PELABELAN-k TOTAL TAK TERATUR SISI DAN NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF LINTANG. oleh DWI HANDAYANI M

Transkripsi

1 PELABELAN-k TOTAL TAK TERATUR SISI DAN NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF LINTANG oleh DWI HANDAYANI M 9 SKRIPSI dtul da dauka utuk memeuh ebaga peryarata memperoleh gelar Saraa Sa Matematka FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 7

2 SKRIPSI PELABELAN-k TOTAL TAK TERATUR SISI DAN NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF LINTANG yag dapka da duu oleh DWI HANDAYANI M 9 Pembmbg I, dbmbg oleh Pembmbg II, Dra Maa Roha, MS NIP 8 86 Dr Bambag Harto, MAppSc NIP telah dpertahaka d depa Dewa Pegu pada har Rabu, taggal Me 7 da dyataka telah memeuh yarat Aggota Tm Pegu Dr Tr Atmoo K, MSc, PhD Dra Dar Idrat, MS Wta Suladar, MS Tada Taga Surakarta, Me 7 Dahka oleh Fakulta Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Deka, Ketua Jurua Matematka, Dr Maru, MS NIP Dr Kartko, MS NIP 69

3 ABSTRAK Dw Hadaya, 7 PELABELAN-k TOTAL TAK TERATUR SISI DAN NILAI KETAKTERATURAN TOTAL SISI DARI GRAF LINTANG Fakulta Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uerta Sebela Maret Pelabela-k total tak teratur dar graf G(V,E) dega hmpua ttk tak koog V da hmpua E adalah pelabela : V E {,,, k}, edemka ehgga bobot etap berbeda Bobot ebuah u dega pelabela adalah umlah dar label u da label emua ttk yag cdet dega u, ( u) ( u) ( u) ( ) Nla ketakteratura total dar graf G yag dotaka dega te(g), adalah blaga bulat potf terkecl k ehgga G memlk pelabela-k total tak teratur Skrp megka ulag ecara teort hal dar Nurd dkk () megea la ketakteratura total graf ltag L, utuk uatu blaga bulat potf da Graf ltag L adalah o dar graf K da yag dotaka dega K K, dega K adalah kompleme dar graf legkap dega ttk Berdaarka pembahaa, dapat dmpulka bahwa pelabela total tak teratur dapat dberka pada graf ltag L da la ketakteratura total ya dapat dtetuka, yatu te( L ) K

4 ABSTRACT Dw Hadaya, 7 ON EDGE IRREGULAR TOTAL k-labeling AND TOTAL EDGE IRREGULARITY STRENGTH OF LINTANG GRAPH Faculty of Mathematc ad Natural Scece Sebela Maret Uerty A edge rregular total k-labelg of a graph ( V E) G, h a o empty et V of ertce ad a et E of edge, a labelg : V E {,,, k}, uch that the weght calculated at eery edge are dtct The weght of a edge u, uder a total labelg, the um of label of a edge u ad all label of ertce that cdet h u, ( u) ( u) ( u) ( ), the mmum k for whch the graph G ha a edge rregular total k-labelg Th fal agmet tude the reult of Nurd et al () o total edge rregularty tregth of ltag graph L, for ay pote teger ad The total edge rregularty tregth of a graph G, deoted by te ( G) A ltag graph L a o of K ad K, deoted by K K, where K the complemet of complete graph o ertce Baed o the dcuo, we coclude that a edge rregular total labelg ca be ge o a ltag graph L ad the total edge rregularty ca be determed, that te( L )

5 MOTO Proe yag kta alam ebearya lebh petg dar hal yag udah ad (Sprt) Cara pkr yag potf aka elalu meyeleaka maalah yag udah daggap tdak mugk utuk data (Sprt) Orag yag tak bera mecoba memag tak aka perah gagal, amu pada aat yag ama mereka tdak aka perah meag! (Sprt)

6 PERSEMBAHAN Karya kuperembaka utuk My loely Mom I loe alway m u Bapak, kakak da adk-adkku terayag Sobatku, Aat, Fee, Kuuma, La, Lha, Naom, Mba Ra da Tra

7 KATA PENGANTAR Segala pu da yukur peul paatka kepada Tuha Yag Maha Ea, ata egala berkat da rahmat yag telah dlmpahkanya ehgga peul dapat meyeleaka da meyuu krp D dalam peula krp, peul tdak lepa dar egala keulta da keterbataa yag akhrya dapat peul ata berkat batua dar berbaga phak Oleh karea tu, udah epataya pada keempata peul megucapka terma kah kepada Dra Maa Roha, MS da Dr Bambag Harto, M App Sc, ebaga pembmbg I da pembmbg II yag telah memberka petuuk dalam peyuua krp, eluruh taf doe d Jurua Matematka, reka-reka Matematka, khuuya agkata FMIPA UNS ata dukugaya, egeap phak yag telah membatu ehgga krp dapat elea Akhrya peul berharap emoga krp bermafaat bag pembaca Surakarta, Aprl 7 Peul

8 DAFTAR ISI Halama HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGESAHAN ABSTRAK ABSTRACT MOTO PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR x DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL x BAB I PENDAHULUAN Latar Belakag Maalah Perumua Maalah Bataa Maalah Tuua Peula Mafaat Peula BAB II LANDASAN TEORI Taua Putaka Graf Pelabela Graf 8 Keragka Pemkra BAB III METODE PENELITIAN BAB IV PEMBAHASAN Bata Nla Ketakteratura Total S Sembarag Graf Nla Ketakteratura Total S Graf Ltag L 8 BAB V PENUTUP Kempula DAFTAR PUSTAKA

9 DAFTAR GAMBAR Halama Gambar : Graf G Gambar : Graf dega loop da ragkap Gambar : Cycle C da C Gambar : Graf legkap Gambar : Graf da komplemeya Gambar 6 : Dua graf yag omorfk ( G G ) 6 Gambar 7 : Gabuga dar graf K da K 6 Gambar 8 : Jo dar graf K da K 7 Gambar 9 : Graf L 9 7 Gambar : Graf berbobot 8 Gambar : Pelabela total pada C 9 Gambar : Pelabela- total tak teratur pada C Gambar : Pelabela total tak teratur Gambar : Pelabela total tak teratur yag optmal 6 Gambar : Graf L 8 Gambar : Pelabela-9 total tak teratur graf L 9 8 x

10 DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL G : Suatu graf G : Kompleme uatu graf G(V, E) : Graf G dega hmpua ttk tak koog V da hmpua E V : Hmpua ttk dar graf G(V, E) E : Hmpua dar graf G(V, E) V : Order (bayak ttk) dar graf G(V, E) E : Sze (bayak ) dar graf G(V, E) u : Suatu pemetaa yag membawa eleme-eleme graf ke blagablaga bulat potf atau o egatf : Ttk u ke- w x : Ttk ke- : Ttk w ke- : Ttk x ke- : Ttk ke- dar kop graf ke- e : S e ke- e u : S e yag cdet dega ttk u da G G : Gabuga dar graf G da G G G : Jo dar graf G da G G : Gabuga dar graf G L : kop graf ltag dega da : Bayakya kop graf ltag : Bayakya ttk dar graf K K K C : Graf legkap dega ttk : Kompleme graf legkap dega ttk : Cycle dega ttk x

11 ( u ) : Bobot ttk u ( u ) : Bobot yag cdet dega ttk u da k : Blaga bulat potf terkecl dar label terbear dar emua pelabela te ( G) : Nla ketakteratura total graf G L(G) L (G) x x φ : Matrk L yag meyaka label ttk da dar graf G : Matrk L yag meyaka label ttk da kop ke- dar graf G : Celg dar x (blaga bulat terkecl yag lebh bear atau ama dega x) : Floor dar x (blaga bulat terbear yag lebh kecl atau ama dega x) : Iomorfk : Suatu pemetaa atu-atu : Akhr bukt x

12 BAB I PENDAHULUAN Latar Belakag Maalah Teor graf merupaka alah atu cabag lmu matematka yag memlk bayak terapa, malya peyeleaa maalah peetua arak terpedek, matchg, game, puzzle da pelabela (labelg) Meurut Wall (), pelabela uatu graf adalah pemetaa yag membawa eleme-eleme graf ke blaga-blaga bulat potf atau o egatf Pada umumya doma dar pemetaa adalah hmpua ttk (pelabela ttk atau ertex labelg), hmpua (pelabela atau edge labelg) atau hmpua emua ttk da (pelabela total atau total labelg) Wall () meyataka bahwa bobot (weght) dar eleme graf adalah umlah dar emua label yag berhubuga dega eleme graf terebut Bobot ebuah u dega pelabela adalah ( u) ( u) ( u) ( ) Bača et al () meyataka bahwa pelabela-k total tak teratur pada graf G(V,E), dega hmpua ttk tak koog V da hmpua E, adalah pelabela : V E {,,, k} edemka ehgga utuk etap dua yag berbeda, e u da f u k l, berlaku ( e) ( f ) Bača et al () meyataka bahwa la ketakteratura total dar graf G yag dotaka dega te(g), adalah blaga bulat potf terkecl k ehgga G memlk pelabela-k total tak teratur Bača et al () memberka bata bawah da bata ata la ketakteratura total utuk embarag graf G(V, E), yatu E te( G) E Nurd dkk () melakuka peelta utuk meetuka la ketakteratura total dar graf ltag L, utuk uatu blaga bulat potf

13 da, berdaarka bata bawah yag dberka oleh Bača et al () Dalam krp aka dka ulag ecara teort hal dar Nurd dkk () megea la ketakteratura total graf ltag Perumua Maalah Berdaarka latar belakag maalah, dapat drumuka permaalaha ebaga berkut Bagamaa memberka pelabela-k total tak teratur pada graf ltag? Bagamaa meetuka la ketakteratura total dar graf ltag? Bataa Maalah Bataa-bataa maalah dalam peula krp adalah graf berhgga, ederhaa da tdak berarah, pelabelaya adalah pelabela-k total tak teratur Tuua Peula Tuua dar peula krp adalah dapat memberka pelabela pada uatu graf Secara khuu tuuaya adalah dapat memberka pelabela-k total tak teratur pada graf ltag, dapat meetuka la ketakteratura total dar graf ltag Mafaat Peula Mafaat yag dperoleh dar peula krp adalah memperdalam pegetahua tetag pelabela, khuuya pelabela-k total tak teratur pada graf ltag, megetahu peetua la ketakteratura total dar uatu graf, khuuya graf ltag

14 BAB II LANDASAN TEORI Taua Putaka Baga ber tetag taua putaka yag memuat beberapa teor yag dguaka dalam peula krp, atara la pegerta tetag graf da pelabela, khuuya pelabela total tak teratur Graf Def (Johobaugh, ) Suatu graf G (graf tdak berarah) terdr dar hmpua ttk tak koog V da hmpua E edemka ehgga etap e E dhubugka oleh ebuah paaga tak beruruta dar ttk Sebuah e yag meghubugka ttk da w dapat dtulka ebaga e w atau e w Jumlah ttk dar graf G debut order yag dotaka dega V, edagka umlah dar graf G debut ze yag dotaka dega E Gambar meuukka ebuah graf dega hmpua ttk V da hmpua E, yatu V {,, } da E {,,, },, graf G adalah V da ze graf G adalah E Dega demka, order Gambar Graf G Def (Chartrad, 986) Dua ttk u da dkataka adacet ka u E(G) Jka e u E(G), maka u da mag-mag dkataka cdet dega e

15 Pada Gambar dapat dlhat bahwa ttk adacet dega ttk da, tetap tdak adacet dega ttk Pada Gambar dapat dlhat uga bahwa cdet dega ttk da, cdet dega ttk da, tetap tdak cdet dega ttk maupu ttk Def (Johobaugh, ) Suatu graf tapa loop da ragkap (paralel edge) debut graf ederhaa (mple graph) e e e e e e 7 e 6 Gambar Graf dega loop da ragkap Sebuah loop merupaka ebuah yag terhubug pada uatu ttk yag ama S ragkap adalah dua atau lebh yag meghubugka paaga ttk yag ama Graf G pada Gambar merupaka graf ederhaa, edagka graf pada Gambar buka graf ederhaa karea megadug loop da ragkap S e da e merupaka ragkap karea meghubugka dua ttk yag ama yatu da Sedagka e da e 7 merupaka loop karea mag-mag terhubug pada ttk da tu edr Def (Chartrad ad Oellerma, 99) Cycle merupaka bara ttkttk berbeda u,,, u u, dega, u u da u, u,, u adalah ttk-ttk yag C : C : Gambar Graf C da C

16 Suatu cycle dega paag atau mempuya eumlah ttk debut atau -cycle Gambar merupaka cotoh cycle dega da C Def (Fletcher et al, 99) Graf legkap (complete graph) dega ttk yag dotaka dega adacet K, adalah graf ederhaa yag etap ttkya Gambar merupaka cotoh lma graf legkap Terlhat bahwa etap ttk pada mag-mag graf terebut adacet K K K K K Gambar Graf legkap Def 6 (Chartrad ad Oellerma, 99) Kompleme graf G yag dotaka dega G, adalah graf dega V(G ) V(G) da u merupaka dar G ka da haya ka terebut buka dar G K : K : Gambar Graf da komplemeya Gambar meuukka graf legkap da komplemeya S- dar graf legkap K tdak dmlk oleh kompleme dar graf legkap terebut

17 6 Def 7 (Chartrad, 986) Dua buah graf G da G dkataka omorfk ( G G ) ka terdapat pemetaa atu-atu φ : V ( G ) V ( G ) ehgga dua ttk da adacet dalam graf G ( ) φ da ( ) φ adacet dalam graf G, edemka ka da haya ka ttk Graf G da G pada Gambar 6 merupaka cotoh dua buah graf yag omorfk Pemetaaya adalah : V ( G ) V ( G ) ( ) u φ, (,,, ) φ, dega u u G : G : u u Gambar 6 Dua graf yag omorfk ( G G ) Def 8 (Chartrad ad Oellerma, 99) Gabuga dar dua graf G da G yag dotaka dega G G, adalah graf yag mempuya V ( G G ) V ( G ) V ( ) da E( G G ) E( G ) E( ) G G Jka G G G, maka dotaka dega G utuk G G Pada umumya, ka dotaka dega G utuk G, G,, G adalah graf yag omorfk dega G, maka G G G Dega kata la, G adalah kop graf G, yatu gabuga dar graf G Gambar 7 meuukka graf K K K K : Gambar 7 Gabuga dar graf K da K

18 7 Def 9 (Chartrad ad Oellerma, 99) Jo dar dua graf G da G yag dotaka dega G G, adalah graf yag terdr dar perpadua G da emua u, dega u V ( ) da V ( ) G G G Graf K K dtuukka oleh Gambar 8 Setap ttk dar mag-mag graf alg dhubugka oleh ebuah baru ehgga kedua graf terhubug K : K : K K : Gambar 8 Jo dar graf K da K Def (Nurd dkk, ) Graf ltag yag dotaka dega L, adalah o dar graf K da K, atau graf K K Gambar 9 Graf L 9 Gambar 9 meuukka tga kop graf L 9 yag dotaka dega L 9, yatu gabuga dar tga graf ltag L 9 Suatu graf ltag L mempuya ( ) ttk da dega hmpua ttk da hmpua V ( ) { L,, } E ( L ) {, }

19 8 Ttk V ( K ) merupaka aggota dar ( ) V K da ttk merupaka aggota dar Def (Body ad Murty, 976) Graf berbobot adalah graf yag etap ya dber ebuah blaga yag debut bobot Gambar Graf berbobot Gambar adalah cotoh dar graf berbobot Gambar terebut meuukka bahwa bobot mag-mag ya, dotaka dega ), adalah ( ( ), ( 6 ) 8, ( ), ( 6 ), ( 6 ), ( ) 9, ( ) 7 da ( ) Pelabela Graf Def (Wall, ) Pelabela uatu graf adalah uatu pemetaa yag membawa eleme-eleme graf ke blaga-blaga bulat potf atau o egatf Pada umumya doma dar pemetaa adalah hmpua emua ttk da (pelabela epert debut pelabela total), hmpua ttk aa (pelabela ttk), atau hmpua aa (pelabela ) Bobot (weght) dar eleme graf adalah umlah dar emua label yag berhubuga dega eleme graf terebut Bobot dar ttk dega pelabela adalah da bobot dar u adalah ( ) ( ) ( u), u E ( u) ( u) ( u) ( )

20 9 Gambar Pelabela total pada C Gambar merupaka cotoh graf yag ttk da ya dber label blaga bulat potf ehgga debut pelabela total Pelabela etap ttk pada C yatu ( ), ( ) da ( ), edagka pelabela -ya yatu ( ), ( ) da ( ) Bobot ttk atau ) dar graf terebut adalah ( ( ), ( ), ( ), ( edagka bobot atau ) adalah ( ), ( ), ( ) Def (Bača et al, ) Suatu graf G (V, E) dega hmpua ttk tak koog V da hmpua E yag mempuya pelabela : V E {,,, k} debut pelabela-k total tak teratur ka utuk embarag dua e u da f u yag berbeda d G berlaku ( e) ( f ), dega e) ( u ) ( e) ( ) da f ) ( u ) ( f ) ( ) ( ( Gambar meuukka pelabela total tak teratur karea dega pelabela terebut terlhat bahwa bobot etap berbeda, yatu ( ) ( ) ) Selautya dtuukka pelabela total tak ( teratur graf C epert pada Gambar

21 Gambar Pelabela- total tak teratur pada C Pelabela etap ttk pada C yatu ( ), ( ), ( ), ( ) da ( ), edagka label etap ya yatu ( ), ( ), ( ), ( ) da ( ) Bobot etap pada Gambar dapat dtetuka dega meumlahka label dega label ttk yag cdet dega terebut Bobot etap graf C terebut yatu ( ), ( ) 6, ( ), ( ) ( ) 7, Berdaarka pelabela yag dberka epert pada Gambar terlhat bahwa bobot etap berbeda, yatu ( ) ( ) ) ) ( ( Ilah yag debut pelabela total tak teratur Meurut Bača et al (), pelabela pada uatu graf G dapat daka dalam uatu betuk matrk L(G) epert berkut L(G) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

22 Karea,, da eteruya, maka matrk L(G) merupaka matrk metr Dagoal matrk terebut merupaka label ttk, edagka label ya adalah label ela dagoal yag tdak ol Agka ol () meuukka bahwa dua ttk tdak adacet Bobot etap dapat dtetuka dega meumlahka label da label ttk yag cdet dega terebut, yatu label yag berada dalam atu kolom da atu bar dega label terebut Sebaga cotoh, pelabela graf C pada Gambar daka dalam betuk matrk L( C ) berkut: L( C ) Bobot etap graf C dapat dtetuka dar matrk L( C ), yatu ( ), ( ) 6, ( ) 7, ( ) ( ), Def (Bača et al, ) Nla ketakteratura total graf G yag dotaka dega te(g), adalah blaga bulat potf terkecl k ehgga G memlk pelabela-k total tak teratur Pelabela graf C pada Gambar merupaka pelabela- total tak teratur, ehgga la ketakteratura total ya adalah te(c )

23 Keragka Pemkra Berdaarka pada taua putaka, duu uatu keragka pemkra ebaga berkut Suatu graf G yag dber label blaga bulat potf pada etap ttk da ya edemka ehgga bobot pada etap berbeda, merupaka pelabela total tak teratur Bobot dar ebuah e dalam graf G merupaka umlah dar label e da label emua ttk yag cdet dega terebut Setelah dlakuka pelabela, maka dapat dtetuka la ketakteratura total dar graf G yag dotaka dega te(g), yatu blaga bulat potf terkecl k ehgga G memlk pelabela-k total tak teratur Selautya aka dka ulag bagamaa memberka pelabela total tak teratur pada graf ltag L utuk uatu blaga bulat potf da, yag mempuya hmpua ttk ( ) { V L,, } da hmpua E( L ) {, } Setelah emua ttk da dber label da bobot etap dar L berbeda, maka dapat dtetuka la ketakteratura total graf L yag dyataka dega te(l )

24 BAB III METODE PENELITIAN Metode yag dguaka dalam peula krp adalah tud lteratur, dega cara megka ulag hal dar Nurd dkk () da megumpulka refere yag dapat medukug pembahaa Nla ketakteratura total embarag graf ecara umum memlk bata ebaga berkut E te( G) E Berdaarka bata bawah terebut, Nurd dkk () memberka la ketakteratura total graf ltag L ebaga berkut te( L ), dega da Oleh karea tu, utuk mecapa tuua peula, dambl lagkah-lagkah ebaga berkut Meyaka koep da pegerta tetag graf ecara umum da pelabela, khuuya pelabela-k total tak teratur Membuktka teorema tetag bata la ketakteratura total embarag graf Megka ulag peetua la ketakteratura total graf ltag L berdaarka bata bawah la ketakteratura total embarag graf Memberka peyaa ecara umum pelabela-k total tak teratur pada graf ltag L, ehgga dapat dtetuka la ketakteratura total ya Memberka cotoh pelabela-k total tak teratur pada uatu graf ltag L, kemuda meetuka la ketakteratura total ya

25 BAB IV PEMBAHASAN Bab membaha tetag la ketakteratura total graf ltag L, utuk uatu blaga bulat potf da Dmalka graf L mempuya hmpua ttk da hmpua V E ( ) { L,, } ( L ) {, } Meurut Nurd dkk (), la ketakteratura total graf L adalah Sebelumya dbaha uga tetag bata la ketakteratura total utuk embarag graf yag dberka oleh Bača et al () Bata Nla Ketakteratura Total S Sembarag Graf Suatu graf yag dber pelabela total tak teratur dapat dtetuka la ketakteratura total ya Nla ketakteratura total dar uatu graf G mempuya bata ata da bata bawah epert yag dtulka dalam Teorema Teorema (Bača et al, ) Mal G ( V, E) ttk tak koog V da hmpua E, maka E te uatu graf dega hmpua ( G) E Bukt Utuk meetuka bata ata, etap ttk dar G dber label da etap dar G ecara terurut dber label,,, E Dega megguaka label e f utuk embarag dua e da f yag terebut aka dperoleh ( ) ( )

26 berbeda dar G Hal meuukka bahwa pelabela terebut adalah pelabela total tak teratur dega label terbear E, ehgga bata ata la ketakteratura total yag dotaka dega te ( G), adalah E Utuk bata bawah, dmalka adalah pelabela total tak teratur yag optmal dar G Bobot terbear e dar G, yatu ( e) E Bobot terebut merupaka umlah dar tga label, ehgga terdapat atu atau ttk yag dber label palg edkt E Oleh karea tu, dapat dmpulka bahwa bata bawah ( G) E te adalah Meurut Teorema, la ketakteratura total dar uatu graf G yag E dotaka dega te ( G), tdak kurag dar da tdak melebh umlah ya Sebaga lutra dar pembukta Teorema, dberka cotoh pelabela utuk meetuka bata ata epert yag dtuukka oleh Gambar w w x w w x x a b c Gambar Pelabela total tak teratur x x Ketga graf pada Gambar dber label pada etap ttkya da -ya dber label ecara terurut,,, E Gambar a meuukka graf C dega bobot etap ya adalah ( ), ( ) da ( ) Gambar b meuukka graf C dega bobot etap ya adalah

27 6 ( w w ), ( w w), ( w w ) da ( w w ) 6 Gambar c meuukka graf C dega bobot etap ya adalah ( x x ), ( x x ), ( x x ), ( x x ) 6 da ( x x ) 7 Terlhat bahwa bobot etap dar mag-mag graf berbeda Hal meuukka bahwa ketga pelabela terebut merupaka pelabela total tak teratur Nla ketakteratura total mag-mag graf terebut merupaka umlah ya, yatu te ( C ), te ( C ) da ( C ) te Pelabela yag lebh bear darpada pelabela epert pada Gambar tdak mugk dlakuka Oleh karea tu, la ketakteratura total dar uatu graf tdak mugk lebh dar umlah ya, E Selautya dberka cotoh pelabela optmal dar graf yag ama utuk meetuka bata bawah epert yag dtuukka oleh Gambar x a w w b c Gambar Pelabela total tak teratur yag optmal w w x x x x Ketga graf pada Gambar merupaka graf yag dber pelabela optmal Gambar a meuukka graf C dega bobot etap ya adalah ( ), ( ) da ( ) Bobot terbearya adalah ( ) E Oleh karea tu, label E terbear dar graf C terebut palg edkt Pada Gambar a meuukka bahwa label terbearya adalah, ehgga dperoleh

28 7 E te ( C ) Gambar b meuukka graf C dega bobot etap ya adalah ( w w ), ( w w), ( w w ) 6 da ( w w ) Bobot terbearya adalah ( w w ) 6 E 6 Oleh karea tu, label E terbear dar graf C terebut palg edkt Pada Gambar b meuukka bahwa label terbearya adalah, ehgga dperoleh E te ( C ) Gambar c meuukka graf C dega bobot etap ya adalah ( x x ), ( x x), ( x x ) 7, ( x x ) 6 da ( x x ) Bobot terbearya adalah ( x x ) 7 E 7 Oleh karea tu, label E terbear dar graf C terebut palg edkt Pada Gambar c meuukka bahwa label terbearya adalah, ehgga dperoleh E te ( C ) Pelabela yag lebh kecl darpada pelabela epert pada Gambar tdak mugk dlakuka Oleh karea tu, la ketakteratura total dar uatu graf E tdak mugk kurag dar Selautya aka dbaha tetag la ketakteratura total graf ltag utuk uatu blaga bulat potf da berdaarka bata bawah dar Teorema, meurut Nurd dkk () L

29 8 Nla Ketakteratura Total S Kop Graf Ltag L Suatu graf ltag L, utuk uatu blaga bulat potf da, tepat mempuya la ketakteratura total ebear epert yag dtulka dalam Teorema Sebaga lutra, dberka graf L pada Gambar Gambar Graf L Teorema (Nurd dkk, ) Utuk uatu blaga bulat potf da berlaku Bukt Dmalka V te( L ) ( ) { L,, } da E ( L ) {, } Karea umlah ya, yatu E, maka berdaarka bata bawah dar Teorema dperoleh te( L ) ()

30 9 Selautya dbuktka kebalka dar pertdakamaa terebut, yatu te( L ) Dmalka M, utuk,,, da dkotrukka pelabela- M total tak teratur dar graf Label ttk dkotrukka ebaga da ( ) L M utuk,,, ( M ) M M, ( ) utuk,,, M M k, utuk k, dega k,,, edagka label ebaga ( M ), ( ) q, ka gal utuk,,, da,,, dega q, ka geap Label terbear dar pelabela terebut dapat dtetuka Sebelumya aka dtuukka uruta la yag dguaka ebaga label Dambl embarag da d {,,, } dega <, maka utuk etap,,, berlaku da embarag da,,, berlaku,,, dega d { } <, maka utuk etap

31 Oleh karea tu, utuk terbear dperoleh pada da, yatu dega,,, da,,,, label Ttk dega ( ) ( ),,,, label terbear dperoleh pada, yatu da utuk ttk ( ) M dega,,, da,,,, label terbear dperoleh pada da, yatu M M Jad label terbear pada pelabela terebut adalah Selautya dtuukka bahwa bobot etap berbeda Bobot etap graf L adalah ( ) dega {,,, }, {,,, } q da q,, ka ka Oleh karea tu, utuk, {,,, } da, {,,, } terdapat tga kau ebaga berkut gal geap dega

32 Jka da keduaya gal, maka da Adaka, maka atau Karea { },,,,, maka Akbatya < () Karea { },,,, dega, maka () Dberka beberapa cotoh utuk adalah ebaga berkut Jka, maka, Utuk dperoleh Pertdakamaa () meuukka kebeara bahwa, edagka pertdakamaa () meuukka kemugka la bahwa dapat kurag dar

33 Jka, maka,,, Utuk dperoleh Pertdakamaa () meuukka kebeara bahwa, edagka pertdakamaa () meuukka bahwa haya kurag dar Jka, maka 6,,,,, Utuk dperoleh Pertdakamaa () meuukka kebeara bahwa, edagka pertdakamaa () meuukka bahwa haya kurag dar Berdaarka cotoh yag dberka, maka pertdakamaa () kotradk dega pertdakamaa () Sehgga utuk embarag,, da dperoleh Jka alah atu dar da adalah gal, dmalka gal da geap, maka da

34 Adaka, maka atau Karea { },,,,, maka Akbatya atau < () Karea { },,,, dega, maka () Sepert pertdakamaa () da () pada Kau I, demka uga pertdakamaa () kotradk dega pertdakamaa () Sehgga utuk embarag,, da dperoleh Jka da keduaya geap, maka da Adaka, maka atau

35 Karea, {,,, }, maka Akbatya Karea, {,,, } dega, maka < (6) (7) Sepert pertdakamaa () da () pada Kau I, demka uga pertdakamaa (6) kotradk dega pertdakamaa (7) Sehgga utuk embarag,, da dperoleh Jad terbukt bahwa bobot etap berbeda Karea bobot etap berbeda da label terbear yag dguaka adalah, maka dperoleh la ketakteratura total graf L adalah te( L ) (8) Berdaarka pertdakamaa () da (8), terbukt bahwa utuk uatu blaga bulat potf da dperoleh la ketakteratura total graf L adalah te( L ) (9) Suatu graf ltag L dega kotruk pelabela epert pada pembukta Teorema, label etap ttk da ya dapat daka dalam ebuah matrk Secara umum matrk terebut daka epert pada halama elautya

36 L ( ) L ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) L L M M O M M L L

37 6 L ( ) L ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) L L M M O M M L L

38 7 L ( ) L ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ) ( ) ( 6 ) ( 6 ) ( ) ( L L M M O M M L L

39 8 Berkut dberka cotoh graf ltag L 9, dega gambar graf epert pada Gambar Gambar Pelabela-9 total tak teratur graf L 9 Pelabela etap ttk da dar graf L 9 terebut dperoleh dar matrk L ( L ), yatu ebaga berkut: L (L 9 )

40 9 L (L 9 ) / ( ) / ( ) L (L 9 ) ( / 6 ) / ( ) Dar pelabela yag daka dalam matrk L (L 9 ), L (L 9 ) da L (L 9 ), terlhat bahwa bobot etap berbeda da label terbearya adalah 9 Oleh karea tu, pelabela pada graf L 9 merupaka pelabela-9 total tak teratur dega la ketakteratura total ya adalah te ( L 9 ) 9 Jka te ( ) dhtug dega peramaa (9), maka dperoleh hal yag ama, yatu 9 te ( L 9 ) 9 L 9

41 BAB V PENUTUP Kempula Berdaarka pembahaa yag telah dlakuka maka dapat dmpulka ebaga berkut Pelabela-k total tak teratur dapat dberka pada graf ltag L, utuk uatu blaga bulat potf da, dega atura pelabela tertetu Nla ketakteratura total dar graf ltag L, utuk uatu blaga bulat potf da, dapat dtetuka Berdaarka pembahaa Teorema, dperoleh la ketakteratura total graf ltag L adalah te( L )

42 DAFTAR PUSTAKA Bača, M, S Jedrol, M Mller ad J Rya O Irregular Total Labelg Dcrete Mathematc Accepted for publcato March Body, J A ad U S R Murty (976) Graph Theory h Applcato Eleer Scece Publhg Compay Ic, New York Chartrad, Gary ad O R Oellerma (99) Appled ad Algorthmc graph Theory McGraw-Hll Ic, New York Chartrad, Gary (986) Itroductory Graph Theory Doer Publcato Ic, New York Deo, Narhgh (98) Graph Theory h Applcato to Egeerg ad Computer Scece Pretce-Hall of Ida, New Delh Fletcher, P, H Hoyle ad C W Patty (99) Foudato of Dcrete Mathematc PWS Ket Publhg Compay, Boto Johobaugh, R() Dcrete Mathematc Ffth Edto Pretce Hall, New Jerey Nurd, E T Bakoro da A N M Salma () Nla Ketakteratura Total S dar Graf Ltag Semar Naoal MIPA, Depok Wall, W D () Magc Graph Brkhauer, Boto