PENYELESAIAN PERSAMAAN LOTKA-VOLTERRA DENGAN METODE TRANSFORMASI DIFERENSIAL Syafruddin Side, Jurusan Matematia, FMIPA, Universitas Negeri Maassar email:syafruddinside@yahoo.com Info: Jurnal MSA Vol. 3 No. Edisi: Januari Juni 205 Artiel No.: Halaman: - 0 ISSN: 2355-083X Prodi Matematia UINAM Sutriani Hidri Jurusan Matematia, FMIPA, Universitas Negeri Maassar ABSTRAK Ja faruddin Jurusan Matematia, FMIPA, Universitas Negeri Maassar Pada artiel ini dibahas persamaan Lota-Volterra yang merupaan persamaan dari model yang membahas interasi predasi antara mangsa dan pemangsa yang membentu sistem persamaan diferensial biasa ta linear. Untu melihat interasi tersebut diperluan penyelesaian dari persamaan Lota-Volterra yang sulit untu ditentuan secara analiti. Metode transformasi diferensial merupaan salah satu metode untu menyelesaian persamaan diferensial ta linear tanpa linearisasi terlebih dahulu. Penyelesaian dengan metode ini dilauan dengan mentransformasi persamaan menggunaan sifat-sifat transformasi diferensial yang sesuai. Pada penyelesaian persamaan Lota-Volterra terdapat 2 sistem persamaan. Masing-masing sistem disimulasian dengan 3 elompo nilai parameter yang berbeda. Solusi yang diperoleh berupa deret ta hingga, sehingga untu eperluan pratis perlu dipotong sampai sejumlah N suu tertentu. Pada bagian ahir solusi tersebut divisualisasian menggunaan software Maple 7. Kata Kunci: metode transformasi diferensial, model Lota-Volterra, persamaan diferensial ta linear. PENDAHULUAN Persamaan diferensial merupaan salah satu bagian dari matematia yang sangat erat hubungannya dengan ehidupan sehari-hari. Banya masalah dalam bidang teni, esehatan dan ilmu pengetahuan alam yang dapat dimodelan dalam bentu persamaan diferensial. Berbagai atifitas yang bergantung terhadap watu dirumusan dalam bentu persamaan diferensial biasa bai linear atau pun ta linear. Salah satu contoh persamaan diferensial ta linear adalah persamaan yang terbentu dari model mangsa pemangsa. Model mangsa pemangsa dienal sebagai model Lota-Volterra yang membahas interasi antara 2 atau lebih spesies mahlu hidup. Dalam berinterasi, tentunya diharapan jumlah spesies mangsa dan pemangsa harus sesuai dengan proporsinya (uuran) agar interasi dapat seimbang sehingga diperluan penyelesaian dari penyelesaian persamaan model Lota-Volterra. Pada tahun 986, Zhou memperenalan suatu metode yang dapat diterapan dalam penyelesaian persamaan diferensial ta linear tanpa linearisasi terlebih dahulu (Rahayu, d., 202). Metode tersebut adalah metode transformasi diferensial (MTD). Berbagai penelitian dietahui menggunaan metode ini. Diantaranya oleh Rahayu d. (202) yang membahas penyelesaian untu persamaan diferensial Riccati orde satu dan orde dua. Dewi (203) menggunaan metode ini untu menyelesaian model epidemi SIRS. Dari latar belaang tersebut maa penulis merumusan beberapa permasalahan yaitu bagaimana menyelesaian persamaan diferensial ta linear orde satu dan orde dua dengan metode transformasi diferensial, bagaimana menyelesaian persamaan Lota-Volterra dengan metode transformasi diferensial serta bagaimana simulasi numeri persamaan Lota- Volterra menggunaan Maple 7. Sejalan dengan rumusan masalah, tujuan dari penelitian ini adalah untu mengetahui cara menyelesaian persamaan diferensial ta linear orde satu dan orde dua dengan metode
transformasi diferensial, mengetahui cara menyelesaian persamaan Lota-Volterra dengan metode transformasi diferensial serta mengetahui hasil simulasi numeri menggunaan Maple 7. 2. TINJAUAN PUSTAKA Metode Transformasi Diferensial Definisi metode transformasi diferensial U() dari fungsi u(x) adalah sebagai beriut U() = u(x)! [d ], = 0,,2,3, dx x=x 0 () Pada persamaan (), u(x) merupaan fungsi yang ditransformasian dan U() merupaan fungsi transformasi. Invers dari metode transformasi diferensial U() didefinisian sebagai beriut u(x) = =0 U()(x x 0 ), Dari persamaan () dan (2), didapatan u(x) = u(x) =0! [d dx ] x=x 0 (x x 0 ) (2) (3) Persamaan (3) menyataan bahwa pengertian dari metode transformasi diferensial berasal dari deret Taylor (Hasan dan Ertur, 2007). Sifat Transformasi Diferensial Misalan U() = u(x)! [d dx ], F() = f(x)! [d ] dan G() = g(x) dx! [d dx ] merupaan masing-masing fungsi transformasi dari u(x), f(x) dan g(x). Beberapa sifat metode transformasi diferensial adalah sebagai beriut. Sifat. Penjumlahan dan Pengurangan Jia u(x) = f(x) ± g(x), maa U() = F() ± G(). Sifat 2. Peralian dengan Konstanta Jia u(x) = λg(x), maa U() = λg()., untu λ= onstanta Sifat 3. Turunan Pertama Jia u(x) = dg(x), maa U() = ( + )G( + dx ) Sifat 4. Turunan e-m Jia u(x) = dm g(x) dxm, maa U() = ( + ) ( + m)g( + m) Sifat 5. Peralian Jia u(x) = f(x)g(x), maa U() = F(r)G( r) Sifat 6. Peralian m fungsi Jia u(x) = f (x), f 2 (x) f m (x), maa U() = 2 =0 m =0 F ( )F 2 ( 2 ) F m ( m ) Sifat 7. Fungsi Variabel Bebas Jia u(x) = x m, maa U() = δ( m) =, m = 0 { 0, m 0, Sifat 8. Fungsi Konstanta Jia u(x) = s, s ε R, maa U() = δ() = s, = 0 { HASIL DAN PEMBAHASAN 0, 0 3. METODE PENELITIAN Penelitian ini merupaan penelitian ajian teori mengenai sistem persamaan diferensial yang bertujuan untu mencari penyelesaian persamaan Lota-Volterra menggunaan metode transformasi diferensial. Metode yang digunaan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Studi literatur merupaan penelitian yang dilauan dengan bantuan bermacam-macam material meliputi doumen, buu-buu, majalah, jurnal, atau bahan tulis lainnya. Sesuai dengan masalah yang diteliti, maa penelitian ini dilauan di Perpustaaan Jurusan Matematia FMIPA UNM sebagai loasi utama dalam pengumpulan literatur untu penulisan, serta tempat-tempat lain yang dapat memberian informasi tentang apa yang menjadi pembahasan dalam penelitian ini. Watu penelitian dilasanaan selama 4 bulan yani September 204 hingga bulan Desember 204. 2
Adapun prosedur pemecahannya sebagai beriut: () Masing-masing persamaan pada sistem persamaan Lota-Volterra ditransformasian menggunaan sifat transformasi diferensial yang sesuai, (2) Nilai-nilai parameter disubtitusian pada persamaan hasil transformasi persamaan Lota-Volterra, (3) Nilai awal yang diberian ditransformasi menggunaan definisi transformasi diferensial, (4) Dipilih suatu bilangan bulat ta negatif, bilangan tersebut disubtitusian pada persamaan hasil transformasi persamaan Lota-Volterra, (5) Nilai-nilai yang diperoleh disubtitusian pada invers dari metode transformasi diferensial yang menghasilan penyelesaian dari masalah tersebut, (6) Untu melihat secara grafi solusi atau penyelesaian dari persamaan Lota-Volterra, selanjutnya dilauan simulasi numeri menggunaan software Maple 7. 4. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Penyelesaian Persamaan Diferensial Ta Linear Orde Satu dan Dua Penyelesaian Persamaan Diferensial Ta Linear Orde Satu Diberian persamaan diferensial ta linear orde satu: dy(t) = ay 2 (t) + by(t) + c (4) dengan nilai awal y(0) = d Penyelesaian: Langah Persamaan ditransformasi menggunaan sifat transformasi diferensial yang sesuai sehingga diperoleh Y( + ) = [(a Y(r)Y( r) ) + Langah 2 + by() + δ()] (5) Transformasi nilai awal menggunaan definisi transformasi diferensial sehingga diperoleh transformasi nilai awal yaitu Y(0) = d. Langah 3 Substitusi setiap nilai = 0,,2,3, pada persamaan (5) Jia diberian a =, b = 2, c = 3 dan d = 0 sehingga persamaan (4) menjadi dy(t) = y 2 (t) + 2y(t) dengan nilai awal y(0) = 0 + 3 (6) dengan cara yang sama maa diperoleh Y() = 3, Y(2) = 3, Y(3) = 5,... Langah 4 Nilai-nilai yang diperoleh disubtitusian pada invers dari metode transformasi diferensial pada persamaan (2) sehingga diperoleh penyelesaian persamaan diferensial ta linear orde satu dari persamaan (4.3) adalah y(t) = 3t + 3t 2 + 5t 3 + Penyelesaian Persamaan Diferensial Ta Linear Orde Dua Diberian persamaan diferensial ta linear orde dua : d 2 x(t) 2 = ax 2 (t) + t m (7) dengan nilai awal x(0) = d dan x (0) = e aan diselesaian dengan menggunaan metode transformasi diferensial. Penyelesaian: Langah Persamaan ditransformasi menggunaan sifat transformasi diferensial yang sesuai sehingga diperoleh X( + 2) = Langah 2 [a ( X(r)X( ( + )( + 2) r)) + δ( m)] (8) 3
Transformasi nilai awal menggunaan definisi transformasi diferensial sehingga transformasi nilai awalnya yaitu X(0) = d dan X() = e Langah 3 Substitusi setiap nilai = 0,,2,3, pada persamaan (8) Jia diberian a = 2, m =, d = dan e = 0 sehingga persamaan (7) menjadi d 2 x(t) 2 = 2x 2 (t) + t (9) dengan nilai awal x(0) = dan x (0) = 0 dengan cara yang sama maa diperoleh Langah 4 X(2) =, X(3) = 6, X(4) = 3,... Nilai-nilai yang diperoleh disubtitusian pada invers dari metode transformasi diferensial pada persamaan (2) sehingga diperoleh penyelesaian persamaan diferensial ta linear orde dua dari persamaan(9) adalah x(t) = + t 2 + 6 t3 + 3 t4 + Penyelesaian Persamaan Lota-Volterra dengan Metode Tranformasi Diferensial. Kasus Persamaan Lota-Volterra Mangsa dan Pemangsa Pada asus ini persamaan yang aan diselesaian adalah sistem persamaan yang terbentu dari model Lota-Volterra (L-V) yani dx dx = x(a αy) dy = y(b βx) (0) menunjuan jumlah populasi mangsa (x) pada watu t, dy menunjuan jumlah populasi pemangsa (y) pada watu t, a menunjuan oefisien laju elahiran mangsa, b adalah oefisien laju ematian pemangsa, sedangan α dan β menunjuan oefisien interasi antara mangsa dan pemangsa. Untu menyelesaian persamaan Lota- Volterra tersebut, persamaan ditransformasian dengan menggunaan sifat-sifat metode transformasi diferensial sehingga diperoleh sistem persamaan hasil transformasi X( + ) = ( + ) [ax() α X(r)Y( r) ] Y( + ) = ( + ) [ by() + β X(r)Y( r) ] () Nilai-nilai parameter yang digunaan pada persamaan Lota-Volterra dapat dilihat pada Tabel. Tabel. Nilai-nilai parameter persamaan L-V mangsa dan pemangsa Parameter Nilai () Nilai (2) a 0.2 0.2 Nilai (3) 0. α 0.005 0.005 0.00 b 0.5 0. 0.5 β 0.0 0.00 0.0 Nilai parameter () berasal dari penelitian estimasi parameter Trisilowati d. (20). Sementara nilai parameter (2) dan (3) ditambahan untu melihat perilau sistem etia parameternya berbeda. Diberian nilai awal x(0) = 60 dan y(0) = 30 yang ditransformasi menggunaan definisi transformasi diferensial menghasilan X(0) = 60 dan Y(0) = 30. Dengan menggunaan nilai awal yang telah ditransformasian dan = 0,, 2, 3,, 0, persamaan () menghasilan nilai-nilai yang emudian disubstitusi pada persamaan (2). 4
Untu penyelesaian persamaan Lota- Volterra dengan metode transformasi diferensial dari nilai parameter () diperoleh x(t) = 60 + 3 t 0,3750,255 t 2 0,0825 t 3 0,00279 t 4 + 0,00065 t 5 + 0,000 t 6 + (7,395 0 5 ) t 7 (,98 0 7 ) t 9 (,978 0 7 )t 9 + (,8333 0 8 )t 0 y(t) = 30 + 3 t + 0,6 t 2 + 0,0 t 3 0,004 t 4 0,00 t 5 0,000096 t 6 0,000096 t 6 + (5,533 0 8 )t 7 + (,707 0 5 )t 8 + (2,7 0 7 )t 9 + (,595 0 8 )t 0 Untu penyelesaian persamaan Lota- Volterra dengan metode transformasi diferensial dari nilai parameter (2) diperoleh x(t) = 60 + 3 t + 0,255 t 2 + 0,00335 t 3 + 0,00033375 t 4 (,329 0 5 ) t 5 (4,484 0 7 ) t 6 (2,6864 0 8 ) t 7 (5,84 0 0 )t 8 (2,8899 0 2 )t 9 + (,42274 0 3 )t 0 y(t) = 30,2 t + 0,069 t 2 + 0,00043 t 3 (3,925 0 6 ) t 4 + (3,805 0 6 ) t 5 (6,368 0 8 ) t 6 + (3,758 0 9 ) t 7 (6,50 0 )t 8 (,284 0 2 )t 9 (2,78 0 4 )t 0, Untu penyelesaian persamaan Lota- Volterra dengan metode transformasi diferensial dari nilai parameter (3) diperoleh x(t) = 60 + 4,2 t + 0,057 t 2 0,0847 t 3 0,0022905 t 4 0,0002 t 5 0,00002 t 6 (3,57 0 7 )t 7 + (4,57 0 8 )t 8 + (9,9578 0 9 )t 9 + (,793 0 9 )t 0 y(t) = 30 + 3 t + 0,78 t 2 + 0,0737 t 3 + 0,009 t 4 + 0,00064 t 5 + 0,0000357 t 6 (7,857 0 7 )t 7 (4,598 0 7 )t 8 (6,9388 0 8 )t 9 (7,328 0 9 )t 0 Kasus 2 Persamaan Lota-Volterra 2 Mangsa dan Pemangsa dx = a x α 2 x x 2 α x y dx 2 = a 2x 2 α 2 x 2 x α 2 x 2 y dy = by + β x y + β 2 x 2 y (2) dimana a dan a 2 berturut-turut menunjuan laju elahiran mangsa dan mangsa 2, b menunjuan laju ematian pemangsa. α 2 dan α 2 menunjuan interasi antara mangsa dengan mangsa 2. β dan β 2 berturut-turut menunjuan interasi antara pemangsa dengan mangsa dan mangsa 2. 5
Untu menyelesaian persamaan (2) dengan metode transformasi diferensial, persamaan tersebut ditransformasian menggunaan sifat transformasi diferensial yang sesuai sehingga diperoleh hasil transformasi sebagai beriut: X ( + ) = ( + ) [a X () α 2 ( X (r) X 2 ( r)) α X (r)y( r) ] X 2 ( + ) = ( + ) [a 2X 2 () α 2 ( X 2 (r) X ( r)) α 2 X 2 (r)y( r) ] Y( + ) = ( + ) [ by() + β ( X (r) Y( r)) + β 2 X 2 (r)y( r) ] Nilai-nilai parameter yang digunaan pada persamaan Lota-Volterra asus 2 dapat dilihat pada Tabel 2. (3) Tabel 2. Nilai-nilai parameter persamaan L-V 2 mangsa dan pemangsa Parameter Nilai () Nilai (2) Nilai (3) a 0.2 0.2 0. α 2 0.0007 0.0007 0.0002 α 0.007 0.007 0.002 a 2 0. 0.2 0. α 2 0.00025 0.0007 0.0005 α 2 0.007 0.007 0.005 b 0.0 0.0 0. β 0.00085 0.00085 0.00085 β 2 0.00008 0.00008 0.00085 Nilai parameter () berasal dari penelitian Rohmah dan Erna (203). Sementara nilai parameter (2) dan (3) ditambahan untu melihat perilau sistem etia parameternya berbeda. Untu asus ini diberian nilai awal x (0) = 50, x 2 (0) = 40 dan y(0) = 20. Yang ditransformasi sehingga diperoleh X (0) = 50, X 2 = 40 dan Y(0) = 20. Dengan menggunaan nilai awal yang telah ditransformasian dan = 0,, 2, 3,, 0, persamaan () menghasilan nilai-nilai yang emudian disubstitusi pada persamaan (2). Untu penyelesaian persamaan Lota- Volterra dengan metode transformasi diferensial dari nilai parameter () diperoleh x (t) = 50 + 7,96 t + 0,5947 t 2 + 0,02504 t 3 + 0,0003726 t 4 0,000033 t 5 0,00000356 t 6 (2,228 0 7 ) t 7 6
(,2 0 8 ) t 8 (4,829 0 0 ) t 9 (,72 0 ) t 0 x 2 (t) = 40 + 2,4 t 0.00683 t 2 0,00625 t 3 0,000397 t 4 0,000029 t 5 (6,554 0 8 ) t 6 + (,978 0 8 ) t 7 + (,40 0 9 ) t 8 + (5,822 0 ) t 9 + (,639 0 2 ) t 0 y(t) = 20 + 0,74 t + 0,0822 t 2 + 0,00599 t 3 + 0,0003899 t 4 + 0,0000235 t 5 + 0,0000036 t 6 + (6,7599 0 8 ) t 7 + (3,2 0 9 ) t 8 + (,299 0 0 ) t 9 + (3,435 0 2 ) t 0 Untu penyelesaian persamaan Lota- Volterra dengan metode transformasi diferensial dari nilai parameter (2) diperoleh x (t) = 50 + 7,96 t + 0,576 t 2 + 0,02085 t 3 0,00003 t 4 0,00006558 t 5 0,00000482 t 6 (2,220 0 7 ) t 7 (6,630 0 9 ) t 8 (7,64 0 ) t 9 + (6,092 0 2 ) t 0 x 2 (t) = 40 + 6,3 t + 0.445 t 2 + 0,05 t 3 0,00023 t 4 + 0,00006 t 5 0,000003996 t 6 (,645 0 7 ) t 7 (3,87 0 9 ) t 8 (3,87 0 9 ) t 8 + (3,692 0 ) t 9 + (9,37 0 2 ) t 0 y(t) = 20 + 0,74 t + 0,085 t 2 + 0,00625 t 3 + 0,000399 t 4 + 0,0000232 t 5 + 0,00000224 t 6 + (5,7 0 8 ) t 7 + (2,2 0 9 ) t 8 + (5,734 0 ) t 9 (5,565 0 3 ) t 0 Untu penyelesaian persamaan Lota- Volterra dengan metode transformasi diferensial dari nilai parameter (3) diperoleh x (t) = 50 + 2,6 t + 0,096 t 2 + 0,009 t 3 + 0,00002 t 4 (,82 0 7 ) t 5 (2,099 0 8 ) t 6 (6,3269 0 0 ) t 7 (2,066 0 ) t 8 (5,0476 0 3 ) t 9 (,0053 0 4 ) t 0 x 2 (t) = 40 t + 0,034 t 2 0,00255 t 3 0,0000325 t 4 (7,237 0 7 ) t 5 + (,99 0 8 ) t 6 + (,22 0 9 ) t 7 (3,842 0 ) t 8 + (,429 0 2 ) t 9 (4,608 0 4 ) t 0 y(t) = 20 0,47 t + 0,09 t 2 + 0,000372 t 3 0,0000 t 4 + (8,054 0 7 ) t 5 (6,6998 0 9 ) t 6 + (,4255 0 0 ) t 7 + (,823 0 ) t 8 (3,673 0 3 ) t 9 + (,37 0 4 ) t 0 Simulasi Numeri dengan Maple 7 Simulasi numeri beriut dilauan dengan nilai awal dan parameter yang sama pada bagian sebelumnya. Simulasi ini dibagi menjadi 3 bagian berdasaran nilai parameter yang digunaan. 7
Simulasi dengan nilai parameter (),a = 0,2; α = 0,005; b = 0,5; β = 0,0 Gambar. Simulasi numeri parameter () untu t = 0 dan t = 30 Simulasi dengan nilai parameter (2),a = 0,2; α = 0,005; b = 0,; β = 0,00 Gambar 2. Simulasi numeri parameter (2) untu t = 0 dan t = 30 Simulasi dengan nilai parameter (3), a = 0,; α = 0,00; b = 0,5; β = 0,0 Gambar 3. Simulasi numeri parameter (3) untu t = 0 dan t = 30 8
Kasus 2 Persamaan Lota-Volterra 2 Mangsa dan Pemangsa Jurnal MSA Vol. 3 No. Ed. Jan-Juni 205 Simulasi numeri beriut dilauan dengan nilai awal dan parameter yang sama pada bagian sebelumnya. Simulasi dengan nilai parameter (), a = 0,2; α 2 = 0.0007; α = 0.007; a 2 = 0,; α 2 = 0.00025; α 2 = 0.007; b = 0,0; β = 0.00085; β 2 = 0.00008; Gambar 4. Simulasi numeri parameter () untu t = 0 dan t = 30 Simulasi dengan nilai parameter (2), a = 0,2; α 2 = 0.0007; α = 0.007; a 2 = 0,2; α 2 = 0.0007; α 2 = 0.007; b = 0,0; β = 0.00085; β 2 = 0.00008; Gambar 5. Simulasi numeri parameter (2) untu t = 0 dan t = 30 Simulasi dengan nilai parameter (3), a = 0,; α 2 = 0.0002; α = 0.002; a 2 = 0,; α 2 = 0.0005; α 2 = 0.005; b = 0,0; β = 0.00085; β 2 = 0.00085; Gambar 6. Simulasi numeri parameter (2) untu t = 0 dan t = 30 9
Simulasi dengan menggunaan program Maple 7 yang dilauan untu 2 asus dengan nilai parameter dan nilai awal tersebut memberian informasi bahwa edua spesies saling mempengaruhi secara signifian. Berdasaran gambar yang dihasilan, penentuan nilai parameter dan nilai awal sangat sensitif. Pemberian nilai awal dan nilai parameter yang berbeda aan memberian gambar yang lebih variatif pula. Penurunan jumlah populasi bai mangsa maupun pemangsa pada anga negatif menunjuan habisnya populasi tersebut. Mesipun demiian simulasi tetap dilanjutan untu melihat perilau sistem pada watu beriutnya. Oleh arena itu penyelesaian yang diperoleh sudah sudah dapat menjelasan prilau sistem dalam onsep eologi. Aan tetapi, perubahan jumlah populasi yang dihasilan terlalu besar sehingga metode transformasi diferensial emunginan urang coco untu menjelasan jumlah populasi yang ada pada saat t tertentu sehingga dari penelitian ini dietahui bahwa metode transformasi diferensial hanya coco untu menjelasan perilau sistem Lota- Volterra. 5. KESIMPULAN Berdasaran pembahasan dari penelitian diatas dapat diambil esimpulan bahwa :. Metode Grafi, hanya dapat dilauan untu masalah program linear dengan dua variabel, sedangan 2. Metode simples, dapat dilauan untu masalah program linear bai untu dua atau lebih variabel, dengan langah awal yaitu memformulasian masalah edalam program linear, menambahan variabel slac atau surplus pada endala untu memperoleh bentu standar, emudian lauan-langah metode simples. 6. DAFTAR PUSTAKA. Hiller, Frederic, R. And Lieberen, Gerald. 994. Introduction to Opertions Research USA : McGrow-Hill Companies 2. Lusiana, 2006. Penyelesaian Program Linier dengan Metode Simples. Sripsi S- Metematia UNAND, tida diterbitan. 3. Siswanto, 2007. Operation Research, Erlangga, Jaarta. 4. Taha Hamdy A., 996. Riset Operasi Suatu Pengantar Jilid.Bina Rupa Asara,Jaarta. 5. Wijaya Andi, 202, Pengantar Riset Operasi Edisi 2. Mitra Wicana Media, Jaarta. 0