M L M I DAN K O T N I Y A FU G N SI f ) ( X li X X ,. M P. d,. M. T P r P n e u a Pr r o am a S ( P ) 4

Transkripsi

1 K ode Modul M AT.TKF F akultas Teknik UNY J urusan Pendidikan Teknik Otomotif LIMIT D AN KONTINYUITAS F UNGSI f () f () C C l im M artubi, P enyusun : M.Pd., M.T. S istem Perencanaan Penyusunan Program dan Penganggaran (SP 4) Jurusan Pendidikan Te knik Otomotif 005

2 K ATA PENGANTAR Modul digunakan salah satu m anipulasi dapat pada dengan sebagai judul panduan L imit dan Kontinyuitas Sebuah Fungsi ini dalam kegiatan kuliah sub- k ompetensi, yaitu: Menggunakan aljabar dalam digunakan Y ogyakarta. untuk pemecahan semua peserta masalah kuliah untuk konsep,. Matematika di membentuk sifat, Modul dan semester Program Studi Teknik Otomotif Fakultas Teknik Universitas Negeri P ada S ebuah modul Fungsi p enerapannya di ini dan bidang disajikan konsep permasalahannya teknik, baik dasar secara Limit banyak teoritis dan ini I Kontinyuitas dijumpai maupun dalam praktis. Modul ini terdiri atas tiga kegiatan belajar. Kegiatan belajar 1 membahas t entang: Limit Fungsi Aljabar. Ke giatan belajar membahas tentang: Limit F ungsi Trigonometri. K egiatan belajar 3 m embahas tentang: Kontinyuitas S ebuah Untuk d iharapkan Fungsi. dapat telah mempelajari mempunyai modul ini pengetahuan dengan dan mudah pemahaman mahasiswa tentang konsep- k onsep dasar menunjangnya, dalam hal ini terutama konsep tentang F ungsi Aljabar d an F ungsi Trigonometri. Y ogyakarta, O ktober 005 P enyusun M artubi, M.Pd., M.T.

3 D AFTAR ISI MODUL H alaman H AL AMAN SAMPUL K ATA PENGANTAR D AFTAR ISI... 3 P ERISTILAHAN / GLOSSARY... 5 I. PENDAHULUAN A. Deskripsi B. Prasyarat... 6 C. D. Petunjuk Penggunaan Modul Petunjuk bagi mahasiswa Petunjuk bagi d osen Tujuan Akhir... 8 E. Kompetensi... 8 F. Cek Kemampuan... 9 II. PEMBELAJARAN A. Rencana Belajar Mahasiswa B. Kegiatan Belajar Kegiatan Belajar a. Tujuan kegiatan belajar b. Uraian materi c. Rangkuman d. Tugas e. f. Tes formatif Kunci jawab t es f ormatif

4 H alaman. Kegiatan Belajar... 1 a. Tujuan kegiatan belajar... 1 b. Uraian materi... 1 c. Rangkuman... d. Tugas e. Tes formatif f. Kunci jawab t es f ormatif Kegiatan Belajar a. Tujuan kegiatan belajar b. Uraian materi c. Rangkuman d. Tugas e. Tes formatif f. Kunci jawab t es f ormatif III. EVALUASI A. Pertanyaan B. Kunci Jawaban... 9 C. Kriteria Kelulusan... 9 I V. PENUTUP DAFTAR PUSTAKA

5 PERISTILAHAN / G LOSSARY Fungsi D isko ntinyu : adalah sebuah fung si t erus i nterval t idak s elalu atau tidak menerus mempunyai harga di setiap titik atau sebuah pernah tertentu. mengalami tidak mempunyai harga pada titik atau F ungsi Kontinyu : adalah sebuah selalu atau terus menerus mempunya i harga di setiap titik. F ungsi Trigonometri : adalah adalah sebuah harganya d itentukan oleh harga suatu sudut tertentu. L imit Fungsi : adalah harga atau nilai batas didekati sebuah j ika variabel itu diganti dengan bilangan mendekati nilai t ertentu. T erdefinisi : adalah sebuah istilah untuk menyatakan bahwa suatu b ilangan mempunyai harga tertentu. 5

6 B AB I P ENDAHULUAN A. Deskripsi M odul m embahas dengan t entang judul p ermasalahannya y ang L imit dan Kontinyuitas Fungsi ini konsep dasar Limit dan Kontinyuitas Fungsi serta banyak dijumpai dalam penerapannya b idang teknik, baik secara teoritis maupun praktis. Materi d ipelajari mencakup : Limit Fungsi Aljabar, Limit Fungsi Trigonometri d a n Kontinyuitas Sebuah Fungsi. M odul m embahas ini terdiri tentang: atas L imit dua Fungsi kegiatan Aljabar, belajar. Kegiatan Kegiatan belajar belajar m embahas tentang: L imit Fungsi Trigonometri. Kegiatan belajar 3 membahas kegiatan tentang: belajar K ontinyu itas Sebuah Fungsi. Pada setiap selalu dilengkapi dengan pembahasannya beserta latihan- latihan seperlunya m ahasiswa contoh untuk dalam mencapai kompetensi diharapkan. soal di 1 dan membantu S etelah selesai mempelajari modul ini secara keseluruhan m ahasiswa diharapkan m empunyai sub kompetensi Menggunakan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah f ungsi B. Prasyarat l ain materi Modul ini berisi materi- materi y ang memerlukan dukungan materi J urusan t entang : dasar semestinya telah dipelajari sebelumnya. Adapun materi- seharusnya tela h difahami oleh peserta kuliah d i Pendidikan Teknik Otomotif terutama Fungsi Aljabar dan Fungsi Trigonometri. adalah konsep dasar 6

7 C. Petunjuk 1. P enggunaan Modul Petunjuk bagi Mahasiswa Agar menggunakan d iperhatikan, diperoleh modul ini hasil ada belajar beberapa dan dilaksanakan antara lain : maksimal, prosedur maka dalam perlu a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian konsep- konsep b. teoritis disajikan pada modul ini, kemudian fahami penerapan konsep-konsep tersebut dalam contoh- contoh beserta cara mahasiswa k egiatan penyelesaiannya. Bila terpaksa masih ada pula soal materi kurang jelas dan belum bisa difahami deng an baik para dapat perkuliahan. menanyakan kepada dosen mengampu Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri, hal ini p emahaman dimaksudkan telah untuk dimiliki mengetahui setiap seberapa mahasiswa materi- m ateri dibahas pada setiap kegiatan belajar. besar terhadap c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi pada level diharapkan, coba mengerjakan lagi latihan- latihannya dan k epada dosen bersangkutan. pemahaman Kalau awal mengampu materi (prasyarat) maka ulangi kalau kegiatan lagi perlu bersangkutan yakinkan dimaksud benar- b enar sudah dipenuhi. membaca perkuliahan bahwa dan bertanyalah memerlukan prasyarat. Petunjuk Bagi Dosen D alam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan p eran untuk : a. M embantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar. b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan- latihan y ang dijelaskan dalam tahab belajar. 7

8 c. M embantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan m enjawab pertanyaan mahasiswa apabila diperlukan. d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain d iperlukan. e. M engorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan. f. M erencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan. g. M engadakan evaluasi terhadap pencapaian kompetensi m ahasiswa telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaan- n ya pada setiap akhir kegiatan belajar. D. Tujuan Akhir ini Setelah mempelajari seluruh materi kegiatan belajar dalam modul mahasiswa diharapk an d apat : Menggunakan konsep, m anipulasi aljabar dalam pemecahan masalah. sifat, dan E. Kompetensi Modul T KF dengan judul Limit dan Kontinyuitas S ebuah Fungsi ini disusun dalam rangka membentuk k ompetensi M enggunakan konsep, d alam pemecahan masalah. Untuk mencapai dapat dicapai sub- sub m elalui b erikut : sub- kompetensi kompetensi sifat, tersebut, beserta dan manipulasi terlebih kriteria dahulu unjuk sub- aljabar harus kerjanya lingkup belajar dengan materi pokok pembelajaran sebagai 8

9 Sub K ompetensi K riteria U njuk Kerja Lingkup B elajar M ateri Pokok Pembelajaran S ikap P engetahuan K etrampilan Mengguna- kan konsep, s ifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah l imit dan kontinyuits f ungsi. 1. Menjelaskan p engertian, n otasi dan sifat-s ifat f ungsi.. Menyelesai- kan permasa- lahan al jabar 3. Menyelesai- kan permasa- lahan t rigonometri 4. Menjelaskan kontinyuitas sebuah f ungsi 1. Pengertian, n otasi dan sifat- s ifat f ungsi.. L i mit al jabar. 3. L i mit T rigonometri 4. Kontinyuitas sebuah f ungsi Teliti dan cermat dalam menulis simbol dan mela- kukan per- h itungan 1. Pengertian, n otasi, dan sifat-s ifat f ungsi.. L i mit al jabar. 3. L i mit T rigonometri 4. Kontinyuitas sebuah f ungsi Menghitung dengan prosedur dan hasil y ang benar F. C ek Kemampuan S ebelum mempelajari M odul T KF ini, isilah dengan tanda cek ( ) pertanyaan menunjukkan kompetensi telah dimiliki m ahasiswa dengan jujur dan dapat dipertanggungjawabkan : S ub K ompetensi P ertanyaan J awaban B ila Jawaban Ya Y a T idak K erjakan Mengguna- kan konsep, sifat, dan manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah dan k ontinyuits f ungsi. 1. Saya mampu menjelaskan: pengertian, notasi, dan sifat- s ifat.. Saya dapat menyelesaikan permasa- l ahan aljabar. 3. Saya dapat menyelesaikan permasa- l ahan trigonometri. 4. Saya dapat menyelesaikan permasa- l ahan kontinyuitas sebuah Tes Formatif 1 N omor 1 Tes Formatif 1 N omor T es Formatif T es Formatif 3 Apabila mahasiswa menjawab sesuai T idak m aka pelajari modul ini materi dijawab T idak t ersebut. 9

10 B AB II P EMBELAJARAN A. Rencana Belajar Mahasiswa i ni Buatlah rencana kegiatan belajar dengan mengisi tabel dan mintalah bukti belajar kepada dosen setelah selesai. di bawah 1. J enis Kegiatan T anggal W aktu Pengertian, notasi dan sifat-s ifat Tempat B elajar Alasan P erubahan Paraf D osen. Limit aljabar 3. Limit trigono metri. 4. Kontinyuitas sebuah f ungsi B. Kegiatan Belajar. 1. Kegiatan Belajar 1 : L imit Fungsi Aljabar a. Tujuan Kegiatan Belajar 1 : 1 ). Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian, notasi dan sifat- s ifat. ). Mahasiswa dapat a ljabar. menyelesaik an permasalahan b. Uraian Materi 1 : 1). Pengertian, Notasi dan Sifat-s ifat L imit Fungsi. m aka U ntuk dapat memahami pengertian tentang perhatikan nilai dari 10 dua buah berikut jika masing- masing dicari harganya. Fungsi pertama adalah berbanding lurus, y ang berbanding terbalik. sedang kedua adalah

11 a ). Untuk berbanding lurus, misalnya : f ( ) ( dengan bilangan asli ) ,04 0,004 0, f () , 5 0,5 0,01 0,001 0, D ari d aftar di atas tampak jelas bahwa jika diberi harga makin untuk kecil m endekati k ecil m atematis maka harga s angat f () amat juga kecil makin sekali kecil, ( sehingga dikatakan nol ) maka harga f () juga akan sangat amat sekali ( mendekati nol ). Pernyataan ini ditulis secara dengan notasi : 0 a tau sering disingkat l im S elanjutnya juga dapat dibuktikan bahwa, j ika makin besar maka harga f () akan semakin besar pula. Untuk sangat amat besar sekali ( dikatakan mendekati tak t erhingga besar ) sekali m atematis maka (tak harga terhingga). dengan notasi : f ( ) juga akan sangat amat Pernyataan ini ditulis secara a tau sering disingkat l im 4 4 Akhirnya s emua dapat disimpulkan secara umum berbanding lurus dapat berlaku : bahwa untuk l imit f () 0 d an f () 0 11

12 b ). Untuk berbanding t erbalik, misalnya : f () 4 ( dengan bilangan asli ) f () 4 0, 5 0, 1 0,01 0,001 0, D ari daftar di atas tampak jelas bahwa jika diberi harga m akin besar maka harga f () makin kecil, sehingga untuk t ak s angat amat besar sekali ( dikatakan mendekati terhingga ) maka harga f () akan sangat amat s ekali ( m atematis mendekati nol ). dengan notasi : Pernyataan ini ditulis kecil secara a tau sering disingkat l im 0 S elanjutnya juga dapat dibuktikan bahwa, j ika makin kecil maka harga f () akan semakin besar. Untuk s angat amat kecil sekali ( maka t erhingga). n otasi dikatakan mendekati nol harga f () akan s angat amat besar sekali (tak : Pernyataan ini ditulis secara matematis dengan ) 4 4 a tau sering disingkat lim 0 0 Akhirnya s emua dapat disimpulkan secara umum berbanding terbalik dapat berlaku : bahwa untuk l imit f () 0 d an l imit f () 0 1

13 bahwa d idekati D ari uraian tersebut dapat diambil sebuah pengertian : L imit Fungsi adalah sebuah harga batas oleh tersebut jika variabelnya diganti suatu harga mendekati harga tertentu. Untuk lebih jelasnya p erhatikan contoh berikut : l imit ( + 4 ) P ada contoh tersebut angka 6 adalah l imit a tau harga b atas dari ( + 4 ) jika diganti angka mendekati, misalnya,001 menghasilkan 6,001 atau 1,9999 menghasilkan 5,9999 kedua harga itu ternyata mendekati angka 6. Jadi angka 6 bukanlah harga e ksak, tetapi hanya harga batas ( angka d idekati ). Dengan penalaran sama maka harga dengan bentuk- b entuk lainnya dapat ditentukan, misalnya : (1). ( ) ( ). ( ) ( 3). 0 ( 4) ( 5) ( 6)

14 S ifat s ifat Limit Fungsi : Dari penelusuran terhadap hasil- hasil perhitungan dapat disebutkan bahwa mempunyai sifat- s ifat sebagai berikut : ( 1). k k ( ). C ( 3). k. f () k. f () ( 4). [ f () + g () ] f () + l imit g () ( 5). [ f (). g () ] limi t f (). l imit g () C ( 6). [ f () : g () ] f () : l imit g () C n (7). [ f () ] f () ] [ n ( 8). f () ] l imit f () C atatan : Untuk sifat nomor 6 asal harga g () 0 U ntuk sifat nomor 8 : f () > 0 14

15 ). Limit Fungsi Aljabar Berdasarkan d iuraikan h arganya di atas, prinsip jika f () adalah sebagaimana aljabar dapat dihitung dengan pedoman sebagai berikut : ( C dan k adalah bilangan konstan dan riil ) telah maka a ). f () k apabila f (C) k k b). f () a pabila f (C) 0 c ). f () 0 apabila f (C) 0 k k d). f () 0 apabila f ( ) e). f () t idak terdefinisi a tau t idak tertentu a pabila 0 harga f (c) adalah : ; atau ( ) 0 Jika ternyata hasil perhitungan salah satu di antara bentuk- b entuk t idak sebuah terdefinisi berupa di atas ( bentuk e ) maka harus dilakukan peruba han cara pengerjaan, misalnya dengan menyederhanakan bentuk soalnya dulu atau menyatakan bentuk soal dengan bentuk lain setara s ehingga d iperoleh hasil dalam bentuk tertentu ( terdefinisi ). A dapun cara penyederhanaan bentuk soal tersebut dengan memfaktorkan, mengalikan dengan bentuk misalnya sekawan 15

16 kemudian membaginya dengan bentuk sekawan juga, dan seba g ainya tergantung bentuk soalnya. C ontoh Soal : H itunglah - f ungsi b erikut ini! a). l imit ( ) e). ( 5 4 ) b ). l i mit f ). l i mit c ). l i mit g ). l i mit d ). l i mit h ). l i mit J awab : a). l imit ( ) b ). l i mit c ). l i mit d ). l i mit e). ( 5 4 ) ( ) 16

17 k arena d engan hasilnya bentuk tidak terdefinisi, maka harus diubah cara sebagai berikut : ( ) ( 5 4 ) ( 5 4 ). ( ) ( 5 4 ).( ) 5 4 l imit ( ) k alau harga disubstitusikan pada bentuk ini masih d idapat bentuk tak terdefinisi lagi, maka sebelumnya semua suku dibagi pangkat tertinggi ( yaitu: menjadi : 5 / 4 / l imit ( 5 / / 4 ) atau 4 ) 5 4 / 5 4/ l imit 5 / + 4 / 3 5 / + 4 / f ). l i mit (tak terdefinisi) k arena hasilnya yaitu bentuk tidak terdefinisi, maka harus diubah dengan cara membagi semua suku dengan / + / + 3/ l i mit / + 3 / / 1 + / + 3/ 1 + / + 3/

18 4 + 3/ / 4 + 3/ / ¼ g ). l i mit ( tak terdefinisi ) m aka harus diubah, yaitu dengan cara memfaktorkannya : ( 3 ) ( 3 ) 3 l i mit ( + 4) ( 3) /3 + 5/ / 3 h ). l i mit l i mit 3 3 / 3 / 3 1 / c. R angkuman 1 : 1). Pengertian, Notasi dan Sifat-s ifat Limit Fungsi. a). b ). L imit Fungsi adalah sebuah harga batas didekati oleh m endekati tersebut jika harga tertentu. variabelnya diganti suatu harga Limit untuk mendekati C d itulis dengan not asi : l imit f () f (C) c). Sifat- sifat : ( dengan, k C R e al ) ( 1). ( ). k k C 18

19 ( 3). k. f () k. f () ( 4). [ f () + g () ] f () + l imit g () ( 5). [ f (). g () ] f (). l imit g () ( 6). [ f () : g () ] f () : l imit g () (7). n [ f () ] f () ] [ n ( 8). f () ] l imit f () C C atatan : Untuk sifat nomor (6) asal harga g () 0 U ntuk sifat nomor (8) : f () > 0 ). Limit Fungsi Aljabar d ari J ika f () adalah sebuah aljabar, maka harga f () dapat dicari dengan pedoman sebagai berikut : a ). f () k apabila f (C) k k b). f () a pabila f (C) 0 c ). f () 0 apabila f (C) 0 k k d). f () 0 apabila f ( ) 19

20 e ). f () C harga d. T ugas 1: f (C) tidak terdefinisi adalah : 0 ; 0 Hitunglah - f ungsi berikut ini : a tau t idak tertentu apabila atau ( ) ). 7 ) ). 8 ) ). ( + 3 ) 9). ( ) e. T es formatif 1 : 1). Jelaskanlah : pengertian, notasi dan sifat- s ifat! ). Hitunglah - f ungsi berikut! a ). l imit d ). ( ) b ). e ) c ). f ) f. K unci Jawab Tes Formatif 1 : 1 ). L imit Fungsi a dalah sebuah harga batas didekati oleh tersebut jika variabelnya diganti suatu bilangan m endekati harga tertentu. Limit untuk mendekati C d itulis dengan notasi : f () f (C) 0

21 Limit mempunyai sifat-sifat seperti sifat- sifat operasi a ritmatik/aaljabar bilangan konstan. ). a ). c). 1 /15 e ). 1 / 3 b ). / 5 d ). f). 5. Kegiatan Belajar : Limit Fungs i Trigonometri a. Tujuan Kegiatan Belajar : M ahasiswa dapat menyelesaikan permasalahan t rigonometri. b. Uraian Materi : L imit Fungsi Trigonometri Aljabar D engan ide dasar sama dengan sebagaimana diuraikan sebelumnya, maka Trigonometri didapat rumus- rumus dasar sebagai berikut : di Fungsi dalam s in 1. 1 a tau l imit sin t g. 1 a tau l imit tg K edua rumus tersebut dapat di perluas menjadi sebagai berikut : s in a a 3. 1 a tau l imit 1 0 a 0 sin a t g a a 4. 1 a tau l imit 1 0 a 0 tg a sin n a a n n 1

22 5. 1 atau l imit 1 0 a n n n 0 sin a n n n tg a a 6. 1 a tau l imit 1 0 a n n n 0 tg a C ontoh : Tentukan f ungsi di bawah ini : sin 3 t g sin 7 tg sin J awab : 1. s in 3 sin 3 3 l imit t g 4 tg t g 6 7 t g l imit sin 7 0 sin sin sin c. Rangkuman : L imit Fungsi Trigonometri secara garis besar dapat dibedakan menj ad i dua rumus umum : ( jika a dan n adalah bilangan riil ) sin n a a n n 1. 1 a tau l imit 1

23 0 a n n 0 sin n a n n n tg a a. 1 a tau l imit 1 0 a n n n 0 tg a d. T ugas : H itunglah f ungsi T rigonometri b erikut ini : t g 1 + cos sin 3 0 cos t g 5 sin c os s in sin + tg 1 c os / 0 1 c os 9. ( 5 ). cotg ( 5 ) s in. sin 3. sin c os c os 4 e. T es formatif : H itunglah f ungsi 3 Trigonometri b erikut ini s in 3 1) ). l imit ( ) c osec ( ) 0 t g 8 tg 3 s in 3. s in 4 ) ) c os sin + tg 1 cos 7 3) )

24 f. Kunci Jawab Tes Formatif : 1 ). 3 / 8 4). 1 ). 8 / 5 5). 6 /5 3). 5 6 ). 6 1 / 8 3. Kegiatan Belajar 3 : K ontinyuitas Sebuah Fungsi a. Tujuan Kegiatan Belajar 3 : Mahasiswa s ebuah. b. Uraian Materi 3 : dapat menyelesaikan pe rmasalahan kontinyuitas K ontinyuitas Sebuah Fungsi Sebuah f () dikatakan kontinyu di titik C apabila memenuhi syarat- s yarat di bawah ini : a. f (C) terdefin isi, artinya harga f (C) ada. b. l imit f ( ) juga ada c. l imit f ( ) f ( C ) Kalau d ipenuhi, salah maka satu atau lebih dari demikian ketiga syarat dikatakan di atas sebagai tidak y ang d iskontinyu (tidak kontinyu) di C. Selanjutnya k ontinyu C ontoh : a. b. di setiap titik disebut sebagai kontinyu. Fungsi f () + 3 kontinyu di setiap titik, sebab untuk setiap C selalu dipenuhi syarat-s yarat kekontinyuan sebuah. Fungsi f () d isk ontinyu di titik, sebab f () s ehingga f () tidak terdefinisi. 4

25 c. + 6 Fungsi f () d iskontinyu di, sebab f ( ) - 0 berarti tidak tertentu meskipun f () untuk ada. Selanjutnya dengan memperhatikan persyaratan suatu, dapat juga ditentukan interval- interval s ebuah tidak kont inyu. kontinyuitas di mana C ontoh: Pada interval manakah - b erikut d isk ontinyu. 4 1 ). f () - ). f () ² - 9 J awab : 1). f () - ). f () akan menjadi tidak kontinyu bila f () tidak ada harganya (khayal), yaitu terjadi jika di bawah a kar Jadi berharga negatif, sehingga : - < 0 < f () d isk ontinyu pada interval : { < } 4 f () ² - 9 Fungsi ini akan diskontinyu jika ² ² ( - 3 ). ( + 3 ) J adi f () d isk ontinyu pada interval : { } c. Rangkuman 3 : Sebuah f () dikatakan kontinyu di titik apabila memenuhi syarat- s yarat di bawah ini : C 5

26 a. f (C) terdefinisi, artinya harga f (C) ada. b. l imit f ( 0 ) juga ada c. l imit f ( ) f ( C ) 0 K alau dipenuhi, salah satu atau lebih dari ketiga syarat di atas tidak maka diskontinyu y ang kontinyu (tidak kontinyu) demikian di dikatakan C. sebagai Selanjutnya di setiap titik disebut sebagai kontinyu d. Tugas 3 : 1). Manakah - f ungsi berikut ini merupakan k ontinyu d i setiap titik, dan tunjukkan buktinya?. a. f ( ) b. f ( ) c. f ( ) ). Pada titik atau interval manakah - f ungsi berikut ini tidak k ontinyu? a). f ( ) c. f ( ) b). f ( ) d. f ( ) e. T es formatif 3 : 1). K atakanlah -f ungsi berikut ini kontinyu a tau tidak, t unjukkan buktinya?. dan 6

27 a ). f ( ) 3 4 d). f () b). f ( ) e ). f () f. c). f ( ) ). Pada titik atau interval manakah - f ungsi berikut ini tidak k ontinyu? a). f ( ) c. f ( ) b). f ( ) d. f ( ) K unci Jawab Tes Formatif 3 : 1 ). a). Kontinyu di setiap titik C, sebab selalu dipenuhi ketiga p ersyaratan kontinyuitas b ). Tidak kontinyu di 3 sebab f (3) ti dak terdefinisi. c ). Tidak kontinyu pada interval 4 < 6 atau < 1,5 sebab untuk semua < 1,5 f () tidak terdefinisi d). Kontinyu di setiap titik C, sebab selalu dipenuhi ketiga p ersyaratan kontinyui tas e). Tidak kontinyu di sebab f ( ) tidak terdefinisi. ). a). P ada titik 4 b ). P ada interval : { 6 } c ). P ada titik 1 d ). P ada titik d an 7

28 B AB III E VALUASI A. Pertanyaan 1. Hitunglah - f ungsi berikut! ( skore 40 ) a. c b. d H itunglah f ungsi Trigonometri b erikut ini! ( skore 40 ) sin 4 s in. s in 3 a c c os 8 sin 3 + tg 1 cos 5 b d K atakanlah -f ungsi berikut ini kontinyu a tau tidak, dan t idak, pada titik atau interval mana letaknya? ( skore 0 ) jika a. f ( ) + 5 c. f () b. f ( ) d. f ()

29 B. Kunci Jawaban 1. a. 3 c. 1 ⅔ b. 5 /56 d. 1/ 3. a. b. 5 1 / 3 c. 3 /3 1 ½ d. 6 ¼ 3. a. Kontinyu di setiap titik C b. c. Tidak kontinyu di titik Kontinyu di setiap titik 4 C d. Tidak kontinyu pada interval { 7 } C. Kriteria Kelulusan K ognitif K riteria S kor ( 1 10) B obot N ilai K eterangan ( s oal nomor 1 sd. 3 ) 5 K etelitian menulis notasi 1 K etepatan prosedur K etepatan formula jawaban 1 K etepatan waktu 1 N ILAI AKHIR Syarat lulus n ilai minimal 56 9

30 B AB IV P ENUTUP D emikianlah mudul M AT. TKF dengan judul Limit dan Kontinyuitas Fungsi ini telah selesai disu sun dengan dilengkapi beberapa latihan/tugas, tes formatif maupun evaluasi akhir beserta kunci jawabannya. dapat telah t ujuan maka memantau Dengan benar- benar sendiri bantuan memiliki modul perkembangan kompetensi ini diharapkan kompetensinya, sebagaimana para apakah tercermin diharapkan pada setiap kegiatan belajar atau belum. mahasiswa mereka pada Bagi para mahasiswa telah mencapai syarat kelulusan minimal mereka dapat menghentikan kegiatan belajarnya pada m odul i ni d an melanjutkan ke modul berikutnya. Sebaliknya jika belum dapat memenuhi kelulusan minimal, maka mereka harus belajarnya terutama pada bagian materi- materi mengulang belum kembali dikuasainya ( b elum lulus ) dan sebaiknya mereka harus lebih sungguh- sungguh dalam belajar dengan memanfaatkan fasilitas ada termasuk bantuan d ari dosen sebagai fasilitator matakuliah ini. 30

31 D AFTAR PUSTAKA F rank Ayres, J r., D iferensial dan Integral : K alkulus. E disi Kedua ( Terjemahan). Jakarta: E rlangga. Kreyszig, E M atematika Teknik Lanjutan Buku 1 & (Terjemahan). J akarta: PT. Gramedia. N joman Susilo dkk., K alkulus dan Geometri Analitis Jilid 1. Jakarta : E rlangga S piegel, M. R M atematika Lanjutan ( Terjemahan). Jakarta: Erlangga S troud, K.A M atematika untuk E rlangga. Teknik ( Terjemahan). Jakarta: 31