SUATU UKURAN KESAMAAN HIMPUNAN KABUR INTUITIONISTIC BERNILAI INTERVAL DAN APLIKASINYA UNTUK PENGENALAN POLA

Transkripsi

1 Jural Matematika UNAND Vol. VII No. 2 Hal ISSN : c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SUATU UKURAN KESAMAAN HIMPUNAN KABUR INTUITIONISTIC BERNILAI INTERVAL DAN APLIKASINYA UNTUK PENGENALAN POLA JUNDA SYAHWIDAN, NOVA NOLIZA BAKAR Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Adalas, Kampus UNAND Limau Mais Padag, Idoesia, judasyahwilda@rocketmail.com Abstrak. Dalam kehidupa sehari-hari biasaya terjadi berbagai kasus yag rumit, dimaa kasus-kasus tersebut bayak sekali megadug usur ketidakpastia. Zadeh [6] memperkealka suatu teori baru yaitu himpua kabur (fuzzy set). Kemudia semaki berkembag ilmu pegetahua, bayak betuk umum dari fuzzy set yag diusulka, diataraya teori himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS) yag diusulka oleh Ataassov, merupaka geeralisasi dari teori himpua kabur berilai iterval (IvFS) da himpua kabur ituitioistic (IFS). Salah satu topik petig dalam teori himpua kabur yaitu ukura kesamaa himpua kabur ituitioistic (IFS). Pada tulisa ii aka dibahas megeai metode utuk meghitug ukura kesamaa atara himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS) berdasarka metrik Hausdorff serta aplikasiya. Kata Kuci: Himpua kabur, himpua kabur ituitioistic, himpua kabur berilai iterval, himpua kabur ituitioistic berilai iterval 1. Pedahulua Prof.L.A.Zadeh [6] pada tahu 1965 pertama kali memperkealka teori baru yaitu teori himpua kabur. Zadeh [6] medefiisika suatu himpua fuzzy atas X sebagai koleksi dari pasaga terurut (x,µ(x)), x X dimaa derajat keaggotaa µ(x) [0, 1]. Kemudia semaki berkembag ilmu pegetahua, bayak betuk umum dari fuzzy set yag diusulka, diataraya Kosep himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS) yag diusulka oleh Ataassov, merupaka geeralisasi kosep himpua kabur berilai iterval (IvIFS) da himpua kabur ituitioistic (IFS) [1]. Salah satu topik petig dalam teori himpua kabur yaitu ukura kesamaa himpua kabur ituitioistic (IFS). Ukura kesamaa IFS diguaka utuk memperkiraka tigkat kesamaa atara dua IFS. Szimidt da Kacprzyk [5] medefiisika ukura kesamaa dega megguaka ukura jarak yag melibatka kesamaa da ketidaksamaa. Seperti yag diketahui, ukura kesamaa cukup petig dalam beberapa bidag aplikasi. Baru-baru ii, bayak cara utuk meghitug ukura kesamaa atara himpua kabur ituitioistic (IFS) da himpua kabur berilai iterval (IvFS) 76

2 Ukura Kesamaa Himpua Kabur Ituitioistic Berilai Iterval 77 seperti yag telah diusulka dalam [7]. Pada peelitia ii aka megulas kembali apa yag dibahas pada [8] yaitu meghitug ukura kesamaa atara IvIFS berdasarka metrik Hausdorff. 2. Ladasa Teori 2.1. Himpua Kabur ( Fuzzy Set) Defiisi 2.1. [4] Misalka U adalah himpua semesta. Suatu himpua kabur (fuzzy set) X atas U dapat didefiisika sebagai X = {(u, µ x (u)) u U, µ x (u) [0, 1]} (2.1) dimaa µ x : U [0, 1] disebut fugsi keaggotaa X atas U Himpua Kabur Ituitioistik ( Ituitioistic Fuzzy Set) Himpua kabur ituitioistic merupaka himpua kabur yag memperhitugka ilai keaggotaa da o keaggotaa dalam proses pegambila keputusa. Defiisi 2.2. [1] Misalka X = {x 1, x 2,, x } adalah himpua. Suatu himpua kabur ituitioistic A pada X dapat didefiisika dalam betuk himpua pasaga terurut A = {(x, µ A (x), ν A (x)) x X} (2.2) dimaa µ A : X [0, 1] disebut fugsi keaggotaa A atas X da ν A : X [0, 1] disebut fugsi ketidakaggotaa A atas X, dega kodisi 0 µ A (x) + ν A (x) 1, x X. Defiisi 2.3. [1] Misalka X = {x 1, x 2,, x } suatu himpua. Himpua A da B adalah himpua kabur ituitioistic, maka didefiisika operasi da hubuga sebagai berikut: (1) A c = {(x, ν A (x), µ A (x)) x X}, (2) A B = {(x, mi{µ A, µ B }, max{ν A, ν B }) x X}, (3) A B = {(x, max{µ A, µ B }, mi{ν A, ν B }) x X} Himpua Kabur Berilai Iterval ( Iterval Valued Fuzzy Set) Suatu geeralisasi dari himpua kabur yag diajuka oleh beberapa peeliti adalah himpua kabur berilai iterval (Iterval Valued Fuzzy Set). Defiisi 2.4. [2] Misalka X adalah himpua semesta da it(0,1) meujukka semua subiterval tertutup dari iterval [0, 1]. Sebuah himpua kabur berilai iterval (IvFS) A atas X didefiisika sebagai A = {(x, M A (x)) x X} (2.3) dega M A : X it(0, 1) meujukka derajat keaggotaa berilai iterval A atas X.

3 78 Juda Syahwida, Nova Noliza Bakar 2.4. Himpua Kabur Ituitioistik Berilai Iterval ( Iterval Valued Ituitioistic Fuzzy Set) Terkadag derajat keaggotaa dari himpua kabur ituitioistic (IFS) tidak dapat diperkiraka secara tepat (real), amu dapat diberika retag ilai. Dalam kasus tersebut, Ataassov da Gargov [2] memperkealka tetag himpua kabur ituitioistic berilai iterval. Defiisi 2.5. [8] Misalka X adalah himpua semesta da it(0,1) meujukka semua subiterval tertutup dari iterval [0, 1]. Sebuah himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS) A atas X didefiisika sebagai dega dimaa A = {(x, M A (x), N A (x)) x X} (2.4) M A : X it(0, 1), da N A : X it(0, 1), M A (x) = [if M A (x), sup M A (x)], da N A (x) = [if N A (x), sup N A (x)], masig-masig meujukka derajat keaggotaa berilai iterval da derajat ketidakaggotaa berilai iterval A atas X. Da memeuhi kodisi 0 sup M A (x) + sup N A (x) Metrik Hausdorff Utuk meghitug ukura jarak da ukura kesamaa atara himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS) aka diguaka metrik Hausdorff. Defiisi 2.6. [8] Misalka A = [a1, a2]; B = [b1, b2] it(0, 1), metrik Hausdorff atara A da B didefiisika sebagai: H = a1 b1 a2 b2 = max{ a1 b1, a2 b2 } 3. Pembahasa 3.1. Ukura Kesamaa Himpua Kabur Ituitioistik Berilai Iterval Berikut aka dijelaska tetag ukura jarak atara dua himpua kabur berilai iterval (IvFS) da sifat-sifat dari ukura jarak da ukura kesamaa atara dua himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS). Misalka IvIFS(X) merupaka kumpula semua himpua kabur ituitioistic berilai iterval di X. Defiisi 3.1. [8] Suatu pemetaa d : IvIFS(X) IvIFS(X) [0, 1] dikataka sebagai ukura jarak atara himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS) jika memeuhi sifat-sifat berikut. Utuk A, B, C IvIF S(X), berlaku

4 Ukura Kesamaa Himpua Kabur Ituitioistic Berilai Iterval 79 (1) 0 d 1 (2) d(a,b) = 0 jika da haya jika A = B (3) d(a,b) = d(b,a) (4) Jika A B C, maka d d(a, C) da d(b, C) d(a, C) (5) d(a,b) = 1, jika salah satu, yaitu A = atau B = terpeuhi. Defiisi 3.2. [8] Suatu pemetaa S : IvIFS(X) IvIFS(X) [0, 1] dikataka sebagai ukura kesamaa atara himpua kabur ituitioistic berilai iterval(ivifs) jika memeuhi sifat-sifat berikut. Utuk A, B, C IvIF S(X), berlaku (1) 0 S 1 (2) S(A,B) = 1 jika da haya jika A = B (3) S(A,B) = S(B,A) (4) Jika A B C, maka S(A, C) S da S(A, C) S(B, C) (5) S(A,B) = 0, jika salah satu, yaitu A = atau B = terpeuhi. Misalka A, B adalah dua himpua kabur ituitioistic berilai iterval (Iv- IFS) di semesta X = {x 1, x 2,, x }. Asumsika Misalka dimaa M A (x i ) = [if M A (x i ), sup M A (x i )], N A (x i ) = [if N A (x i ), sup N A (x i )], M B (x i ) = [if M B (x i ), sup M B (x i )], N B (x i ) = [if N B (x i ), sup N B (x i )]. H(M A (x i ), M B (x i )) : metrik Hausdorff atara M A (x i ) da M B (x i ), H(N A (x i ), N B (x i )) : metrik Hausdorff atara N A (x i ) da N B (x i ), H(M A (x i ), M B (x i )) = if M A (x i ) if M B (x i ) sup M A (x i ) sup M B (x i ), H(N A (x i ), N B (x i )) = if N A (x i ) if N B (x i ) sup N A (x i ) sup N B (x i ). Dega megguaka metrik Hausdorff, maka didefiisika ukura jarak atara dua buah IvIFS sebagai berikut: d p H (M A, M B ) = 1 p [H(M A (x i ), M B (x i ))] p, d p H (N A, N B ) = 1 p [H(N A (x i ), N B (x i ))] p. Selajutya, didefiisika ukura kesamaa atara dua buah IvIFS sebagai berikut: S p H = 1 2 [Sp H (M A, M B ) + S p H (N A, N B )] { = 1 1 } 2 p p [H(M A (x i ), M B (x i ))] p + p [H(N A (x i ), N B (x i ))] p

5 80 Juda Syahwida, Nova Noliza Bakar utuk p [1, + ), dimaa S p H (M A, M B ) = 1 1 p [H(M A (x i ), M B (x i ))] p meujukka tigkat kesamaa dari derajat keaggotaa berilai iterval M A, M B, da S p H (N A, N B ) = 1 1 p [H(N A (x i ), N B (x i ))] p meujukka tigkat kesamaa dari derajat ketidakaggotaa berilai iterval N A, N B. Teorema 3.3. [8] S p H adalah ukura kesamaa atara dua IvIFS A da B di X. Proposisi 3.4. [8] Berdasarka ukura kesamaa S p H atara dua himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS) A da B, dapat diperoleh bahwa d p H = 1 - Sp H adalah ukura jarak atara himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS) A da B. Misalka f : [0, 1] [0, 1] adalah suatu fugsi mooto turu da S = f(d p H ) f(1). Maka S adalah ukura kesamaa yag dibagkitka f(0) f(1) oleh fugsi f da ukura jarak d p H. (1) Ketika memilih fugsi f, f(x) = 1 x, ukura kesamaa S(A,B) didefiisika sebagai S p H S(A, B) = S p H. (2) Ketika memilih fugsi f, f(x) = e x, ukura kesamaa S(A,B) didefiisika sebagai S p e = e dp H (A,B) e 1 1 e 1 (3) Ketika memilih fugsi f, f(x) = 1 1+x,x 1, ukura kesamaa S(A,B) didefiisika sebagai S p l = 1 dp H 1 + d p H 4. Aplikasi Ukura Kesamaa Himpua Kabur Ituitioistic Berilai Iterval Aplikasi dari himpua kabur ituitioistic berilai iterval sebagai kombiasi dari himpua kabur berilai iterval dega himpua kabur ituitioistic, telah terbukti bayak diterapka dalam bayak peelitia seperti pegambila keputusa, pegeala pola [11], da diagosis medis. Berikut diberika satu cotoh umerik

6 Ukura Kesamaa Himpua Kabur Ituitioistic Berilai Iterval 81 utuk meujukka peerapa ukura kesamaa yag diajuka IvIFS terhadap pegeala pola. Cotoh 4.1. Misal diberika tiga pola himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS) di X = {x 1, x 2, x 3 }, yaitu: A 1 = {(x 1, [0, 8; 0, 9], [0; 0, 1]), (x 2, [0, 1; 0, 2], [0, 5; 0, 7]), (x 3, [0, 4; 0, 6], [0, 1; 0, 2]) x X}, A 2 = {(x 1, [0, 5; 0, 6], [0, 2; 0, 4]), (x 2, [0, 8; 0, 9], [0; 0, 1]), (x 3, [0, 2; 0, 4], [0, 4; 0, 5]) x X}, A 3 = {(x 1, [0, 1; 0, 2], [0, 5; 0, 6]), (x 2, [0, 5; 0, 6], [0, 2; 0, 3]), (x 3, [0, 7; 0, 9], [0; 0, 1]) x X}, da diberika pola IvIFS lai B = {(x 1, [0, 4; 0, 5], [0, 1; 0, 3]), (x 2, [0, 7; 0, 8], [0, 1; 0, 1]), (x 3, [0, 3; 0, 4], [0, 5; 0, 6]) x X}. Aka ditetuka pola maa dari pola IvIFS A 1, A 2, A 3 yag sama dega pola Iv- IFS B. Berdasarka Defiisi 3.2, aka dihitug ukura kesamaa atara pola baru B dega masig-masig pola A i yag diketahui, i = 1, 2, 3. Ukura kesamaa atara himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS), dapat dilakuka dega megambil parameter p = 1, 2, 3, 4, 5. Tabel 1. Tabel S p H (B, A i), i {1, 2, 3} Dari tabel di atas, dapat dilihat pegaruh dari ilai p terhadap ukura kesamaa. Berdasarka Defiisi 3.2 bahwa dua himpua kabur ituitioistic berilai iterval dikataka sama apabila ilai ukura kesamaa atara keduaya medekati 1, maka dari tabel di atas dapat dilihat bahwa ilai ukura kesamaa maa yag medekati 1. Maka dapat disimpulka bahwa pola IvIFS B memiliki kesamaa dega pola IvIFS A 2, karea ilai ukura kesamaaya medekati 1 utuk parameter p = 1, p = 2, p = 3, p = 4, da p = Kesimpula Himpua kabur ituitioistic berilai iterval (IvIFS) merupaka peggabuga teori himpua kabur berilai iterval da himpua kabur ituitioistic (IFS).

7 82 Juda Syahwida, Nova Noliza Bakar Metode yag diguaka utuk meghitug ukura jarak da ukura kesamaa atara IvIFS A da B, yaitu metode metrik Hausdorff. Dari pembahasa da aplikasi dapat disimpulka bahwa : (1) Misalka A da B adalah himpua kabur ituitioistic berilai iterval, ukura kesamaa atara dua IvIFS A da B dega berdasarka metrik Hausdorff, yaitu: S p H = 1 2 [Sp H (M A, M B ) + S p H (N A, N B )] = p { p [H(M A (x i ), M B (x i ))] p + } p [H(N A (x i ), N B (x i ))] p utuk p [1,+ ). (2) Misalka f : [0, 1] [0, 1] suatu fugsi mooto turu da S = f(d p H ) f(1), maka S adalah ukura kesamaa yag dibagkitka oleh fugsi f da ukura jarak d p H f(0) f(1). (a) Ketika memilih fugsi f, f(x) = 1 x, ukura kesamaa S(A,B) didefiisika sebagai S p H S = S p H. (b) Ketika memilih fugsi f, f(x) = e x, ukura kesamaa S(A,B) didefiisika sebagai S p e = e dp H (A,B) e 1 1 e 1 (c) Ketika memilih fugsi f, f(x) = 1 1+x,x 1, ukura kesamaa S(A,B) didefiisika sebagai S p l = 1 dp H 1 + d p H (3) Utuk megetahui da megelompokka suatu pola himpua kabur ituitioistic berilai iterval yag baru, dapat diselesaika dega meghitug ilai ukura kesamaa atara dua himpua kabur ituitioistic berilai iterval berdasarka metrik Hausdorff. 6. Ucapa Terima kasih Peulis megucapka terima kasih kepada Bapak Admi Nazra, Ibu Lyra Yuliati, Ibu Moika Riati Helmi da Bapak Jeizo yag telah memberika masuka da sara sehigga makalah ii dapat diselesaika dega baik.

8 Daftar Pustaka Ukura Kesamaa Himpua Kabur Ituitioistic Berilai Iterval 83 [1] Ataassov, K.T Ituitioistic Fuzzy Sets. Fuzzy Sets ad System 20 (1), pp [2] Ataassov, K.T, G. Gargov Iterval-valued ituitioistic fuzzy sets. Fuzzy Sets ad Systems. 31: [3] Grzegorzewski, P Distaces betwee ituitioistic fuzzy sets ad/or iterval-valued fuzzy sets based o the Hausdorff metric. Fuzzy Sets ad Systems, 148(2), [4] Maji, P. K, Biswas, R da Roy, A. R Fuzzy Soft Sets. Joural of Fuzzy Mathematics 9 (3) : [5] Szmidt, E. J. Kacprzyk A cocept of similarity for ituitioistic fuzzy sets ad its applicatio i group decisio makig. i: Proceedigs of Iteratioal Joit Coferece o Neural Networks ad IEEE Iteratioal Coferece o Fuzzy Systems, Hugary [6] Zadeh, L.A Fuzzy Sets. Iformatio ad Cotrol 8 : [7] Zeg, W.Y, Q. Yi Similarity measure of iterval-valued fuzzy sets ad applicatio to patter recogitio, The Fifth Iteratioal Coferece o Fuzzy System ad Kowledge Discovery [8] Zhag, Q. Yao, H. ad Zhag, Z Some similarity measures of itervalvalued ituitioistic fuzzy sets ad alicatio to patter recogitio. Applied Mechaics ad Materials, Vols 44-47, pp