Matematika: Aljabar (Persamaan Linear) 11/15/2011 ALJABAR. Oleh Syawaludin A. Harahap SUB POKOK BAHASAN. Syawaludin A. Harahap 1

Transkripsi

1 MATA KULIAH : MATEMATIKA KODE MATA KULIAH : UNM SKS : 2 (1-1) 1) ALJABAR Oleh Syawaludin A. Harahap UNIVERSITAS PADJADJARAN FAKULTAS PERIKANAN DAN ILMU KELAUTAN JATINANGOR 2011 SUB POKOK BAHASAN PENGANTAR PERSAMAAN LINEAR Syawaludin A. Harahap 1

2 PENGANTAR ALJABAR Aljabar pertama kali dikembangkan oleh Muḥammad bin Mūsā al- Khawārizmī ( ), seorang ahli matematika, astronomi, astrologi, dan geografi yang berasal dari Persia. Al jabar merupakan bahasa simbol dan relasi. Hukum-hukum Atau Sifat-sifat Aljabar 1. Sifat tertutup (Closure): Untuk setiap a, b R, jika a + b = c dan a x b = d, maka (i) c R dan (ii) d R. 2. Sifat Pengelompokan (Asosiatif): Untuk setiap a, b, c R berlaku: (i) a+(b+c)=( )=(a+b)+c, (ii) a x (b x c) = (a x b) x c. 3. Ada elemen Netral, yaitu 0 (nol nol) pada penjumlahan dan 1 (satu) pada perkalian. Sesuai namanya maka sifat elemen netral tersebut adalah: Untuk setiap a R maka: (i) a + 0 = a = 0 + a, dan (ii) 1 x a = a = a x 1 Syawaludin A. Harahap 2

3 4. Elemen Invers. Setiap bil. Real a mempunyai invers penjumlahan (aditif) yaitu a (negatif a) dan untuk setiap a R dan a 0 mempunyai sebuah invers perkalian 1/a (kebalikan a). Dalam hal ini: (i) a + (-a) = 0 = (-a) + a, dan a x 1/a = 1 = 1/a x a asal a 0 5. Sifat Komutatif Untuk setiap a, b R berlaku: (i) a + b = b + a dan a x b = b x a. 6. Distributif. Untuk setiap a, b, c R berlaku a x (b + c)= ab + ac. Untuk setiap a R, berlaku a x 0 = 0. Untuk setiap a, b, c, d R berlaku (a + b) x (c + d)=ac + ad + bc + bd. Untuk setiap a, b R, berlaku: (i) (-a) x b = -(a x b), (ii) (a) x -b = -(a x b), dan (-a) x (-b) = a x b. PERSAMAAN LINEAR Syawaludin A. Harahap 3

4 Persamaan adalah suatu pernyataan matematis. Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Suatu persamaan disebut persamaan linear dalam suatu variabel jika pangkat tertinggi dari variabel dalam persamaan tersebut adalah 1. Contoh : Jika seorang petani ikan membeli 1 pasang induk ikan lele (x) dan 2 pasang induk ikan nila (y) maka ia harus membayar Rp. 5000, sedangkan jika membeli 3 pasang induk ikan lele dan 1 pasang induk ikan nila maka ia harus membayar Rp Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL adalah: x + 2y = x x + y = Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x 1 + a 2 x 2 + b = 0 Bentuk umum persamaan linear: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 12 x 2 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 + a m2 x 2 + +a mn x n = b m Syawaludin A. Harahap 4

5 Penyelesaian Persamaan linear: 1. Eliminasi dengan cara substitusi Contoh: Sistem persamaan: 3x 6y = 10 (1) 9x +15y = (2) Selesaikan (1) untuk mencari x: x = 10/3 + 2y Substitusikan kedalam (2): 9(10/3+2y)+15y = y + 15y = y = -44 y= - 4/3 Substitusikan nilai y ke dalam (2): x = 10/3+ 2(-4/3) x = 2/3 2. Eliminasi dengan cara penambahan Contoh: sistem persamaan: 2x 3y =10..(1) 3x 4y = 8...(2) Kalikan (1) dengan -3 dan kalikan (2) dengan 2: -6x + 9y = -30 6x 8y = 16 + Tambahkan: y = -14 Substitusikan nilai y ke dalam (1): 2x + 42 = 10 x = -16 Syawaludin A. Harahap 5

6 y = ax + b? LATIHAN -1 Tentukan nilai x dari persamaan berikut: A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. 10 Syawaludin A. Harahap 6

7 Kalikan dengan 10: Pembahasan 6x 4 = 40 5x 11x = 44 X = 4 Jadi jawabannya adalah B LATIHAN -2 Jika suatu sistem persamaan linear: ax + by = 6..(1) 2ax + 3by = 2..(2) Mempunyai penyelesaian x = 2 dan y = -1, maka a 2 + b 2 = A.200 B.174 C.265 D.164 E.110 Syawaludin A. Harahap 7

8 Pembahasan Substitusikan nilai x=2 dan y=-1 ke dalam persamaan (1) dan (2): a. 2 - b.1 = 6 2. a. 2-3.b.1 = 2 2. a - b = 6 x 4 8.a - 4. b = a - 3b = 2 x 2 8.a - 6.b = 4-2.a - b = 6 2a 10 = 6 2a = 16 a = 8 2b = 20 b = 10 Sehingga a 2 + b 2 = = 164 Jawabannya adalah D eliminasi a substitusikan nilai b = 10 LATIHAN -3 Tujuh tahun lalu umur ayah sama dengan 6 kali umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali umur ayah sama dengan 5 kali umur Budi ditambah 9 tahun. Umur ayah sekarang adalah A.39 tahun B.43 tahun C.49 tahun D.54 tahun E.78 tahun Syawaludin A. Harahap 8

9 Pembahasan misal umur ayah = x kondisi 7 tahun yang lalu antara umur umur Budi = y ayah dan Budi (masing-masing x 7 = 6 (y-7) x 7 = 6y - 42 umur 2( x+ 4) = 5 (y+4)+9 2x +8 = 5y dikurang 7 tahun) x 7 = 6y - 42 x 6y = -35.(1) 2x +8 = 5y x 5y = 21...(2) pers (1) dan (2) eliminasi x x 6y = -35 x2 2x 12y = -70 2x 5y = 21 x1 2x 5y = 21 - masukkan nilai y ke (1) x 6y = -35 x 78 = -35 x = = 43 Jawabannya adalah B - 7y = -91 y = 13 kondisi 4 tahun yang akan datang, umur ayah dan Budi masing-masing ditambah 4 tahun Syawaludin A. Harahap 9