M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
|
|
- Lanny Tanudjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga teh (barang substitusi) Permintaan mobil bergantung pada harganya dan harga bensin (barang komplementer) Demikian juga dengan penawarannya. Model dua komoditas: 2 Q = a + b P + b P D Q = a + b P + b P D Q = α + β P + β P S Q = α + β P + β P S
3 Kesetimbangan Dua Pasar Dalam kondisi kesetimbangan: D = S ( b β ) P + ( b β ) P = α a ( b β ) P + ( b β ) P = α a Berapakah harga dan kuantitas kesetimbangan? P, Q, P, Q? Dalam notasi matriks: b11 β11 b12 β12 P1 α1 a1 =. b β b β P α a
4 4 MATRIKS
5 Definisi Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk pesegi panjang atau bujursangkar. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya. Notasi: huruf kapital A, B, C,... Contoh: 5 a11 a12 a1n a21 a22 a2n A = am 1 am2 a mn a ij = elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j m n = ukuran atau ordo matriks A Matriks yang hanya memiliki satu baris/kolom disebut vektor baris/kolom.
6 Beberapa Bentuk Matriks Matriks segi (square matrix): Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Elemen a 11, a 22,, a nn disebut elemen diagonal utama matriks A. Matriks segitiga atas (upper triangular matrix): Matriks segi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol ,, 0 4 5, Matriks segitiga bawah (lower triangular matrix): Matriks segi yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol. Matriks Nol (null matrix): Matriks yang semua elemennya nol. Matriks identitas (identity matrix): Matriks yang semua elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol. Notasi: I ,, 0 4 0, I =, I =
7 Penjumlahan dan Pengurangan Operasi pada Matriks Penjumlahan dan pengurangan pada matriks terdefinisi jika matriks-matriks yang terlibat memiliki ukuran sama: Operasi berikut tidak terdefinisi: 7 a 1 4 c a c + =. 3 b 1 x 4 b + x 1 0 a 1 2 3, a b c 3 [ ]
8 Operasi pada Matriks 8 Perkalian Perkalian skalar a 3k 2k ak 5, k 3 4 = = y 6 c yk 6k ck Perkalian matriks AB terdefinisi jika banyaknya kolom A sama dengan banyaknya baris B. Selain itu tidak terdefinisi a a + 2b + c , b 7 a 4 c = = c 2a 3b + 5c
9 Operasi pada Matriks Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis output dan menggunakan 2 jenis input. Kuantitas output yang diproduksi Q dan harganya P diberikan sbb: Q = 27000, P = [ ] Banyaknya input yang digunakan Z dan harganya W diberikan sbb: 9 Keuntungan Z =, W = [ 20 8 ] π = PQ WZ = [ ] [ 20 8] =
10 Sifat-sifat Operasi pada Matriks 10 Hukum penjumlahan dan perkalian skalar Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan k 1, k 2 adalah skalar, maka 1. (A + B) + C = A + (B + C) 2. A + (-A) = O 3. A + B = B + A 4. k 1 (A + B) = k 1 A + k 1 B 5. (k 1 + k 2 ) A = k 1 A + k 2 A 6. (k 1 k 2 ) A = k 1 (k 2 A) 7. 0 A = O dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.
11 Sifat-sifat Operasi pada Matriks 11 Hukum perkalian matriks Misalkan A, B dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuai sehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalah skalar, maka 1. Hukum Assosiatif (AB) C = A ( BC) 2. Hukum distributif kiri A (B + C) = AB + AC 3. Hukum distributif kanan (B + C) A = BA + CA Catatan: secara umum AB BA.
12 Transpos Matriks Misalkan A=(a ij ) adalah matriks berukuran m n. Putaran atau transpos dari matriks A, ditulis A T, adalah matriks berukuran n m yang didefinisikan sebagai berikut: A Sifat matriks transpos: T 12 T a11 a12 a1n a11 a21 am1 a21 a22 a2n a12 a22 am 2 = = am1 am 2 a mn a1n a2n a mn 1. (A + B) T = A T + B T 2. (A T ) T = A 3. (k A) T = k A T, untuk suatu skalar k 4. (AB) T = B T A T
13 Transpos Matriks Sebuah perusahaan memproduksi 3 jenis output dan menggunakan 2 jenis input. Kuantitas output yang diproduksi Q dan harganya P diberikan sbb: Q = 27000, P 12 = Banyaknya input yang digunakan Z dan harganya W diberikan sbb: Z Keuntungan π = T P Q =, W = T W Z = [ ] [ 20 8] =
14 Operasi Baris Dasar (OBD) 14 Tukarkan baris ke-i dan ke-j. Notasi: E ij Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k 0. Notasi: E i(k) Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j. Notasi: E ij(k) Contoh: misalkan Maka: 1 2 A = 3 y 3 y y E12 ( A) = E21( A) =, E2( 2) ( A), E12(3) ( A) 1 2 = = 6 2y 3 y
15 Determinan Matriks Determinan: fungsi yang memetakan suatu matriks segi ke sebuah bilangan real. Notasi: det(a) atau A. Matriks berukuran 1 1: A = (a), A = a. Matriks berukuran 2 2: Matriks berukuran 3 3: 15 a b A =, A = ad bc. c d a11 a12 a13 A = a21 a22 a 23, A = ( a11a22a 33 + a12a23a 31 + a13a32 a21) ( a13a22a 31 + a12a21a33 + a11a32 a23) a31 a32 a 33
16 Metode Sarrus Named after Pierre Frederic Sarrus ( ), matematikawan Prancis. Hanya berlaku untuk matriks berukuran (+) ( ) A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32 a21 a13a22a 31 a12a21a33 a11a32 a23
17 Metode Minor-Kofaktor Dapat digunakan menghitung determinan matriks segi berukuran berapa pun. Disebut juga metode penguraian Laplace (Laplace expansion). Misalkan A= (a ij ) n n dan A ij adalah anak matriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Didefinisikan minor elemen a ij, notasi M ij adalah 17 M ij = A ij dan kofaktor elemen a ij, notasi c ij, adalah Determinan matriks A ditentukan sbb: n j= 1 i= 1 ij ij c ij = ( 1) i+j M ij. 1. det( A) = a c, untuk sebarang baris i n ij ij 2. det( A) = a c, untuk sebarang kolom j. ij ij
18 Hitung determinan matriks berikut: Pilih baris ke-1 Maka: A = Metode Minor-Kofaktor A = A = a c + a c + a c = 1 ( 1) + 2 ( 1) + 3 ( 1) = 1 1 ( 7) + 2 ( 1) ( 2) = = 6.
19 Pilih baris ke-2: A = Pilih kolom ke-1: A = Metode Minor-Kofaktor 19 A = a c + a c + a c Hint: Pilih baris/kolom yang banyak 0-nya = 0 ( 1) + ( 3) ( 1) + 2 ( 1) = 0 + ( 3) 1 ( 4) + 2 ( 1) 3 = 6. A = a c + a c + a c = 1 ( 1) + 0 ( 1) + 1 ( 1) = 1 1 ( 7) = 6.
20 Sifat-sifat determinan 1. det(a) = det(a T ). Sifat-sifat Determinan 2. Jika dua baris/kolom matriks A saling dipertukarkan sehingga didapat matriks B, maka det(b) = det(a). Catatan: det(e ij (A)) = det(a) 3. Jika suatu baris/kolom matriks A digandakan dengan suatu skalar k sehingga didapat matriks B, maka det(b) = k det(a) Catatan: det(e i(k) (A)) = k det(a) det(ka) = k n det(a), A matriks n n Jika suatu baris/kolom matriks A ditambah dengan k kali baris/kolom lainnya sehingga didapat matriks B, maka det(b) = det(a). Catatan: det(e ij(k) (A)) = det(a)
21 Sifat-sifat Determinan Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det(a) = Jika ada baris/kolom matriks A yang merupakan kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka det(a) = Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian elemen-elemen diagonal utamanya. 8. det(ab) = det(a).det(b)
22 Invers Matriks Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan matriks taksingular atau mempunyai invers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I n. Matriks B disebut invers matriks A. Notasi: B = A 1 (dibaca: invers matriks A) Untuk matriks berukuran 2 2: 22 a b A, A d b d b = c d = A = c a ad bc c a Jika A = 0 maka A matriks singular, sehingga tidak memiliki invers. Sifat-sifat: Jika matriks A dan B adalah matriks-matriks taksingular, maka a. (A 1 ) 1 = A b. (AB) 1 = B 1 A 1 c. (A T ) 1 = (A 1 ) T
23 Metode Matriks Adjoin Misalkan A = (a ij ) adalah matriks segi berordo n. Jika A 0 dan matriks C = (c ij ), dengan c ij adalah kofaktor elemen a ij, maka invers matriks A adalah A = C T disebut matriks adjoint dari matriks A, kadang ditulis adj(a). Contoh: tentukan invers matriks berikut dengan metode matriks adjoin A = A C T.
24 Kofaktor: Metode Matriks Adjoin c11 = ( 1) = 3, c12 = ( 1) = 1, c13 = ( 1) = 1, c21 = ( 1) = 4, c22 = ( 1) = 2, c23 = ( 1) = 0, c31 = ( 1) = 5, c32 = ( 1) = 1, c33 = ( 1) = Matriks kofaktor dan matriks adjoin: 24 C T = 4 2 0, C =
25 Determinan: pilih baris ke-2 Invers: Metode Matriks Adjoin 25 A = 0(4) + 1( 2) + ( 1)0 = T A = C = A 2 =
26 Metode Eliminasi Gauss 26 Prosedur menentukan invers matriks A 1. Tuliskan matriks yang diperbesar (A I n ). 2. Lakukan serangkaian operasi baris dasar (OBD) pada matriks (A I n ) sehingga bagian kiri matriks tersebut berubah menjadi I n, yaitu (I n P). 3. Tuliskan A 1 = P ( A I) = E E = ( I A )
27 27 Sistem Persamaan Linear SPL
28 Bentuk SPL Suatu persamaan dalam n variabel x 1, x 2,, x n dikatakan linear bila dapat dituliskan dalam bentuk di mana c 1, c 2,, c n dan k adalah konstanta-konstanta real. 28 c x + c x + + c x = k n n Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk a x + a x + + a x = b n n 1 a x + a x + + a x = b n n 2 a x + a x + + a x = b m1 1 m2 2 mn n n di mana a ij dan b i, i = 1, 2,.., n ; j = 1, 2,, m adalah konstanta real, sedangkan x i, i = 1, 2,.., n merupakan variabel.
29 SPL dalam Notasi Matriks SPL dalam notasi matriks: a11 a12 a1 n x1 b1 a21 a22 a2 n x2 b2 AX B : = = am 1 am 2 amn xn bm A X B SPL dalam notasi matriks diperbesar (augmented matrix): 29 ( A B) a a a b a a a b a a a b n n 2 = m1 m2 mn m Jika B = 0 (vektor nol) maka SPL disebut homogen, jika tidak, takhomogen.
30 Solusi SPL 30 Solusi SPL AX = B yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah pasangan n bilangan (s 1, s 2,, s n ) yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. Solusi (s 1, s 2,, s n ) berkorespondensi secara berurutan dengan (x 1, x 2,, x n ). Solusi SPL: tunggal, banyak, tidak ada. SPL yang memiliki solusi disebut konsisten, yang tidak tak-konsisten. SPL homogen selalu konsisten karena X = 0 selalu menjadi solusi dan disebut solusi trivial. x + y = 1 x 2 = x y = 3 y 1 x + y = 1 tidak ada x + y = 3 solusi x + y = 1 x a =, a 2x + 2y = 2 y 1 a R
31 Metode Grafik 31 Hanya efektif untuk SPL 2-persamaan, 2-variabel. SPL: Solusi: 2x + y = 10 4x + y = 8 y y = 10 2x y = 8 + 4x solusi x
32 Metode Substitusi Hanya efektif untuk SPL 2-persamaan, 2-variabel. SPL 3 3 masih memungkinkan SPL: 2x + y = 10 4 x + y = 8 32 Recommended for SPL 2 2 Tulis persamaan 1 menjadi y = 10 2x. Kemudian substitusikan ke persamaan 2 sehingga menjadi 4x + y = 8 4 x + (10 2 x) = 8 6x = 18 x = 3, y = 4 (solusi) 2x + y = 10 4x + y = 8 6 x = 18 x = 3
33 Metode Cramer Named after Gabriel Cramer ( ), matematikawan Swiss. Asumsi: dalam SPL AX = B, A 0. Solusi: A i adalah matriks A yang kolom ke-i-nya diganti oleh vektor B. Bukti: lihat buku. Contoh: 2x + y = x 10 4x + y = 8 = 4 1 y 8 x x i = 33 A i A. Solusi = = = 3, y = = = Untuk SPL besar, menghitung determinan adalah pekerjaan sendiri.
34 Metode Matriks Invers Asumsi: dalam SPL AX = B, A 0 (A taksingular atau A memiliki invers). Solusi: Untuk SPL besar, mencari invers matriks adalah pekerjaan sendiri. Contoh: 2x + y = 10 4x + y = 8 Solusi X 2 1 x 10 = 4 1 y 8 34 X = A 1 B x = = = = y
35 Metode Eliminasi Gauss Disebut juga Metode Penghapusan Dapat mendeteksi apakah SPL konsisten ataukah tidak. Dapat mendeteksi apakah SPL bersolusi tunggal ataukah banyak. Contoh: 2x + y = 10 4x + y = 8 OBD terhadap matriks diperbesar: E1(1/2) (2) E E 2(1/3) Dari baris kedua matriks terakhir diperoleh y = 4. Dari baris pertama diperoleh x + 0.5y = 5, sehingga x = 3. 35
36 SPL: 2x + x = x + x = x x + 4x = OBD terhadap matriks diperbesar: Metode Eliminasi Gauss 36 Matriks terakhir disebut matriks eselon baris tereduksi (reduced row-echelon matrix). Dari baris ke-3 diperoleh x 3 = 40/ Dari baris ke-2 diperoleh x x 3 = 10, sehingga x 2 = 140/15. Dari baris ke-1 diperoleh x x 3 = 15, sehingga x 1 = 205/15.
37 Aplikasi Sehari-hari PT AGB akan mengadakan pelatihan komputer bagi para eksekutif. Untuk itu mereka memerlukan 7 buah komputer super dengan perincian 2 buah komputer berbasis Windows dan 5 komputer berbasis Linux. Pengadaan komputer akan dilakukan dengan membeli 3 komputer baru dan 4 sisanya cukup dengan menyewa. Harga beli komputer berbasis Windows adalah Rp30 juta per unit dan harga sewanya Rp20 juta per unit. Harga beli komputer berbasis Linux adalah Rp30 juta per unit dan harga sewanya Rp10 juta per unit. PT AGB memiliki anggaran sebesar Rp130 juta untuk keperluan ini. Berapa banyak komputer Windows dan Linux yang harus dibeli dan disewa? 37
38 Aplikasi Sehari-hari 38
39 Model: Aplikasi: Kesetimbangan Dua Pasar Solusi (dengan Metode Cramer): 39 b11 β11 b12 β12 P1 α1 a1 =. b β b β P α a P 1 P 2 α a b β α2 a2 b22 β22 ( α1 a1 )( b22 β22) ( b12 β12 )( α2 a2) = =, b β b β ( b β )( b β ) ( b β )( b β ) b b b α a b21 β21 α2 a2 ( b11 β11)( α2 a2) ( α1 a1 )( b21 β21) = =. b β b β ( b β )( b β ) ( b β )( b β ) b β β β b β β
40 Model pendapatan nasional: dengan Model Pendapatan Nasional Y : pendapatan nasional (endogen) C : pengeluaran untuk konsumsi (endogen) I 0 : tingkat investasi (eksogen) 40 Y = C + I + G C = a + by, G 0 : belanja pemerintah (eksogen) 0 0, a : autonomous consumption expenditure (a > 0) b : marginal propensity to consume (0 < b < 1) Tingkat kesetimbangan: Y* dan C*?
41 SPL dapat ditulis sbb: Dalam notasi matriks: Solusi: Model Pendapatan Nasional Y 41 Y C = I + G 0 0 by + C = a 1 1 Y I0 + G0 =. b 1 C a I 0 + G 0 + a ( 0 0), b I G a + + = C =. 1 b 1 b
42 Model IS-LM IS: Investment-Saving, LM: Liquidity preference-money supply. 42 Model IS-LM: model makroekonomi yang secara grafis menunjukkan hubungan antara suku bunga dan output riil di pasar barang dan di pasar uang. Persamaan di pasar barang: Y = C + I + G Variabel endogen: Y, C, I, R (suku bunga) C = a + b(1 t) Y Variabel eksogen: G 0 I = d er Parameter: a, b, d, e, t G = G 0. Persamaan di pasar uang: Money demand : Money supply : M = ky lr M Kesetimbangan : M = M. D S D = M 0 S Variabel endogen: Y, R Variabel eksogen: M 0 Parameter: k, l
43 Model IS-LM SPL: Y C I = G Y G0 b(1 t) Y C = a b(1 t) C a = I + er = d 0 0 I e I d ky lr = M 0 k 0 0 l R M 0 Ukuran SPL dapat direduksi: Y = C + I + G (1 b(1 t)) Y + er = a + d + G M = ky lr ky lr = M b(1 t) e Y a + d + G 0 = k l R M 0 0
44 Model Input-Output Leontief Model IO memandang perekonomian sebagai sejumlah sektor industri yang saling berinteraksi. 44 Output suatu industri digunakan sebagai input industri yang lain (intermediate good) sekaligus konsumsi akhir (final demand). Masalah: menentukan tingkat produksi yang memenuhi permintaan industri dan konsumen. Misalkan x i dan d i (i = 1,2,...,n) adalah (nilai uang dari) tingkat produksi dan tingkat permintaan industri ke-i. Definisikan: x1 d1 x 2 d 2 X =, xi 0, D =, di 0. xn dn
45 Model Input-Output Leontief Misalkan a ij (nilai uang dari) banyaknya barang industri ke-i yang diperlukan oleh sektor industri ke-j untuk memproduksi 1 unit barang. Definisikan A 45 a a a a a a a 1 a 2 a n n = Total output industri ke-i yang diperlukan oleh seluruh industri: j= 1 Total output seluruh industri: n n n nn a x = a x + a x + + a x ij j i1 1 i2 2 in n. AX a11 a12 a1 n x1 a a a x. an1 an2 ann xn n 2 =
46 Model Input-Output Leontief Dengan mempertimbangkan final demand sektor konsumsi: n 46 x = a x + d i j= 1 ij j i. Atau X = AX + D I A X = D X = I A D 1 ( ) ( ).
47 Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) 47 Definisi: misalkan A matriks berordo m n. Pangkat atau rank matriks A, notasi r(a), didefinisikan sebagai: o ordo terbesar anak matriks A yang determinannya tidak nol. o banyaknya baris/kolom A yang bebas linear. o banyaknya baris taknol pada matriks eselon A. Contoh: A = r( A) = B = r( B) =
48 Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) 48 Sistem persamaan linear AX = B, dengan A matriks berordo m n, konsisten jika dan hanya jika r(a) = r(a B). Jika SPL konsisten dan 1. r(a) = n, maka SPL memiliki solusi tunggal. 2. r(a) < n, maka SPL memiliki takhingga banyak solusi. Jika r(a) r(a B) maka SPL tak-konsisten (tidak memiliki solusi). Contoh:
49 Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) OBD terhadap matriks diperbesar: 49 Misalkan β = 2 maka Misalkan β = 1 maka r( A) = 2 ( A B) SPL tak-konsisten. r( A B) = r( A) = 3 SPL punya ( A B) r( A B) = 3 solusi tunggal
50 Pangkat Matriks dan Kekonsistenan SPL (optional) Misalkan β = 2 maka r( A) = 2 < 3 SPL punya ( A B) r( A B) = 2 < 3 banyak solusi
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciMatematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciDeterminan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2
Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks
1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi
Lebih terperinciBAB 2. DETERMINAN MATRIKS
BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciMatriks. Baris ke 2 Baris ke 3
Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciMatriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.
MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF 2 3 CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperincidimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciContoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciMATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR
MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciMATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)
MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciModul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:
Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri
Lebih terperinciMATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS
MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
Lebih terperinciMETODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n
METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan
Lebih terperinciMATRIKS. Matematika. FTP UB Mas ud Effendi. Matematika
MATRIKS FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar Invers suatu matriks bujursangkar Penyelesaian set persamaan linier Nilai-eigen dan
Lebih terperinci6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1
6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli
Lebih terperinciTujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse
Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciMATRIKS Matematika Industri I
MATRIKS TIP FTP UB Mas ud Effendi Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu
Lebih terperinci1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.
Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain
Lebih terperinciSebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.
. INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling
Lebih terperinciAljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciTUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi
TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi MATRIKS CONTOH SOAL A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS)
MATEMATIKA KELAS XII - KURIKULUM GABUNGAN 10 Sesi N MATRIKS A. MATRIKS SATUAN (MATRIKS IDENTITAS) Masih ingat angka 1 kan, setiap bilangan yang dikali satu apakah berubah? Tentunya tidak. Matriks satuan
Lebih terperinciBAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :
BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo
Lebih terperinciMATRIKS. Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom.
Page- MATRIKS Definisi: Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk segiempat siku-siku yang terdiri dari baris dan kolom. Notasi: Matriks dinyatakan dengan huruf besar, dan elemen elemennya
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. yang dibicarakan yang akan digunakan pada bab selanjutnya. Bentuk umum dari matriks bujur sangkar adalah sebagai berikut:
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini dibicarakan mengenai matriks yang berbentuk bujur sangkar dengan beberapa definisi, teorema, sifat-sifat dan contoh sesuai dengan matriks tertentu yang dibicarakan yang
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciMATRIK dan RUANG VEKTOR
MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Lebih terperinciMatriks. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar
Bab 1 Matriks Kompetensi Dasar Dan Pengalaman Belajar Kompetensi Dasar 1.1 Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2.1 Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan cermat
Lebih terperinciALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Lebih terperinciMatriks Jawab:
Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan
Lebih terperinciMAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR
MAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR Disusun oleh : 1. Supriyani (0903040095) 2. Sri Hartati (0903040113) 3. Anisatul M. (0903040065) TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (MATRIK) Drs. A. NABABAN PURNAWAN, S.Pd.,M.T JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK MESIN FAKULTAS PENDIDIKAN TEKNOLOGI DAN KEJURUAN UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA 2004 MATRIKS I. PENGERTIAN
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5
Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciMATRIKS Nuryanto, ST., MT.
MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciDalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau
Lebih terperinciSecara umum persamaan linear untuk n peubah x 1, x 2,, x n dapatdinyatakandalambentuk: dimanaa 1, a 2,, a n danbadalahkonstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnyatidakmemuateksponensial, trigonometri(sepertisin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan linear
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinci17. MATRIKS. , maka transpose matriks A adalah A T a c. Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I A = A I = A
7. MATRIKS A. Transpose Matriks a Jika A =, maka transpose matriks A adalah A T a c = c d d B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua matriks dapat dijumlahkan ila kedua matriks terseut erordo sama. Penjumlahan
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinci03-Pemecahan Persamaan Linier (2)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Matriks Invers Bagian : Eliminasi = Faktorisasi: A = LU Bagian : Transpos dan Permutasi Anny Bagian MATRIKS INVERS
Lebih terperinciMatriks. Matriks B A B. A. Pengertian Matriks. B. Operasi Hitung pada Matriks. C. Determinan dan Invers
Matriks B B 3. Pengertian Matriks B. Operasi Hitung pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Sumber: www.smanela-bali.net Pernahkah kalian mengamati
Lebih terperinci10. MATRIKS. , maka transpose matriks A adalah A T a
0. MATRIKS A. Kesamaan Dua Buah Matriks Dua Matriks A dan B dikatakan sama apaila keduanya erordo sama dan semua elemen yang terkandung di dalamnya sama B. Transpose Matriks a Jika A =, maka transpose
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 1 Matriks dan Operasinya MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks Jenis-jenis Matriks Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan)
Lebih terperinciPenyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik
Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
Lebih terperinci3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE
3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 10 Oktober 2016 Selain metode Sarrus dan Minor-Kofaktor, ada satu metode lain yang dapat
Lebih terperinciBAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB X SISTEM PERSAMAAN LINIER 10.1 Definisi Persamaan linier adalah persamaan aljabar yang terdiri dari satu atau lebih peubah dan masing-masing peubah mempunyai derajad satu. Sebagai contoh persamaan
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciLampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3
LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)
Lebih terperinciBAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Lebih terperinciBanyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks
MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL
Lebih terperinciMATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Persamaan Linear Pengertian Persamaan linear adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut. + + + Di mana:,,,, dan adalah konstanta-konstanta riil.,,,, adalah bilangan
Lebih terperinciMODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
Lebih terperinciMATRIKS. Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita
MATRIKS A. Pengertian Matriks. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita Ι ΙΙ ΙΙΙ Dari tabel di atas,
Lebih terperinciPertemuan 2 Matriks, part 2
Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen
Lebih terperinciCatatan Kuliah Aljabar Linier
Catatan Kuliah Suryadi Siregar Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Bandung BANDUNG 018 Kata Pengantar Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor.
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Lebih terperinci