BAB II LANDASAN TEORI
|
|
- Handoko Budiaman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini berisi tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berisi penelitian-penelitan yang dilaksanakan dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian ini, serta teori-teori penunjang berisi definisi-definisi yang digunakan dalam pembahasan. Sedangkan kerangka pemikiran berisi alur pemikiran dalam penulisan skripsi ini. 2.1 Tinjauan Pustaka Aljabar maks-plus diperkenalkan oleh Klene pada tahun 1956 dalam papernya yang membahas tentang jaringan syaraf dan automata [7]. Aljabar maks-plus dapat digunakan untuk memodelkan, menganalisis, dan mengontrol Sistem Kejadian Diskrit (SKD) [13]. Pada tahun 1992 Baccelli et al. [1] telah menerapkan aljabar maks-plus pada beberapa masalah yaitu menentukan waktu tercepat pada sistem penjadwalan dan sistem produksi, menentukan waktu tercepat pada masalah antrian, menentukan jalur terpendek di suatu kota dan lainnya. Vries [15], juga telah mengaplikasikan aljabar maks-plus pada masalah jaringan transportasi kereta api pada tahun Dalam penelitian tersebut, Vries memodelkan jaringan kereta api dengan memberikan kontrol pada jaringan tersebut. Subiono [14] mengaplikasikan aljabar maks-plus pada penjadwalan pesawat terbang, sistem produksi sederhana, penjadwalan sistem jaringan kereta dan kestabilan. Sejalan dengan penelitian tersebut, penelitian ini dilaksanakan untuk mengetahui aplikasi aljabar maks-plus pada masalah sistem jalur KRL. Untuk itu perlu menguraikan beberapa hal yang mendasari penelitian ini. Adapun beberapa hal tersebut adalah penjelasan singkat tentang KRL, struktur aljabar, teori graf, 4
2 DES, aljabar maks-plus, matriks dalam aljabar maks-plus (R max ) sistem linier maks-plus waktu invarian dan nilai eigen serta vektor eigen KRL JABODETABEK Kereta Commuter Line, dikenal sebagai KRL adalah kereta rel listrik yang dioperasikan oleh PT. KAI Commuter JABODETABEK merupakan anak perusahaan dari PT. Kereta Api Indonesia (KAI) yang telah beroperasi di Jakarta sejak tahun Saat ini KRL telah melayani jalur yang melewati wilayah DKI Jakarta, Kota Depok, Kota Bogor, Kabupaten Bogor, Kota bekasi, Kabupaten Lebak, Kota Tanggerang. Awal pembentukannya KRL dibawah perusahaan kereta api milik pemerintah Hindia Belanda yaitu Staats Spoorwegen pada tahun 1923 membangun jalur KRL untuk pertama kali dari Tanjung Priuk menuju Jatinegara. Untuk melayani jalur ini, pemerintah Hindia Belanda membeli beberapa jenis lokomotif listrik buatan pabrik Swiss Locomotive and Machine works dan buatan pabrik Allgemaine Electricitat Geselischaft. Seiring perkembangan zaman, pada tahun 2008 dibentuk anak perusahaan dari PT. KAI, yakni PT. KAI Commuter JABODETABEK yang fokus pada pengoperasional jalur KRL di wilayah JABODETABEK. Tugas pokok perusahaan ini adalah menyelenggarakan pengusahaan pelayanan jasa angkutan KRL di wilayah Jakarta, Bogor, Depok, Tanggerang, dan Bekasi. Saat ini KRL di wilayah JABODETABEK telah mempunyai 860 unit KRL yang digunakan untuk mengangkut sekitar 650 ribu penumpang setiap harinya dari 678 perjalanan KRL. Seperti halnya kereta jarak jauh yang terdiri dari beberapa kelas diantaranya kelas ekonomi, kelas bisnis, dan kelas eksekutif, pada KRL JABODETABEK juga terdiri dari kelas ekonomi dan kelas eksekutif. Untuk meningkatkan pelayanan pihak pengelola terus menambah fasilitas yang ada termasuk dengan menambah jumlah KRL. Fasilitas yang ada diantaranya Air Conditioner (AC), Pintu otomatis, bangku busa, bangku khusus, sarana informasi, dan pegangan tangan. Adanya berbagai fasilitas yang ada diharapkan dapat memberikan ke- 5
3 nyaman pada penggguna KRL Struktur Aljabar Definisi-definisi struktur aljabar berikut mengacu pada Muchlisah [9, 10] dan MacLane [8]. Definisi Himpunan G dengan operasi penjumlahan disebut grup jika memenuhi sifat 1. tertutup : a, b G maka a b = c dengan c G, 2. asosiatif : a, b, c G maka a (b c) = (a b) c, 3. terdapat unsur identitias e G: a G maka e a = a e = a, 4. setiap unsur dalam G memiliki invers: a G maka a 1 G sehingga a a 1 = e. Definisi Suatu himpunan tak kosong R dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian ( ) disebut gelanggang atau ring apabila memenuhi struktur 1. (R, +) merupakan grup abel (komutatif), 2. terhadap perkalian bersifat assosiatif : a, b, c R, berlaku a (b c) = (a b) c, 3. berlaku distributif kiri dan distributif kanan : a, b, c R berlaku a(b + c) = ab + ac dan (a + b)c = ac + bc. Definisi Suatu himpunan F yang dilengkapi dengan operasi (+) dan ( ) didefinisikan sebagai lapangan atau field apabila memenuhi struktur 1. (F, +) merupakan grup abel, 2. (F, ) merupakan grup abel, 6
4 3. bersifat distributif. Definisi selanjutnya mengacu pada Rudhito [11]. Definisi Himpunan S yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian disebut semiring jika merupakan semigrup komutatif terhadap penjumlahan, bersifat assosiatif terhadap perkalian, bersifat distributif terhadap penjumlahan dan perkalian serta mempunyai elemen penyerap terhadap operasi perkalian. Definisi Suatu semiring disebut semifield jika semiring tersebut bersifat komutatif terhadap perkalian dan setiap elemen tak netralnya mempunyai invers terhadap operasi perkalian. Definisi Suatu semifield dengan tambahan sifat idempoten terhadap perkalian disebut semifield idempoten (dioid) Teori Graf Definisi-definisi teori graf berikut mengacu pada Chartrand [4] dan Subiono [14]. Definisi Graf G adalah himpunan tak kosong berhingga titik V (G) = {v 1, v 2,..., v n } yang disebut vertex dan himpunan pasangan tidak berurutan dari vertex-vertex V (G) yang disebut edge E(G) = {e 1, e 2,..., e n }. Contoh graf sederhana dapat dilihat pada Gambar 2.1. Dari Gambar 2.1 tersebut dapat dijelaskan tentang definisi-definisi dasar dari suatu graf Gambar 2.1. Graf sederhana 7
5 1. u v walk : suatu barisan bergantian antara vertex dan edge ang dimulai dari vertex u dan diakhiri pada vertex v, contoh: a b walk (a, (ae), e, (ec), c, (cd), d, (de), e, (ea), a, (ab), b). 2. u v trail: u v walk yang tidak memuat pengulangan edge, contoh: a d trail (a, (ae), e, (eb), b, (bc), c, (ce), e, (ed), d). 3. u v path: u v walk yang tidak memuat pengulangan vertex, contoh: a b path (a, (ad), d, (de), e, (ec), c, (cb), b). 4. Circuit: suatu barisan bergantian antara vertex dan edge yang diawali dan diakhiri pada vertex yang sama, contoh:(a,(ae),e,(ed),d,(dc),c,(cb),b,(be),e,(ea),a). 5. Cycle: suatu circuit yang tidak mengulangi vertex, kecuali vertex awal dan vertex akhir, contoh: (a,(ae),e,(ed),d,(dc),c,(cb),b(ba),a). Definisi Graf berarah adalah suatu pasangan (V, A) dengan V adalah suatu himpunan vertex-vertex dan A adalah suatu himpunan pasangan terurut vertex-vertex yang disebut edge berarah (busur). Untuk busur (v, w) A, dengan v disebut vertex awal dan w vertex akhir. Suatu busur dengan vertex awal dan vertex akhir yang sama disebut loop Contoh graf berarah dapat dilihat dalam Gambar 2.2 Gambar 2.2. Graf berarah Definisi Strongly connected adalah suatu graf berarah yang mempunyai path dari vertex ke setiap vertex pada graf. 8
6 Dari Gambar 2.2 terlihat merupakan graf yang strongly connected, karena dapat ditemukan sembarang path yang menghubungkan setiap dua vertex. Misalkan diambil 2 vertex b dan e, terdapat b e path yaitu (b,(ba),a,(ad),d,(dc),c,(ce),e) dan e b path yaitu (e,(ed),d,(dc),c,(cb),b). Graf berarah yang setiap busurnya mempunyai suatu elemen (bobot) disebut graf berbobot. Dalam aljabar maksplus graf berbobot disebut graf komunikasi. Contoh dari graf berbobot dapat dilihat dalam Gambar 2.3. c a b 3 Gambar 2.3. Graf berbobot Discrete Event System Menurut Subiono [14] DES adalah nama sistem buatan manusia dengan melibatkan sumber daya dan pengguna yang terbatas. Salah satu karakteristik dari suatu DES adalah dinamika berjalan yaitu komponen dalam sistem harus menunggu hasil dari komponen yang lain. Operasi dalam DES baru bisa dimulai jika semua proses sebelumnya telah selasai dilakukan, dengan waktu berakhirnya suatu proses sama dengan waktu mulai ditambah dengan lama proses operasi. Menurut Vries [15] salah satu contoh dari suatu DES adalah masalah jaringan transportasi. Contoh dari masalah DES dapat dideskripsikan dengan sistem linier maks-plus waktu invarian [12, 13] Aljabar Maks-Plus Pada bagian ini diberikan pengertian dan operasi pada aljabar maks-plus yang mengacu pada Heidergott [6] dan Baccelli et al. [1]. Aljabar maks-plus dinotasikan dengan R max dengan elemen-elemen dalam aljabar maks-plus merupakan kumpulan semua bilangan real dan ε = yang dinotasikan R ϵ. Operasi pada 9
7 aljabar maks-plus ada dua yaitu memaksimumkan ( ) dan penjumlahan ( ). Misal diambil sebarang a, b R ϵ, jika dikenakan operasi maksimum ( ) maka a b = maks(a, b). Sedangkan jika dikenakan operasi penjumlahan ( ) maka a b = a + b. Berikut adalah contoh penggunaan kedua operasi dalam aljabar maks-plus x y = max(x, y) dan x y = x + y. Contoh penggunaan operasi hitung tersebut adalah sebagai berikut 4 5 = max(4, 5) = 5, dan 7 2 = = 9. Sifat-sifat dan definisi-definisi aljabar maks-plus, yang mengacu pada Farlow [5]. Struktur dari aljabar maks-plus adalah semifield idempoten karena memenuhi 1. komutatif: a b = b a, a b = b a, dan 2. asosiatif: a (b c) = (a b) c, a (b c) = (a b) c, dan 3. distributif: a (b c) = (a b) (a c), 4. mempunyai elemen identitas yaitu ε terhadap ( ) dan e terhadap ( ): a ε = ε a = a, dan a e = e a = a, 5. idempoten: a a = a. Definisi Monoid abelian merupakan himpunan M yang dilengkapi dengan operasi biner yang bersifat asosiatif dan komutatif serta mempunyai elemen identitas ε, tetapi himpunan tersebut tidak memiliki elemen invers. 10
8 Definisi Semiring merupakan himpunan S dengan operasi membentuk monoid abelian dan terhadap operasi bersifat asosiatif, distributif, mempunyai elemen identitas e, dan ε adalah elemen penyerap yaitu ε a = a ε = ε. Definisi Semifield merupakan himpunan S bersama dengan operasi membentuk monoid abelian, dengan operasi membentuk grup dan bersifat distributif terhadap. Aljabar maks-plus (R ϵ,, ) adalah suatu semifield yang dibentuk oleh himpunan R ϵ dan dilengkapi dengan operasi dan. Aturan operasi pada aljabar maks-plus sama dengan pada aljabar. Operasi dan pada aljabar maks-plus analogi dengan operasi + dan pada aljabar. Operasi memiliki prioritas lebih tinggi dari sehingga tidak perlu menambahkan kurung untuk menunjukkan urutan evaluasi operasi dan. Untuk x R ϵ dan untuk semua n N didefinisikan x n = x } x {{ x }, n sedangkan untuk n = 0 didefinisikan x n = e = 0. Dalam aljabar dapat dituliskan x n = x } + x + {{ + x } = n x. n 9 2 = 9 9 = = 2 9 = Matriks dan Vektor dalam R max Pada bagian ini dijelaskan matriks dan vektor aljabar maks-plus yang mengacu pada Subiono [14], matriks m n dengan m, n N dalam R max dinotasikan dengan R m n max didefinisikan m = {1, 2, 3,..., m} dan n = {1, 2, 3,..., n}. Matriks dalam aljabar maks-plus dituliskan a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 21 a 2n..... a m1 a m1 a mn 11
9 Elemen dari matriks A R m n max dengan a ij, dengan i m dan j n. dengan baris i dan kolom j dinotasikan Operasi maksimum ( ) dan penjumlahan ( ) matriks pada R max serupa dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks pada R. Operasi (penjumlahan jika dalam R) dapat dioperasikan jika ukuran dari kedua matriks sama besar sedangkan untuk operasi (perkalian jika dalam R) dapat dioperasikan jika ukuran kolom matriks pertama sama dengan ukuran baris matriks kedua. Operasi matriks dalam R max menurut Butkovic [3], Farlow [5], Schutter [13, 12], dan Subiono [14] didefinisikan yaitu 1. untuk A, B R m n max jika dikenakan operasi maka [A B] ij = a ij b ij = max(a ij, b ij ) Berikut contoh penggunaan operasi A B = = maks(3, 6) = maks(2, 1) maks(8, 5) maks(4, 9) = untuk A R n k max dan B R k m max jika dikenakan operasi maka [A B] il = k j=1(a ij b jl ) = max j {1,2,3,...,k} (a ij + b jl ). 12
10 Berikut contoh penggunaan operasi A B = (3 6) (2 5) = (3 1) (2 9) (8 6) (4 5) (8 1) (4 9) (3 + 6) (2 + 5) = (3 + 1) (2 + 9) (8 + 6) (4 + 5) (8 + 1) (4 + 9) = maks(9, 7) = maks(4, 11) maks(14, 9) maks(9, 13) = untuk A R m n max dan α R max jika dikenakan operasi maka [α A] ij = α a ij 4. untuk A R m n max sebagai pangkat ke-k dari A dinotasikan oleh A k didefinisikan A k = A A... A }{{} k Dalam aljabar maks-plus terdapat dua jenis matriks yaitu matriks tereduksi dan tak tereduksi. Matriks tereduksi merupakan matriks yang berasal dari suatu graf yang tidak tidak terhubung kuat. Sedangkan suatu matriks dikatakan tak tereduksi jika matriks tersebut berasal dari suatu graf yang terhubung kuat strongly connected Sistem Linear Maks-Plus Waktu Invarian (SLMI) Sistem linear maks-plus waktu invarian merupakan salah satu model yang digunakan untuk menyelesaikan masalah yang termasuk dalam DES. Sebuah sis- 13
11 tem dikatakan waktu invarian apabila matriks dalam persamaan sistemnya konstan yaitu tidak tergantung pada waktu. Definisi mengenai sistem linear maks-plus waktu invarian mengacu pada Rudhito [11] dan Vries [15]. Definisi Sistem linier maks-plus waktu invarian adalah discrete event system yang dapat dinyatakan dengan persamaan berikut x(k + 1) = A x(k) B u(k) dengan kondisi awal x(0) = x 0, A R n n max, B R n m max. menyatakan keadaan ( state) dan u(k) R m max adalah vektor input. Vektor x(k) R n max Definisi Sistem linier maks-plus waktu invarian autonomous mempunyai persamaan sebagai x(k + 1) = A x(k) (2.1) Menurut Winarni [16] pada persamaan (2.1) disebut sebagai model aljabar maks-plus. nilai awal. Untuk k 0 dan A R n x ϵ, x R n ϵ dan x(0) = x 0 sebagai Heidergott [6] menjelaskan sistem linier maks-plus waktu invarian digunakan untuk sistem yang mempunyai jadwal keberangkatan khusus sedangkan sistem linier maks-plus waktu invarian autonomous digunakan untuk sistem yang tidak memiliki jadwal keberangkatan khusus Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi nilai eigen berikut mengacu pada Schutter [12] dan Farlow [5]. Definisi Diberikan A R n n max. Jika terdapat nilai λ R max dan vektor v R n max dengan v E(n, 1) sehingga A v = λ v maka λ disebut nilai eigen aljabar maks-plus matriks A dan v tersebut disebut vektor eigen aljabar maks-plus matriks A. Definisi Diberikan A R n n max, dengan A merupakan suatu matriks bujur sangkar. Jika λ R max skalar, v R n max vektor yang memuat setidaknya satu elemen bukan nol dan A v = λ v 14
12 maka λ merupakan nilai eigen dari A dan v merupakan vektor eigen dari A. Contoh diberikan matriks 3 8, maka = 8 = 6 2. terlihat bahwa nilai eigen dari matriks A adalah λ = 6 dan vektor eigen adalah v = 2 0. Subiono [14] menyatakan suatu algoritma untuk menentukan nilai eigen dari matriks A R n n max dilakukan secara berulang dari bentuk persamaan linear x(k + 1) = A x(k), k = 0, 1, 2, sebagai berikut 1. Mengambil sebarang vektor x(0) E(n, 1). 2. Iterasi persamaan x(k+1) = A x(k) sampai terdapat bilangan bulat m > n dan bilangan real c sehingga perilaku periodik terjadi yaitu x(m) = c x(n). 3. Menghitung nilai eigen λ = c m n. 4. Vektor eigen v = m n i=1 (λ (m n i) x(n + i 1)). Bila v adalah vektor eigen dari matriks A, maka sistem x(k + 1) = A x(k) akan beroperasi secara periodik dengan periode sebesar nilai eigen λ. sesuai dengan bentuk persamaan berikut x(k + 1) = A x(k) = λ (k+1) v, Hal ini dengan k = 0, 1, 2,. Berikut contoh menentukan nilai eigendan vektor eigen. Diberikan matriks 1 2 ε 0 A = 4 ε 3, dengan nilai awal x(0) = 0 sehingga diperoleh ε 5 ε x(1) = A x(0) = 4, x(2) = A x(1) =
13 Terlihat bahwa x(2) = 4 x(1), dalam hal ini n = 1, m = 2, dan c = 4. Diperoleh nilai eigen dari matriks A adalah λ = vektor eigen, digunakan langkah 4 dalam algoritma, diperoleh v = (4 (1 i) x(i)) = = 4. i=1 5 5 sehingga diperoleh barisan vektor x(k) untuk k = 1, 2, 3, 4 adalah , 8, 12, = 4. Kemudian menentukan perilaku periodik terjadi pada x(1), x(3) dan x(2), x(4) dengan periode sebesar Kestabilan Jaringan KRL Kestabilan jaringan KRL mengacu pada Subiono [14]. Suatu sistem penjadwalan jalur kereta dapat dikatakan stabil bila keterlambatan semakin mengecil hingga keberangkatan berikutnya tidak terjadi lagi keterlambatan. Definisi Vektor keterlambatan z(k) untuk k 0 didefinisikan sebagai z(k) = x(k) d(k). Keterlambatan dari sistem x(k + 1) = A x(k) d(k + 1) tidak akan bernilai negatif sehingga x(k) d(k). Untuk jadwal yang realistis, keterlambatan tidak bernilai besar sehingga tidak mengganggu jadwal yang berlaku. Besar keterlambatan pada keberangkatan ke-k dinotasikan n+r z(k) = z i (k). Definisi Suatu sistem stabil untuk setiap x 0 terdapat k(x 0 ) N sedemikian hingga z(k) = e untuk setiap k k(x 0 ). 16 i=1
14 Kestabilan suatu sistem ditentukan dengan menggunakan nilai eigen yang memenuhi sistem x(k + 1) = A x(k) d(k + 1). Stabil jika dan hanya jika λ < T. (2.2) 2.2 Kerangka Pemikiran Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun suatu kerangka pemikiran untuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian ini. Pada penelitian ini, terdapat asumsi-asumsi pada sistem penjadwalan transportasi KRL di wilayah JABODETABEK yaitu 1. Diasumsikan jalur KRL beroperasi dengan jadwal keberangkatan yang periodik dengan periode T 2. Waktu referensi atau waktu acuan yang digunakan untuk mendapatkan distribusi jumlah KRL pada tiap jalur adalah pukul Diasumsikan keberangkatan semua KRL tidak mendahului jadwal keberangkatan yang telah ditentukan. 4. Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah jadwal keberangkatan dan kedatangan KRL yang beroperasi pada range waktu pukul 06:15-08:30 pada hari kerja. Asumsi yang sudah ditentukan akan digunakan sebagai penunjang dalam penyelesaian sistem penjadwalan. Diawali dengan pengambilan data jadwal KRL yang berupa waktu keberangkatan, dan waktu perjalanan yang kemudian dari data tersebut dibentuk menjadi suatu graf. Graf tersebut diubah ke dalam matriks yang dioperasikan dengan menggunakan aljabar maks-plus yang kemudian akan menghasilkan suatu nilai eigen dan vektor eigen. Pada penyelesaian yang menghasilkan nilai eigen dan vektor eigen ini akan diperoleh waktu optimal dari sistem penjadwalan transportasi KRL di wilayah JABODETABEK. Selanjutnya 17
15 dari jadwal yang sudah diperoleh dilakukan simulasi terhadap keterlambatan untuk mengetahui seberapa pengaruhnya saat terjadi keterlambatan keberangkatan pada salah satu kereta. 18
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas penelitian-penelitian tentang aljabar maks-plus yang telah dilakukan dan teori-teori yang menunjang penelitian masalah nilai eigen dan vektor eigen yang diperumum
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciBAB 3 ALJABAR MAX-PLUS. beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut
BAB 3 ALJABAR MAX-PLUS Sebelum membahas Aljabar Max-Plus, akan diuraikan terlebih dahulu beberapa sifat khusus yang selanjutnya akan dibuktikan bahwa sifat-sifat tersebut dipenuhi oleh suatu Aljabar Max-Plus.
Lebih terperinciAPLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK
APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA SISTEM PENJADWALAN KERETA REL LISTRIK (KRL) JABODETABEK oleh AHMAD DIMYATHI M0111003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciHALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN DOSEN YUNOR
HALAMAN PENGESAHAN PROPOSAL PENELITIAN DOSEN YUNOR. Judul Penelitian : Identifikasi Sifat-Sifat Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Max-Plus..Ketua Pelaksana : a. Nama : Musthofa, M.Sc b.
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dibahas tentang semiring, Aljabar Max-Plus, sifat-sifat
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas tentang semiring, Aljabar Max-Plus, sifat-sifat Aljabar Max-Plus, matriks atas Aljabar Max-Plus, matriks dan graf, nilai eigen dan vektor eigen Aljabar Max-Plus,
Lebih terperinciMENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR
MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS INTERVAL TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika oleh DEVI SAFITRI 10654004470 FAKULTAS
Lebih terperinciMASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
MASALAH NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN YANG DIPERUMUM MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS oleh DIAN RIZKI NURAINI M0111021 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Tri Anggoro Putro, Siswanto, Supriyadi Wibowo Program Studi Matematika FMIPA UNS Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas
Lebih terperinciABSTRACT. v(k + 1) = A v(k),
ii ABSTRAK Dwi Setiawan, 2016. APLIKASI ALJABAR MAKS-PLUS PADA MASALAH PENJADWALAN PENGOPERASIAN BUS BATIK SOLO TRANS (BST) KORI- DOR SATU DI SURAKARTA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas
Lebih terperinciANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS
ANALISIS EIGENPROBLEM MATRIKS SIRKULAN DALAM ALJABAR MAX-PLUS Maria Ulfa Subiono 2 dan Mahmud Yunus 3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 23 e-mail: ulfawsrejo@yahoo.com subiono28@matematika.its.ac.id
Lebih terperinciPENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA SISI DALAM ALJABAR MAX-PLUS BILANGAN FUZZY Any Muanalifah August 9, 2010 Latar Belakang Latar Belakang Teori himpunan fuzzy berkembang pesat saat ini. Banyak sekali
Lebih terperinciPENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Casilda Reva Kartika, Siswanto, dan Sutrima Program Studi Matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem kejadian diskrit (Discrete-Event System) merupakan suatu sistem yang state space nya berbentuk diskret, sistem yang keadaannya berubah hanya pada waktu
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. aljabar max-plus bersifat assosiatif, komutatif, dan distributif.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Aljabar max-plus adalah himpunan R := R { } dilengkapi dengan operasi a b := max(a,b) dan a b := a + b. Elemen identitas penjumlahan dan perkalian berturut-turut
Lebih terperinciAljabar Maxplus dan Aplikasinya : Model Sistem Antrian
J. Math. and Its Appl. ISSN: 829-605X Vol. 6, No., May 2009, 49 59 Aljabar Maxplus dan Aplikasinya : Model Sistem Antrian Subiono Jurusan Matematika FMIPA ITS, Surabaya subiono2008@matematika.its.ac.id
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Sistem kejadian diskrit (SKD) adalah nama klasifikasi masalah tentang sistem dengan sumber daya berhingga yang digunakan oleh beberapa pengguna untuk mencapai
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciPENJADWALAN KEBERANGKATAN KERETA API DI JAWA TIMUR DENGAN MENGGUNAKAN MODEL PETRINET DAN ALJABAR MAX-PLUS
PENJADWALAN KEBERANGKATAN KERETA API DI JAWA TIMUR DENGAN MENGGUNAKAN MODEL PETRINET DAN ALJABAR MAX-PLUS AHMAD AFIF 1, SUBIONO 2 Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Institut Teknologi Sepuluh
Lebih terperinciMENENTUKAN EIGEN PROBLEM ALJABAR MAX-PLUS
MENENTUKAN EIGEN PROBLEM ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI Diajukan Kepada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Syarat Memperoleh Gelar Sarjana
Lebih terperinciPENJADWALAN KEGIATAN BELAJAR MENGAJAR SEKOLAH MENENGAH ATAS MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS
PENJDWLN KEGITN BELJR MENGJR SEKOLH MENENGH TS MENGGUNKN LJBR MX-PLUS Yustinus Hari Suyanto 1, Subiono 2 Graduate of Student Department of Mathematic ITS, Surabaya 1 hari_yustinus@yahoo.co.id, 2 subiono2008@matematika.its.ac.id
Lebih terperinciPENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG
PENERAPAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ITERATIF MAKS-PLUS PADA MASALAH LINTASAN TERPANJANG Mira Amalia, Siswanto, dan Bowo Winarno Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Aljabar merupakan cabang ilmu matematika
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciMASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS
MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS Farida Suwaibah, Subiono, Mahmud Yunus Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya,, e-mail: fsuwaibah@yahoo.com
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciMatematika Teknik INVERS MATRIKS
INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciNilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus
Nilai Eigen dan Vektor Eigen Universal Matriks Interval Atas Aljabar Max-Plus Fitri Aryani 1, Tri Novita Sari 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suska.ac.id
Lebih terperinciKarakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi dan Tereduksi dalam Aljabar Max-Plus
Karakterisasi Nilai Eigen, Vektor Eigen, dan Eigenmode dari Matriks Tak Tereduksi dan Tereduksi dalam Aljabar Max-Plus Himmatul Mursyidah (1213 201 001) Dosen Pembimbing : Dr. Subiono, M.S. Program Magister
Lebih terperinciPENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS Galih Gusti Suryaning Akbar, Siswanto, dan Santoso Budi Wiyono Program Studi Matematika
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Sistem kejadian dinamik diskrit (discrete-event dynamic system) merupakan sistem yang keadaannya berubah hanya pada titik waktu diskrit untuk menanggapi terjadinya
Lebih terperinciSEMINAR TUGAS AKHIR. Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter
SEMINAR TUGAS AKHIR Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter OLEH: Kistosil Fahim DOSEN PEMBIMBING: Dr. Subiono, M.Sc Subchan, M.Sc.,PhD
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI DALAM ALJABAR MAKS-PLUS BESERTA APLIKASINYA oleh BUDI AGUNG PRASOJO M0105001 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus Himpunan bilangan riil (R) dengan diberikan opersai max dan plus dengan mengikuti definisi berikut : Definisi II.A.1: Didefinisikan εε dan ee 0, dan untuk himpunan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Bilangan Kompleks Bilangan merupakan suatu konsep dalam matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Sistem bilangan yang dikenal saat ini merupakan hasil perkembangan
Lebih terperinciSISTEM MAKS-LINEAR DUA SISI ATAS ALJABAR MAKS-PLUS 1. PENDAHULUAN
SISTEM MAKS-LINEAR DUA SISI ATAS ALJABAR MAKS-PLUS Kiki Aprilia, Siswanto, dan Titin Sri Martini Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret ABSTRAK.
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciLAPORAN PENELITIAN REPRESENTASI GRAF MAKS-PLUS PADA SISTEM KEJADIAN DISKRET
LAPORAN PENELITIAN REPRESENTASI GRAF MAKS-PLUS PADA SISTEM KEJADIAN DISKRET Nilamsari Kusumastuti, M.Sc. Shantika Martha, S.Si, Evy Sulistyaningsih, S.Si. FAKULTAS MArE #ff ffix*tf ffiffi" ETAH'AN ALAM
Lebih terperinciTerapan Aljabar Max-Plus Pada Sistem Produksi Sederhana Serta Simulasinya Dengan Menggunakan Matlab
J. Math. and Its Appl. ISSN: 189-605X Vol. 1, No., Nov. 004, 1 7 Terapan Aljabar Max-Plus Pada Sistem Produksi Sederhana Serta Simulasinya Dengan Menggunakan Matlab Subiono Jurusan Matematika, FMIPA -
Lebih terperinciPENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN JADWAL PRODUKSI PADA SISTEM PRODUKSI TIPE ASSEMBLY DI PERUSAHAAN ROTI GANEP SOLO MENGGUNAKAN ALJABAR MAKS-PLUS oleh GALIH GUSTI SURYANING AKBAR M0111039 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan
Lebih terperinciPEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI
PEMODELAN JARINGAN DAN ANALISA PENJADWALAN KERETA API KOMUTER DI DAOP VI YOGYAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan
Lebih terperinciSISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS oleh ANITA NUR MUSLIMAH M01009009 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciA-7 KEBEBASAN LINEAR DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-9-4 A-7 KEBEBASAN LINEAR DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL Siswanto 1, Aditya NR 2, Supriyadi W 3 1,2,3 Jurusan Matematika FMIPA UNS 1 sismipauns@yahoocoid, 2 adityanurrochma@yahoocom,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciPOLINOMIAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
POLINOMIAL ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-4 Harry Nugroho 1, Effa Marta R 2, Ari Wardayani 3 1,2,3 Program Studi Matematika Universitas Jenderal Soedirman 1 harry_nugroho92@yahoo.com 2 marta_effa, 3
Lebih terperinciPENERAPAN ALJABAR MAKS-PLUS PADA PENJADWALAN SISTEM PRODUKSI HARIAN UMUM SOLOPOS DI PT. SOLO GRAFIKA UTAMA
PENERAPAN ALJABAR MAKS-PLUS PADA PENJADWALAN SISTEM PRODUKSI HARIAN UMUM SOLOPOS DI PT. SOLO GRAFIKA UTAMA oleh ARIF MUNTOHAR M0111012 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciOPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS
OPTIMASI WAKTU PRODUKSI DAN ANALISIS KEPERIODIKAN PADA GRAF SISTEM PRODUKSI BER-LOOP DENGAN MENGGUNAKAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh
Lebih terperinciPelabelan matriks menggunakan huruf kapital. kolom ke-n. kolom ke-3
MATRIKS a. Konsep Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ( ) atau
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan mengenai teori dan terminologi graph, yaitu bentukbentuk khusus suatu graph dan juga akan diuraikan penjelasan mengenai shortest path. 2.1 Konsep Dasar
Lebih terperinciPERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL
PERMANEN DAN DOMINAN SUATU MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL Siswanto Jurusan Matematika FMIPA UNS sis.mipauns@yahoo.co.id Abstrak Misalkan R himpunan bilangan real. Aljabar Max-Plus adalah himpunan
Lebih terperinciAplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter
JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1 Aplikasi Aljabar Max-Plus Pada Pemodelan Dan Penjadwalan Busway Yang Diintegrasikan Dengan Kereta Api Komuter Kistosil Fahim, Subchan, Subiono Jurusan Matematika,
Lebih terperinciPENJADWALAN PEMANDU WISATA DI KERATON KASUNANAN SURAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS
PENJADWALAN PEMANDU WISATA DI KERATON KASUNANAN SURAKARTA DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS oleh ADITYA WENDHA WIJAYA M0109003 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciMENENTUKAN LINTASAN TERPENDEK DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS TESIS
UNIVERSITAS INDONESIA MENENTUKAN LINTASAN TERPENDEK DENGAN MENGGUNAKAN ALJABAR MAX-PLUS TESIS DESSY 0906577324 FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA DEPOK JULI
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. yang diapit oleh dua kurung siku sehingga berbentuk empat persegi panjang atau
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan diberikan kajian teori mengenai matriks dan operasi matriks, program linear, penyelesaian program linear dengan metode simpleks, masalah transportasi, hubungan masalah
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciStruktur Hirarkis Jalur Kereta Api SDT Menggunakan Petri Net dan Aljabar Max-Plus
Struktur Hirarkis Jalur Kereta Api SDT Menggunakan Petri Net dan Aljabar Max-Plus Tri Utomo 1, Subiono 2 1 Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya, Three1st@gmail.com 2 Institut Teknologi Sepuluh
Lebih terperinciStudi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar Max-Plus
Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar Max-Plus Nahlia Rakhmawati Dosen Pendidikan Matematika STKIP PGRI Jombang rakhmanahlia.stkipjb@gmail.com ABSTRAK Pada penelitian ini dirancang
Lebih terperinciKARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL
TESIS SM 142501 KARAKTERISASI PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR SUPERTROPICAL Dian Yuliati NRP. 1214 201 002 DOSEN PEMBIMBING Dr. Subiono, M.S. PROGRAM MAGISTER JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperinciPENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS
PENENTUAN WAKTU KEDATANGAN PESAWAT DI BANDAR UDARA HUSEIN SASTRANEGARA BANDUNG DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR ATAS ALJABAR MAKS-PLUS oleh CASILDA REVA KARTIKA M0112021 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciSEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II
ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.
Lebih terperinciKEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
KEBEBASAN LINEAR GONDRAN-MINOUX DAN REGULARITAS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Annisa Rahmawati, Siswanto, Muslich Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sebelas Maret
Lebih terperinci8 MATRIKS DAN DETERMINAN
8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk
Lebih terperinciPemodelan Jadwal Keberangkatan Pesawat Transit di Bandara Dengan Menggunakan Aljabar Maxplus
Pemodelan Jadwal Keberangkatan Pesawat Transit di Bandara Dengan Menggunakan Aljabar Maxplus Dyah Arum Anggraeni 1, Subchan 2, Subiono 3 Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya dyaharumanggraeni@gmail.com
Lebih terperinciSemi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi Subjudul (jika diperlukan) [TNR14, spasi 1] Suroto, Ari Wardayani Jurusan Matematika
Lebih terperinciSISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-9-4 SISTEM LINEAR DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Anita Nur Muslimah 1, Siswanto 2, Purnami Widyaningsih 3 A-1 Jurusan Matematika FMIPA UNS 1 anitanurmuslimah@yahoo.co.id, 2 sis.mipauns@yahoo.co.id,
Lebih terperinciPENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH DENGAN ALJABAR MAX-PLUS
PENENTUAN WAKTU PRODUKSI TERCEPAT PADA SISTEM MESIN PRODUKSI JAMU DI PT. PUTRO KINASIH DENGAN ALJABAR MAX-PLUS oleh CAESAR ADHEK KHARISMA M0109017 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid
BAB 2 SEMIGRUP DAN MONOID Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan memahami konsep dari Semigrup dan Monoid Tujuan Instruksional Khusus : Setelah
Lebih terperinciKajian Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Monorel dan Trem yang Terintegrasi di Kota Surabaya
Kajian Aljabar Max-Plus pada Pemodelan dan Penjadwalan Monorel dan Trem yang Terintegrasi di Kota Surabaya Oleh: Fatma Ayu Nuning Farida Afiatna Dosen Pembimbing: Dr. Subiono, M.Sc Subchan, Ph.D Latar
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
5 BAB 2 LANDASAN TEORI Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah ilmu yang mempelajari suatu sistem aljabar dengan satu atau lebih operasi biner yang diberlakukan pada sistem aljabar tersebut. Struktur
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciSOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinciPOLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS. 1. Pendahuluan
POLINOMIAL KARAKTERISTIK MATRIKS DALAM ALJABAR MAKS-PLUS Maryatun, Siswanto, dan Santoso Budi Wiyono Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak Polinomial dalam aljabar maks-plus dapat dinotasikan sebagai
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciAPLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS DALAM MENGOPTIMALISASI WAKTU PRODUKSI BAKPIA PATHOK JAYA 25 DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA SKRIPSI
APLIKASI SISTEM PERSAMAAN LINEAR ALJABAR MAX-PLUS DALAM MENGOPTIMALISASI WAKTU PRODUKSI BAKPIA PATHOK JAYA 25 DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciUNIVERSITAS INDONESIA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DALAM ALJABAR MAX-PLUS TESIS RIDA NOVRIDA
UNIVERSITAS INDONESIA NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DALAM ALJABAR MAX-PLUS TESIS Diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar magister sains RIDA NOVRIDA 1006786221 FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciKETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS
KETERCAPAIAN DARI RUANG EIGEN MATRIKS ATAS ALJABAR MAKS PLUS oleh TRI ANGGORO PUTRO M0112100 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika FAKULTAS
Lebih terperinci2. MATRIKS. 1. Pengertian Matriks. 2. Operasi-operasi pada Matriks
2. MATRIKS 1. Pengertian Matriks Matriks adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang menurut baris dan kolom. Matriks diberi nama huruf besar, sedangkan elemen-elemennya dengan huruf
Lebih terperinciMATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.
MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun
Lebih terperinciOperasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)
MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan
Lebih terperinciImplementasi Aljabar Max-Plus pada Pemolan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota DAMRI (Studi Kasus di Surabaya)
Implementasi Aljabar Max-Plus pada Pemolan dan Penjadwalan Keberangkatan Bus Kota DAMRI (Studi Kasus di Surabaya) Kresna Oktafianto, Subiono, Subchan Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciIDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring
Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 41 46 (2013) IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring YOHANA YUNET BAKARBESSY 1, HENRY W. M. PATTY
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinci