BAB 2. DETERMINAN MATRIKS

Transkripsi

1 BAB. DETERMINAN MATRIKS

2 DETERMINAN MATRIKS

3 . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian hasilnya dijumlahkan. A = a a a a Det(A) = a a a a Bagaimana menentukan tanda + dan tiap suku?

4 DETERMINAN MATRIKS Orde x

5 DETERMINAN MATRIKS Orde x. Metode Sarrus. Row Reduction Method. Metode Ekspansi Kofaktor DETERMINAN MATRIKS Orde >x. Row Reduction Method. Metode Ekspansi Kofaktor

6 Metode Sarrus

7 Metode Sarrus

8 Row Reduction Method Row Reduction Method dapat dilakukan untuk menghitung determinan dengan memperhatikan sifat-sifat determinan.

9 SIFAT-SIFAT DETERMINAN. Determinan dari matriks dan transposenya adalah sama; A T = A A = 7 = 6 A T = 7 = 6 Akibatnya : semua sifat determinan berlaku secara baris / dan secara kolom.. Matriks persegi yang mempunyai baris (kolom) nol, determinannya nol (). det(b) = = det() = 6 =

10 SIFAT-SIFAT DETERMINAN. Determinan dari suatu matriks persegi A yang salah satu baris (kolom) dikalikan dengan skalar k, maka determinannya berubah menjadi k A A = Jika baris kedua = = 7 A dikalikan dengan 7 8 A = Akibat sifat ini : 8 = 7 = 7 () = Suatu determinan jika salah satu baris (kolom) mempunyai faktor yang sama, maka sudah dapat difaktorkan. 6 = 8 =

11 SIFAT-SIFAT DETERMINAN. Determinan suatu matriks yang salah satu baris (kolom) nya ditukar dengan baris (kolom) yang lain, maka nilai determinan matriks tersebut berubah menjadi negatip determinan semula. 7 Baris pertama ditukar baris kedua 7 =. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua baris (kolom) yang sama adalah sama dengan (nol). 7 7 = =

12 6. Determinan dari suatu matriks persegi yang salah satu barisnya (kolomnya)merupakan kelipatan dari baris (kolom) yang lain adalah sama dengan (nol). B = 6 SIFAT-SIFAT DETERMINAN Karena kolom ke dua kelipatan kolom ke empat, B = 7. Determinan dari matriks persegi A = (a ij ) berdimensi n yang baris ke -i (kolom ke-j) terdiri dari elemen-elemen yang dapat diuraikan menjadi dua suku binomium, maka determinannya sama dengan determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku binomium yang pertama ditambah determinan A yang baris ke-i (kolom ke-j) diganti dengan suku yang kedua. 8 6 = =

13 8. Determinan suatu matriks persegi tidak berubah nilainya jika salah satu baris (kolom) ditambah dengan kelipatan baris (kolom) yang lain. Jika Jika k SIFAT-SIFAT DETERMINAN k b b Sifat ke 8 ini sering dipakai untuk menyederhanakan baris (kolom), sebelum menghitung nilai determinan. Determinan dari matriks segitiga adalah sama dengan produk (hasil kali) elemen-elemen diagonalnya. 7 = ()(-)() = - = (-)(-)()() =

14 Row Reduction Method

15 ontoh : Gunakan sifat determinan untuk menghitung : b + b b b b + b = ()(-)() = - Petunjuk umum : Gunakan sifat ke 8, untuk mereduksi matriks menjadi matriks segitiga; kemudian gunakan sifat ke Row Reduction Method

16 Row Reduction Method

17 Hitunglah Determinan matriks berikut dengan metode Sarrus dan Row Reduction Method

18 Metode EKSPANSI KOFAKTOR

19 Metode EKSPANSI KOFAKTOR Misalkan A a a a : n a a a n... a... a... a n n : : nn Beberapa definisi yang perlu diketahui : M ij disebut Minor- ij yaitu determinan matriks A dengan menghilangkan baris ke_i dan kolom ke-j matriks A. ontoh : A maka M

20 Metode EKSPANSI KOFAKTOR

21 Metode EKSPANSI KOFAKTOR ij Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-) i+j M ij ontoh : A maka = ( ). =

22 Secara umum, cara menghitung determinan dengan ekspansi kofaktor : Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i det (A) = a i i + a i i a in in Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j det (A) = a ij j + a j j a nj jn ontoh 6 : Hitunglah Det(A) dengan ekspansi kofaktor : A

23 Jawab : Misalkan, kita akan menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- det( A ) A j a j c j = a + a + a ( ) = + 6 = ( )

24 Menghitung det (A) dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke- A det( A) a i c i i = a + a + a ( ) ( ) = + 6 =

25 Sehingga matriks kofaktor dari A : Maka matriks Adjoin dari A adalah : - adj( A) T - - -

26 Adjoin Matriks

27 Adjoin Matriks

28 Strategi menghitung determinan :. Gunakan kombinasi beberapa metode (definisi, sifat, ekspansi kofaktor).. Pilih ekspansi melalui baris atau kolom yang paling sederhana.. Gunakan sifat ke 8 untuk membuat unsur-unsur pada baris/kolom yang dipilih sebanyak mungkin menjadi nol.. Ulangai langkah, dan seterusnya

29 Hitung determinan dari : E = Dikerjakan dengan ekspansi melalui baris ke dua : E = K + K K K 7 E = e + e + e E = e + + E = () (-) = - = - M = - {()(-7) (-)()} = -

30 Berapakah determinan dari F = Dipilih ekspansi melalui kolom pertama : F = B + B Det(F) = f = () (6) = 6

31 Berapakah determinan dari G = Dipilih ekspansi melalui kolom ke tiga : Det(G) = B + B 7 B+B 7 Det(G) = g = g M = (-) 7 B B 7 (-) Det(G) = (-) g = (-) g (- M ) = g M = () {()(-) (7)(-)} Det(G) = () () =.

32 Matriks Kofaktor A & Matriks AdjA Jika A adalah sebarang matriks nxn dan ij adalah kofaktor dari a ij, maka matriks... n... n n n... nn Dinamakan matriks kofaktor A. Transpos matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(a)

33 Matriks Invers & Matriks Adjoin Jika A adalah matriks yang dapat dibalik, maka A - = adj (A) / det (A)

34 Hitung (a) adjoint dari matriks A, (b) determinan matriks A = M = = -M = = M = - A = = -M = - = M = - = M = - = -M = - = -M = 7 = M = (a) adj(a) = K T = T = = 7 (b) Det(A) = a + a + a c = ()() + (-)(-) + ()(-) = A adj(a) =? 7 = = = A I

35 Adj(A) A =? 7 = = = A I Sifat :. A adj(a) = adj(a) A = det(a) I. adj(ab) = adj(b) adj(a)

36 Metode rammer Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan tak diketahui sehingga IAI, maka sistem tersebut mempunyai jawab tunggal. Jawabnya adalah : x A A, x A A,..., x n A n A Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan unsur-unsur dalam kolom ke j dari A dengan unsur-unsur dalam matriks: B b b b n

37 ontoh det(a) det(a Metode rammer Diketahui Bentuk - ) matriksnya x y - : x maka 8 Sehingga : x dan y Jadi solusinya adalah {,-} x y adalah : ; y det(a ) - 8;