J. Sains Dasar () Sifat-sifat Nilai Eigen dan Vetor Eigen Matris atas ljabar Maxplus (The Properties of Eigen Value and Eigen Vector of Matrices Over Maxplus lgebra) Musthofa * dan Nienasih inatari * Jurusan Pendidian Matematia FMIP UNY / email: musthofa@uny.ac.id Jurusan Pendidian Matematia FMIP UNY / email: nienasih@yahoo.com bstra Penelitian ini bertujuan untu mengaji sifat-sifat nilai eigen dan vetor eigen matris atas aljabar maxplus. Langah-langah yang dilauan adalah dengan mengaji esistensi nilai eigen dan vector eigen matris atas aljabar maxplus. Selanjutnya diselid sifat-sifat nilai eigen dan vector eigen, meliputi etunggalan dari nilai eigen, dan mengaji tentang sifat nilai eigen dan vector eigen dari matris transpose. Hasil penelitian menunjuan bahwa setiap matris persegi atas aljabar maxplus selalu mempunyai nilai eigen. Suatu maris persegi atas aljabar mxplus aan mempunyai nilai eigen tunggal jia irredusibel. Jia merupaan nilai eigen, maa jug merupaan nilai eigen dari T. Tetapi sifat ini tida berlau untu vetor eigennya. Kata unci: aljabar maxplus, nilai eigen, vetor eigen, matris transpose bstract This research aimed to study the properties of eigenvalues and eigenvectors of the matrix over maxplus algebra. The initial step is to study the existence of eigenvalues and eigenvector of matrix over maxplus algebra. Moreover, the properties of eigenvalues and eigenvectors are investigated. Finally, we study the properties of eigenvalues and eigenvectors of the matrix transpose. The result shows that every square matrix over maxplus algebra always has eigenvalue. square matrix in the maxplus algebra will have a unique eigenvalue if is irreducible. If is an eigenvalue of, then is also an eigenvalue of T, but this property does not apply for the eigenvector. Key words: maxplus algebra, eigenvalue, eigenvector, matrix transpose Pendahuluan Seiring dengan perembangan ilmu pengetahuan dan tenologi, para peneliti dituntut untu terus melauan inovasi dan usaha yang terus beresinambungan dalam menghadapi persaingan dan untu mewujudan esejahteraan umat manusia. Kemajuan pesat dalam tenologi informasi tida lepas dari perembangan riset dalam bidang ilmu dasar. Oleh arena itu peneltian di bidang ilmu dasar tida bisa ditinggalan. ljabar maxplus merupaan salah satu bagian dari ilmu dasar dalam bidang matematia hususnya aljabar yang memil peranan sangat banya dalam menyelesaian persoalan di beberapa bidang seperti teori graf, ombinatoria (seperti dibahas dalam []), teori sistem (dibahas dalam [] dan [7]), teori antrian (dibahas dalam []) dan proses stoasti(dibahas dalam []). Hal ini disebaban aljabar max-plus mampu menguraian suatu tipe tertentu dari sistem nonlinear dalam sudut pandang aljabar linear menjadi sistem linear dalam sudut pandang aljabar max-plus. Kelinieran ini aan memudahan dalam penganalisaan sistem yang diaji.
Musthofa d. / J. Sains Dasar () eraitan dengan masalah tersebut matris dan nilai eigen merupaan salah satu alat matematis untu menyelesaian berbagai masalah dalam bidang tersebut. Pembahasan tentang nilai eigen dan vetor eigen dalam dari suatu matris relative terhadap suatu strutur aljabar merupaan bagian yang tida bisa ditinggalan. Oleh sebab itu, melalui penelitian dnginan ajian yang mendalam tentang nilai eigen dan vetor eigen pada aljabar max-plus yang memil apliasi di berbagai bidang eilmuan. Dalam aljabar linear dan apliasinya, nilai eigen dan vetor eigen memil peranan penting salah satunya dalam menganalisis suatu sistem. Tida adanya invers terhadap operasi pertama dalam aljabar max-plus, mengaibatan esulitan etia aan menerapan metode metode yang sudah dienal dalam aljabar linear seperti misalnya untu menentuan solusi persamaan x = b. eberapa peneliti di bidang aljabar max-plus, seperti dalam [] dan [] telah ditunjuan esistensi dan metode untu menentuan nilai eigen dan vetor eigen dari suatu matris atas aljabar max-plus. erberapa hal yang cuup menari untu diteliti antara lain metode menentuan nilai eigen dan vetor eigen pada matris atas aljabar max-plus serta sifat-sifat nilai eigen dan vetor eigen seperti halnya pada aljabar linear yang sudah dienal. Sejauh yang ami etahui, belum diteliti masalah sifat sifat nilai eigen dan vetor eigen pada aljabar max-plus, misalnya jia merupaan nilai eigen, apaah juga merupaan nilai eigen dari T? erdasaran hasil-hasil tersebut, dalam penelitian ini aan diselid tentang sifat sifat lebih lanjut dari nilai eigen dan vetor eigen dari matris atas aljabar max-plus. Metode Penelitian Penelitian ini dilauan model research and development. Peneliti mengaji berbagai sumber tentang masalah nilai eigen dan vector eigen ada aljabar maxplus, membandingan dengan ondisi yang terjadi pada ruang vetor dan emudian melauan pengembangan untu diterapan pada aljabar maxplus. lat bantu yang digunaan dalam penelitian ini adalah perangat luna Scilab.. Hasil dan Disusi. ljabar Maxplus ljabar maxplus adalah himpunan R {- }, dengan R menyataan himpunan semua bilangan real yang dilengapi dengan operasi masimum, dinotasian dengan dan operasi penjumlahan, yang dinotasian dengan. Selanjutnya (R {- },, ) dinotasian dengan R max dan {- } dinotasian dengan. Elemen merupaan elemen netral terhadap operasi dan merupaan elemen identitas terhadap operasi. Strutur aljabar dari R max adalah semifield, yaitu :. ( R {- }, ) merupaan semigrup omutatif dengan elemen netral {- }. (R {- }, ) merupaan grup omutatif dengan elemen identitas. Operasi dan bersifat distributif. Elemen netral bersifat menyerap terhadap operasi, yaitu a R max, a = a =. Matris atas R max Dalam aljabar linear, jia F field, maa dapat dibentu suatu matris beruuran m n dengan entri entrinya adalah elemen elemen F. Hal yang serupa dapat dierjaan pada R max, yaitu dapat dibentu matris beruuran m n dengan entri-entrinya elemen R max. Operasi dan pada matris atas aljabar maxplus didefinisian sebagai beriut: () ( ) ij ij ij Contoh: Jia () ( ) ( ) - dan ij i j - 7 -, maa
Musthofa d. / J. Sains Dasar () 7 dan - 7-7 7 - - - 8, maa 8. 8 {+(-)} { } {+7} { ( )} 8 {-+(-)} { } {-+7} { ( )} Jia ( R max ) n n menyataan himpunan semua matris dengan entri-entrinya elemen R max,, maa matris E dengan, jia i j ( E) ij dan matris dengan, jia i j ( ) ij =, i, j berturut turut merupaan matris identitas dan matris nol. Jadi, () ( E ) = ( E ) = untu setiap ( R max ) n n ; () ( ) = ( ) =, untu setiap ( R max ) n n. Perlu diperhatian bahwa ( R max ) n n buan merupaan semifield, tetapi merupaan semiring, sebab terhadap operasi (R max ) n n tida omutatif dan tida setiap (R max ) n n mempunyai invers.. Nilai Eigen dan Vetor Eigen Matris atas ljabar Max-plus Konsep nilai nilai eigen dan vector eigen dalam aljabar maxplus tida berbeda dengan onsep yang telah dienal dalam aljabar linear. Namun untu mencari nilai eigen dan vector eigen terdapat sedt perbedaan. Metode untu menentuan nilai eigen dan vector eigen suatu matris persegi atas aljabar maxplus antara lain terdapat dalam ndy Rudhito ( ) dan Subiono (). Definisi ( Rudhito, ). Misalan matris pesegi atas R max. Salar disebut nilai eigen dari matris jia terdapat suatu vetor v sehingga v = v. Selanjutnya vetor v tersebut disebut vetor eigen yang bersesuaian dengan. Contoh matris ( Subiono, ).Diberian. Terlihat bahwa nilai-arateristi dari matris adalah dan vetor arateristinya adalah. Selanjutnya untu menentuan nilai eigen tersebut, terlebih dahulu dibahas tentang graf, hususnya graf berarah. Definisi. ( Rudhito, ) Suatu graf berarah didefinisian sebagai pasangan (V, ) dengan V adalah suatu himpunan berhingga ta osong yang anggotanya disebut titi (vertices) dan adalah suatu himpunan pasangan teurut titi-titi yang disebut dengan busur(arc). eriut beberapa definisi penting yang beraitan dengan graf : Definisi (Subiono, ) Diberian G = (V, ). (i) () Suatu lintasan dalam G adalah suatu barisan berhingga busur (i, i ), (i, i ),, (i l-, i l ) dengan (i, i + ). Untu suatu lintasan, panjang lintasan didefinisian sebagai banya busur yang menyusun, dinotasian dengan (i) Suatu siruit adalah suatu lintasan dengan titi awal dan titi ahirnya sama. (iv) Siruit elementer adalah suatu siruit yang mana setiap titi yang muncul tida lebih dari seali ecuali titi awal yang muncul tepat dua ali. Selanjutnya beraitan dengan matris, selalu dapat diaitan dengan suatu graf berarah berbobot sebagai beriut : Definisi (Subono, )) Jia matris persegi atas aljabar maxplus, maa Graf
Musthofa d. / J. Sains Dasar () 8 Preseden dari adalah graf berarah berbobot G() = (V, ) dengan V = {,,..., n} dan = {(j, i) w(i, j) = ij }. Contoh. Diberian Graf preseden dari adalah graf berarah berbobot G() = (V, ) dengan V = {,, } dan = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} yang disajian dalam gambar beriut: Diberian n n R m ax. Jia semua siruit dalam G() mempunyai bobot non positif, maa p E... n erdasaran teorema diatas, didefinisian matris * dan + seperti di bawah ini : Definisi 8 ( acelli, ) n n Diberian R m ax dengan semua siruit dalam G() mempunyai bobot nonpositif. Didefinisian dua matris * dan + sebagai beriut :, p n * : E... n n... dan * :. Selanjutnya, untu mencari nilai eigen dari matris digunaan teorema beriut yang dapat dijumpai dalam Rudhito() : Gambar. Graf berarah berbobot G() Dalam Rudhito() telah dibahas bahwa untu mencari bobot masimum dari semua siruit dengan panjang dengan titi i sebagai titi awal dan titi ahir dalam G() adalah dengan menghitung ( ). Sedangan untu mengitung bobot bobot rata-rata masimum siruit elementer dalam G() (dinotasian dengan ( )) max adalah dengan menghitung : max( ) trace dengan trace. ( ) eraitan dengan nilai eigen, beriut beberapa teorema yang dapat dijumpai dalam acelli(). Teorema 7. ( acelli, ) Teorema 9. (Rudhito, ) Diberian matris persegi atas aljabar maxplus. Jia salar, merupaan nilai eigen, maa merupaan bobot rata-rata suatu siruit dalam G(). Contoh. Diberian matris Diperoleh 7. 9 9 dan 8 Selanjutnya diperoleh 7 8 trace = max(,,)=; trace = max(,,) =; trace = max(,8,) = 8. Jadi, max() = max( (), (), (8)) =max(,,) =.
Musthofa d. / J. Sains Dasar () 9 Selanjutnya dapat dilihat bahwa merupaan nilai eigen dari, sebab:. Esistensi Nilai Eigen Dalam aljabar linear, telah dibahas bahwa tida setiap matris persegi mempunyai nilai eigen. Namun, dalam aljabar maxplus, setiap matris persegi dijamin mempunyai nilai eigen. Hal ini dibahas dalam teorema beriut yang mana pembutiannya ada dalam Rudhito() Teorema. (Rudhito, ) Diberian matris persegi beruuran n n atas aljabar maxplus. Salar max (), yaitu bobot rata-rata masimum siruit elementer dalam G(), merupaan suatu nilai eigen matris. Contoh.. Matris mempunyai nilai eigen, yaitu dan, sebab = dan =. Matris nilai eigennya, yaitu =. Namun, vector eigen dari matri tersebut tidalah tunggal, sebab. Ketunggalan = matris atas aljabar maxplus mempunyai nilai eigen yang tunggal. Suatu matri atas aljabar maxplus dinamaan matris irredusibel jia G() terhubung uat. eriut sifat matris irredusibel yang telah dibahas dalam acelli ( ) dan Rudhito(). Teorema. (Rudhito, ) Jia matris irredusibel beruuran n x n atas aljabar maxplus mempunyai nilai eigen dengan x vetor eigen aljabar max-plus yang bersesuaian dengan, maa x i ɛ untu setiap i {,,..., n}. uti: Misalan terdapat dengan tunggal s {,,..., n} sehingga x s ibatnya ( x) s = x s = atau s,i x i = untu setiap i {,,..., n}. Karena x i untu setiap i s, maa s,i =. Hal ini berarti tida ada busur dari setiap titi i s e titi s. ibatnya G() tida terhubung uat atau tida irredusibel. Jia terdapat lebih dari satu omponen yang sama dengan, buti seperti di atas sehingga aan diperoleh esimpulan tida irredusibel. Matris irredusibel mempunyai nilai eigen aljabar max-plus tunggal seperti diberian dalam teorema beriut yang telah dibahas dalam acelli() dan Rudhito(). Teorema.(Rudhito, ) Jia merupaan matris atas aljabar maxplus yang irredusibel, maa mempunyai nilai eigen tunggal. uti:. Misalan adalah sebarang nilai eigen aljabar max-plus matris dengan x adalah vetor eigen aljabar max-plus yang bersesuaian dengan. Karena irredusibel maa x i untu setiap i {,,..., n}. Diambil sebarang siruit, misalan siruit adalah (i, i ), (i, i ),..., (i p, i ) dalam G(). Karena adalah nilai eigen aljabar maxplus matris, maa erdasaran contoh-contoh di atas, pada bagian ini aan dibahas tentang syarat suatu
Musthofa d. / J. Sains Dasar () x x i, i i i x x ip, ip ip ip x x i, ip ip i Didapat bahwa lebih besar atau sama dengan rata-rata bobot, untu setiap siruit dalam G(). Jadi max(), yang berarti nilai eigen aljabar max-plus matris tunggal.. Nilai Eigen dan Vetor Eigen Matris Transpos Pada bagian ini aan diaji nilai eigen dari matris transpose. Teorema. Jia merupaan nilai eigen matris atas aljabar maxplus, maa juga merupaan nilai eigen dari matris = T uti : Misal merupaan nilai eigen matris dan merupaan nilai eigen dari = T. Karena, maa trace = trace. ibatnya = ( ) max = trace Contoh. trace max ( ) Dalam contoh sebelumnya nilai eigen dari adalah dan nilai eigen dari transposenya, yaitu,.., juga, sebab: =. Dari contoh ini dapat dilihat bahwa dan T mempunyai nilai eigen yang sama. Dari contoh ini pula, dapat dilihat bahwa buan merupaan vetor eigen dari. rtinya walaupun dan T mempunyai nilai eigen yang sama, tetapi vetor eigennya berlainan. Kesimpulan mengungapan hal yang lebih tinggi atau luas dari disusi. Hendanya dalam bagian ini terandung penarian esimpulan dan perampatan yang meluas, serta pencetusan teori, onsep, prinsip baru secara mapan daripada esimpulan dangal dan saran yang menyataan penelitian perlu dilanjutan. Kesimpulan. Untu menentuan nilai eigen suatu matris atas aljabar maxplus dapat dilauan dengan menghitung n trace. Setiap matris persegi atas aljabar maxplus selalu mempunyai nilai eigen.. Jia matris irredusibel ( graf preseden dari strongly connected), maa mempunyai nilai eigen tunggal, tetapi vetor eigennya belum tentu tunggal. Nilai eigen dari matris transpose sama dengan nilai eigen matris, tetapi vector eigennya belum tentu sama. Ucapan Terima Kasih Tim Peneliti mengucapan terimaasih epada Universitas Negeri Yogyaarta, hususnya Faultas MIP yang telah mendanai egiatan penelitian ini. Pustaa [] acelli, F.et.al.. Synchronization and Linearity.New Yor: John Wiley & Sons [] utovic, p.. Max-algebra: the linear algebra of combinatoric. Science Direct, Journal of algebra and its application.
Musthofa d. / J. Sains Dasar () [] Flemming,W.H,. Max-Plus Stochastic Processes. pplied Mathemamatic Optimization.New Yor : Springer-Verlag [] Heidergot,.. Characterization of (max,+)-linear queueing system. Queueing System.9() 7-. [] Menguy, E.. fist Step Towards daptive Control for Linear System in Max lgebra. Discrete Event Dynamic System: Theory and pplication. oston: Kluwercademic Publisher. [] Rudhito, M... Sistem Persamaan Linear Maxplus Watu Invarian. Tesis: UGM. [7] Subiono.. ljabar max-plus dan terapannya. rtiel tida diterbitan.