BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS

Transkripsi

1 BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS oleh PUNDRA ANDRIYANTO M SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit 2014 to user i

2 ii

3 MOTO 1. Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan (Q.S. Al Insyirah: 6). 2. Dan janganlah kamu mengikuti apa yang kamu tidak mempunyai pengetahuan tentangnya. Sesungguhnya pendengaran, penglihatan dan hati, semuanya itu akan diminta pertanggungan jawabnya (Q.S. Al- Israa :36). 3. Sesungguhnya setiap perbuatan bergantung pada niatnya. Sesungguhnya setiap orang (akan dibalas) berdasarkan apa yang dia niatkan. Barangsiapa hijrahnya karena (ingin mendapat keridhaan) Allah dan Rasul-Nya, maka hijrahnya kepada (keridhaan) Allah dan Rasul-Nya. Dan barangsiapa hijrahnya karena dunia yang dikehendakinya atau karena wanita yang ingin dinikahinya, maka hijrahnya kepada apa yang dia tuju (niatkan) (H.R.Bukhari-Muslim). iii

4 PERSEMBAHAN Tulisan ini kupersembahkan untuk Ibu, Bapak, Saudaraku, serta untuk teman-temanku, terimakasih atas bantuan yang telah diberikan. iv

5 ABSTRAK Pundra Andriyanto, BASIS RUANG VEKTOR EIGEN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Aljabar Max-Plus merupakan suatu himpunan * + yang dilengkapi dengan dua operasi dan. Himpunan matriks berukuran atas Aljabar Max-Plus dinotasikan sebagai. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji ulang nilai eigen dan vektor eigen serta basis ruang vektor eigen dalam Aljabar Max-Plus. Misalkan, matriks disebut tak terreduksi jika strongly connected. Jika matriks tak terreduksi maka mempunyai nilai eigen tunggal, tetapi jika matriks terreduksi maka mempunyai nilai eigen sebanyak ( ). Untuk menentukan nilai eigen matriks terreduksi, matriks itu perlu diubah ke dalam bentuk Frobenius Normal Form (FNF) sehingga elemenelemen pada diagonal utamanya merupakan submatriks persegi yang tak terreduksi. Selanjutnya menentukan vektor eigen dan himpunan peta matriks untuk nilai eigen yang bersesuaian. Kata kunci: tak terreduksi, nilai eigen, vektor eigen, Frobenius Normal Form (FNF), himpunan peta. v

6 ABSTRACT Pundra Andriyanto, BASES OF EIGENVECTOR SPACE FOR MATRICES OVER MAX-PLUS ALGEBRA. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. Max-Plus Algebra is a set * + equipped with two operation and. The set of matrix over Max-Plus Algebra denoted as. The aim of this research is to study eigenvalue, eigenvector and bases of eigenvector space in Max-Plus Algebra. Let, matrix is called irreducible if has a strongly connected. If matrix is irreducible then has a unique eigenvalue, but if matrix is reducible then has ( ) eigenvalues. To determine eigenvalue of reducible matrix, this matrix must be changed to Frobenius Normal Form (FNF) so that these elements in the principal diagonal are irreducible square submatrix. Furthermore eigenvector and image set of matrix are determined by theirs eigenvalues. Key words: irreducible, eigenvalue, eigenvector, Frobenius Normal Form (FNF), image set. vi

7 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim, Puji syukur kepada Allah SWT yang senantiasa memberikan rahmat dan hidayahnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini, khususnya kepada 1. bapak Drs. Siswanto, M.Si. sebagai dosen pembimbing I dan ibu Dra. Etik Zukhronah, M.Si. sebagai dosen pembimbing II atas kesediaan dan kesabaran yang diberikan dalam membimbing penulis, 2. teman-temanku baik ditingkat jurusan, fakultas maupun universitas, 3. semua pihak yang membantu dalam penulisan skripsi ini yang tidak dapat penulis sebut satu per satu. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang memerlukan. Surakarta, Januari 2014 Penulis vii

8 DAFTAR ISI JUDUL... i PENGESAHAN... ii MOTO... iii PERSEMBAHAN... iv ABSTRAK... v ABSTRACT... vi KATA PENGANTAR... vii DAFTAR ISI... viii DAFTAR GAMBAR... x DAFTAR TABEL... xi DAFTAR NOTASI... xii I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat... 3 II LANDASAN TEORI Tinjauan Pustaka Nilai Eigen dalam Aljabar Biasa Aljabar Max-Plus Digraf Kerangka Pemikiran... 9 III METODE PENELITIAN IV PEMBAHASAN Nilai Eigen Utama Menentukan Semua Nilai Eigen Menentukan Semua Vektor Eigen Himpunan Peta Suatu commit Matriks to user viii

9 V PENUTUP Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA 38 ix

10 DAFTAR GAMBAR 1 Contoh digraf Digraf dengan path, cycle dan cycle elementer Digraf untuk Contoh Digraf untuk Contoh Digraf untuk Contoh Condensation digraph untuk matriks Condensation digraph Condensation digraph untuk matriks pada Contoh x

11 DAFTAR TABEL 1 Cycle elementer dari Gambar Cycle elementer dari Gambar Cycle elementer dari Gambar xi

12 DAFTAR NOTASI : himpunan bilangan real : * + : operasi maksimum : operasi penjumlahan : : 0 : himpunan matriks aljabar max-plus berukuran : himpunan bilangan asli : vektor yang semua elemennya : matriks yang semua elemennya : invers dari ( ) : himpunan peta dari : invers dari matriks : matriks permutasi : himpunan node : himpunan arc ( ) : entri matriks ( ) : digraf ( ) : weight digraph : path ( ) : bobot path dari node ke node : cycle : dapat dicapai dari : associated weighted digraph dari ( ) : matriks metrik dari ( ) : panjang dari cycle ( ) : bobot dari cycle pada ( ) : bobot rata-rata commit cycle to pada user xii

13 ( ) : nilai eigen matriks : matriks pangkat aljabar max-plus ( ) : himpunan vektor eigen dari yang bersesuaian dengan ( ) : himpunan semua nilai eigen dari ( ) : himpunan semua vektor eigen dari yang bersesuaian dengan ( ) : himpunan vektor eigen berhingga dari yang bersesuaian dengan ( ) : himpunan semua vektor eigen berhingga dari yang bersesuaian dengan ( ) : himpunan eigen nodes atau critical nodes ( ) : critical digraph dari : ekuivalen dengan : himpunan kosong ( ( ) ) : kelas ekuivalensi dari ( ) ( ) : himpunan critical nodes yang non ekuivalen dari, - : principal submatriks dari, - : subvektor dari vektor, - : induced subdigraph dari : submatriks persegi yang tak terreduksi dari : node untuk matriks : condensation digraph dari matriks yang FNF : submatriks lain dari ( ) : kardinalitas dari himpunan semua nilai eigen matriks ( ) : himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks yang FNF dengan nilai eigen ( ) : himpunan node yang merupakan kelas spectral dari matriks dengan nilai eigen : ekuivalen : akhir pembuktian xiii