ALJABAR LINEAR ELEMENTER
|
|
- Suparman Hardja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22
2 ii
3 Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks. Sistem Persamaan Linier Pengertian Sistem Persamaan Linier Eliminasi Gauss Sistem Homogen Matriks dan Operasi Matriks Pengertian Matriks Operasi Penjumlahan Matriks Perkalian Skalar Transpos Matriks Perkalian Matriks Operasi Perkalian Matriks Sifat-sifat Operasi Perkalian Matriks iii
4 iv DAFTAR ISI.4 Matriks Invers Matriks Invers Sifat-sifat Matriks Invers Penilaian Penguasaan Materi Determinan Latar Belakang Determinan Matriks Bujursangkar Sifat-Sifat Determinan Beberapa Aplikasi Determinan Perhitungan Invers Matriks: Rumus Adjoint Perhitungan Solusi Sistem Persamaan Linear Penilaian Penguasaan Materi Ruang Vektor R 2 dan R Vektor dan Skalar Norma dan Jarak Hasil Kali Titik di R 2 dan R Sudut Antara Dua Vektor Hasil Kali Silang di R
5 DAFTAR ISI v 3.6 Generalisasi ke R n Basis dan Dimensi di R n Penilaian Penguasaan Materi Transformasi Linear Latar Belakang Transformasi Linear dari R n ke R m Ruang Nol, Ruang Baris dan Ruang Kolom Matriks Representasi Transformasi Linear Beberapa Jenis Transformasi Linear Penilaian Penguasaan Materi Nilai Eigen dan Vektor Eigen 8 5. Latar Belakang Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen Contoh Kegunaan Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Ruang Eigen Penilaian Penguasaan Materi
6 Bab Sistem Persamaan Linear dan Matriks Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Sistem Persamaan Linear dan Matriks, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut :. Sistem Persamaan Linear: (a.) (b.) (c.) (d.) Pengertian Sistem Persamaan Linear (SPL). Contoh pemodelan menggunakan SPL. Operasi baris elementer (OBE) dan bentuk eselon baris tereduksi. Eliminasi Gauss-Jordan sebagai cara mencari penyelesaian SPL. 2. Matriks : (a.) (b.) (c.) Pengertian matriks, jenis-jenis matriks dan komponen suatu matriks. Matriks elementer dan sifatnya. Operasi-operasi matriks dan sifat-sifatnya. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 4 minggu perkuliahan.
7 2 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS. Sistem Persamaan Linier.. Pengertian Sistem Persamaan Linier Seperti sudah diketahui, persamaan 2y + x = 3 dapat digambarkan sebagai garis lurus pada bidang datar. Jika diberikan dua persamaan berikut : 2y + x = 3 (.) y + 3x = 6, (.2) maka untuk mencari penyelesaiannya secara geometris dapat dilakukan dengan cara mencari titik perpotongan dua garis tersebut. Faktanya, titik perpotongan tersebut tidak selalu ada, karena dua garis tersebut mungkin saja paralel. Atau bisa terjadi titik potongnya ada sebanyak tak hingga banyak karena dua garis tersebut berimpit. Kemungkinan ketiga adalah titik potongnya tunggal, yaitu jika kedua garis tersebut berpotongan tepat di satu titik. Persamaan linier secara umum mempunyai bentuk a x + a 2 x a n x n = b, (.3) dengan a i dan b adalah bilangan-bilangan real, i =, 2,..., n. Dalam persaman linear (..) termuat n buah variabel yaitu x, x 2,..., x n. Yang dimaksud penyelesaian persamaan linear dengan n variabel adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan linier tersebut. x = r, x 2 = r 2,..., x n = r n Sistem persamaan linier adalah koleksi sebanyak berhingga persamaan-persamaan linier. Bentuk umum sistem persamaan linier dengan m persamaan dan n variabel adalah sebagai berikut : a x +a 2 x 2 + +a n x n = b a 2 x +a 22 x 2 + +a 2n x n = b 2 a m x +a m2 x 2 + +a mn x n = b m. (.4)
8 .. SISTEM PERSAMAAN LINIER 3 Yang dimaksud penyelesaian sistem persamaan linear dengan n variabel adalah bilanganbilangan real x = r, x 2 = r 2,..., x n = r n yang memenuhi semua persamaan linier dalam sistem persamaan linier tersebut. Sistem persamaan linier (..) mempunyai matriks yang bersesuaian yang disebut matriks yang diperluas atau augmented matrixsebagai berikut : a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 [A b] =.. a m a m2 a mn b m Contoh.. Dua persamaan dalam (.) merupakan contoh sistem persamaan linier. Penyelesaian sistem persamaan (.) adalah x =, y = Contoh..2 Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan 3 persamaan dan 3 variabel berikut ini : x z = 2 y +2z = 2 x +y =. Dengan menggunakan substitusi variabel x = 2 + z ke dalam persamaan ketiga diperoleh y z = 3, sehingga sistem persamaan tersebut tereduksi menjadi : y +2z = 2 y z = 3. Dengan menjumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh z =. Selanjutnya dengan substitusi pada persamaan-persamaan linier tersebut diperoleh nilai x = 3 dan y = 4. Jadi penyelesaian yang dicari adalah x = 3, y = 4 dan z =. Contoh..3 Dengan cara yang sama seperti Contoh (..2) dapat dicari penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini: x 2x 2 +3x 3 +x 4 = 3 2x x 2 +3x 3 x 4 =.
9 4 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS Perhatikan langkah-langkah yang dilakukan untuk mencari penyelesaian yang dimaksud. Berikut ini sistem persamaan linier tersebut disajikan bersamaan dengan matriks yang diperluas. x 2x 2 +3x 3 +x 4 = 3 2x x 2 +3x 3 x 4 = [ Pertama-tama variabel x dieliminasi dari persamaan kedua dengan cara mengurangi persamaan tersebut dengan 2 kali persamaan pertama. Hasilnya adalah sebagai berikut: [ ] x 2x 2 +3x 3 +x 4 = x 2 3x 3 3x 4 = Selanjutnya persamaan kedua dikalikan dengan 3 x 2x 2 +3x 3 +x 4 = 3 x 2 x 3 x 4 = 2 sehingga diperoleh: [ Dengan demikian variabel x 2 pada persamaan pertama bisa dieliminasi dengan cara menambah persamaan pertama dengan 2 kali persamaan kedua. x +x 3 x 4 = x 2 x 3 x 4 = 2 [ 2 Sistem terakhir yang diperoleh bisa dengan mudah dicari penyelesaiannya. Dengan menagmbil x 3 dan x 4 bilangan-bilangan real sebarang, misalnya r dan s berturut-turut, maka x dan x 2 dapat ditentukan : x = r + s, x 2 = 2 + r + t. ]. ] ]. Dalam Contoh..2 sistem persamaan linier tersebut mempunyai tak berhingga banyak penyelesaian. Variabel-variabel x 3 dan x 4 disebut variabel bebas, sedangkan x dan x 2 disebut variabel tak bebas...2 Eliminasi Gauss Perhatikan bahwa langkah-langkah dalam Contoh (..2) pada dasarnya dapat dibedakan menjadi 3 macam :
10 .. SISTEM PERSAMAAN LINIER 5. menukar letak dua persamaan; 2. mengalikan suatu persamaan dengan skalar tak nol; 3. menambah suatu persamaan dengan kelipatan persamaan yang lain. Langkah-langkah tersebut berpengaruh pada matriks yang diperluas [A b] yang selanjutnya dikenal dengan sebutan operasi baris elementer yang dibagi menjadi 3 :. menukar letak dua baris; 2. mengalikan suatu baris dengan skalar tak nol; 3. menambah suatu baris dengan kelipatan baris yang lain. Operasi-operasi baris elementer tersebut mempunyai tujuan membawa matriks yang diperluas menjadi matriks dengan bentuk lebih sederhana, atau lebih tepatnya dibawa ke bentuk eselon baris tereduksi. Suatu matriks dikatakan mempunyai bentuk eselon baris treduksi jika memiliki ciri-ciri sebagai berikut:. jika ada baris yang terdiri dari nol semua, maka baris tersebut diletakkan pada baris yang paling bawah; 2. entri tak nol pertama dari kiri adalah dan disebut utama; 3. untuk baris yang lebih bawah, letak utama berada lebih ke kanan daripada baris yang lebih atas. Contoh matriks dengan bentuk eselon baris diberikan sebagai berkut: [ ] 2 [ ], 2,. 2 Proses menghasilkan bentuk eselon baris ini disebut eliminasi Gauss. Selanjutnya untuk mencari penyelesaian sistem persamaan linier digunakan eliminasi Gauss ini. Jika kolom yang memuat -utama entrinya semua nol kecuali -utama maka matriks tersebut disebut bentuk eselon baris tereduksi dan prosesnya disebut eliminasi Gauss-Jordan.
11 6 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS Contoh..4 Sistem persamaan linier di bawah ini akan dicari penyelesaiannya menggunakan eliminasi Gauss. x +x 2 x 3 = 3x x 2 +x 3 = x 3x 2 +3x 3 = 2 Operasi baris elementer yang diterapkan pada matriks yang diperluas adalah sebagai berikut: Dengan demikian sistem persamaan linier tersebut mempunyai variabel bebas yaitu x 3. Penyelesaiannya adalah x = 4, x 2 = t, x 3 = t.. Berikut adalah contoh sistem persamaan linier yang tidak mempunyai penyelesaian...3 Sistem Homogen Sistem persamaan linier disebut homogen jika suku yang memuat konstanta adalah nol. Jadi sistem persamaan yang terbentuk menjadi demikian: a x +a 2 x 2 + +a n x n = a 2 x +a 22 x 2 + +a 2n x n =. a m x +a m2 x 2 + +a mn x n = (.5) Karena suku konstantanya nol semua, maka sistem persamaan linier homogen ini selalu mempunyai penyelesaian, yaitu x = x 2 = = x n =. Pertanyaannya adalah apakah sistem persamaan tersebut juga mempunyai penyelesaian tak nol. Untuk menjawab pertanyaan ini, metode mencari penyelesaian sistem persamaan non homogen bisa tetap diterapkan.
12 .2. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS 7 Contoh..5 Carilah penyelesaian sistem persamaan linier homogen berikut ini : x +2x 2 +x 3 x 4 +3x 5 = x +2x 2 +2x 3 +x 4 +2x 5 = 2x +4x 2 +2x 3 x 4 +7x 5 = Proses Eliminasi Gauss-Jordan bisa diterapkan dalam sistem persamaan ini. Berikut adalah langkah-langkahnya Dari bentuk eselon baris tereduksi yang dihasilkan, diperoleh. x +2x 2 +7x 5 = x 3 3x 5 = x 4 +x 5 = Dengan mengambil x 2 = t dan x 5 = r, maka diperoleh sistem persamaan linier homogen tersebut mempunyai penyelesaian tak nol juga. Lengkapnya, penyelesaian yang dicari adalah: x = 2t 7r, x 2 = t, x 3 = 3r, x 4 = r, x 5 = r..2 Matriks dan Operasi Matriks.2. Pengertian Matriks Matriks adalah sekumpulan angka, yang menyatakan bilangan-bilangan real, yang disusun menyerupai persegi panjang. Contoh matriks-matriks adalah sebagai berikut : A = , B = , C = [ ]
13 8 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS Komponen yang penting dalam sebuah matriks adalah banyaknya baris dan banyaknya kolom. Jika A melambangkan suatu matriks dan matriks tersebut mempunyai baris sebanyak m dan kolom sebanyak n, maka matriks A tersebut dikatakan mempunyai ukuran atau order m n. Dari contoh di atas, matriks A mempunyai ukuran 3 4, matriks B mempunyai ukuran 4 2 dan matriks C mempunyai ukuran 5. Matriks A selanjutnya bisa dinyatakan secara lebih rinci dengan mendata anggotaanggotanya sebagai berikut : A = [a ij ] dengan i =, 2,..., m dan j =, 2,..., n. Adapun m menyatakan banyaknya baris dan n menyatakan banyaknya kolom. Contoh.2. Diberikan matriks A yang berukuran 3 3 berikut ini : 2 3 A = 4 8, 2 3 maka a =, a 23 = dan a 3 = 2. Yang dimaksud dengan matriks nol adalah matriks yang semua entrinya adalah, antara lain [ ],,, [],.2.2 Operasi Penjumlahan Matriks Dua buah matriks dapat dioperasikan dengan cara menjumlahkan keduanya. Syarat agar penjumlahan ini dapat dilakukan adalah ukuran matriks-matriks tersebut harus sama. Lebih jelasnya diberikan dalam definisi berikut ini.
14 .2. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS 9 Definisi.2.2 Jika diberikan matriks-matriks A = [a ij ] dan B = [b ij ] yang masing-masing berukuran m n, maka A + B = [a ij + b ij ]. Hasil jumlahan dua matriks berukuran m n tersebut berupa matriks berukuran m n dengan entri-entrinya merupakan penjumlahan entri-entri matriks A dan B yang bersesuaian. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Contoh.2.3 Diberikan matriks-matriks A dan B yang masing-masing berukuran 4 2 [ ] [ ] A =, B = Hasil jumlahan A dan B adalah [ ] ( 2) ( 3) A + B = = ( 4) ( ) [ ]. Dari suatu matriks A = [a ij ] dapat dibentuk A = [ a ij ], Untuk A seperti pada Contoh (.2.3) diperoleh [ ] 2 3 A = Karena penjumlahan matriks melibatkan penjumlahan bilangan-bilangan real pada masingmasing entrinya, maka sifat-sifat operasi penjumlahan matriks juga dipengaruhi sifat-sifat operasi penjumlahan bilangan real. Proposisi.2.4 Jika A, B dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sama, maka berlaku : (a.) A + B = B + A; (b.) (A + B) + C = A + (B + C); (c.) + A = A + = A; (d.) A + ( A) =.
15 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.2.3 Perkalian Skalar Selain penjumlahan dua matriks, dikenal juga operasi antara skalar dengan matriks yang definisinya sebagai berikut : Definisi.2.5 Jika diberikan matriks-matriks A = [a ij ] berukuran m n dan bilangan real k, maka ka = [ka ij ]. Dengan kata lain, hasil kali matriks A dan skalar k berupa matriks yang entri-entrinya k-kali entri-entri matriks A. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. Contoh.2.6 Diberikan skalar k = 2 dan matriks A sebagai berikut : 8 2 A = Hasil kali A dan k adalah ( 2) 2.( ) 2. ka = 2A = ( 2) = ( ) ( 6) Untuk operasi perkalian matriks dan skalar ini diperoleh sifat-sifat sebagai berikut : Proposisi.2.7 Diberikan matriks A dan B yang berukuran sama, k dan h adalah bilanganbilangan real. Pernyataan berikut berlaku : (a.) (b.) (c.) k(a + B) = ka + kb; (k + h)a = ka + ha; k(ha) = (kh)a; (d.) A = A.
16 .2. MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS.2.4 Transpos Matriks Jika diberikan A yaitu matriks berukuran m n, maka dapat diperoleh matriks lain, sebut saja B, yang berukuran n m dengan cara merubah baris ke-i matriks A menjadi kolom ke-i matriks B. Matriks B ini dinamakan transpos matriks A, yang dinotasikan dengan A t. Jadi jika A = [a ij ], maka A t = [a ji ]. Contoh.2.8 Diberikan matriks A berikut ini 6 4 A = Transpos matriks tersebut adalah A t = Selanjutnya diberikan sifat-sifat yang diperoleh dari suatu transpos matriks terhadap operasioperasi yang lain, yaitu jumlahan dan perkalian dengan skalar. Proposisi.2.9 Misalkan A dan B adalah matriks-matriks yang ukurannya sama, k adalah suatu bilangan real. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku : (a.) (A t ) t = A; (b.) (A + B) t = A t + B t ; (c.) (ka) t = ka t.
17 2 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.3 Perkalian Matriks.3. Operasi Perkalian Matriks Jika suatu matriks mempunyai ukuran khusus yaitu m atau n, maka disebut vektor. Matriks dengan ukuran m x x 2. x m disebut vektor kolom, sedangkan matriks dengan ukuran n [ x x 2... x n ] disebut vektor baris. Definisi-definisi tersebut akan digunakan untuk membahas operasi perkalian dua buah matriks dalam bagian ini. Diberikan matriks A = [a ij ] dengan ukuran m n dan matriks B = [b ij ] dengan ukuran n p. Hasil kali matriks A dan B adalah AB = [c ij ], dengan n c ij = a ik b kj. k= Perhatikan bahwa c ij merupakan hasil kali entri-entri baris ke-i matriks A dan kolom kej matriks B. Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Untuk lebih jelasnya oerhatikan contoh berikut. Diberikan matriks-matriks : A = 5 3 3, B = , 8 6 3
18 .3. PERKALIAN MATRIKS 3 Akan dihitung hasil kali baris-baris di A dan kolom-kolom di B. Sebagai contoh, akan dihitung hasil kali vektor baris ke-2 dari matriks A dan vektor kolom ke-3 dari matriks B, yang nantinya akan menjadi entri baris ke-2 dan kolom ke-3 dari matriks AB. 9 c 23 = [ ] = ( 3)( 3) +. +.( 5) + ( 3)( 3) = = 64. Langkah-langkah tersebut dilakukan terus terhadap semua vektor-vektor baris matriks A dan vektor-vektor kolom matriks B, sehingga diperoleh hasil: 2 AB = Sifat-sifat Operasi Perkalian Matriks Terkait dengan perkalian matriks, terdapat matriks khusus yang disebut matriks identitas, sebagai berikut : I 3 =, I 2 = [ ], I 4 = Berikut adalah sifat-sifat perkalian matriks yang dikaitkan dengan operasi-operasi yang lain, misalnya penjumlahan, perkalian dengan skalar dan transpos. Proposisi.3. Diberikan matriks A, B dan C dengan ukuran sedemikian sehingga berlaku operasi-operasi penjumlahan dan perkalian, k adalah skalar. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: (a.) IA = A dan BI = B;
19 4 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS (b.) (c.) (d.) (e.) (AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA; k(ab) = (ka)b = A(kB); (f.) (AB) t = B t A t ; (g.) Jika AB = I dan CA = I, maka B = C. Setelah dipelajari pada matriks=matriks bisa dilakukan operasi perkalian, sekarang akan ditinjau keterkaitannya dengan sistem persamaan linier. Perhatikan kembali persamaan... Sistem persamaan tersebut dapat dipandang sebagai perkalian matriksmatriks berikut: a a 2 a n a 2 a 22 a 2n.... a m a m2 a mn atau secara ringkas dapat dinotasikan sebagai x x 2. x n = b b 2. b m Ax = b dengan A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n.... a m a m2 a mn, x = x x 2. x n, b = Matriks A disebut matriks koefisien,matriks x disebut matriks variabeldan matriks b disebut matriks konstanta. b b 2. b m. Perlu diingat kembali bahwa cara mencari penyelesaian suatu sistem persamaan linear adalah menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan. Operasi baris elementer juga dapat dilakukan pada matriks identitas. Misalnya menukar letak dua buah baris: I 3 = = E.
20 .4. MATRIKS INVERS 5 Matriks yang dihasilkan dari operasi baris elementer pada matriks identitas disebut matriks elementer, dengan notasi E. Contoh matriks elementer yang lain adalah : 2, 3 Pada saat dilakukan suatu operasi baris elementer pada sebuah matriks, hal ini juga berarti matriks tersebut dikalikan dari kiri dengan suatu matriks elementer dari operasi baris elementer yang bersesuaian. Jika pada matriks A berikut dilakukan operasi baris elementer yaitu baris pertama ditukar letaknya dengan baris ketiga, maka diperoleh matriks A di bawah ini: A = = A Matriks A juga dapat diperoleh dengan cara : 5 2 A = EA = = Dengan demikian sejumlah berhingga operasi baris elementer yang diterapkan pada suatu matriks sama artinya dengan mengalikan sebanyak berhingga matriks-matriks elementer yang bersesuaian dengan matriks tersebut. Jika bentuk yang dicari adalah bentuk eselon baris tereduksi B dari matriks A, maka dapat diilustrasikan sebagai berikut: B = E k E k... E 2 E A...4 Matriks Invers.4. Matriks Invers Diberikan matriks bujursangkar A yang berukuran n n. Jika terdapat matriks bujursangkar C sehingga AC = CA = I, maka C disebut invers matriks A.
21 6 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS Contoh.4. Matriks berikut A = [ mempunyai invers karena dapat ditemukan matriks [ ] 5 7 C = 2 3 ] sehingga AC = [ ] [ ] = [ ] Tetapi pada umumnya tidak setiap matriks bujursangkar mempunyai invers. Berikut adalah contoh matriks yang tidak mempunyai invers. Contoh.4.2 Akan dibuktikan matriks berikut tidak mempunyai invers: Andaikan terdapat matriks sehingga maka dipenuhi AC = A = [ 2 [ 2 ]. [ ] a b C = c d [ 2a + c 2b + d ] [ ] a b = c d ] = [ [ Hal ini menyebabkan kontradiksi karena pada entri baris ke-2 kolom ke-2 dari AC tidak sama dengan. ]. ], Selanjutnya akan dibahas cara mencari invers suatu matriks bujursangkar. Jika diberikan matriks bujursangkar A berukuran n n, maka dengan menerapkan operasi baris elementer sebanyak berhingga akan dicapai bentuk eselon baris tereduksi. Hal tersebut digambarkan sebagai berikut: A E A E 2 E A E k E k... E A.
22 .4. MATRIKS INVERS 7 Jika bentuk eselon tereduksi matriks A, yaitu perkalian matriks yang paling kanan, berupa matriks identitas, maka artinya: E k E k... E A = I n. Namakan U = E k E k... E, sehingga UA = I n, yang berarti U adalah invers matriks A. Secara teknis, langkah pertama untuk mencari invers matriks A adalah dibentuk matriks berikut [ A I n ] dengan I n adalah matriks identitas. baris elementer diperoleh : Selanjutnya jika dengan beberapa langkah operasi [ I n A ], maka invers matriks A bisa ditemukan. Contoh.4.3 Akan dicari invers matriks berikut: Jadi invers matriks yang dicari adalah
23 8 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS.4.2 Sifat-sifat Matriks Invers Sifat-sifat invers suatu matriks diberikan dalam proposisi berikut ini. Proposisi.4.4 Pernyataan-pernyataan berikut berlaku: (a.) (b.) Jika A mempunyai invers, maka A juga mempunyai invers; Jika A dan B masing-masing mempunyai invers, maka AB juga mempunyai invers dan (AB) = B A ; (c.) Jika A mempunyai invers, maka A t juga mempunyai inversdan (A t ) = (A ) t..5 Penilaian Penguasaan Materi Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah:. Menjelaskan pengertian SPL; 2. Memodelkan masalah nyata menjadi SPL; 3. Menjelaskan dan menggunakan OBE; 4. Menjelaskan pengertian bentuk eselon baris suatu matriks; 5. Menggunakan metode eliminasi Gauss Jordan untuk mencari penyelesaian suatu SPL; 6. Menjelaskan definisi dan jenis-jenis matriks serta komponen suatu matriks; 7. Menjelaskan keistimewaan matriks elementer; 8. Menjelaskan operasi-operasi matriks dan membuktikan sifat-sifatnya; 9. Menjelaskan definisi invers suatu matriks;. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat invers suatu matriks;. Menghitung invers suatu matriks.
24 .5. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 9 Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut:. (a.) Berikan gambaran jika suatu matriks sama dengan transposnya. Matriks demikian disebut matriks simetris. (b.) Berikan gambaran jika suatu matriks sama dengan negatif transposnya. Matriks demikian disebut matriks simetris miring. 2. Diberikan matriks-matriks berikut : 2 A = 3, B = , C = Hitunglah (a.) A + B. (b.) 3A + 2B. (c.) C t. (d.) (6B) t. 3. Tentukan matriks A jika diketahui 2A [ Tentukan a, b, c dan d jika [ ] [ ] a b b c c (a.) = c d d [ ] [ ] [ ] a b (b.) 3 2 = b 4 ] t = Tentukan bentuk eselon baris dari matriks-matriks berikut : (a.)
25 2 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS (b.) (c.) Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut : (a.) (b.).. 3x 2x 2 +6x 5 = x +3x 2 +x 3 +4x 4 +3x 5 = 2 x 3x 2 +4x 3 6x 4 +2x 5 = 4 3x +2x 2 +2x 3 5x 4 = 2 x +6x 2 4x 3 2x 4 = 3 x +x 2 x 3 x 4 = 8 5x +2x 2 x 3 9x 4 = 2 7. Buktikan bahwa matriks berikut tidak mempunyai invers untuk bilangan real manapun a b c d e f g h 8. Jika kurva f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d melalui titik-titik (, ), (, 7), (3, ) dan (4, 4), tentukan koefisien-koefisien [ ] persamaan kurva tersebut. 9. Diberikan matriks A =. Tentukan matriks-matriks elementer E 5 2 dan E 2 sehingga E 2 E A = I.. Jika diberikan (a.) A = Tentukan matriks X sehingga AX =
26 .5. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 2 (b.) Tentukan matriks X sehingga [ XA = ].
27 22 BAB. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS
28 Bibliografi [] Anton, H. and Rorres, C., 2, Elementary Linear Algebra, John Wiley and Sons Inc. [2] DeFranza, J. and Gagliardi, D., 29, Introduction to Linear ALgebra, McGraw-Hill Int. Edition, Boston. [3] Nicholson., W.K., 2, Elementary Linear Algebra, McGrw-Hill Book Co., Toronto. 23
29 24 BIBLIOGRAFI
30 Bab 2 Determinan Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Invers Matriks dan Determinan, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut :. Invers Matriks: (a.) (b.) (c.) Pengertian invers matriks. Sifat invers matriks. Menghitung invers matriks menggunakan matriks elementer. 2. Determinan: (a.) (b.) (c.) Pengertian determinan matriks. Sifat determinan matriks. Menghitung determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 3 minggu perkuliahan. 2. Latar Belakang Sudah diketahui bahwa matriks bujursangkar A disebut matriks invertibel jika ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I dengan I adalah matriks identitas. Selain itu dapat 25
31 26 BAB 2. DETERMINAN ditunjukkan bahwa jika ada matriks B yang memenuhi AB = BA = I, maka matriks B tersebut tunggal yang selanjutnya disebut matriks invers dari matriks A dan dinotasikan dengan A. Matriks berukuran 2 2 berikut [ ] a a A = 2 a 2 a 22 mempunyai invers jika dan hanya jika a a 22 a 2 a 2 dan invers matriks A adalah [ ] A a22 a = 2 a a 22 a 2 a 2 a 2 a Nilai a a 22 a 2 a 2 telah dikenal sebagai determinan matriks A 2 2. Tentu saja timbul pertanyaan, apakah fakta pada matriks bertipe 2 2 tersebut dapat diperluas pada sebarang matriks berukuran berukuran n n?. Pada bab ini akan dibahas tentang hal tersebut. 2.2 Determinan Matriks Bujursangkar Untuk matriks A berukuran 3 3 berikut a a 2 a 3 A = a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 jika a maka dapat dilakukan dua kali operasi baris yakni baris ke 2 dan ke 3 masingmasing dikalikan a sehingga diperoleh a a 2 a 3 a a 2 a 3 a a 2 a a 22 a a 23 a a 22 a a 2 a a 23 a a 2 a a 3 a a 32 a a 33 a a 32 a 2 a 3 a a 33 a 3 a 3 Mengingat A invertibel maka salah satu diantara a a 22 a a 2 dan a a 32 a 2 a 3 tidak bernilai nol. Misalkan a a 22 a a 2, maka jika baris ke 3 dikalikan dengan a a 22 a a 2 akan diperoleh a a 2 a 3 a a 22 a a 2 a a 23 a a 2 (a a 22 a a 2 )(a a 32 a 2 a 3 ) (a a 22 a a 2 )(a a 33 a 3 a 3 )
32 2.2. DETERMINAN MATRIKS BUJURSANGKAR 27 selanjutnya dengan mengurangkan baris ke 3 dengan (a a 32 a 2 a 3 ) kali baris ke 2 akan diperoleh matriks a a 2 a 3 a a 22 a a 2 a a 23 a a 2 (a a 22 a a 2 )(a a 33 a 3 a 3 ) (a a 32 a 2 a 3 )(a a 23 a a 2 ) nilai komponen pada posisi baris ke 3 kolom ke 3, yakni (a a 22 a a 2 )(a a 33 a 3 a 3 ) (a a 32 a 2 a 3 )(a a 23 a a 2 ) akan sama dengan a dengan = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 a 3 a 22 a 3 Mengingat A invertibel maka. Selanjutnya disebut determinan matriks A 3 3. Untuk memperumum pengertian determinan ke bentuk yang lebih besar, akan dilakukan ekspresi determinan matriks berukuran 3 3 dalam bentuk determinan matriks berukuran 2 2. = a a 22 a [ 33 + a 2 a 23 ] a 3 + a 3 a 2 [ a 32 a a ] 23 a 32 a 2 [ a 2 a 33 a 3 ] a 22 a 3 a22 a = a det 23 a2 a a a 32 a 2 det 23 a2 a + a 33 a 3 a 3 det a 3 a 32 Untuk mempersingkat, dapat diekspresikan dengan bentuk sebagai berikut = a deta a 2 deta 2 + a 3 deta 3. Matriks A j adalah matriks berukuran 2 2 yang diperoleh dengan menghapus baris ke- dan kolom ke-j. Untuk sebarang matriks A berukuran n n, A ij adalah matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j. Secara recursive dapat didefinisikan pengertian determinan untuk sebarang matriks bujursangkar bertipe n n. Definisi lengkapnya diberikan di bawah ini. Definisi 2.2. Misalkan A n n = [a ij ]. Determinan matriks A didefinisikan sebagai berikut: det(a) = a det A a 2 det A ( ) +n a n det A n = n j= ( )+j a j A +j
33 28 BAB 2. DETERMINAN Contoh Hitung determinan matriks 5 A = Jawab: det(a) = a deta [ a 2 deta ] 2 + a 3 deta [ 3 ] 4 2 = det 5 det 2 = ( 2) + 5( ) + ( 4 ) = 2 [ det 2 Terkait dengan ekspresi pendefinisian determinan matriks bujur sangkar berikut akan didefinisikan pengertian co-faktor suatu matriks bujur sangkar. ] Definisi Misalkan A = [a ij ] adalah matriks bujursangkar bertipe n n. Co-faktor (i, j) dinotasikan dengan C ij = ( ) i+j deta ij. Ekspansi co-faktor sepanjang baris pertama adalah det(a) = n j= ( )+j a j A j Proposisi Determinan matriks A berukuran n n dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi sebarang baris atau sebarang kolom sebagai berikut: (a.) Ekspansi baris ke-i, det(a) = n j= ( )i+j a ij A ij (b.) Ekspansi kolom ke-j, det(a) = n i= ( )i+j a ij A ij Contoh Gunakan ekspansi co-faktor sepanjang baris ke 3 untuk menghitung determinan matrik A berikut: A =
34 2.2. DETERMINAN MATRIKS BUJURSANGKAR 29 det(a) = ( ) 3+ a [ 3 det A 3 ] ( ) 3+2 a 32 det [ A 2 + ( ) ] 3+3 a 33 det [ A = det ( 2) det + det 4 2 ( ) 2 4 = + 2( ) + = 2 Proposisi (2.2.4) menunjukkan bahwa perhitungan determinan matriks menggunakan ekspansi baris atau kolom akan sangat bermanfaat untuk matriks yang banyak memuat nol. Untuk efisiensi dalam perhitungan jelas perhitungan akan menjadi lebih singkat apabila kita memilih baris atau kolom dengan komponen terbanyak. ] Contoh Hitung determinan matriks berukuran 5 5 berikut A = Untuk matriks di atas, jelas perhitungan paling efisien apabila kita memilih ekspansi sepanjang kolom ke- atau ekspansi baris ke-4. Dengan ekspansi sepanjang kolom ke- akan diperoleh det(a) = 3 det C 2 + C 3 C 4 + C 5 sehingga dengan menggunakan ekspansi kolom ke- lagi akan diperoleh 5 det(a) = 3.2. det Dari contoh sebelumnya diperoleh determinan 5 det 2 4 = 2. 2 Jadi diperoleh det(a) = 3.2.( 2) = 2. Dari contoh di atas dapat disimpulkan dalam proposisi berikut.
35 3 BAB 2. DETERMINAN Proposisi Jika A adalah matriks segitiga atas, maka determinan A merupakan hasil kali unsur-unsur diagonal utamanya. 2.3 Sifat-Sifat Determinan Pada Bab telah dipelajari tentang Operasi Baris Elementer (dan Operasi Kolom Elementer). Dari ekspansi determinan akan didapat proposisi berikut yang menunjukkan pengaruh operasi baris atau kolom terhadap nilai determinan. Proposisi 2.3. Misalkan A adalah matriks bujursangkar berukuran n n.. Jika matriks B adalah suatu matriks yang diperoleh dengan menambah suatu baris (kolom) matriks A dengan hasil kali skalar baris (kolom) baris yang lain, maka determinan B= determinan A. 2. Jika matriks B adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan suatu baris (kolom) dengan skalar tak nol α kali baris (kolom) baris yang lain, maka det B = α det A. 3. Jika matriks B adalah suatu matriks yang diperoleh menukar 2 buah baris yang berlainan, maka det B = det A. Dengan Proposisi (2.3.) dapat dihitung determinan suatu matriks dengan menggunakan Operasi Baris (Kolom) Elementer. Contoh Hitung determinan matriks A berikut ini: det
36 2.3. SIFAT-SIFAT DETERMINAN 3 Strateginya adalah dilakukan operasi baris elementer untuk membawa matriks A ke bentuk matriks segitiga atas. det(a) = det = det = det = det = ()(3)( 5) = 5 Contoh Hitung determinan matriks det Untuk menyederhanakan perhitungan, terlebih dahulu dilakukan operasi baris elementer sedemikian hingga pada posisi (, ) (baris pertama kolom pertama) entrinya bernilai, sehingga diperoleh det(a) = det
37 32 BAB 2. DETERMINAN det(a) = 2 det = 2 det = 2 det = 2 det = 2..3.( 6). = 36 Dari proses perhitungan determinan menggunakan operasi baris elementer, khususnya jika dibandingkan dengaan penentuan invers matriks menggunakan operasi baris elementer, maka akan didapatkan proposisi berikut: Proposisi Matrik bujursangkar A invertibel jika dan hanya jika determinan A Selain itu, mengingat nilai determinan suatu matriks dapat dihitung baik menggunakan ekspansi baris ataupun ekspansi kolom maka dapat disimpulkan determinan suatu matriks bujur sangkar akan sama dengan nilai determinan matriks transposnya seperti dinyatakan dalam proposisi berikut: Proposisi Misalkan A matriks bujursangkar, maka det(a T ) = det(a). Seperti sudah dibahas didepan bahwa terdapat hubungan antara determinan suatu matriks bujursangkar A, dengan matriks hasil operasi baris (kolom) elementer. Selain itu pada Bab I juga sudah diperkenalkan pengertian matriks elementer yaitu matriks yang diperoleh
38 2.3. SIFAT-SIFAT DETERMINAN 33 dengan melakukan satu kali operasi baris (kolom) elementer. Disamping itu pada Bab I, juga sudah diterangkan tentang apa makna operasi baris (kolom) elementer dalam kaitannya dengan perkaalian matriks, diantaranya dikatakan bahwa jika B adalah matriks yang diperoleh dengan melakukan satu kali operasi baris elementer dari satu matriks A, maka B = EA dengan E adalah matriks elementer yang diperoleh dengan melakukan satu kali operasi baris elementer terhadap matriks I. Untuk melihat hubungan antara determinan matriks B dengan matriks A, kita akan tinjau 3 jenis operasi baris elementer. Misalkan yang dilakukan adalah operasi Operasi Baris Elementer Tipe : yaitu B adalah matriks yang diperoleh dengan menukar dua baris berlainan dari satu matriks A, maka akan diperoleh det B = det A sehingga diperoleh det B = ( ) det A sementara itu det E = det I =. Selain itu B = EA, dengan demikian akan diperoleh det(ea) = det(e) det(a). Dengan cara analog akan dapat ditunjukkan untuk operasi baris elementer tipe yang lain. Dengan kenyataan akan dapat ditunjukkan bahwa untuk sebarang matriks bukur sangkar yang berukuran sama. Proposisi Jika A dan matriks B adalah matriks-matriks bujursangkar dengan ukuran yang sama, maka det(ab) = det(a) det(b). Bukti. Pembuktian akan dibedakan untuk dua kasus: Kasus. Matriks A invertibel. Menurut sifat matriks invertibel yang seperti diuraikan pada Bab I, dengan serangkaian (berhingga) operasi baris elementer A akan dapat diubah menjadi matriks identitas. Dengan demikian terdapat matriks elementer E, E 2, E 3,, E n sedemikian hingga A = E, E 2, E 3,, E n I.
39 34 BAB 2. DETERMINAN Dengan demikian, akan diperoleh AB = E, E 2, E 3,, E n IB = E, E 2, E 3,, E n B sehingga dengan menggunakan n-kali pengulangan akan diperoleh det(ab) = det(e, E 2, E 3,, E n B) = det(e ) det(e 2, E 3,, E n B) = det(e ) det(e 2 ) det(e 3,, E n B).. = det(e ) det(e 2 ) det(e 3 ),, det(e n ) det(e n B) = det(e ) det(e 2 )(E 3 ),, (E n ) det(e n B) = det(e )(E 2 )(E 3 ),, (E n )(E n B) = det(e )(E 2 )(E 3 ),, (E n I)(E n B) = det(a) det(b) Kasus 2. Matriks A tidak invertibel. Hal ini berarti det A =, dengan demikian untuk menunjukkan bahwa det AB = det A det B, cukup bila dapat ditunjukkan bahwa det(ab) = atau yang ekivalen dengan meunjukkan bahwa AB juga tidak invertibel. Andaikan AB invertibel, maka ada (AB) yang memenuhi (AB)(AB) = I. Dengan demikian menggunakan Kasus akan diperoleh det(ab)(ab) = det(i) yang berarti det(ab) det(ab) = dengan demikian det(ab). Kontradiksi dengan pengandaian bahwa matriks AB invertibel.
40 2.4. BEBERAPA APLIKASI DETERMINAN Beberapa Aplikasi Determinan 2.4. Perhitungan Invers Matriks: Rumus Adjoint Determinan dapat dihitung menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang sebarang baris yang dapat dinyatakan sebagai berikut. det(a) = a det A a 2 det A ( ) +n a n det A n det(a) = a 2 det A 2 + a 22 det A ( ) 2+n a 2n det A 2n det(a) = ( ) n+ a n det A n + ( ) n+2 a n2 det A n2 + + ( ) n+n a nn det A nn Dari formula tersebut akan diperoleh det A det A.... = det A a a 2 a n a 2 a 22 a 2n.... a n a n2 a nn det A det A 2 ( ) n+ det A n det A 2 + det A 22 ( ) n+2 det A n2.... ( ) +n det A n +( ) 2+n det A 2n ( ) n+n det A nn Dengan menotasikan matriks det A det A 2 ( ) n+ det A n det A 2 + det A 22 ( ) n+2 det A n2.... = Adj(A) ( ) +n det A n ( ) 2+n det A 2n ( ) n+n det A nn akan diperoleh dengan Adj berarti adjpint. proposisi berikut ini. det(a)i n n = A Adj(A) Akhirnya diperoleh Rumus Adjoint yang disajikan dalam Proposisi 2.4. Jika A invertibel, maka A = det(a) Adj(A)
41 36 BAB 2. DETERMINAN dan untuk mempermudah penotasian komponen-komponen Adj(A), dinotasikan sebagai berikut: C C 2 C n C 2 C 22 C n2 Adj(A) =.... C n C 2n C nn dengan C ij = ( ) i+j det(a ij ) Contoh Tentukan invers matriks A berikut: 2 3 A = 4 2 Untuk menghitung A, terlebih dahulu dihitung masing-masing nilai C ij berikut [ ] [ ] [ ] C = + det = 2, C = det = 3, C 2 3 = + det = 2 [ ] [ ] [ 4 ] C 2 = det = 4, C = + det = 7, C 2 23 = det = 7 [ ] [ ] [ 4 ] C 3 = + det = 4, C 32 = det =, C 33 = + det = 3 Kemudian dibentuk Adj(A) sebagai berikut Adjoint(A) = Kemudian dengan rumus adjoint diperoleh A = = Perhitungan Solusi Sistem Persamaan Linear Jika A matriks invertibel maka sistem persamaan linear A n n x n = b n akan mempunyai solusi tunggal yakni: x n = A b n.
42 2.4. BEBERAPA APLIKASI DETERMINAN 37 Dengan demikian akan diperoleh x n = det(a) Adjoint(A)b n. Jika komponen x dan b dituliskan secara lengkap akan diperoleh x b x 2 b 2 yakni akan diperoleh x x 2. x n. x n = det(a) Dengan demikian akan diperoleh = det(a) Adjoint(A). b n C C 2 C n C 2 C 22 C n2.... C n C 2n C nn b b 2. b n. x = det(a) (b C + b 2 C b n C n ) x 2 = det(a) (b C 2 + b 2 C b n C n2 ) x n = (b det(a) C n + b 2 C 2n + + b n C nn ) Untuk mempermudah pemahaman digunakan notasi berikut : Dari ekspresi di atas nampak bahwa = b C + b 2 C b n C n 2 = b C 2 + b 2 C b n C n vdots n = b C n + b 2 C 2n + + b n C nn = det A dengan A adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke- dengan b, yakni A = b a 2 a n b 2 a 22 a 2n.... b n a n2 a nn
43 38 BAB 2. DETERMINAN Secara analog 2 = det A 2 dengan A 2 adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-2 dengan b, yakni dan A 2 = det A 2 = a b a n a 2 b 2 a 2n.... a n b n a nn n = det A n dengan A n adalah matriks yang diperoleh dari matriks A dengan mengganti kolom ke-n dengan b, yakni A n = a a 2 b a 2 a 22 b a n a n2 b n Dari penjelasan di atas, akan diperoleh proposisi berikut,. Proposisi Jika A invertibel, maka sistem persamaan linear A n n x n = x n mempunyai penyelesaian tunggal x = det A det(a) x 2 = det A 2 det(a). x n. = det A n det(a) Contoh Gunakan Aturan Cramer untuk menghitung solusi sistem persamaan linear 3x 2x 2 = 6 5x + 4x 2 = 8 Sistem persamaan linear di atas dapat dituliskan dengan dengan bentuk Ax = b, dengan [ ] 3 2 A = [ 5 ] 4 x x = [ x 2 ] 6 b = 8
44 2.5. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 39 Terlebih dahulu dihitung det(a), det A, dan det 2 sebagai berikut: [ ] 3 2 det A = det = 3.4 ( 2)( 5) = 2 = 2 [ 5 4 ] 6 2 det A = det = 6.4 ( 2)(8) = = 2 [ 8 4 ] 3 6 det A 2 = det = 3.8 (6)( 5) = = sehingga dengan Aturan Cramer diperoleh: x = det A det(a) 2 x 2 = det A 2 det(a) Penilaian Penguasaan Materi Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah:. Menjelaskan definisi determinan matriks; 2. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat determinan matriks dalam kaitannya dengan OBE; 3. Menghitung determinan matriks menggunakan ekspansi kofaktor; 4. Menghitung invers matriks menggunakan determinan. Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut:. Diberikan matriks berikut A = (a.) Carilah semua minor matriks A. (b.) Carilah semua kofaktor matriks A.
45 4 BAB 2. DETERMINAN (c.) Hitunglah determinan matriks A. (d.) Hitunglah invers matriks A menggunakan determinannya. 2. Dengan Aturan Cramer, hitunglah penyelesaian sistem persamaan linear pada soal nomor 3b di Bab. 3. Buktikan matriks berikut B = cos θ sin θ sin θ cos θ mempunyai invers untuk semua nilai θ kemudian carilah B. 4. Buktikan jika det(a) = dan semua entri A adalah bilangan bulat, maka semua entri A juga bilangan bulat. 5. Diketahui determinan matriks berikut a b c det d e f g h i = 6. Tentukan (a.) (b.) det det d e f g h i a b c. 3a 3b 3c d e f g 4d h 4e i 4f 6. Tentukan nilai k sehingga matriks berikut tidak mempunyai invers: [ ] k 3 2 (a.) A =. 2 k (b.) A = 3 6. k 3 2.
46 Bibliografi [] Anton, H. and Rorres, C., 2, Elementary Linear Algebra, John Wiley and Sons Inc. [2] DeFranza, J. and Gagliardi, D., 29, Introduction to Linear ALgebra, McGraw-Hill Int. Edition, Boston. [3] Nicholson., W.K., 2, Elementary Linear Algebra, McGrw-Hill Book Co., Toronto. 4
47 42 BIBLIOGRAFI
48 Bab 3 Ruang Vektor R 2 dan R 3 Dalam bab ini termuat dua Pokok Bahasan yaitu Ruang Euclid dan Vektor-vektor yang Membangun dan Bebas Linear, dengan masing-masing Sub-pokok Bahasan sebagai berikut :. Ruang Euclid: (a.) (b.) (c.) (d.) Definisi Ruang Euclid. Operasi-operasi vektor yang berlaku di Ruang Euclid. Hasil kali dalam pada Ruang Euclid. Proyeksi vektor. 2. Vektor-vektor yang Membangun dan Bebas Linear (a.) (b.) (c.) (d.) (e.) Pengertian kombinasi linear dan kaitannya dengan SPL. Himpunan pembangun dan kaitannya dengan SPL. Himpunan yang bebas linear dan kaitannya dengan SPL. Basis dalam Ruang Euclid. Definisi rank dan dimensi pada Ruang Euclid. Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam 5 minggu perkuliahan. 43
49 44 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 3. Vektor dan Skalar Dalam matematika dikenal dua besaran pokok yaitu skalar dan vektor. Bab ini akan membahas besaran vektor dan sifat-sifatnya. Vektor mempunyai ciri khas selain mempunyai besar juga mempunyai arah. Di dalam ruang vektor R 2 suatu vektor a mempunyai dua komponen yang dinotasikan dengan a = [ a a 2 ] atau a = (a, a 2 ) t. Komponen-komponen tersebut menentukan arah vektor a. Adapun besar atau panjangnya dinyatakan dengan notasi a dan dicari dengan rumus a = a 2 + a 2 2. yang merupakan terapan Prinsip Phytagoras. Secara analog untuk vektor-vektor di R 3 dapat dinyatakan dengan a a = a 2 atau a = (a, a 2, a 3 ) t. a 3 dan rumus jarak yang berlaku adalah a = a 2 + a a 2 3. Contoh 3... Diberikan a = (, 2) t vektor di R 2. Panjang vektor itu adalah a = ( ) = + 4 = Diberikan a = (2,, 3) t vektor di R 3. Panjang vektor itu adalah a = ( 3) 2 = = 3. Untuk pembahasan selanjutnya, definisi maupun sifat-sifat yang dipelajari adalah untuk vektor-vektor di R 3 dengan pengertian bahwa vektor-vektor di R 2 merupakan kejadian khusus.
50 3.. VEKTOR DAN SKALAR 45 Vektor-vektor dalam R 3 maupun R 2 dapat dioperasikan secara aljabar, yaitu dijumlahkan (dikurangkan) dan dikalikan dengan suatu bilangan real. Untuk sebarang dua vektor di R 3 yaitu a = (a, a 2, a 3 ) t dan b = (b, b 2, b 3 ) t hasil jumlah kedua vektor tersebut adalah a + b = a a 2 a 3 + b b 2 b 3 = a + b a 2 + b 2 a 3 + b 3 Jika α suatu bilangan real sebarang, maka hasil kali α dan a adalah a αa αa = α a 2 a 3 = αa 2 αa 3. Terkait dengan dua operasi tersebut, ada vektor-vektor khusus yang mempunyai sifat istimewa. Vektor-vektor tersebut adalah dan a = a a 2 a 3 = = a a 2 a 3 Sifat-sifat operasi-operasi tersebut yang bisa dibuktikan ditulis dalam proposisi berikut ini... Proposisi 3..2 Diberikan a, b dan c masing-masing vektor di R 3. berikut : Berlaku sifat-sifat (a.) a + b = b + a. (b.) a + ( a) =. (c.) a + = + a = a. (d.) a + = + a = a. (e.) (f.) α(a + b) = αa + αb. (α + β)a = αa + βa.
51 46 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 Bukti. Bukti sifat-sifat ini menggunakan definisi operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Akan diberikan satu contoh, sementara bukti selebihnya diserahkan kepada pembaca. a b a + b = a 2 a 3 + b 2 b 3 = = = a + b a 2 + b 2 a 3 + b 3 b + a b 2 + a 2 b 3 + a 3 b b 2 b 3 + a a 2 a Norma dan Jarak Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat vektor lebih lanjut, terutama yang terkait dengan besar atau panjang vektor. Panjang suatu vektor, yang selanjutnya lebih dikenal dengan sebutan norm vektor, mempunyai peranan cukup penting dalam aljabar vektor karena bermula dari pengertian norm inilah diturunkan definisi jarak dan sudut. Jika ada dua vektor di R 3 misalnya a = (a, a 2, a 3 ) t dan b = (b, b 2, b 3 ) t, maka jarak dua vektor tersebut adalah : d(a, b) = a b = (a b ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 + (a 3 b 3 ) 2. Dari definisi jarak ini bisa dilihat bahwa panjang suatu vektor pada dasarnya adalah jarak vektor tersebut dengan vektor nol, yaitu a = a = (a ) 2 + (a 2 ) 2 + (a 3 ) 2 = Beberapa sifat norm suatu vektor adalah sebagai berikut. a 2 + a a 2 3. Proposisi 3.2. Diberikan a, b dan c masing-masing vektor di R 3. Berlaku :
52 3.3. HASIL KALI TITIK DI R 2 DAN R 3 47 (a.) (b.) a + b a + b. a b + b c a c. 3.3 Hasil Kali Titik di R 2 dan R 3 Ada dua cara untuk mengalikan dua buah vektor, yaitu hasil kali titik (dot product) dan hasil kali silang (cross product). Pada subbab ini akan dibicarakan terlebih dahulu hasil kali titik, sementara untuk hasil kali silang akan dibicarakan kemudian. Definisi 3.3. Diberikan dua vektor di R 2 yaitu a = (a, a 2 ) t dan b = (b, b 2 ) t. Hasil kali titik (dot product)a dan b adalah a b = a b + a 2 b 2. Definisi 3.3. menyatakan hasil kali titik pada ruang vektor R 2. Sedangkan untuk definisi hasil kali titik pada ruang vektor R 3 diperoleh secara analog dengan menambahkan satu komponen lagi, sebagai berikut: a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3, untuk setiap a = (a, a 2, a 3 ) t dan b = (b, b 2, b 3 ) t di R 3. Contoh Diberikan a = (, 2) t dan b = ( 3, ) t. Hasil kali titik dari a dan b adalah a b =.( 3) + ( 2). = Diberikan a = ( 2, 7, 3) t dan b = (3,, 4) t. Hasil kali titik dari a dan b adalah a b = ( 2) ( 3).4 =. Beberapa sifat yang dapat diturunkan dari definisi hasil kali titik di R 2 dan R 3, seperti tercantum dalam proposisi berikut.
53 48 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 Proposisi Diberikan dua vektor di R 2 (atau R 3 ) yaitu a = (a, a 2 ) t dan b = (b, b 2 ) t. Pernyataan-pernyataan berikut berlaku :. a b = b a. 2. a a dan a a = jika dan hanya jika a =. 3. (αa + βb) c = αa c + βb c. 4. a 2 = a a. Bukti. Bukti yang diberikan di bawah ini dilihat untuk vektor-vektor di R 3, adapun untuk R 2 merupakan kejadian khusus.. Ambil a, b R 3 dengan a = (a, a 2, a 3 ) t dan b = (b, b 2, b 3 ) t. a b = a b + a 2 b 2 + a 3 b 3 = b a + b 2 a 2 + b 3 a 3 = b a. 2. Ambil a R 3 dengan a = (a, a 2, a 3 ) t. a a = a a + a 2 a 2 + a 3 a 3 = a 2 + a a 2 3 Dari perhitungan tersebut dengan mudah dapat dibuktikan bahwa a a dan a a = jika dan hanya jika a =. Untuk pernyataan-pernyataan yang lain bukti diserahkan kepada pembaca. 3.4 Sudut Antara Dua Vektor Jika dua vektor a dan b dengan posisi masing-masing titik pangkalnya bertemu, maka akan terbentuk sudut θ di antara dua vektor tersebut dengan θ π. Kemudian dengan
54 3.4. SUDUT ANTARA DUA VEKTOR 49 menggunakan Aturan Cosinus diperoleh sifat berikut ini. Proposisi 3.4. Jika θ adalah sudut yang terbentuk dari dua vektor tak nol a dan b, maka a b = a b cos θ. Bukti. Akan dihitung terlebih dahulu a b 2 dengan dua cara kemudian hasilnya dibandingkan. Pertama akan dihitung menggunakan Aturan Cosinus pada sudut segitiga yang terbentuk dari dua vektor tersebut. a b 2 = a 2 + b 2 2 a b cos θ. Di pihak lain dapat juga dihitung a b 2 = (a b) (a b) = a a a b b a + b b = a 2 2a b + b 2. Dari kedua perhitungan tersebut diperoleh a 2 + b 2 2 a b cos θ = a 2 2a b + b 2 (3.) a b cos θ = a b. (3.2) Proposisi 3.4. menunjukkan kaitan antara sudut dua buah vektor dan hasil kali titik antara keduanya. Kalau ditinjau kembali persamaan 3.2 akan diperoleh cara untuk menghitung besar sudut yang terbentuk dari dua buah vektor sebagai berikut : cos θ = a b a b. (3.3) Contoh Akan dicari sudut antara vektor-vektor berikut a = (, 2, ) t dan b = (2,, ) t. Menggunakan Proposisi 3.4. dapat dihitung sudut yang terbentuk sebagai berikut
55 5 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 : cos θ = = = a b a b.2 + ( 2) Untuk θ π diperoleh θ = 2π 3 = 2o. = 3 6 = 2. Selanjutnya untuk mengetahui jenis-jenis sudut yang terbentuk dari dua vektor dapat dicek dari syarat-syarat berikut : a b > θ sudut lancip a b = θ = π 2 a b < θ sudut tumpul Dua vektor dikatakan saling ortogonalatau saling tegak lurus jika sudut dua vektor tersebut sama dengan π. Secara mudah dapat dibuktikan akibat berikut. 2 Akibat Diberikan a dan b masing-masing vektor tak nol di R 3. Vektor a dan b saling tegak lurus jika dan hanya jika a b =. Misalnya diberikan dua vektor a dan b dengan b. Dari kondisi tersebut vektor a dapat dinyatakan sebagai jumlahan dua vektor, yaitu a = c + c 2 (3.4) dengan c sejajar dengan vektor b dan c 2 tegak lurus dengan vektor b. Karena c sejajar dengan b, maka c bisa dinyatakan sebagai kelipatan dari b atau dengan kata lain terdapat skalar k sehingga c = kb.
56 3.5. HASIL KALI SILANG DI R 3 5 Dari persyaratan bahwa c 2 c 2 = a c, diperoleh tegak lurus dengan b dan dari persamaan 3.4 yang berarti Sehingga dapat diperoleh Akibatnya, = c 2 b = (a c ) b = (a kb) b = a b k(b b) = a b k b 2. k b 2 = a b atau k = a b b 2. c = kb = a b b 2 b dan vc 2 dapat dicari menggunakan hubungan c 2 = a c. Vektor c disebut proyeksi a pada b dan dinyatakan sebagai c = proy b a. Contoh Akan ditentukan proyeksi vektor va = (3, ) t pada b = ( 2, 3) t. Misalnya c = proy b a, maka c = a b 3.( ) + ( 2).3 b = b [ 2 3 ] = 9 3 [ 2 3 ] [ = ]. 3.5 Hasil Kali Silang di R 3 Selain hasil kali titik dua buah vektor yang hasilnya berupa skalar, ada jenis perkalian vektor yang lain yang menghasilkan vektor pula. Hasil kali ini hanya bisa didefinisikan pada ruang vektor R 3. Diberikan vektor a = (a, a 2, a 3 ) t dan b = (b, b 2, b 3 ) t di R 3. Vektor a 2 b 3 b 2 a 3 a b = (a b 3 b a 3 ) (3.5) a b 2 b a 2 disebut hasil kali silang atau cross product vektor a dan b.
57 52 BAB 3. RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3 Perhatikan bahwa vektor a b merupakan vektor yang tegak lurus baik dengan a maupun b. Hal ini dapat dengan mudah dibuktikan. Selanjutnya perhatikan vektor-vektor di R 3 berikut ini: i =, j =, k = Setiap vektor di R 3 dapat dinyatakan sebagai a a 2 = a i + a 2 j + a 3 k. a 3 Dengan demikian hasil kali silang pada 3.5 dapat dinyatakan sebagai berikut : i j k a b = det a a 2 a 3 b b 2 b 3 [ ] [ ] [ ] a2 a = det 3 a a i + det 3 a a j + det 2. b 2 b 3 b b 3 b b 2. Contoh 3.5. Diberikan vektor-vektor di R 3 sebagai berikut a = (2,, ) t dan b = ( 3, 4, ) t. Hasil kali silang dua vektor tersebut adalah i j k a b = det 2 = 4i ( )j + 8k = 3 4 Dari hasil tersebut dapat dibuktikan bahwa a b tegak lurus dengan masing-masing a dan b Berikut ini akan dibahas beberapa sifat hasil kali silang. Proposisi Diberikan vektor-vektor a, b, c di R 3. Berlaku sifat-sifat berikut : (a.) a (b c) = det[a, b, c]. (b.) a = = a. (c.) a b = (b a).
MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciBuku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara Yogyakarta Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciBAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciMODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciOperasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciAljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciM AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciBAB 2. DETERMINAN MATRIKS
BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciDeterminan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
Lebih terperinciContoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciALJABAR VEKTOR MATRIKS. oleh: Yeni Susanti
ALJABAR VEKTOR MATRIKS oleh: Yeni Susanti Materi SPL : Definisi, Solusi, SPL Nonhomogen, SPL Homogen, Matriks Augmented, Bentuk Eselon Baris (Bentuk Eselon baris Tereduksi), Eliminasi Gauss (Eliminasi
Lebih terperinciCourse of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung
Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan
Lebih terperinciRuang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,
Lebih terperincidimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Lebih terperinciSILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN MATEMATIKA MINGGU KE SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304 POKOK & SUB POKOK TUJUAN INSTRUKSIONAL TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Lebih terperinciMA Analisis dan Aljabar Teori=4 Praktikum=0 II (angka. 17 Juli
INSTITUT TEKNOLOGI KALIMANTAN JURUSAN MATEMATIKA DAN TEKNOLOGI INFORMASI PROGRAM STUDI MATEMATIKA SILABUS MATA KULIAH KODE Rumpun MK BOBOT (sks) SEMESTER Tgl Penyusunan Aljabar Linear ELementer MA Analisis
Lebih terperinciSebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.
. INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MUG1E3 3 SKS
// ljabar Linear Elementer MUGE SKS // 9:7 Jadwal Kuliah Hari I Selasa, jam. Hari II Kamis, jam. Sistem Penilaian UTS % US % Quis % // 9:7 M- ljabar Linear // Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciPenyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciPertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks
Pertemuan 8 Aljabar Linear & Matriks 1 Jika A adl matriks nxn yg invertible, untuk setiap matriks b dgn ukuran nx1, maka sistem persamaan linier Ax = b mempunyai tepat 1 penyelesaian, yaitu x = A -1 b
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciMatriks. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar
Bab 1 Matriks Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar Kompetensi Dasar 1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2.1 Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan cermat
Lebih terperinciTUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi
TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciAdri Priadana. ilkomadri.com
Adri Priadana ilkomadri.com Pengertian Sistem Persamaan Linier Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan bentuk umum a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b yang tidak melibatkan hasil kali, akar, pangkat
Lebih terperinciBagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
Lebih terperinciTEKNIK INFORMATIKA FENI ANDRIANI
EKNIK INFORMIK FENI NDRINI Definisi: Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun dalam sebuah empat persegi panjang, secara teratur, di dalam baris-baris dan kolom-kolom. a a... a n a a... a n... a
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciGARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 1 / 27 Acknowledgements
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R n
Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38 Acknowledgements
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 1 Matriks dan Operasinya MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks Jenis-jenis Matriks Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan)
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciMATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 1
Mata : MATEMATIKA TEKNIK 1 Jurusan : TEKNIK ELEKTRO SKS : 2 Sks Kode Mata : KD-041205 MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 1 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU 1 Vektor tentang pengertian
Lebih terperinciMATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT 304
MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT 304 Deskripsi: Perkuliahan ini bertujuan mengembangkan kemampuan mahasiswa memahami konsep-konsep dasar Aljabar Matriks sebagai bekal untuk mengajar matematika
Lebih terperinciMatriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan
Lebih terperinciAljabar Linier Lanjut. Kuliah 1
Aljabar Linier Lanjut Kuliah 1 Materi Kuliah (Review) Multiset Matriks Polinomial Relasi Ekivalensi Kardinal Aritmatika 23/8/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Multiset Definisi Misalkan S himpunan
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR
MAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR Disusun oleh : 1. Supriyani (0903040095) 2. Sri Hartati (0903040113) 3. Anisatul M. (0903040065) TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciDalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau
Lebih terperinciMatriks. Matriks B A B. A. Pengertian Matriks. B. Operasi Hitung pada Matriks. C. Determinan dan Invers
Matriks B B 3. Pengertian Matriks B. Operasi Hitung pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Sumber: www.smanela-bali.net Pernahkah kalian mengamati
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinciPertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode CRAMER Aljabar Linier Hastha 2016 10. PERSAMAAN LINIER NONHOMOGEN 10.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara
Lebih terperinciALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 313 322. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciMateri Aljabar Linear Lanjut
Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciBab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor
Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi
Lebih terperinciMatriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A =
Bab 2 cakul fi080 by khbasar; sem1 2010-2011 Matriks Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier. Matriks merupakan representasi
Lebih terperinciProgram Studi Teknik Mesin S1
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : MATEMAA TEKNIK 1 KODE / SKS : IT042220 / 2 SKS Pokok Bahasan Pertemuan dan 1 Vektor : pengertian vektor, operasi aljabar vektor ruang, vektor cross product serta
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinci