E-learning matematika, GRATIS

Transkripsi

1 Penyusun : Edi Sutarto, S.Pd. Editor : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. A. Definisi Istilah it diartikan pendekatan. Dalam penulisannya dituliskan:, dibaca mendekati, artinya: nilai,999., ) it kiri atau bisa juga nilai,., ) it kanan. Contoh :. Diketahui fungsi f) Untuk, maka nilai fungsi f) ) Untuk, maka nilai fungsi: F,9999),9999),9998,9998, atau F,),),, Kedua nilai fungsi tersebut mendekati bilangan Dapat disimpulkan untuk f), maka artinya untuk, nilai f) mendekati. Diketahui fungsi f).untuk, maka nilai fungsi 9 f) bentuk disebut bentuk tak tentu). ) ) Pada fungsi f). ) Untuk, maka nilai fungsi:,9999 ),9999) f,9999),9999,9999, ), ) f,),., Dapat disimpulkan, untuk f)., maka :. Artinya untuk, nilai f). Secara umum: f ) L, artinya jika a, f ) mendekati L a B. Bentuk Tentu, bentuk Tak Tentu dan bentuk yang tidak terdefinisi Dalam hasil pendekatan nilai fungsi, didapat bentuk yaitu:. Bentuk Tentu : Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bilangan real tertentu. Bentuk ini merupakan jawaban dari semua soal-soal it.. Bentuk Tak Tentu. Hasil pendekatan nilai fungsi yang berupa bentuk:,,., dan lainnya.bentuk tak tentu menghasilkan banyak jawaban. Pada penyelesaian it, bila nilai fungsi menghasilkan bentuk tak tentu maka harus diubah bentuk fungsi) menjadi bentuk tentu.. Bentuk yang tidak didefinisikan a Hasil pendekatan nilai fungsi yang berbentuk

2 C.Teorema Limit. c c a. n a n a. c f ) c f ) a a f ) ± g ) f ) ± g ) a a a. [ f ). g ) ] f ) g ) a a a. f ) f ) a a g ) g ) a. n [ ] n f ) f ) a a 8. n f ) n f ) a a. [ ] Penggunaan teorema it Contoh. Carilah nilai dari: a. b. ) Jawaban: a. ) ) 9 b. ). 9) Latihan.. 8. ) D Penyelesaian Limit I. Penyelesaian it aljabar di a a. Subtitusi langsung. Contoh: Tentukan nilai it fungsi berikut:. 8).. ).

3 Jawaban:. 8) )-8. ) b. Pemfaktoran dan menyederhanakan ).. Jika dengan cara subtitusi langsung didapat bentuk tak tentu,maka dapat diselesaikan dengan cara memfaktorkan dan menyederhanakan bentuk: a). u ) u ) u a) a a). v ) a v ) v a) Contoh : Tentukan nilai dari it berikut:... Jawaban: ) ). Dengan subtitusi langsung: bentuk tak tentu) ) ) - ). ) ). ) ) ). Pemfaktoran bentuk khusus: a b a b) a b) a b a b) a ab b ) a b a b) a ab b ) Latihan Tentukan nilai setiap it berikut:. a. a a a) a. a a a) jika f), maka nilai dari: f )

4 c.mengalikan dengan faktor sekawan Jika dalam subtitusi langsung diperoleh bentuk tak tentu maka cara penyelesaian it bentuk akar adalah dengan mengalikan faktor sekawan. Bentuk kawan: - a bentuk kawan dari a, dan sebaliknya - a bentuk kawan dari a, dan sebaliknya - a bentuk kawan dari a, dan sebaliknya a b bentuk kawan dari a b, dan sebaliknya Contoh soal: Tentukan nilai it dari:... Jawaban:.. ) ) ).. ) ).. ) ) ) ) ). ) ) ) ) )) ) )) ) ) ) ) ) Latihan. Tentukan nilai it berikut! h h h II. Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar di a. Membagi dengan variable pangkat tertinggi Membagi dengan variable pangkat tertinggi digunakan saat dan ditemui bentuk tak tentu. Diselesaikan dengan ketentuan: a n

5 Contoh soal: Tentukan nilai dari setiap it berikut: b. Perkalian sekawan bentuk khusus yang memuat b a ) Cara ini digunakan jika dijumpai bentuk tak tentu Cara penyelesaian; kalikan dengan bentuk sekawannya sehingga berubah menjadi bentuk dan selesaikan dengan cara seperti cara bagian a. Contoh soal: Tentukan nilai dari setiap it berikut:... Jawaban:.. ) ) ) ), karena pangkat tertinggi pembilang Dan pangkat tertinggi penyebut karena, maka:. ) ) ) ), karena pangkat tertinggi pembilang, dan pangkat tinggi penyebut ), maka:

6 ) ) ) ) -. a b c p q r, dengan cara yang sama seperti diatas di peroleh hasil kemungkinan): b q Jika nilai a p maka nilai dari itnya a Jika nilai a < p maka nilai dari itnya Jika nilai a > p maka nilai dari itnya Latihan. Tentukan nilai dari setiap it berikut:.. ).. ) ).. ) 9.. II. Limit Fungsi Trigonometri 8. ) ) Teorema: sin sin tan tan a. menyelesaikan it fungsi trigonometri bentuk Contoh soal: Tentukan nilai dari setiap it berikut: sin... sin sin. tan sin tan cos sin sin a... 8 sin sin sin a

7 Jawab:. sin sin ).. ) sin sin. sin sin sin. )) sin sin sin. cos sin sin sin )) sin sin sin b. menyelesaikan it fungsi trigono bentuk ) Limit bentuk ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk contoh soal: Tentukan nilai dari it berikut: sec tan ) π π π π sin sin cos ).sin ) sin sin ) π cos cos π cos π π π π sin ) sin ) π π cos ). cos π c. menyelesaikan it fungsi trigonometri bentuk. ) dapat diselesaikan dengan mengubahnya ke bentuk. Contoh soal: )sin π )sin π. ) tan π cos π sin π π) )sin π sin π.. π sin π ) π ooo

8 8 LATIHAN SOAL Pilihlah salah satu jawaban yang paling benar!. Nilai A. B. 8 C. 8 D. E. 8. Nilai adalah A. B. C. D. E. t 8. Nilai Lim t t t A. B. C. D. E. Nilai 8 A. B. C. D. E. Jika f ) A. B. C. D. E. maka f ). Nilai t A. B. C. D. E t t 9. Nilai... A. B. C., D. 8 E. 8 Nilai adalah A. B. C. D. E. 9 Nilai A. B. C. D. E. Nilai A. B. C. D. E. -

9 9 Nilai dari adalah A. B. C. D. E. 8 Nilai ) 9 A. B. C. D. E.. Nilai Nilai A. B. 8 C. D. E. ) sin Nilai Lim sin A. B. C. D. E. tan t Nilai Lim adalah t t A. B. C. D. E. Nilai Nilai A. B. C. ) sin ).. D. E. sin sin Nilai A. B. C. D. E. cos 8 Nilai A. B. C. D. E. 9 Jika f), maka f p) - f ) sama dengan p p A. B. C. D. E. Diketahui f), maka f p) f ) p p A. B. C. D. E

10 Mengapa Cina Sangat Berprestasi Dalam Opiade Matematika Internasional? Sejak pertama kali mengikuti Opiade Matematika Internasional International Mathematical Olympiad) tahun 98 di Joutsa, Finlandia sampai dengan IMO tahun 8 di Madrid, Spanyol, siswasiswa sekolah menengah dari Cina telah berhasil mengumpulkan medali emas, perak dan perunggu. Bandingkan dengan Indonesia yang sampai sekarang baru berhasil mendapat medali perak dan perunggu sejak pertama kali ikut IMO tahun 988 di Canbera, Australia. Faktor-faktor apa saja yang menyebabkan siswa-siswa Cina menjadi sangat luar biasa dalam IMO? Yang paling utama adalah sistem pendidikan di Cina yang dapat membuat siswa sangat tertarik dengan matematika dan dapat mengidentifikasi siswa-siswa yang potensial dalam bidang tersebut. Dalam hal inilah Cina sangat unggul. Guru-guru matematika di Cina tidak memerlukan banyak pelatihan dalam pengembangan profesinya, tetapi mereka sangat spesialis dan mau bekerja keras dalam mendalami profesinya. Faktor lain yang sangat berpengaruh adalah banyak sekali guru matematika di Cina yang menggemari dan menggeluti kompetisi matematika. Cina mempunyai jaringan pelatih khusus untuk kompetisi matematika di seluruh negeri yang dapat mengidentifikasi dan membimbing siswa-siswa yang berbakat matematika. Setiap tahun lebih dari juta siswa sekolah menengah di Cina yang berpartisipasi dalam kompetisi matematika. Menurut Zuming Feng team leader tim IMO Amerika Serikat) yang dilahirkan dan dibesarkan di Cina sebelum berimigrasi ke Amerika Serikat, di Cina terdapat banyak sekali guru matematika sekolah menengah di Cina yang mengabdikan profesinya khususnya dalam kompetisi matematika. Kemampuan matematika yang mendalam juga menjadi syarat dalam ujian masuk perguruan tinggi di Cina. Soal ujian tersebut selalu terdiri dari tiga atau a soal matematika yang berbentuk pembuktian. Sebagai akibatnya siswa-siswa Cina sudah terbiasa menghadapi soal-soal matematika level opiade. Faktor terakhir adalah sistem pembinaan yang sangat keras untuk menghadapi IMO. Meskipun tidak melalui model pelatihan jangka panjang, siswa-siswa yang mewakili Cina di IMO paling sedikit harus melewati sepuluh tes yang selevel dengan IMO