B. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

Transkripsi

1 B. PENGERTIAN LIMIT FUNGSI Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar kaat-kaat seperti : a. Mobil itu nyaris masuk ke jurang. b. Kita hampir memasuki kota Jakarta. c. Kecantikannya mendekati sempurna. Kata-kata yang dicetak miring pada kaat-kaat di atas mempunyai pengertian yang sama dengan kata it fungsi pada matematika. Pengertian it fungsi pada matematika dapat dibagi ke dalam dua bagian, yaitu it fungsi di satu titik dan it fungsi di tak hingga.. Pengertian it fungsi di satu titik. Pengertian it fungsi di satu titik secara informal (intuisi) diberikan pada definisi di bawah ini. Definisi Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk mendekati c maka kita katakan bahwa f mempunyai it L untuk mendekati c dan ditulis f ( ) L c (Finney, 99) (dibaca it f untuk mendekati c sama dengan L). Pengertian mendekati c mencakup dua hal, yaitu : a. Nilai-nilai yang dekat dengan c tetapi lebih kecil dari c, disebut mendekati c dari kiri. Apabila mendekati c dari kiri maka it fungsi f- nya disebut it kiri dan ditulis - f ( ) c (dibaca it f untuk mendekati c dari kiri). b. Nilai-nilai yang dekat dengan c tetapi lebih besar dari c, disebut mendekati c dari kanan. Apabila mendekati c dari kanan maka it

2 fungsi f-nya disebut it kanan dan ditulis f ( ) c (dibaca it f untuk mendekati c dari kanan). c. Suatu fungsi f mempunyai it untuk mendekati c jika dan hanya jika it kiri dan it kanannya ada dan sama. ( Finney, 99) Jadi dapat disimpulkan bahwa : f ( ) L c - c f ( ) L dan c f ( ) L Untuk memahami definisi di atas, perhatikan contoh-contoh di bawah ini. Contoh. - Misalkan fungsi f : R R dengan f(),. - Carilah f ( ) jika ada. Fungsi f tidak terdefinisi di karena di titik ini f() berbentuk yang tak mempunyai arti. Tetapi kita masih bisa menanyakan apa yang terjadi pada f() apabila mendekati. Secara lebih tepat, apakah f() mendekati bilangan tertentu apabila f() mendekati? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita dapat melakukan dua hal. Yang pertama, kita dapat mencari nilai-nilai f() untuk yang dekat dengan dan yang kedua adalah dengan mensketsakan grafik fungsi f. Nilai- nilai f() untuk yang dekat dengan dapat di lihat pada tabel berikut. Anda diminta melengkapi tabel ini dengan bantuan kalkulator yang anda miliki.,7,9.99,999,9999,,,,,

3 f(),9.,999...,., Sedangkan sketsa grafik fungsi f adalah Y - X Dengan memperhatikan nilai-nilai f () pada tabel ataupun sketsa grafik fungsi f, dapat kita simpulkan beberapa hal, yaitu : a. Limit f untuk mendekati dari kiri (it kiri f ) adalah dan ditulis f ( ). b. Limit f untuk mendekati dari kanan (it kanan f ) adalah dan ditulis f ( ). c. Karena f ( ) f ( ) maka f ( ). Contoh. Diberikan fungsi g : R R dengan g ( ) untuk. Carilah g( ) jika ada. Nilai- nilai g() untuk yang dekat dengan dapat di lihat pada tabel di bawah ini. Cobalah cek dan lengkapi nilai-nilai g() pada tabel tersebut. 6

4 X -, -, -, -,,,,, g() Sketsa grafik fungsi g adalah sebagai berikut : Y X Dari tabel maupun sketsa grafik fungsi g dapat kita simpulkan bahwa : a. Nilai g() akan terus membesar menuju ke untuk mendekati dari kiri. Jadi g ( ). b. Nilai g() juga akan terus membesar menuju ke untuk mendekati dari kanan. Jadi g ( ). c. Karena g ( ) g( ) maka g ( ). Contoh. Misalkan fungsi h : R R dengan Carilah h( ) jika ada. h ( ),untuk,untuk > 7

5 Sekarang kita hanya akan mensketsa grafik fungsi h. Sedangkan untuk tabel nilainilai h() untuk mendekati silahkan anda hitung sendiri. Y X Dari grafik di atas dapat di simpulkan bahwa h ( ) dan h ( ). Ternyata h ( ) h( ). Dengan demikian h( ) tidak ada.. Pengertian it fungsi di tak hingga. Pengertian it fungsi di tak hingga adalah sebagai berikut : a. Jika nilai suatu fungsi f mendekati L untuk yang terus membesar menuju maka kita katakan bahwa f mempunyai it L untuk mendekati dan ditulis f ( ) L (dibaca it f untuk mendekati sama dengan L). b. Jika nilai suatu fungsi f terus membesar untuk menuju maka kita katakan bahwa f mempunyai it untuk mendekati dan ditulis f ( ) (dibaca it f untuk mendekati sama dengan ). c. Jika nilai suatu fungsi f terus mengecil untuk menuju maka kita katakan bahwa f mempunyai it untuk mendekati dan ditulis f ( ) - (dibaca it f untuk mendekati sama dengan ). (Finney, 99) Untuk memahami pengertian di atas, perhatikanlah dua buah contoh berikut : 8

6 Contoh. Carilah Dengan melakukan langkah-langkah seperti pada it di satu titik diperoleh tabel dan grafik sebagai berikut : X,,,,,., Y X Dari tabel dan grafik terlihat bahwa jika nilai membesar menuju ke tak hingga, maka nilai akan mendekati. Dengan demikian. Contoh. Carilah ( ) dan ( ). Sekarang kita hanya akan menggunakan metode sketsa grafik fungsi. 9

7 Y X Dari grafik di atas terlihat bahwa jika menuju maka nilai juga semakin besar menuju ke tak hingga. Jadi ( ). Dari grafik di atas juga terlihat bahwa jika menuju maka nilai ( ) juga semakin besar menuju ke tak hingga. Jadi ( ). -. Misalkan diberikan fungsi f : R R dengan f(),. - a. Buatlah tabel nilai-nilai f() untuk nilai-nilai yang dekat dengan. b. Sketsalah grafik fungsi f(). c. Tentukan f ( ) jika ada. d. Tentukan f ( ) jika ada. e. Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ).. Pertanyaan seperti nomor untuk f ( ).

8 . Misalkan diberikan fungsi f : R R dengan f(),. - a. Buatlah tabel nilai-nilai f() untuk nilai-nilai yang dekat dengan. b. Sketsalah grafik fungsi f(). c. Tentukan f ( ) jika ada. d. Tentukan f ( ) jika ada. e. Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ).,untuk. Diberikan fungsi f : R R dengan f ( ), untuk > Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ).,untuk. Diberikan fungsi f : R R dengan f ( ), untuk > Apakah f ( ) ada? Jika ada, berapakah nilai f ( ). 6. Hitunglah nilai it-it berikut jika ada. (a). ( ) (c). (b). (d). 7. Hitunglah nilai it-it berikut jika ada. a. d. ( ) b. c. ( ) e. f. 6

9 KEGIATAN KELOMPOK MENYELIDIKI SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI Petunjuk : (i) Bentuk kelompok yang masing-masing beranggotakan orang. (ii) Diskusikan dalam kelompok tentang permasalahan di bawah. (iii) Presentasikan hasil kerja kelompok di depan kelas. Permasalahan :. Diketahui f dan g adalah fungsi dari R ke R dengan f fungsi identitas dan g fungsi konstanta. Misalkan f ( ) dan g ( ) 9. a. Carilah f ( ) b. Carilah f ( ) dan g( ). dan g( ). c. Carilah f ( ) dan bandingkan hasilnya dengan f ( ). d. Carilah [ f ( ) g( ) ] f ( ) g( ). e. Carilah [ f ( ) g( ) ] f ( ) f ( ). dan bandingkan hasilnya dengan dan bandingkan hasilnya dengan f. Carilah f ( ) g( ) dan bandingkan hasilnya dengan f ( ) f ( ). f ( ) f ( ) g. Carilah dan bandingkan hasilnya dengan. g( ) f ( ) h. Carilah [ f ( ) ] dan bandingkan hasilnya dengan [ f ( ) ] i. Carilah f ( ) dan bandingkan hasilnya dengan f ( ).. Ambil sebarang fungsi f dan g sebagai fungsi dari R ke R dan jawab pertanyaan-pertanyaan nomor untuk mendekati suatu bilangan tertentu.

10 Fungsi f dan g yang diambil tiap kelompok harus berbeda dari kelompok lainnya.. Apa yang dapat anda simpulkan dari hasil nomor dan nomor? C. TEOREMA LIMIT Teorema it fungsi adalah sebagai berikut : Jika n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai it di c, maka sifat-sifat dibawah ini berlaku :. k k c. c c. kf ( ) k f ( ) c c. [ f ( ) g( )] c. [ f ( ) g( )] c f ( ) g( ) c c f ( ) - g( ) c c 6. [ f ( ). g( )] c f ( ). g( ) c c 7. f ( ) c g( ) f ( ) c, asalkan g( ) g( ) c c n 8. [ f ( )] [ f ( ) c c ] n n 9. f ( ) n f ( ), asalkan f ( ) > bilamana n genap. c c c (Purcell, 99) Teorema it ini akan mudah diingat jika kita nyatakan dalam bentuk kata-kata. Misalnya sifat dapat dinyatakan sebagai it suatu jumlahan adalah

11 jumlah dari it-it. Cobalah nyatakan sifat-sifat lainnya pada teorema di atas dalam bentuk kata-kata. Penerapan teorema it di atas dapat dilihat pada contoh-contoh berikut. Contoh. Carilah (sifat ) ( ) (sifat 8) () (sifat ) 6. Contoh. Carilah ( ) ( ) (sifat ) (sifat ) ( ) (sifat 8) (sifat ) ( ) ( ). Contoh. Carilah 9

12 9 9 (sifat 7) ( 9) (sifat 9) 9 (sifat ) ( ) 9 (sifat 8) () 9 (sifat dan ). Contoh. Jika f ( ) dan g( ) 8 ( f ( ). g( ) ), maka carilah ( f ( ). g( ) ) f ( ). g( ) (sifat ) ( ) f ( ) ( ).. 8. g( ) (sifat 8 dan 9)

13 UJI KOMPETENSI. Gunakan teorema it untuk mencari tiap it berikut. Berikan alasan tiap langkah dengan mengacu pada teorema tersebut. a. (7 ) e. b. ( ) c. [( )( )] f. g. (t t y ) y y 8y d. 8 h. (w 9w 9) w. Jika f ( ) a dan g( ), maka carilah it-it berikut : a a. f ( ) g ( ) a f ( ) g( ) b. a f ( ) g( ) c. g( ) [ f ( ) ] a d. [ f ( ) ] a e. [ f ( t) ( t a) g( t) ] ta f. [ ] ua f ( u) g( u) D. LIMIT FUNGSI ALJABAR Limit-it yang sampai sejauh ini telah kita bahas merupakan it-it fungsi aljabar. Sekarang kita akan mempelajari lebih lanjut bagaimana cara mencari nilai it fungsi aljabar terutama yang mengandung bentuk tak tentu. Bentuk tak tentu dari suatu it adalah it yang menghasilkan,,,.,, atau apabila dilakukan substitusi langsung (Purcell, 6

14 99). Tetapi bentuk tak tentu yang akan kita pelajari hanyalah tiga bentuk yang pertama. Sedangkan bentuk-bentuk tak tentu lainnya dapat anda pelajari pada buku-buku kalkulus perguruan tinggi.. Limit fungsi aljabar yang tidak mengandung bentuk tak tentu. Untuk mencari nilai it fungsi aljabar berbentuk f ( ) yang tidak mengandung bentuk tak tentu digunakan metode substitusi langsung. Metode ini merupakan akibat dari sifat-sifat yang ada pada teorema it. a Contoh. Carilah ( ) ( ) ( ) () 7. Contoh. Carilah (). Contoh. 7 6 Carilah () () () 6 () 6() 8 7

15 Limit fungsi aljabar yang mengandung bentuk tak tentu. Secara umum, untuk mencari nilai it fungsi aljabar berbentuk f ( ) a g ( ) yang mengandung bentuk tak tentu digunakan metode pemfaktoran. Jadi jika f ( a) dilakukan substitusi langsung diperoleh bentuk, maka kita harus g( a) mengupayakan agar f ( ) dan g( ) memiliki faktor yang sama. Jika dimisalkan faktor yang sama itu adalah ( a), maka : f ( ) ( a) P( ) P( ) P( a) a g ( ) a ( a) Q( ) a Q ( ) Q( a) Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh di bawah ini : Contoh. Carilah ( )( ) 8 ( ) ( ). 8

16 Contoh. Carilah ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 6 7. Contoh 6. Carilah ( )( ( ) ) (). Adakalanya sebuah it fungsi aljabar berbentuk f ( ) a g ( ) yang mengandung bentuk tak tentu harus dikalikan dulu dengan bentuk sekawan dari f () atau g() sebelum dilakukan pemfaktoran. Bentuk yang memerlukan perlakuan demikian apabila f () atau g () mengandung bentuk akar. 9

17 Contoh 7. Carilah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Contoh. Carilah ( 6) ( )( 6 ) ( 6) 9 ( )( 6 ) ( ) ( )( 6 )

18 ( 6 ) ( 6 ) 8. Contoh 6. Carilah ( )( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ) ( )( ) ( )( ( ) ).. f ( ) Ada satu lagi yang berhubungan dengan bentuk, yaitu yang a g ( ) nantinya berhubungan dengan topik turunan pada bab yang akan datang. Perhatikan dua buah contoh di bawah ini.

19 Contoh 7. f ( h) f ( ) Tentukan nilai it dari apabila h h a. f ( ) b. f ( ), untuk f ( h) a. h h f ( ) ( h) h h h h h h h h h. b. h f ( h) h f ( ) h f ( h) h f () ( h) h h 9 6h h h h 6h h h h h(6 h) h h (6 h) h

20 f ( ). Limit fungsi aljabar berbentuk g ( ) f ( ) Limit fungsi aljabar berbentuk g ( ) apabila dilakukan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk. Oleh karena itu untuk mencari nilai itnya harus dilakukan manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar yang dimaksud adalah dengan membagi setiap suku-suku pada f ( ) dan g( ) dengan pangkat tertinggi dari. Selanjutnya digunakan fakta yang diperoleh pada contoh sub bab A, yaitu dengan k dan n suatu konstanta. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh-contoh berikut. Contoh 8. Carilah

21 Contoh 9. Carilah. Contoh. Carilah

22 . Cara cepat Misalkan kita akan menyelesaikan m m a b... c. n n p q... r a. Jika m < n maka m m a b... c n n p q... r. b. Jika m n maka m m a b... c n n p q... r a. p c. Jika m > n maka m m a b... c n n p q... r.. Limit fungsi aljabar berbentuk ( f ( ) g( ) ) Limit fungsi berbentuk ( f ( ) g( ) ). apabila dilakukan substitusi langsung akan menghasilkan bentuk. Oleh karena itu untuk mencari nilai itnya harus dilakukan manipulasi aljabar. Manipulasi aljabar yang dimaksud adalah dengan mengalikannya terlebih dahulu dengan faktor sekawannya. Setelah itu barulah dilakukan langkah seperti pada bagian di atas atau dengan memakai cara cepat yang sudah diperoleh. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contohcontoh berikut : Contoh. Hitunglah ( )

23 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Contoh Hitunglah ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( ) ( ) 8 8 ( ) ( ) Contoh. Hitunglah ( ) ( ) ( )

24 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Cara cepat Misalkan kita akan menghitung ( ) q p b a. a. Jika p a maka ( ) q p b a b. Jika p a > maka ( ) q p b a c. Jika p a < maka ( ) q p b a Contoh Carilah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

25 Contoh. Carilah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Contoh 6 Carilah ( ) ( )

26 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 6 Cara cepat Misalkan kita akan menghitung ( a b c p q r ). a. Jika p b. Jika p c. Jika p b q a a maka ( a b c p q r ) a > maka ( a b c p q r ) a < maka ( a b c p q r ) UJI KOMPETENSI. Carilah nilai it-it berikut : a. ( 8) c. 9 b. 7 t d. t t 9

27 DAFTAR PUSTAKA Departemen Pendidikan Nasional.. Kurikulum : Standar Kompetensi Mata Pelajaran Matermatika untuk Sekolah Menengah Atas dan Madrasah Aliyah. Jakarta. Finney, Ross L. & Thomas, George B. 99. Calculus, nd edition. New York: Addison Wesley Publishing Company. Johannes dkk.. Kompetensi Matematika. Jakarta : Yudhistira. Noormandiri, Endar Sucipto Matematika untuk SMU, Jilid. Jakarta : Erlangga. Purcell, E.J. dan Varbeg D.Terjemahan Bana Kartasasmita dkk Kalkulus dan Geometri Analitik Jilid I, Edisi Kea. Jakarta: Erlangga. Sartono Wirodikromo.. Matematika untuk SMA. Jakarta : Erlangga. Siswanto.. Matematika Inovatif. Solo : Tiga Serangkai. Stewart, James.. Calculus, nd edition. USA : Thomson Learning Wodswort Group. Sumadi dkk. 99. Matematika SMU b. Solo : Tiga Serangkai. Sumartono Prawirosusanto. Catatan Kuliah Fisika Dasar I, MKDK Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta.