Nilai Total Ketakteraturan Titik dari m-copy Graf Lingkaran

Transkripsi

1 Jural Sas Matematka da Statstka, Vol. 4, No. 1, Jauar 2018 Nla Total Ketakteratura Ttk dar m-copy Graf Lgkara Corry Corazo Marzuk 1, Mlla Lestar 2 1,2 Jurusa Matematka, Fakultas Sas da Tekolog, UIN Sulta Syarf Kasm Rau Jl. HR. Soebratas No. 155 Smpag Baru, Paam, Pekabaru, Emal: corrazo_m@yahoo.co.d, mllalestar215@gmal.com ABSTRAK Pelabela- total pada graf dega hmpua ttk tak kosog da hmpua ss adalah suatu pelabela. Suatu pelabela-k total dkataka tak teratur ttk, jka bobot setap ttk berbeda. Bobot suatu ttk dega pelabela adalah jumlah label ttk da label semua ss yag terkat dega ttk. Nla total ketakteratura ttk dar graf G (total vertex rregularty stregth) dotaska dega adalah la k mmum atau label terbesar mmum yag dguaka utuk melabel graf G dega pelabela total tak teratur ttk. Pada makalah dtetuka la total ketakteratura ttk dar -copy graf lgkara yag dotaska dega dega da. Kata Kuc: m-copy graf lgkara, la total ketakteratura ttk, pelabela total tak teratur ttk. ABSTRACT A total k-labellg of a graph wth a o empty set V of vertces ad a set E of edges, s a labelg. A total k-labelg s called vertex rregular total labelg f the weght of two dstct vertces are dfferet. The weght of a vertex v, uder a labelg, s the sum of label of vertex v ad all labels of edges that adjacet wth v. Total vertex rregularty stregth of graph G deoted by s the mmum k for whch the graph G has a vertex rregular total labelg. I ths paper we determe the total vertex rregularty stregth of m-copes of cycles wth ad. Keywords: m-copy graph cycles, total vertex rregularty stregth, totally vertex rregular total labelg. Pedahulua Graf merupaka salah satu cabag petg dalam lmu Matematka yag terus dkembagka terutama dalam lmu komputer dmaa dega graf dapat mempresetaska bayak sekal model persoala. Dalam kehdupa sehar-har, graf dguaka utuk meggambarka berbaga macam struktur yag ada. Tujuaya adalah sebaga vsualsas objek-objek agar lebh mudah dmegert [10]. Teor graf merupaka pokok bahasa yag sudah tua usaya amu memlk bayak terapa sampa saat. Graf dguaka utuk mempresetaska objek-objek dskrt da hubuga atara objek-objek tersebut. Graf ddefska sebaga pasaga hmpua V, E dtuls dega otas G V, E, yag dalam hal V adalah hmpua tdak kosog dar smpul-smpul (vertces atau odes) dotaska dega v 1, v2,..., v da E adalah hmpua ss-ss (edges atau arcs) yag meghubugka sepasag smpul dotaska dega e 1, e2,..., e [7]. Pelabela total tak teratur pertama kal dperkealka oleh Mart Baca, dkk pada Tahu 2001 [4]. Pelabela- k total ddefska sebaga pemetaa yag memasagka usur-usur graf (ttk da ss) dega blaga bulat postf yag dotaska dega : V E 1,2,..., k. Suatu pelabela-k total dkataka tak teratur ttk, jka bobot setap ttk berbeda. Nla total ketakteratura 73

2 Jural Sas Matematka da Statstka, Vol. 4, No. 1, Jauar 2018 ttk (total vertex rregularty stregth) dar graf G, yag dotaska dega G tvs adalah label terbesar mmum yag dguaka utuk melabel graf G dega pelabela total tak teratur ttk. Terdapat beberapa jes graf, salah satuya adalah graf lgkara (cycle). Graf lgkara adalah graf sederhaa yag dmula da dakhr pada ttk yag sama da setap smpulya berderajat dua. Graf lgkara dega smpul dlambagka dega C. Beberapa peelt yag membahas tetag la total ketakteratura ttk adalah Nurd, dkk dega judul O The Total Vertex Irregular Stregth of A Dsjot Uo of t Copes of A Path [11], hasl dar peelta dperoleh t 1 tvstp t utuk 1, tvstp t 1 utuk 2 3, da tvstp 3 utuk 4. Peelta selajutya oleh Nurd, dkk. berjudul O Total Vertex Irregularty Stregth of Trees [9]. Peelta oleh Al Ahmad, dkk. dega judul Total Vertex Irregularty Stregth of Wheel Related Graphs [1] da Total Vertex Irregularty Stregth of Certa Classes of Ucyclc Graphs [2]. Peelta oleh Idra Rajasgh, dkk. dega judul O Total Vertex Irregularty Stregth of Tragle Related Graphs [5] da O The Total Vertex Irregularty Stregths of Cycle Related Graphs ad H Graphs [6]. Peelta oleh Ashfaq Ahmad, dkk. dega judul Total Vertex Irregularty Stregth of Ladder Related Graphs [3]. Berdasarka keteraga d atas, maka peelt tertark utuk membahas megea la total ketakteratura ttk tvsdar m copy graf lgkara. Metode da Baha Peelta Bayak sekal struktur yag bsa drepresetaska dega graf, da bayak masalah yag bsa dselesaka dega graf. Teor graf pertama kal dperkealka oleh Leohard Euler pada Tahu 1736 melalu tulsaya yag bers tetag upaya pemecaha masalah jembata Kogsberg. Graf G ddefska sebaga pasaga hmpua V, E dtuls dega otas G V, E, yag dalam hal V adalah hmpua tdak kosog dar smpul-smpul (vertces atau odes) da E adalah hmpua ss-ss (edges atau arcs) yag meghubugka sepasag smpul. Defs d atas meyataka bahwa V tdak boleh kosog, sedagka E boleh kosog. Jad, sebuah graf dmugkka tdak mempuya ss satu buah pu, tetap smpulya harus ada, mmal satu. Graf yag haya mempuya satu buah smpul tapa sebuah ss pu damaka graf trval [2]. Pelabela pada suatu graf adalah pemetaa yag memasagka usur graf yatu ttk atau ss dega blaga bulat postf. Berdasarka eleme-eleme yag dlabel maka pelabela dbag ke dalam tga jes, yatu pelabela ttk, pelabela ss, da pelabela total. Jka doma dar pemetaa adalah ttk, maka pelabela dsebut pelabela ttk (vertex labelg). Jka domaya adalah ss, maka dsebut pelabela ss (edge labelg), da jka domaya ttk da ss, maka dsebut pelabela total (total labelg). Salah satu jes pelabela yag belakaga mejad perbcaga yag cukup hagat yatu pelabela total tak teratur. Pelabela total tak teratur terdr dar pelabela total tak teratur ttk, pelabela total tak teratur ss, da pelabela total tak teratur total. Berkut aka dberka defs tetag pelabela total tak teratur ttk da pelabela total tak teratur total. Pelabela- k total tak teratur ttk pertama kal dperkealka oleh Bača, dkk., pada Tahu 2007, dalam jural yag berjudul O Irregular Total Labellgs [4]. Defs 1. [4] Msalka G V, E adalah sebuah graf. Pelabela : V E 1,2,, k dkataka pelabela- k total tak teratur ttk d G, jka setap dua ttk berbeda x da y d G xy memeuh wtx wty. Bobot ttk x yatu: wtx x xy E. Nla total ketakteratura ttk dar graf G yatu label terbesar mmum yag dguaka utuk melabel graf G dega pelabela- k total tak teratur ttk, yag dotaska dega tvs G. bobot ttk x yatu: wt xy x x xy. E 74

3 Jural Sas Matematka da Statstka, Vol. 4, No. 1, Jauar 2018 Bača, dkk. juga memperoleh batas bawah da batas atas la total ketakteratura ttk dar suatu graf G, yag dapat dlhat pada Teorema 2. Teorema 2. [4] Msalka G adalah graf maksmum G, maka: p 1 tvs G p 2 1 p, q dega derajat mmum G da derajat Adapu lagkah-lagkah yag dguaka dalam meetuka la total ketakteratura ttk dar m -copy graf lgkara sebaga berkut : 1. Dberka graf mc 2. Meetuka batas bawah dar tvs mc utuk m 1 da 2mod3 dega megguaka Teorema 2, yatu: p tvs G p 3. Meetuka pelabela-k total tak teratur ttk dar graf mc utuk m 1,2,3,..., 10 da 5,8,11dega megguaka label terbesar sebesar batas bawah yag dperoleh pada Lagkah Meetuka rumus utuk pelabela ttk dar graf mc utuk m 1 da 2mod3 dega megacu pada pola pelabela yag terdapat pada Lagkah Meetuka rumus utuk pelabela ss dar graf mc utuk m 1 da 2mod3 dega megacu pada pola pelabela yag terdapat pada Lagkah Meetuka rumus bobot ttk dar graf mc utuk m 1 da 2mod3 dega megacu pada Lagkah 4 da Lagkah Membuktka bahwa merupaka pelabela total tak teratur ttk pada graf mc utuk m 1 da 2mod3. 8. Megaplkaska rumus la total ketakteratura ttk dar graf mc yag dperoleh utuk m 15 da 5. Hasl da Pembahasa Graf mc merupaka sebuah graf yag dperoleh dega meggadaka graf C sebayak m, dmaa utuk setap hmpua ttk dar graf peggadaa tdak ada yag berrsa. Adapu pembera ama ttk da ss pada graf mc sebaga berkut: a. Pembera ama ttk da ss pada graf mc utuk gajl. Graf C hasl peggadaa ke- adalah v 1 1e 1 2v1 3e e 1vev1e2v3e4... e 13v1 2e1 1v1 1 dega 1 m. b. Pembera ama graf mc utuk geap. Graf C hasl peggadaa ke- adalah v 1 1e 1 2v1 3e eve 1v2e3v4... e 13v1 2e1 1v1 1 dega 1 m. 75

4 Jural Sas Matematka da Statstka, Vol. 4, No. 1, Jauar 2018 berkut : Hasl peelta tetag Teorema 3. Utuk 1 tvs mc utuk 1 m da 2mod3 berlaku: m da 2mod3 mc tvs 76 m 2 3, dberka dalam teorema Bukt: p Berdasarka Teorema 1, tvs mc p. Oleh karea p= m da = =2 m 2 m 2 maka dperoleh 1 3 tvs mc m. Jad terbukt bahwa tvsmc 3. m 2 Selajutya aka dbuktka tvsmc 3. Hal aka dbuktka dega cara m 2 meujukka adaya pelabela- 3 total tak teratur ttk pada graf mc, yatu: a. Pelabela ttk pada graf mc, utuk 1 2 mod3 adalah sebaga berkut: 2 3 utuk mod 3, v 3 utuk 1mod 3, 1 3 utuk laya. b. Pelabela ss pada graf mc, utuk m 1 da 2mod3 adalah sebaga berkut: 1 e 3 utuk 1 m. Berdasarka pelabela datas, dapat dhtug bobot ttk pada graf mc, utuk m 1 da 2mod3 sebaga berkut: 1. Utuk 1mod 3 wtv v e e Utuk 1mod 3 da 2 1mod 3 wtv v e e m da

5 Jural Sas Matematka da Statstka, Vol. 4, No. 1, Jauar Utuk mod 3 wtv v e e Utuk 2mod 3 da 0mod 3 wtv v e e 1 5. Utuk laya wt v v e e Adapu rumus umum utuk bobot ttk dar graf sebaga berkut: wt v mc, utuk 1 utuk 1mod 3 da 2 1mod 3 m da 2mod3, utuk 2mod 3 da 0mod 3 utuk laya. m da 2mod3, Bobot ttk dar graf mc dmaa 1 adalah blaga bulat postf beruruta yatu 2, dega 1,2,3,... m, atau dega kata la bobot ttk dar graf mc adalah blaga bulat postf beruruta mula dar 3 sampa dega m 2, sehgga bobot setap ttkya m 2 berbeda semua. Jad la tvsmc 3. m 2 m 2 Oleh karea tu tvsmc 3 da tvsmc 3 terbukt m 2 tvsmc 3. 77

6 Jural Sas Matematka da Statstka, Vol. 4, No. 1, Jauar 2018 Kesmpula Berdasarka hasl da pembahasa tetag la total ketakteratura ttk dar m copy graf lgkara, dapat dsmpulka bahwa la total ketakteratura ttk dar m copy graf lgkara m 2 tvs mc utuk m 1 da 2mod3. 3 adalah Daftar Pustaka [1] Ahmad, A., Awa, K.M., Javad, I., da Slam. Total Vertex Irregularty Stregth of Wheel Related Graphs. Australasa Joural of Combatorcs. Vol. 51 (2011) [2] Ahmad, A., Bača, M., da Bashr, Y. Total Vertex Irregularty Stregth of Certa Classes of Ucyclc Graphs. Bull. Math. Soc. Sc. Math. Roumae. Vol.57 (105) No. 2 (2014) [3] Ahmad, A., Bokhary, S.A.H., Has, R., da Slam. Total Vertex Irregularty Stregth of Ladder Related Graphs. Sc. It(Lahore) 26(1) (2014) 1-5. [4] Bača, M., Jedrol J., Mller, M., da Rya, J. O Irregular Total Labellgs, Dscrete Math. Vol. 307 (2007) [5] Rajasgh, I., Raja, B., da Aamma,V. O Total Vertex Irregularty Stregth of Tragle Related Graphs. Aals of Pure ad Appled Mathematcs Vol.1 No.2 (2012) [6] Rajasgh, I., Raja, B., da Aamma,V. O The Total Vertex Irregularty Stregths of Cycle Related Graphs ad H Graphs. Iteratoal Joural of Computer Applcatos 52 (19) (2012) [7] Mur, R. Matematka Dskrt. Eds Tga, halama 353. Iformatka Badug, Badug [8] Nurd, Salma, A.N.M., Gaos, N.N., Baskoro, E.T. O the Total Vertex Irregular Stregth of a Dsjot Uo of t Copes of a Path. Joural of Combatoral Mathematcs ad Combatoral Computg 71 (2009) [9] Nurd, Baskoro, E.T., Salma, A.N.M., Gaos, N.N. O Total Vertex Irregularty Stregth of Trees. Dscrete Math. 233 (2010) [10] Sag, J.J. Matematka Dskrt da Aplkasya Pada Ilmu Komputer. Eds Empat, halama 217. Ad, Yogyakarta