) Penyelesaian: [ ] U V = (,, ) = (, 7, 6) Teorema. Jika U, V dan W adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi, maka: a. U. (U V) = (U V orthogonal terhadap U) b. V. (U V) = (U V orthogonal terhadap V) c. U V = U V (U. V) (identitas lagrange) d. U (V W) = (U. W)V (U. V)W (hubungan antara hasil kali silang dan hasil kali titik) e. (U V)W = (U. W)V (V. W)U (hubungan antara hasil kali silang dan hasil kali titik) Contoh: Tinjau vektor-vektor U = (,, ) dan V = (,,) Pada contoh di atas kita telah menunjukan bahwa U V = (, 7, 6) Karena U. (U V) = ()() + ()( 7) + ( )( 6) = Vektor satuan standar Setiap vektor V = (V, V, V ) dalam ruang berdimensi dapat dinyatakan dalam bentuk I, j dan k karena kia bisa menuliskan V = (V, V, V ) = V i + V j + V k

57 5 Misalnya (,,) = i j + k Z (,, ) k j i (,, ) Y (,, ) X i i = j j = k k = i j = k j k = i k i = j j i = k k j = i i k = j Identitas lagrange U V = U V (U. V) = U V ( U V cos θ) = U V U V COS θ = U V ( COS θ) = U V SIN θ Karena θ π, maka θ, sehingga ini bias ditulis sebagai U V = U V sin θ Luas jajaran genjang A= (alas)(tinggi) = U V sin θ = U V. Dot Product ( Hasil Kali Titik/Skalar) u u u v θ v θ v u v θ

58 5 Bila u dan v R, R ; diasumsikan bahwa initial point kedua vector berimpit dengan sudut antara kedua vector sebesar θ ; θ π. Dot poduct atau Euclidean Inner Product U V didefinisikan sebagai: U V cos θ ; U dan V U V = ; U = atau V = P = OP OP = V U P P u θ v Hukum atau Aturan kosinus: V U = U + V U V cos θ U dan V R dengan U = (U, U )dan V = (V, V ) maka diperoleh: U = U + U V = V + V V U = (V U,V U ) = (V U ) + (V U ) = V V U + U + V V U + U V U = U + V U V cos θ V U = U + V U V U V = [ U + V V U ] U V = [U + U + V + V (V + U V U + V U V U )]

59 55 = [U V + U V ] U V = U V + U V Bila U, V ε R dengan U = (U, U, U )dan V = (V, V, V ), maka: Teorema Dot Product: U V = U V + U V + U V U V = U V cos θ cos θ = U V U V a) V V = V V =(V V) b) jika U danv vektor - vector tak nol, dan θ sudut antara kedua vector, maka: i. θ mirip sudut lancip jika dan hanya jika U V > ii. θ mirip sudut tumpul jika dan hanya jik iii. θ= π = 9 (siku siku) jika dan hanya jika U V = Teorema Jika U, V dan W adalah vector pada R atau R,k suatu scalar maka: a. U V = V U b. U (V + W) = U V + U W c. k(u V) = (ku) V = U (kv) d. V V > jika dan hanya jika V dan V V = jika V =.5 Vektor - Vektor Ortogonal Vektor tegak lurus disebut juga vektor orthogonal. Dua vektor tak nol U danv dimana U V jika dan hanya jika U V = y a P(,y) P(,y) b a+by+c=

60 56 Akan dibuktikan n P Dimana P dan P berada pada garis a+by+c= Maka : P(,y) P(,y) Vektor n = (a,b) vector normal garis a+by+c= () a+by+c= () Persamaan dan di eliminasi sehingga memperoleh a(-)+b(y-y)=..() n = (a,b) P = (-, y-y) n P = (a, b) (, y y ) = a( ) + b(y y ) = (terbukti).6 Proyeksi Ortogonal W W W U Q U U Q W a a W W Q W+ W = W +( U- W) = U W // a dan W a W= proyeksi ortoganal dari U pada a atau komponen vector U sepanjang / sejajar a dinotasikan sebagai ProyaU W= ProyaU W= komponen vektor U yang orthogonal terhadap a W= U- W=U- ProyaU Teorema Jika U dan a adalah vector - vector dalam ruang berdimensi atau ruang berdimensi jika a maka:

61 57 Contoh : Proy a U = U Proy a U = U U a a a U a a a U = (,,)dan a = (.,) Proy a U = (.,) = 5 (.,) = ( 7, 7, 7 ) U Proy a U = (,,) ( 7, 7, 7 ) = ( 6 7, 7, 7 ) Untuk panjang komponen vektor U a: U a Proy a U = a a = U a = a a = U a a a = U a a U a cos θ a = U cos θ Jarak dari suatu titik pada bidang ke suatu garis. y D Q(X,Y) Po(Xo,Yo) D=? a+by+c=

62 58 jarak D = panjang proyeksi orthogonal dari D = Qp Proy n Qp = Qp n n Qp = (, y y ) Qp n = (a, b)(, y y ) = a( ) + (y y ) n = a + b D = Qp n n = ( ) + (y y ) = (a a + b by ) a + b a + b Maka c = a by Titik Q(, y )berada pada garis a + by + c = Diperoleh Contoh : Jarak titik (-,) ke garis +y-6= D = a + by + c a + b D = = Jarak Antara Titik Dan Garis Y Q(, y) D n = (a, b) D P(, y) a + by + c = X

63 59 Misalkan Q(, y) adalah titik sebarang pada garis dan tempatkan vector n = (a, b) sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpitan dengan Q. Jarak D sebanding dengan panjang dari proyeksi orthogonal QP pada n, sehingga : projn QP n D = proj QP n tetapi QP, y y D = a b a b y y QP n n a..persamaan a b b y sehingga Karena titik Q(, y) terletak pada garis tersebut, koordinatnya memenuhi persamaan garis tersebut sehingga : a + by + c = atau c = - a by, substitusikan pernyataan tersebut ke dalam a persamaan, maka menghasilkan : D = b a y b c y.8 Hasilkali Silang (Cross Product) Definisi : jika u = (u, u, u) dan v = (v, v, v) adalah vector- vector pada ruang berdimensi, maka cross product u v adalah vector yang didefinisikan sebagai : (uv uv, uv uv, uv uv) Atau dalam notasi determinan : u v u v u v u v u v,, Teorema : Hubungan Hasilkali Silang dengan Hasilkali Titik a) u (u v) = b) v (u v) = c) uv u v uv d) u (v w) = (u w)v (u v)w u v u v

64 6 e) (u v) w = (u w)v (v w)u Teorema : Sifat sifat Hasilkali Silang a) u v = - (v u) b) u (v + w) = (u v) + (u w) c) (u + v) w = (u w) + (v w) d) k(u v) = (ku) v = u (kv) e) u = u = f) u u =.9 Vektor Pada Garis Dan Bidang Dalam Ruang Tiga Dimensi z P(, y, z) P(, y, z) l V = (a, b, c) y Persamaan dari bidang yang melewati titik P (, y, z) dan memiliki vector taknol n = (a, b, c) sebagai normalnya, dimana bidang tersebut terdiri dari tepat titik P(, y, z) dengan vector P adalah orthogonal terhadap n, yaitu : n P P P, karena P y P (, y, z ), maka persamaan di atas dapat ditulis kembali sebagai a( z - ) + b(y y) + c(z z) = (disebut sebagai bentuk normal titik dari persamaan suatu bidang). l adalah garis pada ruang berdimensi yang melalui P(, y, z) dan P(, y, z), dimana P P parallel v, maka dapat dinyatakan :

65 6 P P tv, dimana t adalah suatu scalar (, y y, z z) = (ta, tb, tc) - = ta y - y = tb persamaan parametric garis z z = tc Teorema : Jarak antara Suatu Titik dan Suatu Bidang Jarak D antara titik P(, y, z) dan bidang a + by + cz + d = adalah a D = b a y b c z c d contoh : jika v = (,-,) dan w =(,,) maka : v+w = (5,-,) v = (,-6,) jika titik pangkal suatu vektor tidak berada pada titik asal misalkan p= (, y, z) dan titik ujungnya misalkan p=(, y, z) maka vektor v = p p = ( -, y - y, z - z) contoh : komponen vektor v = p p dengan titik pangkal p (,-,) dan titik ujung p = (7,5,-8) adalah : v = (7 -, 5- ( - ), (- 8) ) = ( 5, 6, - ) Latihan Bab III. Tentukan dan y yang memenuhi : a. (, y+) = (y-, 6) b. (, y) = (, ) c. (,y) = y(, -). Tentukan nilai, y, z dimana (, y+,y+z) = (+y,,z). Nyatakan vektor v = (, -, 5) sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor u = (,,) ; u = (,,); dan u = (,-,) sehingga dapat dinyatakan sebagai : v = k u + k u + k u Tentukan nilai ki, i=,,. Nyatakan vektor 9 v sebagai kombinasi linear dari ui, i =,, dengan 6

66 6 u, u 5 dan u 5. Tentukan nilai k sehingga vektor u dan v saling ortogonal: a. u = (, k, -) dan v = (6, -, -) b. u = (5, k, -, ) dan v = (, -,, k) c. u = (, 7, k+, -) dan v = (, k,-, k) 6. Jika diketahui u = i j + k, v = i + 5j k, w = i + 7j + k Tentukan : a. u v b. u w c. v w d. v u e. w v 7. Tentukan vektor satuan u yang ortogonal terhadap : a. v = (,, ) dan w = (, -, ) b. v = i j + k dan w = i j k 8. Untuk vektor-vektor seperti soal no 6, tunjukkan bahwa : a. (u + v) w = u w + v w b. w (u + v) = w u + w v 9. Tentukan titik potong bidang y + = dan garis dengan persamaan parametrik = + t, y = y, z = 5 + t

67 6 BAB IV RUANG VEKTOR EUCLIDEAN. Ruang Berdimensi-n Euclidean Beberapa definisi vektor dalam Rn. Dua buah vektor, u=(u, u, u,, un) dan v=(v, v, v,, vn) dalam R n disebut sama jika: u=v, u=v, u=v,, un=vn Jumlah u+v didefinisikan sebagai: u+v= (u+v, u+v, u+v,, un+vn) Jika k adalah sembarang skalar, perkalian skalar ku didefinisikan sebagai: ku= (ku, ku, ku,, kun) Jika u= (u, u, u,, un) adalah sembarang vektor dalam R n, maka negatif (atau invers aditif) dari u dinyatakan dengan u dan didefinisikan sebagai: -u = (-u, -u, -u,, -un) Selisih vektor- vektor dalam R n v-u= (v-u, v-u, v-u,, vn-un) Dalam bentuk komponen-komponen: u-v= (u-v, u-v, u-v,, un+vn) u, v adalah vektor- vektor dalam R n, hasil kali dalam Eucliden u₀v didefinisikan sebagai: u₀v = uv+uv+uv+ +unvn Jika dua vektor u, v adalah vektor-vektor dalam R n maka u dan v saling orthogonal bila u₀v = Sifat-sifat operasi vektor dalam ruang Berdimensi-n (R n ) Teorema. jika u, v, w adalah vektor-vektor dalam R n ;dan k, l adalah skalar, maka: a. u+v = v+u b. u+(v+w) = (u+v)+w

68 6 c. u+ = +u = u d. u+ (-u) =, sehinnga u-u= e. k(lu) = kl (u) f. k(u+v) = ku + kv g. (k+l)u =ku + lu h. lu=u; l= Teorema. : jika u, v, w R n dan k sembarang skalar maka: a. u v = v u b. (u+v).w = u.w + v.w = w.u + w.v = w. (u+v) c. (ku).v =k(u.v) d. v.v ; v.v= jika hanya jika v= Contoh pembuktian : (u+v).w = (u+v, u+v, u+v,, un+vn).(w, w, w,, wn) = (u+v)w + (u+v)w + (u+v)w+ +(un+vn)wn = [(uw + vw), (uw + vw), (uw + vw),,(unwn + vnwn)] = (uw, uw, uw,, unwn) + (vw, vw, vw,, vnwn) = u.w + v.w = w.u + w.v Jika u, v, w R n dan k sembarang skalar maka: a. u v = v u b. (u+v).w = u.w + v.w = w.u + w.v = w. (u+v) c. (ku).v =k(u.v)

69 65 d. v.v ; v.v= jika hanya jika v= Contoh pembuktian : (u+v).w = (u+v, u+v, u+v,, un+vn).(w, w, w,, wn) = (u+v)w + (u+v)w + (u+v)w+ +(un+vn)wn = [(uw + vw), (uw + vw), (uw + vw),,(unwn + vnwn)] = (uw, uw, uw,, unwn) + (vw, vw, vw,, vnwn) = u.w + v.w = w.u + w.v Contoh soal:. Anggap u=(,,, ), v=(-,,, ), dan w=(,,, ), carilah: a. (v+w).(u+v) b. (u-v) Jawab:.a. (v+w).(v+w) =(v).(v+w) + (w).(v+w) =[((-,,,)).((-,,,)+(,,,)]+ [(,,,).((-,,,)+(,,,)] =[(9,6,9,).(6,,6,8)+(,,,)]+[(,,,).(6,,6,8)+(,,,)] =[(-5,,5,96)+ (,,,)]+[(6,,,)+(,,,)] =(-5,5,56,96)+(7,5,,) =(-6,,7,96) b. (u-v) = [(,,, ) - (-,,, )] = (,,, ) = (8,,, )

70 66 Teorema. (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz dalam R n ) Jika u, v, Є - R n : v = (u,u, un) dan v= (v,v,,vn) adalah vektor-vektor dalam R n, maka : u.v u v atau dinyatakan dalam bentuk komponen-komponennya uv+uv+.+unvn (u + u + + u n ) / (v +v + + v n ) / Dari rumus tersebut, jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dalam R atau R, maka u.v = u v cos θ = u v cosθ u v dan Jika u= dan v=, maka kedua ruas dari () adalah nol, sehingga ketaksamaan tersebut juga berlaku utuk kasus ini. Teorema. Jika U, V R n dan k adalah sembarang skalar, maka a) U b) U = jika dan hanya jika u= c) ku = k U d) U+V U + V (ketaksamaan segitiga) Dimana kita akan membuktikan teorema. dengan mencoba salah satunya dengan membuktikan (d) Bukti (d). U+V = (U+V).(U+V)=(U.U)+(U.V)+(V.V) = U +(U.V)+ V U + U.V + V sifat nilai mutlak U + U V + V ketaksamaan Cauchy-Schwarz ( U + V ) pada bagian (d)dari teorema ini dikenal sebagai ketaksamaan segitiga karena teorema ini merampatkan hasil yang kita kenal dari geometri Euclidean yang menyatakan bahwa jumlah dua sisi segitiga paling tidak sama besarnya dengan sisi segitiganya