Matriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A =

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Matriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A ="

Transkripsi

1 Bab 2 cakul fi080 by khbasar; sem Matriks Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier. Matriks merupakan representasi dari kumpulan besaran. Vektor yang telah dibahas pada BAB terdahulu merupakan contoh matriks karena vektor dapat direpresentasikan sebagai kumpulan bilangan (yaitu komponenkomponennya. Secara umum dapatlah diartikan bahwa matriks adalah kumpulan besaran-besaran yang disusun dalam bentuk persegi (rectangular. 2.1 Notasi Matriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: ( 1 2 A = ( Padacontohtersebutdiatas,matriksAmempunyai2barisdan3kolom. Matriks tersebut mempunyai 2 3 = 6 buah komponen. Komponen-komponen tersebut diacu berdasarkan posisinya pada matriks. Misalnya, komponen baris pertama kolom pertama dari matriks A (dituliskan sebagai A 11 atau a 11 adalah 1. Sedangkan komponen baris kedua kolom ketiga dari matriks A (dituliskan sebagai A 23 atau a 23 adalah 6. Untuk lebih lengkapnya: a 11 = 1;a 12 = ;a 13 = 2 a 21 = 3;a 22 = 0;a 23 = 6 Jadi komponen baris ke-i kolom ke-j dari matriks A dinyatakan dengan A ij atau a ij. 17

2 18 BAB 2. MATRIKS 2.2 Transpose Transpose suatu matriks A (ditulis sebagai A T diperoleh dengan menuliskan baris matriks A menjadi kolom, sedangkan kolom matriks A menjadi baris. Misalkan untuk matriks A sebagaimana persamaan 2.1, maka transposenya adalah A T = Dengan demikian dapat dinyatakan Determinan Matriks (2.2 (A T ij = A ji (2.3 Matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya dinamakan matriks bujursangkar (square matrix. Untuk suatu matriks bujursangkar terdapat suatu bilangan yang penting yang merupakan properti matriks tersebut yaitu yang dinamakan determinan. Misalkan suatu matriks bujursangkar 2 2 berikut ( a b A = c d maka determinannya adalah deta = a b c d = ad bc (2.4 Persamaan 2.4 adalah ungkapan untuk memperoleh determinan matriks 2 2. Berikut ini akan diuraikan cara mencari determinan matriks dengan orde yang lebih tinggi. Untuk itu perlu diperkenalkan lebih dulu tentang minor dan cofactor dari suatu komponen (elemen matriks. Minor dari suatu komponen Misalkan untuk matriks bujursangkar 3 3 sebagai berikut a b c A = d e f (2. g h i Bila baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A tersebut dibuang maka matriks A menjadi matriks 2 2 yang determinannya disebut minor dari a ij dan

3 2.3. DETERMINAN MATRIKS 19 dinyatakan dengan M ij. Jadi misalnya untuk matriks A seperti pada 2., maka minor dari a 11 adalah M 11 = e f h i = ei hf (2.6 cakul fi080 by khbasar; sem demikian pula halnya minor dari a 32 adalah M 32 = a c d f = af cd (2.7 Cofactor dari suatu komponen Cofactor dari suatu komponen a ij diperoleh dengan cara cofactor dari a ij = C ij = ( 1 i+j M ij (2.8 dengan M ij adalah minor sebagaimana yang telah dibahas sebelumnya. Determinan matriks menggunakan cofactor Determinan matriks (terutama yang mempunyai orde lebih dari 2 dapat diperoleh dengan menggunakan cofactor. Caranya adalah dengan mengalikan setiap elemen pada salah satu baris atau kolom dengan cofactor nya kemudian hasilnya dijumlahkan. Untuk lebih jelasnya kembali pada matriks A pada persamaan 2.. Dengan menggunakan elemen pada baris pertama, maka dapat dinyatakan deta = a(c 11 +b(c 12 +c(c 13 = a( M 11 +b( M 12 +c( M 13 = a e f h i b d f g i +c d e g h = a(ei fh b(di fg+c(dh eg (2.9 Beberapa sifat penting terkait determinan Beberapa sifat penting yang terkait determinan matriks di antaranya adalah: Jika semua elemen pada satu baris (atau pada satu kolom dari suatu matriks dikalikan dengan bilangan k, maka determinannya juga dikalikan dengan k. Nilai determinan suatu matriks sama dengan nol jika

4 20 BAB 2. MATRIKS 1. semua elemen dalam satu baris (atau dalam satu kolom sama dengan nol, atau 2. dua baris (atau dua kolom elemen-elemennya identik, atau 3. dua baris (atau dua kolom elemen-elemennya proporsional (sebanding Jika dua baris (atau dua kolom dari suatu matriks dipertukarkan, maka nilai determinannya berubah tanda Determinan suatu matriks tidak berubah jika 1. baris dituliskan menjadi kolom dan kolom dituliskan menjadi baris, atau 2. setiap elemen dalam satu baris (atau dalam satu kolom ditambahkan dengan k kali elemen pada baris (atau kolom yang lain. Aturan Cramer Penyelesaian sistem persamaan linier dapat dilakukan juga dengan menggunakan determinan. Cara ini disebut Aturan Cramer (Cramer s Rule. Misalkan dua buah persamaan yang dinyatakan dengan a 1 x+b 1 y = c 1 a 2 x+b 2 y = c 2 dengan a 1, a 2, b 1, b 2, c 1 dan c 2 adalah bilangan. Jika persamaan pertama dikalikan dengan b 2 sementara persamaan kedua dikalikan dengan b 1 kemudian keduanya dikurangkan, maka dapat diperoleh nilai x, yaitu x = c 1b 2 c 2 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 cara yang serupa juga dapat dilakukan untuk memperoleh nilai y, yaitu y = a 1c 2 a 2 c 1 a 1 b 2 a 2 b 1 artinya solusi untuk x dan y dapat dituliskan dalam bentuk determinan matriks: c 1 b 1 c 2 b 2 a 1 c 1 a 2 c 2 x = a 1 b 1, y = a 2 b 2 a 1 b 1 (2.10 a 2 b 2 Secara umum dapat dituliskan langkahnya sebagai berikut:

5 2.4. MATRIKS IDENTITAS 21 Tuliskan persamaan linier dalam bentuk standar dengan urutan variabel yang sama Tuliskan koefisien-koefisien variabelnya dalam bentuk matriks dan hitung determinan matriksnya. Determinan matriks koefisien (sebut sebagai D ini akan menjadi penyebut dalam penghitungan nilai variabelvariabel yang dicari cakul fi080 by khbasar; sem Pembilang untuk nilai x diperoleh dengan mengganti elemen koefisien variabel x pada matriks koefisien dengan konstanta ruas kanan persamaan yang sesuai. Pembilang untuk nilai x diperoleh dengan mengganti elemen koefisien variabel x pada matriks koefisien dengan konstanta ruas kanan persamaan yang sesuai Jadi untuk persamaan yang melibatkan tiga variabel sebagai berikut maka diperoleh x = 1 D dengan D = d 1 b 1 c 1 d 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3, y = 1 D. 2.4 Matriks Identitas a 1 x+b 1 y +c 1 z = d 1 a 2 x+b 2 y +c 2 z = d 2 a 3 x+b 3 y +c 3 z = d 3 a 1 d 1 c 1 a 2 d 2 c 2 a 3 d 3 c 3, z = 1 D a 1 b 1 d 1 a 2 b 2 d 2 a 3 b 3 d 3 (2.11 Matriks identitas atau matriks satuan adalah matriks bujursangkar dengan semua elemen sama dengan nol kecuali elemen pada diagonal utama sama dengan 1. Matriks identitas atau matriks satuan umumnya dilambangkan dengan I. Contohnya adalah sebagai berikut I = (2.12

6 22 BAB 2. MATRIKS 2. Reduksi Baris Perhatikan kumpulan persamaan linier berikut ini 2x z = 2 6x +y +3z = 7 2x y = 4 (2.13 Kumpulan persamaan tersebut dapat disusun menjadi bentuk matriks yang terdiri dari koefisien masing-masing variabelnya. Kolom pertama berisi koefisien dari variabel x, kolom kedua berisi koefisien variabel y, kolom ketiga berisi koefisien dari variabel z dan kolom keempat berisi ruas kanan persamaan-persamaan tersebut. Matriks yang dimaksud adalah Hal ini berarti terdapat kesetaraan antara kumpulan persamaan linier dengan matriks koefisien-koefisien variabelnya. Apa yang dilakukan pada kumpulan persamaan linier tersebut dapat juga diterapkan pada matriks yang berkaitan. Dengan sifat kesetaraan tersebut dapat dilakukan metode reduksi baris untuk menyelesaikan persamaan linier tersebut. Berikut adalah contohnya Karena persamaan linier dapat dieliminasi dengan persamaan lain, maka bila persamaan kedua dikurangi tiga kali persamaan pertama: 2x z = y +6z = x y = Kurangi persamaan ketiga dengan persamaan pertama: 2x z = y +6z = y +z = Susunan persamaan-persamaan tersebut dapat dipertukarkan satu sama lain. Bila persamaan kedua dan ketiga dipertukarkan akan diperoleh 2x z = y +z = y +6z =

7 2.6. OPERASI MATRIKS 23 Tambahkan persamaan ketiga dengan lima kali persamaan kedua: 2x z = y +z = z = cakul fi080 by khbasar; sem Bagi persamaan ketiga dengan 11: 2x z = 2 y +z = 2 z = Kurangi persamaan kedua dengan ketiga, kemudian hasilnya dikalikan dengan 1: 2x z = y = z = Tambahkan persamaan satu dengan persamaan tiga, kemudian hasilnya dibagi dengan dua: x = y = z = Dari tahapan tersebut akhirnya diperoleh nilai x, y dan z yang memenuhi persamaan linier di atas, yaitu x = 3, y = 1 dan z = 1. 2 Cara penyelesaian persamaan linier dengan mengaitkannya dalam bentuk matriks tersebut disebut metode reduksi baris atau dikenal juga sebagai eliminasi Gauss (Gaussian elimination. 2.6 Operasi Matriks Dua buah matriks dikatakan sama jika elemen-elemen pada posisi yang sama nilainya sama. Jadi jika matriks A = B, hal ini berarti bahwa a ij = b ij. Misalnya persamaan matriks berikut ini ( x r u y s v = ( maka berarti diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut x = 2;r = 1;u = ;y = 3;s = 7;v = 0

8 24 BAB 2. MATRIKS Penjumlahan dan Pengurangan Matriks yang dapat dijumlahkan atau dikurangi adalah matriks-matriks dengan ukuran yang sama. Penjumlahan atau pengurangan matriks secara sederhana adalah penjumlahan atau pengurangan elemen-elemen pada posisi yang sama. Artinya dapat dinyatakan C ij = (A+B ij = a ij +b ij (2.14 ( ( Misalkan A = dan B = maka hasil penjumlahan keduanya adalah A+B = sedangkan pengurangannya ( ( adalah A B = Perkalian dengan bilangan Bila suatu matriks dikalikan dengan bilangan, maka diperoleh matriks dengan ukuran yang sama. Komponen-komponen matriks asal dikalikan dengan bilangan skalar pengali tersebut Misalkan A = ( Perkalian Matriks (ca ij = ca ij (2.1 ( maka 2A = Ada dua macam perkalian matriks. Yang pertama yang lebih sering dijumpai disebut sebagai inner product dan yang kedua adalah direct product. Inner Product Dua buah matriks dapat dikalikan (inner product jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Matriks hasilnya mempunyai jumlah baris yang sama dengan jumlah baris matriks pertama dan mempunyai jumlah kolom yang sama dengan jumlah kolom matriks kedua. Misalnya matriks A = ( a b c d dan matriks B = ( e f g h maka hasil kali keduanya adalah ( ( a b e f AB = c d g h ( (2.16 ae+bg af +bh = ce+dg cf +dh

9 2.6. OPERASI MATRIKS 2 Secara umum AB tidak sama dengan BA, yang berarti perkalian matriks (inner product tidak bersifat komutatif. cakul fi080 by khbasar; sem Direct Product Direct product dikenal juga sebagai direct tensor atau Kronecker product. Jika A adalah matriks m m dan B adalah matriks n n, maka direct product antara keduanya dilambangkan dengan C = A B dengan C adalah matriks yang berukuran mn mn. Misalkan A dan B masing-masing adalah matriks 2 2 dengan A = ( a b c d dan B = ( e f g h, maka direct product antar keduanya adalah ( a b A B = c d = ( e f g h ae af be bf ag ah bg bh ce cf de df cg ch dg dh (2.17 Direct product akan banyak dijumpai dalam persoalan mekanika kuantum Invers Matriks Invers dari suatu matriks A dinyatakan dengan A 1, sedemikian sehingga bila matriks A dikalikan (inner product dengan inersnya atau sebaliknya maka hasilnya adalah matriks satuan atau matriks identitas AA 1 = A 1 A = 1 = I (2.18 Hanya matriks bujursangkar saja yang mempunyai invers, namun tidak semua matriks bujursangkar memiliki invers. Matriks yang memiliki invers dinamakan invertible, sedangkan yang tidak memiliki invers dinamakan singular. Invers dari suatu matriks dapat diperoleh dengan cara: A 1 = 1 deta CT (2.19 dengan C ij adalah cofactor dari a ij Misalkan suatu matriks A = dengan menggunakan persamaan 2.9 dapat diperoleh bahwa det A = 3. Kemudian cofactor dari setiap

10 26 BAB 2. MATRIKS elemen matriks A dapat diperoleh sebagai berikut: C 11 = = 6; C 12 = = 4; C 13 = = 3; C 21 = = 3; C 22 = = 3; C 23 = = 3; C 31 = = 3; C 32 = = 2; C 33 = = 3 maka diperoleh matriks C berbentuk C = Jadi invers dari matriks A adalah , kemudian C T = A 1 = 1 deta CT = (2.20 Dapat ditunjukkan bahwa AA 1 = A 1 A = I. Cara lainnya yang dapat digunakan adalah metode inversi Gauss-Jordan yang prinsipnya mirip dengan cara reduksi baris. Berikut akan diberikan contohnya. Tuliskan matriks A (sebelah kiri dan pasangannya (sebelah kanan yang berupa matriks identitas, pada akhir proses matriks sebelah kiri akan menjadi matriks identitas sementara matriks sebelah kanan menjadi A 1 : Kalikan tiap baris dengan bilangan tertentu agar didapat kolom pertama matriks sebelah kiri sama dengan 1:

11 2.7. MATRIKS TRANSFORMASI 27 baris kedua dan baris ketiga masing-masing dikurangi baris pertama: cakul fi080 by khbasar; sem Kalikan baris kedua dengan 2 3 : Tambahkan baris ketiga dengan tiga kali baris kedua: Tambahkan baris kedua dengan 2 kali baris ketiga: Tambahkan baris pertama dengan baris ketiga: Sehingga diperoleh bahwa A 1 = diperoleh sebelumnya sebagaimana yang telah 2.7 Matriks Transformasi Perhatikan persamaan linier berikut ini x = ax+by y = cx+dy (2.21

12 28 BAB 2. MATRIKS (x,y r r (x,y Gambar 2.1: Transformasi vektor r menjadi r seperti yang dinyatakan dengan persamaan dengan a, b, c dan d adalah bilangan. Persamaan tersebut menyatakan bahwa untuk setiap nilai x dan y, dapat diperoleh nilai pasangannya yaitu x dan y. Persamaan 2.21 tersebut dapat dituliskan dalam bentuk operasi matriks yaitu ( ( ( x a b x y = c d y (2.22 r = Mr ( a b dengan M = menyatakan matriks yang mengubah titik (atau vektor (x,y menjadi titik (atau vektor (x,y. Karenanya matriks M tersebut c d dinamakan matriks transformasi Transformasi vektor Persamaan 2.22 dapat diilustrasikan sebagaimana Gambar 2.1. Artinya persamaan 2.22 menggambarkan transformasi suatu vektor (dengan sistem koordinat yang tetap. Jika transformasi ini hanya merotasi vektor (panjang vektor tidak berubah dengan sudut rotasi sebesar θ, maka dapat dituliskan ( x y = ( cosθ sinθ sinθ cosθ ( x y (2.23

13 2.7. MATRIKS TRANSFORMASI 29 Y Y y A X y r = r x cakul fi080 by khbasar; sem Gambar 2.2: Transformasi sumbu koordinat(rotasi seperti yang dinyatakan dengan persamaan Rotasi sumbu koordinat 2 D Transformasi yang dinyatakan dengan persamaan 2.22 juga dapat dipandang sebagai transformasi sumbu koordinat (dengan vektor yang tetap sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 2.2. Pada Gambar 2.2, sumbu koordinat XY dirotasi sehingga menjadi sumbu koordinat baru X Y. Suatu titik A yang koordinatnya (x,y dalam sistem koordinat XY bila dinyatakan dalam sistem koordinat X Y koordinatnya menjadi (x,y. Posisi titik A dinyatakan dengan vektor r dalam sistem koordinatxy dandinyatakandenganvektorr dalamsistemkoordinatx Y. Dapat dinyatakan bahwa r = xi+yj dan r = x i +y j. Jika vektor-vektor satuan dalam arah sumbu X,Y,X dan Y berturutturut adalah i, j, i dan j serta sudut rotasi sumbu koordinat adalah θ, maka dapat dinyatakan x X x = r i = xcosθ+ysinθ y = r j = xsinθ+ycosθ sehingga dapat dituliskan dalam bentuk ( x y = ( cosθ sinθ sinθ cosθ ( x y (2.24

14 30 BAB 2. MATRIKS Dua contoh transformasi di atas yaitu yang dinyatakan dengan persamaan 2.23 dan persamaan 2.24 merupakan contoh yang disebut transformasi ortogonal karena kedua transformasi tersebut tidak mengubah panjang vektor. 2.8 Diagonalisasi Matriks Matriks diagonal adalah matriks bujursangkar yang elemen selaian pada diagonal utamanya sama dengan nol. Diagonalisasi matriks adalah proses membuat suatu matriks bujursangkar menjadi matriks diagonal Eigen Value Problem: Nilai Eigen dan Vektor Eigen Seringkali dijumpai persoalan fisis yang dinyatakan dengan persamaan berikut Mr = λr (2.2 dengan M adalah matriks bujursangkar dan r adalah suatu vektor sedangkan λ adalah bilangan. Persamaan 2.2 menggambarkan suatu vektor r yang ditransformasikan dengan matriks M dan hasilnya adalah suatu vektor baru yang dapat dinyatakan dengan suatu bilangan tertentu dikalikan dengan vektor asalnya. Artinya transformasi seperti ini membuat vektor r menjadi lebih panjang atau lebih pendek namun dengan arah yang tetap ataupun berlawanan. Dengan kata lain vektor baru sejajar dengan vektor asal. Persoalan yang dirumuskan dengan persamaan 2.2 tersebut dikenal sebagai Persoalan Nilai Eigen (Eigen Value Problem. Bilangan λ dikenal sebagai nilai eigen (eigen value sedangkan vektor r dinamakan vektor eigen (eigen vector dari matriks transformasi M. Berikut ini akan diuraikan cara untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu transformasi. Misalkan ( suatu transformasi yang dinyatakan 2 dengan matriks transformasi M =. Dengan transformasi ini ( 2 2 x suatu vektor yang dinyatakan dengan menjadi suatu vektor lain yaitu ( y x λ. Dengan notasi matriks, tranformasi tersebut dapat dinyatakan y sebagai berikut ( ( ( 2 x x = λ ( y y

15 2.8. DIAGONALISASI MATRIKS 31 Persamaan matriks tersebut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan linier menjadi x 2y = λx 2x+2y = λy (2.27 atau cakul fi080 by khbasar; sem ( λx 2y = 0 2x+(2 λy = 0 (2.28 dan bila disusun kembali dalam bentuk matriks ( ( λ 2 x = 0 ( λ y Persamaan tersebut adalah persamaan homogen yang solusinya dapat diperoleh (untuk x dan y selain 0 jika determinan matriksnya sama dengan 0. Dengan demikian berarti λ λ = 0 (2.30 Persamaan tersebut disebut persamaan karakteristik matriks M. Dengan demikian diperoleh persamaan kuadrat dalam λ yang memberikan ( λ(2 λ 4 = 0 λ 2 7λ+6 = 0 (2.31 λ = 1 atau λ = 6 (2.32 Kedua nilai λ yang diperoleh pada persamaan 2.32 adalah nilai eigen dari matriks M. Bila nilai eigen yang diperoleh tersebut disubstitusi ke persamaan 2.28 maka diperoleh untuk λ = 1 2x y = 0 untuk λ = 6 x+2y = 0 (2.33 Kembali ke ungkapan operasi matriks seperti yang dinyatakan dengan persamaan 2.2, vektor eigen yang berkaitan dengan matriks M adalah vektor r sedemikian sehingga hasil transformasinya menmberikan vektor yang sejajar dengan r. Untuk nilai eigen λ = 1 kondisi tersebut dipenuhi oleh

16 32 BAB 2. MATRIKS y 2x y=0 6r r r x x+2y=0 Gambar 2.3: Vektor-vektor eigen untuk matriks M. vektor yang dinyatakan dengan persamaan garis 2x y = 0 atau y = 2x. Vektor-vektor yang memenuhi syarat ini tak hingga banyaknya (misalnya adalah vektor i + 2j, vektor 2i + 4j, vektor i 2j dan sebagainya namun kesemuanya mempunyai vektor satuan yang dapat dinyatakan dengan ˆr 1 = 1 (i+2j. Untuknilaieigenλ = 6kondisitersebutdipenuhiolehvektor yang dinyatakan dengan persamaan garis x+2y = 0 atau y = 1 x, artinya 2 vektor satuannya adalah ˆr 2 = 1 ( 2i + j. Kedua vektor eigen tersebut ditunjukkan dalam Gambar 2.3. Terlihat bahwa dengan nilai eigen dan vektor eigen yang telah diperoleh maka persoalan nilai eigen untuk kasus ini dapat dinyatakan kembali yaitu (misalnya dengan mengambil vektor i+2j dan 2i+j: ( ( ( 1 2 = dan ( 2 = 1 ( 1 2 ( Proses diagonalisasi matriks ( 1 = 1 2 ( 2 = 6 1 Bila persamaan 2.28 dituliskan kembali dengan menggunakan kedua nilai eigen, masing-masingdihubungkandenganvariabel(x 1,y 1 dan(x 2,y 2 maka

17 2.8. DIAGONALISASI MATRIKS 33 diperoleh empat buah persamaan-persamaan berikut: x 1 2y 1 = x 1, x 2 2y 2 = 6x 2 2x 1 +2y 1 = y 1, 2x 2 +2y 2 = 6y 2 (2.34 cakul fi080 by khbasar; sem Keempat persamaan-persamaan tersebut dapat disusun dalam bentuk suatu perkalian matriks sebagai berikut ( ( ( ( 2 x1 x 2 x1 x = ( y 1 y 2 y 1 y (x 1,y 1 memenuhi persamaan 2x 1 y 1 = 0 dan (x 2,y 2 memenuhi persamaan x 2 +2y 2 = 0 sehingga dapat dinyatakan sehingga dapat dituliskan ( x 1 = 1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 = 1 (2.36 ( = M C = C D ( ( (2.37 terlihat bahwa matriks C adalah matriks yang dibentuk oleh vektor-vektor eigen dari matriks M sedangkan matriks D adalah matriks yang dibentuk oleh nilai-nilai eigen dari matriks M. Bila matriks C adalah invertible, maka dapat diperoleh inversnya sebagaimana yang telah diuraikan sebelumnya, sehingga diperoleh ( 1 C 1 = kemudian bila persamaan 2.37 dikalikan dengan C 1 maka diperoleh C 1 M C = C 1 C D = D (2.38 Persamaan 2.38 menunjukkan bahwa suatu transformasi tertentu mengubah matriks M menjadi suatu matriks diagonal. Transformasi tersebut direpresentasikan dengan matriks C yang ternyata berkaitan dengan vektor-vektor eigen dari matriks M. Proses tersebut dinamakan diagonalisasi matriks karena mentransformasikan suatu matriks menjadi berbentuk matriks diagonal. Dengan demikian proses diagonalisasi suatu matriks M dapat dirangkumkan sebagai berikut:

18 34 BAB 2. MATRIKS.. Y Y r=r R=R X θ X Gambar 2.4: Interpretasi matriks diagonal. Cari nilai-nilai eigen dan fungsi eigen matriks M Bentuk matriks C dari vektor-vektor eigen, ingat bahwa vektor-vektor tersebut perlu dinyatakan dalam bentuk vektor normal Cari invers dari matriks C Lakukan transformasi C 1 M C untuk memperoleh matriks diagonal yang diinginkan. Untuk memahami makna matriks D, perhatikan Gambar 2.4. Pada gambar tersebut sumbu koordinat XY dirotasi dengan sudut θ sehingga menjadi sumbu koordinat X Y. Vektor R dan r adalah dua vektor dalam sistem koordinat XY. Kedua vektor tersebut adalah R dan r bila dinyatakan dalam sistem koordinat X Y. Telah dijelaskan sebelumnya bahwa rotasi sumbu koordinat dapat dinyatakan menggunakan matriks transformasi. Dalam hal ini, suatu titik (x,y dalam sistem koordinat X Y bila dinyatakan dalam sistem koordinat XY adalah atau dapat dinyatakan x = x cosθ y sinθ y = x sinθ+y cosθ r = Cr, dengan C = ( cosθ sinθ sinθ cosθ (2.39 (2.40

19 2.8. DIAGONALISASI MATRIKS 3 Karena ungkapan tersebut berlaku untuk sembarang vektor lainnya, maka untuk R dapat pula dinyatakan dalam bentuk yang sama R = CR (2.41 Kemudian misalkan matriks M adalah menyatakan transformasi yang mengubah vektor r menjadi vektor R (ini merupakan transformasi dalam sistem koordinat XY, hal ini berarti cakul fi080 by khbasar; sem R = Mr (2.42 Dengan membandingkan kedua persamaan tersebut diperoleh CR = Mr = R = C 1 Mr = R = C 1 MCr (2.43 Hal ini berarti matriks C 1 M C mentransformasikan vektor r menjadi vektor R (dalam sistem koordinat X Y. Jika matriks D C 1 M C berbentuk matriks diagonal, hal ini berarti matriks C dibentuk dari vektor-vektor eigen matriks M sebagaimana yang telah ditunjukkan sebelumnya Aplikasi diagonalisasi matriks Sumbu utama suatu objek Suatu irisan kerucut dinyatakan dengan persamaan Ax 2 +2Hxy +By 2 = K dengan A, H, B dan K adalah konstanta. Bila disusun dalam bentuk perkalian matriks, persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi ( ( ( A H x x y = K H K y ( ( x x y M = K y Ingin ditentukan sumbu-sumbu utama irisan kerucut tersebut sedemikian sehingga persamaannya menjadi lebih sederhana. Hal ini dilakukan dengan mendiagonalisasi matriks M, dengan kata lain mencari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks M. Lebih spesifik, misalkan A, H, B dan K masing-masing adalah, 2, 2 dan 30, sehingga persamaan irisan kerucut yang ditinjau adalah x 2 4xy +2y 2 = 30

20 36 BAB 2. MATRIKS ( 2 yang berarti M =. Pada bagian terdahulu matriks ini telah 2 2 dicari nilai eigen dan vektor eigennya. Telah diperoleh bahwa C 1 M C = C 1 C D ( 1 0 = D = 0 6 Maka persamaan irisan kerucut tersebut bila dinyatakan relatif terhadap sumbu-sumbu utamanya adalah ( ( ( x y 1 0 x = x 2 +6y 2 = 30 ( Matriks C yang merupakan matriks ( vektor eigen yang berkaitan dengan 1 2 transformasi ini adalah C = y 2 1. Bila matriks ini dibandingkan dengan matriks rotasi sumbu koordinat (persamaan 2.24, maka dapat diperoleh ( 1 θ = arccos Hal ini berarti sumbu utama x y diperoleh dengan merotasi sumbu xy dengan sudut rotasi sebesar θ. Karakteristik vibrasi sistem pegas-massa Tinjau persoalan dinamika suatu sistem yang terdiri dari dua buah benda titik bermassa m dan tiga buah pegas identik dengan konstanta pegas k seperti yang digambarkan dalam Gambar 2.. Misalkan x dan y menyatakan posisi sesaat dari masing-masing benda titik relatif terhadap posisi setimbangnya. Energi potensial sistem ini adalah energi potensial pegas total, yaitu V = 1 2 kx (x y ky2 = k(x 2 xy +y 2 (2.4 Persamaan gerak benda dapat diperoleh dari turunan energi potensial tersebut (yang menyatakan gaya yang bekerja pada benda, yaitu F x = ma x = V x = 2kx+ky F y = ma y = V y = kx 2ky

21 2.8. DIAGONALISASI MATRIKS 37 cakul fi080 by khbasar; sem x Gambar 2.: Sistem tiga pegas dengan dua benda titik. Persamaan differensial tersebut mempunyai bentuk solusi berupa fungsi harmonik(lebih lengkap tentang solusi persamaan differensial akan dibahas pada BAB 8, dapat dituliskan kembali menjadi mω 2 x = 2kx+ky mω 2 y = kx 2ky Dalam notasi matriks, persamaan tersebut dituliskan sebagai ( x λ y = ( ( x y y,dengan λ = mω2 k yang merupakan persoalan nilai eigen (eigen value problem. Nilai eigen dari matriks yang bersangkutan adalah 2 λ λ = 0 = λ = 1 atau λ = 3 Dengan demikian diperoleh frekuensi modus normal sistem yaitu yang ber-

22 38 BAB 2. MATRIKS kaitan dengan nilai-nilai eigen tersebut, yaitu k λ = 1 ω 1 = m 3k λ = 3 ω 2 = m Vektor eigen yang berkaitan adalah untuk λ = 1 y = x untuk λ = 3 y = x Hal ini berarti pada frekuensi ω 1 (di mana diperoleh y = x, kedua benda bergerak osilasi dalam arah yang sama bersamaan (yaitu sama-sama ke kiri kemudian sama-sama ke kanan, sedangkan pada frekuensi ω 2 (di mana diperoleh y = x, simpangan kedua benda saling berlawanan (saat yang satu bergerak ke kiri yang lain bergerak ke kanan.

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS

Lebih terperinci

5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.

5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel. 1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y

Lebih terperinci

BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER

BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).

II. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world). 5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian

Lebih terperinci

03-Pemecahan Persamaan Linier (2)

03-Pemecahan Persamaan Linier (2) -Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS

Lebih terperinci

Matriks Jawab:

Matriks Jawab: Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan

Lebih terperinci

8 MATRIKS DAN DETERMINAN

8 MATRIKS DAN DETERMINAN 8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk

Lebih terperinci

Tujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse

Tujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam

Lebih terperinci

MATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =

MATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 = NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital

Lebih terperinci

MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI

MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI 214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar

Lebih terperinci

MATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.

MATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j. MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun

Lebih terperinci

Contoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan

Contoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks

Lebih terperinci

a11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.

a11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo

Lebih terperinci

Matriks. Matriks B A B. A. Pengertian Matriks. B. Operasi Hitung pada Matriks. C. Determinan dan Invers

Matriks. Matriks B A B. A. Pengertian Matriks. B. Operasi Hitung pada Matriks. C. Determinan dan Invers Matriks B B 3. Pengertian Matriks B. Operasi Hitung pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Sumber: www.smanela-bali.net Pernahkah kalian mengamati

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya

Lebih terperinci

Eigen value & Eigen vektor

Eigen value & Eigen vektor Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan

Lebih terperinci

MATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.

MATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama. MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)

Lebih terperinci

6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1

6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1 6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli

Lebih terperinci

Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3

Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3 Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung

Lebih terperinci

DIKTAT MATEMATIKA II

DIKTAT MATEMATIKA II DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang

Lebih terperinci

Matriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.

Matriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3. MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2 Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut

Lebih terperinci

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan

Lebih terperinci

MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )

MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 ) MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.

Lebih terperinci

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66 MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi

Lebih terperinci

Pertemuan 2 Matriks, part 2

Pertemuan 2 Matriks, part 2 Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen

Lebih terperinci

Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Ingat : Vektor dan Matriks Ortogonal vektor dan a dan b saling ortogonal jika a dan b saling ortonormal jika a dan b di normalisasi (normalized)

Lebih terperinci

MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR

MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.

Lebih terperinci

Operasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)

Operasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij) MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan

Lebih terperinci

02-Pemecahan Persamaan Linier (1)

02-Pemecahan Persamaan Linier (1) -Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:

Lebih terperinci

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak

Lebih terperinci

Materi Aljabar Linear Lanjut

Materi Aljabar Linear Lanjut Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan

Lebih terperinci

BAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :

BAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS : BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.

Lebih terperinci

MATRIKS Matematika Industri I

MATRIKS Matematika Industri I MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu

Lebih terperinci

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. . INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling

Lebih terperinci

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang

Lebih terperinci

MATRIKS Nuryanto, ST., MT.

MATRIKS Nuryanto, ST., MT. MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks

Lebih terperinci

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi

Lebih terperinci

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -

Lebih terperinci

Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik

Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,

Lebih terperinci

Part II SPL Homogen Matriks

Part II SPL Homogen Matriks Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a

Lebih terperinci

MATRIKS Matematika Industri I

MATRIKS Matematika Industri I MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau

BAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah

Lebih terperinci

MATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika

MATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan

Lebih terperinci

Fisika Matematika II 2011/2012

Fisika Matematika II 2011/2012 Fisika Matematika II 2/22 diterjemahkan dari: Mathematical Methods for Engineers and Scientists, 2, dan 3 K. T. Tang Penterjemah: Imamal Muttaqien dibantu oleh: Adam, Ma rifatush Sholiha, Nina Yunia, Yudi

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:

BAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut: BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang

Lebih terperinci

Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN

Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode CRAMER Aljabar Linier Hastha 2016 10. PERSAMAAN LINIER NONHOMOGEN 10.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor

Lebih terperinci

Bab 2 LANDASAN TEORI

Bab 2 LANDASAN TEORI 17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga

Lebih terperinci

BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS

LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel

Lebih terperinci

METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n

METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan

Lebih terperinci

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen

Lebih terperinci

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER

Lebih terperinci

M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR

M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: = BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam

Lebih terperinci

BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil

BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nn ke dalam hasil kali berbentuk PDP, di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5

Lebih terperinci

Pelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3

Pelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3 MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau

Lebih terperinci

MATEMATIKA. Sesi MATRIKS CONTOH SOAL A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS)

MATEMATIKA. Sesi MATRIKS CONTOH SOAL A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS) MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 10 Sesi N MATRIKS A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS) Masih ingat angka 1 kan, setiap bilangan yang dikali satu apakah berubah? Tentunya tidak. Matriks satuan

Lebih terperinci

Matematika Teknik INVERS MATRIKS

Matematika Teknik INVERS MATRIKS INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien

Lebih terperinci

MATRIK dan RUANG VEKTOR

MATRIK dan RUANG VEKTOR MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

ALJABAR LINEAR ELEMENTER BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.

Lebih terperinci

MATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.

MATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya

Lebih terperinci

SILABUS. Mengenal matriks persegi. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks. Mengenal invers matriks persegi.

SILABUS. Mengenal matriks persegi. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks. Mengenal invers matriks persegi. SILABUS Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMA NEGERI 2 LAHAT : MATEMATIKA : XII / IPA : GANJIL STANDAR KOMPETENSI: 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan

Lebih terperinci

DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS

DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks

Lebih terperinci

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Lebih terperinci

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar

BAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers

Lebih terperinci

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan

Lebih terperinci

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)

Lebih terperinci

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal 7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada

Lebih terperinci

dengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya

dengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya 1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan

Lebih terperinci

BAB 3 : INVERS MATRIKS

BAB 3 : INVERS MATRIKS BAB 3 : INVERS MATRIKS PEMBAGIAN MATRIKS DAN INVERS MATRIKS Pada aljabar biasa, bila terdapat hubungan antara 2 besaran a dengan x sedemikian sehingga ax1, maka dikatakan x adalah kebalikan dari a dan

Lebih terperinci

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga

Lebih terperinci

MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR

MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan

Lebih terperinci

1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.

1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom. Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain

Lebih terperinci

Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5

Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5 Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks

Lebih terperinci

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka

Lebih terperinci

Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks

Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks Pertemuan 4 Aljabar Linear & Matriks 1 Notasi : huruf besar tebal misalnya A, B, C Merupakan array dari bilangan, setiap bilangan disebut elemen matriks (entri matriks) Bentuk umum : m : jumlah baris (mendatar)

Lebih terperinci

Part III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti

Part III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)

Lebih terperinci

TUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi

TUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Sistem Persamaan Linier dan Matriks Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan

Lebih terperinci

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa definisi dan teorema dengan atau tanpa bukti yang akan digunakan untuk menentukan regularisasi sistem singular linier. Untuk itu akan diberikan terlebih

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A = NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah

Lebih terperinci

Bagian 2 Matriks dan Determinan

Bagian 2 Matriks dan Determinan Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika

Lebih terperinci

MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS

MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

Lebih terperinci

Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:

Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI 5 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dan bilanganbilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Berikut ini beberapa

Lebih terperinci

BAB 2 : DETERMINAN. 2. Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4}

BAB 2 : DETERMINAN. 2. Tentukan banyaknya permutasi dari himpunan bilangan bulat {1, 2, 3, 4} BAB 2 : DETERMINAN PERMUTASI Kita sudah cukup mengenal fungsi-fungsi sinus, fungsi kuadrat, juga fungsi konstant yang memetakan suatu bilangan riil ke bilangan riil. Pada bagian ini akan dipelajari mengenai

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan

Lebih terperinci