II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
|
|
- Susanto Santoso
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan untuk menyatakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam matriks tersebut dinamakan entry atau komponen matriks. Biasanya entry atau komponenkomponen matriks tersebut dituliskan di antara dua kurung. Setiap matriks mempunyai ukuran. Ukuran matriks ini ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam matriks tersebut. Jadi untuk matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom ukurannya adalah m x n. Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf besar, sedangkan untuk menyatakan kuantitas-kuantitas numerik dari komponen (entry) matriks digunakan huruf kecil. Jadi jika A adalah sebuah matriks, maka a ij menyatakan komponen matriks yang berada pada baris ke-i dan kolom ke-j. Sebagai contoh, matriks A yang berukuran m x n dituliskan a11 a 1... a1 n a1 a... a n... A am 1 a m... amn Baris ke-1 Baris ke- Baris ke-m Kolom ke-1 Kolom ke- Kolom ke-n Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks A 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1 B = 3 1 Matriks B berukuran 1 x 3 C = 3 1 Matriks C berukuran 3 x
2 1 a b c d D = e f g h Matriks D berukuran x 4 e11 e1 e13 e1 e e 3 E e31 e3 e33 e41 e4 e43 Matriks E berukuran 4 x F Matriks F berukuran 3 x 4 Matriks A yang terdiri dari n baris dan n kolom, dinamakan matriks bujursangkar atau matriks kuadrat, dan komponen-komponen a 11, a,..., a nn dikatakan berada pada diagonal utama. a11 a 1... a1 n a1 a... a n... A an 1 a n... ann matriks n x n diagonal utama Contoh II. Macam-macam matriks bujursangkar A 5 1 matriks x c11 c1 c13 c14 c1 c c3 c 4 C c31 c3 c33 c34 c41 c4 c43 c44 matriks 4 x 4 b11 b1 b13 B b1 b b 3 b31 b3 b 33 matriks 3 x e D e matriks 5 x 5 Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai ukuran yang sama dan juga komponen-komponen yang berkesesuaian dalam kedua matriks sama. Contoh II.3 Tinjaulah matriks-matriks berikut
3 A B C 1 3 D Matriks A = B karena keduanya mempunyai ukuran dan komponen matriks yang sama. Matriks A C karena tidak semua komponennya berkesesuaian. Matriks A D karena kedua matriks tidak mempunyai ukuran yang sama. Demikian juga halnya matriks B C, B D dan C D. Suatu matriks bujursangkar yang semua komponen pada diagonal utamanya terdiri dari bilangan satu dan komponen lainnya terdiri dari nol dinamakan matriks satuan atau matriks identitas. Matriks satuan ini biasanya dinyatakan dengan huruf I dan jika ukurannya disertakan maka dituliskan I n untuk matriks n x n seperti contoh di bawah ini I n Matriks satuan n x n 1 0 I 0 1 Matriks satuan x I Matriks satuan 3 x I Matriks satuan 4 x 4 Komponen-komponen suatu matriks dapat terdiri dari nol semuanya. Matriks semacam ini dinamakan matriks nol dan diberi simbol O seperti contoh di bawah ini O Matriks nol berukuran 3 x O Matriks nol berukuran 4 x 4 Jika komponen-komponen dalam kolom suatu matriks diubah menjadi baris maka akan diperoleh matriks baru yang dinamakan transpos A seperti yang didefinisikan di bawah ini. Definisi : Jika A adalah sebarang matriks m x n, dan apabila kolom pertamanya diubah menjadi baris pertama, kolom keduanya menjadi baris kedua dan seterusnya, maka matriks yang baru tersebut dinamakan transpos A dan diberi simbol A t dan ukurannya berubah menjadi n x m.
4 14 Contoh II.4 Matriks dan transposnya A b b b b b b B b b b b b b t A b b b b b13 b3 b33 b t B b1 b b3 b4 3 C D t C t D A. OPERASI MATRIKS Tidak setiap matriks dapat dijumlahkan atau dikalikan dengan matriks lain, karena ukuran matrik memegang peranan dalam penjumlahan dan perkalian matriks. Definisi : Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, misalkan m x n, maka A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen yang berkesesuaian (komponen yang menempati posisi yang sama) dalam kedua matriks tersebut. Sedangkan A B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan semua komponen A dengan komponen yang berkesesuaian dari matriks B. Matriks baru hasil penjumlahan atau pengurangan tersebut, mempunyai ukuran yang sama yaitu m x n, karena itu matriks yang ukurannya berlainan tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Contoh II.5 Tinjaulah matriks-matriks berikut, A B C Matriks A ditambah matriks B adalah,
5 AB Matriks A + C dan B + C tidak didefinisikan karena ukurannya berbeda. Untuk pengurangan dapat dilakukan langsung seperti penjumlahan dan syaratnya pun sama yaitu kedua matriks harus berukuran sama. Jadi matriks A C dan B C tidak terdefinisi karena ukurannya berbeda, sedangkan matriks A dikurangi matriks B adalah, ( ) 5( 1) AB ( 6) 0( 3) 5( ) ( 3) Definisi : Jika k adalah sebuah skalar dan A adalah sebuah matriks, maka hasil kali ka adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua komponen matriks A dengan k. Contoh II.6 Jika matriks A adalah, 9 5 A maka, ( 3)( 9) ( 3)( ) ( 3)( 5) A ( 3 )( 7 ) ( 3 )( 4 ) ( 3)( 3 ) dan ( 1)A ( 1)( 9) ( 1)( ) ( 1)( 5) 9 5 ( 1)( 7) ( 1)( 4) ( 1)( 3) Teorema II.1
6 16 Andaikan matrik A, B, C dan O (matriks nol) mempunyai ukuran yang sama, dan k serta l adalah skalar. maka a. A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan) b. A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum assosiatif untuk penjumlahan) c. k(a + B) = ka + k B = (A + B) k d. k(a B) = ka kb = (A B)k e. A + O = O + A = A f. A A = O g. O A = A h. (k + l)a = ka + la = A(k + l) i. (k l)a = ka la = A(k l) j. (kl)a = k(la) Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang komponen-komponennya ditentukan sebagai berikut; Untuk mendapatkan komponen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks AB, ambil baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B. Kalikan komponenkomponen yang berkesesuaian dari baris dan kolom tersebut, kemudian jumlahkan semua hasil kali tersebut. Dari definisi di atas dapat kita lihat bahwa dua matriks dapat diperkalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama banyaknya dengan jumlah baris matriks kedua. Untuk mempermudah mengingat dapat digunakan Gambar II.1. Dari gambar tersebut, jika ukuran matriks yang berada di sebelah dalam sama, maka hasil kalinya dapat didefinisikan, dan ukuran matriks yang berada di sebelah luar memberikan ukuran hasil kali matriks tersebut. A m x r di dalam di luar B r x n = AB m x n Ukuran matriks hasil perkalian Gambar II.1 Contoh II.7 Misalkan A adalah matriks x 4, B adalah matriks 4 x 3 dan C matriks 3 x 3. Matriks A dengan matriks B dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B yaitu 4. Hasil kalinya yaitu matriks AB mempunyai ukuran x 3. Matriks A dengan matriks C tidak dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks A (4) tidak sama dengan jumlah baris matriks C (3).
7 17 Matriks B dengan matriks C dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks B sama dengan jumlah baris matris C yaitu 3. Hasil kalinya yaitu matriks BC mempunyai ukuran 4 x 3. Untuk mendapatkan komponen-komponen matriks hasil perkalian dapat dilihat dalam contoh di bawah ini. Contoh II.8 Diketahui tiga matriks berikut, 1 3 A B C Tentukanlah hasil kali AB, AC dan BC. Jawab : Matriks A berukuran x 3 sedangkan matriks B berukuran 3 x 4, jadi matriks A dan matriks B dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x 4 seperti di bawah ini, AB ()(-1) + (-1)(5) + (3)() ()(3) + (-1)(-3) + (3)(4) ( )( 6) ( 1)( 0) ( 3)( 1) ( )( ) ( 1)( 1) ( 3)( 5) ( 3)( 1) ( 4)( 5) ( 5)( ) ( 3)( 3) ( 4)( 3) ( 5)( 4) ( 3)( 6) ( 4)( 0) ( 5)( 1) ( 3)( ) ( 4)( 1) ( 5)( 5) Matriks A berukuran x 3 sedangkan matriks C berukuran 3 x, jadi matriks A dan matriks C dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x seperti di bawah ini, AC ( )( 3) ( 1)( 4) ( 3)( ) ( )( 1) ( 1)( 5) ( 3)( 1) ( 3)( 3) (( 4)( 4) ( 5)( ) ( 3)( 1) ( 4)( 5) ( 5)( 1) Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks C berukuran 3 x, jadi matriks B dan C tidak dapat dikalikan, atau BC tidak terdefinisi. Hukum komutatif untuk perkalian dalam bilangan riil, tidak berlaku dalam perkalian matriks, karena AB tidak selalu sama dengan BA.
8 18 Contoh II.9 Diketahui matriks A, B dan C seperti contoh II.8. Tentukanlah BA, CA dan CB. Jawab : Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks A berukuran x 3, jadi matriks A dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau BA tidak terdefinisi. Matriks C berukuran 3 x sedangkan matriks A berukuran x 3, jadi matriks C dan matriks A dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks x seperti di bawah ini, AC = = = ( 3)( ) ( 1)( 3) ( 3)( 1) ( 1)( 4) ( 3)( 3) ( 1)( 5) ( 4)( ) ( 5)( 3) ( 4)( 1) ( 5)( 4) ( 4)( 3) ( 5)( 5) ( )( ) ( 1)( 3) ( )( 1) ( 1)( 4) ( )( 3) ( 1)( 5) Matriks C berukuran 3 x dan matriks B berukuran 3 x 4, jadi matriks C dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau CB tidak terdefinisi. Dari contoh II.8 dan II.9 tersebut dapat kita lihat bahwa AB BA dan AC CA. Teorema II. Jika matriks A, B, C dan matriks nol O mempunyai ukuran yang memenuhi untuk penjumlahan dan perkalian matriks yang diperagakan di bawah ini, dan k adalah suatu konstanta, maka a. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian) b. A(B + C) = AB + AC (hukum distributif) c. (A + B)C = AC + BC (hukum distributif) d. A(B C) = AB AC e. (A B)C = AC BC f. k(bc) = (kb)c = B(kC) g. AO = O ; OA = O Jika A adalah matriks m x n, I n adalah matriks satuan berukuran n x n dan I m adalah matriks satuan m x m maka AI n = A dan I m A = A. Jadi matriks satuan memegang peranan yang penting dalam perkalian matriks yang peranannya mirip dengan bilangan 1 dalam hubungan numerik a.1 = 1. a = a. Contoh II.10 Tinjau matriks-matriks berikut,
9 19 a a a A a a a I Jika matriks I dikalikan dengan matriks A hasilnya adalah, IA 1 0a a a a a a a1 a a 3 a1 a a 3 Jika matriks A dikalikan dengan matriks I 3 hasilnya adalah, AI a a a a a a a1 a a 3 a1 a a 3 A A I Dalam perkalian bilangan riil berlaku pernyataan berikut, (i) Jika ab = ac dan a 0 maka b = c (ii) Jika ad = 0 maka a = 0 atau d = 0 Dalam perkalian matriks, pernyataan ini tidak selalu benar seperti yang diberikan dalam contoh berikut. Contoh II.11 Diketahui matriks-matriks berikut, A B 1 1 C 5 D Kalikan matriks A dengan matriks B dan kalikan matriks A dan matriks C, diperoleh AB AC Dari kedua perkalian di atas didapatkan bahwa AB = AC, akan tetapi B C. Kalikan matriks A dengan matriks D, diperoleh AD Walaupun hasil perkalian di atas menunjukkan bahwa AD = O akan tetapi A O dan juga D O. Dari perkalian matriks yang telah dibahas di atas, dapat didefinisikan pangkat dalam matriks sebagai berikut, Definisi: Jika A adalah matriks bujursangkar, maka pangkat bilangan bulat tak
10 0 negatif dari matriks A ini didefinisikan sebagai berikut, A 0 = I A n = A A A... A (n >0) n buah A Perkalian matriks yang mempunyai pangkat, sama dengan perkalian bilangan riil yang berpangkat seperti ditunjukkan dalam teorema di bawah ini. Teorema II.3 Jika A adalah matriks bujursangkar, r dan s adalah bilangan bulat, maka A r A s = A r+s dan (A r ) s = A rs Contoh II.1 Diketahui matriks A = 1 A 3 = A A A = = = A 4 = A 3 A 1 = = Teorema II.4 Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka a. (A t ) t = A b. (A + B) t = A t + B t c. (ka) t = k A t, di mana k adalah sebarang skalar Contoh II.13. Diketahui matriks A dan B t A t B t t (A ) A 4 1 5
11 AB (A + B) T = A t t B = = Jadi (A + B) t = A t + B t A t t ( A) A B. LATIHAN II.1 1. Tentukanlah tranpos matriks-matriks berikut, 4 (i) A = 7 5 (ii) B = (iii) C = Tinjaulah matriks-matriks berikut, A = B D 8 3 E C F Hitunglah : (a) A + B (b) A + D (c) B + C (d) C + B (e) C + E (f) D + E (g) D + F (h) E + F 3. Hitunglah untuk matriks-matriks pada soal nomor.
12 (a) A B (b) A D (c) B C (d) C B (e) C E (f) D E (g) D F (h) E F 4. Untuk matriks-matriks dalam soal nomor, hitunglah, (a) AB (b) BA (c) AD (d) DA (e) BC (f) BF (g) CD (h) DC (i) DE (j) ED (k) EF (l) FE 5.Diketahui ab bc 8 1 = 3d c a4d 7 6. Tentukanlah harga a, b, c dan d Misalkan A 0. Carilah matriks B berukuran x yang memenuhi, (a) AB = 0 (b) BA = 0 7. Diketahui matriks-matriks berikut, A = 1 4 B = 1 3 C = Hitunglah, (a) B +C (b) AB (c) BA (d) AC (e) CA (f) A(B 3C) 8. Tinjaulah matriks-matriks berikut, 3 0 A 1 B = D E C Hitunglah, (a) AB (b) D + E (c) D E (d) DE (e) ED (f) 7B 9. Dengan menggunakan matriks-matriks pada soal nomor 8, hitunglah operasi-operasi di bawah ini. (a) 3C D (b) (3E)D (c) (AB)C (d) A(BC) (e) (4B)C + B (f) D + E 10. Hitunglah AB BA di mana, 0 0 A B Carilah harga a, b, c dan d yang memenuhi persamaan matriks berikut,
13 3 (i) a b c d 5 (ii) a b c d Diketahui matriks, 1 A 5 6 dan 3 B 1 5. Carilah matriks 4 3 p q C r s t u sehingga A + B C = O 13. Diketahui matriks-matriks berikut, A B C a. Tunjukkanlah bahwa AB = OA = O, AC = A, CA = C b. Gunakanlah hasil pada bagian a untuk memperlihatkan bahwa ACB = CBA dan A B = (A B)(A + B) 14. Diketahui matriks-matriks berikut, 1 3 A B I Buktikanlah bahwa, (a) (A t ) t = A (b) (5A) t = 5A t (c) (AB) t = B t A t (d) (AI) t = A t 15. Dengan menggunakan matriks-matriks pada soal 14, hitunglah, (a) A t B (b) B t A (c) (AI)B (d) A(IB) C. REPRESENTASI MATRIKS DALAM SISTEM PERSAMAAN LINIER Pada waktu membahas mengenai sistem persamaan linier, telah diperkenalkan bentuk umum sistem persamaan linier, yaitu a x a x... a x b a x a x... a x b a x a x... + a x b n n n n m1 1 m mn n m Apabila kita buat sebuah matriks yang komponen-komponennya terdiri dari koefisienkoefisien sistem persamaan linier di atas maka akan diperoleh matriks berikut,
14 4 a11 a 1... a1 n a1 a... a n am 1 a m... amn Matriks ini disebut matriks koefisien dari sistem persamaan linier. Jika konstanta b i (i = 1,,..., m) disertakan dalam matriks ini, maka matriksnya menjadi, a11 a 1... a1n b1 a1 a... an b a m1 a m... amn bm atau tanpa garis pemisah a11 a 1... a1 n b1 a1 a... an b am 1 a m... amn bm Matriks yang menyertakan konstanta b i ini disebut matriks yang diperbesar. Contoh II.14 Diketahui sistem persamaan linier yang terdiri dari tiga persamaan linier dan tiga bilangan yang tidak diketahui berikut, x1 x x3 x1 4x 3x x 6x 5x Matrik koefisien dari sistem persamaan linier ini adalah, Sedangkan matriks yang diperbesarnya adalah, atau Perkalian matriks mempunyai penerapan yang penting dalam sistem persamaan linier. Tinjaulah suatu sistem yang terdiri dari m persamaan linier dan n bilangan tidak diketahui.
15 5 a x a x... a x b n n 1 a x a x... a x b 1 1 n n a x a x... + a x b m1 1 m mn n m Karena dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika komponen-komponen yang berkesesuaiannya sama, maka sistem persamaan linier di atas dapat dituliskan dalam persamaan matriks tunggal berikut, a x a x... a x b n n 1 a1x1 ax... anx n b a x a x... + a x b m1 1 m mn n m Matriks di ruas kiri adalah matriks m x 1 dan matriks di ruas kanan juga matriks m x 1. Matriks di ruas kiri dapat dituliskan sebagai hasil kali yang memberikan, a a... a x b n 1 1 a1 a... a n x b a m1 a mn... amn x n b m A X B Jika matriks dengan komponen-komponennya a ij diberi nama matriks A (matriks m x n), matriks yang komponen-komponennya x i (matriks n x 1) diberi nama matriks X dan matriks dengan komponen-komponennya b i (matriks m x 1) diberi nama matiks B, maka perkalian matriks di atas dapat dituliskan menjadi, AX = B Dengan demikian sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk perkalian matriks. Untuk sistem persamaan linier homogen, bentuk perkalian matriksnya adalah AX = O, di mana O adalah matrik nol berukuran m x 1. Contoh II.15 Tinjaulah sistem persamaan linier berikut,
16 6 3x1 x x3 5x1 3x x3 3x1 x 3x x 7x 30 1 Matriks ini dapat dituliskan sebagai perkalian matriks AX = B, di mana x1 A X x B x 3 30 Matriks A berukuran 4 x 3 dan matriks X berukuran 3 x 1, jadi menurut peraturan perkalian matriks, matriks A dapat dikalikan dengan matriks X dan hasilnya yaitu matriks B berukuran 4 x 1. Dari matriks B di atas, dapat kita lihat bahwa matriks B betul berukuran 4 x 1. Jika kita coba kalikan lagi matriks A dengan matriks X maka akan diperoleh, AX 3 1 3x x x x 5x13x x 3 x x 1 x 3x 3 x x1 7x karena AX = B, maka diperoleh, 15 0 B AX 3x1x x3 15 5x13x x 3 0 B 3x 1 x 3x x1 7x 30 atau 3x x x x 3x x x x 3x x 7x 30 1 D. LATIHAN II. Buatlah sistem-sistem persamaan linier pada soal nomor 1 sampai dengan 7 menjadi bentuk perkalian matriks. 1. x 3y 4z. x y 3z 3. 3x1 x3 x y z x y 4z 1 5x1 3x 4x 5y 6z y z 7x1 4x 5x3 x 6x 3
17 7 4. x y 5z 4w 1 x 3y z 3w 3 x 5y 3z w x 4y 6z 5w x 7x 6x 1 3 x 3x x x 1 x 4x 3x 1 x 4x 6. 4x y w 0 3x 5y z 3w 0 x 7y 6z 0 8x z 5w x 5x x x 1 3x 7x x 1 x 6x 5x 3x 1 x x 4x 6x 1 4x 3x x 8x 1 Tentukanlah bentuk sistem persamaan linier dari perkalian matriks dalam soal nomor 8 sampai dengan x x x 0 3 y x z x 4 x x x y z w x y z w x 0 x x x E. ELIMINASI GAUSS-JORDAN Dalam contoh I.3 pada bab I, telah diberikan pemecahan sistem persamaan linier dengan menggunakan operasi baris elementer (OBE). Operasi baris elementer ini dapat dilakukan langsung pada matriks yang diperbesar dari suatu sistem persamaan linier. Sebagai contoh kita ulangi lagi contoh I.3 tetapi sekarang OBE dilakukan langsung pada matriks yang diperbesarnya. Contoh II.16 (Soal sama dengan contoh I.3) Carilah pemecahan atau jawab sistem persamaan linier berikut,
18 8 x y z 9 x4y3z 1 3x6y5z 0 Jawab : Matriks yang diperbesar dari system persaman linier di atas adalah, Eliminasi Gauss-Jordan untuk matriks ini adalah,
Catatan Kuliah Aljabar Linier
Catatan Kuliah Suryadi Siregar Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Bandung BANDUNG 018 Kata Pengantar Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor.
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciPELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU 28 JULI s.d. 12 AGUSTUS 2003 MATRIKS. Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU JULI s.d. AGUSTUS MATRIKS Oleh: Drs. M. Danuri, M. Pd. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN PENATARAN
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciCourse of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung
Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciM AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinci& & # = atau )!"* ( & ( ( (&
MATRIKS ======PENGERTIAN====== Matriks merupakan Susunan bilangan-bilangan yang membentuk segi empat siku-siku. Susunan bilangan-bilangan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks dinotasikan dengan
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciKonsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Konsep Dasar M PENDAHULUAN Drs. Suryo Guritno, M.Stats., Ph.D. ateri yang akan dibahas dalam modul ini adalah konsep-konsep dasar aljabar matriks yang meliputi pengertian matriks, vektor dan skalar;
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciMATRIKS. kolom, sehingga dapat dikatakan matriks berordo 3 1 Penamaan suatu matriks biasa menggunakan huruf kapital
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Ordo Suatu Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom sehingga membentuk persegi panjang. Ukuran panjang dan lebar matriks ditentukan
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciPertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode CRAMER Aljabar Linier Hastha 2016 10. PERSAMAAN LINIER NONHOMOGEN 10.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara
Lebih terperinciBAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 1 Matriks dan Operasinya MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks Jenis-jenis Matriks Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan)
Lebih terperinciPertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar)
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Matriks Drs. R. J. Pamuntjak, M.Sc. S PENDAHULUAN istem persamaan linear yang muncul hampir dalam semua penerapan aljabar linear, juga sangat diperlukan sebagai landasan dalam pembahasan bagian lain
Lebih terperinciHasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel
BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan
Lebih terperincia 2 e. 7 p 7 q 7 r 7 3. a. 8p 3 c. (2 14 m 3 n 2 ) e. a 10 b c a. Uji Kompetensi a. a c. x 3. a. 29 c. 2
Kunci Jawaban Uji Kompetensi 1.1 1. a. {, 1,0,1,,3,4} BAB I Bilangan Riil Uji Kompetensi 1. 1. a. asosiatif b. memiliki elemen penting 3. 10 Uji Kompetensi 1.3 1. a. 1 4 e. 1 35 15 c. 1 8 1 1 c. 1 4 5.
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciMATRIKS. Slide : Tri Harsono PENS - ITS. 1 Politeknik Elektronika Negeri Surabaya (PENS) - ITS
MATRIKS Slide : Tri Harsono PENS - ITS 1 Sifat Matriks Perkalian dua matriks tidak komutatif Perkalian dua matriks bersifat assosiatif dan distributif tidak komutatif AB BA (AB)C = A(BC) A(B+C) = AB +
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 4 Aljabar Vektor-1. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 4 Aljabar Vektor-1 Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Kuantitas Skalar dan Vektor Kuantitas Fisis dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Kuantitas skalar:
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinciB I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)
1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS B. UKURAN ATAU ORDO SUATU MATRIKS
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 09 Sesi N MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Dalam matematika, matriks adalah kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi panjang yang disusun menurut
Lebih terperinciMatriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A =
Bab 2 cakul fi080 by khbasar; sem1 2010-2011 Matriks Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier. Matriks merupakan representasi
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Lebih terperinciAljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciPenyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Persamaan Linear Pengertian Persamaan linear adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut. + + + Di mana:,,,, dan adalah konstanta-konstanta riil.,,,, adalah bilangan
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MUG1E3 3 SKS
// ljabar Linear Elementer MUGE SKS // 9:7 Jadwal Kuliah Hari I Selasa, jam. Hari II Kamis, jam. Sistem Penilaian UTS % US % Quis % // 9:7 M- ljabar Linear // Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciA. Pengertian Matriks
A. Pengertian Matriks Pada 17 April 2003, Universitas Pendidikan Literatur Indonesia (UPLI), mewisuda 2.630 mahasiswanya. 209 wisudawan di antaranya adalah wisudawan dari Fakultas Pendidikan Matematika
Lebih terperinciMODUL E LEARNING SEKSI -1 MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA 151 : 5099 : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA
MODUL E LEARNING SEKSI - MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA DOSEN : : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA TUJUAN MATA KULIAH : A.URAIAN DAN TUJUAN MATA KULIAH : Mahasiswa mempelajari Matriks, Determinan,
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBAB II DASAR DASAR TEORI
BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian
Lebih terperinciMATRIKS. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATRIKS Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII Created By Ita Yuliana 15 Matriks Kompetensi Dasar 1. Menggunakan
Lebih terperinciOSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b
OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan adalah bilangan bulat genap tak negatif. n = F P B(a, b + KP K(a, b a b Solusi. Misalkan d = F P B(a, b,
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciMATRIKS. Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita
MATRIKS A. Pengertian Matriks. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita Ι ΙΙ ΙΙΙ Dari tabel di atas,
Lebih terperinciBab 7 Sistem Pesamaan Linier. Oleh : Devie Rosa Anamisa
Bab 7 Sistem Pesamaan Linier Oleh : Devie Rosa Anamisa Pendahuluan Bentuk umum dari aljabar linier sebagai berikut: a11x1 + a12a 12X2 +... + a1na 1nXn = b1b a21x1 + a22a 22X2 +... + a2na 2nXn = b2b...............
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinci