MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
|
|
- Teguh Sudjarwadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1
2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar Matriks... 5 C. Sistem Persamaan Linear BAB II DETERMINAN A. Pengertian Determinan B. Metode Perhitungan Determinan C. Sifat-sifat Determinan BAB III INVERS MATRIKS A. Pengertian Invers Matriks B. Matriks Adjoint C. Sifat-sifat Invers Matriks D. Hubungan Invers Matriks, determinan, dan Solusi SPL i
3 BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan Bentuk persamaan linear dalam n peubah (variabel): Dimana: a 1, a 2,, a n, b x 1, x 2,, x n a 1 x 1 + a 2 x a n x n b bilangan bilangan real peubah Dengan demikian maka suatu sistem linear dari m persamaan dalam n peubah (sistem linear m x n) adalah sebagai berikut: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2... a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b n Contoh sistem linear: 1. Sistem 2 x 2 x 1 + 2x 2 5 2x 1 + 3x Sistem 2 x 3 x 1 x 2 + x 3 2 2x 1 + x 2 x Sistem 3 x 2 x 1 + x 2 2 x 1 x 2 1 x 1 4 Definisi 1: Dua sistem persamaan yang mengunakan peubah-peubah yang sama dikatakan ekivalen jika kedua sistem itu memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Contoh: x 1 + 2x 2 4 3x 1 x 2 2 4x 1 + x 2 6 Dan 4x 1 + x 2 6 3x 1 x 2 2 x 1 + 2x 2 4 1
4 Keduanya terdiri dari tiga persamaan yang sama dan sebagai akibatnya kedua sistem persamaan ini harus memiliki himpunan penyelesaian yang sama. Sehingga kedua persamaan tersebut dikatakan ekivalen. Jika salah satu persamaan dari sistem dikalikan dengan suatu bilangan real bukan nol, maka hal ini tidak berpengaruh pada himpunan penyelesaian dan sistem yang baru akan ekivalen dengan sistem awal. Contoh: x 1 + x 2 + x 3 3 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 6 2x 1 x 2 + 4x 3 1 Dan 2x 1 x 2 + 4x 3 1 Definisi 2: Suatu sistem dikatakan memiliki bentuk segitiga jika koefisien-koefisien dari k-1 peubah yang pertama dalam persamaan ke-k semuanya nol dan koefisien dari x k adalah bukan nol (k 1, 2,...,n). Contoh: 3x 1 + 2x 2 + x 3 1 x 2 x 3 2 2x 3 4 Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut! Penyelesaian: Sistem persamaan diatas memiliki bentuk segitiga, karena koefisien-koefisien dalam persamaan kedua masing-masing adalah, 1, -1, dan koefisien-koefisien dalam persamaan ketiga masing-masing adalah,, 2. Karena berbentuk segitiga, sistem ini mudah untuk diselesaikan. Dari persamaan ketiga diperoleh: 2x 3 4 x 3 2 Kemudian substitusikan nilai x 3 2 ke persamaan 2 sehinga diperoleh: x 2 x 3 2 x x x 2 4 2
5 Substitusikan kembali nilai x 3 2 dan x 2 4 ke persamaan 1 sehingga diperoleh: 3x 1 + 2x 2 + x 3 1 3x 1 + 2(4) x x x 1 9 x 1 3 Jadi himpunan dari sistem persamaan diatas adalah (-3, 4, 2). Sembarang sistem sigitiga n x n dapat diselesaikan dengan cara yang sama seperti dalam contoh. Pertama persamaan ke-n diselesaikan untuk mendapatkan nilai x n. Nilai ini digunakan dalam persamaan ke n-1 untuk mendapatkan nilai x n-1. Nilai-nilai x n dan x n-1 digunakan dalam persamaan ke n-2 untuk mendapatkan nilai x n-2, dan seterusnya. Metedo menyelesaikan sistem segitiga ini disebut Substitusi Balik (backsubstitution). Latihan: 1. Analisis apakah persamaan-persamaan berikut ekivalent atau tidak? Jelaskan! a. x 1 + x 2 4 3x 1 3x 2 6 x 1 x 2 2 2x 1 + 2x 2 8 b. x 1 2x 2 5 3x 1 + x 2 1 x 1 2x x 1 + 4x 2 4 c. x 1 + 2x 2 x 3 1 2x 1 x 2 + x 3 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 7 6x 1 3x 2 + 3x 3 9 4x 1 + 8x 2 4x 3 4 2x 1 + 4x 2 + 9x 3 14 d. 3x 1 + 2x 2 + x 3 2x 1 + x 2 x 3 2 2x 1 x 2 + 2x 3 1 2x 1 + x 2 x 3 2 4x 1 2x 2 + 4x 3 2 6x 1 + 4x 2 + 2x 3 3
6 2. Gunakan cara substitusi balik untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut: a. x 1 + x 2 + x 3 8 2x 2 + x 3 5 3x 3 9 b. 2x 1 x 2 + 3x 3 2x 4 1 x 2 2x 3 + 3x 4 2 4x 3 + 3x 4 3 4x 4 4 c. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 5 2x 2 + x 3 2x 4 + x 5 1 4x 3 + x 4 + 2x 5 1 x 4 3x 5 2x 5 2 Penyelesaian: 4
7 B. Aljabar Matriks 1. Pengertian a. Matriks Yaitu kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. A a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 dan B a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 b. Baris Yaitu bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar / horizontal dalam matriks. A a 1 b 1 c 1 c. Kolom Yaitu bagian susunan bilangan yang dituliskan tegak / vertikal dalam matriks. A a 1 a 2 a 3 d. Elemen / unsur Yaitu bilangan bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu. B a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 Pada matriks B diatas, elemen/unsurnya yaitu a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3, c 1, c 2, dan c 3 e. Ordo Yaitu banyak baris dikali banyak kolom pada sebuah matriks. A a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 B a 3 b 3 c 3 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 Ordo : 3 x 3 ordo : 3 x 2 A m x n dengan : A sebuah matriks m jumlah baris pada matriks n jumlah kolom pada matriks 5
8 2. Macam macam Matriks: a. Matriks Persegi Yaitu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom (berordo n x n). A a c matriks A berordo 2 x 2 / berordo 2 b d B a b c d e f g i b. Matrks Baris matriks B berordo 3 x 3 / berordo 3 Yaitu matriks yang hanya memiliki satu baris dan memuat n elemen. (berordo 1 x n). A a 1 a 2 a n c. Matriks Kolom Yaitu matriks yang hanya memiliki satu kolom dan memuat m elemen. (berordo m x 1). A a 1 a 2 a m d. Matriks Skalar Yaitu matriks yang hanya memuat satu unsur. A a e. Matriks Sama Yaitu matriks yang berordo sama dan unsur yang seletak sama. A a c b d dan B f. Matriks Satuan / Identitas a b c d, maka A B Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur pada diagonal utama bernilai 1 dan unsur lainnya bernilai (nol). A 1 1 B
9 g. Matriks Segitiga atas Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur dibawah diagonal utama semuanya bernilai (nol). B a 1 b 1 c 1 b 2 c 2 c 3 h. Batriks Segitiga bawah Yaitu matriks persegi yang unsur-unsur diatas diagonal utama semuanya bernilai (nol). B a 1 a 2 b 2 a 3 b 3 c 3 i. Matriks Diagonal Yaitu matriks persegi yang semua unsur-unsurnya bernilai (nol) kecuali unsurunsur yang terletak pada diagonal utama. A a 1 b 2 c 3 j. Matriks Transpos Yaitu matriks baru yang dihasilkan dari pertukaran baris-baris menjadi kolomkolom atau sebaliknya. B a 1 b 1 a 2 b 2 B t a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 3 b 3 k. Matriks Simetris Yaitu matriks yang jika A A t. A l. Matriks Nol a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 A t a 3 b 3 c 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 Yaitu matriks yang semua unsur-unsurnya bernilai (nol). A A 7
10 m. Matriks Konyugat Yaitu matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengganti tiap elemen dengan konyugantnya (sekawannya). A a + b i i A a b i i a a b i a a + b i Teorema: Dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks memadai sehingga dapat dilakukannya operasi yang ditunjukkan, maka aturan-aturan berikut akan sahih: a. A + A b. A A c. A A d. A x e. x A 3. Operasi pada Matriks a. Sifat-sifat pada Penjumlahan Matriks Jika A, B, dan C merupakan matriks yang berordo sama, dan k, l adalah skalar dengan k, l ϵ R, maka penjumlahan dan perkalian skalar dengan matriks memenuhi sifat berikut: a) A + B B + A Bukti: Ambil sembarang matriks A, B ϵ M mxn yaitu: A a 11 a 12 a 21 a 22 a 1n a 2n a m1 a m2 a mn dimana a 11, a 12,, a mn ε R B Maka: b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn dimana b 11, b 12,, b mn ε R A + B a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n + a m1 a m2 a mn b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn 8
11 A + B a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn B + A B + A A + B B + A b 11 + a 11 b 12 + a 12 b 1n + a 1n b 21 + a 21 b 22 + a 22 b 2n + a 2n b m1 + a m1 b m2 + a m2 b mn + a mn b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n + b m1 b m2 b mn a 11 a 12 a 21 a 22 a 1n a 2n a m1 a m2 a mn b) (A + B) + C A + (B + C) Bukti: Ambil sembarang matriks A, B, dan C ϵ M mxn, yaitu: A B a 11 a 1n dimana a 11, a 12,, a mn ε R a m1 a mn b 11 b 1n dimana b 11, b 12,, b mn ε R b m1 b mn dimana c, c,, c ε R c 11 c 1n C c m1 c mn mn Maka: A + B + C a 11 a 1n + a m1 a mn b 11 b 1n + b m1 b mn c 11 c 1n c m1 c mn A + B + C a 11 + b 11 a 1n + b 1n + a m1 + b m1 a mn + b mn c 11 c 1n c m1 c mn A + B + C a 11 + b 11 + c 11 a 1n + b 1n + c 1n a m1 + b m1 + c m1 a mn + b mn + c mn A + B + C a 11 a 1n + a m1 a mn b 11 + c 11 b 1n + c 1n b m1 + c m1 b mn + c mn 9
12 A + B + C a 11 a 1n + a m1 a mn b 11 b 1n + b m1 b mn c 11 c 1n c m1 c mn A + B + C A + (B + C) dimana a, a,, a ε R c) (k + l) A ka + la Bukti: Ambil sembarang matriks A ϵ M mxn dan bilangan real (k,l) a 11 a 1n A a m1 a mn mn Maka: k + l A (k + l) a 11 a 1n a m1 a mn k + l A k + l A (k + l)a 11 (k + l)a 1n (k + l)a m1 (k + l)a mn ka 11 + la 11 ka 1n + l 1n ka m1 + la m1 ka mn + l mn k + l A ka 11 ka 1n + ka m1 ka mn la 11 la 1n la m1 la mn + l a 11 a 1n k + l A k a m1 a mn k + l A ka + la a 11 a 1n a m1 a mn d) k (A + B) ka + kb Bukti: Ambil sembarang matriks A, B ϵ M mxn dan k bilangan Real, yaitu: A B a 11 a 1n dimana a 11, a 12,, a mn ε R a m1 a mn b 11 b 1n dimana b 11, b 12,, b mn ε R b m1 b mn 1
13 Maka: k(a + B) k a 11 a 1n + a m1 a mn b 11 b 1n b m1 b mn k(a + B) k a 11 + b 11 a 1n + b 1n a m1 + b m1 a mn + b mn k(a + B) k(a + B) k(a 11 + b 11 ) k(a 1n + b 1n ) k(a m1 + b m1 ) k(a mn + b mn ) ka 11 + kb 11 ka 1n + kb 1n ka m1 + kb m1 ka mn + kb mn k(a + B) ka 11 ka 1n ka m1 ka mn kb 11 kb 1n kb m1 kb mn + k a 11 a 1n k A + B k a m1 a mn k A + B ka + kb b 11 b 1n b m1 b mn b. Jika matriks A, B, dan C adalah matriks-matriks yang memadai untuk dilakukannya perkalian matriks, maka memenuhi sifat-sifat berikut: a) (AB)C A(BC) b) (A + B) C AC + BC c) A (B + C) AB + AC 4. Transpos Matriks Definisi: Jika A adalah sembarang matriks m x n, maka transpos A dinyatakan dengan A t adalah matriks n x m yang kolom pertamanya sama dengan baris pertama matriks A, kolom kedua sama dengan baris kedua matriks A, dan seterusnya. 11
14 Contoh: 1. Tentukan transpos dari matriks berikut! A Penyelesaian: Diketahui matriks A 2 3 4, maka transposnya yaitu: A t Definisi: Jika A matriks berordo n x n dan A A t, maka A disebut Matriks Simetris. Contoh: A , maka At B 5 4 7, maka A t Teorema: a) (A t ) t A b) (A + B) t A t + B t, jika A, B ϵ M mxn c) (ka) t ka t, dengan sembarang skalar k ϵ R d) (AB) t B t A t, jika A matriks m x n dan B matriks n x r 5. Invers Matriks Definisi: Jika A adalah matriks persegi, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB BA I, maka dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A. (A -1 B) 12
15 a) Matriks Singular Yaitu matriks persegi yang tidak mempunyai invers. b) Matriks Non-Singular Yaitu matriks persegi yang mempunyai invers. Contoh: Apakah matriks berikut saling invers? 1. A A dengan B dengan B Penyelesaian: 1. A x B A x B A x B I 8 5 Jadi, matriks A dan B tidak saling invers. 2. A x B A x B 1 1 A x B I Jadi, matriks A dan B saling invers. B x A B x A 1 1 B x A I
16 Latihan: 1. Tentukan transpos dari matriks-matriks berikut! B D C E 4 2. Carilah invers dari masing-masing matriks berikut (jika ada)! a. A 1 2 b. A Penyelesaian: 14
17 C. Sistem Persaman Linear 1. Pendahuluan a. Sebuah persamaan linear dengan n peubah dapat dituliskan sebagai berikut: a 1 x 1 + a 2 x a n x n b b. Sistem persamaan linear dengan n peubah dan m persamaan linear dapat dituliskan sebagai berikut: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 : : a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m c. Diagram penyelesaian Sistem Persamaan Linear : SPL Memiliki Solusi (Konsisten) Tidak Memiliki Solusi (Tidak Konsisten) Tunggal Banyak Solusi d. Untuk menyelesaikan suatu SPL dapat digunakan metode sebagai berikut: 1) Metode Eliminasi Yaitu menghilangkan atau mengeliminasi salah satu peubah dengan cara menambahkan kelipatan suatu persamaan ke persamaan lain. 2) Metode Substitusi Yaitu mengganti atau mensubstitusi suatu peubah berdasarkan nilai peubah tersebut pada persamaan yang lain. 15
18 Contoh: Diketahui sistem persamaan linear sebagai berikut: x + 2y 1 2x y 7 Tentukan solusinya dengan: a. Metode Eliminasi b. Metode Substitusi Penyelesaian: a. Metode Eliminasi x + 2y 1 2x y 7 x 2 x 1 2x + 4y 2 2x y 7 5y 5 y 1 x + 2y 1 2x y 7 x 1 x 2 x + 2y 1 4x 2y 14 5x 15 x 3 Jadi himpunan penyelesaiannya (HP) {3, -1} b. Metode Substitusi x + 2y 1... (1) x 1 2y... (2) 2x y 7... (3) Substitusikan persamaan (2) ke persamaan (3) : 2x y 7 2(1 2y ) y 7 2 4y y 7 2 5y 7 5y 5 y 1... (4) 16
19 Substitusikan persamaan (4) ke persaman (2) : x 1 2y x 1 2( 1) x x 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) {3,-1} 2. Eliminasi Gauss Jordan Yaitu suatu metode untuk menentukan solusi suatu persamaan linear dengan cara mengubah suatu SPL dalam bentuk persamaan matriks kemudian mereduksi matriks yang bersesuaian dengan SPL tersebut menjadi bentuk Matriks Eselon Tereduksi. Matriks Eselon Tereduksi adalah matriks yang memenuhi 4 syarat, yaitu: a. Bilangan tak nol pertama dan setiap baris adalah 1 ( 1 utama). b. Kolom yang memuat 1 utama hanya memuat nol di tempat lainnya. c. 1 utama pada baris yang lebih bawah terletak lebih kanan dari pada baris diatasnya. d. Bila terdapar baris nol maka letaknya pada baris bagian bawah matriks. Untuk mendapatkan bentuk Eselon baris tereduksi diperlukan Operasi Baris Elementer (OBE) yang terdiri dari 3 operasi, yaitu: a. Mengalikan suatu baris dengan suatu konstanta k. b. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya. c. Mempertukarkan 2 buah baris. Contoh: Diketahui SPL sebagai berikut: x + y + z 6 2x + y z 1 x y + 2z 5 Selesaikan SPL tersebut dengan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)! 17
20 Penyelesaian: A. x b x y z Matriks diperbesar: A b x y z b 1 + b 2 b 1 + b 3 x y z b 2 x y z b 2 + b 1 2b 2 + b 3 x y z b 3 x y z x y z x y z b 3 + b 1 3b 3 + b 2 Jadi, Himpunan penyelesaiaannya (HP) {1,2,3} Catatan: a. SPL memiliki solusi tunggal jika banyaknya 1 utama pada matriks eselon baris tereduksi banyaknya variabel. b. SPL memiliki solusi tak hingga jika n (1 utama) < n (variabel). c. SPL tidak memiliki solusi jika pada matriks eselon baris tereduksi terdapat 1 utama pada kolom paling kanan. 18
21 3. SPL Homogen Yaitu bentuk khusus dari SPL AX b adalah bentuk khusus untuk b θ (nol) atau bisa dituliskan sebagai AX θ. Solusi SPL Homogen : a. Trivial Yaitu bila SPL Homogen hanya memiliki X θ sebagai satu-satunya solusi. b. Tak Trivial Yaitu bila SPL Homogen memiliki solusi selain X θ. Contoh: Tentukan solusi SPL Homogen dengan matriks koefisien! A Penyelesaian: A. X θ x 1 x 2 x 3 Matriks diperbesar: A b x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x tukar baris ke-1 dengan baris ke-2 2b 1 + b 2 4b 1 + b 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x b 2 b 2 + b 1 3b 2 + b 3 19
22 x 1 x 2 x 3 Di dapat: x 1 x 2 x 3 x 2 x 3 Misal: Maka: x 1 x 2 a x 3 x 1 a, a ε R Jadi, solusi SPL tak trivial. Latihan: 1. Diketahui SPL sebagai berikut: x + y + z 1 2x + y z 2 x 2z 1 Tentukan solusinya dengan metode campuran eliminasi dan substitusi! 2. Diketahui SPL sebagai berikut: 2x y + z 2 x + y z 3 4x + y z 8 Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ! 3. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut: w x y z Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ! 4. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut: x 1 x 2 x Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ! 2
23 5. Diketahui SPL dalam bentuk matrik sebagai berikut: x y z Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ! 6. Diketahui SPL sebagai berikut: x y + z 2 x + y + 2z 3 x y + 4z 5 Tentukan solusi untuk SPL tersebut dengan EGJ! 7. Diketahui matriks A matriks koefisien! Tentukan solusi SPL Homogen tersebut dengan Penyelesaian : 21
24 BAB II DETERMINAN A. Pengertian Determinan Definisi: Determinan merupakan suatu fungsi yang didefinisikan pada matriks persegi. Determinan A didefinisikan sebagai jumlah hasil kali elementer bertanda dari A nxn yang berbentuk: a 1j1, a 2j2 a njn dengan j1, j2,, jn merupakan permutasi dari himpunan {1,2,... n) Hasil kali elementer a 1j1, a 2j2 a njn akan bertanda positif jika banyaknya invers (bilangan bulat kecil yang didahului oleh bilangan bulat lebih besar pada permutasi) adalah genap. Sedangkan a 1j1, a 2j2 a njn bertanda negatif jika banyaknya invers adalah ganjil. Determinan Anxn dinotasikan dengan: det A A A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Contoh: Hitunglah determinan dari:a a 11 a 12 a 21 a 22 Penyelesaian: Permutasi Hasil Kali Elementer Banyak Invers Tanda (1,2) (2,1) a 11 dan a 12 a 12 dan a 21 1 det A A A a 11. a 22 a 12. a 21 22
25 B. Metode Perhitungan Determinan 1. Metode Ekspansi Kofaktor a. Ekspansi Kofaktor sepanjang baris i A a i1 M i1 a i2 M i1 + + a in M in dengan i 1,2,, n b. Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom j A a 1j M 1j a 2j M 2j + + a nj M nj dengan j 1,2,, n M ij (Minor elemen i, j) yaitu determinan matriks A yang sudah dihilangkn baris ke-i dan kolom ke-j nya. Pemilihan baris ke-i dan kolom ke-j bebas. Tanda (+) atau (-) di depan a ij.m ij didasarkan pada: 1) Jika i + j ϵ genap, maka tanda (+). 2) Jika i + j ϵ ganjil, maka tanda (-). Contoh: Hitunglah determinan dari matriks A dan kolom! Penyelesaian: a. Ekspansi Kofaktor baris ke-2: dengan ekspansi kofaktor baris A A A (4 3) A (1) A A 3 b. Ekspansi Kofaktor kolom ke-3: A A A (4 9) 23
26 A ( 5) A A 3 2. Metode Reduksi Baris Bila A adalah matriks segitiga atau berukuran n x n a 11 a 12 a 1n a A 22 a 2n a mn Maka A yang dihitung dengan mengunakan ekspansi sepanjang kolom ke-1 akan diperoleh: A a 11 a 12 a nn Metode reduksi baris memiliki prinsip mengubah bentuk matriks menjadi matriks segitiga atas dengan melakukan OBE (Operas Baris Elementer). OBE pada matriks akan mempengaruhi nilai determinan untuk operasi: 1) Jika menukarkan dua baris maka determinannya bernilai (-). Untuk mengembalikan determinan ke nilai semua, kalikan determinan matriks dengan (-1). 2) Jika suatu baris dikali k maka nilai determinan menjadi k kali determinan semula. Agar nilai determinan tetap, maka kalikan determinan dengan 1. k Contoh: Hitunglah determinan untuk matriks A Penyelesaian: A A menukar baris 1 dengan baris 3. ( 1) b 1 + b 2 2b 1 + b 3 24
27 A ( 1) b 2 A A A A ( 4) (1 x 1 x 3 4 ) C. Sifat-sifat Determinan 1. Jika A nxn matriks diagonal maka A adalah perkalian elemen pada diagonal utamanya. A 3x3 a b c A a. b. c 2. Jika A nxn matriks segitiga atas / bawah maka A adalah perkalian elemen pada diagonal utamanya. A 3x3 a b c d e f A a. d. f 3. Jika ada baris / kolom dari A nxn yang semua elemennya nol, maka A. A 3x3 a b c d e f A 4. Jika ada 2 baris / 2 kolom / kelipatannya pada A nxn, maka A. A 3x3 A 3x A k 3 3k 1 A 25
28 A 3x3 5. A t A 6. AB A B b 2 2b 1 A 7. Jika suatu baris pada A nxn dikali dengan k ε R maka determinan matriks barunya k A 8. Jika A nxn maka ka k n A 9. Apabila dua buah baris suatu matriks dipertukarkan maka A 1 A. Latihan : 1. Hitunglah determinan dari matriksa baris dan kolom! dengan ekspansi kofaktor Penyelesaian: 26
29 BAB III INVERS MATRIKS A. Pengertian Invers Matriks Definisi: Bila A adalah matriks persegi berukuran n x n yang memiliki determinan tidak sama dengan nol, maka invers matriks A (dinotasikan dengan A -1 ) didefinisikan sebagai matriks yang memenuhi persamaan: AA -1 A -1 A I Dengan I matriks identitas berukuran n x n. Invers suatu matriks adalah tunggal. Apabila A maka A tidak mempunyai invers. Contoh: Tentukan invers dari matriks A Penyelesaian: ! A I b 1 A I A I b 1 + b b A I b 2 + b 3 27
30 A I b 3 A I b 3 + b b 3 + b 2 A I A I I A 1 Jadi, A B. Matriks Adjoint Matriks Adjoint didefinisikan sebagai matriks C ij transpos dengan C ij adalah kofaktor elemen i,j. Invers matriks A memiliki rumusan: A 1 1 A Adj(A) A 1 1 A Adj(C ij ) Dengan C ij (-1) i+j.m ij Contoh: Dengan mengunakan Adjoint matriks, tentukan invers dari A Penyelesaian: C 11 ( 1) C 12 ( 1) ( 2) 2 C 13 ( 1) C 21 ( 1) ( 5)
31 C 22 ( 1) C 23 ( 1) C 31 ( 1) C 32 ( 1) (3 ) 3 C 33 ( 1) Didapat C ij Dan Adj A Maka A Sehingga A t C. Sifat sifat Invers Matriks 1. (AB) -1 B -1.A (A -1 ) -1 A 3. A -1.A I Menentukan solusi SPL dengan menggunakan invers matriks, pandang persamaan: A.x b, dengan A -1 ada A.A -1.x A -1.b I.x A -1.b x A -1.b 29
32 Jika A nxn dan memiliki invers A -1, maka: 1. Jika B adalah matriks A -1 yang kolom baris ke-i dan ke-j dipertukarkan maka B -1 adalah A -1 yang kolom ke-i dan ke-j juga dipertukarkan. 2. Jika C adalah matriks A yang baris ke-i dikali k, maka C -1 adalah A -1 yang kolom ke-i dikali 1. k Contoh: 1. Tentukan solusi SPL berikut dengan persamaan Ax b! x y z Penyelesaian: Dari perhitungan sebelumnya diperoleh A 1 x y z x y z x y z x y z A 1 b Jadi, himpunan penyelesaiannya (HP) {-9,13,29} sehingga: 2. Tentukan invers dari matriks-matriks berikut! A Penyelesaian: A A
33 D. Hubungan Invers Matriks, Determinan, dan Solusi SPL Pada suatu SPL Ax b dengan A matriks persegi, terdapat hubungan antara keberadaan A 1, A, dan jenis solusi SPLnya, yaitu: 1. A -1 ada jika dan hanya jika A, maka SPL memiliki solusi tungal. 2. A -1 tidak ada jika dan hanya jika A, maka SPL memiliki solusi tak hingga, solusi banyak, dan tidak ada solusi. Latihan: 1. Tentukan invers dari matriks-matriks berikut: B dan C 2. Tentukan invers matriks A a. Eliminasi Gauss-Jordan dengan menggunakan: b. Matriks Adjoint 3. Tentukan solusi SPL berikut: x y z Penyelesaian: 31
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciSILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN MATEMATIKA MINGGU KE SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304 POKOK & SUB POKOK TUJUAN INSTRUKSIONAL TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciBAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciBAB 2. DETERMINAN MATRIKS
BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperincidimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinciContoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciSebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.
. INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 3) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciBanyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
Lebih terperinciDeterminan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
Lebih terperinciDefinisi : det(a) Permutasi himpunan integer {1, 2, 3,, n}:
Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(a) atau A (jr j r...j n ).a jr a j r...am
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
Lebih terperinciMATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT 304
MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT 304 Deskripsi: Perkuliahan ini bertujuan mengembangkan kemampuan mahasiswa memahami konsep-konsep dasar Aljabar Matriks sebagai bekal untuk mengajar matematika
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS (WAJIB)
LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS (WAJIB) Nama Siswa Kelas : : Kompetensi Dasar (Kurikulum 2013): 3.1 Menganalisis konsep, nilai determinan dan sifat operasi matriks serta menerapkannya dalam menentukan invers
Lebih terperinciM AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciMatematika Teknik DETERMINAN
DETERMINN da satu cara lagi dalam menentukan solusi SPL dengan bekerja pada matriks koefisiennya. Cara berikut hanya akan berlaku untuk matriks koefiien berupa matriks bujursangkar atau SPL mempunyai banyak
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinci03-Pemecahan Persamaan Linier (2)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS
Lebih terperinciOperasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciMODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciAljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciMatriks. Matriks B A B. A. Pengertian Matriks. B. Operasi Hitung pada Matriks. C. Determinan dan Invers
Matriks B B 3. Pengertian Matriks B. Operasi Hitung pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Sumber: www.smanela-bali.net Pernahkah kalian mengamati
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciPertemuan 14. persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 14 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode GAUSS Aljabar Linier Hastha 2016 10.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat
Lebih terperinciTUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi
TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciBAB 2 : DETERMINAN. 2. Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4}
BAB 2 : DETERMINAN PERMUTASI Kita sudah cukup mengenal fungsi-fungsi sinus, fungsi kuadrat, juga fungsi konstant yang memetakan suatu bilangan riil ke bilangan riil. Pada bagian ini akan dipelajari mengenai
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciDalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciSistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE
Sistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 12 November 2016 Sistem Persamaan Linear (SPL) Homogen yang akan dibahas kali
Lebih terperinciTE 1467 Teknik Numerik Sistem Linear
TE 67 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti gustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI ONTOH SIMPULN
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinciTRANSFORMASI MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
TRANSFORMAS MATRKS Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMPA UNEJ agustina.fmipa@unej.ac.id Definisi : BEBAS LNER Suatu himpunan vektor-vektor v, v, v k dikatakan bebas linier jika persamaan
Lebih terperinciMATRIKS. Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita
MATRIKS A. Pengertian Matriks. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita Ι ΙΙ ΙΙΙ Dari tabel di atas,
Lebih terperinciVektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor
Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciI PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciMATRIKS. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)
MTRIKS DEFINISI Bentuk umum =(aij),i=,,...m J=,,...m a a a n baris a a..a n baris MTRIKS Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MATRIKS CONTOH SOAL A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS)
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 10 Sesi N MATRIKS A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS) Masih ingat angka 1 kan, setiap bilangan yang dikali satu apakah berubah? Tentunya tidak. Matriks satuan
Lebih terperinci