BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
|
|
- Sudomo Budiono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x 1 +a 2 x 2 +b=0 x 1 Persamaan diatas disebut persamaan linier karena pangkat-pangkat dari x1 dan x2 paling besar adalah 1, sedangkan persamaan x 1 2 +x 2-3=0 bukan persamaan linier. Dalam ruang dimensi 3, persamaan linier dalam x1, x2, dan x3 berbentuk a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +b=0. Oleh karena itu persamaan linier dalam ruang dimensi n dapat dinyatakan dalam bentuk a 1 x 1 + a 2 x 2.+a n x n +b=b n. Pandang contoh sederhana : 1. Persamaan x1+x2=1 x 2 (0,1) x 1+x 2=1 (1,0) x 2 Titik x 1 =1 dan x 2 =0 adalah penyelesaian persamaan garis di atas karena nilai x 1 dan x 2 jika kita subtitusikan ke dalam persamaan x 1 +x 2 =1 akan diperoleh 1+0=1. Demikian juga jika nilai x 1 dan x 2 kita ubah menjadi x 1 =0 dan x 2 =1 juga merupakan penyelesaian dari persamaan diatas. 2. Diketahui garis -x 1+x 2=1 (0,1) x 1+x 2=1 (-1,0) (1,0) Maka penyelesaian persamaan dari persamaan garis diatas menjadi x 1 +x 2 =1 Subtitusi x 2 =1 ke salah satu persamaan, misal x 1 +x 2 =1 -x 1 +x 2 =1 + x 1 +1=1, maka x 1 =0 0+2x 2 =2 x 2 =1 Perhatikan bahwa x 1 =0 dan x 2 =1 adalah satu-satunya penyelesaian.
2 3. Misalnya diketahui persamaan 2x+3y+z=5 maka solusi persamaannya bisa x=0, y=1, dan z=2 karena nilai-nilai tersebut jika disubtitusikan ke persamaan 2x+3y+z=5 menjadi =5. Tetapi nilai-nilai tersebut bukan satu-satunya solusi. Misalnya saja kita ambil x=0, y=0, dan z=5 sehingga =5 juga merupakan solusi dari persamaan 2x+3y+z=5 dan masih ada solusi yang lain. Ini berarti sistem persamaan tersebut mempunyai tidak terhingga banyak penyelesaian. 4. Jika terdapat 2 persamaan yaitu x 1 +x 2 =1 dan x 1 +x 2 =2, maka untuk mencari nilai x 1 dan x 2 x 1 +x 2 =1 x 1 +x 2 =2 0+0 = -1 tidak mungkin berarti tidak ada x 1 dan x 2 yang memenuhi penyelesaian sistem persamaan linier tersebut. Dari contoh-contoh diatas dapat kita lihat bahwa sistem persamaan linier dalam dimensi 2 mempunyai beberapa alternatif penyelesaian, yaitu: 1. Mempunyai penyelesaian tunggal. 2. Mempunyai banyak penyelesaian. 3. Tidak mempunyai penyelesaian. 4.2 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Bentuk umum persamaan linier a 11 x 1 + a 12 x 2.+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2.+a 2n x n =b 2 a 21 x 1 + a 32 x 2.+a 3n x n =b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2.+a mn x n =b m a ij dan b i masing-masing merupakan koefisien-koefisien dan konstanta persamaan linier tersebut. Persamaan-persamaan linier di atas dapat diungkapkan dalam bentuk matriks AUGMENTED yaitu matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien x. a 11 a 12.a 1n x 1 b 1 a 21 a 22.a 2n.. x 2 = b 2 a m1 a m2...a mn x n b m [A] [x] [b] [A] adalah matriks berorde (m,n), [x] adalah matriks berorde (n,1), dan [b] adalah matriks berorde (m,1). Bentuk matriks lengkapnya : a 11 a 12.a 1n b 1 a 21 a 22.a 2n b a m1 a m2...a mn b m
3 Ada 2 yang dapat dijumpai pada persamaan di atas 1. m n (banyaknya variabel dan banyaknya persamaan tidak sama). 2. m=n (banyaknya variabel dan banyaknya persamaan sama). Pada pembahasan kali ini akan dibicarakan hal yang kedua saja yaitu jika m=n yaitu persamaan yang berbentuk matriks bujursangkar. Penyelesaian persamaan linier tidak lain adalah mencari harga variabelvariabelnya. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan SPL antara lain : 1. Aturan Cramer 2. Metode Invers Matriks 3. Eliminasi Gauss 4. Metode Eliminasi Gauss Jordan 5. Metode Faktorisasi LU ATURAN CRAMER Apabila [A][X]=[B] maka nilai x dapat dicari dengan x k = A k A Dimana A k adalah harga determinan unsur-unsur matriks bujursangkar [A] dengan kolom ke k diganti unsur-unsurnya oleh unsur-unsur [B]. A adalah harga determinan matriks-matriks bujursangkar [A]. Misal diketahui persamaan a 11 x 1 + a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +a 23 x 3 =b 2 a 21 x 1 + a 32 x 2 +a 33 x 3 =b 3 Untuk mencari nilai x1, x2, x3 maka terlebih dahulu dicari A dan A k. a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 A = = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 -a 13 a 22 a 31 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 -a 11 a 23 a 32 -a 12 a 21 a 33 A k yaitu mencari determinan kolom ke k=(1,2,3) b 1 a 12 a 13 a 11 b 1 a 13 a 11 a 12 b 1 b 2 a 22 a 23 A 1 = A 2 = A 3 = b 3 a 32 a 33 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 a 33 a 21 a 22 b 2 a 31 a 32 b 3 Sehingga x 1 = A 1 A x 2 = A 2 A x 3 = A 3 A Contoh : 1. Diketahui persamaan 3x+2y=5 dan x+y=2. Carilah nilai x dan y.
4 Penyelesaian Persamaan diatas jika diubah dalam bentuk matriks menjadi 3 2 x 1 1 y = Mencari determinan matriks A 3 2 A = = =1 1 1 Mencari determinan matriks A k 5 2 A 1 = = = A 2 = = = Mencari nilai x dan y A 1 1 x 1 = = = 1 A 1 A 2 1 x 2 = = = 1 A 1 2. Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui persamaan sebagai berikut. 2x+y+z=4 x-2y-z=-4 x+y+2z=4 Sebelum dilanjutkan pembahasan penyelesaian persamaan linier terlebih dahulu akan dibicarakan sekilas tentang OPERASI BARIS ELEMENTER. Meskipun dalam pembahasan lalu telah disinggung sedikit penggunaannya untuk menghitung invers matriks dengan transformasi elementer. OPERASI BARIS ELEMENTER Terdapat tiga buah operasi yang dapat dilakukan terhadap suatu sistem persamaan linier tanpa mengubah penyelesaian yang sebenarnya yaitu : 1. Menukar urutan persamaan. 2. Perkalian suatu persamaan dengan bilangan tidak nol 3. Mengganti suatu persamaan dengan menjumlahkan persamaan tersebut dengan kelipatan persamaan lainnya. Ketiga operasi tersebut dapat dikenakan pada matriks-matriks lengkap dan disebut dengan OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE). Operasi Baris Elementer pada suatu matriks OPERASI 1. Menukarkan baris ke-i dengan baris ke-j. 2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta c ( 0) 3. Penggantian baris ke-i tersebut dengan kelipatan baris yang lain. NOTASI R i R j cr j R i + cr j
5 Dengan menggunakan OBE, matriks lengkap diubah menjadi suatu matriks dari suatu sistem persamaan linier yang mudah dicari penyelesaiannya. Matriks yang memenuhi sifat demikian dinamakan MATRIKS ESELON. Suatu matriks disebut matriks eselon jika memenuhi 2 sifat berikut : 1. Jika terdapat baris yang seluruh elemennya nol, maka baris tersebut harus diletakkan di bawah baris yang memuat elemen tidak nol. 2. Pada baris yang memuat elemen tak nol, elemen tak nol pertama harus terletak pada sebelah kanan elemen tak nol pertama baris sebelumnya (Elemen tak nol pertama ini disebut dengan ELEMEN UTAMA) METODE ELIMINASI GAUSS Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat matriks berorde (n, n+1) dimana matriks baru tersebut dikenai transformasi elementer berdasarkan baris secara berkalikali sehingga diperoleh matriks [A] menjadi matriks segitiga atas yang diagonal utama elemennya bernilai 1. Metode penyelesain SPL dengan menggunakan metode Eliminasi Gauss. 1. Membentuk matriks lengkap SPL. 2. Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon denagn sejumlah OBE. 3. Mendapat jawaban SPL. Misalnya diketahui sebuah persamaan a 11 x 1 + a 12 x 2 +a 13 x 3 =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +a 23 x 3 =b 2 a 21 x 1 + a 32 x 2 +a 33 x 3 =b 3 Matriks awal a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 x 1 x 2 = b 1 b 2 a 31 a 32 a 33 x 3 b 3 Matriks lengkap SPL a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 b 2 a 31 a 32 a 33 b 3 Matriks lengkap tsb dikenai OBE sehingga membentuk matriks eselon. 1 a 12 a 13 b 1 Nilai 1 pada diagonal utama adalah variabel x-nya 0 1 a sehingga diperoleh x 3 = b 3 23 b 2 x 2 + a 23 x 3 =b 2 x 2 =b 2 - a 23 x b 3 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 =b 1 x 1 = b 1 -a 12 x 2 - a 13 x 3
6 Contoh : Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : x 1 +x 2 +x 3 =6 x 1 +2x 2 -x 3 =2 2x 1 +x 2 +2x 3 =10 Akan dicari solusi untuk x 1, x 2, dan x 3 Penyelesaian 1. Matriks lengkap SPL nya Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon dengan OBE Mengubah elemen a 11 =1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan lagi) dan megubah a 21 dan a 31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer. basis b( )+b2 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(-2)+2= (-1)+2=1 1(-2)+1=-1 1(-1)+(-1)=-2 1(-2)+2=0 6(-1)+2=-4 6(-2)+10= Mengubah a 22 =1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi) dan mengubah a 32 =-1 menjadi 0. Baris 2 menjadi basis, baris 3 dikenai transformasi elementer basis b( )+b3 1(1)+(-1)=0-2(1)+0=-2-4(1)+(-2)=-6 Mengubah a 33 =2 menjadi 1 (dikalikan -1/2) maka a 13 =-6 juga dikalikan -½
7 Mendapat jawaban SPL Maka x 3 =3 x 2 =b 2 - a 23 x 3 x 2 = -4 2.(3)=2 x 1 = b 1 -a 12 x 2 - a 13 x 3 x1= (3) = METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN Metode ini merupakan perluasan dari metode Gauss, hanya saja matriks baru dikenai OBE berkali-kali sehingga matriks A menjadi matriks satuan I. Bentuk umumnya : a 11 a 12 a 13 b 1 a 21 a 22 a 23 b 2 a 31 a 32 a 33 b b 1 x 3 = b b 2 x 2 = b b 3 x 1 = b 1 Contoh : Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : x 1 +x 2 +x 3 =6 x 1 +2x 2 -x 3 =2 2x 1 +x 2 +2x 3 =10 Akan dicari solusi untuk x 1, x 2, dan x 3 Penyelesaian 1. Matriks lengkap SPL nya Mengubah matriks lengkap menjadi matriks eselon dengan OBE Mengubah elemen a 11 =1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tiidak perlu dikalikan lagi) dan megubah a 21 dan a 31 menjadi 0. baris 1 menjadi basis baris 1 dan 2 dikenai transformasi elementer. basis b( )+b2 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(-2)+2= (-1)+2=1 1(-2)+1=-1 1(-1)+(-1)=-2 1(-2)+2=0 6(-1)+2=-4 6(-2)+10= Mengubah a 12 =1 dan a 32 =-1 menjadi 0, baris 2 menjadi basis. b( )+b1 b( )+b3 1(-1)+1=0 1(1)+(-1)=0 basis -2(-1)+1=3-2(1)+0= (-1)+6=10-4(1)+(-2)=-6
8 Mengubah a 33 =-2 menjadi 1 (dikalikan -1/2) maka a 13 =-6 juga dikalikan -½ Mengubah a 13 =3 dan a 23 =-2 menjadi 0, baris 3 menjadi basis b( )+b1 b( )+b2 1(-3)+3=0 1(2)+(-2)=0 3(-3)+10=1 3(2)+(-4)= basis Mendapat jawaban SPL Maka x 3 =3 x 2 = 2 x 1 = METODE FAKTORISASI LU Dengan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan, suatu SPL dapat dipecahkan dengan mengoperasikan matriks yang diperbesar secara sistematis. Pendekatan yang dipakai pada metode LU didasarkan atas pemfaktoran matriks koefisien ke dalam hasil kali matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Metode ini sangat bermanfaat untuk komputer digital dan merupakan basis untuk banyak pemrograman komputer praktis. SPL dapat dipecahkan sebagai berikut : 1. Tulis kembali sistem [A][x]=[b] sebagai Lux=b dimana L adalah matriks segitiga bawah dan U adalah matriks segitiga atas. 2. Definisikan matriks baru y yang berukuran nx1 dengan Ux=y. 3. Gunakan Ux=y untuk menulis kembali Lux=b dan pecahkan ini untuk mencari y. 4. Subtitusikan y dan pecahkan untuk mencari nilai x. [A][x]=[b] Ly=b, Ux=y
9 Langkah-langkah pemfaktoran A=LU 1. Reduksi A dengan transformasi elemnter ke dalam bentuk U matriks segitiga atas dan mencari jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama dan 0 di bawah diagonal utama Kedudukan sepanjang diagonal utm matriks L, tempatkan bilangan pengali yang saling berkebalikan dari hasil pembentukan matriks U. 3. Kedudukan di bawah diagonal utama matriks L, tempatkan bilangn negatif pengali yang digunakan untuk menge-nol-kan matriks U. 4. Bentuk dekomposisi A=LU Contoh : Diketahui sistem persamaan linier sebagai berikut : 2x 1 +6x 2 +2x 3 =2-3x 1-8x 2 =2 4x 1 +9x 2 +2x 3 =3 Carilah solusi untuk x 1, x 2, dan x 3 dengan menggunakan faktorisasi LU Penyelesaian 1. Matriks SPL nya Menyusun matriks U yaitu matriks segitiga atas Mengubah a 11 =2 menjadi 1 (dikali ½). Semua baris 1 dikali ½ (dikali ½) menjadi Mengubah a 21 =-3 dan a 41 =4 menjadi 0. Baris 1 menjadi basis. Baris 2 dan 3 dikenai OBE. Basis b( )+b2 b( )+b2 1(3)+(-3)=0 1(-4)+4= (3)+(-8)=1 3(-4)+9=-3 1(3)+0=3 1(-4)+2= Mengubah a 22 =1 menjadi 1 (karena sudah 1 maka tidak perlu dikalikan lagi) dan mengubah a 32 =-3 menjadi 0. Baris 2 jadi basis dan baris 3 dikenai OBE Basis b( )+b3 1(3)+(-3)=0 3(3)+(-2)=
10 Mengubah a 33 =7 menjadi 1 (dikali 1/7). 3. Menyusun matriks L yaitu matriks segitiga bawah Mencari jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama yaitu Pengali untuk a 11 adalah ½ Pengali untuk a 22 adalah 1 Pengali untuk a 33 adalah 1/7 Mencari jejak pengali untuk nilai 0 di bawah diagonal utama 1. Pengali untuk a 21 adalah 3 Pengali untuk a 31 adalah -4 Pengali untuk a 32 adalah 3 Tempatkan jejak pengali untuk nilai 1 pada diagonal utama yaitu ½, 1, dan 1/7 sepanjang diagonal utama matriks segitiga bawah L tetapi nilainya berkebalikan Tempatkan jejak pengali untuk nilai 0 yaitu 3, -4, dan 3 dibawah diagonal utama matriks segitiga bawah L dan kalikan dengan (-1) Mencari nilai x dan y, terlebih dahulu mencari nilai y karena [U][x]=[y] sedangkan [L][y]=[b] Mencari nilai y [L][y]=[b] y 1 2 2y 1 =2 y 1 = y 2 y 3 = 2 3-3y 1 +1y 2 =2-3.1+y 2 =2 y 2 =5 4y 1 +(-3)y 2 +7y 3 =3 4.1+(-3).5+7.y 3 =3 7y 3 =14 y 3 =2 Mencari nilai x [U][x]=[y] x 1 x 2 x 3 1 x 3 =2 = 5 2 x 2 +3x 3 =5 x =5 x 2 =-1 1x 1 +3x 2 +1x 3 =1 x 1 +3.(-1)+2=1 x 1 =2 4.3 PENYELESAIAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier [A][x]=[b] dengan koefisien matriks A yang sama tetapi matriks kolom b berbeda. Misalnya suatu SPL mempunyai persamaan sebagai berikut :
11 [A][x]=[p], [A][x]=[q] dan [A][x]=[r] maka untuk lebih efisien penyelesaiannya dengan satu matriks A augmented dan 3 vektor kolom b atau diselesaikan secara simultan dengan menggunakan eliminasi Gauss- Jordan. [A p q r] menjadi [I p q r ] maka [x]=[p ], [y]=[q ], dan [z]=[r ] Contoh :Diketahui persamaan 2x 1-4x 2 =10 2y 1-4y 2 =10 x 1-3x 2 + x 4 =-4 Dan y 1-3y 2 + y 4 =-4 x 1 -x 3 +2x 4 = 4 y 1 -y 3 +2y 4 = 4 3x 1-4x 2 +3x 3 - x 4 =-11 3y 1-4y 2 +3y 3 - y 4 = PERSAMAAN LINIER HOMOGEN Suatu persamaan linier dikatakan homogen jika koefisien matriks b adalah 0 yaitu jika mempunyai bentuk umum : a 11 x 1 + a 12 x 2.+a 1n x n =0 a 21 x 1 + a 22 x 2.+a 2n x n =0 a 21 x 1 + a 32 x 2.+a 3n x n =0 a m1 x 1 + a m2 x 2.+a mn x n =0 mempelajari sistem yang homogen mempunyai banyak keuntungan dalam mempelajari sistem yang aslinya. Istem non homogen dimungkinkan tidak konsisten, namun sistem yang homogen selalu konsisten karena selalu mempunyai penyelesaian minimal satu yaitu vektor nol, yang bisa disebut dengan penyelesaian TRIVIAL (TRIVIAL SOLUTION), yaitu penyelesaian berbentuk x1=0, x2=0,.., xn=0. sedangkan jika ada penyelesaian lain dinamakan dengan penyelesaian NON TRIVIAL. Jadi sistem persamaan linier homogen mempunyai dua kemungkinan yaitu : 1. Mempunyai penyelesaian TRIVIAL 2. Mempunyai penyelesaian BANYAK
Pertemuan 14. persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 14 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode GAUSS Aljabar Linier Hastha 2016 10.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat
Lebih terperinciPertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 13 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode CRAMER Aljabar Linier Hastha 2016 10. PERSAMAAN LINIER NONHOMOGEN 10.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Persamaan Linear Pengertian Persamaan linear adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut. + + + Di mana:,,,, dan adalah konstanta-konstanta riil.,,,, adalah bilangan
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 4
Aljabar Linear & Matriks Pert. 4 Evangs Mailoa Sistem Persamaan Linier & Matriks 1. Matriks dan Operasi Matriks 2. Pengantar Sistem Persamaan Linier 3. Eliminasi Gaus 4. Invers: Aturan Aritmatika Matriks
Lebih terperincidimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Lebih terperinciDalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Sebagian besar dari sejarah ilmu pengetahuan alam adalah catatan dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang dapat menguraikan permasalahan
Lebih terperinciSILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN MATEMATIKA MINGGU KE SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304 POKOK & SUB POKOK TUJUAN INSTRUKSIONAL TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciBAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER 10.1 Definisi Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai derajad satu. Sebagai contoh persamaan
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciSebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.
. INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling
Lebih terperinciCourse of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung
Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan
Lebih terperinciOperasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan
Lebih terperinciBAB 3 : INVERS MATRIKS
BAB 3 : INVERS MATRIKS PEMBAGIAN MATRIKS DAN INVERS MATRIKS Pada aljabar biasa, bila terdapat hubungan antara 2 besaran a dengan x sedemikian sehingga ax1, maka dikatakan x adalah kebalikan dari a dan
Lebih terperinciModul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Lebih terperinciMODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
Lebih terperinci03-Pemecahan Persamaan Linier (2)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciMatematika Teknik DETERMINAN
DETERMINN da satu cara lagi dalam menentukan solusi SPL dengan bekerja pada matriks koefisiennya. Cara berikut hanya akan berlaku untuk matriks koefiien berupa matriks bujursangkar atau SPL mempunyai banyak
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciMatriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A =
Bab 2 cakul fi080 by khbasar; sem1 2010-2011 Matriks Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier. Matriks merupakan representasi
Lebih terperinciAdri Priadana. ilkomadri.com
Adri Priadana ilkomadri.com Pengertian Sistem Persamaan Linier Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan bentuk umum a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b yang tidak melibatkan hasil kali, akar, pangkat
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
Lebih terperinciSecara umum persamaan linear untuk n peubah x 1, x 2,, x n dapatdinyatakandalambentuk: dimanaa 1, a 2,, a n danbadalahkonstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnyatidakmemuateksponensial, trigonometri(sepertisin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan linear
Lebih terperinciALJABAR VEKTOR MATRIKS. oleh: Yeni Susanti
ALJABAR VEKTOR MATRIKS oleh: Yeni Susanti Materi SPL : Definisi, Solusi, SPL Nonhomogen, SPL Homogen, Matriks Augmented, Bentuk Eselon Baris (Bentuk Eselon baris Tereduksi), Eliminasi Gauss (Eliminasi
Lebih terperinciPenyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciKeunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi
Keunggulan Penyelesaian Persamaan Linear dengan Metode Dekomposisi LU dalam Komputerisasi Elvina Riama K. Situmorang 55) Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi
Lebih terperinciBab 7 Sistem Pesamaan Linier. Oleh : Devie Rosa Anamisa
Bab 7 Sistem Pesamaan Linier Oleh : Devie Rosa Anamisa Pendahuluan Bentuk umum dari aljabar linier sebagai berikut: a11x1 + a12a 12X2 +... + a1na 1nXn = b1b a21x1 + a22a 22X2 +... + a2na 2nXn = b2b...............
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinci3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE
3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 10 Oktober 2016 Selain metode Sarrus dan Minor-Kofaktor, ada satu metode lain yang dapat
Lebih terperinciPAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier
PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2016/2017 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciBentuk umum : SPL. Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN. Tidak mempunyai penyelesaian disebut TIDAK KONSISTEN TUNGGAL BANYAK
Bentuk umum : dimana x, x,..., x n variabel tak diketahui, a ij, b i, i =,,..., m; j =,,..., n bil. diketahui. Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel. SPL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN
Lebih terperinciSolusi Sistem Persamaan Linear Ax = b
Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b Kie Van Ivanky Saputra April 27, 2009 K V I Saputra (Analisis Numerik) Kuliah Sistem Persamaan Linier c April 27, 2009 1 / 9 Review 1 Substitusi mundur pada sistem
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciSistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE
Sistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 12 November 2016 Sistem Persamaan Linear (SPL) Homogen yang akan dibahas kali
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 1 Matriks dan Operasinya MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks Jenis-jenis Matriks Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan)
Lebih terperinciSolusi Persamaan Linier Simultan
Solusi Persamaan Linier Simultan Obyektif : 1. Mengerti penggunaan solusi persamaan linier 2. Mengerti metode eliminasi gauss. 3. Mampu menggunakan metode eliminasi gauss untuk mencari solusi 1. Sistem
Lebih terperinciALJABAR LINIER. Kelas B JUMAT Ruang i.iii.3. Kelas A JUMAT Ruang i.iii.3
ALJABAR LINIER ALJABAR LINIER Kelas B JUMAT 08.00 Ruang i.iii.3 Kelas A JUMAT 09.45 Ruang i.iii.3 Referensi Utama: Elementary Linear Algebra Howard Anton Chris Rores John Wiley, ninth edition Chapter 1
Lebih terperinciMATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT 304
MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT 304 Deskripsi: Perkuliahan ini bertujuan mengembangkan kemampuan mahasiswa memahami konsep-konsep dasar Aljabar Matriks sebagai bekal untuk mengajar matematika
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier FTI-UY
BAB V Sistem Persamaan Linier Salah satu hal penting dalam aljabar linear dan dalam banak masalah matematika terapan adalah menelesaikan suatu sistem persamaan linear. Representasi Sistem Persamaan Linear
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciOperasi Eliminasi Gauss. Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam
Operasi Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Suatu matriks A C m n dikatakan memiliki faktorisasi LU jika matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai A = LU dengan L C m m matriks invertibel segitiga bawah
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINIER
2 SISTEM PERSAMAAN LINIER Ëistem persamaan linier merupakan salah satu model dan masalah matematika yang banyak dijumpai di dalam berbagai disiplin, termasuk matematika, statistika, fisika, biologi, ilmu-ilmu
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciPERBANDINGAN KOMPLEKSITAS ALGORITMA METODE-METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LANJAR
PERBANDINGAN KOMPLEKSITAS ALGORITMA METODE-METODE PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LANJAR Achmad Dimas Noorcahyo NIM 3508076 Program Studi Teknik Informatika, Institut Teknologi Bandung Jalan Ganeca 0, Bandung
Lebih terperinciBAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil
BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nn ke dalam hasil kali berbentuk PDP, di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MUG1E3 3 SKS
// ljabar Linear Elementer MUGE SKS // 9:7 Jadwal Kuliah Hari I Selasa, jam. Hari II Kamis, jam. Sistem Penilaian UTS % US % Quis % // 9:7 M- ljabar Linear // Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinciBAB II DASAR DASAR TEORI
BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian
Lebih terperinciALJABAR LINEAR [LATIHAN!]
Pada dasarnya cara yang digunakan untuk memperoleh penyelesaian sistem persamaan linear adalah sama yaitu mengubah sistem persamaan linear menjadi matriks yang diperbesar, kemudian mengubah matriks yang
Lebih terperinciPenyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan Dekomposisi QR
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) Dengan Dekomposisi QR Shelvia Mandasari #1 M Subhan *2 Meira Parma Dewi *3 # Student of Mathematics Department State University of Padang Indonesia * Lecturers
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciM AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperinciPenerapan Sistem Persamaan Lanjar dalam Penyetaraan Reaksi Kimia
Penerapan Sistem Persamaan Lanjar dalam Penyetaraan Reaksi Kimia Nugroho Satriyanto 1351038 Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
Lebih terperinciPENERAPAN METODE NUMERIK PADA PERAMALAN UNTUK MENGHITUNG KOOEFISIEN-KOEFISIEN PADA GARIS REGRESI LINIER BERGANDA
PENERAPAN METODE NUMERIK PADA PERAMALAN UNTUK MENGHITUNG KOOEFISIEN-KOEFISIEN PADA GARIS REGRESI LINIER BERGANDA Yuniarsi Rahayu, S.Si, M.Kom Program Studi Teknik Informatika, Fakultas Ilmu Komputer Universitas
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciAplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher
Aplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher Nursyahrina - 13513060 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl.
Lebih terperinciALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 313 322. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 2
Aljabar Linier & Matriks Tatap Muka 2 Matriks Matriks adalah susunan segi empat siku siku dari bilangan yang dibatasi dengan tanda kurung siku. Suatu matriks tersusun atas baris dan kolom, jika matriks
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciBAB III : SISTEM PERSAMAAN LINIER
3.1 PENDAHULUAN BAB III : SISTEM PERSAMAAN LINIER Penyelesaian suatu sistem n persamaan dengan n bilangan tak diketahui banyak dijumpai dalam permasalahan teknik. Di dalam Bab ini akan dipelajari sistem
Lebih terperinci4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
4. SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 4.1 Persamaan Garis a. Bentuk umum persamaan garis Garis lurus yang biasa disebut garis merupakan kurva yang paling sederhana dari semua kurva. Misalnya titik A(2,1)
Lebih terperincibilqis 1
http://ariefhidayathlc.wordpress.com/ http://www.kompasiana.com/ariefhidayatpwt http://ariefhidayat88.forummi.com/ bilqis PERTEMUAN bilqis TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini
Lebih terperinciAljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER INTERVAL DENGAN METODE DEKOMPOSISI TUGAS AKHIR. Oleh : YULIA DEPEGA
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER INTERVAL DENGAN METODE DEKOMPOSISI TUGAS AKHIR Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Pada Jurusan Matematika Oleh : YULIA DEPEGA 18543936
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
Lebih terperinci