diunduh dari

Transkripsi

1 diunduh dari

2 Untuk Sekolah Menengah Pertama dan Madrasah Tsanawiyah MTEMTIK Jilid SMP dan MTs Kelas VII J. ris Tasari PUST KURIKULUM PERUKUN epartemen Pendidikan Nasional

3 Hak cipta pada Kementerian Pendidikan Nasional. ilindungi Undang-Undang. MTEMTIK Jilid untuk SMP dan MTs Kelas VII J. ris; Tasari. Matematika I. Judul II. ris, J. IV. rfantony III. Tasari ris J Matematika/penulis, J. ris, Tasari ; editor, rfantony ; ilustrator, Yudi W. - Jakarta : Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Kementerian Pendidikan Nasional, 0. jil.: ilus. ; foto ; 5 cm. untuk SMP dan MTs kelas VII Termasuk bibliografi Indeks ISN (no.jil.lengkap) ISN (jil.). Matematika Studi dan Pengajaran I. Judul II. Tasari III. rfantony IV. Yudi W Hak cipta buku ini dialihkan kepada Kementerian Pendidikan Nasional dari penulis J. ris, Tasari iterbitkan oleh Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementerian Pendidikan Nasional Tahun 0 uku ini bebas digandakan sejak November 00 s.d. November 05 diperbanyak oleh :.

4 Kata Sambutan Puji syukur kami panjatkan ke hadirat llah SWT, berkat rahmat dan karunia-nya, Pemerintah, dalam hal ini, Kementerian Pendidikan Nasional, sejak tahun 007, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional. uku teks pelajaran ini telah dinilai oleh adan Standar Nasional Pendidikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 9 Tahun 009 tanggal Februari 009. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia. uku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Kementerian Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (download), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. iharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sebagai sumber belajar ini. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini sebaikbaiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, Juni 0 Kepala Pusat Kurikulum dan Perbukuan iii

5 Prakata Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas karunia- Nyalah penulis dapat menyelesaikan buku ini. uku Matematika untuk SMP dan MTs ini terdiri atas tiga jilid, yaitu jilid untuk kelas VII, jilid untuk kelas VIII, dan jilid untuk kelas IX. uku ini disusun dengan menitikberatkan pada pemahaman konsep yang benar. Materi dalam buku ini disajikan secara sistematis, mulai dari hal yang konkret ke yang abstrak dan dari yang sederhana ke yang kompleks. Soal-soal dalam buku ini pun disajikan dengan sangat variatif, baik jenisnya maupun tingkat kesulitannya. engan demikian, siswa diharapkan mampu menguasai konsep yang disajikan dengan baik, bukan sekadar menghafal konsep dan mengerjakan soal dengan cepat. uku ini juga menyajikan soal-soal kontekstual yang merupakan penerapan konsep matematika dalam kehidupan sehari-hari. Tujuannya adalah agar siswa lebih tertarik untuk mempelajari matematika karena sangat banyak manfaatnya dalam kehidupan sehari-hari. Namun demikian, penulis menyadari bahwa masih banyak hal yang dapat dikembangkan dari buku ini. Untuk itu, saran positif dari para pembaca, terutama guru dan siswa sebagai pengguna buku ini, sangat penulis harapkan untuk perbaikan pada edisi mendatang. esar harapan penulis agar buku ini dapat menjadi buku pilihan bagi siswa dan guru dalam proses pembelajaran di sekolah. Penulis iv

6 Petunjuk Penggunaan uku alam kehidupan sehari-hari, banyak sekali permasalahan yang dapat diselesaikan dengan menerapkan konsep matematika. Oleh karena itu, penting bagi kita untuk mempelajari konsep matematika. elajar matematika tidak terlepas dari memahami dan mengerti setiap konsep dalam matematika sehingga diperlukan suatu cara yang praktis, sistematis, dan efisien untuk menyampaikan konsep-konsep matematika. Untuk itu, buku ini disusun secara sistematis dengan tujuan agar lebih mudah dipahami oleh siswa. uku ini juga menyajikan contoh-contoh yang aplikatif dari materi tiap bab dalam kehidupan. Hal ini bertujuan agar siswa mampu mengeksplorasi suatu persoalan (problem solving) dan mengajak siswa untuk mengembangkan kompetensi matematika melalui penalaran, pembuktian, melakukan komunikasi, serta memilih simbol atau lambang yang tepat untuk menyampaikan gagasan melalui bahasa matematika. dapun komponen dari setiap bab pada buku ini adalah sebagai berikut. Halaman Pembuka ab Halaman pembuka bab berisi judul bab dan tujuan pembelajaran agar siswa mengetahui dan lebih fokus dalam mempelajari materimateri yang ada dalam bab tersebut. Selain itu, pada halaman ini juga disajikan pengantar awal bab yang menceritakan salah satu aplikasi dari materi yang akan dipelajari. Uji Kompetensi wal ab Uji kompetensi awal bab disajikan dengan tujuan untuk mengingatkan siswa pada materi sebelumnya. Ini merupakan prasyarat yang harus dimiliki oleh siswa. Soal-soal yang disajikan akan mengingatkan siswa tentang topik yang terdahulu sebagai pengantar untuk mempelajari materi yang akan dibahas. Uraian Materi Uraian materi disampaikan dengan bahasa lugas, mudah dipahami dan disertai dengan gambar-gambar untuk memperjelas materi yang sedang dijelaskan. Melalui gambar, diharapkan dapat membantu siswa dalam memahami materi yang sedang dijelaskan. Materi juga disajikan melalui pertanyaan-pertanyaan ataupun kegiatan (tugas) yang bertujuan agar siswa memahami konsep materi yang diajarkan melalui proses mengamati, menyelidiki (mencari) dan menemukan sendiri konsep materi tersebut. ontoh Soal Pada bagian ini, siswa akan diajarkan dan dilatih untuk mahir menggunakan konsep yang telah didapat di dalam uraian materi. Melalui tahap ini, siswa juga dipacu untuk dapat menemukan suatu strategi atau trik untuk menyelesaikan soal-soal yang sulit. Latihan dan Soal-Soal Kontekstual agian ini berfungsi untuk mengetahui sejauh mana pemahaman siswa terhadap materi yang telah disajikan dan mengukur kemahiran siswa untuk dapat memecahkan suatu persoalan atau masalah dalam kehidupan. Math Quiz Kolom ini bertujuan untuk memperkaya pengetahuan siswa dan juga sebagai ajang diskusi. Untuk iingat Kolom ini disajikan untuk menambah wawasan atau informasi tambahan yang berhubungan dengan materi yang sedang dibahas. Kegiatan Kolom ini disajikan dalam bentuk tugas mandiri atau berkelompok. Tugas-tugas yang diberikan bertujuan untuk memperkuat pemahaman siswa terhadap materi tiap bab. Rangkuman Rangkuman disajikan di setiap akhir bab berupa ringkasan materi pada bab yang bersangkutan. Hal ini untuk melatih siswa bagaimana cara menyarikan materi-materi penting pada bab yang bersangkutan. Uji Kompetensi Uji kompetensi berupa soal-soal yang bervariasi jenis dan tingkat kesulitannya yang disajikan di setiap akhir bab. agian ini disajikan dengan tujuan melatih siswa untuk mengingat kembali pemahaman konsep secara menyeluruh yang telah diajarkan dengan mengerjakan setiap soal-soal yang diberikan. v

7 aftar Isi Kata Sambutan... iii Prakata... iv Petunjuk Penggunaan uku... v aftar Isi... vi ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan. Melakukan Operasi Hitung ilangan ulat dan Pecahan.... ilangan Pecahan dan Operasi pada ilangan Pecahan... Uji Kompetensi ab... ab entuk ljabar. entuk ljabar Operasi entuk ljabar Operasi entuk Pecahan ljabar Menyelesaikan Soal-Soal entuk ljabar Uji Kompetensi ab ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel. Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV) plikasi Pertidaksamaan Linear Satu Variabel... 8 Uji Kompetensi ab ab ritmetika Sosial. Nilai Keseluruhan dan Nilai Per-Unit Harga Penjualan, Laba, dan Rugi Persentase Laba dan Rugi Menghitung Harga Pembelian dan Penjualan... 9 E. Rabat, ruto, Tara, dan Neto... 9 F. Pajak dan unga Tabungan (unga Tunggal) Uji Kompetensi ab ab 5 Perbandingan. Gambar erskala Perbandingan dan Pecahan Perbandingan Seharga Perbandingan erbalik Harga... 9 E. plikasi Perbandingan dalam Kehidupan... Uji Kompetensi ab 5... Latihan Ulangan Umum Semester I... 7 vi

8 ab 6 Himpunan. Mengenal Himpunan.... Himpunan agian iagram Venn.... plikasi Himpunan dalam Kehidupan... 5 Uji Kompetensi ab ab 7 Garis dan Sudut. ara Mengukur dan Menentukan Jenis Sudut Garis-Garis Sejajar Sifat-Sifat Garis dan Sudut plikasi Garis dan Sudut dalam Kehidupan Uji Kompetensi ab ab 8 Segitiga dan Segi Empat. Pengertian dan Sifat-Sifat Segi Empat esaran-esaran pada Segi Empat Pengertian dan Sifat-Sifat Segitiga esaran-esaran pada Segitiga... 0 E. plikasi Segitiga dalam Kehidupan... Uji Kompetensi ab Latihan Ulangan Umum Semester... 8 aftar Pustaka... Glosarium... aftar Simbol dan Notasi... 5 Kunci Jawaban... 6 Indeks... 8 vii

9

10 Sumber: ilangan ulat dan ilangan Pecahan Tujuan Pembelajaran Mengenal macammacam bilangan bulat dan pecahan Memahami operasi hitung bilangan bulat dan pecahan serta sifat-sifatnya. S ewaktu di Sekolah asar, kamu tentu sudah pernah belajar tentang bilangan bulat dan pecahan. Masih ingatkah kamu dengan pelajaran tersebut? Pada bab ini, kita akan mempelajari bilangan bulat dan pecahan lebih mendalam lagi. alam kehidupan sehari-hari penerapan bilangan bulat sangatlah banyak. Salah satunya seperti pada gambar di atas. lat tersebut merupakan termometer ruangan. Pada termometer ruangan digunakan dua satuan suhu, yaitu derajat elcius dan Fahrenheit. ilangan-bilangan yang terdapat pada termometer tersebut terdiri atas bilangan negatif, nol, dan bilangan positif. Ketiga bilangan itulah yang dinamakan bilangan bulat. Pada termometer itu tertulis 0, apakah artinya? ilangan itu adalah bilangan bulat negatif yang digunakan untuk menyatakan suhu udara di bawah nol derajat seperti suhu di daerah kutub. Selain contoh di atas, masih banyak penerapan bilangan bulat lainnya yang dapat kamu temui dalam kehidupan seharihari. Pelajarilah bab berikut ini dengan baik agar kamu dapat menyebutkan contoh-contoh penerapan lainnya. ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan

11 . Hitunglah hasilnya. a. 5 c. 5 ( ) b. 5 + ( 9) d. + ( ). Hitunglah hasilnya. a. ( ) c. 7 5 b. 5 ( ) d. 0 : ( 5) Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakan soal-soal berikut.. Selesaikanlah soal berikut. a. + b. 5. arilah pecahan yang senilai dengan: a. b. Melakukan Operasi Hitung ilangan ulat dan Pecahan pakah kamu masih ingat pengertian bilangan bulat yang telah kalian pelajari di Sekolah asar? Untuk mengingatnya kembali perhatikan pelajaran berikut. Pengertian ilangan ulat Pernahkah kalian pergi ke kebun binatang? Hewan apa sajakah yang kalian lihat di sana? Tentu banyak sekali hewanhewan yang dapat kalian lihat. da harimau, gajah, jerapah, dan hewan-hewan lainnya. apatkah kalian menghitung jumlah hewan-hewan tersebut? Misalkan jumlah harimau ada 0 ekor dan jumlah gajah ada 5 ekor. ilangan 0 dan 5 yang kalian kenal merupakan contoh dari bilangan bulat. Ternyata dengan bilangan bulat kalian dapat menghitung apa saja yang ada di sekitar kita. Selain dua contoh bilangan bulat yang disebutkan tadi, dalam matematika ada begitu banyak bilangan bulat yang jumlahnya tak terhingga. ilangan apa sajakah yang termasuk dalam kelompok himpunan bilangan bulat? a. ilangan ulat Positif, ilangan ulat Negatif, dan Nol Gambar. Gajah di kebun binatang Sumber: ari kebun binatang, mari alihkan perhatian kita ke suatu tempat yang tinggi di permukaan bumi. Kita mengenal tempat tersebut sebagai daerah pegunungan. agaimanakah suhu udara di pegunungan? Tentunya dingin, bukan? Suhu udara menjadi semakin dingin ketika kita berada di puncak gunung yang tinggi. Suhu udara di pegunungan tinggi dan bersalju dapat mencapai 0 derajat elsius di bawah nol. alam matematika, kuantitas 0 derajat elsius di bawah nol ditulis/dinyatakan sebagai 0º dan dibaca negatif 0º. ari pegunungan, selanjutnya kita beralih ke laut. Misalkan ada seorang penyelam yang sedang berada 5 meter di bawah permukaan laut. alam matematika, Gambar. Puncak pegunungan yang diselimuti salju Sumber: Matematika SMP dan MTs Kelas VII

12 kuantitas 5 meter di bawah permukaan laut ditulis sebagai 5 meter dan dibaca negatif 5 meter. ilangan-bilangan seperti 0, 5, 0, dan 5 memiliki besaran angka yang sama namun dengan tanda yang berbeda. i dalam matematika, bilangan 0 dan 5 tergolong kelompok bilangan bulat positif sedangkan bilangan 0 dan 5 tergolong kelompok bilangan bulat negatif. i samping dua jenis bilangan bulat tersebut, terdapat satu bilangan bulat yang bukan bilangan negatif dan positif. ilangan itu adalah nol (0), sehingga himpunan bilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan nol. Himpunan bilangan bulat dinotasikan dengan = {..., 5,,,,, 0,,,,, 5,...} dan dapat ditulis dalam garis bilangan seperti di bawah ini Gambar. Garis bilangan bulat Math Quiz i manakah letak bilangan 6 jika dilihat dari bilangan dan di manakah letak bilangan 0 jika dilihat dari bilangan 0? b. Hubungan ntarbilangan ulat Perhatikan kembali Gambar.. Pada garis bilangan tersebut terlihat bahwa semakin ke kanan bilangannya semakin besar. Misalnya dan. ilangan terletak di sebelah kanan bilangan sehingga kurang dari atau ditulis <. Sebaliknya, semakin ke kiri bilangannya semakin kecil. Misalnya 5 dan. ilangan 5 terletak di sebelah kiri bilangan sehingga lebih dari 5 atau > 5. oba berikan contoh yang lain. pakah hubungan tersebut berlaku untuk semua bilangan bulat, baik bilangan bulat positif, negatif, dan nol? Selidikilah! LTIHN. Susunlah bilangan berikut menurut urutan naik. a. 7,, 0, 6, b. 6,,, 8, 0 c., 6, 8,,, 5 d., 6,, 8, 6. Susunlah bilangan berikut menurut urutan turun. a., 6, 9,, 8 b., 5, 8,, c., 6, 8,, 0 d. 6,, 6,,. Tentukanlah temperatur berikut ini. a. Suhu suatu tempat 5 derajat lebih dari. b. Suhu suatu tempat 5 derajat kurang dari. c. Suhu suatu tempat 6 derajat kurang dari 5. d. Suhu suatu tempat 0 derajat lebih dari.. Tempat berjarak 0 m dari sekolah, tempat berjarak 00 m dari dan tempat berjarak 900 m dari sekolah. Jika tempat,, dan berurutan dan ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan

13 membentuk garis lurus dari sekolah, tentukanlah jarak: a. tempat dari, b. tempat dari. 5. Suhu suatu tempat 8 derajat kurang dari. Pernyataan ini sama dengan suhu suatu tempat lebih 6 dari suhu berapa derajat? 6. Masih ingatkah kamu dengan bilangan cacah? Jika himpunan bilangan bulat dikurangi himpunan bilangan cacah, himpunan bilangan apakah yang terbentuk? iskusikanlah bersama teman-temanmu. Operasi pada ilangan ulat Setelah mengetahui macam-macam bilangan bulat dan letaknya pada garis bilangan, kini saatnya kita mempelajari operasi hitung pada bilangan bulat. Operasi hitung yang akan kita pelajari adalah operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. a. Penjumlahan Sewaktu di Sekolah asar kalian tentu telah mengenal operasi penjumlahan pada bilangan bulat, bukan? Untuk menyelesaikan operasi penjumlahan bilangan bulat dapat menggunakan mistar sederhana dan garis bilangan. Mistar yang digunakan memuat himpunan bilangan bulat. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini. ontoh SOL Hitunglah + dengan menggunakan: a. mistar sederhana; b. garis bilangan. Penyelesaian: a. Menggunakan mistar sederhana 0 5 mistar I 5 0 mistar II Langkah penyelesaiannya yaitu letakkan titik 0 pada mistar pertama tepat di atas angka pada mistar kedua. Selanjutnya, lihat bilangan di bawah angka pada mistar pertama sehingga pada mistar kedua diperoleh angka sebagai hasilnya. Jadi, + =. b. Menggunakan garis bilangan 5 0 Langkah penyelesaiannya yaitu sebagai berikut: dari titik nol melangkah ke kiri satuan (karena negatif); kemudian dari titik melangkah ke kanan satuan (karena positif). Hasilnya adalah dari titik nol melangkah ke kiri satuan atau sama dengan. Jadi, + =. Sebagai bahan latihan coba peragakan, bagaimana cara menyelesaikan penjumlahan + ( 7) menggunakan mistar sederhana? Jelaskan! Matematika SMP dan MTs Kelas VII

14 Jika kalian telah memahami konsep penjumlahan dengan garis bilangan, maka kalian dapat pula menentukan penjumlahan dua bilangan bulat dengan menggunakan pola tertentu seperti berikut ini.. + ( ) = + = ( ) = = = ( ) = (7 + ) = 0 a + ( b) = b + a = (b a) a + b = b + a a + ( b) = (a + b) pakah kalian dapat menemukan cara lain yang lebih mudah dan cepat selain cara-cara di atas? Selain bentuk penjumlahan di atas, operasi penjumlahan bilangan bulat juga dapat dilakukan dengan cara menyusun ke bawah seperti berikut ini Proses penjumlahan bilangan bulat dengan cara menyusun ke bawah lebih sering dipakai jika bilanganbilangan yang dijumlahkan cukup banyak. Sifat-Sifat Penjumlahan ilangan ulat Pada operasi penjumlahan bilangan bulat berlaku sifatsifat yaitu komutatif, asosiatif, bilangan identitas, dan tertutup. ) Sifat Komutatif Salin dan isilah operasi penjumlahan berikut ini. a. + = 5 Jika posisi bilangan { a. + = dipertukarkan akan b. + 7 = 6 b. 7 + ( ) = diperoleh susunan c. 5 = 7 seperti di samping c. 5 + = { uatlah kesimpulan dari hasil penjumlahan di atas. andingkanlah kesimpulanmu dengan teman yang lain. Kemudian, bandingkan pula dengan kesimpulan berikut. Hasil penjumlahan bilangan bulat selalu sama walaupun letak bilangan ditukar. Sifat penjumlahan seperti ini disebut sifat komutatif dan ditulis: a + b = b + a ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 5

15 ) Sifat sosiatif oba kalian salin dan isi titik-titik pada operasi penjumlahan berikut dalam bukumu. ( + 7) + 7 = + 7 dan + (7 + 7) = + = = erdasarkan hasil penjumlahan di atas, apakah ( + 7) + 7 memiliki hasil yang sama dengan + (7 + 7)? Setelah menjawab pertanyaan tadi, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai kedua bentuk penjumlahan bilangan bulat tersebut? iskusikan bersama temanmu dan bandingkan dengan kesimpulan berikut ini. Pada operasi penjumlahan bilangan bulat, bilanganbilangan tersebut dapat dikelompokkan dan ditulis dalam bentuk: (a + b) + c = a + (b + c) ) ilangan identitas Perhatikan penjumlahan bilangan bulat berikut. + 0 = + 0 = 0 + ( 5) = 5 ari operasi penjumlahan di atas terlihat bahwa jika suatu bilangan bulat dijumlahkan dengan nol (0) selalu menghasilkan bilangan itu sendiri. alam matematika bilangan nol (0) disebut unsur identitas. Penjumlahan bilangan bulat dengan unsur identitas ditulis: a + 0 = 0 + a Untuk iingat Tahukah kalian siapa penemu angka nol? Ternyata angka nol diperkenalkan oleh seorang yang bernama Muhammad bin Musa l-khawarizmi. ) Sifat tertutup Perhatikan penjumlahan bilangan bulat berikut. + 5 = = = ilangan-bilangan, 5,, 6, 7, dan 5 merupakan bilangan bulat. ilangan-bilangan 8,, dan merupakan hasil dari penjumlahan bilangan bulat. pakah 8,, dan juga merupakan bilangan bulat? Ya, bilangan 8,, dan juga merupakan bilangan bulat. engan demikian dapat diambil kesimpulan sebagai berikut. Penjumlahan bilangan bulat akan selalu menghasilkan bilangan bulat juga atau dapat ditulis jika a dan b, maka a + b. Sifat tertutup penjumlahan bilangan bulat: a + b = c; dengan a, b, dan c. 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

16 LTIHN. Hitunglah penjumlahan bilangan berikut ini. a. + c. 6 + b. 8 + ( ) d. + ( 8). engan menggunakan sifat asosiatif, hitunglah penjumlahan berikut. a b c engan menggunakan sifat asosiatif dan komutatif, hitunglah penjumlahan berikut. a b c d Tentukanlah nilai,, dan pada soal berikut ini. a. 6 + b. c pakah a + b = b + a berlaku untuk setiap a dan b bilangan bulat? Jelaskan. Tugas Siswa Jawablah pertanyaan berikut bersama teman kelompokmu. a. pakah hasil penjumlahan dua bilangan bulat juga bilangan bulat? erikan alasanmu. b. pakah hasil penjumlahan bilangan bulat dengan nol? Periksalah jawabanmu menggunakan kalkulator. K EGIT N. Pikirkan sembarang bilangan terdiri atas dua angka.. Tukarkan kedua angka pada bilangan itu.. Kurangi bilangan yang besar dengan bilangan yang kecil.. Tukarkan posisi kedua angka yang didapat pada langkah di atas. 5. Tambahkan hasil yang didapat pada langkah dengan langkah di atas. 6. Ulangi langkah-langkah di atas untuk pasangan bilangan lain yang berbeda. 7. Kesimpulan apa yang kalian peroleh? b. Pengurangan Misalkan kamu mempunyai sepuluh buah apel. Sebanyak dua buah apel kamu berikan kepada salah seorang temanmu. erapakah sisa apel yang kamu miliki? engan mudah kamu akan menjawab sisa apel sebanyak = 0 = 8. alam ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 7

17 matematika proses ini dinamakan pengurangan. entuk operasi pengurangan 0 dapat dihitung dengan cara menyusun ke bawah sebagai berikut: 0 8 Sifat-Sifat Pengurangan ilangan ulat ) Lawan suatu bilangan Jika kalian perhatikan, ternyata himpunan bilangan bulat terdiri atas bilangan-bilangan yang berpasang-pasangan (seperti 5 dan 5, dan, dan lain sebagainya). ilangan 5 dikatakan lawan dari 5 dan bilangan 5 pun merupakan lawan dari 5. Secara umum jika a adalah suatu bilangan bulat maka a merupakan lawan dari bilangan a. Jarak a dan a dari titik 0 adalah sama namun arahnya berbeda. ari keterangan di atas dapat disimpulkan bahwa jika a adalah bilangan positif, maka a adalah bilangan negatif. Jika b adalah bilangan negatif maka b adalah bilangan positif. Perhatikan penjelasan berikut ini. Jika a = 5 (bilangan positif) maka a = 5 (bilangan negatif). Jika b = 8 (bilangan negatif) maka b = ( 8) = 8 (bilangan positif). ontoh: ( ) = + = 5 ( ) = + = = 5 Untuk iingat Untuk operasi pengurangan bilanganbilangan yang terdiri atas tiga bilangan atau lebih tidak dapat diselesaikan dengan cara menyusun ke bawah. 5? lawan lawan lawan lawan lawan 7? Gambar. Garis bilangan ) Tanda kurung Kita telah mempelajari operasi penjumlahan dan pengurangan secara terpisah pada bagian sebelumnya. pabila kedua operasi tersebut digabungkan bagaimana cara mengerjakannya? Perhatikan contoh berikut. ontoh: = = = 5 Lakukan operasi pengurangan 7 terlebih dahulu mendapatkan hasil 5. Selanjutnya hasil 5 dijumlahkan dengan bilangan berikutnya (yaitu 5) mendapatkan hasil 67. Kemudian hasil 67 dikurangi dengan bilangan berikutnya (yaitu ) mendapatkan hasil 5. engan demikian, hasil akhir operasi perhitungan di atas adalah 5. ari contoh ini, dapatkah kamu mengambil sebuah kesimpulan? Jika pada operasi gabungan penjumlahan dan pengurangan terdapat tanda kurung, pengerjaan operasi pen- 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

18 ontoh SOL. Hitunglah soal berikut Hitunglah soal berikut. 5 [ (6 5)] 6 [( + 5) 9] + Penyelesaian: Penyelesaian: = 5 [ (6 5)] = 6 [( + 5) 9] + 9 = 5 [ ] = 6 [9 9] + = 9 0 = 9 0 jumlahan dan pengurangan itu tetap dikerjakan dari kiri ke kanan dan operasi di dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu. ontoh: 7 + (5 ) = = = = 8 LTIHN. Hitunglah soal-soal berikut ini. a. 5 5 b. 6 7 c. 7 d Hitunglah soal-soal berikut ini. c. ( 0) ( 80) d. ( ) ( ) ( 0) c. + [ ( 6)] d. 6 [69 (5 ( 6)]. Tentukanlah nilai dari. a. 7 = 8 b. = c. 6 = 0 d =. Tentukanlah nilai dan pada soalsoal berikut ini. a. b. 96 c Tugas Siswa Lakukanlah tugas siswa ini berkelompok bersama temanmu. a. pabila a dan b adalah sembarang bilangan bulat, apakah a b = b a? Sifat apakah yang tidak berlaku? b. pabila a, b, dan c adalah sembarang bilangan bulat, apakah (a b) c = a (b c)? Sifat apakah yang tidak berlaku? ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 9

19 c. Perkalian Perhatikan Gambar.5 (a). iketahui terdapat tiga susun buah apel yang masing-masing susunnya terdiri atas dua apel yang saling sejajar. Perhatikan pula Gambar.5 (b). iketahui terdapat dua susun buah apel yang masingmasing susunnya terdiri atas tiga apel yang saling sejajar. anyaknya buah apel pada Gambar.5 (a) dan (b) masingmasing berjumlah ( ) dan ( ) buah. dan merupakan salah satu bentuk operasi bilangan bulat yang disebut perkalian. Pada dasarnya, operasi perkalian bilangan bulat dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan berulang. Perhatikan contoh berikut. = + + = + 5 ( 8) = ( 8) + ( 8) + ( 8) + ( 8) + ( 8) Sifat-Sifat Perkalian ilangan ulat Untuk mengetahui sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat, amati dan lengkapilah isian berikut. ) Sifat komutatif pakah sifat komutatif berlaku pula pada perkalian bilangan bulat? Mari kita selidiki dengan menyalin dan melengkapi tabel di bawah ini. a b a b b a (a) (b) Gambar.5 Susunan 6 buah apel. (a) susunan buah apel (b) susunan buah apel Sumber: matilah, ternyata bilangan pada kolom a b sama dengan bilangan pada kolom. Jadi, dapat disimpulkan hal berikut. Jika a dan b adalah bilangan bulat maka a b = ) Sifat asosiatif Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat asosiatif pada perkalian membolehkan kita untuk mengelompokkan bilangan-bilangan yang akan diselesaikan lebih dahulu. Untuk menyelidiki apakah sifat asosiatif berlaku perkalian bilangan bulat, salin dan lengkapilah tabel berikut ini. 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

20 a b c a b (a b) c b c a (b c) matilah, ternyata bilangan pada kolom (a b) c sama dengan bilangan pada kolom... Jadi, dapat disimpulkan hal berikut. Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat maka (a b) c = ( ) ) Sifat distributif Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. Perhatikan Gambar.6. Pada gambar tersebut banyaknya buah apel (6 ) dapat diuraikan menjadi ( ) buah apel dan ( ) buah apel. = + Gambar.6 Susunan (6 ) buah apel yang dibagi menjadi ( ) dan ( ) buah apel a b c b + c a b a c a (b + c) (a b) + (a c) entuk operasi ini disebut operasi distributif perkalian terhadap penjumlahan. ari Gambar.6 dapat ditulis: ( + ) = ( ) + ( ) atau ( + ) = ( ) + ( ) Untuk lebih memahami sifat perkalian di atas, salin dan lengkapilah tabel berikut. Sumber: matilah, bilangan pada kolom a (b + c) sama dengan bilangan pada kolom... Jadi, dapat simpulkan hal berikut. Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat maka a (b + c) = ( ) + ( ) engan menggunakan cara yang sama seperti sebelumnya, coba kamu buktikan bahwa sifat distributif perkalian juga berlaku terhadap operasi pengurangan. Jika kamu teliti ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan

21 nanti akan dapat kamu buktikan bahwa untuk a, b, dan c adalah bilangan bulat maka berlaku sifat berikut. Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat maka a (b c) = (a b) (a c) Sifat ini disbut sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Sifat distributif sering digunakan untuk mempermudah perhitungan seperti pada contoh berikut. ontoh SOL. Hitunglah operasi berikut ini Penyelesaian: ilangan yang sama ditulis di luar tanda kurung = (7 + 8) = 00 =.00. Hitunglah operasi berikut ini. 9 9 Penyelesaian: 9 9 = 9 ( ) = 9 0 = 90 ) Sifat identitas Seperti halnya dengan operasi penjumlahan, pada operasi perkalian terdapat suatu bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan tertentu akan menghasilkan bilangan itu sendiri. apatkah kalian mencari bilangan tersebut? Perhatikan contoh perkalian berikut ini. 5 = 5 0 = 0 6 = 6 ari ketiga contoh perkalian tersebut, ternyata jika suatu bilangan dikalikan dengan bilangan akan menghasilkan bilangan itu sendiri. engan demikian, bilangan adalah bilangan identitas atau unsur identitas dari operasi perkalian. 5) Sifat tertutup Perhatikan operasi perkalian berikut. = 6 = 8 = ilangan-bilangan,,,, dan pada operasi perkalian di atas merupakan bilangan bulat. ilangan 6, 8, dan merupakan hasil dari perkalian bilangan di atas. pakah bilangan-bilangan tersebut juga merupakan bilangan bulat? Tentu saja bilangan-bilangan 6, 8, dan juga merupakan bilangan bulat. engan demikian, dapat kita simpulkan bahwa hasil kali bilangan-bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga. Matematika SMP dan MTs Kelas VII

22 6) Sifat tanda pada perkalian alam operasi perkalian bilangan bulat tanda di depan bilangan yang dikalikan perlu diperhatikan. Perhatikan contoh berikut ini. = ( ) = = ( ) = Perhatikan pola perkalian di atas. pa yang dapat kamu simpulkan? ari uraian di atas, dapat disimpulkan hal berikut. ilangan bulat positif bilangan bulat positif = bilangan bulat ilangan bulat positif bilangan bulat negatif = bilangan bulat ilangan bulat negatif bilangan bulat positif = bilangan bulat ilangan bulat negatif bilangan bulat negatif = bilangan bulat ontoh SOL engan menggunakan sifat-sifat operasi perkalian bilangan bulat, hitunglah perkalianperkalian berikut ini. a. 5 =... b =... c =... d. 6 ( 0) ( 6) 5 =... Penyelesaian: a. 5 = (5 ) = 60 =.80 b = (5 + 85) = 00 =.00 c = 5 ( + 8) = 5 (58 8) = 5 0 = 50 d. 6 ( 0) ( 6) 5 = [ 6 ( 0)] [( 6) 5] = 60 ( 50) = LTIHN. engan menggunakan sifat asosiatif dan komutatif, hitunglah hasilnya. a. 5 6 ( ) b. 8 5 ( 0) c. 5 ( ) ( 85) d. ( ) 5 ( 8) 0. Hitunglah perkalian bilangan berikut dengan menggunakan sifat distributif. a. 6 + b c d ( 6) ( 7). pakah a + (b c) = (a + b) (a + c), untuk a, b, dan c bilangan bulat? Mengapa demikian? erikan alasanmu. ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan

23 d. Pembagian Misalnya pada suatu saat kalian ditanya, erapakah nilai a yang memenuhi persamaan : 7 = a? an pada saat yang lain kalian ditanya lagi, ilangan berapakah yang jika dikalikan dengan 7 menghasilkan bilangan? ari dua contoh soal tadi, apakah keduanya memiliki jawaban yang sama? Kedua contoh soal di atas dapat disederhanakan bentuknya menjadi seperti berikut ini. : 7 = a a 7 = Ternyata nilai a yang memenuhi jawaban kedua pertanyaan di atas adalah 6. pa yang dapat kamu simpulkan dari kedua bentuk pertanyaan tersebut? Operasi pembagian bilangan bulat merupakan kebalikan dari operasi perkalian, sehingga dapat disimpulkan Jika a, b, dan c adalah bilangan bulat dan b 0 maka a : b = c jika dan hanya jika a = b c. Operasi pembagian dapat dinyatakan dalam beberapa bentuk. ontoh: a. 8 : b. ) 6 c. entuk pembagian di atas dapat digunakan sesuai kebutuhan. entuk 8 : digunakan untuk pembagian yang sederhana, sedangkan bentuk ) 6 biasanya digunakan untuk pembagian yang rumit. da beberapa istilah yang perlu diketahui dalam operasi pembagian bilangan bulat yaitu pembagi, bilangan yang dibagi, hasil bagi, dan sisa pembagian. ontoh: a. : = disebut bilangan yang dibagi disebut bilangan pembagi disebut bilangan hasil bagi b. pembagi ) hasil bagi bilangan yang dibagi sisa pembagian 5 Untuk iingat Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif. : : ( : ) : : ( : ) Hasil pembagian ini adalah =. Matematika SMP dan MTs Kelas VII

24 ontoh SOL. Hitunglah hasil pembagian berikut. a. : b. 56 :. Suatu bilangan dibagi dengan hasilnya 5 dan sisanya. Tentukanlah bilangan yang dimaksud.. Suatu bilangan terdiri atas dua digit habis dibagi dengan. Jika dibagi dengan 5 sisanya. Tentukanlah bilangan itu. Penyelesaian: 5. a. ) b. ) : = 56 : = 5. ilangan yang dimaksud adalah 5 + = 6. ilangan yang terdiri atas dua digit adalah bilangan puluhan. entuk bilangan tersebut adalah 0x +. Nilai x dicoba dari hingga 9. x = 0 + = x = 0 + = x = 0 + = x = 0 + = x = = 5 x = = 6 x = = 7 x = = 8 x = = 9 ari nilai di atas, bilangan yang habis dibagi dan dibagi 5 bersisa adalah, 6, dan 9. LTIHN 5. Hitunglah pembagian bilangan berikut. b. 8 : e. [( 50) : ] : (0 : ) c.. : ( ) c. ( 5 : 5) + (6 : 6) d. 0 : [6 : ( )] d. ( 6 : 8) (6 : ). Sebuah bilangan dibagi hasilnya dan bersisa. Tentukanlah bilangan yang dimaksud.. a. Hitunglah 0 : + 0 :. b. Hitunglah (0 + 0) :. c. pakah yang dapat disimpulkan dari jawaban soal a dan b? Sifat Tanda pada Pembagian Pada operasi pembagian bilangan bulat, tanda di depan bilangan yang dibagi perlu diperhatikan. ontoh: 6 : = 9 6 : = 9 6 : ( ) = 9 6 : ( ) = 9 pa yang dapat kalian simpulkan dari pola pembagian di atas? iskusikan dengan teman-temanmu. d. engan melihat jawaban soal a dan b, apakah (a + b) : c = a : c + b : c?. Sinta dapat membaca halaman selama 90 menit. erapa halaman ratarata Sinta membaca per jam? 5. a. pakah hasil pembagian bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat? Mengapa demikian? Jelaskan. b. dakah bilangan bulat yang jika dibagi dengan bilangan bulat lain hasilnya bilangan itu sendiri? ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 5

25 FP dan KPK Sewaktu di Sekolah asar, kamu tentu sudah pernah belajar tentang FP dan KPK. Masih ingatkah kamu dengan pelajaran tersebut? Penentuan faktor persekutuan terbesar (FP) dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dengan cara mencari faktor atau kelipatan persekutuan untuk bilangan yang nilainya besar merupakan pengerjaan yang sulit. Untuk mempermudah, digunakan cara pemfaktoran bilangan prima. Untuk memahami caranya perhatikan contoh soal berikut. ontoh SOL Tentukan FP dan KPK dari a. 5 dan 60 b. 7, 08, dan 50 Penyelesaian: a. Faktorisasi prima dari: 5 = 5 60 = 5 5 FP dari 5 dan 60 = 5 KPK dari 5 dan 60 = 5 5 b. Faktorisasi prima dari: 7 = 08 = 50 = 5 FP dari 7, 08, dan 50 = KPK dari 7, 08, dan 50 = 5 ari contoh di atas dapat disimpulkan hal-hal berikut. FP merupakan hasil kali dari faktor-faktor prima yang sama, dengan pangkat terkecil dari bilangan-bilangan yang akan dicari FP-nya. KPK merupakan hasil kali dari faktor-faktor prima yang sama, dengan pangkat terbesar dan semua faktor prima yang berbeda dari bilangan-bilangan yang akan dicari KPK-nya. LTIHN 6. Tentukanlah KPK dan FP dari bilanganbilangan berikut. a. dan 6 b. 6, 8, dan 5 c. 96,, dan 50. Tentukanlah KPK dan FP dari bilanganbilangan berikut. a. 800,.000,.0 b., 6,, dan 6 c. 8,, 6,, dan 80 Tugas Siswa arilah informasi mengenai FP dari bilangan-bilangan berikut. a. dan 57 b. 0 dan 0 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

26 Math Quiz = 9 apatkah kalian menentukan bilanganbilangan lain sehingga memenuhi bentuk a + b + c = d? = 6 apatkah kalian menentukan bilanganbilangan lain sehingga memenuhi bentuk a + b + c = d? Kuadrat dan Pangkat Tiga Kuadrat dan pangkat tiga merupakan bagian dari operasi pemangkatan pada bilangan bulat. Perhatikan bentuk operasi perkalian berikut. dapat ditulis, dan dibaca dua pangkat dua. dapat ditulis, dan dibaca dua pangkat tiga. ari operasi perkalian di atas, dapat diambil kesimpulan bahwa pemangkatan bilangan adalah operasi bilangan yang dapat dinyatakan sebagai perkalian berulang. ontoh: = bilangan dikalikan sebanyak faktor. ( 5) = ( 5) ( 5) ( 5) bilangan 5 dikalikan sebanyak faktor. ontoh SOL Hitunglah nilai dari: a. 6 c. ( 7) b. ( ) d. Penyelesaian: a. 6 = 6 6 = 6 b. ( ) = ( ) ( ) = c. ( 7) = ( 7) ( 7) ( 7) = d. = = kar Kuadrat dan kar Pangkat Tiga Sekarang kita akan mempelajari kebalikan dari operasi kuadrat yaitu akar kuadrat. Jika kuadrat dari adalah 9 maka akar kuadrat dari 9 adalah dan ditulis 9 =. engan demikian, hubungan antara kuadrat dan akar kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut. a = b b = a = 9 dan ( ) = 9 maka 9 adalah atau, dan ditulis 9 = ±. Jadi, akar kuadrat dari setiap bilangan positif adalah bilangan positif atau bilangan negatif. a. ara Menentukan Nilai kar Kuadrat Untuk menentukan nilai akar kuadrat dapat dilakukan dengan cara menghitungnya. ara ini digunakan dengan menandai dari kanan ke kiri dua angka-dua angka suatu bilangan, kemudian menghitungnya dengan cara seperti berikut. ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 7

27 5 65 langkah = 5 langkah 5 5 = 5 harus sama 0 Langkah arilah bilangan bulat yang jika dikuadratkan kurang dari atau sama dengan 6. iperoleh karena = < 6. Langkah Hasil pada langkah dikalikan diperoleh. ngka dijadikan puluhan. ngka satuannya dicari sehingga jika dikalikan hasilnya 5. b. ara Menentukan Nilai kar Kuadrat dengan Memperkirakan ilangan kuadrat adalah bilangan yang diperoleh dari menguadratkan suatu bilangan bulat. engan demikian, akar kuadrat dari bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat. Menentukan akar kuadrat suatu bilangan dengan memperkirakan dapat diperoleh melalui pendekatan dari dua nilai bilangan kuadrat sempurna yang terletak di antara bilangan itu. Misalkan c adalah bilangan akar kuadrat yang akan dicari, c terletak di antara a = p dan b = q dengan p < q. engan demikian, nilai c dengan memperkirakan ditentukan dengan cara sebagai berikut. a = p c b = q c a c = p + c b a a b a ontoh: 0 =...? 0 terletak di antara 6 dan = = = = 9 = 9 c. kar Pangkat Tiga ilangan ulat Telah dibahas sebelumnya bahwa akar kuadrat merupakan kebalikan dari operasi kuadrat. emikian juga dengan akar pangkat tiga. kar pangkat tiga merupakan kebalikan dari operasi pangkat tiga. Untuk lebih memahaminya pengertian tersebut, kerjakan kegiatan berikut. 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

28 K EGIT N Salin dan lengkapilah isian berikut dengan benar. Karena 5 = 5 maka 5 =... Karena ( ) = 6 maka 6 =... =, karena = =, karena ( ) = =, karena ( ) = =, karena ( ) =... ari kegiatan di atas dapat disimpulkan hal berikut. kar pangkat tiga dari bilangan a adalah b jika dan hanya jika b dipangkatkan tiga menghasilkan a atau dapat dinyatakan sebagai berikut. a = b jika dan hanya jika a = b untuk a dan b bilangan bulat. d. ara Menentukan Nilai kar Pangkat Tiga Untuk menentukan nilai akar pangkat tiga digunakan faktorisasi prima dari bilangan yang akan ditentukan. Perhatikanlah uraian berikut ini. a. 8 = ( 8 dibaca akar b. = = pangkat tiga dari delapan ) = 6 = ( ) = ( ) = ( 6 dibaca akar pangkat tiga dari enam puluh empat ) LTIHN 7. Hitunglah nilai dari: a. 8 c. ( ) e. b. ( 9) d. 5 f. (.000). Tentukanlah nilai dari a. 8 c. e.. 75 b.. 96 d. 79 f.. 9. engan teknik memperkirakan, hitunglah hasil akar kuadrat berikut. a. 7 b. 7 c. 96 Gunakan kalkulator untuk memeriksa perkiraan mendekati jawaban sesungguhnya.. Jika 6, = a dan 6 = b, hitunglah: a. 60 c. 06, b d. 0, Sebuah kotak berbentuk kubus berkapasitas liter. erapakah panjang kotak tersebut. ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 9

29 Tugas Siswa arilah informasi lebih lanjut dari buku-buku di perpustakaan, internet, atau sumber lain mengenai hal berikut. a. Mengapa akar kuadrat dari setiap bilangan positif adalah bilangan positif atau bilangan negatif? erikan alasanmu! b. pakah nilai dari 0? ilangan apakah itu? Periksalah jawabanmu menggunakan kalkulator. 6 plikasi ilangan ulat dalam Kehidupan alam kehidupan sehari-hari kita tidak dapat melepaskan diri dari bilangan bulat. ilangan bulat selalu digunakan dalam berbagai bidang seperti perdagangan, jual-beli, perhitungan suhu dan cuaca, pengukuran, perhitungan data statistik, dan bidang-bidang lainnya. engan demikian, bilangan penting dalam kehidupan kita. Penggunaan bilangan bulat dalam kehidupan selalu diikuti dengan penggunaan sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini. ontoh SOL Santi membeli selusin gelas dengan harga Rp7.000,00 per gelas. Kemudian ia membeli 9 gelas lagi dengan harga Rp.000,00 per gelas. erapakah uang yang harus dibayarkan untuk gelas-gelas tersebut? Penyelesaian: Satu lusin gelas = gelas Uang yang harus dibayarkan = = = = ( + 9 ) = ( + 8) = = engan demikian, jumlah uang yang harus dibayar adalah Rp ,00. LTIHN 8. li membeli 6 bola dengan harga Rp.000,00 per buah dan bola yang lain sebanyak buah dengan harga masingmasing Rp.000,00 per buah. erapakah uang yang harus dibayar li untuk bola-bola tersebut?. iketahui aturan main dari penilaian suatu tes adalah setiap jawaban benar diberi nilai, salah diberi nilai, dan tidak menjawab diberi nilai nol (0). Jumlah soal seluruhnya 50. Hitunglah nilai yang diperoleh jika: a. menjawab benar dan salah 8; b. menjawab benar 8 dan salah ; c. menjawab benar dan salah 6.. iketahui aturan dari tes masuk ke suatu SMP adalah jawaban benar diberi nilai, jawaban salah diberi nilai, dan tidak menjawab diberi nilai nol. Jumlah soal seluruhnya 50. a. erapakah nilai tertinggi yang dapat diperoleh? b. erapakah nilai terendah yang dapat diperoleh? 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

30 c. erapakah nilai yang didapatkan jika menyelesaikan 0 soal dan 0 soal di antaranya dijawab salah. d. erapakah nilai yang didapatkan jika menyelesaikan 50 soal dan 6 soal di antaranya dijawab benar. e. erapakah jumlah soal-soal yang dijawab benar jika diketahui nilai yang diperoleh 0 dan sepuluh soal tidak dijawab. ilangan Pecahan dan Operasi pada ilangan Pecahan alam kehidupan sehari-hari, selain menggunakan bilangan bulat kita juga sering menggunakan bilangan pecahan. Misalnya ibu membeli setengah kilogram telur untuk membuat kue, umurku sepertiga dari umur ayah, sepertiga botol itu terisi minyak tanah, dan seperempat siswa di kelasku adalah perempuan. ilangan setengah, sepertiga, dan seperempat termasuk dalam himpunan bilangan pecahan. Sumber: Tropical Fruit, Periplus Editions Gambar.7 uah semangka yang dipotong menjadi beberapa bagian Pengertian Pecahan alam kehidupan sehari-hari kalian tentu sering menjumpai benda-benda yang dibagi menjadi beberapa bagian, bukan? Gambar.7 menunjukkan contoh buah semangka yang dibelah menjadi beberapa bagian. Jika kita membagi sebuah semangka menjadi tiga bagian yang sama kepada tiga orang siswa maka setiap siswa akan memperoleh bagian dari semangka semula. ilangan adalah pecahan, dengan disebut pembilang dan disebut penyebut. Pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk a dengan b 0, b a dan b. Jika a < b, maka bentuk a disebut pecahan biasa. b ontohnya 7, 5, 7, dan seterusnya. Jika a > b, maka bentuk a disebut pecahan campuran. b ontohnya 7 8, 6, 5, dan seterusnya. Pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk a b, dengan a dan b anggota bilangan bulat serta b 0. Selain bentuk a, ada pula bentuk pecahan yang lain. b entuk tersebut adalah persen, permil, dan bentuk desimal. Perhatikan contoh berikut: a. entuk persen, contohnya 75% (dibaca 75 persen). 75% artinya 75 per seratus = ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan

31 b. entuk permil, contohnya 75 (dibaca 75 permil). 75 artinya 75 per seribu = c. entuk desimal, contohnya 0,; 0,05; 0,00; dan seterusnya. 0, = 0 ; 0,05 = 5 00 ; dan 0,00 =.000. ontoh SOL. Sebutkan pembilang dan penyebut dari pecahan-pecahan berikut. a. 8 Penyelesaian: b. 6 a + c. + x + y a. Pada pecahan, pembilangnya dan 8 penyebutnya 8. b. c. 6, pembilangnya adalah 6 dan a + penyebutnya adalah a +. + x, pembilangnya adalah + x dan + y penyebutnya adalah + y.. ari pecahan berikut ini manakah yang termasuk pecahan biasa dan manakah yang termasuk pecahan campuran? a. 5 b. 8 7 c. 9 Penyelesaian: a. disebut pecahan biasa karena 5 pembilang < penyebut. 8 b. disebut pecahan campuran karena 7 pembilang > penyebut. 9 c. disebut pecahan biasa karena pembilang < penyebut. Pecahan-pecahan yang Senilai oba kalian perhatikan daerah yang diarsir pada Gambar.8 di samping. Pada gambar tersebut sebuah persegi dibagi menjadi beberapa bagian. Pada Gambar.8 (a) sebuah persegi dibagi menjadi dua bagian yang sama, daerah yang diarsir adalah dari seluruh bagian persegi. Pada Gambar.8 (b) sebuah persegi dibagi menjadi empat bagian yang sama, daerah yang diarsir adalah dari seluruh bagian persegi. Gambar.8 (c) sebuah persegi dibagi menjadi delapan bagian yang sama, daerah yang diarsir adalah 8 dari seluruh bagian persegi. pakah,, dan merupakan bilangan-bilangan 8 yang senilai? Untuk menjawab pertanyaan tersebut coba kalian perhatikan luas daerah yang diarsir pada masingmasing persegi. pakah luasnya sama? Ternyata luas daerah yang diarsir untuk masing-masing persegi sama besar sehingga dapat kita simpulkan bahwa = = 8. (a) (b) () Gambar.8 Pecahan-pecahan senilai (a) (b) (c) 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

32 Jika diberikan sebuah pecahan, bagaimana kita menuliskan pecahan-pecahan lain yang senilai? Perhatikan contoh berikut ini. Math Quiz pakah yang dimaksud dengan pecahan senilai? = = = = ari penjelasan di atas, kita dapat mengambil kesimpulan bahwa sebuah pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan lain yang senilai. Untuk sembarang pecahan a, dengan b 0, berlaku: b a c a b = b c ac a = atau = bc b a : p b: p 8 ontoh SOL. Tentukanlah pecahan-pecahan lain yang senilai dengan: a. Penyelesaian: a. = = = = b. = = 5 5 b = = pakah 6 dan 0 adalah pecahan yang 9 5 senilai? Penyelesaian: = =, dengan demikian dan 0 5 adalah pecahan yang senilai. Math Quiz pakah definisi dari pecahan sederhana itu? Menyederhanakan Pecahan Pada pembahasan sebelumnya kalian telah mempelajari pecahan yang senilai. Pemahaman yang baik mengenai pecahan yang senilai dapat kalian terapkan pada teknik menyederhanakan pecahan yang akan kita bahas pada bagian ini. Menyederhanakan pecahan adalah membentuk suatu pecahan menjadi bentuk yang senilai dengan pecahan semula dalam bentuk yang paling sederhana. Menyederhanakan pecahan dilakukan dengan cara membagi pecahan dengan suatu bilangan yang merupakan faktor persekutuan terbesar (FP) dari pembilang dan penyebut. Sebagai contoh kita akan menyederhanakan pecahan FP dari 0 dan 50 adalah 0, maka pecahan disederhanakan dengan pembagi : 0 = = 50 : 0 5 ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan

33 Jika a adalah pecahan dengan b 0 dan c adalah faktor b persekutuan terbesar dari a dan b, maka bentuk penyederhanaan pecahan dapat ditulis: a b = a b : : c c ontoh SOL Sederhanakanlah pecahan berikut. a b Penyelesaian: a. FP dari 5 dan 65 adalah maka: : = = 65 : 5 b. FP dari 0 dan 750 adalah 0, maka: : 0 = = 750 : LTIHN 9. Tentukan nilai dari pecahan-pecahan senilai berikut ini. a. b. c. = d = e. 9 0 = f = = 9 5. Nyatakan bentuk berikut menjadi pecahan campuran. a. b. c d. e. f Nyatakan bentuk pecahan campuran berikut menjadi bentuk pecahan biasa. a. 6 b. 8 7 d e. 9 7 =. Sederhanakan bentuk berikut. a. b. c d. e. f Salin dan isilah titik-titik berikut ini. a. b. c. d. e. 9 =... 6 = = 8 56 = =... 0 = 8... =... 8 =... = 6 9 =... 6 = 9 8 = 6... =... 9 = =... 0 c. 8 f. Matematika SMP dan MTs Kelas VII

34 Gambar.9 Pecahan 8 Mengurutkan Pecahan Perhatikan Gambar.9 di samping. Pada bagian daerah yang diarsir mewakili bagian lingkaran, sedangkan pada 8 bagian daerah yang diarsir mewakili 8 bagian lingkaran. Pada gambar tampak bahwa daerah lebih luas dari daerah. erdasarkan kenyataan tersebut dapat kita katakan 8 lebih dari 8 atau 8 kurang dari 8. Untuk membandingkan dua nilai seperti gambar di samping, kita dapat menggunakan tanda lebih dari atau kurang dari. ontoh a > b (dibaca a lebih dari b), artinya nilai a lebih besar dari nilai b. Tanda b > a (dibaca b kurang dari a) artinya nilai b lebih kecil dari nilai a. Untuk membandingkan dua pecahan akan lebih mudah jika penyebutnya sama. Perhatikan contoh berikut. 8 > 8 atau 8 < 8 Jika penyebut kedua pecahan itu tidak sama, maka langkah yang harus dilakukan adalah menyamakan penyebutnya terlebih dahulu. Misalnya untuk mengetahui hubungan lebih atau kurang dari kedua pecahan dan, perhatikan contoh berikut ini. = = 6 ; = = 6. Karena 6 > 6 maka <. ontoh SOL erilah tanda > atau < pada pecahan berikut ini. a Penyelesaian: b. a. KPK dari dan 5 adalah 5. = < 6 5 atau < 5 5 = { { b. KPK dari dan adalah. = 9 9 > 8 atau > = 8 Untuk mengurutkan beberapa pecahan perlu diperhatikan penyebut dari pecahan tersebut. Penyebut yang sama memudahkan untuk mengurutkan beberapa pecahan. ontoh: a. 9, 9, 5 9, 6 9 b. 6 8, 5 8, 8, 8 ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 5

35 Urut-urutan seperti pada contoh a di atas disebut urutan naik, sedangkan untuk contoh b disebut urutan turun. Untuk pecahan-pecahan yang tidak sama penyebutnya dalam mengurutkannya terlebih dahulu disamakan penyebutnya. Perhatikan contoh soal berikut ini. ontoh SOL Urutkan pecahan berikut menurut urutan naik: 5 6,,. Penyelesaian: Untuk mengurutkan pecahan-pecahan tersebut terlebih dahulu kita tentukan KPK dari 6,, dan yaitu. 5 6 = 5 6 = 0 = 8 = = = 9 ari perhitungan tersebut, tampak bahwa urutannya adalah 8, 9 0, dan. engan demikian, urutan pecahannya adalah,, Garis ilangan Sama halnya dengan bilangan bulat yang telah kalian pelajari di depan, pecahan juga dapat dinyatakan pada garis bilangan. Gambar.0 (a) adalah garis bilangan. i sebelah kanan angka 0 (nol) terletak bilangan positif dan di sebelah kiri terletak bilangan negatif. Pada garis bilangan di samping, bilangan-bilangan yang tertera adalah bilangan bulat. Untuk menyatakan pecahan pada garis bilangan, perlu diketahui langkah-langkah pengerjaannya. ontoh: Nyatakanlah pada garis bilangan. Untuk menyatakan pada garis bilangan ada beberapa langkah yang harus dilakukan, yaitu sebagai berikut. Pertama: Tentukanlah di antara bilangan bulat manakah pecahan itu berada (lihat Gambar.0b). terletak di antara bilangan bulat dan. 0 (a) dibagi menjadi bagian 0 Kedua: Ketiga: Tentukan penyebut dari pecahan itu. mempunyai penyebut. agilah jarak antara dua bilangan bulat dimana pecahan itu berada menjadi beberapa bagian sebanyak angka penyebutnya. dibagi menjadi bagian (b) angka penyebutnya Gambar.0 Garis bilangan 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

36 ontoh SOL Nyatakan pada garis bilangan. Penyelesaian: Untuk menyatakan pada garis bilangan langkah-langkahnya adalah: dibagi menjadi tiga bagian 0 a. b. terletak di antara dan mempunyai penyebut dibagi menjadi tiga bagian 0 # LTIHN 0. Isilah dengan tanda > atau <. a. b c d Susunlah pecahan berikut menurut urutan naik. a. b c d. 8,, ,, Susunlah menurut urutan turun. a. b. 9 0, 0, 0 c. 5 6, 7 5, 5 d. 9,, ,,, Sisipkanlah satu pecahan di antara: a. b. dan dan c. d. dan 5 dan erikan pula cara menyisipkannya. 5. Tentukanlah pernyataan berikut benar atau salah. a. terletak di antara 7 dan 7 b. 9 6 terletak di antara 8 5 dan 7 6. Nyatakan pecahan berikut pada garis bilangan. a. 5 b. c. d. 6 Tugas Siswa iskusikan cara menjawab pertanyaan berikut bersama temanmu. Manakah yang lebih kecil di antara dua pecahan berikut. a. 5 6 dan 5 c dan 5 55 b dan d dan ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 7

37 6 Mengubah entuk Pecahan ke entuk Lain Pada pembahasan sebelumnya telah diketahui bahwa selain pecahan a, ada pula pecahan berbentuk desimal, persen, dan b permil. agaimanakah mengubah bentuk pecahan a b ke bentuk-bentuk tersebut? Perhatikan penjelasan berikut. a. Mengubah entuk Pecahan ke entuk esimal dan Sebaliknya entuk pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk desimal. Untuk mengubah pecahan ke bentuk desimal adalah dengan mengubah penyebut pecahan itu menjadi kelipatan 0, 00,.000, dan seterusnya. Selain cara tersebut dapat juga dilakukan dengan membagi pembilang dengan penyebutnya. Perhatikan contoh bentuk pecahan ,,, dan Karena penyebut dari pecahan-pecahan tersebut adalah kelipatan 0 (yaitu 0, 00, dan.000) maka untuk menyatakan ke bentuk desimalnya tidak perlu diubah. ontoh: = 06, = 0, = 079, = 007, 00 agaimana bila penyebutnya bukan 0 atau kelipatannya, misalnya? ilangan pecahan dapat diubah menjadi bentuk desimal dengan cara sebagai berikut. = 5 = 00 = 05, 5 5 atau dengan cara berikut 0, Mengubah bentuk desimal ke bentuk pecahan dilakukan dengan melihat banyaknya angka di belakang koma. Jika ada (satu) angka maka penyebutnya 0; Jika ada (dua) angka maka penyebutnya 00; Jika ada (tiga) angka maka penyebutnya.000, dan seterusnya. 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

38 ontoh: a. 0, = 0 = : 0 : = 5 c. 0, = : 5 = = 000. : b. 05, = 5 00 = 5 : 5 00 : 5 = 9 0 d. 0, 5 5 = : 5 = =. 000 : 5 8 b. Mengubah entuk Pecahan ke entuk Persen dan Sebaliknya Persen artinya per seratus dan dilambangkan dengan %. ontoh: 80% dibaca delapan puluh persen 5% dibaca empat puluh lima persen entuk pecahan dapat dijadikan ke bentuk persen dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan 00%. ontoh: a. = 00% = 50% b. 00 = 00% = % = % entuk persen dapat dijadikan ke bentuk pecahan dengan cara menyederhanakannya. ontoh: a. 0% = 0 b. 65% = = 0 : 0 00 : 0 = 5 00 = 65 : 5 00 : 5 = c. Mengubah entuk Pecahan ke entuk Permil dan Sebaliknya Permil artinya per seribu dan dilambangkan dengan. ontoh: 0 dibaca dua puluh permil. 50 dibaca empat ratus lima puluh permil. entuk pecahan dapat dijadikan ke bentuk permil dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan.000. ontoh: a. 50 = b. 8 5 = = 60 = 6 0 ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 9

39 entuk permil juga dapat diubah ke bentuk pecahan dengan cara menyederhanakannya. ontoh: a = b. 65 = : 0 = =. 000 : : 5 = =. 000 : 5 ari penjelasan di atas jelaslah bahwa bentuk pecahan dapat dijadikan bentuk desimal, bentuk persen, atau permil. emikian juga bentuk desimal juga dapat dijadikan bentuk pecahan, persen, atau permil. ontoh SOL 5 8. Nyatakan dalam bentuk: 5 a. desimal c. persen b. permil. Nyatakan 0,65 dalam bentuk: a. pecahan c. permil b. persen. Nyatakan 85% dalam bentuk: a. pecahan c. permil b. desimal. Nyatakan 90 dalam bentuk: a. pecahan c. persen b. desimal Penyelesaian:. a. = = = 0, b. c. 5 5 =.000 = 00 5 = 00% = 0% 5 LTIHN. Nyatakanlah pecahan berikut dalam bentuk desimal. a. b. 0 c. 50. a. 065, = 65 = 65 : 5 = : 5 0 b. 0,65 = 0,65 00% = 65% c. 0,65 = 0, = : 5. a. 85% = = = : 5 85 b. 85% = = 085, c. 85% =.000 = a. 90 = = b. 90 = = = 009, c. 90 = 00% = 9% Nyatakanlah bentuk berikut ke dalam bentuk pecahan yang paling sederhana. a. 0, b. 0,07 c. 8,875. Nyatakanlah bentuk berikut ke dalam bentuk persen. 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

40 a. b. c. 9. Nyatakanlah bentuk berikut ke dalam bentuk persen. a. 0,5 b. 6,075 c.,75 5. Nyatakanlah bentuk berikut ke dalam bentuk pecahan yang paling sederhana. a. % b. 7 % c. % 6. Nyatakanlah bentuk berikut ke bentuk desimal. a. % b. % c. 75% 7. Nyatakanlah bentuk berikut ke dalam bentuk permil. 75 a. b. c. 5% Hitunglah hasilnya. a.,5% dari Rp ,00 b. 9,5 dari,5 juta orang 9. Pada tahun 980 diketahui sebuah kota berpenduduk orang. i tahun 000 penduduk kota tersebut orang. Tentukanlah persentase pertambahan penduduk kota tersebut. 0. Ubahlah bentuk desimal berikut ke bentuk pecahan biasa. a. 0, b. 0, agaimana cara yang mudah untuk mengubah bentuknya? Jelaskan! 7 Operasi pada Pecahan Seperti halnya bilangan bulat, pada pecahan juga dapat dilakukan operasi perhitungan seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. agaimana operasi tersebut dilakukan pada pecahan? Perhatikan penjelasan berikut. a. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Perhatikan Gambar.. Perhatikan daerah yang diarsir pada lingkaran-lingkaran tersebut. Pada Gambar. tampak bahwa 6 dari keseluruhan lingkaran ditambah dengan 6 bagian dari keseluruhan lingkaran menghasilkan 5 6 dari keseluruhan lingkaran (perhatikan daerah yang diarsir). + = 6 Gambar. Penjumlahan dua pecahan Secara matematis kita dapat menulisnya dengan bentuk = 5. entuk umum operasi penjumlahan pecahan 6 adalah sebagai berikut. a b c + = b a + b c dengan b 0 ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan

41 Sama halnya dengan penjumlahan pecahan, pada Gambar. diperlihatkan bahwa dari keseluruhan persegi panjang dikurangkan dengan dari keseluruhan persegi 5 5 panjang menghasilkan bagian dari keseluruhan persegi 5 panjang. Secara matematis kita dapat menulisnya dalam bentuk 5 5 = 5. 5 = Gambar. Pengurangan dua bilangan pecahan dengan penyebut sama 5 entuk umum operasi pengurangan pecahan adalah sebagai berikut. 5 a b c = b a c b dengan b 0 agaimana jika pada operasi penjumlahan dan pengurangan penyebut dari pecahannya tidak sama? Misalnya kita akan menjumlahkan +. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menyamakan penyebutnya menjadi sama terlebih dahulu, yaitu dengan mencari KPK dari kedua penyebut. Perhatikan Gambar. berikut ini. + = + = Gambar. Penjumlahan dua pecahan dengan penyebut berbeda ari Gambar. tampak bahwa: + = + (KPK dari dan adalah ) = entuk umum operasi penjumlahan pecahan dengan penyebut berbeda sebagai berikut. a b c + = d ad + bc bd dengan b 0, d 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

42 ontoh SOL. Hitunglah hasilnya. 5 5 a. + b. 9 6 Penyelesaian: a. + = = = 7 8 (KPK dari 9 dan 6 adalah 8) b = = 0 (KPK dari 8 dan 5 adalah 0). Hitunglah hasilnya. a b Penyelesaian: a. 8 + = ( 8 + ) = ( ) = = + 6 = (KPK dari 5 dan 9 adalah 5) b. 8 = ( 8 ) = = = (KPK dari dan 7 adalah 8) b. Sifat-Sifat Penjumlahan ilangan Pecahan Untuk mengetahui sifat-sifat penjumlahan bilangan pecahan, lakukanlah kegiatan berikut. K EGIT N Salin dan lengkapilah tabel berikut pada buku latihanmu. a 5 b a + b b + a ari hasil tabel di samping dapat disimpulkan hal berikut. Jika a dan b bilangan pecahan maka: a + b = + a b c (a + b) + c a + (b + c) ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan

43 ari hasil tabel di atas dapat disimpulkan hal berikut. Jika a, b, dan c adalah bilangan pecahan maka: (a + b) + c = + ( + ) erdasarkan hasil kegiatan ini dapat disimpulkan bahwa pada penjumlahan bilangan pecahan berlaku sifat-sifat sebagai berikut. a. sifat b. sifat Math Quiz Selidiki apakah sifatsifat penjumlahan bilangan pecahan juga berlaku untuk pengurangan bilangan pecahan? erikan alasanmu! LTIHN. Hitunglah penjumlahan berikut ini. 5 6 a. + c b d Hitunglah operasi berikut ini. a. b c. 7 + d Hitunglah hasilnya. a b. 5 5 c d c. Perkalian Pecahan ) Perkalian pecahan dengan bilangan bulat Jika kita mengalikan dan, itu sama artinya dengan menjumlahkan bilangan sebanyak kali. = = Selanjutnya perhatikan contoh berikut. atau = = 9 = = Gambar. Penjumlahan tiga buah -an Matematika SMP dan MTs Kelas VII

44 Gambar.5 entuk lain dari penjumlahan tiga buah -an yang senilai Perhatikan Gambar. dan.5. ari gambar di atas dinyatakan dalam bentuk matematis sebagai berikut. = + + = 9 = ari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa bentuk umum perkalian bilangan bulat dan pecahan dinyatakan sebagai berikut. b a = c a b c dengan a, b, dan c adalah bilangan bulat dan c 0. ) Perkalian pecahan dengan pecahan Perhatikan Gambar.6 di samping. iketahui sebuah persegi yang sisinya satuan dibagi menjadi 6 bagian yang sama. Luas daerah yang diarsir adalah dari luas daerah seluruh 6 persegi. Secara matematis dinyatakan sebagai berikut. = = 6 entuk umum perkalian pecahan dengan pecahan dinyatakan sebagai berikut. a b c = d a c b d ac = dengan b 0 dan d 0 bd Gambar.6 Perkalian dan d. Sifat-Sifat Perkalian ilangan Pecahan Untuk mengetahui sifat-sifat perkalian bilangan pecahan lakukan kegiatan berikut. K EGIT N Salin dan lengkapilah tabel berikut pada buku latihanmu.. a 5 b 8 7 a b b a ari hasil tabel di samping dapat disimpulkan hal berikut. Jika a dan b adalah bilangan pecahan maka: a b = ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 5

45 . a b c (a b) c a (b c) ari hasil tabel di atas dapat disimpulkan hal berikut. Jika a, b, dan c adalah bilangan pecahan maka: (a b) c = ( ). a b c b + c a (b + c) a ba c (a b) + (a c) ari hasil tabel di atas dapat disimpulkan hal berikut. Jika a, b, dan c adalah bilangan pecahan maka: a (b + c) = ( ) + ( ) erdasarkan hasil kegiatan ini dapat disimpulkan bahwa pada perkalian bilangan pecahan berlaku sifatsifat sebagai berikut. a. sifat b. sifat c. sifat e. Pembagian Pecahan Pembagian adalah operasi invers (kebalikan) dari perkalian. Jika kita membagi a dengan b sama artinya kita mengalikan a dengan b. Ini berarti adalah invers perkalian dari b b. ontoh: : sama artinya dengan dan : sama artinya dengan. entuk umum operasi pembagian pecahan dinyatakan sebagai berikut. Math Quiz pakah sifat komutatif juga berlaku pada operasi pembagian bilangan pecahan? Selidikilah! a : b = a b dengan b 0 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

46 8 Gambar.7 Pembagian dengan ) Pembagian pecahan dengan bilangan bulat Misalkan terdapat sebuah kue yang dibagi empat sama besar. Salah satu bagian diberikan kepada Rudi. Oleh Rudi kue bagiannya dibagi lagi menjadi dua sama besar karena ia berbagi kue tersebut dengan adiknya. Kue bagian Rudi sekarang adalah sebesar: : atau = 8 Rudi mendapatkan kue bagiannya sebesar kali dari 8 kue mula-mula. entuk umum pembagian pecahan dengan bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut. a b a : c = = b c a b c dengan b 0 dan c 0. ) Pembagian pecahan dengan pecahan Untuk pembagian pecahan dengan pecahan kita gunakan aturan invers perkalian. ontoh: a. : = = = 6 b. 5 0 : = = = entuk umum pembagian pecahan dengan pecahan dinyatakan sebagai berikut. a b c a d : = = d b c a d b c dengan b 0, c 0, d 0 LTIHN. Sederhanakan bentuk pecahan berikut. a. 6 b. c. 9 d Selesaikan bentuk pecahan berikut. 9 a. : c. 6 9 b. 8 : 6 d. 9 : 8. Selesaikan soal berikut dengan sifat distributif. 5 9 a. + 5 b Hitunglah dan. agaimanakah hasilnya? arilah pasangan pecahan lain yang memiliki sifat seperti di atas. 5. iketahui harga kg gula sama dengan kali harga liter beras dan harga kg gula sama dengan dari harga kg tepung. Jika harga kg telur Rp8.000,00, berapakah harga liter beras? ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 7

47 8 entuk aku Tahukah kalian bahwa jarak antara Matahari dan Jupiter dalam sistem tata surya kita adalah km dan massa molekul air kira-kira 0, gram? agaimana membaca kedua bilangan tersebut? Tentu sangat menyulitkan, bukan? Untuk menjawab pertanyaan di atas, dalam matematika digunakan suatu bentuk yang dinamakan bentuk baku. Untuk bilangan-bilangan yang sangat besar atau sangat kecil, bentuk baku dari bilangan dinyatakan sebagai berikut. a 0 n dengan a < 0 dan n bilangan asli ontoh: a = 7, = 7,5 0 b = 9, = 9,6 0 5 c =, =, Seperti yang telah kalian ketahui bahwa sistem bilangan kita adalah sistem bilangan berbasis 0. arisan dari bilangan-bilangan itu adalah..., 00,,, 0, 00,.000, ,... dan seterusnya. arisan bilangan basis 0 secara lengkap dinyatakan sebagai berikut....,, ,,, 0, 00,.000, 0.000,... 0 atau..., 0, 0, 0, 0 0, 0, 0, 0, 0,... Gambar.8 Planet-planet yang berjarak sangat jauh dari matahari. Sumber: Earth Science, Harcourt ruce Jovanovich Publisher ari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa: 0 0 = ; 0 = 0 ; 0 = 0 = 00 ari penjelasan di atas bilangan berpangkat 0 dan negatif memiliki aturan sebagai berikut. a 0 = dan b a = b a Untuk bilangan-bilangan yang sangat kecil bentuk bakunya sebagai berikut. a 0 n dengan a < 0, n bilangan asli 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

48 ontoh SOL Nyatakan bentuk pecahan berikut dalam bentuk baku. a. 0 Penyelesaian: b. Perhatikan contoh berikut. 0,00785 = 7, = 7,85 0 0,0785 = 7,85 00 = 7,85 0 0,785 = 7,85 0 = 7,85 0 7,85 = 7,85 = 7, ,5 = 7,85 0 = 7, = 7,85 00 = 7, = 7, = 7,85 0 entuk pecahan juga dapat dinyatakan dalam bentuk baku. Untuk menyatakan bentuk pecahan ke dalam bentuk baku, penyebut pecahan diubah terlebih dahulu menjadi kelipatan 0. Perhatikan contoh berikut. = 5 00 = 5, 0 =,5 0 5 Untuk menyatakan bentuk pecahan-pecahan tersebut dalam bentuk baku, penyebut Jadi, bentuk baku dari adalah,5 0. K pecahan diubah terlebih dahulu menjadi kelipatan 0. 5, 5, a. = = = 5, b. EGIT 5 = = N = 6, 0 =,6 0 arilah informasi mengenai ukuran delapan planet dari buku-buku di perpustakaan sekolahmu, kemudian tuliskan dalam bentuk baku. LTIHN. Nyatakanlah pecahan berikut dalam bentuk baku. a. b d. e Nyatakanlah bentuk berikut dalam bentuk baku. a d. 0,00065 b e. 0,005 c f. 0, ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan 9

49 9 Pembulatan ilangan Pecahan Pembulatan pada bilangan pecahan sama dengan pembulatan pada bilangan lainnya. turan-aturan pembulatan pada pecahan sama dengan aturan-aturan bilangan lainnya, yaitu bilangan batas lima atau lebih dibulatkan ke puluhan terdekat sedangkan bilangan batas kurang dari lima dihilangkan. ontoh: a. = 0, kurang dari 5, maka angka itu dan setelahnya dihilangkan = 0, (dibulatkan menjadi tempat desimal) 7 b. = 0, lebih dari 5, maka dibulatkan ke puluhan 9 terdekat = 0,78 (dibulatkan menjadi tempat desimal) c. = 0, kurang dari 5, maka angka itu dan setelahnya dihilangkan = 0, (dibulatkan menjadi tempat desimal) 7 d. = 0, lebih dari 5, sehingga angka itu dan 9 setelahnya dibulatkan ke atas. = 0,8 (dibulatkan menjadi tempat desimal) 0 plikasi Pecahan dalam Kehidupan anyak permasalahan dalam kehidupan kita yang membutuhkan pemahaman yang baik tentang operasi pada pecahan untuk menyelesaikannya. Perhatikan contoh soal berikut. ontoh SOL Kakak mempunyai uang sebanyak Rp80.000,00. uang itu dibelikan buku dan sisanya ditabung. erapakah banyak uang yang di- 5 tabung? Penyelesaian: ara eli buku = Rp = Rp8.000,00 5 Sisanya ditabung = Rp Rp8.000 = Rp.000,00 ara Sisanya = 5 = = 5 Sisa tabungan = Rp = Rp.000,00 5 Jadi, banyak uang yang ditabung adalah Rp.000,00. 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

50 . Ibu memberi uang jajan Rp60.000,00 kepada kakak dan adik. dik mendapat bagian dari sisanya kakak. 5 a. erapa uang jajan yang didapat masingmasing anak? b. ila kakak menggunakan 0% uang jajannya, tentukanlah sisanya.. Setiap hari peternakan ayam Pak Karyo menghasilkan 5 kg telur. erapakah 7 banyak telur yang dihasilkan peternakannya selama seminggu?. Menjelang Hari Raya Idul Fitri tarif angkutan antarkota naik 5%. Tarif pada hari biasa Rp0.000,00. erapakah besar kenaikan tarif angkutan tersebut.. Seorang makelar dalam jual beli mendapat komisi 0% dari nilai transaksi. ila transaksi sebesar Rp ,00, berapakah jumlah komisi yang diterima oleh makelar itu? 5. Seorang pegawai mendapatkan upah Rp ,00 per bulan. /6 dari upah yang ia terima digunakan untuk sewa rumah dan /5 digunakan untuk makan. Sisa dari upah tersebut ia tabung. Tentukan jumlah uang yang ia tabung RNGKUMN. ilangan bulat terdiri atas bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan nol.. Pada operasi pengurangan bilangan bulat tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif.. Pecahan biasa dinyatakan dalam bentuk a b, dengan a dan b bilangan bulat dan b 0.. Pecahan yang senilai adalah pecahan-pecahan yang memiliki nilai yang sama jika dinyatakan dalam bentuk yang paling sederhana. 5. Selain bentuk pecahan biasa, ada pula bentuk pecahan lain yaitu pecahan campuran, desimal, persen, dan permil. 6. Pecahan dapat disederhanakan dengan cara membaginya dengan bilangan yang merupakan faktor persekutuan terbesar dari pembilang dan penyebutnya. 7. Pada pecahan juga berlaku operasi yang dapat dilakukan pada bilangan bulat. 8. entuk baku memiliki bentuk umum: a 0 n dengan a < 0 dengan n bilangan asli. ab ilangan ulat dan ilangan Pecahan

51 Pilihan ganda Uji Kompetensi ab erilah tanda silang ( ) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar.. 7x + 0 = 7x ilangan 0 (nol) pada penjumlahan tersebut menunjukkan sifat... a. komutatif c. distributif b. asosiatif d. identitas. (7 + 6) =... a. ( + 7) ( + 6) b. ( 7) + ( 6) c. ( 7) + 6 d. ( 7) + 9. KPK dari dan 8 adalah... a. 6 c. 6 b. d. 6. FP dari dan 6 adalah... a. c. b. 6 d ilangan pecahan antara dan 7 9 adalah... a. b c. d. 6. entuk persen dari adalah... a. 5 % c. 5 % b. 6% d. 60% 7. Hasil dari, a b. 7 6 c d. 7 9 adalah entuk baku dari 0,0076 adalah... a. 7, 0 c. 7,5 0 b. 7, 0 d. 7, entuk persen dari 7 adalah... 0 a. % c. 7,5% b. 7,% d. 75% 0. Tanda T berarti bagilah bilangan pertama dengan, kemudian hasilnya dibagi dengan bilangan kedua. Hasil dari T 5 adalah... 9 a. 5 c. 9 b Seorang nenek membeli 7 potong semangka, 7 buah salak, dan 5 buah jeruk yang akan dibagikan kepada cucucucunya dengan jumlah bagian yang sama banyaknya. Jika jumlah buah yang tiap jenisnya diterima sama banyak, maka banyak cucu si nenek adalah... a. orang c. 9 orang b. 6 orang d. orang. Hasil dari ( ) + ( ) 5 + ( ) adalah... a. 6 c. b. 57 d. 57. Jika a =, b = dan c =, maka nilai dari a (b c + a) (a c) adalah... a. 5 c. b. d. 5. Pecahan di bawah ini yang senilai dengan 65 adalah a. c. 6 b. d. d. 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

52 5. Jika a = 5 dan b =, maka nilai dari a adalah... b a. 5 c. 5 b. 6. Nilai dari a. 0 0 b. 0 d adalah c. 0 d Pecahan-pecahan di bawah ini yang tidak terletak di antara dan adalah... 5 a. b c. d. 7 8 Esai Selesaikanlah soal-soal di bawah ini.. engan menggunakan sifat distributif, hitunglah: a. ( 5 7) + ( 5 7) ( 0 9) + ( 0 9) b. ( ) ( ) ( 5) ( 5) c. d. ( 0 ) + ( 5 ) + ( 5 ) + ( 5) 5 ( + ). Tentukanlah KPK dan FP dari: a., 56, dan 7 b. 5, 75, dan 50 c., 5, dan 60 d. 7, 8, dan. Sisipkanlah 7 pecahan di antara: a. 5 6 dan 6 7 b. 6 dan 5 8. FP dari x y dan 6x 5 y adalah... a. 6x 5 y c. x 5 y b. 6x y d. x y 9. Hasil dari 6 adalah... a. 9 6 b. 0 6 c. d KPK dari 0pq dan 8 p q adalah... a. 90 p q c. 80p q b. 90p q d. 80p q c. 0 dan d. 5 7 dan 9. Selesaikanlah perhitungan di bawah ini mir pergi latihan renang setiap hari, adu setiap hari, dan oki setiap 5 hari. Jika tanggal 5 Februari mereka latihan bersama-sama, tanggal berapa mereka latihan bersama lagi? 6. alam suatu ulangan dengan 50 buah soal, setiap jawaban benar diberi nilai, salah diberi nilai dan tidak menjawab diberi nilai 0 (nol). Rina menjawab benar soal, menjawab salah 5 soal, dan sisanya tidak dijawab. erapa nilai yang diperoleh Rina? 7. ari terminal yang sama, bus PP dan bus MRI berangkat bersama untuk pertama kali pukul Jika bus PP Uji Kompetensi ab

53 berangkat setiap 6 menit, dan bus MRI setiap 8 menit, maka pukul berapa kedua bus tersebut akan berangkat bersama untuk ketiga kalinya? 8. Pada sebuah pertandingan, dibuat peraturan bahwa jika menang mendapat nilai 5 dan jika kalah nilainya dikurangi. Untuk pertandingan yang seri (draw) tidak mendapat nilai. Sebuah regu mengikuti 8 kali pertandingan dengan memperoleh nilai 5 dan pernah kalah 5 kali. erapa banyak regu tersebut mengalami kemenangan dan draw dalam pertandingan? 9. ari suatu terminal diberangkatkan tiga buah bus ke tiga jurusan. us I ke jurusan, bus II ke jurusan dan bus III ke jurusan. us dengan jurusan diberangkatkan setiap 0 menit, bus ke jurusan diberangkatkan setiap 5 menit, dan bus ke jurusan diberangkatkan setiap 60 menit. Ketiga bus berangkat bersama untuk kedua kalinya pada pukul.5. Pukul berapa bus tersebut berangkat untuk pertama kali? 0. ndi, Iwan, dan Indra menerima sejumlah uang dari pamannya. ndi mendapat 5 bagian, Iwan mendapat 7 6 bagian dan sisanya sebanyak Rp8.000,00 diterima Indra. erapa jumlah bagian ndi dan Iwan? Matematika SMP dan MTs Kelas VII

54 entuk ljabar Sumber: Tujuan Pembelajaran Mengenal bentuk ljabar Melakukan operasi bentuk aljabar dan memahami sifat-sifat operasi bentuk aljabar. I bu Indah hendak membeli bahan-bahan untuk kebutuhan masak, seperti tomat, cabai merah, cabai rawit, dan bawang merah. iketahui harga kg tomat Rp9.000,00, harga kg cabai merah Rp.000,00, harga kg cabai rawit Rp0.000,00, dan harga kg bawang merah Rp5.000,00. Ibu Indah hendak membeli bahan-bahan tersebut masing-masing sebanyak setengah kilogram. erapakah uang yang harus dibayarkan Ibu Indah? Untuk menjawab masalah di atas, kalian perlu mempelajari bentuk-bentuk aljabar dalam matematika. pakah yang dimaksud dengan bentuk aljabar? Marilah kita pelajari bab berikut ini. ab entuk ljabar 5

55 a. (x + ) b. 5(x + y) Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakan soal-soal berikut.. Hitunglah operasi perkalian berikut ini:. Hitunglah operasi berikut ini. a. + b. 5 entuk aljabar dapat digunakan untuk membantu menyelesaikan berbagai masalah matematika yang berhubungan dengan kegiatan manusia sehari-hari. plikasi apakah yang dapat menggunakan bentuk aljabar? Mari kita cari jawabannya dalam bab ini. Pengertian entuk ljabar entuk aljabar adalah istilah yang mungkin sering kalian dengar di Sekolah asar. entuk x, x +, a, dan lainnya disebut bentuk aljabar. alam aljabar ada beberapa istilah yang perlu kalian ketahui. Pada bentuk x, angka dan x disebut faktor. Pada bentuk x +, x disebut variabel atau peubah, disebut koefisien, dan disebut konstanta. Variabel atau peubah biasanya berupa huruf pada bentuk aljabar. Koefisien adalah bilangan di depan peubah (variabel), dan konstanta adalah bilangan tanpa peubah (variabel) dan nilai konstanta adalah tetap. entuk x dan x + dinamakan suku. Suku-suku pada bentuk aljabar ada yang sejenis dan ada yang tidak sejenis. Suku-suku Sejenis dan Tidak Sejenis entuk x dan x, y dan 5y, 7x dan 5x disebut suku-suku sejenis, sedangkan 7x dan 7y bukan suku-suku sejenis. Untuk lebih jelasnya perhatikan Tabel. berikut ini. Tabel. Macam-Macam Suku pada entuk ljabar No. entuk ljabar Suku. 7x, x, dan 5x sejenis. 5x, 6x, dan 7x sejenis. xy, 5x y, dan 5x y tidak sejenis. 5xy z, 6xy z, dan 9xy z sejenis Jenis Suku 5. xy, 5ab, dan 6cd tidak sejenis 6. 6xy, x yz, dan 5xyz tidak sejenis 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

56 Keterangan:. Suku-suku pada nomor tergolong suku sejenis karena memiliki variabel yang sama yaitu x.. Suku-suku pada nomor juga tergolong dalam suku sejenis karena memiliki variabel yang sama dan pangkat dari variabelnya juga sama yaitu x.. Suku-suku pada nomor tergolong suku yang tidak sejenis. Mengapa? Karena sekalipun variabel-variabelnya sama (yaitu xy), namun pangkat dari variabel-variabel tersebut berbeda.. Suku-suku pada nomor tergolong suku sejenis karena variabel dan pangkat dari variabelnya sama semua (yaitu xy z). 5. Suku-suku pada nomor 5 tergolong suku tidak sejenis karena variabelnya berbeda-beda. 6. Suku-suku pada nomor 6 tergolong suku tidak sejenis karena variabel dan pangkatnya berbeda-beda. pa yang dapat kalian simpulkan mengenai pengertian suku sejenis? entuk aljabar yang mempunyai suku tidak sejenis lebih dari satu disebut suku banyak atau polinomial. Misalnya: x + x; 6 + x + x ; dan 7a + 8b + c + d Pada operasi bentuk aljabar juga dikenal suku banyak seperti berikut. Suku dua atau binomial adalah suku banyak dengan dua suku, misalnya x + x dan a + b. Suku tiga atau trinomial adalah suku banyak dengan tiga suku, misalnya x + x + 7 dan x + y + z. entuk x + 5x 6x + 7 adalah suku banyak dengan empat suku. Operasi entuk ljabar Penjumlahan dan Pengurangan Suku-Suku Sejenis Perhatikan bentuk aljabar berikut ini. a + 5b + c + a + 7c b ljabar di atas dapat dinyatakan dalam bentuk yang lebih sederhana dengan cara mengelompokkan suku-suku yang sejenis hingga diperoleh bentuk seperti berikut. a + 5b + c + a + 7c b = (a + a) + (5b b) + (c + 7c) = 5a + b + 0c ab entuk ljabar 7

57 Untuk menyelesaikan penjumlahan atau pengurangan suku-suku sejenis dari bentuk aljabar dapat dilakukan dengan cara mengelompokkan dan menyusun ke bawah. Perhatikan contoh soal di bawah ini. ontoh SOL. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar di bawah ini. a. a + b + a b. x + 6y + x 8y Penyelesaian: a. a + b + a = a + a + b = ( + )a + b = 5a + b b. x + 6y + x 8y = x + x + 6y 8y = ( + )x + (6 8)y = 7x y. Jumlahkan a + 5b + 7c dengan b + 5a + c dengan cara: a. mengelompokkan, dan b. menyusun ke bawah. Penyelesaian: a. ara mengelompokkan (a + 5b + 7c) + (b + 5a + c) = (a + 5a) + (5b + b) + (7c + c) = ( + 5) a + (5 + ) b + (7 + )c = 8a + 9b + 0c b. ara menyusun ke bawah a + 5b + 7c 5a + b + c + 8a + 9b + 0c. Kurangkan a + 5b c dengan a + b + c dengan cara: a. mengelompokkan, dan b. menyusun ke bawah. Penyelesaian: a. ara mengelompokkan (a + 5b c) (a + b + c) = a + 5b c a b c = (a a) + (5b b) + ( c c) = ( ) a + (5 ) b + ( ) c = a + b + ( 5) c = a + b 5c b. ara menyusun ke bawah a + 5b c a + b + c a + b 5c Setelah memahami contoh soal di atas, ujilah kemampuanmu pada latihan berikut ini. LTIHN. Sederhanakanlah bentuk-bentuk aljabar berikut ini. a. y y 7y d. 6k + k h b. x + x e. 7v + u v u c. ab + bc ab. Tentukanlah jumlah dari: a. 5x + y dan x y b. a + b c d dan a + b c + d c. a + 5b + c + 6d dan 6a 7b 7c d d. 5p + r s + 6t dan 7p r s 6t e. x y z 8 dan x + y + 5z + 8. Jika a =, b =, dan c = 5, hitunglah hasil operasi aljabar berikut ini. a. a + b + c d. a b + c b. a + b c e. a + b c c. a + b c. Hitunglah bentuk aljabar berikut ini. a. Kurangkan x 6y dari x y + 8 b. Jumlahkan x + y dan 6x y dengan x y 8 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

58 c. Kurangkan x + y dengan selisih dari x 6y + dan x + y 8 d. Kurangkan x + y 8 dengan jumlah x + 6y 8 dan 5x y 8 e. Kurangkan selisih dari x y 8 dan x y 6 dengan x y 8 5. apatkah a + b c disederhanakan? erikan alasanmu. ontoh SOL. (a ) = a = a 6. (a b ) = a b = a b 6. (ab c ) = a b c = a b 6 c 9 Perkalian, Pembagian, dan Pangkat Suku Sejenis dan Tidak Sejenis Kerjakan soal berikut ini di kertas terpisah.. a b = ( ) (a b) =.... 7bc : c = (7 : ) (bc : c) =... ari soal dan, terlihat bahwa dalam perkalian dan pembagian bentuk aljabar, angka dioperasikan dengan angka sedangkan variabel dioperasikan dengan variabel. Perhatikan contoh perkalian dan pembagian berikut.. = ( ) ( ) = = 5. a a = a (a a a) = a a a a = a engan demikian dapat disimpulkan a a = a + = a 5. 5 : 5 = (5 5 5) : 5 = 5 5 = 5 6. a : a = (a a a a) : (a a) = a a = a engan demikian dapat disimpulkan a : a = a = a 7. (a ) = a a a = a + + = a 6 engan demikian dapat disimpulkan (a ) = a = a 6 ari ontoh sampai ontoh 7 di atas, terlihat bahwa dalam perkalian, pembagian, dan pemangkatan bentuk aljabar berlaku sifat-sifat berikut. a m a n = a m + n a m : a n = a m n, a 0 (a m ) n = a m n Untuk memahami penggunaan sifat-sifat perkalian, pembagian, dan pemangkatan tersebut perhatikan contoh berikut. b b = b 6. a b a b = a 5 b 6 a a = a 5 b 8 : b = b 6 5. a 9 b 8 : a b = a 6 b 6 a 9 : a = a 6 ab entuk ljabar 9

59 Setelah memahami contoh soal tadi, kerjakan latihan soal-soal berikut ini. LTIHN. Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut. a. a b d. 7pr : 6r b. ab) ab e. (8ac) : a c. ab a b a b f. ab ac : bc. Ubah bentuk aljabar berikut hingga menjadi bentuk lain yang setara. a. a = (... ) d. 8a = (... ) b. 9a b = (... ) e. 7a b = (... ) c. 7a = (... ) Perkalian Suku Satu dengan Suku ua Perkalian suku satu dengan suku dua dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan. Untuk menunjukkan sifat distributif perkalian tersebut, coba kalian perhatikan penjelasan Gambar.. S T R S TT R k k ka kb k P a U b Q P a U U b Q a + b Gambar. PQRS L PQRS = k(a + b) L PQRS = L PUTS + L UQRT = ka + kb k(a + b) = ka + kb engan menggunakan prinsip di atas maka hasil perkalian suku satu dengan suku dua dapat ditentukan seperti berikut. Jika k R, (a + b) dan (a b) adalah suku-suku dua, maka: k(a + b) = ka + kb (sifat distributif terhadap penjumlahan) k(a b) = ka kb (sifat distributif terhadap pengurangan) Perkalian Suku ua dengan Suku ua Untuk mengetahui sifat distributif untuk perkalian suku dua dengan suku dua perhatikan penjelasan Gambar.. Math Quiz arilah informasi dari buku-buku di perpustakaanmu, bagaimana bentuk pembuktian untuk k(a b) = ka kb 50 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

60 S R S c R a + b a a L L Gambar. PQRS b c d P c + d Q b P L L c d Q ontoh SOL engan menggunakan sifat distributif, tentukan hasil perkalian berikut. a. 5(a + b) c. (a + 5) (a + ) b. (a b) d. (a ) (a + ) Penyelesaian: a. 5(a + b) = 5a + 0b b. (a b) = a + b LTIHN. Hitunglah perkalian berikut ini. a. (a + b) f. (a b) b. (a c) g. (5 + d) c. (a + b) h. (a + 5) (a + ) d. 5(a c) i. (x 5) (x + ) e. 8(a b) j. (5x ) (x ) L PQRS = (a + b)(c + d) L PQRS = L + L + L + L = ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) (a + b) (c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd c. (a + 5) (a + ) = a(a + ) + 5(a + ) = a + 6a + 5a + 5 = a + a + 5 d. (a ) (a + ) = a(a + ) (a + ) = a + 8a a = a + 5a Setelah memahami contoh soal di atas, kerjakan latihan berikut ini.. (x + 5) m (x + 8) m Gambar di atas menunjukkan kebun kopi Pak odi. apatkah kalian menghitung luas kebun kopi Pak odi? Operasi entuk Pecahan ljabar Math Quiz Mengapa nilai b harus tidak sama dengan 0 pada pecahan a b? Jelaskan. Masih ingatkah kalian dengan pecahan yang telah kalian pelajari pada ab? entuk pecahan adalah a b dengan a, b bilangan bulat dan b 0. Pada pecahan tersebut a disebut pembilang dan b disebut penyebut. entuk pecahan aljabar adalah bentuk pecahan yang mengandung variabel, misalnya a b, xy x b, pq, dan yz. ab entuk ljabar 5

61 Penjumlahan dan Pengurangan Operasi penjumlahan dan pengurangan pada pecahan mula-mula dilakukan dengan menentukan KPK dari penyebut-penyebutnya. egitu pula halnya dengan operasi bentuk pecahan aljabar. Pertama-tama kita harus menentukan KPK dari penyebut-penyebut pecahan terlebih dahulu. Perhatikan bentuk berikut. a) KPK dari a dan 8b a = a faktorisasi prima dari a 8b = b faktorisasi prima dari 8b KPK = a b diambil faktor dengan = 6ab pangkat tertinggi b) KPK dari a bc, 6ab c, 8ab c a bc = a b c faktorisasi prima dari a bc 6ab c = a b c faktorisasi prima dari 6ab c 8ab c = a b c faktorisasi prima dari 8ab c KPK = a b c diambil faktor dengan = a b c pangkat tertinggi Pada penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar, penyebut dari pecahan aljabar itu harus sama. Pecahan yang penyebutnya berbeda harus disamakan terlebih dahulu dengan cara mencari KPK dari penyebutpenyebutnya seperti cara menentukan KPK di atas. Perhatikan contoh berikut ini. a) x x + = x b) b b b b b = = a a a a c) + = + a a a a = = a a a (KPK dari a dan a adalah a). d) b = a ab ab ab b = ab (KPK dari a dan ab adalah ab). 5 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

62 LTIHN. Selesaikanlah soal di bawah ini. a. b. c. a a a + a d. a e. 9 + a f. 5 a + a a a 5 a a 7. uatlah menjadi bentuk sederhana. a. b. c. + b d. a a y 9 x + y e. 5x f e e 5e + 7 9x x 8x 9 5d d d Perkalian dan Pembagian Pada ab kalian telah mempelajari operasi perkalian dan pembagian pada pecahan. ara menyelesaikan operasi pecahan dapat kalian terapkan untuk mengerjakan operasi pada pecahan aljabar. Pada perkalian bentuk pecahan aljabar, pembilang dikalikan dengan pembilang dan penyebut dikalikan dengan penyebut. a b c = d a c b d = ac bd Pada operasi pembagian bentuk pecahan aljabar cara menyelesaikannya adalah dengan mengubah terlebih dahulu operasi tersebut menjadi bentuk operasi perkalian seperti aturan berikut ini. ontoh SOL. Hitunglah perkalian berikut ini. a. a b Penyelesaian: a. b. a b 6a 5 7 5c b. 7 = 5c b = 7c a 0bc 8ab 5c 6a 5 b 7c a b c a d : = = d b c ad bc. Hitunglah pembagian berikut ini. a. a 5b Penyelesaian: a. b. a 5b a b c : b. d a b c a d : = d 5b c = x a y : = y b x = : x y 8ad 5bc 8ay 9bx Pemangkatan Untuk mementukan hasil pemangkatan pada pecahan bentuk aljabar, kamu perlu mengingat kembali arti pemangkatan suatu bilangan dan sifat perkalian pecahan berikut. ab entuk ljabar 5

63 n a = a a a a n faktor a b c = d a b c d Kedua sifat ini akan kamu gunakan secara bersama-sama untuk menentukan hasil pemangkatan dari pecahan bentuk aljabar pada latihan berikut. Salin dan isilah soal berikut.. a a a a = b b b b =. ab b c c = = =. x ab ab = x : : = : = = Setelah mengerjakan soal di atas, apa yang dapat kamu simpulkan mengenai pemangkatan pecahan bentuk aljabar? iskusikan dengan teman-temanmu. LTIHN 5. uatlah menjadi bentuk paling sederhana. a. b. a b ab d a c. b 6d d. a bcd 5ac 5abde ac 5ac 8bc adc 5b. uatlah menjadi bentuk paling sederhana. a. b. ac 6bc : c. 6a 9ac 8 c : d. ac a c : 5bd 7bd xy 5ac 8xy : 7ac. Selesaikan operasi berikut. a. b. c. d. ( x + y) a a ( x + y) ( a + c) 7( a + c) : bd 8bd x ab ab : x 8xyz 6p 7pq 5xy 5 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

64 Menyelesaikan Soal-Soal entuk ljabar i depan telah disebutkan bahwa ada banyak permasalahan sehari-hari yang dapat dipecahkan dengan matematika. Untuk melakukan pemecahan masalah, langkah yang pertama adalah mengubahnya dulu menjadi model matematika, kemudian menuliskan menjadi bentuk aljabar untuk diselesaikan. Perhatikan contoh soal berikut ini. ontoh SOL. ndi mempunyai simpanan uang di kotak celengan sebanyak lima kali simpanan uang di dalam celengan Lusi. Jika uang ndi adalah Rp ,00, berapakah uang Lusi? Penyelesaian: Misalkan uang Lusi adalah a rupiah, maka model matematikanya adalah: 5a = a = = Jadi uang simpanan di dalam celengan Lusi adalah Rp00.000,00.. iketahui sebuah bola besi dijatuhkan dari suatu tempat yang tinggi. Kecepatan bola besi (v m/detik) setelah t detik dinyatakan dengan rumus v = 0t. Hitunglah kecepatan bola besi saat 0 detik. Penyelesaian: v = 0t = 0 0 (t diganti dengan 0) = 00 Jadi kecepatan bola besi saat 0 detik adalah 00 m/detik. LTIHN 6. Panjang sebuah persegi panjang adalah (x 5) cm dan lebarnya (x + ) cm. Tentukan: a. keliling persegi panjang tersebut dalam x, b. untuk nilai x = 0 cm, hitunglah keliling persegi panjang tersebut.. Tabungan Joko di sekolah berjumlah Rp0.000,00. Jika dua kali tabungan Santi ditambah Rp0.000,00 sama dengan besar tabungan Joko, berapakah tabungan Santi?. iketahui ada dua bilangan bulat yang berselisih 5. ila jumlah kedua bilangan tersebut adalah 7, tentukanlah: Setelah memahami contoh soal di atas, jawablah soalsoal pada latihan berikut ini. a. kedua bilangan tersebut, b. hasil kali kedua bilangan.. iketahui nilai sebuah bilangan adalah empat kali nilai bilangan yang lain. Hasil kali keduanya adalah 6. Tentukan selisih kedua bilangan tersebut. 5. iketahui sebuah segitiga sama kaki. Panjang salah satu sisi yang sama adalah (x ) cm. Panjang sisi yang lain adalah cm. Tentukan: a. panjang x jika diketahui keliling segitiga adalah cm; b. luas segitiga tersebut. ab entuk ljabar 55

65 . Sebuah kereta api bergerak dengan kecepatan v = 5t m/detk. t menyatakan waktu dalam detik dan v menyatakan kecepatan dalam meter/detik. Tentukan: a. kecepatan kereta saat t = detik, b. kecepatan kereta saat t = detik.. iketahui keliling persegi panjang 60 cm. Panjangnya (x + ) cm, dan lebarnya (x ) cm. Tentukan: a. persamaan keliling dalam x dan hitunglah nilai x tersebut; b. panjang dan lebar persegi panjang tersebut. RNGKUMN. Pada bentuk aljabar x x + 5, berlaku: merupakan koefisien x merupakan koefisien x 5 merupakan konstanta. Variabel (peubah) adalah suatu kuantitas pada bentuk aljabar yang nilainya dapat berubah-ubah dan biasanya dilambangkan dengan huruf.. Suku-suku sejenis adalah suku yang variabel dan pangkat variabelnya sama.. Suatu suku dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika suku-suku tersebut sejenis. 5. Perkalian suku satu dengan suku dua mengikuti aturan: a (b + c) = (a b) + (a c) a (b c) = (a b) (a c) 6. Operasi yang dapat dilakukan pada bentuk aljabar adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pangkat. 7. Pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar pecahan, penyebut-penyebutnya harus disamakan terlebih dahulu dengan menentukan KPK-nya. 56 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

66 Pilihan ganda Uji Kompetensi ab erilah tanda silang ( ) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar.. entuk sederhana dari a(x b) adalah... a. ax + 6ab c. ax 6ab b. ax + 6ab d. ax 6ab. Jika (x y) dijumlahkan dengan (x + y) maka hasilnya adalah... a. x y c. 9x + 5y b. x + y d. 9x 5y. Jika a =, b =, dan c = 5, maka nilai a b + c adalah... a. 7 c. 9 b. d. 9. KPK dari 0pq dan 8p q adalah... a. 90p q c. 80p q b. 90p q d. 80p q 5. FP dari x y dan 6x 5 y adalah... a. 6x 5 y c. x 5 y b. 6x y d. x y 6. Jika = x 9y dan = x + 6y maka adalah... a. 8x y c. 6x y b. 8x 5y d. 6x 5y 7. Jika 9ab bc ac dikurangkan dengan 7ab + 5bc ac, maka hasilnya adalah... a. ab + bc ac c. ab + bc b. 6ab + 8bc d. 6ab 8bc 8. (x y 6x y) : xy disederhanakan menjadi... a. xy x y c. xy x b. xy xy d. x y x 9. entuk sederhana dari x + 5 x adalah... a. b. x x + 9 c. d. x Jika ( a 5b) = 5b + a + p, maka nilai p adalah... a. 0ab c. 0ab b. 0ab d. 0ab. ila a + b = 0 maka a + b =... ab a. c.. b. d. (x ) (x + ) =... a. b. x 5 c. x x 7 d. x 7. Sebuah persegi panjang berukuran panjang (5x ) cm dan lebar (x 7) cm. Luas persegi panjang tersebut adalah... cm. a. 0x 7x + b. 0x x + c. 0x 7x d. 0x x. Hasil dari a. b. 6 7 ab d 8 ab 6d ab =... d 5. Suku yang sejenis dari: 6 7 c. ab 6d 8 d. ab 6d 7ab a b + 5ab a b adalah... a. a b dan 5ab b. 7ab dan 5ab c. 7ab dan a b d. a b dan a b Uji Kompetensi ab 57

67 Esai Selesaikanlah soal-soal di bawah ini.. Jumlahkanlah soal berikut. a) x y, x y, dan 5x y 5 b) x y, x y 5, dan x y 6 c) 5a b, a + b 5, dan a b d) a b + 7, 5a + b, dan 6a + b. Sederhanakanlah soal berikut. a) (a + b) (a b) + (a b) b) 5(a b) (a b) 5(a + b). Jika a =, b =, dan c =, hitunglah: a) b) a + b c ( a + b) ( a + c) a. Jika = a 5ab, = 7ab b b, dan = a + ab 7b, hitunglah engan menggunakan sifat distributif hitunglah nilai dari: a. 7 b engan menggunakan sifat: x a = (x + a) (x a), hitunglah nilai dari: a. 6 7 b Selesaikan soal-soal berikut ini. a. b. ab + c a b 9 0 d =... a a a... = b b b iketahui nilai x = (a + b c) dan y = ( a b + c). Tentukan nilai x y. 9. Tujuh tahun yang lalu umur seorang anak 5 dari umur ayahnya. tahun yang akan datang umur ayahnya kali umur anak. Tentukan umur anak sekarang. 0. Sederhanakan bentuk berikut ini. 0( 5 ( x (x ))) x = Matematika SMP dan MTs Kelas VII

68 Sumber: Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Tujuan Pembelajaran Memahami perbedaan kalimat terbuka dan kalimat pernyataan Mengenal persamaan linear satu variabel dan sifat-sifatnya Mengenal pertidaksamaan linear satu variabel dan sifat-sifatnya Menggunakan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel dalam pemecahan masalah sehari-hari. S ebelum mempelajari materi pada bab ini, kalian perlu mengingat kembali tentang operasi hitung pada bilangan bulat dan pecahan, serta operasi hitung pada bentuk aljabar. Materi tersebut menjadi dasar untuk mempelajari materi pada bab ini. Penerapan materi bab ini dalam kehidupan sehari-hari sangatlah banyak, salah satunya seperti terlihat pada gambar di atas. Pak Jati ingin membangun rumah. Untuk itu, ia ingin membeli bata merah sebagai bahan baku tembok rumahnya nanti. Ia memiliki dana untuk membeli bata merah sebanyak Rp ,00. Harga satu bata merah adalah Rp00,00. erapakah jumlah bata merah yang dapat dibeli Pak Jati? Untuk menjawab soal di atas, kamu harus mempelajari terlebih dahulu konsep persamaan linear satu variabel. pakah yang dimaksud dengan persamaan linear? Selain persamaan linear satu variabel, kalian juga akan diperkenalkan dengan konsep ketidaksamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. agaimanakah konsep tersebut diterapkan dalam kehidupan sehari-hari? Mari kita pelajari bab ini dengan saksama. ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 59

69 . Hitunglah hasilnya. a. 7x 5x c. 0a + ( 5)a b. 6y ( y) d. b 6b. Hitunglah hasilnya. a. x : x b. y : ( 7)y c. (5a : 5a) (8b : ( )b) Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut. Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) Sebelum kita masuk ke pembahasan persamaan linear, kita harus mengetahui lebih dahulu jenis-jenis kalimat dalam matematika. Jenis kalimat yang dapat menggunakan persamaan linear adalah kalimat terbuka. Kalimat Terbuka oba kalian perhatikan kalimat-kalimat di bawah ini. a. Sebuah bilangan ditambah lima hasilnya 8. b. 7x = 8 c. Sebuah bilangan dibagi hasilnya 8. d. d 5 = ari kalimat-kalimat tersebut, adakah kalimat yang dapat langsung ditentukan benar atau salah? Jika kesimpulan kalian, Kalimat di atas belum bisa ditentukan benar atau salahnya, maka kalian benar. Kalimat-kalimat seperti di atas disebut kalimat terbuka. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Kalimat Pernyataan Perhatikan lagi beberapa kalimat berikut. a. + = 5 b. Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia. c. Ular bisa terbang. d. 5 7 = 5 Kalimat-kalimat tersebut langsung dapat kita tentukan benar atau salahnya. Kalimat a dan b adalah kalimat yang bernilai benar, sedangkan c dan d adalah kalimat yang bernilai salah.. Selesaikanlah soal berikut. a. 5x c. 7a ( 5) + a b. ( ) 6y. Selesaikanlah soal berikut. a. 5 x c. a b. 8y : d. 5 x : 60 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

70 Jadi, dapat kita simpulkan sebagai berikut. Pernyataan adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan nilai kebenarannya. LTIHN. ari pernyataan di bawah ini, manakah yang merupakan kalimat yang bernilai benar? a. Jakarta adalah ibu kota Republik Indonesia. b. atas Malaysia dan Indonesia adalah Selat Malaka. c. Pulau Kalimantan lebih besar daripada Pulau Papua (Irian). d. alam satu minggu terdapat tujuh hari.. ari soal-soal berikut, tentukan yang merupakan kalimat benar atau kalimat salah. a. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan ganjil. b. Hasil kali dua bilangan genap adalah bilangan prima. c. Hasil kali dua bilangan ganjil selalu ganjil. d. Jumlah 8 dan 6 adalah. e. Jumlah dua bilangan prima yang lebih dari lima selalu ganjil.. uatlah masing-masing 5 kalimat terbuka dan kalimat pernyataan. Pengertian Persamaan Linear Satu Variabel oba kalian perhatikan dua kalimat terbuka di bawah ini. a. x + = 8 b. y 5 = Kedua kalimat terbuka di atas menggunakan tanda hubung = (sama dengan). Kalimat terbuka seperti itu disebut persamaan. Pada persamaan di atas, setiap variabelnya berpangkat satu. Persamaan yang demikian disebut persamaan linear. Karena kedua persamaan linear tersebut juga hanya memiliki satu variabel, yaitu x dan y, maka persamaan-persamaan yang demikian disebut persamaan linear satu variabel (PLSV). Persamaan linear satu variabel dengan variabel x dan konstanta b secara umum memiliki bentuk ax + b = 0. erikut ini contoh beberapa persamaan lain. a. x + y = (persamaan linear dua variabel) b. x + x = (persamaan kuadrat satu variabel) c. x + y = (persamaan kuadrat dua variabel) Persamaan linear adalah kalimat yang memiliki hubungan sama dengan (=) dan variabelnya berpangkat satu. ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 6

71 Penyelesaian Persamaan Linear Satu Variabel a. Penyelesaian PLSV dengan ara Substitusi ara penyelesaian PLSV dengan substitusi adalah dengan mengganti variabelnya dengan nilai-nilai pengganti yang telah ditentukan sehingga persamaan menjadi kalimat benar. Nilai pengganti yang membuat PLSV bernilai benar disebut penyelesaian dari PLSV atau dapat juga disebut sebagai akar dari PLSV tersebut. ontoh SOL Tentukan penyelesaian dari persamaan x + 6 = 9, x adalah himpunan bilangan cacah dan tentukan pula akar PLSV serta himpunan penyelesaiannya. Penyelesaian: Untuk x =, maka + 6 = 7 (salah) Untuk x =, maka + 6 = 8 (salah) Untuk iingat Persamaan linear satu variabel hanya mempunyai satu buah penyelesaian. Jika persamaan linear satu variabel tersebut berbentuk ax + b = 0, maka penyelesaiannya x = b a. Untuk x =, maka + 6 = 9 (benar) Untuk x =, maka + 6 = 0 (salah) x = merupakan penyelesaian x + 6 = 9 x = merupakan akar PLSV x + 6 = 9 Hp = {} Jadi, akar dari PLSV x + 6 = 9 yang merupakan himpunan penyelesaian adalah x =. Tugas Siswa Siswa di kelas dibagi menjadi kelompok untuk menyelesaikan tugas berikut. Tentukan penyelesaian persamaan x + = 8, x adalah himpunan bilangan bulat positif kurang dari dengan cara substitusi seperti contoh di atas. Kelompok : Mengganti x dengan bilangan sampai 0 Kelompok : Mengganti x dengan bilangan sampai 0 Kelompok : Mengganti x dengan bilangan sampai 0 a. engan mengamati jawaban-jawaban kelompokmu, apakah diperoleh nilai pengganti sehingga x + = 8 menjadi kalimat benar? b. pakah yang dapat disimpulkan tentang penyelesaian dari persamaan x + = 8, x adalah bilangan bulat positif kurang dari? LTIHN. Tentukanlah pernyataan yang benar dari soal berikut ini. a. x + 0 =, nilai x yang memenuhi adalah b. x =, nilai x yang memenuhi adalah c. =, nilai x yang memenuhi x adalah 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

72 . Tentukanlah nilai x yang memenuhi dari persamaan berikut, untuk x adalah bilangan cacah. a. x + = 7 c. x = 8 b. x = d. = + x. Tentukanlah penyelesaian dari persamaan berikut dengan cara substitusi. a. x + = x + 6 b. x = x + 0 c. x = x 5 d. x = x + 6 x (a) persamaan x + 6 = x x 9 9 (b) persamaan x + = x x 9 9 b. Persamaan Setara Perhatikan persamaan-persamaan berikut ini beserta ilustrasinya berupa neraca dalam keadaan seimbang. Neraca dalam keadaan seimbang tersebut menunjukkan ruas kiri sama dengan ruas kanan. ) x + 6 = 5 Jika x diganti dengan 9, maka persamaannya menjadi = 5, yang merupakan kalimat benar. Jadi, penyelesaiannya adalah x = 9. ) x + = 0 Jika x diganti dengan 9, maka persamaannya menjadi 9 + = 0, yang merupakan kalimat benar. Jadi, penyelesaiannya adalah x = 9. ) x + 8 = 6 Jika x diganti dengan 9, maka persamaannya menjadi = 6, yang merupakan kalimat benar. Jadi, penyelesaiannya adalah x = 9. Ketiga persamaan seperti di atas memiliki penyelesaian yang sama. Persamaan-persamaan seperti itu disebut persamaan yang setara. Persamaan yang setara adalah persamaan yang mempunyai penyelesaian yang sama. (c) persamaan x + 8 = 6 c. Penyelesaian PLSV Menggunakan entuk Setara Gambar. Selanjutnya, kita akan mempelajari cara menyelesaikan PLSV dengan menggunakan bentuk setara. Untuk itu, perhatikan penjelasan berikut. ) Kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama x + 5 =, x diganti dengan 6 menjadi = (kalimat benar). Penyelesaiannya adalah x = 6. x = 5 (kedua ruas dikurangi 5) x = 6 Penyelesaiannya adalah x = 6 Jadi, x + 5 = adalah persamaan yang setara dengan x = 5. ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 6

73 x 8 = 5, x diganti dengan 7 menjadi 7 8 = 5 (kalimat benar). Penyelesaiannya adalah x = 7. x = (kedua ruas ditambah 8) x = 7 Penyelesaiannya adalah x = 7 Jadi, x 8 = 5 adalah persamaan yang setara dengan = erdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan hal berikut. Setiap persamaan tetap setara (ekuivalen) jika kedua ruas persamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama. ontoh SOL. Tentukan penyelesaian atau akar dari x 8 = 5. Penyelesaian: x 8 = 5 x = x = Sebagai ilustrasi dari proses penyelesaian persamaan x 8 = 5, perhatikan gambar berikut ini. (b) Neraca lebih berat ke kiri, karena beban di kiri ditambah 8, sedangkan beban di kanan tetap (tidak ditambah). (c) Neraca seimbang kembali, karena beban di kiri ditambah 8 dan di kanan juga ditambah 8. Jadi, supaya tetap setara, beban di sebelah kiri maupun kanan harus ditambah atau dikurangi dengan beban yang sama. Hal seperti ini juga berlaku untuk persamaan. x 8 5 x 8 5 (a) x 8 8 x (b) 5 5. Tentukan nilai y dari persamaan linear satu variabel y + 8 =. Penyelesaian: y + 8 = y = 8 y = 0 Jadi, nilai y = 0 x x (c) Gambar. Keterangan: (a) Neraca dalam keadaan seimbang, beban x 8 sama dengan beban 5 di kanan.. Tentukan penyelesaian dari persamaan linear satu variabel x + = x. Penyelesaian: x + = x x + = x x = x 6 x x = x 6 x x = 6 Jadi, penyelesaiannya x = 6 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

74 LTIHN. Tentukan penyelesaian dari setiap persamaan berikut menggunakan bentuk setara. a. x + 5 = 6 e. 8 = + a b. w = f. 9 = + t c. 6 + m = 6 g. 9a + 5 = a + d. 5 + a = 5 h. x = 7x. Untuk menyelesaikan persamaan x + = 5, ndi mengurangi ruas kiri persamaan tersebut dengan. engan demikian, ndi memperoleh penyelesaian x = 5. enarkah penyelesaian yang diperoleh ndi? Jelaskan dan berikan alasanmu! ) Kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan yang sama EGIT K N Lakukanlah kegiatan berikut selama teman kelompokmu.. a. a = 0, tentukan penyelesaiannya dengan cara substitusi. b. a = 0, tentukan penyelesaiannya dengan kedua ruas dibagi. pakah persamaan a = 0 adalah persamaan yang setara dengan a : = 0 :?. a. x = 5, tentukan penyelesaiannya dengan cara substitusi. b. x = 5, tentukan penyelesaiannya dengan kedua ruas dikali. pakah persamaan x = 5 adalah persamaan yang setara dengan x = 5? erdasarkan hasil jawaban kegiatan no dan dapat disimpulkan berikut. Setiap persamaan tetap setara (ekuivalen) jika kedua ruas persamaan dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama. ontoh SOL Tentukan penyelesaian dari persamaan linear satu variabel berikut. a. t = c. x + = x b. 5x = Penyelesaian: a. t = t = (kedua ruas dikali ) t = 6 Jadi, penyelesaiannya t = 6. ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 65

75 b. 5x = 5x : 5 = : 5 (kedua ruas dibagi 5) x = 5 x = 0 Jadi, penyelesaiannya x = 0. c. x + = x x + + x = x + x (kedua ruas ditambah x) x + = x + = (kedua ruas dikurangi ) x = 9 x : = 9 : (kedua ruas dibagi ) x = Jadi, penyelesaiannya x =. LTIHN. Tentukanlah penyelesaian persamaan berikut ini. a. x = 9 f. x = b. x = g. x + = 0 c. 6 = 8x h. x 7 = 0 d. c = i. a = a e. 9 m = 9 j. (x + ) + (x ) = 9. Tentukan penyelesaian setiap persamaan berikut. a. 5(a ) = 5 b. 8 + (x + ) = c. x [6 ( x)] = 0 d. [ (r + )] + r = 0. uatlah 5 buah PLSV yang penyelesaiannya adalah. K EGIT N Kerjakan bersama teman sebangkumu. Hubungan antara derajat Fahrenheit ( F) dan derajat elsius ( ) ditulis dalam bentuk F = a. arilah penyelesaian persamaan untuk dalam bentuk F. b. erapa jika suhu menunjukkan 86 F? obalah kalian cari hubungan antara derajat yang lain, misalnya Reamur ( R) dengan atau F. Tuliskan jawabanmu pada lembar plastik transparansi. engan menggunakan OHP presentasikan di depan kelas (kalian dapat mencari informasinya dari buku-buku yang ada di perpustakaan sekolahmu). c. plikasi KPK pada Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV) Sekarang, bagaimana jika PLSV yang diberikan berbentuk pecahan? Untuk persamaan linear satu variabel (PLSV) bentuk pecahan, penyelesaian dapat dilakukan dengan menyamakan terlebih dahulu penyebut-penyebut pecahan 66 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

76 LTIHN 7. Tentukan nilai variabel dari persamaanpersamaan berikut ini. a. 5 x x = 9 b. 9 x + = x c. 7 x 0 = x d. x = x 5 e. f. 7( x ) = 6x x = + tersebut. Misalkan terdapat PLSV x + x = 5. Untuk menyelesaikan PLSV ini dapat dilakukan dengan menyamakan penyebutnya. KPK dari dan adalah 6, sehingga: x x + = 5 5x 5 5 : = 5 : x x + = 5 5x = x = 5 x = 6 6 atau dapat juga dilakukan dengan cara seperti berikut. 6 x + x = 5 x x 6 + = 6 5 x + x = 0 5x = 0 5x : 5 = 0 : 5 x = 6 g. h. i. j. (kalikan kedua ruas persamaan dengan KPK dari kedua penyebut) (kedua ruas dibagi 5) 9x x 5x + = + x + 8 [ ( x )] = 8 9x 5( x ) 7( x ) = 8 9 x 5x 6x 8 = + 6. ersama teman sebangkumu pergilah ke perpustakaan sekolah. arilah informasi dari buku-buku yang ada mengenai cara menyelesaikan PLSV dengan grafik. iskusikan dengan teman-temanmu mengenai cara tersebut. 6 d. plikasi Persamaan Linear Satu Variabel ) Menerjemahkan Soal erita menjadi Persamaan Linear Satu Variabel alam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai persoalanpersoalan yang harus diselesaikan secara matematis. Untuk ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 67

77 menyelesaikan soal-soal berbentuk cerita, langkah yang perlu dilakukan adalah mengubahnya terlebih dahulu ke dalam bentuk kalimat matematika. Jika kita membeli buah apel dengan harga Rp6.000,00 maka kita dapat mengubahnya ke bentuk kalimat matematika x = 6.000, dengan x adalah buah apel. Misalkan jumlah uang ni dan mir adalah Rp50.000,00. Jika uang ni = x, maka uang mir = x. ontoh SOL. Tuliskanlah masing-masing kalimat terbuka berikut ke dalam bentuk persamaan. a. ditambah b adalah 0. b. Tiga kali x ditambah 5 menghasilkan. Penyelesaian: a. + b = 0 b. x + 5 =. Gunakan variabel a untuk menyatakan dua bilangan berikut. Jumlah dua bilangan 0. Jika bilangan pertama = a, tentukanlah bilangan kedua. Penyelesaian: ilangan I = a ilangan II = 0 a LTIHN 8. Misalkan sebuah bilangan dinyatakan dengan a. Nyatakan kalimat matematika berikut dengan a. a. 8 lebih dari bilangan tersebut. b. 0 kurang dari bilangan itu. c. kali bilangan itu.. Jika bilangan pertama x, nyatakan bilangan kedua dalam x, pada kalimatkalimat terbuka berikut ini. a. Lebih lima dari bilangan pertama. b. Kurang lima dari bilangan pertama. c. ua kali bilangan pertama. d. Tiga kurang dari dua kali bilangan pertama.. Sebuah bilangan dinyatakan dengan a. Tentukan bilangan lain (dinyatakan dalam a), pada kalimat-kalimat terbuka berikut ini. a. 5 lebihnya dari setengah bilangan itu. b. kurangnya dari dua kali bilangan itu. c. kali bilangan itu dikurang lima.. a. iketahui suatu bilangan a. Nyatakanlah 5 lebihnya dari sepertiga bilangan itu. b. iketahui suatu bilangan a. Nyatakanlah bilangan a ditambah 6 sama dengan lima kali bilangan a dikurangi. 5. Gunakan variabel a untuk menyatakan dua bilangan yang diketahui: a. jumlahnya 5, b. selisihnya 5, c. perbandingannya : 5, dan d. hasil kalinya 5. ) Penyelesaian Soal erita yang erkaitan dengan PLSV Untuk menyelesaikan soal cerita yang memuat bentuk persamaan linear satu variabel (PLSV), ada beberapa langkah yang bisa digunakan, yaitu: 68 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

78 ontoh SOL a. terjemahkan/modelkan soal cerita tersebut menjadi kalimat terbuka, dan b. gunakan prinsip-prinsip persamaan yang setara untuk menentukan penyelesaiannya.. Seorang ayah berumur 0 tahun ketika anaknya lahir. erapakah umur anak itu ketika jumlah umur mereka 8 tahun? Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini, dimisalkan umur anak = x dan umur ayah = x + 0. Jumlah umur anak + ayah = 8 x + x + 0 = 8 x + 0 = 8 x = 8 0 x = 8 x = Jadi, umur anak adalah tahun.. ua bilangan berselisih 5. Jika kali bilangan yang besar dikurangi bilangan yang kecil adalah 75, tentukanlah bilangan itu. Penyelesaian: Misal bilangan yang nilainya besar = x, bilangan yang nilainya kecil = x 5. bilangan besar bilangan kecil = 75 x (x 5) = 75 x x + 5 = 75 x + 5 = 75 x = 75 5 = 50 engan demikian, kita peroleh: bilangan yang besar = x = 50 bilangan yang kecil = x 5 = 50 5 = 5 LTIHN 9. Jumlah dua bilangan adalah 80, sedangkan selisihnya adalah. Tentukanlah kedua bilangan tersebut.. Jumlah dua bilangan adalah 5. ilangan yang satu empat kali bilangan lainnya. Tentukanlah bilangan-bilangan itu.. Selisih dua bilangan adalah 0. Jika empat kali bilangan terbesar dikurangi enam kali bilangan terkecil adalah 0, tentukanlah bilangan-bilangan itu.. Seseorang berumur 8 tahun ketika anaknya lahir. Tentukanlah umur anaknya, jika jumlah umur mereka adalah 60 tahun. 5. Seorang ayah membagi sejumlah uang kepada empat anaknya. nak pertama, kedua, dan ketiga masing-masing mendapat 5,, dan bagian. Jika anak keempat mendapat Rp5.000,00, tentukan- lah besar uang yang diterima tiga anak yang lain. 6. Seorang ayah berusia 0 tahun ketika anaknya lahir. Tentukanlah umur anaknya ketika jumlah umur mereka 50 tahun. 7. Seorang pedagang kain membeli dua macam kain dengan harga Rp6.000,00. Kain yang pertama dibeli dengan harga Rp.500,00 per m dan kain yang kedua dibeli dengan harga Rp.00,00 per m lebih mahal. Kain yang kedua dibeli kali lebih banyak dari kain yang pertama. erapa meter panjang tiap-tiap kain yang dibeli? ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 69

79 K EGIT Tugas Siswa. mbillah sebuah kertas kemudian ukurlah panjang kertas dengan sebuah penggaris.. Setelah kamu mencatat panjang kertas tersebut, lalu lipatlah kertas itu sehingga panjang kertas terbagi menjadi bagian yang sama.. uatlah persamaan linear satu variabel untuk menghitung panjang kertas setelah dilipat menjadi bagian yang sama.. Gunakan prinsip-prinsip persamaan yang setara untuk menentukan penyelesaiannya. 5. Periksalah jawaban penyelesaian dari PLSV itu, dengan mengukur panjang kertas setelah dilipat menggunakan penggaris. N. Perhatikan gambar di bawah ini. Gelas I berisi air sebanyak 6 liter. Gelas II dapat diisi air sebanyak liter dan gelas III dapat diisi air sebanyak liter. Tentukan cara agar dapat membagi 6 liter air di gelas I menjadi bagian yang sama (8 liter) dengan menggunakan ketiga gelas yang ada. I 6l II l III l. Perhatikan gambar di bawah ini. Gelas I berisi air sebanyak 8 liter, gelas II dapat diisi air sebanyak 8 liter, dan gelas III dapat diisi air sebanyak 7 liter, gelas IV dapat diisi air sebanyak liter. Tentukan cara agar dapat membagi 8 liter air di gelas I menjadi tiga bagian yang sama (6 liter) dengan menggunakan keempat gelas yang ada. 8l I II 8l III 7l IV l e. Tanda Ketidaksamaan Pernahkah kalian mengamati salah satu rambu-rambu lalu lintas seperti Kecepatan maks 50 km/jam? agaimana kalian menuliskan peringatan di atas ke dalam bentuk kalimat matematika? 70 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

80 Jika kalian datang ke suatu bioskop, biasanya terdapat tulisan 5 tahun ke atas bayar penuh. apatkah kalian menuliskan kalimat matematikanya juga? ) Penggunaan Tanda Ketidaksamaan Tahukah kamu bahwa tidak semua pernyataan bisa dituliskan dengan menggunakan tanda hubung =? Selain menggunakan tanda hubung =, beberapa tanda hubung lainnya juga sering digunakan dalam pernyataan antara lain <, >,, dan. Tanda-tanda hubung tersebut <, >,, dan, masingmasing dibaca kurang dari, lebih dari, kurang dari atau sama dengan, dan lebih dari atau sama dengan. Misalkan a adalah suatu bilangan kurang dari b, maka ditulis a < b (dibaca a kurang dari b). Sebaliknya, jika a lebih dari b dapat ditulis: a > b (dibaca a lebih dari b) Perhatikan bentuk-bentuk seperti 5 >, <, dan > 5. entuk-bentuk tersebut merupakan bentuk ketidaksamaan tak bersyarat atau ketidaksamaan mutlak, karena bentuk seperti ini akan selalu bernilai benar. Ketidaksamaan mutlak lebih dikenal dengan istilah ketidaksamaan saja. Jika a tidak sama dengan b, maka dapat ditulis a b. Untuk sembarang nilai a dan b maka akan berlaku salah satu hubungan sebagai berikut. a < b; a = b; dan a > b Sifat-Sifat Ketidaksamaan eberapa sifat ketidaksamaan dengan a, b, dan c adalah bilangan positif. a. Jika a > b, maka a + c > b + c. b. Jika a > b, maka a c > b c. c. Jika a > b, maka a c > b c. d. Jika a > b, maka a : c > b : c. e. Jika a > b, maka a ( c) < b ( c). f. Jika a > b, maka a : ( c) < b : ( c). ontoh: iketahui a = 0, b = 8, dan c = erlaku 0 > 8 sehingga: 0 + > > 8 0 > 8 0 : > 8 : 0 ( ) < 8 ( ) 0 : ( ) < 8 : ( ) ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 7

81 ) plikasi Tanda Ketidaksamaan alam kehidupan sehari-hari pengertian ketidaksamaan tidak secara tertulis dapat dilihat. anyak pengertian dari ketidaksamaan terpampang atau tertulis dalam bentuk tanda-tanda. Tanda tersebut dapat berupa tanda peringatan marka jalan seperti 80 km, artinya kecepatan kendaraan tidak boleh lebih dari 80 km/jam atau tanda,5 m, artinya tinggi kendaraan tidak boleh lebih dari,5 m. da juga tanda 5 ton yang artinya kendaraan yang beratnya lebih dari 5 ton dilarang lewat atau berat kendaraan harus kurang dari 5 ton. ontoh SOL. Tuliskan tanda ketidaksamaan pada soalsoal berikut. a c b d Penyelesaian: a. 5 < 9 b. 5 < 5 c. 7 < d. > 6 7. Untuk lulus ujian (L) seorang siswa harus mendapat nilai lebih dari 6. Nyatakanlah pernyataan tersebut dalam bentuk pertidaksamaan. Penyelesaian: L > 6 Setelah mengetahui konsep ketidaksamaan, lakukanlah latihan berikut ini. LTIHN 0. Isilah dengan tanda < atau >. a b c d e f g h. 70% i. 05,... 5 j. 7 5, Nyatakan bentuk berikut dengan menggunakan tanda ketidaksamaan. a. Sebuah lift (L) dapat mengangkat beban tidak lebih dari,5 ton. b. atas seorang anak diterima di sekolah (S) harus berumur lebih dari 5 tahun tetapi kurang dari 7 tahun. c. Untuk diterima di sebuah perusahaan, seorang laki-laki (L) harus mempunyai tinggi minimal,7 m. d. Untuk dapat lulus pada sebuah tes (T), seorang siswa harus dapat 7 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

82 mengerjakan dengan benar paling sedikit 5 soal dan harus benar. e. erat ideal seorang atlet () tinju untuk suatu kelas di antara 57,5 kg dan 60 kg.. Nyatakanlah benar atau salah pernyataan-pernyataan berikut ini. a. + 5 > b. 5 9 < 6 c. 7 > 7 d. 5 < e. 6 km > 50 hm. Susunlah pernyataan-pernyataan di bawah ini menjadi sebuah ketidaksamaan. a. < 5 dan 5 < 7 b. < dan < c. 7 < dan 9 < d. < dan 6 < Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV) Setelah mengetahui bentuk persamaan linear dan prinsip ketidaksamaan dalam matematika, kini kita akan belajar bentuk pertidaksamaan linear satu variabel. Pengertian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Kalian telah mengetahui konsep ketidaksamaan pada pembahasan sebelumnya. Jika tanda hubung (=) pada persamaan linear satu variabel kita ganti dengan salah satu tanda ketidaksamaan (bisa <, >,, atau ) maka bentuknya menjadi pertidaksamaan linear satu variabel. Pertidaksamaan linear satu variabel adalah kalimat matematika yang menggunakan tanda ketidaksamaan dan variabelnya berpangkat satu. erikut ini diberikan beberapa pertidaksamaan. a. x + < c. x + y > 5 b. x + 5 > d. 6 + x > x engan memahami definisi pertidaksamaan linear satu variabel, maka dari beberapa contoh pertidaksamaan linear di atas kita dapat menentukan manakah yang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel atau bukan. Pertidaksamaan a adalah pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV). Pertidaksamaan b bukan pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV), karena variabelnya pangkat (kuadrat). Pertidaksamaan c bukan pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV), karena ada variabel (x dan y). ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 7

83 Pertidaksamaan d bukan pertidaksamaan linear satu variabel (PtLSV), karena variabelnya ada yang berpangkat dan ada yang berpangkat. Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dengan Substitusi Penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dapat dilakukan dengan berbagai cara. ara yang termudah adalah dengan mensubstitusi atau mengganti variabel dengan bilangan-bilangan tertentu. Perhatikan pertidaksamaan x + 5 > 7. Untuk mendapatkan penyelesaian dari x caranya dengan mensubstitusi bilangan-bilangan tertentu. Untuk x = maka + 5 > 7 (salah) x = maka + 5 > 7 (salah) x = maka + 5 > 7 (benar) x = maka + 5 > 7 (benar) x = 5 maka > 7 (benar) Jadi, penyelesaiannya adalah,, 5,... dan seterusnya. Penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel biasa dinyatakan dengan himpunan penyelesaian. Untuk penyelesaian pertidaksamaan di atas dapat ditulis dengan HP = {,, 5,...}. ontoh SOL Jika x adalah bilangan asli kurang dari dan x + 6 > 0, tentukanlah penyelesaian dari x. Penyelesaian: Untuk x = maka + 6 > 0 (salah) x = maka + 6 > 0 (salah) x = maka + 6 > 0 (salah) x = maka + 6 > 0 (salah) x = 5 maka > 0 (benar) x = 6 maka > 0 (benar) x = 7 maka > 0 (benar) x = 8 maka > 0 (benar) x = 9 maka > 0 (benar) x = 0 maka > 0 (benar) Jadi, HP = {5, 6, 7, 8, 9, 0}. LTIHN. ari pernyataan di bawah ini, manakah yang merupakan pertidaksamaan linear satu variabel? a. x + < 5 c. x + 5 b. + 7 > d. 6 x + < e. f. g. x + > x h. x + y < 6x < 6 i. x > y x 5 x 6 < j. x + y < 6 7 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

84 . Tentukanlah nilai x dari pertidaksamaan berikut untuk x bilangan bulat. a. x + > c. 0 + x < 5 b. x < 9 d. 5 x >. Tentukanlah himpunan penyelesaian untuk y bilangan bulat lebih dari pada pertidaksamaan berikut ini. a. b. y + < 5 c. y + 5 > 6 y < d. 5 y >. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari a, dengan a bilangan asli kurang dari pada pertidaksamaan berikut ini. a. a 8 > c. 7 + a > 5 b. 6a + < 5 d. 0 a < 5. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari m, jika m bilangan asli untuk pertidaksamaan berikut. a. 0 m + < c. 6 m + < 0 b. m 5 m 5 < 5 LTIHN. Manakah yang setara dengan x > 8? a. x > 0 e. x > 6 b. x > f. x > c. x < 8 g. 6x 6 < d. x > 0 h. x > 5 Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dengan entuk Setara Tentu kalian masih ingat bentuk setara dari persamaan linear satu variabel. entuk setara pada pertidaksamaan linear satu variabel juga sama prinsipnya dengan bentuk setara pada persamaan linear satu variabel. i sini yang membedakan hanya pada tanda hubungnya saja. Untuk lebih jelasnya perhatikan pertidaksamaanpertidaksamaan berikut. a. x + 0 d. x b. x e. x + 5 c. x arilah penyelesaian dari pertidaksamaan-pertidaksamaan di atas dengan cara substitusi. pakah penyelesaian dari kelima pertidaksamaan ini sama? Jika kamu teliti, ternyata kelima pertidaksamaan ini memiliki penyelesaian yang sama yaitu x =, 5, 6, dan seterusnya. engan demikian, kalimat pertidaksamaan ini disebut pertidaksamaan yang setara. Jadi, dapat disimpulkan hal tersebut. entuk setara dari pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan-pertidaksamaan linear satu variabel yang mempunyai penyelesaian yang sama.. Tentukanlah pertidaksamaan yang mempunyai bentuk setara dengan x + 9 >. a. x > 8 b. x > c. x < e. 8 + x < 5 d. 9x > 0 f. 5x > 0 ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 75

85 . Tentukanlah pasangan-pasangan pertidaksamaan berikut yang setara. a. x > 8 b. x + 5 > c. x 6 < f. x > 6 d. x + 7 > 6 g. x + 5 > 6 e. x + > h. 6x 6 < 7 a. Penyelesaian Pertidaksamaan dengan Menambah atau Mengurangi dengan ilangan yang Sama Perhatikan pertidaksamaan-pertidaksamaan berikut. ) x + 5 > 7, untuk x = maka + 5 > 7 (kalimat salah) untuk x = maka + 5 > 7 (kalimat benar) untuk x = maka + 5 > 7 (kalimat benar) Penyelesaiannya adalah x =,, atau x > x > 7 5 (kedua ruas dikurangi 5) x > Penyelesaiannya adalah x > Jadi, pertidaksamaan x + 5 > 7 setara dengan x > 7 5 ) x 6 < 0, untuk x = maka 6 < 0 (kalimat salah) untuk x = 5 maka 5 6 < 0 (kalimat benar) untuk x = 6 maka 6 6 < 0 (kalimat benar) Penyelesaiannya adalah x = 5, 6, atau x < x < (kedua ruas ditambah 6) x < Penyelesaiannya adalah x < Jadi, pertidaksamaan x 6 < 0 setara dengan x < erdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan hal berikut. Setiap pertidaksamaan tetap setara (ekuivalen) jika kedua ruas pertidaksamaan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama Sifat di atas dapat ditulis dalam bentuk pertidaksamaan berikut. x + a > b dan x a > b x + a a > b a x > b a x a + a > b + a x > b + a 76 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

86 ontoh SOL. Tentukan nilai x dari: a. x + 5 > 7, dan b. x 5 > 7. Penyelesaian: a. x + 5 > 7 x > 7 5 x > b. x 5 > 7 x > x >. Tentukankanlah nilai x dari: a. 8 < x + <, dan b. < x < 6. Penyelesaian: a. 8 < x + < 8 < x + < 6 < x < 0 b. < x < 6 + < x + < < x < 9 LTIHN Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut.. x + 5 >. x 6 <. x 5 > 0. x > 5. x < x > 7. 9 x < 6 8. x > 9. x < 0. x + > 8. < x < 6. < x + <. 6 < x <. < x + < 5. < x < 6. < + x < < + x < 0 8. < + x < < + x < 0. < + x < 6 b. Penyelesaian Pertidaksamaan dengan Mengalikan atau Membagi dengan ilangan yang Sama Lakukanlah kegiatan berikut ini. EGIT K N. a. x < 9, tentukan penyelesaiannya dengan cara substitusi. b. x < 9, tentukan penyelesaiannya dengan cara kedua ruas dibagi. c. pakah pertidaksamaan x < 9 setara dengan x : < 9 :?. a. x > 6, tentukan penyelesaiannya dengan cara substitusi. b. x > 6, tentukan penyelesaiannya dengan cara kedua ruas dikali. c. pakah pertidaksamaan x > 6 setara dengan x > 6? erdasarkan kegiatan dan dapat disimpulkan bahwa jika ke dua ruas pertidaksamaan atau dengan bilangan yang sama maka pertidaksamaan akan tetap setara (ekuivalen). ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 77

87 Tugas Siswa. Selidiki manakah yang setara: a. x > dengan ( x) > ( ) atau, b. x > dengan x < ( )?. Selidiki manakah yang setara: a. x < 8 dengan x : ( ) < 8 : ( ) atau, b. x < 8 dengan x : ( ) > 8 : ( )? erdasarkan jawaban tugas dan di atas, jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka pertidaksamaan akan tetap setara dengan syarat tanda > diubah menjadi dan < diubah menjadi... ontoh SOL. Tentukanlah nilai a dari pertidaksamaan: a. a > b. 5 a < 0 Penyelesaian: a. a > atau a > a : > : a > a > a > b. 5 a < 0 5 a 5 < 0 5 a < 5. Tentukanlah nilai a dari 0 < 5 a <. Penyelesaian: 0 < 5 a < 0 5 < 5 a 5 < 5 5 < a < 0 atau 0 < 0 : 5 < 5 a : 5 5 a < < : < 5 a 5 < 5 5 < a < 0. Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini. a. x > 6 b. x < 9 Penyelesaian: a. x > 6 x : < 6 : x < b. x < 9 x > 9 x > LTIHN Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut ini.. x < 6. b < 6 5. x > < 5 a < 0. a > 8. c < 6 6. < a < < a < < 6a < < x < 6 78 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

88 c. Penyelesaian Pertidaksamaan dengan Menambah atau Mengurangi dan Mengalikan atau Membagi dengan ilangan yang Sama Untuk menyelesaikan suatu pertidaksamaan linear satu variabel ada kalanya pertidaksamaan itu harus ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama dilanjutkan dengan mengalikan atau membagi dengan bilangan yang sama pula. Untuk lebih jelasnya perhatikan bentuk berikut. ax + b < c Untuk menentukan nilai x dapat dilakukan dengan cara berikut. ax + b < c ax + b b < c b ax < c b (kedua ruas dikurangi b) ax a < (c b) a (kedua ruas dikali a ) ontoh SOL. Tentukanlah nilai a dari pertidaksamaan a + <. Penyelesaian: a + < a + < (kedua ruas dikurangi ) a < 0 a < 0 (kedua ruas dikali ) a < 5 x < c a b. Hitunglah nilai x dari pertidaksamaan 0 < x + <. Penyelesaian: 0 < x + < 0 < x + < 9 < x < 9 < x < < x < LTIHN 5 Tentukanlah penyelesaian dari soal di bawah ini.. 5x > 7. x 8. x + 7. x + > 7 5. x + 9 x x + > x 7. 7x < 0x 8. (x 8) < 5x (5 x) 0(8 x) 0. x < (x + ) < 9. x x + < 0 ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 79

89 x x + < 0 5 (7x 5) + x x x > x + ( x ) > x < (x ) 8. 6 x + < > x > 7 0. y + y Penyelesaian PtLSV dengan Garis ilangan Masih ingatkah kalian cara menuliskan himpunan penyelesaian pertidaksamaan dengan menggunakan HP? Nah, sekarang kalian akan mempelajari cara lain menyatakan penyelesaian dari pertidaksamaan linear satu variabel. Penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dapat dinyatakan dalam garis bilangan. Pada garis bilangan terdapat angka 0 (nol), di sebelah kanan angka nol adalah angka positif yang makin ke kanan nilainya makin besar. i sebelah kiri angka 0 (nol) adalah angka negatif yang makin ke kiri nilainya makin kecil. Untuk menyatakan penyelesaian dari pertidaksamaan pada garis bilangan perlu diperhatikan domain (daerah asal) dari variabelnya. ontoh: x < 5 dengan x bilangan asli Himpunan penyelesaiannya adalah {,,, }. Garis bilangannya ontoh SOL. uatlah garis bilangan dari: a. x < dengan x, b. x < dengan x Q, c. < x < 5 dengan x, d. < x < 5 dengan x Q, dan e. x < 5 dengan x Q. = bilangan asli Q = bilangan rasional 0 Untuk x dengan x bilangan rasional. Garis bilangannya 0 5 Untuk x > dengan x bilangan rasional. Garis bilangannya 0 5 Penyelesaian: a. b. c. d. e. noktah Matematika SMP dan MTs Kelas VII

90 . Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut dengan garis bilangan jika x bilangan real. a. x + < c. x 5 b. x Penyelesaian: a. x + < x + < (kedua ruas dikurangi ) x < Garis bilangannya adalah: 0 berlubang karena tandanya < b. x x + + (kedua ruas ditambah ) x 5 Garis bilangannya adalah: tertutup karena tandanya c. x 5 x 5 (kedua ruas dikurangi ) x x x Garis bilangannya adalah: 5 0 LTIHN 6. Jika x (bilangan asli), tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dan garis bilangannya. a. + x f. x < 0 b. 5 + x g. 6 < x c. x 5 h. x < d. 7x 5 < 0 i. x < 8 e. 5x > j. 6 < x + 8. Jika x Q (bilangan rasional), tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut dan garis bilangannya. a. x + > 9 b. x 6 > 9 c. x > x 7 d. x 8 < 8x x x e. > 5 x 6 x f. < Untuk menyatakan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan dengan garis bilangan perlu diperhatikan domain dari pertidaksamaan tersebut. Jika domain pertidaksamaan itu adalah bilangan asli, cacah, dan bulat, maka pada garis bilangan dinyatakan dengan noktah. Sedangkan untuk penyelesaian dengan domainnya bilangan rasional atau real, maka pada garis bilangan dinyatakan dengan tanda panah. g. h. 6x 7x 8x + + < 6x > (x ). Jika Q = {x x bilangan rasional}, carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan (5 x) + 6x < 5(x + 0) dan gambarlah garis bilangannya.. arilah penyelesaian dari pertidaksamaan (7p + ) (0p 6 9 } dan gambarlah garis bilangannya jika diketahui Q = {p p bilangan rasional}. 5. Jika Q = {x x bilangan rasional}, carilah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan: 8x x ( x + ) x ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 8

91 plikasi Pertidaksamaan Linear Satu Variabel Untuk soal-soal berbentuk cerita biasanya kita membuat permisalan untuk variabel yang tidak diketahui. emikian pula dengan soal-soal cerita pertidaksamaan. Langkah awalnya, soal cerita pertidaksamaan dipahami terlebih dahulu kemudian ditentukan permisalannya. Setelah permisalannya ditentukan dibuat pertidaksamaannya, langkah terakhir adalah menyelesaikan pertidaksamaannya. ontoh SOL. Lebar sebuah persegi panjang 6 cm kurang dari dua kali panjangnya. Jika kelilingnya kurang dari 7 cm, tentukanlah ukuran maksimum dari persegi panjang. Penyelesaian: Misalkan: panjang = x lebar = x 6 panjang = x lebar = x 6 Keliling persegi panjang kurang dari 7 (panjang + lebar) < 7 (x + x 6) < 7 (x 6) < 7 6x 5 < 7 6x < x : 6 < 6 : 6 x < Panjang persegi panjang kurang dari cm. ilangan bulat terdekat dari adalah 0. Panjang persegi panjang = 0 cm. Lebar = 0 6 = 0 6 = cm Jadi, ukuran maksimum dari persegi panjang tersebut adalah panjang 0 cm dan lebar = cm.. Jumlah dari dua bilangan bulat berurutan lebih dari 9 dan kurang dari 5. Tentukanlah bilangan bulat terkecil. Penyelesaian: Misalkan: bilangan bulat terkecil = x bilangan bulat terbesar = x + Jumlah dua bilangan bulat yang berurutan = x + x + = x + Jumlah dari dua bilangan bulat berurutan lebih dari 9 dan kurang dari 5. 9 < x + < 5 9 < x + < 5 8 < x < 8 < x < < x < ilangan bulat terkecil adalah lebih dari empat. ilangan bulat terdekat yang lebih dari adalah 5. ilangan bulat terkecil adalah 5. 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

92 . Keliling sebuah segitiga sama sisi kurang dari 5 cm. Tentukanlah sisi terbesar dari segitiga yang merupakan bilangan bulat.. Jumlah dua bilangan asli berurutan kurang dari 5. Tentukanlah pasangan bilangan itu yang terbesar. x x +. Keliling sebuah persegi kurang dari 6 cm. Tentukanlah sisi persegi terbesar yang merupakan bilangan bulat. x +. Jumlah dari dua bilangan genap kurang dari 00. Tentukanlah bilangan yang terbesar. 5. Sebuah persegi panjang mempunyai panjang cm kurang dari dua kali lebarnya. Jika keliling persegi panjang lebih dari cm dan kurang dari 8 cm, hitunglah panjang dan lebar terbesar. 6. Jumlah dari dua bilangan cacah lebih dari 75. Tentukanlah jumlah terendah dari pasangan bilangan itu. 7. Persegi panjang memiliki lebar 8 cm kurang dari kali panjang. Jika kelilingnya lebih dari 6 cm dan kurang dari cm, tentukanlah ukuran lebar yang terendah. 8. Perhatikan gambar berikut. Pada gambar itu diketahui ukuran sisisisinya sebagai berikut. = x + cm, = x + cm, dan = x cm. Jika keliling lebih dari 65 cm dan kurang dari 95 cm, tentukanlah nilai x terbesar. 9. ua kali suatu bilangan jika ditambahkan 0 lalu hasilnya dikalikan hasilnya lebih dari 50. a. Jika bilangan itu dimisalkan a, tulislah pertidaksamaannya. b. arilah himpunan penyelesaian dari a bilangan bulat. 0. Jumlah dua buah bilangan bulat lebih dari 0. ilangan bulat yang besar adalah a dan selisih kedua bilangan tersebut adalah 60. a. Nyatakanlah pertidaksamaan tersebut dalam a. b. Tentukanlah hasil kali terendah dari dua bilangan bulat tersebut. Tugas Siswa. Perhatikan bentuk berikut ini., >,. pakah pernyataan ini benar karena >? erikanlah alasannya.. Perhatikan bentuk berikut ini.,58 >,5. pakah pernyataan ini benar karena 8 >? erikanlah alasannya. ab Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel 8

93 . Perhatikan bentuk berikut ini. > 5 > 5 6 > 5 pakah ketiga bentuk ketidaksamaan di atas benar? Jika benar, dapatkah kalian membuat kesimpulannya? engan menggunakan kesimpulan yang kalian peroleh, apakah pernyataan di bawah ini benar? erikan alasannya. 55 a. 56 > c. > b. > RNGKUMN. alam matematika ada dua macam kalimat yaitu kalimat terbuka dan kalimat pernyataan. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan benar atau salahnya. Kalimat penyataan (kalimat tertutup) adalah kalimat yang sudah bisa ditentukan nilai kebenarannya.. Persamaan adalah kalimat terbuka dengan tanda hubung sama dengan (=). ontoh x + 5 = 0.. Persamaan dengan variabel berpangkat satu dan hanya memuat satu variabel disebut persamaan linear satu variabel.. Persamaan linear satu variabel dengan variabel x dan konstanta b memiliki bentuk umum: ax + b = Persamaan setara adalah persamaan yang mempunyai penyelesaian yang sama. 6. Persamaan linear satu variabel berbentuk pecahan dapat diselesaikan jika penyebut-penyebutnya sama. Jika penyebutnya belum sama dapat disamakan dengan menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut-penyebutnya. 7. Tanda ketidaksamaan adalah <, >,, dan. 8. Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan tanda hubung ketidaksamaan. ontoh: x + 5 < Pertidaksamaan linear satu variabel dapat diselesaikan dengan bentuk setara dan garis bilangan. 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

94 Pilihan ganda Uji Kompetensi ab erilah tanda silang ( ) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar.. Indonesia adalah negara Republik. Pernyataan di atas disebut... a. kalimat terbuka b. kalimat benar c. kalimat salah d. ketiga-tiganya salah. Pernyataan-pernyataan berikut yang merupakan kalimat benar adalah... a. {bilangan genap} b. menit = 60 detik c. 6 + = d.,5 =,5. 5x + 0 = dan 0x + 0 =, disebut... a. kalimat benar b. kalimat salah c. kalimat setara d. persamaan yang setara. Jika x =, maka nilai x + 6 adalah... a. 7 c. 5 b. d. 5. Nilai x yang memenuhi dari persamaan x + x + + = adalah... a. c. 5 b. d. 6. Nilai x dari 6 + = x x + 7 adalah... a. c. b. d. 7. Sebuah bilangan lebih 0 dari bilangan lainnya. Jika bilangan terbesar x, maka bilangan lainnya adalah... a. x + 0 c. 0 x b. 0 + x d. x 0 8. Jumlah dua bilangan 0. Tiga kali bilangan yang kecil sama dengan dua kali bilangan yang besar. Hasil kali kedua bilangan itu adalah... a. 6 c. 96 b. 7 d Umur seorang bapak sekarang kali umur anaknya. tahun lagi umur bapak dua kali umur anaknya. Umur anaknya saat ini adalah... a. 6 tahun c. 6 tahun b. tahun d. 8 tahun 0. Jumlah dua bilangan asli berurutan adalah 9, maka bilangan itu adalah... a. dan c. 5 dan 6 b. dan 5 d. 7 dan 9. Sebuah persegi panjang kelilingnya 6 cm. Panjangnya lebih cm dari lebarnya. Luas persegi panjang itu adalah... a. 80 cm c. 96 cm b. 5 cm d. 00 cm. Seorang pedagang membeli gelas dan piring. Harga setiap piring lebih Rp500,00 dari harga setiap gelas. Ia membayar seluruhnya Rp.000,00, maka harga sebuah piring adalah... a. Rp.50,00 c. Rp.50,00 b. Rp.750,00 d. Rp.750,00. Nilai x yang memenuhi persamaan: x x x x = 7 adalah a. c. b. d. 5. i dalam kelas terdapat 0 siswa. Siswa perempuan kurangnya dari kali siswa laki-laki. Jumlah siswa laki-laki adalah... a. 9 c. 9 b. d. Uji Kompetensi ab 85

95 5. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan P P >, P Q adalah... a. {P P >, P Q} b. {P P >, P Q} c. {P P >, P Q} d. {P P >, P Q} 6. Penyelesaian dari 6 < x < adalah... a. 8 < x < c. < x < 7 b. < x < 0 d. 8 < x < 7. atas kecepatan berkendaraan di jalan tol (T) harus lebih dari 50 km/jam tapi kurang dari 00 km/jam. entuk pertidaksamaannya adalah... a. 50 < T < 00 c. 50 < T 00 b. 50 T < 00 d. 50 T 8. Sisi-sisi sebuah segitiga adalah x, x +, dan x +. Jika keliling segitiga lebih dari Esai Selesaikanlah soal-soal di bawah ini.. Hitunglah nilai m berikut ini. a. b. c. m m 5m 6 = = 0 m 5 = m. Hitunglah nilai a berikut ini. a. b. a + a + a + a + 5a = a a a a 5a = Jumlah dua bilangan 7. Selisih kedua bilangan itu adalah. Tentukanlah hasil kali kedua bilangan tersebut.. Lima bilangan berurutan yaitu a, a +, a +, a +, a + berjumlah 75. Tentukanlah hasil kali bilangan-bilangan tersebut. 5. Umur seorang bapak 8 tahun ketika anaknya lahir. erapakah umur anak dan kurang dari 8, batas nilai x adalah... a. < x < c. 6 x b. 6 < x < d. 6 < x 9. Penyelesaian dari x + > x + 7 dalam bentuk grafik bilangan dengan x bilangan rasional adalah... a. c b. d Himpunan penyelesaian dari: (6x ) ( x + ) + 7x, untuk x bilangan rasional adalah... tersebut ketika jumlah umur mereka 80 tahun? 6. Tentukanlah penyelesaian dari pertidaksamaan berikut. a. b. a. x b. x 0 0 c. x 0 d. x 0 x ( x + ) x x + x 5 x < Keliling suatu persegi tidak lebih dari 80 cm. Hitunglah luas maksimum yang mungkin. 8. Jumlah dua bilangan tidak lebih dari 0. Tentukanlah hasil kali terbesar dari kedua bilangan itu. 9. Tiga bilangan ganjil berurutan jumlahnya tidak lebih dari 0. Hitunglah hasil kali terbesar ketiga bilangan itu. 0. Sisi-sisi sebuah segitiga adalah x, x +, dan x + 5 (x bilangan bulat). Jika keliling segitiga itu tidak lebih dari 6, tentukanlah keliling segitiga minimum Matematika SMP dan MTs Kelas VII

96 ritmetika Sosial Sumber: P Mengenal aritmetika sosial erhatikan gambar di atas. Pernahkah kamu pergi ke toko yang menawarkan diskon terhadap produk-produknya? iskon adalah nama lain dari potongan harga. Jika kita membeli barang dengan harga diskon, maka kita hanya membayar sebagian dari harga normal barang tersebut. Menggunakan konsep aljabar dalam menyelesaikan masalah-masalah ekonomi sederhana. Pada gambar di atas, misalkan diketahui harga sebuah boneka adalah Rp50.000,00 dan diskon yang tertera adalah 50%. erapakah harga boneka yang harus dibayar sesudah mendapat diskon? Tujuan Pembelajaran Kalian telah mempelajari bentuk aljabar pada ab terdahulu. Pada bab ini kita akan mempelajari aplikasi dari bentuk aljabar pada aritmetika sosial. Kalian juga diharapkan sudah memahami tentang operasi hitung pada bilangan pecahan dan persen yang dipelajari di Sekolah asar karena materi itu akan digunakan pada pembahasan kali ini. ab ritmetika Sosial 87

97 Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi pada bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Tentukan hasil operasi bentuk aljabar. Hitunglah soal berikut. berikut ini. a. 5% 800 a. x + x = 0 b. b. 0x + 0x = Nilai Keseluruhan dan Nilai Per-Unit Pernahkah kamu berbelanja di toko kelontong? eraneka ragam barang terdapat di sana. oba perhatikan daftar harga berikut, kemudian salin dan isilah titik-titik dengan nilai yang benar pada bukumu.. Harga selusin buku = Rp6.000,00 Harga buku = Rp.... Harga selusin pulpen = Rp8.000,00 Harga pulpen = Rp.... Harga satu kardus mi yang terdiri atas 0 bungkus = Rp.000,00 Harga bungkus mi = Rp.... Harga sekardus air mineral yang terdiri atas 0 botol = Rp0.000,00 Harga satu botol air mineral = Rp Harga kg gula pasir = Rp5.000,00 Harga ons gula pasir = Rp... Setelah menyelesaikan pertanyaan di atas, kesimpulan apa yang kalian dapatkan? Setelah mengetahui kesimpulan dari contoh latihan di atas, jawablah soal-soal latihan berikut ini dengan benar. LTIHN. iketahui harga tiap unit mobil Rp ,00. Sebuah pabrik hendak membeli mobil. erapa harga yang harus dibayar oleh pabrik tersebut?. iketahui sebuah kartu telepon harganya Rp7.500,00; Rp.500,00; dan Rp0.000,00 untuk masing-masing 50 unit, 00 unit, dan 00 unit. Hitunglah masing-masing harga kartu telepon tiap unitnya.. iketahui dua belas buku tulis dibeli dengan harga Rp9.000,00. erapakah harga satu buah buku tulis?. Harga gram emas karat adalah Rp85.000,00. erapakah harga buah cincin emas karat yang masingmasing beratnya gram? 5. Hitunglah harga keseluruhan dari a. Rp7.500,00/buah sebanyak buah; b. Rp9.600,00/ buah sebanyak buah; c. Rp.500,00/ buah sebanyak.00 buah; d. Rp.500,00/6 potong sebanyak 5 potong. 88 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

98 Harga Penjualan, Laba, dan Rugi alam kehidupan sehari-hari uang adalah sesuatu yang lazim kita temui karena uang merupakan alat tukar yang sah dalam perdagangan umum. alam perdagangan dikenal istilah laba (untung) dan rugi. Laba dan rugi sangat bergantung pada harga pembelian dan penjualan. Kapan suatu perdagangan menghasilkan laba atau rugi? Misalkan seorang pedagang membeli barang dengan harga Rp7.000,00 dan menjualnya dengan harga Rp8.000,00. Harga barang yang pedagang terima sebesar Rp7.000,00 adalah harga pembelian, sedangkan harga barang yang ditawarkan kepada pembeli sebesar Rp8.000,00, disebut harga penjualan. Ini dikatakan bahwa pedagang mendapat laba Rp.000,00. ari uraian tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa suatu perdagangan menghasilkan laba jika harga penjualan lebih dari harga pembelian dan dirumuskan: Laba = Harga jual Harga beli Jika seorang pedagang membeli barang dengan harga Rp8.000,00 dan menjualnya dengan harga Rp7.000,00, dikatakan bahwa pedagang mendapat rugi Rp.000,00. engan demikian, suatu perdagangan dikatakan mengalami kerugian jika harga penjualan kurang dari harga pembelian dan dirumuskan: Rugi = Harga beli Harga jual ontoh SOL. mir membeli sepeda dengan harga Rp75.000,00. Ia memperbaiki sepeda itu dengan biaya Rp5.000,00. Kemudian sepeda dijual lagi dengan harga Rp00.000,00. erapakah laba yang diperoleh mir? Penyelesaian: Harga pembelian pada soal di atas meliputi harga awal sepeda dan ongkos perbaikan = Rp75.000,00 + Rp5.000,00 = Rp90.000,00 Harga penjualan = Rp00.000,00 Laba = penjualan pembelian Laba = Rp00.000,00 Rp90.000,00 = Rp0.000,00 Jadi, mir memperoleh laba Rp0.000,00.. Seorang perajin membuat sebuah kerajinan tangan dengan biaya produksi Rp70.000,00. Jika ia ingin memperoleh laba Rp5.500,00, berapakah ia harus menjualnya? Penyelesaian: Harga pembelian = Rp70.000,00 Laba = Rp5.500,00 Harga penjualan = harga pembelian + laba = Rp70.000,00 + Rp5.500,00 = Rp85.500,00 Jadi, perajin menjual barangnya dengan harga Rp85.500,00 ab ritmetika Sosial 89

99 LTIHN. Isilah tabel berikut ini. No. Pembelian Penjualan Laba Rugi. Rp50.000,00 Rp65.000, Rp ,00 Rp , Rp00.000,00... Rp5.000, Rp5.000, Rp5.000, Rp65.000,00 Rp.500, Rp ,00... Rp5.000,00. Seorang pedagang mobil membeli mobil dengan harga Rp ,00. Ongkos perbaikan mobil tersebut Rp ,00. Jika mobil itu dijual dengan harga Rp ,00, laba atau rugikah pedagang itu?. Sebuah toko membeli 9 kotak pensil, masing-masing berisi 5 buah pensil dengan harga seluruhnya Rp67.500,00. Tiap pensil dijual dengan harga Rp.500,00. a. erapakah harga penjualan seluruhnya? b. Hitunglah laba atau ruginya.. Pak nto membeli sebuah peti berisi 00 telur dengan harga Rp50.000,00. Ternyata 8 telur pecah dan ia menjual telur itu dengan harga Rp900,00 tiap butir. erapakah laba atau ruginya? 5. Seorang pedagang buah pada pagi hari membeli 0 kg mangga dengan harga Rp.000,00 tiap kg, 5 kg apel dengan harga Rp.000,00 tiap kg, dan 0 kg jeruk dengan harga Rp.000,00 tiap kg. Pada sore hari buah yang tersisa adalah 5 kg mangga, kg apel, dan kg jeruk. Ia memperoleh uang Rp50.000,00 dari hasil penjualannya. erapakah laba atau kerugiannya? Persentase Laba dan Rugi alam perdagangan kita sering mendengar orang berkata, saya untung 0%, saya ambil untung hanya 5% atau saya mendapat keuntungan 50%. pa maksud dari pernyataan orang tersebut? alam perdagangan yang dimaksud dengan untung 0%, 5%, dan 50% adalah orang tersebut mendapat laba 0%, 5%, atau 50% dari harga pembeliannya. apat dikatakan bahwa persentase laba atau rugi selalu dibandingkan terhadap harga pembelian atau modal suatu perdagangan sehingga diperoleh hubungan berikut ini. laba atau rugi Persentase laba atau rugi = 00% pembelian 90 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

100 ontoh SOL. mir menjual mobilnya Rp ,00. Ia membeli mobil itu Rp ,00 dan ongkos perbaikan Rp ,00. Hitunglah persentase laba atau ruginya. Penyelesaian: Harga pembelian = Rp ,00 + Rp ,00 = Rp ,00 Harga penjualan = Rp ,00 Ternyata harga penjualan > harga pembelian berarti pedagang memperoleh keuntungan. Laba = harga penjualan harga pembelian = Rp Rp = Rp ,00 Persentase laba laba = 00% harga pembelian = Rp ,00 Rp ,00 00% = 00% = 50% Jadi, mir memperoleh laba sebesar 50%.. Seorang pedagang buah-buahan membeli buah jeruk dengan harga Rp550,00 per buah, ternyata 500 buah rusak. Ia juga harus membayar angkutan sebesar Rp ,00. Jika ia menjual buah tersebut Rp600,00 per buah, tentukanlah persentase laba atau ruginya. Penyelesaian: Harga pembelian = Rp550,00 + Rp ,00 = Rp ,00 Harga penjualan = Rp600,00 = Rp ,00 Ternyata harga pembelian > harga penjualan berarti pedagang mendapatkan kerugian. Rugi = pembelian penjualan = Rp ,00 Rp ,00 = Rp ,00 Persentase rugi = Rp ,00 Rp ,00 00% = 8 5 % = 8,8% LTIHN. Seseorang membeli sepeda dengan harga Rp50.000,00. Kemudian, dengan sepeda itu dijual lagi dengan harga Rp5.000,00. Tentukanlah persentase laba atau ruginya.. Pak Iwan membeli sebuah kursi dan meja dengan harga Rp50.000,00 karena sesuatu hal barang-barang itu dijual lagi dengan harga Rp00.000,00. Hitunglah persentase laba atau ruginya.. Seseorang membeli dua lusin pensil dengan harga Rp8.000,00 tiap lusin. Pensil-pensil itu dijual dengan harga Setelah memahami contoh di atas, lakukanlah latihan berikut ini. Rp5.000,00 per buah. Tentukanlah persentase laba atau ruginya.. Pak ndi membeli sebuah mobil dengan harga Rp ,00. Ia memperbaikinya dengan biaya Rp ,00. Ia menjual dengan harga Rp ,00. Tentukanlah persentase laba atau ruginya. 5. udi membeli komputer dengan harga Rp ,00. Untuk peralatan tambahannya ia harus menyediakan uang sebesar Rp ,00 dan ia menjual komputer tersebut Rp ,00. Hitunglah persentase laba atau ruginya. ab ritmetika Sosial 9

101 Menghitung Harga Pembelian dan Penjualan alam perdagangan sering kita mendengar pernyataan sebagai berikut.. Keuntungan yang saya peroleh sampai 50%.. Saya mendapat laba 00%. Pernyataan pertama mengandung makna bahwa keuntungan atau setengah dari harga pembelian. Sedangkan pernyataan berikutnya berarti laba atau keuntungannya dua kali harga pembeliannya. Melalui contoh soal berikut kalian akan memahami bagaimana menghitung harga penjualan ataupun harga pembelian agar seorang pedagang menderita rugi, mendapat keuntungan ataupun impas. ontoh SOL. Seseorang menjual barang dengan keuntungan 0%. Pembelian barang itu Rp60.000,00. Hitunglah harga penjualannya. Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini ada dua cara yang dapat dilakukan. ara I Harga pembelian = Rp60.000,00 Laba = 0% Rp60.000,00 0 = 00 Rp60.000,00 = Rp.000,00 Harga penjualan = Rp60.000,00 + Rp.000,00 = Rp9.000,00 ara II alam bentuk persen, harga pembelian dianggap = 00%. iketahui laba = 0%. Harga penjualan = (pembelian + laba) harga pembelian = (00% + 0%) harga pembelian = 0% harga pembelian = 0 00 Rp60.000,00 = Rp9.000,00. Riko mendapat laba 0% setelah menjual barang seharga Rp0.000,00. erapakah harga pembeliannya? Penyelesaian: Penyelesaian menggunakan cara I agak sulit dilakukan untuk soal ini. Sebaiknya menggunakan cara II. Pembelian dianggap = 00% Laba = 0% Harga penjualan = (pembelian + laba) harga pembelian = (00% + 0%) harga pembelian Rp0.000,00 = 0 00 harga pembelian Harga pembelian = Rp0.000,00 : 0 00 = Rp0.000, = Rp00.000,00 Jadi, harga pembeliannya adalah sebesar Rp00.000,00. 9 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

102 LTIHN. Indra membeli sepeda masing-masing dengan harga Rp50.000,00. Ia menjual kembali sepeda itu dengan keuntungan 5%. Hitunglah jumlah harga penjualan seluruh sepeda itu.. Seseorang membeli satu keranjang apel dengan harga Rp6.000,00 tiap kg. Ternyata ada 0% apel yang busuk, yaitu sebanyak kg apel. Jika tiap kg apel dijual Rp6.500,00, tentukanlah persentase laba atau ruginya.. Seseorang membeli buah kotak mangga. Setiap kotak berisi 5 kg mangga. Ternyata terdapat 0% mangga yang busuk. Sisa mangga-mangga tersebut dijual Rp0.000,00 per kilogram. Pedagang mendapatkan laba %. Hitunglah harga pembelian setiap kotak.. Seseorang mencampur dua jenis teh dengan perbandingan :. Teh jenis I dibeli dengan harga Rp5.000,00 tiap kg dan teh jenis II dibeli dengan harga Rp0.000,00 tiap kg. Jika ingin mendapatkan keuntungan 5%, hitunglah harga penjualan teh campuran untuk tiap kg. Tugas Siswa iskusikan jawablah pertanyaan berikut bersama temanmu. Seorang penjual buah mempunyai 0 jeruk dan buah apel yang 0% lebih banyak dari buah jeruk. Ia juga mempunyai buah pir yang 0% lebih sedikit dari buah jeruk. Ternyata 6 % buah-buahan itu busuk. uah-buahan itu dijual dengan harga per buah yang sama, dengan memperoleh laba 5% yakni sebesar Rp00.800,00. Tentukan harga jual per buah. E Rabat, ruto, Tara, dan Neto Masalah rabat, bruto, tara, dan neto biasa terjadi dalam ruang lingkup perdagangan umum. Rabat Pernahkah kalian datang ke supermarket dan menjumpai tulisan diskon? Tahukah kamu apa yang dimaksud dengan diskon? Pada setiap pergantian tahun, supermarket biasanya memberikan diskon pada barang-barang yang dijualnya. Istilah diskon merupakan nama lain dari rabat. alam jual beli sehari-hari istilah rabat mungkin jarang kita dengar. Istilah ini biasa digunakan pada perdagangan barang dalam jumlah besar. Pengertian rabat dapat diartikan sebagai potongan harga atau pengurangan dari harga yang harus dibayar. Misalnya diberikan rabat 0% artinya pembeli diberikan potongan ab ritmetika Sosial 9

103 harga 0% dari harga yang harus dibayar. Misalkan harga sebuah tas Rp50.000,00. Menjelang pergantian tahun setiap pembelian tas mendapat diskon 5%. erapakah harga tas tersebut? Harga tas = Rp50.000,00 iskon = 5% Rp50.000,00 = Rp.500,00 Harga tas setelah diskon = Rp50.000,00 Rp.500,00 = Rp7.500,00 ruto, Tara, dan Neto ruto, neto, dan tara adalah istilah-istilah yang ber-hubungan dengan berat suatu barang. ruto biasanya disebut berat kotor artinya berat barang ditambah berat pembungkus/ wadahnya. Neto adalah berat barang saja, sedangkan tara adalah berat tambahan seperti kotak atau wadah pembungkus dan lainnya. ruto = Neto + Tara Misalkan pada sebuah kotak tertulis bruto = 00 kg dan tara = %. rtinya berat barang + kotak = 00 kg, maka berat kotak adalah = 00 kg = kg. engan demikian, berat 00 barang tersebut = 00 kg kg = 98 kg. ontoh SOL. Seorang pedagang membeli satu kotak mangga dengan harga Rp50.000,00. Pada kotak tertulis ruto = 00 kg, Tara = kg. Jika pedagang tersebut menjual mangga dengan harga Rp.000,00 tiap kg, laba atau rugikah pedagang tersebut? Penyelesaian: Harga pembelian = Rp50.000,00 Neto = ruto Tara Neto = 00 = 98 kg Penjualan = 98 Rp.000,00 = Rp96.000,00 Laba = Penjualan Pembelian = Rp96.000,00 Rp50.000,00 = Rp6.000,00. Seseorang membeli 0 buah kotak mangga yang berat masing-masingnya 00 kg. Pada kotak tertulis Tara 5%. Jika dibeli dengan harga Rp5.000,00 tiap kg, hitunglah keuntungan atau kerugiannya jika kotak dijual lagi dengan harga Rp6.000,00 tiap kg. Penyelesaian: ruto = 0 00 kg =.000 kg Tara 0 kotak = (5% 00 kg) 0 = 5 kg 0 = 50 kg Neto = ruto Tara =.000 kg 50 kg = 950 kg Harga pembelian =.000 Rp5.000,00 = Rp ,00 Harga penjualan = 950 Rp6.000,00 = Rp ,00 Laba = harga penjualan harga pembelian = Rp ,00 Rp ,00 = Rp ,00 9 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

104 LTIHN 5. Seseorang membeli barang dengan harga Rp50.000,00 dan ia mendapat rabat 0%. erapakah uang yang harus dibayar?. Seseorang membayar baju dengan harga Rp0.000,00. Ia telah mendapat diskon 0%. Hitunglah harga awal baju.. Seseorang membeli barang dan ingin menjualnya kembali. Ia menjual barang itu dengan memberi diskon 0%. Sebelumnya harga barang dinaikkan 0%. pakah penjual mendapatkan keuntungan, kerugian, atau impas (tidak untung atau rugi)?. nto membeli 00 kg mangga dengan harga Rp ,00. Jika di kotak tempat mangga itu tertulis ruto = 00 kg dan Tara = 5%, tentukanlah harga jual mangga tiap kg jika diinginkan laba sebesar 0%. 5. Eko membeli sebuah sepatu dari toko dan mendapat diskon 5%. Ia menjual sepatu itu ke Hasan dengan laba %. Kemudian Hasan menjual sepatu itu kepada adu dengan diskon 0% dan ia mendapat laba 0%. Jika harga sepatu yang dibayar adu Rp.000,00, berapa harga sepatu yang dibeli Eko dari toko? 6. Seseorang membeli 50 karung beras dengan harga Rp ,00. Untuk ongkos angkut ke truk, tiap karung beras dikenakan jasa Rp.500,00 dan ongkos angkut dengan truk dikenakan tarif Rp00.000,00. iketahui setiap karung dapat dijual Rp500,00 dan pada setiap karung tertulis bruto = 50 kg, dan tara = %. Penjual beras memberikan rabat 0%. erapakah harga jual beras tiap kg jika diinginkan laba 5%? Tugas Siswa arilah kardus atau bungkus suatu barang yang tercantum tulisan bruto, neto atau tara. Jika ada salah satu dari ketiga nilai itu belum tercantum, tentukan nilainya. F Pajak dan unga Tabungan (unga Tunggal) Pajak Pernahkah kalian pergi (berbelanja) ke toko swalayan atau dealer motor atau mobil? pabila kita berbelanja di toko swalayan atau dealer maka terdapat barang-barang yang harganya ditambah dengan pajak yang biasa disebut pajak pertambahan nilai (PPn). Pegawai negeri atau pegawai swasta juga dikenakan pajak dari penghasilan yang disebut dengan pajak penghasilan (PPh). Pajak merupakan iuran wajib masyarakat kepada negara berdasarkan undang-undang dengan tidak mendapat balas jasa (kontraprestasi) secara langsung yang digunakan untuk membiayai pengeluaran umum guna meningkatkan kesejahteraan rakyat. ab ritmetika Sosial 95

105 Perhatikan contoh soal berikut ini yang berkaitan dengan perhitungan pajak. ontoh SOL. Tomi membeli TV berwarna dengan harga Rp ,00 dan dikenakan pajak pertambahan nilai (PPn) sebesar 0%. erapakah harga yang harus dibayar oleh Tomi? Penyelesaian: Pajak pertambahan nilai (PPn) = 0% ,00 0 = 00 Rp ,00 = Rp00.000,00 Harga yang harus dibayar adalah: = Rp ,00 + Rp00.000,00 = Rp ,00. Seorang karyawan memperoleh gaji sebulan Rp ,00 dengan penghasilan tidak kena pajak Rp80.000,00. Jika besar pajak penghasilan (PPh) adalah 0%, berapakah gaji yang diterima oleh karyawan tersebut? Penyelesaian: esar penghasilan kena pajak = Rp ,00 Rp80.000,00 = Rp70.000,00 esar pajak penghasilan = 0% Rp70.000,00 = Rp7.000,00 Gaji yang diterima karyawan = Rp ,00 Rp7.000,00 = Rp.8.000,00 LTIHN 6. Pak Junaidi membeli sebuah sepeda motor dengan harga Rp ,00 dan dikenakan pajak penjualan sebesar 0%. erapakah uang yang harus dibayar Pak Junaidi?. Pak Yanto memperoleh gaji sebulan sebesar Rp ,00 dengan penghasilan tidak kena pajak Rp75.000,00. Jika besar pajak penghasilan (PPh) adalah 0%, berapakah gaji yang diterima oleh Pak Yanto dalam sebulan?. Faisal membeli sebuah radio minicompo dengan harga Rp0.000,00 dan dikenai pajak pertambahan nilai (PPn) sebesar 0%. erapa uang yang harus dibayar Faisal?. Seorang penulis buku memperoleh honor menulis buku Rp ,00 dan terkena pajak penghasilan sebesar 5%. erapakah honor yang diterima penulis tersebut? 5. Pak Rudi membeli sebuah mobil dengan harga Rp ,00. Ia dikenai pajak penjualan 5%. Ia mendapat diskon sebesar 0% setelah kena pajak. erapakah uang yang harus dibayar Pak Rudi? K EGIT N ersama teman sebangkumu datanglah ke kantor pajak yang ada di kotamu. Lakukan wawancara kepada pegawai di sana mengenai pengertian, jenis, dan kegunaan pajak. Tulislah laporan kalian dan presentasikan di depan kelas. 96 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

106 ontoh SOL Sebuah bank memberi bunga tabungan 8% setahun. mir menabung Rp ,00 di bank tersebut. Hitunglah bunganya setelah 8 bulan. Penyelesaian: Untuk menjawabnya kita tentukan dahulu persentase bunga 8 bulan = 8 8% = % unga Tabungan (unga Tunggal) Saat ini hampir semua orang telah mengenal tabungan. Tabungan yang dimaksud adalah tabungan di bank. Jika kita memiliki tabungan di bank maka kita akan mendapat bunga tabungan. unga tabungan ada yang dihitung harian atau bulanan. unga tabungan dihitung dari besar uang yang disetor ke bank. Jenis bunga tabungan yang akan dipelajari sekarang adalah bunga tunggal, artinya yang mendapat bunga hanya modalnya saja, sedangkan bunganya tidak berbunga lagi. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut. esar bunga = 00 Rp ,00 = Rp0.000,00 Jadi, bunga selama 8 bulan = Rp 0.000,00. Perhitungan bunga diberikan oleh rumus berikut ini. = W P U = besar bunga W = waktu atau lamanya menabung P = persen bunga U = uang yang disetor atau ditabung Jika W dinyatakan dalam bulan, maka rumusnya menjadi: = W P U, ( tahun = bulan) Jika W dinyatakan dalam hari, maka rumusnya menjadi: = W 60 P U, ( tahun = 60 hari) Untuk dapat memahami cara perhitungan bunga pada soal, perhatikan contoh soal berikut ini. ab ritmetika Sosial 97

107 ontoh SOL. Rini menabung di bank dengan bunga 8% setahun. Jika uang yang ditabung Rp ,00, hitunglah bunga yang diterima setelah 9 bulan. Penyelesaian: iketahui: W = 9 bulan P = 8% setahun U = Rp ,00 = = W P U Rp ,00 = Rp70.000,00 Jadi, bunga yang diterima Rini selama menabung 9 bulan adalah Rp70.000,00.. Ridwan menabung Rp ,00 di bank dengan bunga 5% setahun. Setelah beberapa saat ia mengambil seluruh uangnya sebesar Rp ,00. erapa lama ia telah menabung? Penyelesaian: = Rp ,00 Rp ,00 = Rp60.000,00 P = 5% setahun U = Rp ,00 = W P U = W = W W = tahun = tahun W = bulan = bulan Jadi, Ridwan menabung selama bulan.. Seseorang menabung di bank dan mendapat bunga % setahun. Ia menabung sebesar Rp ,00 selama 8 bulan. erapakah besar bunga yang diterima?. Seorang anak menabung di bank dengan bunga 5% setahun. Setelah 80 hari ia menerima bunga Rp75.000,00. erapakah besar uang yang ditabung?. Faisal menabung di bank dengan mendapat bunga 8% setahun. Uang yang disetor Rp ,00. Setelah beberapa lama ia mengambil seluruh uangnya dan ia menerima Rp66.000,00. erapa bulankah ia telah menabung?. Seseorang menabung di bank dengan bunga 0%. Setelah 5 bulan ia menerima bunga dari tabungannya Rp ,00. Tentukanlah: a. besar uang yang ditabung, b. bunga yang diterima setelah menabung bulan, dan c. jumlah uangnya setelah ia menabung selama 5 bulan. 5. Pak udi meminjam uang di koperasi sebesar Rp ,00. Ia dikenakan bunga % setahun. Ia berencana mengembalikan dalam tahun. erapa besar cicilan yang harus dibayar tiap bulan? 6. Seseorang mendepositokan uangnya di bank sebesar Rp ,00 dengan bunga 8% setahun. Per tiga bulan ia dapat mengambil bunganya setelah dipotong pajak 5%. Tentukanlah berapa besar bunga yang diterima tiap bulan. 98 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

108 K EGIT N Kerjakan kegiatan ini bersama dengan temanmu. Pergilah ke sebuah wartel untuk menghubungi beberapa orang dalam beberapa menit, kemudian bayarlah biaya pemakaian telepon tersebut dengan meminta slip pembayaran. a. pakah kamu menderita kerugian dari pembulatan harga yang dilakukan oleh operator wartel terhadap biaya pemakaian telepon yang telah kamu gunakan? b. Jika jawabannya ya, hitunglah persentase rugi dari pembulatan harga tersebut. c. Hitunglah biaya pajak PPn 0% yang dikenakan untuk tiap nomor telepon yang dihubungi. d. Jika pemakaian telepon itu dilakukan pada pukul.00 sampai dengan pukul akan memperoleh diskon 5% dari harga normalnya, tentukanlah: jumlah biaya pemakaian telepon yang telah kamu gunakan untuk waktu tersebut; jumlah rabat yang kamu dapatkan dari pemakaian telepon untuk waktu tersebut; biaya pajak PPn 0% yang dikenakan untuk tiap nomor telepon yang telah kamu hubungi untuk waktu tersebut. e. pa yang dapat kamu simpulkan dari perubahan waktu pemakaian telepon tersebut, terkait dengan besar biaya pemakaian, besar pajak PPn yang dibebankan, dan diskon yang didapat. RNGKUMN. Nilai keseluruhan = banyak unit nilai per unit. Nilai per unit = nilaikeseluruhan banyaknya unit. Laba = harga jual harga beli. Rugi = harga beli harga jual 5. laba/ rugi Persentase laba/rugi = harg a pembelian 00% 6. ruto = neto + tara 7. unga tunggal = waktu menabung persen bunga uang yang ditabung ab ritmetika Sosial 99

109 Uji Kompetensi ab Pilihan ganda erilah tanda silang ( ) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar.. iketahui harga sebuah kemeja Rp80.000,00 dan dijual dengan diskon 5%. Harga kemeja setelah didiskon adalah... a. Rp75.000,00 b. Rp6.000,00 c. Rp5.000,00 d. Rp5.000,00. Seorang pedagang membeli kuintal jagung dengan harga Rp80.000,00. Jika ia menghendaki keuntungan 0% maka harga jualnya per kg adalah... a. Rp.00,00 b. Rp.60,00 c. Rp.780,00 d. Rp.00,00. Sanusi mendapat untung 0% dari hasil menjual televisi berwarna. Jika harga televisi tersebut Rp ,00, maka keuntungan Sanusi adalah... a. Rp8.500,00 b. Rp85.000,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00. Jika diketahui harga beli Rp ,00 dan harga jual Rp ,00, maka keuntungannya adalah... a. Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00 5. Harga sebuah kaos T-shirt Rp5.000,00. Jika diberi diskon 5% maka harga setelah didiskon adalah... a. Rp.750,00 b. Rp80.875,00 c. Rp9.50,00 d. Rp05.000,00 6. Seorang pedagang ayam memperoleh hasil penjualan Rp0.000,00. ari penjualan itu ia rugi 0%. esar modal pedagang tersebut adalah... a. Rp96.000,00 b. Rp00.000,00 c. Rp0.000,00 d. Rp8.000,00 7. Seorang pedagang membeli bebek dengan harga Rp5.000,00. Ia menjualnya lagi Rp5.00,00. Persentase rugi dari pembelian adalah... a.,5% c. 5% b. 5% d. 5% 8. esti mendapat gaji Rp ,00. Jika besar PPh yang dibebankan 5%, maka pendapatan esti adalah... a. Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp95.000,00 d. Rp95.000,00 9. iketahui harga pembelian dinyatakan dengan a dan penjualan sebagai b, laba sebagai c, dan rugi sebagai d. Hubungan yang benar dari pernyataan berikut adalah... a. a = b + c b. b = a c c. c = a + b d. d = a b 0. Harga pembelian gros ( buah) pensil adalah Rp86.00,00 dan dijual kembali dengan harga Rp700,00 per buah. Persentase laba yang diperoleh adalah... a. 7 % c. 6 % b. 5% d. 6 % 00 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

110 . Seorang pedagang menjual barang seharga Rp ,00. Jika keuntungan yang diperoleh sebesar %, maka harga 7 pembelian barang tersebut adalah... a. Rp90.000,00 b. Rp60.000,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00. ndre membeli 0 ekor ayam dengan harga Rp0.000,00. dari jumlah ayam 5 dijual dengan harga Rp8.000,00 per ekor, sedangkan sisanya dijual dengan harga Rp6.000,00 per ekor. Pedagang tersebut akan mengalami... a. rugi % b. laba % c. rugi 0% d. laba 0%. Seorang pedagang kacang membeli 0 karung kacang yang masing-masing karung beratnya 6 kg dengan tara,5%. ila harga kg kacang adalah Rp.500,00, maka banyaknya uang yang harus dibayar pedagang adalah... a. Rp85.000,00 b. Rp87.000,00 c. Rp98.000,00 d. Rp ,00. li menyimpan sejumlah uang di bank dengan bunga 6% per tahun. Setelah 8 bulan, bunga yang diperoleh adalah Rp6.000,00. Jumlah uang li setelah 9 bulan adalah... a. Rp7.000,00 b. Rp80.000,00 c. Rp ,00 d. Rp67.000,00 5. di membeli set video game seharga Rp00.000,00 dengan rabat 0% dan 5 buah (ompact isc) dengan harga Rp5.000,00 per buah dengan rabat 5%. Uang yang harus dibayar di adalah... a. Rp5.750,00 b. Rp6.50,00 c. Rp.50,00 d. Rp7.000,00 6. Pedagang buah membeli 50 kg jeruk seharga Rp ,00 untuk dijual di dua pasar, yaitu Pasar Senen dan Pasar Rebo. 50 kg jeruk habis terjual di Pasar Senen dengan harga Rp7.000,00 per kg. Kemudian sisa jeruk dijual di Pasar Rebo. Jika pedagang ingin memperoleh laba seluruhnya sebesar Rp5.000,00, maka harga jual tiap kg jeruk di Pasar Rebo adalah... a. Rp7.500,00 c. Rp8.750,00 b. Rp7.750,00 d. Rp mir membeli 00 buah mangga. ari 00 buah mangga tersebut 0 buah dibeli dengan harga Rp.000,00 dan sisanya dengan harga Rp.000,00 tiap buahnya. Ternyata buah mangga tersebut busuk. Setelah dihitung ternyata mir rugi sebesar 0%. Harga jual tiap buah adalah... a. Rp00,00 b. Rp.00,00 c. Rp.900,00 d. Rp.000,00 8. Jika dibeli dengan harga kontan sebuah sepeda motor harganya Rp ,00. Jika dibeli dengan harga cicilan, pembeli harus membayar uang muka Rp ,00 dan uang cicilan tiap bulan Rp ,00 selama bulan. Selisih pembayaran kontan dan cicilan adalah... a. Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00 9. hmad menyimpan uang di bank dan mendapat bunga sebesar 5% setahun. Setelah 8 bulan, ternyata ia memperoleh bunga sebesar Rp56.000,00. Uang yang diterima seluruhnya jika ia menyimpan selama satu tahun adalah... a. Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp6.000,00 d. Rp80.000,00 Uji Kompetensi ab 0

111 0. Ifan menabung di dua bank. i bank I ia menabung sebesar Rp ,00 dan di bank II ia menabung sebesar Rp ,00. i bank I ia mendapat bunga 0% per tahun, dan di bank II ia mendapat bunga 8% per tahun. Setelah 9 bulan ia mengambil seluruh uangnya Esai Selesaikanlah soal-soal di bawah ini.. Seorang pedagang buah-buahan membeli 00 jeruk. Kemudian pedagang menjual jeruknya Rp00,00 tiap buah, ternyata 8 % jeruk tersebut busuk. a) Jika pedagang tersebut memperoleh laba 6 %, berapa harga pembeliannya? b) Jika pedagang rugi 5 5 %, berapakah harga pembeliannya?. Seseorang menabung di bank dan mendapat bunga 8% per tahun. Jika bunga yang dikirim selama bulan Rp0.000,00, hitunglah bunga yang diterima setelah tahun. dari masing-masing bank. Jumlah uang yang diambil adalah... a. Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00. udi membeli sebuah motor bekas dengan harga Rp ,00. Setelah diperbaiki dengan biaya Rp50.000,00 motor itu dijual lagi dengan laba 0%. Hitunglah harga jual motor tersebut.. Harga sebuah TV Rp ,00 dan harga sebuah lemari es Rp ,00. Harga kedua jenis barang elektronik tersebut sudah dikenai pajak PPn sebesar 0% dan sudah mendapat diskon 0%. Hitunglah jumlah harga kedua barang elektronik tersebut sebelum dikenai PPn dan diskon. 5. Putri menabung di bank Rp ,00 dan mendapat bunga 5% setahun. Setelah berapa bulan ia akan menerima bunga Rp5.000,00? 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

112 Perbandingan Sumber: 5 Tujuan Pembelajaran Memahami pengertian skala dan perbandingan Memahami hubungan perbandingan dan pecahan Memahami perbandingan seharga dan perbandingan berbalik harga Menyelesaikan masalah-masalah perbandingan. P ada pelajaran sebelumnya kalian telah mempelajari operasi hitung bilangan pecahan. ilangan pecahan biasa ditulis a dengan atau a : b. Kalau kita perhatikan, bentuk a : b pada dasarb nya merupakan bentuk perbandingan. Kalian membandingkan suatu besaran, yaitu besaran a dengan besaran b. Penerapan perbandingan dalam kehidupan sehari-hari sangatlah banyak, di antaranya seperti pada gambar di atas. Kalian tentu pernah melihat kucing di sekitar rumah, bukan? da kucing yang besar ada pula kucing yang kecil. Kucing yang telah dewasa umumnya memiliki ukuran tubuh yang lebih besar dibandingkan yang masih kecil. Perhatikan dua ekor kucing di atas. Misalkan tinggi induk kucing adalah 0 cm dan tinggi anaknya adalah 0 cm. erapakah perbandingan tinggi dari kedua kucing tersebut? ab 5 Perbandingan 0

113 Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Nyatakanlah pecahan berikut ke dalam bentuk perbandingan.. Nyatakanlah perbandingan berikut ke dalam bentuk pecahan. a. b. 5 a. : 5 b. : 7 Gambar erskala Tahukah kamu dengan gambar berskala? ontoh-contoh gambar berskala misalnya adalah peta, denah rumah, bagan konstruksi kendaraan/otomotif, bagan konstruksi gedung dan gambar desain pakaian. Gambar-gambar tersebut adalah bentuk miniatur/sederhana dari benda yang sebenarnya. Pengertian Skala Perhatikan Gambar 5.. berikut ini. Skala : Gambar 5. Peta Pulau ali Gambar di atas adalah gambar peta Pulau ali. Pada peta tersebut kita dapat melihat letak kota-kota seperti enpasar, Gianyar, Klungkung, dan Tabanan. erapakah jarak antarkota-kota tersebut? Perhatikan tulisan di sudut kiri bawah peta. i situ tertulis skala : Skala menunjukkan perbandingan jarak pada gambar dengan jarak yang sebenarnya. pakah maksudnya? Pada peta tertulis skala : yang berarti setiap satu satuan panjang pada peta tersebut berbanding satuan panjang jarak yang sesungguhnya. Jadi cm pada peta mewakili jarak sesungguhnya, yaitu cm = 5 km. Sumber: TLS Indonesia dan unia 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

114 tau dengan kata lain, jika kota dan kota berjarak 5 km, maka pada peta jaraknya hanya cm. ari penjelasan tersebut, ternyata skala menunjukkan perbandingan antara jarak atau ukuran pada gambar dengan jarak yang sebenarnya, sehingga skala dapat kita rumuskan sebagai berikut. Skala Jarak/ukuran pada gambar = = Jarak/ukuran sebenarnya S S ontoh SOL. Jarak kota ke kota di peta adalah cm, sedangkan jarak sesungguhnya adalah 60 km. Tentukanlah skala peta tersebut. Penyelesaian: Skala = Jarak pada gambar Jarak sebenarnya = cm 60 km = cm cm = Skala biasa ditulis : (artinya setiap cm pada peta mewakili cm atau 0 km jarak yang sebenarnya).. Sebuah peta mempunyai skala berukuran : Tentukanlah jarak yang sebenarnya jika jarak pada peta tersebut adalah cm. Penyelesaian: Skala = Jarak pada gambar Jarak sebenarnya cm = Jarak sebenarnya Jarak sebenarnya = cm = cm = 0 km Jadi, jarak sebenarnya pada peta tersebut adalah 0 km. LTIHN. Jarak kota ke kota pada sebuah peta cm. ila jarak kedua kota itu sebenarnya adalah 0 km, tentukanlah skala peta.. Sebuah peta mempunyai skala : Tentukanlah jarak sebenarnya jika diketahui jarak pada peta: a. cm c.,5 cm b. 5, cm d.,5 cm. Sebuah peta mempunyai skala : Tentukanlah jarak pada peta jika jarak sebenarnya: a. 7 km c. 0,5 km b. km d. 0, km. Skala sebuah peta : Sebuah kota berukuran 6 cm cm pada peta. Hitunglah: a. panjang dan lebar sebenarnya; b. keliling sebenarnya; c. luas kota sebenarnya. 5. Panjang rel kereta api pada sebuah peta yang skalanya : adalah 6 cm. a. Tentukanlah panjang rel kereta itu sebenarnya. b. Jika skala pada peta yang lain : , berapakah panjang rel pada peta tersebut? Sumber: Image ab 5 Perbandingan 05

115 K EGIT N arilah peta provinsi Jawa arat pada atlas yang kalian miliki. Perhatikan skala pada peta tersebut, kemudian ukurlah jarak antarkota-kota berikut.. andung dan ogor. andung dan Purwakarta. Tasikmalaya dan irebon. Subang dan Garut Setelah itu, hitunglah jarak sebenarnya dari kota-kota tersebut. Menghitung Gambar erskala Skala didefinisikan sebagai perbandingan antara jarak pada gambar dan jarak sesungguhnya. Jika kalian perhatikan, ternyata besaran panjang, lebar, dan tinggi memiliki satuan yang sama dengan jarak, bukan? pakah satuan dari besaran-besaran tersebut? esaran panjang, lebar, dan tinggi merupakan besaran yang sama dengan besaran jarak. erdasarkan kesimpulan tersebut, pengertian skala tidak hanya digunakan pada peta. kan tetapi, dapat diperluas juga untuk gambar konstruksi bangunan, pembuatan replika (bentuk tiruan) mobil, maket rumah, dan sebagainya yang kita kenal dengan istilah gambar berskala. Jika kalian perhatikan gambar mobil pada Gambar 5. di samping, akan terlihat adanya kesamaan bentuk antara mobil yang asli dan replikanya. Namun, ukuran replika diperkecil dengan perbandingan yang sama dengan ukuran mobil yang asli. erdasarkan kenyataan pada replika mobil tersebut, maka pengertian skala pada gambar berskala merupakan perbandingan panjang pada gambar dengan panjang sesungguhnya, lebar pada gambar dengan lebar sesungguhnya, atau tinggi pada gambar dengan tinggi sesungguhnya. engan demikian, dapat ditulis: Gambar 5. Replika mobil Sumber: Image skala panjang pada gambar lebar pada gambar = = = panjang sesungguhnya lebar sesungguhnya tinggi pada gambar tinggi sesungguhnya Jika panjang pada gambar = PG, panjang sesungguhnya = PS, lebar pada gambar = LG, lebar sesungguhnya = LS, tinggi pada gambar = TG, dan tinggi sesungguhnya = TS, maka diperoleh hubungan sebagai berikut. PG LG skala = = = PS LS TG TS 06 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

116 ontoh SOL. Sebuah gedung panjangnya 80 m dilukis pada gambar dengan ukuran 0 cm. a. Tentukanlah skalanya. b. Jika lebar gedung 0 m, tentukanlah lebar pada gambar. c. Jika tinggi gedung 0 m, tentukanlah tinggi pada gambar. Penyelesaian: a. Skala = PG 0 = PS 80 = 0 cm cm = cm m 00 Jadi skala gambar = : 00. b. Skala = PG LG = PS LS = LG = 00 0 LG = 00 0 m = 0 00 m = 0 m = 0 cm Jadi, lebar pada gambar adalah 0 cm. c. Skala = PG TG = PS TS = TG = 00 0 m TG = 00 0 m = 0 00 m = 0 m = 5 cm. Ukuran sebuah kebun pada gambar adalah cm 8 cm dan skala gambar tersebut adalah : 500. Tentukanlah: a. panjang dan lebar sesungguhnya; b. luas pada gambar; c. luas sebenarnya; d. perbandingan luas pada gambar dan luas sebenarnya. Penyelesaian: a. Skala 500 PS = PG PS = = cm PS = = = 60 m LG LS 500 cm cm Panjang kebun sesungguhnya 60 m. 8 cm = 500 LS LS = cm =.000 cm = 0 m Lebar kebun sesungguhnya 0 m. Panjang dan lebar sesungguhnya masing-masing adalah 60 m dan 0 m. b. Luas pada gambar = cm 8 cm = 96 cm c. Luas sebenarnya = 60 m 0 m =.00 m d. Perbandingan luas pada gambar terhadap luas sebenarnya: = 96 cm :.00 m = 96 cm : cm = : Jadi, tinggi pada gambar adalah 5 cm. ab 5 Perbandingan 07

117 LTIHN. iketahui sebuah replika mobil balap dengan panjang,5 cm, lebar cm, dan tinggi 8 cm. Jika panjang mobil balap sebenarnya,5 m, hitunglah lebar dan tinggi mobil itu sebenarnya.. iketahui bayangan dari sebuah gedung yang tingginya 0 m adalah 5 m. Jika sebuah tiang mempunyai bayangan,5 m, berapakah tinggi tiang itu?. iketahui sebuah gedung mempunyai ukuran panjang 0 m, lebar 8 m, dan tinggi m. ibuat maketnya dengan ukuran tinggi cm. Hitunglah: a. skalanya; b. panjang dan lebar maket gedung tersebut.. Sebuah kebun tergambar pada kertas gambar dengan ukuran 0 cm 8 cm. Jika skala pada gambar : 500, hitunglah: a. panjang dan lebar sesungguhnya; b. luas sebenarnya. 5. Sebuah taman bunga yang ukurannya 80 m 50 m tergambar pada kertas gambar dengan skala : 500. Tentukanlah: a. panjang dan lebar pada gambar; b. luas taman pada gambar. 6. Sebuah monumen tingginya 00 m mempunyai bayangan 7,5 m. Hitunglah: a. bayangan monumen yang tingginya 0 m; b. tinggi monumen yang panjang bayangannya 00 m. K EGIT N Ukurlah panjang dan lebar rumahmu. Ukur juga setiap kamar yang ada. Pada kertas karton buatlah denah rumahmu dengan skala terserah kalian. arilah luas tiap kamar pada denah yang telah kalian buat. Perbandingan dan Pecahan pakah pengertian perbandingan itu? agaimanakah sifatsifat perbandingan itu? Untuk memahaminya perhatikan penjelasan berikut. Pengertian Perbandingan alam kehidupan sehari-hari kita sering menggunakan perbandingan. ontohnya pada waktu membeli sepatu, tas, buku atau barang-barang lainnya. Sebelum membeli barangbarang tersebut, adakalanya kita memasuki beberapa toko untuk membandingkan harga barang-barang itu dari toko yang satu ke toko yang lainnya dengan tujuan untuk mencari harga yang termurah. Melalui kegiatan yang dilakukan tersebut, secara tidak langsung kita telah menerapkan perbandingan dalam kehidupan sehari-hari. apatkah kalian memberi contoh yang lainnya? 08 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

118 Pada dasarnya perbandingan dapat dinyatakan dalam dua cara, yaitu berdasarkan selisih dan berdasarkan rasio. Misalnya uang Ifan Rp.000,00 sedangkan uang li Rp5.000,00. Jika kita menyatakan bahwa uang li Rp.000,00 lebih dari uang Ifan, maka cara menyatakan yang demikian disebut pernyataan perbandingan dengan selisih, yaitu Rp5.000,00 Rp.000,00 = Rp.000,00. Selain itu, kita juga dapat menyatakan perbandingan dengan membagi Rp5.000,00 dengan Rp.000,00 sehingga bentuknya menjadi sebagai berikut. Uang li : Uang Ifan = 5 : atau Uang li = 5 kali uang Ifan entuk seperti di atas disebut pernyataan perbandingan rasio. bagian (a) (b) Gambar 5. (a) bagian kue, (b) bagian bagian kue Hubungan Perbandingan dan Pecahan Kalian telah mengetahui cara membandingkan besaran dengan menggunakan perbandingan rasio. Perbandingan rasio pada dasarnya adalah membandingkan suatu besaran dengan menggunakan tanda ( : ). Jenis bilangan apa yang dihasilkan setelah dibandingkan? Ya, kalian benar. Hasil perbandingannya merupakan bilangan pecahan. Perhatikan Gambar 5.. di samping. Seorang anak mendapat bagian kue. Ini berarti kue dibagi menjadi bagian yang sama dan anak itu mendapat salah satu bagiannya. Jadi, anak itu menerima bagian dari keseluruhan kue. Hal seperti ini juga disebut perbandingan. Pada perbandingan tidak selalu membandingkan suatu bagian dengan bagian keseluruhan saja, tetapi dapat juga membandingkan bagian-bagian yang lain. Jika : = :, maka bentuk tersebut dapat dituliskan menjadi =. entuk : = : dapat dinyatakan sebagai =. Perbandingan ua esaran yang Sejenis dan Menyederhanakan Perbandingan Kalian tentu telah mengetahui bahwa setiap besaran selalu memiliki satuan. Satuan dari besaran-besaran tersebut juga bermacam-macam, seperti besaran panjang yang memiliki satuan kilometer, hektometer, meter, dan sebagainya. esaran ab 5 Perbandingan 09

119 luas memiliki satuan meter persegi, sentimeter persegi, milimeter persegi, dan lain-lain. agaimana seandainya besaran-besaran tersebut akan dibandingkan? pa yang harus kalian perhatikan? Untuk membandingkan suatu besaran, yang harus diperhatikan adalah kesamaan dari jenis besaran-besaran tersebut, misalnya besaran panjang hanya dapat dibandingkan dengan besaran panjang. esaran panjang tidak dapat dibandingkan dengan besaran luas, karena besaran panjang tidak sejenis dengan besaran luas. Selain dilihat dari jenis besarannya, bagaimana dengan satuannya? ukankah besaran yang sejenis memiliki satuan yang bermacam-macam juga? Ya, sebelum membandingkan satuan dari besaran yang sejenis harus disamakan terlebih dahulu. alam proses perbandingan untuk memudahkan perhitungan, perbandingan harus dibuat sedemikian rupa sehingga menjadi perbandingan yang sederhana. Menyederhanakan perbandingan dapat kalian lakukan dengan membagi bilangan-bilangan yang dibandingkan dengan suatu bilangan yang sama, sehingga masing-masing bilangan yang dibandingkan tidak mempunyai faktor persekutuan. Perhatikan contoh perbandingan berikut. Uang ani : uang Edi = Rp5.000,00 : Rp7.000,00. Jika uang ani dan uang Edi masing-masing dibagi dengan Rp.000,00, maka perbandingan uang ani : uang Edi = 5 : 7. entuk terakhir adalah bentuk perbandingan yang paling sederhana. entuk perbandingan yang paling sederhana dari dua besaran yang sejenis dapat ditulis dengan a : b atau a (di baca a berbanding b) dengan a, b bilangan asli. b ontoh SOL. Tinggi badan Sephia adalah 0 cm dan tinggi badan inda adalah 60 cm. Tentukanlah perbandingan tinggi badan Sephia dengan inda. Penyelesaian: Tinggi badan Sephia = 0 cm Tinggi badan inda = 60 cm Perbandingan tinggi badan: = Sephia : inda = 0 cm : 60 cm = 7 : 8 Jadi, perbandingan tinggi badan Sephia dengan inda adalah 7 : 8.. Tentukanlah perbandingan berikut. a. menit : 90 detik b. 0,5 l :.000 cm c. m/det : 7 km/jam Penyelesaian: a. menit = 60 detik, maka: menit = 0 detik menit : 90 detik = 0 detik : 90 detik = : 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

120 b. liter =.000 cm, maka: 0,5 liter = 500 cm 0,5 l :.000 cm = 500 cm :.000 cm = :. c. km =.000 m, maka: 7 km = m jam =.600 det; m/det : 7 km/jam = m/det : m/.600 det = m/det : 0 m/det = : 0 = : 0 LTIHN. Nyatakan perbandingan berikut dalam bentuk perbandingan sederhana. a. 8 : d. ab : 8ab b. kg : 0 kg e. 9a : 8a c. 7 : 6. Nyatakanlah bentuk berikut dalam bentuk perbandingan. a. M = N c. = b. = 7 6 d. M = 8 N. ua buah persegi masing-masing sisinya cm dan 8 cm. Tentukanlah perbandingan dari kedua luas dan kelilingnya.. Untuk membantu korban bencana alam, Gunawan dan di akan menyumbang uang. Jumlah uang mereka adalah Rp00.000,00 dan perbandingan sumbangan mereka adalah : 6. Tentukanlah besar sumbangan masing-masing anak. 5. Umur ayah lebih tua 5 tahun daripada ibu. Umur ibu sekarang adalah 5 tahun. Tentukanlah: a. umur ayah sekarang; b. perbandingan umur ayah terhadap ibu; c. perbandingan umur ibu terhadap ayah 5 tahun yang akan datang. K EGIT Tugas Siswa iskusikanlah jawaban pertanyaan berikut dengan temanmu. ua bilangan berbanding sebagai 5 :. pabila bilangan pertama ditambah 0 dan bilangan kedua dikurangi 7 maka perbandingannya menjadi :. Tentukan kedua bilangan itu. N Gambarlah dua buah persegi dengan panjang sisi yang berbeda. Panjang sisi persegi pertama adalah dari panjang sisi persegi kedua. Hitunglah banyak persegi pertama yang digunakan untuk menutupi daerah persegi kedua. pa yang dapat kalian simpulkan dari kegiatan ini? ab 5 Perbandingan

121 Sifat-sifat Perbandingan oba kalian perhatikan perbandingan berikut. 6 : = 7 : 8 entuk perbandingan tersebut dapat ditulis dalam bentuk umum yaitu: a : b = c : d Nilai-nilai a dan b disebut suku perbandingan pertama, c dan d disebut suku perbandingan kedua. i samping itu, nilai a dan d disebut suku tepi dan nilai b dan c disebut suku tengah. erdasarkan bentuk umum dari perbandingan di atas dapat kita turunkan sifat-sifat perbandingan seperti berikut ini. Sifat utama I Jika a : b = c : d, maka a d = b c Untuk membuktikan sifat utama I perhatikan pembuktian berikut. a : b = c : d (a : b) b d = (c : d) b d a b b d = c d b d a b b d = c b Sifat utama II a d = c b atau ad = bc d d kedua ruas dikali dengan b d b b = dan d d = Jika a d = b c maka a : b = c : d Untuk membuktikan sifat utama II ini perhatikan pembuktian berikut. a d = b c a b d d = b b c d kedua ruas dibagi dengan b d a d b c d b = = dan = b d b d d b a c = atau a : b = c: d b d ari sifat utama I yaitu bahwa a : b = c : d maka ad = bc, bentuk a : b = c : d dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan, yaitu a b = c, sehingga bentuk umumnya seperti berikut ini. d Untuk iingat Pada perbandingan suku tepi a : b = c : d suku tengah dengan b, d 0 berlaku sifat berikut. Hasil perkalian suku tepi sama dengan hasil perkalian suku tengah. Jadi, jika a : b = c : d maka a d = b c. Matematika SMP dan MTs Kelas VII

122 Jika a b = c d maka ad = bc ari bentuk a b = c d dapat dilihat bahwa a d dan b c ontoh SOL. Hitunglah nilai x berikut. a. : x = 8 : 0 b. (x + ) : = (x + ) : 5 6 c. x = Penyelesaian: a. : x = 8 : 0 engan menggunakan sifat: a : b = c : d, maka a d = b c, kita peroleh 0 = 8x 0 = 8x 0 8 = x 5= x b. (x + ) : = (x + ) : 5 engan menggunakan sifat a : b = c : d, maka a d = b c kita peroleh: 5(x + ) = (x + ) 5x + 5 = x + 6 5x x =6 5 x = x = adalah perkalian dari pembilang dan penyebut dari pecahanpecahan itu dan biasa disebut perkalian silang. a c = c. b x = 6 d 6x = 6x = 7 x = 7 6 x =. Nyatakanlah x + y = dalam bentuk y x : y. Penyelesaian: x + y = y (x + y) = y x + y = y x = y x = y x y = Jadi x : y = :. LTIHN. Salin dan lengkapilah titik-titik berikut ini pada bukumu. x 5 a. Jika =, maka x =... b. Jika 5 7 =, maka x =... x c. Jika a : = 6 :, maka a =... d. Jika : b = 6 :, maka 6b =... e. Jika 8 : 7 = c :, maka 7c =.... Tentukanlah nilai dari variabel berikut. a. x 9 7 = b. t = 9 8 ab 5 Perbandingan

123 5 7 c. = x 6 d. = 6 a 0. Tentukanlah nilai dari peubah berikut. a. : x = 9 : 5 b. 7 : 97 = : y c..000 : z = : 7 d. u : 5 = 5 : e. 0, : 0,7 = b :,5. Tentukanlah nilai peubah berikut ini. a. (6x ) : = (9x + ) : 8 b. (y ) : (y ) = (y + ) : (y + ) c. (m + ) : (m ) = (m + ) : (m + ) 5. Tentukanlah perbandingan x dan y. x + y a. = y b. c. x y x = y 6 x 7 y 8 x = y Tugas Siswa iskusikanlah dengan teman sebangkumu. Mana yang lebih cepat, membaca x kata dalam menit atau membaca 6x kata dalam menit? erikan alasanmu. 5 Perbandingan erangkai Pada pembahasan perbandingan-perbandingan sebelumnya besaran-besaran yang dibandingkan hanya terdiri atas dua buah. agaimana jika besaran-besaran yang dibandingkan lebih dari dua macam? Perbandingan-perbandingan yang lebih dari dua besaran dapat kita selesaikan dengan menggunakan perbandingan berangkai. Perbandingan berangkai adalah beberapa perbandingan yang mempunyai hubungan satu sama lain dan dibuat dalam satu perbandingan. Perhatikan contoh berikut ini. Tentukanlah a : b : c. iketahui a : b = : dan b : c = : apat ditulis a : b = : b : c = : a : b : c = : : Jadi, perbandingan a : b : c = : :. iasanya untuk menyelesaikan perbandingan berangkai digunakan KPK (kelipatan persekutuan terkecil). Perhatikan contoh soal berikut ini. ontoh SOL. Tentukanlah perbandingan berikut ini. a. iketahui a : b = : dan b : c = : 5. Tentukanlah a : b : c. b. iketahui = ; = 5 ; dan 6 =. Tentukanlah : : :. 5 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

124 Penyelesaian: KPK dan adalah a. a : b = : a : b = 8 : b : c = : 5 b : c = : 5 a : b : c = 8 : :5 Jadi a : b : c = 8 : : 5. b. ara I = dapat ditulis : = : = 5 dapat ditulis : = 5 : 6 6 = dapat ditulis : = : 5 5 KPK dan 5 adalah 5 : = : 5 : = 5 : 6 : = : 5 KPK 6 dan adalah Perbandingan di atas dapat ditulis: : = ( : ) 0 : = (5 : 6) 6 : = ( : 5) 9 : = 0 : 0 : = 0 : 6 : = 6 : 5 : : : = 0 : 0 : 6 : 5 ara II = = 5 6 = = 9 LTIHN 5 = 5 6 = = = 5. iketahui : = : dan : = : 5 Tentukanlah perbandingan : :.. iketahui : = : 5; : = 5 : ; dan : = : 5. Tentukanlah : = :.. Jika : : = : : dan : : E = : : 5, tentukanlah : : : : E. Misalkan =, maka : : : = : : : 5 (KPK dari 9,, 5 = 5) 9 5 = 0 : 0 : 6 : 5 Jadi, perbandingannya adalah : : : = 0 : 0 : 6 : 5.. Uang di dibandingkan uang eni adalah :. Uang eni dibandingkan uang rfan adalah : 5. Jika jumlah uang mereka Rp0.000,00, tentukanlah besar uang mereka masing-masing. Penyelesaian: Uang di : uang eni = : Uang eni : uang rfan = : 5 ari kedua perbandingan kita peroleh: Uang di : uang eni : uang rfan = 6 : : 5. engan demikian, dapat kita tentukan besarnya uang mereka masing-masing. Uang di = 6 5 Rp0.000,00 = Rp.000,00 Uang eni = 5 Rp0.000,00 = Rp8.000,00 Uang rfan = 5 5 Rp0.000,00 = Rp0.000,00. iketahui = ; = ; dan = Tentukanlah perbandingan : : :. Pada gambar di atas : = : 5, : = :. Jika = 0 cm, ab 5 Perbandingan 5

125 hitunglah: a. c. b. d. 6. Perbandingan uang hea dan Ela adalah : 5. Perbandingan uang Ela dan Vera adalah 5 : 7. Jika jumlah uang mereka Rp7.500,00, berapa besar uang mereka masing-masing? Perbandingan Seharga alam ilmu perbandingan ada istilah perbandingan seharga dan perbandingan berbalik harga. pakah itu? Mari simak penjelasannya berikut ini. Pengertian Perbandingan Seharga alam kehidupan sehari-hari kita sering berhubungan dengan aktivitas jual-beli seperti misalnya membeli buku. Pernahkah kalian pergi ke toko buku? Pada saat membeli buku, semakin banyak buku yang kita beli semakin banyak pula uang yang kita keluarkan. Perhatikan tabel yang berisi banyaknya buku dan harga buku di samping. Pada Tabel 5. terlihat harga untuk 5 buah buku adalah Rp5.000,00. Selanjutnya, untuk masing-masing 0, 5, 0, dan 5 buku berturut-turut Rp0.000,00; Rp5.000,00; Rp60.000,00; dan Rp75.000,00. ari Tabel 5. coba kalian bandingkan banyaknya buku pada baris pertama dan baris kedua. erapa hasil perbandingannya? Lalu dengan cara yang sama, coba kalian bandingkan pula harga buku pada baris pertama dan baris kedua. erapakah hasil perbandingannya? erdasarkan kegiatan perbandingan yang kalian lakukan pada tabel harga dan banyaknya buku tersebut, hal apa yang dapat kalian simpulkan? ari tabel tersebut dapat dilihat bahwa semakin banyak buku yang dibeli semakin besar biaya yang harus dibayar. erdasarkan kegiatan di atas ternyata perbandingan banyaknya buku dan perbandingan harga buku memberikan nilai yang sama. Perbandingan seperti ini dikenal dengan perbandingan seharga. engan memisalkan harga a buku adalah b dan harga a buku adalah b, maka perbandingan seharga dapat dirumuskan sebagai berikut. a a b = atau dapat dinyatakan dengan a b : a = b : b Tabel 5. Perbandingan banyaknya buku dengan harga buku. anyak uku Harga uku Perhitungan Perbandingan Seharga alam kehidupan sehari-hari banyak persoalan-persoalan yang dapat dirumuskan sebagai masalah perbandingan seharga. Untuk menyelesaikan soal-soal perbandingan seharga, lakukanlah langkah-langkah berikut. 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

126 a) menentukan nilai satuan terlebih dahulu, kemudian b) tentukan perbandingannya. a. Menghitung Perbandingan Seharga dengan Penentuan Nilai Satuan Terlebih ahulu Penyelesaian perhitungan perbandingan seharga dapat dilakukan dengan menentukan nilai satuannya terlebih dahulu. ontohnya jika diketahui harga 5 apel Rp5.000,00, berapakah harga 7 buah apel? Untuk menentukan harga 7 apel dapat dilakukan dengan menentukan harga apel terlebih dahulu, yaitu Rp5.000,00 : 5 = Rp.000,00. Jadi, harga 7 buah apel adalah 7 Rp.000,00 = Rp7.000,00. anyak pel Harga pel 5 Rp5.000,00 : 5 : 5 Rp.000,00 7 Rp7.000,00 ontoh SOL. udi membeli tiket untuk masuk ke gedung teater dengan membayar Rp0.000,00. Tentukanlah uang yang harus dibayar jika ia membeli: a. tiket, dan b. 8 tiket. Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini sebaiknya kita buat tabel. a. anyak Tiket = x x = b. Menghitung Perbandingan Seharga dengan turan Perbandingan Penyelesaian perbandingan seharga dapat juga dilakukan dengan menggunakan aturan perbandingan. erikut ini diberikan aturan perbandingan. Harga Tiket Rp0.000,00 x 8 y a a b = atau dapat ditulis a b b = a b b x = x = Jadi, harga tiket = Rp60.000, =. y y = y = y = Jadi, harga 8 tiket = Rp0.000,00.. Harga buah jeruk Rp6.000,00. Hitunglah harga: a. 8 buah jeruk, dan b. buah jeruk. ab 5 Perbandingan 7

127 Penyelesaian: Untuk menyelesaikan soal ini sebaiknya kita buat tabel. anyak Jeruk 6 a. = x x = Harga Jeruk Rp6.000,00 8 x y x = x = LTIHN 6. alam menit seorang pelari menempuh jarak 900 m. Tentukanlah jarak yang ditempuh pelari selama: a. menit b. jam. Untuk membuat 0 potong martabak diperlukan kg tepung. a. erapa potong martabak jika tersedia: (i) kg tepung, dan (ii) 0 kg tepung. b. erapa kg tepung yang diperlukan untuk membuat: (i) potong martabak, dan (ii) 5 potong martabak.. Seorang kontraktor memperkirakan dapat menyelesaikan perbaikan jalan sepanjang 500 m selama 0 hari. erapa panjang jalan yang dapat diselesaikan selama 5 hari?. Seorang nasabah mendapat bunga dari bank sebesar Rp ,00, setelah menabung 5 bulan ( bulan = 0 hari). b. Jadi harga 8 buah jeruk adalah Rp7.000, =. y y = y = y = Jadi, harga buah jeruk adalah Rp8.000,00. erapa bunga yang diterima jika ia menabung selama: a. 6 bulan, c. 0 hari, dan b. 8 bulan, d. 0 hari. 5. Seseorang membeli kotak mangga yang tiap kotaknya berisi 00 mangga. Ia membayar mangga tersebut Rp ,00. Tentukanlah jumlah mangga yang diperoleh jika ia mempunyai uang sebesar: a. Rp00.000,00 b. Rp ,00 6. Untuk mengisi tangki bensin yang berbentuk bola dengan jari-jari 50 cm dibutuhkan waktu 0 menit. Tentukanlah waktu yang dibutuhkan jika: a. jari-jarinya 50 cm, dan b. diameternya 00 cm. 7. Rata-rata pertumbuhan rambut orang adalah 0,5 mm per hari. Jika panjang sehelai rambut 6 cm, berapa lama rambut itu tumbuh menjadi 6 cm? K EGIT N Ukuran kadar kemurnian emas adalah karat. oba kalian tanyakan kepada penjual emas atau carilah informasinya dari buku di perpustakaan mengenai arti dari karat. Jika suatu cincin berkadar emas 8 karat, berapa persen kandungan emas pada cincin itu? 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

128 Perbandingan erbalik Harga Kita telah mengetahui perbandingan seharga. Kali ini kita akan belajar tentang perbandingan berbalik harga. pakah bedanya dengan perbandingan seharga? Tabel 5. Perbandingan kecepatan kendaraan terhadap waktu tempuh perjalanan. Kecepatan (km/jam) Waktu (jam) Pengertian Perbandingan erbalik Harga Kalian tentu pernah bepergian dari satu kota ke kota yang lain, bukan? Ketika bepergian tersedia banyak pilihan alat transportasi yang dapat kalian gunakan seperti sepeda, sepeda motor, mobil, bus, dan kendaraan-kendaraan lainnya. Pada saat kalian mengendarai mobil, semakin tinggi kecepatan mobil, tentu waktu yang kalian butuhkan untuk sampai ke daerah tujuan semakin sedikit. Keadaan demikian kita sebut perbandingan berbalik harga. Untuk dapat memahami masalah ini, perhatikan Tabel 5. di samping. Pada tabel tersebut ada dua tanda panah yang saling berlawanan. Pada saat kecepatan semakin berkurang maka waktu tempuh yang diperlukan semakin lama. Sebaliknya, jika kecepatan semakin bertambah maka waktu yang dibutuhkan semakin sedikit. Keadaan seperti ini merupakan ciri dari perbandingan berbalik harga. ari Tabel 5. perbandingan berbalik harga dapat dinyatakan sebagai berikut = 9 ; 80 = 0 ; 7 = atau 90 = Ternyata hasil kali kecepatan dan waktu dari setiap baris nilainya sama. Untuk kecepatan a memerlukan waktu b, dan untuk kecepatan a memerlukan waktu b. engan demikian, bentuk umumnya adalah sebagai berikut. 8 Kecepatan Waktu a b a b a a b = atau a b b = a b entuk a b = dapat dinyatakan sebagai a a b : a = b : b. a : a = b : b (ruas kanan dikali dengan ). b b a a b : a = : b b : a = : b b b b b ab 5 Perbandingan 9

129 entuk a a b = dapat ditulis: b a : a = b : b atau a : a = : b b Menghitung Perbandingan erbalik Harga da dua cara menghitung perbandingan berbalik harga yaitu perhitungan berdasarkan hasil kali dan perhitungan berdasarkan perbandingan. agaimana masing-masing cara tersebut dilakukan? a. Perhitungan erdasarkan Hasil Kali alam kehidupan sehari-hari banyak permasalahanpermasalahan yang merupakan perbandingan berbalik harga. Penyelesaian permasalahan-permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan cara hasil kali. Untuk kecepatan a diperoleh waktu b Untuk kecepatan a diperoleh waktu b engan demikian a b = a b Tabel 5. Perbandingan kecepatan terhadap waktu Kecepatan Waktu a b a b ontoh SOL. 6 orang menyelesaikan suatu pekerjaan dalam waktu 0 hari. Jika ada 0 orang yang tersedia sebelum pekerjaan dimulai, berapa hari pekerjaan ini selesai? Penyelesaian: anyak Orang Lamanya a engan menggunakan perhitungan hasil kali maka penyelesaiannya adalah: 6 0 = 0a 6 0 a = 0 a = Jadi, dengan 0 orang pekerjaan akan selesai dalam hari.. Pada pesta ulang tahun, ti membagikan 0 undangan kepada temannya dan setiap orang akan mendapat 6 potong roti. ari undangan yang dibagikan, ternyata 5% temannya tidak hadir. Jika roti yang tersedia habis dibagikan kepada semua orang yang hadir, berapa potong roti yang diperoleh setiap orang? Penyelesaian: anyak Undangan Roti b Jumlah undangan yang hadir = 75% 0 orang = 90 orang Misalkan jumlah potongan roti yang diterima setiap orang = b, maka dengan menggunakan perbandingan terbalik diperoleh: 0 6= 90b b = b = 8 Jadi, setiap orang akan memperoleh 8 potong roti. 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

130 Tabel 5. Perbandingan kecepatan terhadap waktu. Kecepatan Waktu a b a b ontoh SOL i suatu asrama tersedia 90 kg beras yang cukup untuk dikonsumsi 00 orang selama hari. Jika asrama itu berkurang 0 orang, cukup untuk berapa harikah beras tersebut? anyak orang b. Menghitung erdasarkan Perbandingan i samping menggunakan cara hasil kali, permasalahan perbandingan berbalik harga juga dapat diselesaikan dengan perhitungan berdasarkan perbandingan. Perhatikan Tabel 5.. di samping. Untuk kecepatan a diperoleh waktu b dan untuk kecepatan a diperoleh waktu b. engan demikian, bentuk umumnya: a a Waktu 00 hari 00 0 = 80 x Penyelesaian: Kita gunakan cara perbandingan untuk menentukan x = x = 80x = 00 b b x = = 5 Jadi, makanan itu cukup untuk 5 hari. LTIHN 7. Seorang pengendara motor menempuh jarak tertentu dengan kecepatan 5 km/jam selama jam. Jika ia menggunakan mobil yang kecepatan rata-ratanya 60 km/jam, berapakah waktu yang dibutuhkan?. Sepuluh ekor kuda dapat menghabiskan rumput pada suatu areal selama hari. Jika ada 6 ekor kuda datang bergabung, berapa hari rumput di areal itu dapat dihabiskan?. Sebuah kereta bergerak ke kota yang berjarak 00 km. Tentukan kecepatan yang diperlukan agar kereta api sampai di tujuan dalam waktu: a. jam c. 6 jam b. jam d. 8 jam. iperlukan orang untuk memindahkan sejumlah barang dan waktu yang diperlukan selama jam. Jika tersedia 0 orang, berapakah waktu yang diperlukan? 5. i suatu perkemahan pramuka tersedia makanan untuk 7 orang pramuka selama 6 hari. Jika ternyata ada 8 orang yang tidak hadir, berapa lama makanan itu dapat memenuhi kebutuhan mereka? K EGIT N. agilah kelas menjadi beberapa kelompok. Tiap kelompok terdiri atas 0 siswa.. Ukurlah tinggi badan dan rentangan tangan tiap anggota kelompok. Lalu bandingkan tinggi badan dan rentangan badan tiap anggota kelompok. Tuliskan hasilnya pada sebuah tabel.. agaimana hasil yang kalian peroleh pada perbandingan? Samakah hasilnya untuk tiap anggota?. andingkan hasil yang kalian peroleh dengan hasil dari kelompok lain. ab 5 Perbandingan

131 E plikasi Perbandingan dalam Kehidupan Seperti yang telah kalian pelajari sebelumnya, banyak sekali masalah dalam kehidupan kita sehari-hari yang dapat dirumuskan sebagai permasalahan perbandingan. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut yang perlu kalian perhatikan terlebih dahulu adalah apakah masalah tersebut termasuk perbandingan seharga atau perbandingan berbalik harga. Perhatikan tabel berikut. Variabel Pertama Variabel Kedua a b a b erdasarkan tabel di atas diperoleh:. Untuk perbandingan seharga: a a = b b. Untuk perbandingan berbalik harga: a a = b b i samping kedua perbandingan itu ada juga perbandingan lainnya, yaitu perbandingan dengan selisih dan perbandingan dengan jumlah. Namun, kalian hanya akan mempelajarinya pada tingkat yang lebih lanjut. ontoh SOL alam sebuah pesta, untuk menjamu 00 orang tamu dibutuhkan 0 kg tepung untuk membuat kue. Tentukanlah banyaknya tepung yang diperlukan untuk menjamu 50 orang tamu. Penyelesaian: anyaknya Tamu anyaknya Tepung 00 0 kg 50 a Jika jumlah tamu bertambah, maka banyaknya tepung yang diperlukan untuk membuat kue juga bertambah. erarti soal tersebut berkaitan dengan perbandingan seharga. engan demikian, bentuk perbandingannya adalah sebagai berikut = 0 a 00a = 0 50 a = a = Jadi, banyaknya tepung yang diperlukan untuk menjamu 50 orang tamu adalah 50 kg. Matematika SMP dan MTs Kelas VII

132 . Sebuah konveksi selama 6 hari dapat membuat 60 potong baju. erapakah banyaknya baju yang dapat dibuat selama hari?. Suatu asrama mempunyai persediaan makanan untuk 0 orang selama hari. Jika di dalam asrama itu bertambah orang lagi maka berapa hari persediaan makanan itu habis?. Untuk menempuh jarak dua kota dengan menggunakan mobil diperlukan waktu 0 jam dengan kecepatan rata-rata 60 km/jam. erapa waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut dengan kecepatan 75 km/jam?. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan 6 hari dengan bekerja 5 jam sehari. Supaya pekerjaan itu cepat selesai, pekerja itu bekerja 8 jam sehari. erapa hari pekerjaan itu dapat diselesaikan? 5. Sebuah perpustakaan mempunyai dana yang cukup untuk memesan 8 buku dengan harga Rp55.000,00 per buah. Jika petugas perpustakaan membatalkan pemesanan dan memesan buku yang harganya Rp88.000,00 per buah, berapa buku yang diperoleh? K EGIT N ersama temanmu, carilah beberapa komposisi bahanbahan penyusun dari produk (makanan/minuman) yang ada di rumahmu. Tentukanlah perbandingan dari: a. bahan I dengan keseluruhan bahan, b. bahan II dengan keseluruhan bahan, c. bahan III dengan keseluruhan bahan, d. bahan IV dengan keseluruhan bahan, dan seterusnya. ontoh: Sirup xyz memiliki kandungan Gula = 8 g Vitamin = 0, mg Vitamin = 60 mg Kalsium = 05 mg Fospor = 50 mg Vitamin 6 = 0, mg untuk setiap 00 gram. RNGKUMN. Perbandingan ada dua macam yaitu perbandingan seharga dan perbandingan berbalik harga.. entuk umum perbandingan seharga: a : b = c : d atau a d = b c. entuk umum perbandingan berbalik harga: a : b = c : d atau a c = b d. Skala = jarak pada peta/ daerah/ gambar jarak sebenarnya ab 5 Perbandingan

133 Uji Kompetensi ab 5 Pilihan ganda erilah tanda silang ( ) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar.. entuk sederhana dari perbandingan 5 cm : m adalah... a. : 5 c. : 5 b. : 6 d. : 6. Harga m bahan celana Rp05.000,00. Harga 5 m bahan celana adalah... a. Rp5.000,00 c. Rp55.000,00 b. Rp75.000,00 d. Rp ,00. Jika nilai tukar 5 dollar merika adalah Rp.500,00 maka nilai Rp0.000,00 dalam dollar merika adalah... a. dollar c. 6 dollar b. 5 dollar d. 8 dollar. Sebuah persegi panjang berukuran panjang 5 cm dan lebar 0 cm. Perbandingan antara keliling dan luasnya adalah... a. : c. : b. : d. : 5 5. Seorang pekerja bangunan mendapat upah Rp67.500,00 selama tiga hari. Jika pekerja itu bekerja selama hari, banyaknya upah yang ia terima adalah... a. Rp0.500,00 c. Rp.7.500,00 b. Rp7.500,00 d. Rp.5.500,00 6. Untuk memberi makan orang tamu diperlukan kg beras. ila akan memberi makan 5 tamu maka beras yang diperlukan adalah... a.,5 kg c. 5 kg b. kg d. 7 kg 7 Pak Rudi membagikan buku kepada 5 anak dan masing-masing mendapat 0 buah buku. Jika banyak buku tadi akan dibagikan kepada 5 anak, maka banyak buku yang diterima masingmasing anak adalah... a. 6 buku c. 0 buku b. 8 buku d. buku 8. alam satu jam li dapat mengetik.60 kata. Jika li mengetik selama 80 menit maka banyaknya kata yang berhasil diketik adalah... a. 95 kata c..680 kata b..80 kata d..50 kata 9. Sebanyak anak memerlukan waktu 5 menit untuk mendirikan sebuah tenda. Jika dikerjakan oleh 5 anak, maka waktu yang diperlukan untuk mendirikan tenda tersebut adalah... a. 5 menit c. 5 menit b. 0 menit d.,5 menit 0. Perbandingan panjang, lebar, dan tinggi sebuah balok adalah : : 5. Jika tingginya 0 cm, maka panjang dan lebar balok tersebut adalah... a. 6 cm dan 5 cm b. 8 cm dan 6 cm c. 8 cm dan cm d. 6 cm dan cm. Seorang petani mempunyai persediaan makanan untuk 0 ekor sapi selama 5 hari. Jika petani itu membeli 0 ekor sapi lagi, maka persediaan makanan itu akan habis dalam waktu... a. 0 hari c. 8 hari b. hari d. 0 hari. iketahui 5 orang dapat menyelesaikan pekerjaan dalam 0 hari. Jika pekerjaan itu ingin diselesaikan dalam 5 hari, jumlah orang yang harus ditambah adalah... a. orang c. 8 orang b. 5 orang d. orang. Jika harga lusin baju adalah Rp0.000,00 maka harga baju adalah... a. Rp7.500,00 c. Rp0.000,00 b. Rp8.500,00 d. Rp.0.000,00 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

134 . Sebuah foto orobudur panjangnya 5 cm dan tingginya,5 cm. Jika tinggi orobudur adalah 5 m, maka panjang sebenarnya adalah... a. 5 m c. 50 m b. 0 m d. 00 m 5. Kepada 0 orang siswa kelas I ditanyakan tentang cara mereka pergi ke sekolah. Hasilnya: 5 orang naik mobil, orang naik motor, 0 orang naik bus kota, dan orang berjalan kaki. ari data-data tersebut, perbandingan antara banyaknya siswa yang naik kendaraan beroda dua dengan jumlah siswa seluruhnya adalah... a. : 0 c. : 5 b. : 0 d. : 5 6. Seorang tenaga ahli mendapat upah sebesar Rp00.000,00 sebulan dan tenaga ahli lainnya mendapat upah Rp ,00 sebulan. Perbandingan pendapatan kedua tenaga ahli tersebut adalah... a. : c. : 6 b. 6 : 7 d. 9 : 7 7 Umur mir 0 tahun, umur ayah 0 tahun lebih tua dari umur mir. Umur kakek Esai Selesaikanlah soal-soal di bawah ini.. Sebuah persegi panjang berukuran panjang 6 cm dan lebar cm. Tentukanlah perbandingan antara panjang dan kelilingnya.. Sebuah mobil memerlukan liter bensin untuk menempuh jarak 5 km. erapa jarak yang ditempuh mobil itu jika menghabiskan 0 liter bensin?. Skala suatu model pesawat udara adalah : 00. Panjang badan pesawat udara sebenarnya adalah 6 m dan lebar sayapnya 8 m. Tentukanlah panjang badan dan lebar sayap pesawat pada model. 0 tahun lebih tua dari umur ayah. Perbandingan umur ayah terhadap umur kakek adalah... a. : c. : b. : 5 d. : 8. Jika P : Q = :, Q = R dan R = S maka perbandingan P : Q : R : S adalah... a. : : : c. : : 6 : b. : 6 : : d. : : 6 : 9. Sekarang umur intang berbanding dengan umur Langit adalah :. ua belas tahun lagi umur intang berbanding umur Langit adalah 6 : 5. Umur intang dan Langit 5 tahun yang lalu berturut-turut adalah... a. 9 tahun dan tahun b. 5 tahun dan 9 tahun c. 0 tahun dan tahun d. tahun dan 5 tahun 0. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 0 orang dalam hari. Setelah hari bekerja, pekerjaan itu terhenti selama hari. gar pekerjaan itu dapat diselesaikan tepat pada waktunya, maka diperlukan tambahan pekerja sebanyak... orang. a. c. b. d.. Seorang petani mempunyai persediaan makanan untuk 80 ekor ayam selama 5 hari. Jika petani itu membeli 0 ekor ayam lagi, berapa hari persediaan makanan itu akan habis? 5. Sebuah barang mempunyai ongkos produksi dengan perbandingan bahan, buruh, dan transportasi adalah : 6 : 9. Jika untuk bahan diperlukan biaya Rp ,00 tentukanlah harga barang tersebut. 6. Jumlah uang Jaka dan Rangga adalah Rp0.000,00. Jika perbandingan uang mereka sebesar : 5 maka tentukanlah besar uang jaka dan Rangga. Uji Kompetensi ab 5 5

135 7. Seorang pemborong memperkirakan bahwa suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam waktu bulan dengan 90 pekerja. gar pekerjaan tersebut lebih cepat selesai, maka pemborong tersebut menambah 0 orang pekerja lagi. engan penambahan pekerja sebanyak 0 orang, tentukanlah waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut. 8. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan oleh 0 orang dalam hari. Setelah hari bekerja, pekerjaan itu terhenti selama hari. gar pekerjaan tersebut dapat diselesaikan tepat waktu, berapa banyak pekerja yang perlu ditambahkan? 9. Jarak kota ke kota jika ditempuh dengan kereta api berkecepatan 0 km/jam memerlukan waktu jam. Waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut jika digunakan mobil dengan kecepatan 90 km/jam adalah x. Tentukanlah nilai x. 0. Seorang pemborong dapat menyelesaikan pekerjaan dengan 6 orang pekerja selama 90 hari. Pekerjaan berlangsung 0 hari terhenti karena suatu hal 5 hari, bekerja kembali 0 hari, terhenti lagi 5 hari. Tentukanlah jumlah pekerja yang harus ditambahkan agar pekerjaan dapat selesai tepat waktu. 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

136 Latihan Ulangan Umum Semester Pilihan ganda erilah tanda silang ( ) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar.. Sifat-sifat di bawah ini yang bukan sifat operasi penjumlahan bilangan cacah adalah... a. komutatif b. asosiatif c. tertutup d. memiliki bilangan identitas =. Pernyataan-pernyataan di bawah ini yang memenuhi sifat distributif adalah... a. a : (b c) = (a : b) + (a : c) b. a + (b c) = (a + b) (a + c) c. a (b c) = (a b) (a c) d. a (b + c) = (a b) + (a c). ilangan pecahan di bawah ini yang nilainya terletak antara dan adalah a. c. b. 6 d. 8. Hasil pengurangan (8 0 ) (6 0 ) =... a. 0 5 c. 7, 0 b. 7 0 d Tiga bilangan cacah berurutan jumlahnya 0. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah... a. 90 c. 990 b. 9 d Jika berarti kuadratkan bilangan pertama lalu hasilnya kurangi dengan tiga kali bilangan kedua, maka nilai dari ( ) 5 adalah... a. c. 6 b. 5 d Pada sebuah pertandingan, jika menang mendapat nilai 5 dan jika kalah nilainya dikurangi. Sedangkan untuk pertandingan yang draw (seri) tidak mendapat nilai. Sebuah regu mengikuti 8 kali pertandingan dengan memperoleh nilai 5 dan pernah kalah 5 kali. Ini berarti regu tersebut mengalami kemenangan dan draw masing-masing sebanyak... a. 8 kali dan 5 kali b. 9 kali dan kali c. 0 kali dan kali d. kali dan kali 8. entuk baku dari 0, adalah... a. 7, c. 7, b. 7, d. 7, Hasil pembagian dari : 8 a. b. c. d. adalah Pecahan yang senilai dengan 65 adalah a. b. 6 c. d. 6. Jika a = 5, dan b =, maka nilai dari a adalah... b a. 5 5 c. b. 5. Ivan, ldi, dan Udin memperoleh sejumlah uang dari Paman Tom. Ivan 5 mendapat bagian, ldi mendapat 7 6 bagian dan sisanya sebanyak Rp8.000,00 diterima Udin. Jumlah bagian Ivan dan ldi masing-masing adalah... a. Rp0.000,00 dan Rp5.000,00 b. Rp8.000,00 dan Rp8.000,00 d. 5 Latihan Ulangan Umum Semester 7

137 c. Rp80.000,00 dan Rp0.000,00 d. Rp96.000,00 dan Rp.000,00. Kurangkanlah 7ab + 5bc ac dengan 9ab bc ac. Hasilnya adalah... a. ab + bc ac c. ab + bc b. 6ab + 8bc d. 6ab 8bc. entuk pecahan dari,5% adalah... a. b. 8 c. d entuk sederhana dari (8x y 6x y) : xy adalah... a. xy x y c. xy x b. xy xy d. x y x 6. Jika a =, b =, c =, maka nilai dari (ab) ac ab adalah... a. 7 c. b. 5 d Seorang pedagang membeli barang seharga dan menjualnya dengan harga J. Jika pedagang itu rugi, maka... a. J > 0 c. J = 0 b. J < 0 d. J > 0 8. Seorang pedagang membeli 0 peti buah dukuh seharga Rp00.000,00 dengan bruto kg tiap peti. ukuh tersebut dijual dengan harga Rp.500,00 tiap kg. Jika taranya kg/peti, maka untungnya adalah... a. Rp00.000,00 c. Rp0.000,00 b. Rp05.000,00 d. Rp5.000,00 9. Wati menyimpan uang di sebuah bank di sekolahnya. unga yang diberikan 5% setahun. ila dalam bulan ia menerima bunga Rp ,00, uang yang dibungakan Wati adalah... a. Rp ,00 b. Rp ,00 c. Rp ,00 d. Rp ,00 0. Jika harga beli adalah kali harga jual, maka diperoleh... a. kerugian sebesar b. kerugian sebesar c. keuntungan sebesar kali harga jual kali harga beli kali harga jual d. keuntungan sebesar kali harga beli. Kakak membeli 0 kg teh dengan harga Rp.000,00 tiap kg dan 0 kg teh dengan harga Rp5.000,00 tiap kg. Kedua jenis teh dicampur dengan memperoleh keuntungan 0%. Harga jual teh campuran tiap kg adalah... a. Rp.00,00 c. Rp.000,00 b. Rp.667,00 d. Rp.00,00. di menabung sebesar Rp ,00 dengan suku bunga 8% tiap tahun. Tabungan dan bunganya akan berjumlah Rp ,00 setelah disimpan selama... a. bulan c. bulan b. 0 bulan d. 6 bulan. iketahui bentuk persamaan 5x = x + 7. Langkah awal yang diperlukan untuk menyelesaikan persamaan tersebut adalah... a. menambahkan kedua ruas dengan x b. menambahkan kedua ruas dengan x + c. menambahkan kedua ruas dengan x + d. menambahkan kedua ruas dengan x. Himpunan penyelesaian kalimat terbuka dari 5x = 8 untuk x {0,,,... 0} adalah... a. {} c. {8} b. {6} d. {0} 5. ecep tahun lebih tua dari udi. Jumlah umur mereka 0 tahun. Jika umur ecep x tahun, maka kalimat matematika yang sesuai adalah... a. x = 0 c. x = 0 b. x + = 0 d. x + = 0 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

138 6. {x + (x )} =, maka nilai x adalah... a. b. c. 9 d. 7. ua bilangan berjumlah 5. Selisih dua bilangan itu 9. Kuadrat jumlah dua bilangan itu adalah... a. 5 c. 706 b. 65 d Penyelesaian pertidaksamaan 0 x < adalah... a. x < 6 c. x < 6 b. x > 6 d. x > 6 9. Seorang ayah 0 tahun lebih tua dari anaknya. Jika jumlah umur mereka kurang dari 80 tahun, maka umur anaknya adalah... a. kurang dari 5 tahun b. lebih dari 5 tahun c. lebih dari 50 tahun d. kurang dari 50 tahun dan lebih dari 5 tahun 0. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x ( x ) > x + 5, untuk x bilangan rasional adalah... a. {x x <, x Q} b. {x x < 5, x Q} c. {x x >, x Q} d. {x x > 5, x Q}. Grafik himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 7x + 5 x + 0, untuk x bulat adalah... a. 5 b. 5 c. 5 d. 5. Seorang siswa membaca dua peta. Jarak dua buah kota pada peta dengan skala : adalah 7,5 cm. Pada peta jarak kedua kota itu,5 cm. Skala pada peta adalah... a. : c. : b. : d. : Skala sebuah denah rumah adalah : 500. ila rumah itu berukuran 6 m 5 m, maka luas dan keliling rumah pada denah adalah... a.,6 cm dan 6 cm b.,6 cm dan 8, cm c. 8 cm dan 8, cm d. 8 cm dan 6 cm. Jika P : Q = :, Q = R dan R = S, maka P : Q : R : S adalah... a. : : : c. : : 6 : b. : 6 : : d. : : 6 : 5. Sebuah persegi panjang lebarnya 6 cm. Jika perbandingan panjang dan lebarnya :, maka luas persegi panjang adalah... cm. a. 0 c. 0 b. d Umur mir 0 tahun, umur ayah 0 tahun lebih tua dari umur mir. Umur kakek 0 tahun lebih tua dari umur ayah. Perbandingan umur ayah terhadap umur kakek adalah... a. : c. : b. : 5 d. : 7. Sekarang umur inda berbanding umur Nova adalah :. ua belas tahun lagi umur inda berbanding umur Nova adalah 6 : 5, maka umur inda dan Nova lima tahun yang lalu berturutturut adalah... a. 9 tahun dan tahun b. 0 tahun dan tahun c. tahun dan 5 tahun d. 5 tahun dan 9 tahun 8. Jarak kota dan kota jika ditempuh dengan kereta api dengan kecepatan Latihan Ulangan Umum Semester 9

139 0 km/jam memerlukan waktu jam. Waktu yang diperlukan untuk menempuh jarak tersebut jika digunakan mobil dengan kecepatan 90 km/jam adalah... a.,5 jam c.,5 jam b. jam d. jam 9. Suhu mula-mula 0º. Kemudian dinaikkan 5º dan diturunkan kembali 7º. Suhu terakhir adalah... Esai Selesaikanlah soal-soal di bawah ini.. Tentukanlah KPK dan FP dari: a. 6, 8, 96, dan b. 96,, dan 56. Hitunglah hasil operasi berikut. a. b : ( + ) Tulislah dalam bentuk baku sampai pembulatan dua desimal. a..58,69 juta b. 0, c. (8,7 0 6 ) (0,7 0 8 ) ( 0 5 ) d. 7 8 ( 7, 0 ) (, 5 0 ) 9 0. Uang : uang = :. Uang = 6 uang, dan tiga kali uang = dua kali uang. a. Tentukanlah uang : uang : uang : uang. a. º c. º b. º d. º 0. Letak kapal terbang adalah.50 m di atas permukaan laut, sedangkan letak kapal selam adalah 50 m di bawah permukaan laut. Jarak antara kedua kapal tersebut adalah... a. 5 m c..00 m b..00 m d m b. Jika uang Rp70.000,00 lebih banyak dari uang, tentukanlah besar uang masing-masing. 5. Lima buah bilangan genap berurutan jumlahnya 50. Tentukanlah dua kali bilangan kedua dikurangi setengah kali bilangan keempat. 6. Perbandingan umur odi dan idu sekarang : 5. Empat tahun lalu perbandingan umur mereka adalah 5 : 9. Tentukanlah jumlah umur mereka 5 tahun yang akan datang. 7. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari 0 x x <, x bilangan 5 bulat. 8. Tentukanlah himpunan penyelesaian dari x x < x E iketahui E =, = E, dan =. Jika panjang E = 0 cm. Hitunglah panjang dan E. 0. Seorang pedagang membeli jenis kopi. Kopi sebanyak kg dengan harga Rp.00,00 tiap kg dan kopi sebanyak 8 kg seharga Rp.000,00 tiap kg. Kedua jenis kopi tersebut dicampur dan dijual dengan untung %. Tentukanlah: a. harga jual kg kopi campuran; b. harga jual kg kopi campuran. 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

140 Himpunan Sumber: National Geographic Magazine 6 Tujuan Pembelajaran Memahami pengertian himpunan dan cara menyatakannya Menentukan himpunan bagian dan banyaknya Memahami pengertian irisan, gabungan, selisih, dan komplemen pada himpunan Memahami diagram Venn dan penggunaannya dalam masalah himpunan. S ebelum mempelajari bab ini, kalian perlu mengingat kembali materi yang berkaitan dengan himpunan, yaitu bilangan cacah, bilangan asli, bilangan bulat, kelipatan dan faktor serta pertidaksamaan. Pada kehidupan sehari-hari penerapan konsep himpunan sering kita jumpai. Salah satunya seperti terlihat pada gambar di atas. alam matematika, untuk menyatakan kumpulan bendabenda dengan jenis atau kelompok yang sama dapat menggunakan himpunan. Jadi, gambar di atas merupakan gambar himpunan enam ekor singa yang menyeberangi sungai. agaimanakah menyatakan suatu himpunan dalam matematika? agaimana pula menyatakan irisan, gabungan, dan komplemen suatu himpunan? Untuk memahami hal ini, mari kita pelajari ab 6 berikut dengan saksama. ab 6 Himpunan

141 Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Tulislah bilangan-bilangan berikut. a. Empat bilangan cacah yang pertama b. ilangan asli antara dan 0 c. Faktor prima dari 5 d. Kelipatan 5 yang kurang dari 0. Tentukan nilai x, untuk x bilangan bulat agar kalimat berikut menjadi benar. a. 5 < x < c. < x 9 b. 0 x d. < x. Tulislah bilangan asli kuadrat di antara 0 dan 00. Mengenal Himpunan Kalian tentu memiliki seperangkat alat-alat makan seperti sendok, garpu, piring dan gelas di rumah. lat-alat tersebut biasanya tersedia dalam jumlah lebih dari satu. eberapa sendok, beberapa garpu, beberapa gelas dapat dikatakan sebagai himpunan yaitu himpunan sendok, himpunan garpu, dan himpunan gelas. Mengapa alat-alat tersebut dapat dikatakan sebagai himpunan? Karena alat-alat tersebut definisinya jelas yaitu sebagai alat-alat makan. kan tetapi, pernyataan beberapa sendok indah, kumpulan garpu indah, kumpulan gelas indah, dan beberapa piring indah tidak dapat dikatakan sebagai himpunan. Mengapa? Karena kata indah adalah kata yang bersifat subyektif. Indah untuk seseorang belum tentu indah buat orang lain. Oleh karena itu, kata indah dikatakan tidak memiliki definisi yang jelas. engan demikian, kalimat beberapa gelas indah dan beberapa piring indah tidak dapat dikatakan sebagai himpunan. erdasarkan penjelasan di atas maka himpunan dapat didefinisikan sebagai berikut. Himpunan adalah kumpulan dari benda-benda yang dapat dibedakan atau didefinisikan dengan jelas. erdasarkan definisi himpunan tersebut, suatu kumpulan atau kelompok benda ternyata dapat dinyatakan sebagai himpunan dan ada pula yang tidak dapat dinyatakan sebagai himpunan. gar kalian dapat memahaminya, perhatikan dengan baik dua kelompok benda berikut ini. Kumpulan atau kelompok yang merupakan himpunan. a. Kumpulan binatang berkaki empat yang bertanduk. b. Kumpulan huruf hidup dalam abjad. c. Kumpulan bilangan asli yang kurang dari 0. Gambar 6. Himpunan garpu dan himpunan sendok. Sumber: lip rt 00 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

142 ontoh SOL Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan. a. Kumpulan binatang berkaki empat. b. Kumpulan makanan enak. Penyelesaian: a. Kumpulan binatang berkaki empat merupakan himpunan karena kita dapat mendefinisikan dengan jelas binatang Kumpulan atau kelompok yang bukan merupakan himpunan. a. Kumpulan orang miskin di Jakarta. b. Kumpulan siswa-siswa berbadan tinggi. c. Kumpulan makanan lezat. yang berkaki empat dan binatang yang tidak berkaki empat. b. Kumpulan makanan enak bukan merupakan himpunan karena kita tidak dapat mendefinisikan dengan jelas makanan yang enak dan yang tidak enak. Makanan yang enak sangat bergantung pada orang yang merasakannya dan tidak sama menurut setiap orang. LTIHN Manakah pernyataan berikut yang merupakan himpunan? erikan alasanmu.. Kumpulan anak kelas VII SMP yang tingginya kurang dari 60 cm.. Kumpulan anak kelas VII SMP yang usianya lebih dari 0 tahun.. Kumpulan anak perempuan berambut pendek.. Kumpulan anak laki-laki yang botak. 5. Kumpulan anak kelas VIII SMP yang pintar. 6. Kumpulan tulisan indah. 7. Kumpulan alat-alat tulis. 8. Kumpulan nama bulan yang lamanya 0 hari. 9. Kumpulan nama sungai di Indonesia. 0. Kumpulan hewan-hewan yang diternakkan. Untuk iingat nggota suatu himpunan yang muncul lebih dari satu kali ditulis sekali saja. ontoh = Himpunan huruf pembentuk kata MTEMTIK = {M,, T, E, I, K} nggota dan ukan nggota Himpunan Kalian telah mengetahui bahwa himpunan merupakan kumpulan dari benda-benda yang dapat dibedakan atau didefinisikan dengan jelas. Misalnya himpunan lima bilangan asli yang pertama. Himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah,,,, dan 5. Suatu himpunan harus memiliki nama. Nama himpunan biasanya ditulis dengan huruf kapital. ontoh: = himpunan 5 bilangan asli yang pertama. Nama himpunan menggunakan huruf kapital. Himpunan adalah himpunan 5 bilangan asli yang pertama yaitu,,,, dan 5. ilangan,,,, dan 5 disebut anggota dari himpunan. ab 6 Himpunan

143 nggota himpunan biasanya dinotasikan dengan. ontoh: dibaca satu merupakan anggota dari himpunan. dibaca dua merupakan anggota dari himpunan. Untuk menyatakan sesuatu bukan anggota himpunan biasanya dinotasikan dengan. ontoh: 7 dibaca tujuh bukan anggota dari himpunan. 9 dibaca sembilan bukan anggota dari himpunan. nggota suatu himpunan dinotasikan dengan. ukan anggota suatu himpunan dinotasikan dengan. Himpunan adalah himpunan lima bilangan asli yang pertama yaitu,,,, dan 5. anyaknya anggota himpunan adalah 5. Notasi banyaknya anggota himpunan dapat ditulis n() = 5 dibaca banyaknya anggota himpunan adalah 5. ontoh SOL. Salin dan isilah titik-titik berikut dengan notasi atau pada bukumu. a.... {,, } c {,, 5} b {,, } d {6, 7, 8}. Tentukanlah banyaknya anggota himpunan berikut. a. = {,,,, 5} b. = {a, b, c, d, e, f} c. = {x, y, z}. Tentukan banyaknya anggota himpunan dari: a. M = himpunan bilangan asli kurang dari 6. b. P = himpunan bilangan prima antara 5 dan 5. c. R = himpunan bilangan komposit antara 0 dan 0. Penyelesaian:. a. {,, } c. 5 {,, 5} b. 5 {,, } d. 8 {6, 7, 8}. a. n() = 5 c. n()= b. n() = 6. a. n(m) = 5 c. n(r)= 7 b. n(p) = LTIHN. iketahui = {,,,, 5}. Isilah titiktitik berikut dengan notasi atau. a.... e b f c g d.... h..... iketahui: = {,,,, 5} = {6, 7, 8} = {a, b, c, d, e, f, g} = {x, y, z, a, b, c} Tentukanlah: a. n() c. n() b. n() d. n(). Nyatakanlah benar atau salah pernyataan berikut. a. 5 himpunan bilangan ganjil. b. 6 himpunan bilangan yang habis dibagi 6. c. Semeru himpunan gunung berapi di Pulau Jawa. d. 00 himpunan bilangan kuadrat. e. 8 himpunan bilangan prima. Matematika SMP dan MTs Kelas VII

144 . iketahui = {,,,, 5}, = {, 6, 9,..., 99}, dan = {5, 0, 5}. Salin dan lengkapilah bentuk berikut dengan tanda dan pada bukumu. a e b.... f.... c.... g d h iketahui: = {,,, 5}, = {5, 6, 7, 8, 9}, dan = {,,, 5} Nyatakanlah bentuk berikut benar atau salah. a. 5 d. b. 5 e. c. f. 6. iketahui: = himpunan bilangan asli kurang dari 0 = himpunan bilangan cacah kurang dari 8 = himpunan bilangan genap kurang dari 0 = himpunan bilangan prima kurang dari 50 Tentukan: a. n(); c. n(); b. n(); d. n(). 7. P = himpunan bilangan prima kurang dari 0. Nyatakanlah bentuk berikut benar atau salah. a. P c. 5 P b. 5 P d. 8 P 8. iketahui: = himpunan bilangan kuadrat = himpunan bilangan prima = himpunan bilangan ganjil = himpunan bilangan genap Salin dan isilah titik-titik berikut dengan notasi atau. a d.... b e c.... f iketahui: X = Himpunan bilangan prima antara 55 dan 95. Y = Himpunan bilangan ganjil antara dan 55. Z = Himpunan kelipatan 7 antara 0 dan 80. Tentukanlah: a. n(x); c. n(z). b. n(y); Himpunan ilangan-ilangan i dalam matematika dikenal bermacam-macam bilangan seperti bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan cacah. ilangan-bilangan tersebut secara skematik dapat dinyatakan sebagai berikut. ilangan Kompleks ilangan Real ilangan Imajiner ilangan Irasional ilangan Rasional ilangan ulat ilangan pecahan ilangan ulat Negatif ilangan acah ilangan sli ilangan Nol ilangan Genap ilangan Ganjil Gambar 6. Skema himpunan bilangan ab 6 Himpunan 5

145 ilangan-bilangan itu dapat dinyatakan dalam bentuk himpunan. a. Himpunan bilangan asli dengan = {,,,,...} b. Himpunan bilangan cacah dengan = {0,,,,...} c. Himpunan bilangan bulat dengan = {...,,, 0,,,...} d. Himpunan bilangan prima dengan P = {,, 5, 7,...} e. Himpunan bilangan genap dengan G = {0,,, 6,...} f. Himpunan bilangan ganjil dengan J = {,, 5, 7,...} a. ara Menyatakan Himpunan Misalkan diketahui himpunan lima abjad yang pertama adalah a, b, c, d, dan e. Jika kelima abjad yang pertama ini dinyatakan dalam himpunan, maka himpunan itu harus diberi nama terlebih dahulu. Nama himpunan biasa ditulis dengan huruf kapital. Himpunan lima abjad yang pertama dapat ditulis sebagai berikut. = {a, b, c, d, e} i samping menyatakan suatu himpunan seperti pada contoh di atas, adakah cara lain untuk menyatakannya? Pada dasarnya ada tiga cara untuk menyatakan himpunan yaitu: menyatakan dengan kata-kata; mendaftar (tabulasi); notasi. ) ara Menyatakan Himpunan dengan kata-kata Untuk menyatakan a, b, c, d, dan e sebagai himpunan dengan kata-kata adalah sebagai berikut. = himpunan lima abjad pertama Untuk menuliskan,,,, dan 5 sebagai himpunan dengan kata-kata sebagai berikut. = himpunan lima bilangan asli yang pertama, atau dapat ditulis = himpunan bilangan asli yang kurang dari 6. ) ara Menyatakan Himpunan dengan Mendaftar (Tabulasi) ara menyatakan himpunan dengan mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota dari himpunan tersebut. Semua anggota himpunan ditulis dalam tanda kurung kurawal dan penyebutan anggota yang satu dengan yang lain dipisahkan dengan tanda koma. Perhatikan contoh berikut ini. 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

146 a) = {,, 5, 7, 9} b) M = {andung, Jakarta, Semarang, Surabaya} c) S = {Senin, Selasa, Sabtu} d) = {,,,,...} Menyatakan himpunan dengan cara seperti ini sangat cocok untuk himpunan yang jumlah anggotanya sedikit. da tiga hal yang perlu kalian perhatikan dalam menyatakan himpunan dengan cara mendaftar, yaitu sebagai berikut. a) nggota suatu himpunan yang muncul lebih dari satu kali, cukup ditulis sekali saja. b) Penulisan anggota himpunan boleh mengabaikan urutannya. c) Untuk himpunan yang jumlah anggotanya tak terhingga dan anggotanya mempunyai urutan tertentu dapat menggunakan tanda tiga titik (...). Untuk iingat Untuk memisahkan anggota yang satu dengan anggota yang lainnya dalam suatu himpunan, digunakan tanda koma dan penulisan anggotaanggota himpunan dibatasi oleh dua kurung kurawal. ) ara Menyatakan Himpunan dengan Menggunakan Notasi Himpunan yang dinyatakan dengan cara ini tidak disebutkan anggota-anggotanya. Yang disebutkan hanyalah syarat atau aturan yang harus dipenuhi oleh suatu objek agar dapat menjadi anggota himpunan yang bersangkutan. Penyajian himpunan dengan cara ini dinamakan menggunakan notasi pembentuk himpunan. Penulisan dengan notasi pembentuk himpunan dinyatakan sebagai berikut. = {x..., x...} Misalkan diketahui = {,,,, 5}. Himpunan dapat dinamakan sebagai himpunan lima bilangan asli pertama. engan cara notasi pembentuk himpunan ditulis dalam bentuk: = {x x < 6, x bilangan asli} Penotasian tersebut dibaca sebagai himpunan dengan x kurang dari 6 dan x anggota bilangan asli. Selain penyataan himpunan dengan cara notasi seperti di atas, ada pula cara penotasian yang berbentuk sebagai berikut. = {(x, y)..., x, y bilangan...} ontoh: = {(, ), (, ), (, ), (, ),...} dapat dinyatakan dalam bentuk notasi sebagai berikut. = {(x, y) x = y; x, y bilangan asli} ab 6 Himpunan 7

147 ontoh SOL Tentukanlah himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan. a. = {6, 7, 8, 9, 0} b. = {(, ), (, ), (, ), (, ), (5, 5)} c. = {(, ), (, ), (, ), (, 5), (5, 6)} Penyelesaian: a. = {x 5 < x <, x bilangan asli} b. = {(x, y) y = x, x < 6, x, y bilangan asli} c. Notasinya ditentukan seperti diagram berikut ini. (, ) y = x + (5, 6) y = x + entuk notasinya adalah = {(x, y) y = x +, x < 6, x bilangan asli} LTIHN. Nyatakanlah himpunan di bawah ini dengan mendaftar anggotanya. a = himpunan bilangan asli kurang dari 6 b. = himpunan bilangan prima kurang dari 5 c. = himpunan lima abjad yang pertama d. H = himpunan bilangan ganjil antara 6 dan 0 e. I = himpunan bulan yang lamanya 0 hari. Nyatakanlah himpunan berikut dalam kalimat. a. P = {,,,, 5, 6} b. Q = {,, 5, 7} c. R = {u, v, w, x, y, z} d. S = {,, 69, 96} e. T = {,, 6, 8, 0, }. Nyatakanlah himpunan dengan notasi pembentuk himpunan. a. = {0,,, 6, 8, 0} b. = {,, 5, 7, 9,, } c. = {0,,,, } d. = {5, 6, 7, 8} e. = {, 5, 6, 7, 8} K EGIT N obalah kalian amati ruang kelas atau lingkungan sekolahmu. uatlah himpunan dari benda-benda yang ada kemudian sebutkan anggota-anggotanya.. Nyatakanlah himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan. a. = {(, ), (, ), (, 5), (, 6), (5, 7)} b. = {(, ), (, 5), (, 6), (, 7), (5, 8)} c. = {(, ), (, ), (, 6), (, 8), (5, 0)} d. = {(, ), (, 6), (, 9), (, ), (5, 5)} e. E = {(, ), (, ), (, ), (, ), (5, 5 )} 5. Nyatakanlah himpunan berikut dalam bentuk kalimat. a. = {Senin, Selasa, Sabtu} b. = {56, 65, 56, 56, 65, 65} c. E = {0, 0, 0, 505, 606, 707} d. G = {Jakarta, andung, Semarang, Yogyakarta, Surabaya} e. J = {0,, 6, 9,, 5} 6. Nyatakanlah himpunan berikut dengan notasi pembentuk himpunan. a. M = {,, 9, 6, 5, 6} b. N = {, 8, 7, 6, 5, 6} c. T = {0,, 6, 9,, 5} d. Q = {(, ), (, 6), (, ), (, )} e. S = {(, ), (, ), (, 8), (, 6)} 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

148 Himpunan erhingga dan Tak erhingga Untuk iingat Untuk mengatakan suatu himpunan yang jumlah anggotanya tak terhingga dan anggota-anggota tersebut mempunyai urutan tertentu, digunakan tanda tiga titik (...). Misalnya = Himpunan bilangan bulat = {...,, 0,,...} Perhatikan himpunan-himpunan berikut. a. P adalah himpunann nama-nama hari, dapat ditulis P = {senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, minggu}. b. Himpunan bilangan cacah, dapat ditulis = {0,,,,, } dengan anggotanya 0,,,,, dan seterusnya. c. Himpunan bilangan ganjil, dapat ditulis G = {,, 5, 7, } dengan anggotanya,, 5, 7, dan seterusnya. d. S adalah himpunan bilangan asli kurang dari 00, dapat ditulis S = {,,,, 5, 6,, 99}. Pada himpunan P di atas, semua anggota himpunan P sudah didaftar, yaitu senin, selasa, rabu, kamis, jumat, sabtu, dan minggu. Jadi, banyaknya anggota himpunan P ada 7. Perhatikan himpunan S. Tidak semua anggota himpunannya didaftar di antara dua kurung kurawal. Namun, kamu bisa menentukan bilangan yang paling besar anggotanya, yaitu 99. Jika diurutkan mulai dari,,,,, 99 lalu dihitung maka banyak anggotanya ada 99. Himpunan seperti P dan S disebut himpunan berhingga. Sekarang, perhatikan himpunan dan G di atas. Tidak semua anggotanya didaftar dan juga tidak dapat ditentukan, berapakah bilangan terbesar yang merupakan anggota himpunan. Karena tidak diketahui anggota yang terbesar maka tidak dapat dihitung banyaknya anggota pada himpunan dan G. Himpunan seperti dan G disebut himpunan tak berhingga. Jadi, kapankah suatu himpunan dikatakan tak berhingga dan kapan dikatakan berhingga? ontoh SOL pakah himpunan berikut termasuk himpunan tak berhingga atau himpunan berhingga? a. K adalah himpunan nama hari dalam seminggu yang dimulai huruf S b. L adalah himpunan bilangan bulat positif Penyelesaian: a. K = {senin, selasa, sabtu} anyaknya anggota K ada, maka n (K) = LTIHN ari himpunan di bawah ini, manakah yang merupakan himpunan berhingga?. Himpunan pasir di laut. Jadi, K merupakan himpunan berhingga. b. L = {,,,, } anyaknya anggota L tidak semuanya dapat didaftar karena tidak dapat ditentukan berapa bilangan terbesar yang merupakan anggota himpunan L, maka banyak anggota himpunan L tidak dapat dihitung. Jadi, L merupakan himpuan tak berhingga.. Himpunan bilangan asli kurang dari 0.. Himpunan siswa berkacamata di kelasmu. ab 6 Himpunan 9

149 . Himpunan bilangan pecahan antara 0 dan. 5. Himpunan bintang di langit. 6. Himpunan bilangan prima genap. 7. Himpunan bilangan prima yang lebih dari Himpunan bilangan pecahan yang terletak antara 5 dan Himpunan planet-planet yang mengelilingi matahari. 0. Himpunan huruf vokal dalam abjad. Himpunan agian dakalanya dalam sebuah himpunan terdapat kumpulan himpunan-himpunan yang lebih kecil. agaimanakah menyatakan himpunan-himpunan tersebut? Himpunan Kosong Pada pembahasan sebelumnya kalian telah mempelajari cara menyatakan suatu himpunan dengan cara mendaftarkan anggota-anggotanya. pakah setiap himpunan selalu mempunyai anggota? Untuk menjawab pertanyaan tersebut perhatikan himpunan-himpunan berikut ini. a. Himpunan manusia yang hidup di air. b. Himpunan orang-orang yang tingginya lebih dari m. c. Himpunan balok yang mempunyai 0 sisi. Jika kalian perhatikan himpunan-himpunan di atas, ternyata himpunan-himpunan tersebut tidak mempunyai anggota. Himpunan seperti itu disebut himpunan kosong. Himpunan kosong biasanya di notasikan dengan { } atau. anyaknya anggota himpunan kosong adalah 0 atau tidak memiliki anggota. Notasi { } menyatakan himpunan tersebut tidak ada anggotanya. gar kalian dapat memahami apa saja yang termasuk himpunan kosong, perhatikan contoh soal berikut ini. Math Quiz pa berbedaan { } dan {0}? ontoh SOL Pada soal berikut manakah yang merupakan himpunan kosong? a. Himpunan manusia yang umurnya lebih dari.000 tahun. b. Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi. c. Himpunan bilangan genap yang prima. Penyelesaian a. himpunan kosong b. himpunan kosong c. bukan himpunan kosong karena termasuk bilangan genap prima. 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

150 LTIHN 5 i antara himpunan di bawah ini, manakah yang merupakan himpunan kosong?. Himpunan orang yang tingginya lebih dari 00 m.. Himpunan orang yang beratnya lebih dari 500 kg.. Himpunan siswa kelas IX SMP yang umurnya kurang dari 5 tahun.. Himpunan bilangan asli kurang dari Himpunan bilangan pecahan antara dan. 6. Himpunan hewan yang hidup di bulan. 7. Himpunan manusia yang hidup di air. 8. Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi. 9. Himpunan bilangan genap yang habis dibagi. 0. Himpunan bilangan prima genap selain. Himpunan agian dan anyak Himpunan agian i antara himpunan-himpunan yang telah kalian pelajari, adakah hubungan antara dua himpunan yang dapat kalian lihat? Hubungan seperti apa yang terjadi? Perhatikan uraian berikut dengan baik. Misalkan adalah himpunan siswa di sekolahmu dan himpunan adalah himpunan siswa di kelasmu. ari dua himpunan tersebut terlihat bahwa semua anggota himpunan merupakan anggota himpunan. Hubungan antara dan disebut sebagai himpunan bagian. Secara umum, himpunan bagian didefinisikan sebagai berikut. Himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan jika semua anggota himpunan merupakan anggota dari himpunan. Perhatikan contoh berikut. iketahui himpunan = {, } dan himpunan = {,, }. Himpunan = {, } merupakan himpunan bagian dari himpunan = {,, } karena semua himpunan, yaitu dan ada di himpunan. Himpunan merupakan himpunan bagian dari dan ditulis: Jika himpunan bukan himpunan bagian dari maka ditulis: Untuk menentukan banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan perlu diperhatikan beberapa aturan sebagai berikut. ab 6 Himpunan

151 Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari semua himpunan. Jika himpunan bagian dari, maka n() n(). Perhatikan penjelasan himpunan bagian berikut ini. a. = {} Himpunan bagian dari adalah { } dan {}. anyaknya himpunan bagian adalah. b. = {, } Himpunan bagian dari adalah { }, {}, {}, {, }. anyaknya himpunan bagian adalah. c. = {,, } Himpunan bagian dari adalah { }, {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {,, }. anyaknya himpunan bagian dari adalah 8. Perhatikanlah tabel berikut ini. Tabel 6. Himpunan dan banyaknya himpunan bagian anyak Himpunan Himpunan anyaknya nggota agian = {} n () = = = {, } n () = = = {,, } n () = 8 = Jika himpunan mempunyai n anggota, berapa banyaknya himpunan bagian dari? Jelaskan. ontoh SOL Isilah titik-titik di bawah ini dengan notasi atau. a. {}... {, } c. {, }... {,, 5} b. {, }... {,, } d. {}... {, 5, 6} Penyelesaian: a. c., karena {} {,, 5} b. d. LTIHN 6. Isilah titik-titik di bawah ini dengan tanda atau. a. {}... {,, } b. {5, 6}... {5, 6, 7} c.... {,, } d {6, 7, 8} e. {,, }... {,, } f. {6, 8}... {8, 9, 0}. iketahui = {a, b}. Tentukanlah banyaknya seluruh himpunan bagian dari dan tuliskanlah himpunanhimpunan bagian tersebut.. iketahui = {, } = {,, } = {,,, 5} Matematika SMP dan MTs Kelas VII

152 = {,,, 5, 6} E = {,,, 5, 6, 7} F = {,,, 5, 6, 7, 8} Tentukan pernyataan berikut ini yang benar. a. d. E b. e. E F c.. Jika P = himpunan bilangan prima kurang dari 0, maka salin dan isilah titik-titik berikut dengan tanda atau. a. {}... P d. {,, 5}... P b. {,, 5}... P e. {5, 7, 9}... P c. {, 5, 7}... P 5. iketahui = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0}. i antara himpunan berikut manakah yang merupakan himpunan bagian dari? a. = {,, } b. = {5, 6, 7} c. = {7, 8, 9} d. E = {9, 0,, } 6. iketahui adalah himpunan huruf vokal pada abjad. Tuliskanlah: a. semua himpunan bagian yang memuat anggota; b. semua himpunan bagian yang memuat anggota; c. semua himpunan bagian yang memuat anggota; d. semua himpunan bagian yang memuat anggota. 7. Tentukanlah banyaknya anggota himpunan jika jumlah himpunan bagian dari adalah: a. c. 5 b. 8 d Tentukanlah banyak anggota himpunan untuk pernyataan berikut ini. a. banyaknya anggota himpunan bagian yang memuat anggota adalah 0 b. banyaknya himpunan bagian yang memuat anggota adalah 5 c. banyaknya himpunan bagian yang memuat anggota adalah 5 d. banyaknya himpunan bagian yang memuat anggota adalah 6 9. Tentukanlah banyaknya himpunan bagian jika diketahui: a. = {,,,, 5} b. = {a, b, c, d, e, f} c. = {m, n, o, p} d. = {a, i, u, e, o, f, g} 0. iketahui banyaknya himpunan bagian dari suatu himpunan yaitu.096. apatkah kalian menunjukkan cara yang paling mudah untuk menentukan banyaknya anggota suatu himpunan jika banyaknya himpunan bagian sangat besar? Tugas Siswa iskusikan dengan teman sebangkumu. pa perbedaan notasi dengan? Jika = {a, b, c, d} dan = {huruf abjad}, manakah penulisan berikut dengan benar? erikan alasanmu.. a. s. 5.. c ab 6 Himpunan

153 iagram Venn Pada pembahasan sebelumnya kalian telah mempelajari tentang cara menyatakan suatu himpunan. i samping tiga cara menyatakan suatu himpunan yang telah kalian pelajari, ternyata ada cara lain untuk menyatakan suatu himpunan yakni dengan menggunakan suatu diagram yang dikenal dengan istilah diagram Venn. Sebelum kalian mempelajari diagram Venn akan dibahas terlebih dahulu himpunan semesta yang sangat penting dalam diagram Venn. Himpunan Semesta Perhatikan himpunan-himpunan berikut. Himpunan = {,, }, = {,, 5}, dan = {6, 7, 8, 9}. Himpunan yang memuat semua anggota,, dan dapat dikatakan sebagai himpunan semesta. Secara umum himpunan semesta didefinisikan sebagai himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga universum dan biasanya dinotasikan dengan S. Himpunan semesta (S) adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. ontoh SOL Tentukanlah himpunan semesta dari = {,, 5, 6, 7}. Penyelesaian: Semesta untuk himpunan sangat banyak. Untuk contoh dapat diambil beberapa himpunan. LTIHN 7 Tentukanlah himpunan semesta dari himpunan di bawah ini.. = {,, }. = {a, b, c}. = {5, 0, 5}. = {,, 6, 8} 5. E = {x, y, z} 6. F = {matematika, agama, fisika} 7. G = {,,, 5, 6} S = {,,,, 5, 6, 7} S = {,, 5, 6, 7, 8, 9, 0} S = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0} S = himpunan bilangan asli kurang dari S = himpunan bilangan cacah kurang dari 5 8. H = {,, 5, 7,, } 9. I = {,, 9, 6, 5} 0. J = {, 8, 7, 6, 5}. K = {kuda, sapi, kambing, kerbau}. L = {5, 8,, }. M = {0, 0, 0, 0, 50}. N = {,,, 55} 5. P = {0, 0, 0, 505, 606} Matematika SMP dan MTs Kelas VII

154 Gambar 6. Langkah-langkah menyatakan himpunan dengan diagram Venn. S Gambar 6. iagram Venn S S S c a b 5 Gambar 6. iagram Venn dari. S Gambar 6.5 iagram Venn dari. S (a) (b) (c) Gambar 6.6 iagram Venn dari. K EGIT N obalah kalian cari informasi dari buku-buku di perpustakaan sekolahmu, tentang orang yang menemukan diagram Venn. Tulislah riwayat hidup orang itu. ara Menyatakan Himpunan dengan iagram Venn iagram Venn pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Inggris yaitu John Venn. iagram ini digunakan untuk memudahkan pembahasan mengenai himpunan dan operasi himpunan. Untuk menyatakan himpunan dengan diagram Venn ada beberapa langkah yang perlu diperhatikan sebagai berikut. a. uatlah sebuah persegi panjang atau persegi. b. Tuliskanlah S (semesta) pada kiri atas bangun itu. c. Nyatakan himpunan dengan lingkaran dan beri noktah setiap anggotanya, yang bukan anggota himpunan ditulis di luar lingkaran. ontoh: S = {,,,, 5} dan = {,, 5}. iagram Venn-nya dapat dibuat seperti Gambar 6.. Hubungan ntara ua Himpunan Perhatikan hubungan-hubungan antarhimpunan berikut ini. a. Himpunan yang erpotongan Himpunan dan dikatakan saling berpotongan jika ada anggota himpunan dan yang sama. Himpunan berpotongan dengan himpunan dapat ditulis. Himpunan yang berpotongan dapat dinyatakan dengan diagram Venn pada Gambar 6.. b. Himpunan Saling Lepas Himpunan dan dikatakan saling lepas jika tidak ada anggota himpunan dan yang sama. Himpunan saling lepas dengan himpunan dapat ditulis. Himpunan saling lepas dari himpunan dan dinyatakan dengan diagram Venn seperti pada Gambar 6.5. c. Himpunan agian Himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan jika semua anggota himpunan merupakan anggota dari himpunan. Himpunan merupakan himpunan bagian dari himpunan dapat dinyatakan dengan diagram Venn seperti pada Gambar 6.6. ab 6 Himpunan 5

155 d. Himpunan yang Sama Himpunan dan merupakan himpunan yang sama jika setiap anggota merupakan anggota dan setiap anggota merupakan anggota. Misalnya = {,, } dan = {,, } dapat dikatakan himpunan sama dengan himpunan dan dapat ditulis =. engan diagram Venn dapat dinyatakan seperti pada Gambar 6.7. e. Himpunan yang Ekuivalen ua himpunan dikatakan ekuivalen jika banyaknya anggota dari kedua himpunan tersebut sama. ontoh: = {a, b, c, d}; = {,,, } dan dikatakan himpunan yang ekuivalen. Himpunan ekuivalen dengan himpunan jika: S = Gambar 6.7 iagram Venn dari =. n() = n() LTIHN 8. iketahui S = {0,,,... 0}, dan = {0,,, 5}, buatlah diagram Venn-nya.. iketahui S = {0,,,... 0}, = {,, 6, 8, 0} dan = {,, 5, 7}, buatlah diagram Venn-nya.. Pada himpunan-himpunan berikut manakah yang merupakan himpunan yang sama? a. = {a, b, c} d. = {a, m, u, k} b. = {b, e, c, a} e. E = {r, o, d, a} c. = {a, d, u, k}. ari himpunan-himpunan di bawah ini manakah yang merupakan himpunan yang ekuivalen? a. P = {,,, } d. S = {a, i, e, u, o, F} b. Q = {a, b, c} e. T = {a, m, n} c. R = {x, y, z, m, n} 5. ari himpunan-himpunan di bawah ini manakah yang merupakan himpunan yang berpotongan? a. = {,, } dan = {,, 5} b. = {,, 5, 6} dan = {7, 8, 9, 0} c. F = {a, b, c, d, e} dan G = {d, g, h, i, j} d. H = {p, q, r, s, t} dan I = {t, m, n, o, p} e. S = {,, 5, 7, 9} dan T = {,, 6, 8, 0} 6. ari himpunan berikut manakah yang merupakan himpunan yang saling lepas? a. = {a, b, c, d} dan = {d, e, f, g} b. = {m, n, r, s} dan = {p, q, t, u} c. E = {a, r, u, n} dan F = {m, o, l, e, k} d. G = {a, s, u, p} dan H = {p, u, a, s} e. I = {p, i, r, a, n, g} dan J = {h, i, t, a, m} Tugas Siswa iskusikanlah dengan teman kelompokmu.. pa perbedaan himpunan yang sama dengan himpunan yang ekuivalen?. arilah dua himpunan sebarang. Kemudian, tentukan apakah kedua himpunan itu himpunan yang berpotongan, saling lepas, atau himpunan bagian dari himpunan yang lain. Sajikanlah dalam diagram Venn. 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

156 Irisan Himpunan Irisan dari dua himpunan dan adalah himpunan yang anggota-anggotanya ada di himpunan dan ada di himpunan. engan kata lain, himpunan yang anggotanya ada di kedua himpunan tersebut. S ontoh: = {a, b, c, d, e} dan = {b, c, f, g, h} Pada kedua himpunan tersebut ada dua anggota yang sama yaitu b dan c. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa irisan himpunan dan adalah b dan c atau ditulis dengan: = {b, c} Gambar 6.8 aerah irisan dan. dibaca himpunan irisan himpunan. engan diagram Venn dapat dinyatakan seperti pada Gambar 6.8. ontoh SOL. iketahui: = {,,,, 5} = {,, 6, 7, 8} = {, 5, 6, 7, 8} Tentukanlah: a. c. b. d. Penyelesaian: a. = {, } c. = {6, 7, 8} b. = {, 5} d. = { }. Perhatikan gambar berikut. S Tentukanlah: a. e. n() b. f. n() c. g. n( ) d. S h. n(s) Penyelesaian: a. = {,,,, 5} b. = {, 5, 6, 7, 8} c. = {, 5} d. S = {0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0} e. n() = f. n() = 5 g. n( ) = h. n(s) =. Perhatikan gambar berikut. S Tentukanlah: a. f. b. g. n() c. h. n() d. i. n( ) e. j. n( ) Penyelesaian: a. = {,,,, 5, 6, 7, 8} b. = {5, 6} c. = {7, 8, 9, 0} d. = {5, 6} e. = { } f. = {7, 8} g. n() = 8 h. n() = i. n( ) = j. n( ) = 0 ab 6 Himpunan 7

157 LTIHN 9. iketahui = {,, }, = {,, 5}, = {, 6, 7, 8}, dan = {, 9, 0,, }. Tentukanlah a. f. b. g. c. h. d. i. e. j.. iketahui: = himpunan kelipatan antara 0 dan 0 = himpunan kelipatan antara 0 dan 0 = himpunan kelipatan 9 antara 0 dan 0 = himpunan kelipatan 7 antara 0 dan 0 Tentukanlah: a. f. b. g. c. h. d. i. e. j.. iketahui: X = {k, r, e, a, s, i} Y = {r, e, l, a, s, i} Z = {r, o, t, a, s, i} Tentukanlah: a. X Y b. X Z c. Y Z d. X Y Z. Perhatikan gambar di bawah ini. S 5 6 Tentukanlah: a. d. b. e. n( ) c. f. n( ) Perhatikan gambar berikut ini. S Tentukanlah: a. anggota himpunan b. anggota himpunan c. anggota himpunan d. anggota himpunan S e. f. g. h. n() i. n( ) j. n( ) 6. iketahui: = {, 5, 6, 7, 8, 9, 0} = {, 5, 6}, dan = {6, 7, 8} Tentukanlah: a. e. n( ) b. f. n( ) c. g. n( ) d. h. n( ) 7. iketahui: = Himpunan bilangan kelipatan kurang dari 0. = Himpunan bilangan kelipatan kurang dari 0. = Himpunan bilangan kelipatan 5 kurang dari 0. Tentukanlah: a. d. b. e. n( ) c. f. n( ) 8. iketahui: = {,,,, 5, 6, 7, 8} = {,,, 5} = {,, 6, 7} = {, 6, 8, 9, 0} 9 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

158 Tentukanlah: a. f. b. g. c. h. d. i. e. j. 9. Perhatikanlah gambar di bawah ini. S Tentukanlah: a. c. b. d Perhatikanlah gambar berikut ini. S a. Tentukanlah: (i) (ii) (iii) b. engan memperhatikan jawaban a.(i), a.(ii), dan a.(iii), kesimpulan apa yang kalian dapat? 5 Gabungan Himpunan Gabungan dari dua himpunan dan merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya ialah anggota himpunan atau anggota himpunan atau anggota keduaduanya. S ontoh: = {,,, } dan = {, 5, 6, 7} Gabungan dari kedua himpunan dan adalah {,,,, 5, 6, 7} atau dapat ditulis: Gambar 6.9 aerah gabungan dari dan. = {,,,, 5, 6, 7} dibaca himpunan gabungan himpunan. engan diagram Venn, ditunjukkan oleh Gambar 6.9. ontoh SOL. iketahui: S = {0,,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0} = {,,,, 5} = {6, 7, 8} a. uatlah diagram Venn-nya. b. Tentukanlah. Penyelesaian a. S b. = {,,,, 5, 6, 7, 8} ab 6 Himpunan 9

159 . Perhatikan gambar di bawah ini. S Tentukanlah: a. e. n( ) b. f. n( ) c. g. n( ) d. h. n( ) Penyelesaian: a. = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9} b. = {,,,, 8, 9, 0, } c. = {,, 5, 6, 7, 8, 9, 0, } d. = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0, } e. n( ) = 9 f. n( ) = 8 g. n( ) = 9 h. n( ) =. Perhatikan gambar di bawah ini. S Tentukanlah: a. d. b. e. n( ) c. f. n( ) Penyelesaian: a. = {,,,, 5, 6, 7, 8} b. = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0} c. = {,,,, 8, 9, 0} d. = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9, 0} e. n( ) = 8 f. n( ) = 0 Tugas Siswa iskusikanlah dengan teman-temanmu. Jika dan merupakan himpunan yang sama, tentukanlah dan. Kesimpulan apa yang kalian peroleh? LTIHN 0. Perhatikan gambar berikut. S Tentukanlah: a. anggota himpunan b. anggota himpunan c.. Perhatikan gambar di bawah ini. S Tentukanlah: a. anggota himpunan b. anggota himpunan c. anggota himpunan 50 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

160 d. e. f. g.. iketahui = {,,,, 5}, = {,, 5}, dan = {,, } a. Tentukanlah: (i) (ii) (iii) b. pa yang dapat disimpulkan dari a.(i), dan a.(ii)? c. Jika, maka tentukanlah. d. Jika, maka tentukanlah.. Perhatikan gambar di bawah ini. S Tentukanlah: a. anggota himpunan b. anggota himpunan c. anggota himpunan d. e. f. g. h. i. ( ) j. ( ) 5. iketahui: = Himpunan bilangan asli yang habis dibagi dan kurang dari 0 = Himpunan bilangan asli habis dibagi dan kurang dari 0 = Himpunan bilangan asli yang habis dibagi 5 dan kurang dari 0 = Himpunan bilangan asli yang habis dibagi 7 dan kurang dari 0 Tentukanlah: a. e. b. f. c. g. d. h. Tugas Siswa iskusikanlah dengan teman-temanmu. Mungkinkah n ( ) n ( ). Jelaskan pendapatmu. S Gambar 6.0 Komplemen 6 Komplemen Komplemen dari himpunan adalah himpunan yang anggota-anggotanya bukan merupakan anggota himpunan. ontoh: S = {0,,,,, 5, 6, 7} = {,,, 5} Komplemen dari himpunan adalah {0,, 6, 7}. Komplemen dari himpunan dapat dinotasikan atau ditulis dibaca komplemen atau komplemen dari. Komplemen juga dapat dinyatakan dengan diagram Venn. iagram Venn dari dinyatakan seperti Gambar 6.0. ab 6 Himpunan 5

161 ontoh SOL. Perhatikan diagram Venn berikut ini. S 9 5 Tentukan: a. S c. e. b. d. Penyelesaian: a. S = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9} b. = {,,,, 5} c. = {5, 6, 7} d. = {6, 7, 8, 9} e. = {6, 7}. Perhatikan diagram Venn berikut ini. Tentukan: a. d. g. b. e. h. c. f. i. LTIHN. iketahui : S = {0,,,..., }. adalah himpunan bilangan asli kurang dari 8. a. Tentukan anggota himpunan. b. uatlah diagram Venn-nya. c. Tentukan.. Perhatikan diagram Venn berikut ini. Tentukan: S a. 6 b. 7. iketahui S = {0,,,,..., }. Tentukan anggota-anggota jika diketahui: a. = {,,,, 5} b. = {,, 5, 7, 9} c. = {,, 5, 7, } d. = { x, x } e. = {x < atau x 8, x } S Penyelesaian: a. = {, 5, 6, 8,,,,, 5] b. = {,,, 0,,,,, 5} c. = {,,,, 5, 6, 7,,, 5} d. = {, 5, 6, 8} e. = {8,, } f. = {0,, } g. = {,,, 0} h. = {, 5, 6, 7} i. = {,,, 7}. Perhatikan diagram Venn berikut ini. S Tentukan: a. d. b. e. c. f. g. h. 5. iketahui = {0,,, 5, 7} dan S = {0,,,,..., 0}. Tentukan. 5 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

162 7 Selisih S Selisih dari himpunan dan himpunan adalah jumlah seluruh anggota yang bukan anggota. ontoh: = {,,, } = {, } Selisih himpunan dan adalah {, }. Gambar 6. Selisih Selisih himpunan dan dapat dinotasikan atau ditulis. Selisih himpunan dan juga dapat dinyatakan dengan diagram Venn. ditunjukkan dengan diagram Venn seperti Gambar 6.. Perhatikan bahwa daerah yang diarsir adalah selisih. ontoh SOL. iketahui: S = {0,,,..., 0} = {,,,, 5, 6, 7} = {,,,, 8} Tentukan: a. b. Penyelesaian: a. = {5, 6, 7} b. = {8}. Perhatikan diagram Venn berikut ini. S Tentukan: a. b. Penyelesaian: a. = {,,,, 5, 6} b. = {9, 0, } 5. Perhatikan diagram Venn berikut ini. S Tentukan: a. d. b. e. c. f. Penyelesaian: a. = {,,, 9} b. = {,,, } c. = {, 6, 7, 8} d. = {6, 7, 8, 0} e. = {9,, } f. = {0,, } Tugas Siswa iskusikanlah dengan kelompokmu. Jika diketahui X Y = { }. Tentukan dua kemungkinan hubungan himpunan X dan Y. ab 6 Himpunan 5

163 LTIHN. iketahui: S = {,,,..., 0} = {,, } = {,, 5} Tentukan: a. b.. Perhatikan diagram Venn berikut ini. Tentukan: a. b. S iketahui: S = {0,,,,..., 0} = {0,,, } = {,,, 5, 6} = {, 6, 8, 0} Tentukan: a. d. b. e. c. f.. iketahui: S = {0,,,,..., 8} = {,,, } = {, 5, 7, 8} Tentukan: a. d. b. e. c. f. 5. Perhatikan diagram Venn berikut ini. S Tentukan: a. d. b. e. c. f. plikasi Himpunan dalam Kehidupan Konsep irisan himpunan sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Misalnya seorang guru menanyakan kepada siswanya siapa yang mengikuti ekstrakurikuler sepak bola. da 0 orang yang mengangkat tangan. Untuk ekstrakurikuler basket ternyata ada 0 orang. Guru tersebut terkejut karena di dalam kelas hanya ada 0 orang, sedangkan menurut hitungannya ada 50 orang yang ada di dalam kelas, di manakah letak kesalahannya? Ternyata di dalam kelas itu ada murid yang mengangkat tangan dua kali karena mereka mengikuti dua ekstrakurikuler, yaitu basket dan sepak bola. Selain konsep irisan, konsep gabungan juga banyak penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. gar kalian lebih paham perhatikan contoh soal berikut ini. ontoh SOL. i dalam suatu kelas ada 0 siswa. 5 siswa suka matematika, 0 siswa suka fisika, dan ada 5 siswa suka keduanya. a. uatlah diagram Venn-nya. b. Tentukanlah banyak siswa yang tidak suka keduanya. 5 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

164 Penyelesaian: a. Misalkan: = siswa yang suka matematika = siswa yang suka fisika S b. anyak siswa yang tidak suka keduanya adalah = 0. i dalam kelompok ada 0 orang. 0 orang suka warna merah, 0 orang suka warna biru, dan ada 5 orang yang tidak suka keduanya. engan menggunakan diagram Venn, tentukanlah jumlah orang yang suka kedua-keduanya. 0 Penyelesaian: M = orang yang suka warna merah N = orang yang suka warna biru S M N X 0 X 0 X Misalnya: X = banyak orang suka keduanya 0 5 = 0 X + X + 0 X 5 = 50 X X = 5 Jadi, banyak orang yang suka keduanya = 5 orang. 5. i sebuah kelas ada 0 siswa suka matematika dan 5 siswa suka fisika. da 0 siswa yang suka matematika dan fisika. a. uatlah diagram Venn untuk menyatakan pernyataan tersebut. b. Tentukanlah banyak siswa dalam kelas.. i sebuah kelas ada 8 orang, orang suka voli, dan orang suka basket. a. uatlah diagram Venn-nya dengan memisalkan yang suka kedua-duanya, yaitu voli dan basket adalah X. b. erapa orang yang suka keduanya.. i sebuah kelas ada 0 orang, 0 orang suka matematika dan orang suka fisika. da 5 orang yang tidak suka keduanya. engan membuat diagram Venn dan memisalkan yang suka matematika dan fisika adalah X, tentukanlah banyaknya orang yang suka matematika dan fisika.. Pada gambar di S samping, diketahui V adalah himpunan V anak yang suka voli, adalah 8 6 himpunan anak yang suka basket. Hitunglah: a. banyaknya anak yang hanya suka voli! b. banyaknya anak yang suka basket saja! c. banyaknya anak dalam kelas! 5. alam sebuah ujian 70 orang memilih bagian, bagian dipilih oleh 50 orang, dan orang memilih, 0 orang memilih bagian dan, 8 orang memilih bagian dan, 8 orang memilih bagian dan, dan orang memilih ketiganya. a. erapa orang yang memilih bagian, tetapi tidak memilih bagian dan? b. erapa orang yang memilih bagian, tetapi tidak memilih bagian dan? c. erapa orang yang memilih bagian? 6. i sebuah kelas terdapat 0 siswa yang akan melakukan kegiatan belajar mandiri. ab 6 Himpunan 55

165 Guru membagi muridnya dalam kelompok, yaitu matematika dan fisika. Ternyata 5 orang belajar matematika, siswa ingin fisika. Jika ada x anak yang ingin keduanya, berapa orangkah yang menginginkan kedua kegiatan tersebut? Gambarkanlah dalam diagram Venn. 7. iadakan penelitian terhadap 80 ibu-ibu terhadap produk sabun yaitu sabun, sabun, dan sabun. 58 orang menggunakan sabun, ada 00 orang yang hanya menggunakan sabun dan orang yang menggunakan ketiga produk itu, 5 orang menggunakan sabun dan sabun. 0 orang menggunakan sabun dan sabun dan 7 orang hanya menggunakan sabun. a. ari ketiga produk itu, manakah yang paling banyak digunakan oleh ibuibu? b. erapakah orang yang menggunakan sabun saja? c. erapa orang yang menggunakan dua produk? d. erapa orang yang menggunakan produk hanya satu? 8. Suatu sekolah ada 5 orang siswa diwajibkan memilih tiga jenis olahraga yaitu basket (), voli (V) dan catur (). Tabel berikut menunjukkan banyaknya anggota yang memilih satu, dua, atau tiga olahraga. Olahraga V Hanya dan V dan V dan Ketiganya atur anyak Siswa uatlah diagram Venn untuk menunjukkan data di atas kemudian tentukanlah jumlah a. siswa yang hanya mengikuti olahraga basket; b. siswa yang hanya mengikuti olahraga voli; c. siswa yang mengikuti olahraga basket; d. siswa yang hanya mengikuti basket dan voli; e. siswa yang tidak mengikuti ketiga jenis olahraga itu. 9. i sebuah kelas ada 65 orang. erikut ini adalah data dari siswa-siswa yang bersekolah dengan mengunakan bus, sepeda, atau mobil. siswa naik bus 6 siswa naik sepeda 8 siswa naik mobil siswa naik bus dan sepeda saja siswa naik sepeda dan mobil saja siswa naik bus dan mobil saja siswa naik ketiga kendaraan itu Tentukanlah jumlah a. siswa yang hanya naik satu kendaraan saja; b. siswa yang hanya naik bus; c. siswa yang hanya naik sepeda; d. siswa yang jalan kaki ke sekolah. 0. da 5 orang dalam suatu kelompok, 0 orang suka minum teh, dan 5 orang suka minum kopi. erapa orang yang suka minum keduanya? K EGIT N. i sekolah akan dipilih anak dari 6 anak yang lolos seleksi untuk menjadi anggota tim catur sekolah. Keenam anak tersebut adalah mir, udi, aca, odi, Emir, dan Fauzi. uatlah daftar nama masing-masing tiga anak yang mungkin, misalnya (mir, udi, aca) atau (mir, udi, odi). a. engan menghitung, ada berapa banyak kelompok masing-masing tiga anak yang mungkin dibuat? 56 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

166 b. andingkanlah hasilnya dengan menentukan banyaknya himpunan bagian yang memuat anggota.. Perhatikan teman-temanmu di kelas. a. Tuliskanlah nama teman-temanmu yang memakai arloji kemudian nyatakanlah dengan himpunan. b. Tuliskanlah nama teman-temanmu yang memakai kaca mata kemudian nyatakanlah dengan himpunan. c. Tentukanlah n() dan n(). d. Tuliskan nama teman-temanmu yang memakai kaca mata dan juga memakai arloji. Nyatakan pula dengan himpunan. e. Tuliskan nama teman-temanmu yang tidak memakai kaca mata dan juga tidak memakai arloji. Nyatakankanlah dengan himpunan. f. Tentukanlah n() dan n(). RNGKUMN. Himpunan adalah kumpulan objek/benda-benda yang dapat dibedakan/terdefinisi dengan jelas.. ara menyatakan himpunan dapat dilakukan dengan: a. menuliskan dengan kata-kata; b. menyebutkan anggota-anggotanya; c. notasi pembentuk himpunan.. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.. Himpunan semesta adalah himpunan yang memuat semua anggota himpunan yang dibicarakan. 5. adalah himpunan bagian dari himpunan bila semua anggota adalah anggota dari himpunan. Notasinya adalah. 6. pabila banyaknya anggota himpunan adalah n buah, maka banyaknya himpunan bagian dari himpunan tersebut sama dengan n. 7. Irisan dari dua himpunan dan adalah himpunan yang anggotanya terdapat pada dan juga. apat ditulis dengan. 8. Gabungan dari dua himpunan dan adalah himpunan yang anggotanya terdapat pada atau. apat ditulis dengan. ab 6 Himpunan 57

167 Pilihan ganda Uji Kompetensi ab 6 erilah tanda silang ( ) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar.. Pernyataan di bawah ini yang bukan himpunan adalah... a. himpunan siswa SMP di Jakarta b. kumpulan buku pelajaran c. kumpulan binatang lucu d. himpunan olahraga atletik. Perhatikanlah gambar berikut ini. S Pernyataan yang salah di bawah ini untuk gambar di atas adalah... a. = {,, 5, 6, 7} b. = (,,, 6} c. = {, 6, 7, 8, 9} d. S = {,,,, 5, 6, 7, 8, 9}. M = {huruf-huruf yang membentuk kata matahari }. anyaknya anggota himpunan M adalah... a. 5 c. 7 b. 6 d. 8. Jika R = {x 50 x 60, x bilangan prima} maka pernyataan di bawah ini benar, kecuali... a. {5} R b. 59 R c. n(r) = d. anyaknya semua himpunan bagian dari R = 8 5. Perhatikanlah diagram Venn di bawah ini. n( ) adalah... a. S b. 5 c. 6 6 d pabila: P = {pelajar) T = {pelajar berbaju putih} G = {pemuda berambut gondrong} T erdasarkan diagram Venn di atas, pernyataan yang benar adalah... a. semua pemuda berambut gondrong yang bukan pelajar, ada yang berbaju putih b. tidak satu pun pelajar yang tidak berbaju putih, berambut gondrong c. ada pelajar yang tidak berambut gondrong dan tidak berbaju putih d. semua pemuda berambut gondrong yang tidak berbaju putih, bukan pelajar 7. anyak seluruh himpunan bagian dari adalah. anyaknya anggota adalah... a. c. 8 b. 5 d anyak himpunan bagian dari = {a, b, c, d} yang mempunyai dua anggota adalah... a. c. b. 6 d iketahui: S = {0,,,..., 8} = {,,, 6, 8} = {,, 6, 8} = {, }. iagram Venn untuk himpunan-himpunan di atas adalah... P G S 58 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

168 a. S c. b. S d. 0. Jika P merupakan himpunan bagian dari Q maka pernyataan yang benar adalah... a. P Q = Q c. P Q P b. P Q = P d. P Q = P. Perhatikanlah gambar di bawah ini. aerah yang diarsir pada diagram Venn di atas adalah... a. c. ( ) b. d. ( ). Jika P = {, 6, 8, 9, 0,..., 5} maka pernyataan yang benar di bawah ini adalah... a. P c. P b. {} P d. {} P. = {ilangan prima antara 0 dan 0}, = {ilangan kelipatan antara 0 dan 0}, = {ilangan asli antara 9 dan }. iagram Venn yang paling tepat untuk hubungan ketiga himpunan tersebut adalah... a. S c. S b. S d. S S S S. iketahui N = {0,,,,, 5, 6}. Himpunan semesta yang mungkin dari N adalah... a. {x x bilangan cacah} b. {x x bilangan prima} c. {x x bilangan komposit} d. {x x bilangan bulat positif} 5. Himpunan G adalah himpunan bilangan genap antara 0 dan 6, dapat ditulis... a. G = {x 0 < x < 6, x bilangan genap} b. G = {x 0 x < 6, x bilangan genap} c. G = {x 0 x 6, x bilangan genap} d. G = {x 0 < x 6, x bilangan genap} 6. anyaknya himpunan bagian dari Q adalah 6, maka n(q) adalah... a. 5 c. 7 b. 6 d iketahui S = {x x < 5, x bilangan cacah}, = {kelipatan persekutuan dari dan 6}, = {faktor dari 8}. Pernyataan di bawah ini yang benar adalah... a. c. n() = b. d. n( ) = 8 8. Perhatikan gambar di bawah ini. S P Pada diagram Venn di atas, notasi yang sesuai untuk daerah yang diarsir adalah... a. P (R Q) b. R (P Q) c. (R Q) (P Q) d. P Q R R Q Uji Kompetensi ab 6 59

169 9. Perhatikanlah gambar di bawah ini. S Q R a b e g h f c d i ari diagram Venn di atas, nilai dari n(q) dan n(r) adalah... Esai Selesaikanlah soal-soal di bawah ini.. Nyatakanlah himpunan berikut dengan notasi. a. = {,,,, 5, 6} b. = {,, 5, 7, 9}. Jika banyaknya himpunan bagian dari adalah 8, berapakah banyak anggota himpunan?. iketahui n( ) = 0, n( ) = 0, dan n ( ) = 50. Jika n(s) = 60, tentukan n( ).. iketahui: = himpunan kelipatan kurang dari 50 = himpunan kelipatan 6 kurang dari 50 = himpunan kelipatan 9 kurang dari 50 Tentukanlah: a. d. b. e. c. f. 5. i dalam suatu kelas terdapat 50 orang siswa. 5 orang suka tenis meja, 5 orang suka renang dan 5 orang suka catur, 0 suka tenis meja dan renang, 9 orang suka tenis meja dan catur, 8 orang suka renang dan catur. erapakah jumlah siswa yang suka a. ketiganya; b. tenis meja saja; c. renang saja; d. catur saja; e. catur dan tenis meja saja. a. n(q) = dan n(r) = b. n(q) = dan n(r) = 5 c. n(q) = 6 dan n(r) = d. n(q) = 6 dan n(r) = 5 0. Jika P Q, n(p) = 6, n(q) = 0 maka n(p Q) adalah... a. c. 0 b. 6 d K adalah himpunan huruf pada kata SURKRT. Hitunglah banyaknya himpunan bagian dari K. 7. iketahui n() = 5, n() = 8 dan n( ) = 5. Tentukan n( ). 8. ari 80 responden penggemar musik, diketahui bahwa 0 orang menyukai musik pop, 0 orang menyukai musik klasik dan 0 orang menyukai musik jazz. 0 orang menyukai musik pop dan klasik, 6 orang menyukai musik pop dan jazz, serta orang menyukai musik klasik dan jazz. Jika yang tidak menyukai ketiganya 6 orang, hitunglah banyak orang yang menyukai ketiganya. 9. ari 60 ibu rumah tangga tercatat 0 orang gemar mengoleksi majalah, 5 orang gemar mengoleksi barang antik, dan 7 orang gemar mengoleksi majalah dan barang antik. Hitunglah banyak ibu yang gemar mengoleksi majalah tetapi tidak gemar mengoleksi barang antik. 0. ari 8 siswa tercatat siswa gemar atletik, 8 siswa gemar bulu tangkis, 9 siswa gemar main catur, 8 siswa gemar atletik dan catur, 5 siswa gemar atletik dan bulu tangkis, 7 siswa gemar bulu tangkis dan catur, serta 0 siswa gemar ketiga-tiganya. Hitunglah banyaknya siswa yang gemar catur tetapi tidak gemar bulu tangkis. 60 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

170 7 Garis dan Sudut Sumber: sudut Tujuan Pembelajaran Mengukur dan menentukan jenis sudut serta menggambar sudut Membagi sudut Menentukan hubungan antarsudut dan kedudukan dua garis Memahami sifat-sifat sudut pada dua garis sejajar yang dipotong sebuah garis. M asih ingatkah kamu dengan konsep garis dan sudut yang telah dipelajari di Sekolah asar? Materi tersebut akan menjadi dasar dalam mempelajari pelajaran pada bab ini. Hal ini dikarenakan konsep garis dan sudut itu akan digunakan dan dikembangkan lagi pada bab ini. Penerapan konsep garis dan konsep dalam kehidupan sehari-hari sangat banyak. Salah satunya terlihat pada gambar di atas. Pada jam tersebut terdapat jarum panjang dan jarum pendek, serta jarum yang lebih tipis yang berputar/bergerak lebih cepat dan disebut jarum detik. Tahukah kamu bahwa jarum panjang dan jarum pendek sebuah jam dinding selalu membentuk sudut tertentu? engan mempelajari pembahasan bab ini kamu akan mengetahui cara menghitung sudut pada jarum jam. ukan itu saja, masih banyak lagi hal-hal menarik yang akan kamu pelajari dari bab ini. ab 7 Garis dan Sudut 6

171 . da berapa banyak sudut pada gambar di atas? Uji Kompetensi wal. Jika dua garis berpotongan, berapa banyak sudut yang terbentuk?. pa yang dimaksud dengan: a. sudut siku-siku, b. sudut lancip, dan c. sudut tumpul? ara Mengukur dan Menentukan Jenis Sudut anyak benda-benda di sekeliling kita yang memiliki sudut, seperti jendela, pintu, buku, dan pojok ruangan. pakah yang dimaksud dengan sudut? pakah hubungannya dengan garis? apatkah besar suatu sudut dihitung? Semua itu akan kalian temukan pembahasannya pada bab ini. Pengertian Sudut Perhatikanlah gambar-gambar berikut ini (a) (b) (c) (d) Gambar 7. (a) Notebook, (b) angku, (c) uku, (d) Jam. Pada Gambar 7. diperlihatkan sudut-sudut yang ada pada benda-benda tersebut. Sebelum kita mempelajari sudut lebih jauh lagi, ada baiknya kita mengetahui apa yang di maksud dengan sudut. Sekarang perhatikan Gambar 7.. Pada Gambar 7..(a) garis dan disebut kaki sudut, dan titik disebut titik sudut. Pada Gambar 7..(b) daerah yang diarsir disebut daerah sudut. ari uraian singkat di atas, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai sudut? kaki sudut kaki sudut titik sudut (a) Sudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah garis yang bertemu pada satu titik. daerah sudut Satuan Sudut Satuan sudut yang sering digunakan untuk mengukur besar sudut adalah derajat ( ), misalnya 60 dibaca enam puluh derajat. alam satuan sudut ini, keliling lingkaran dibagi (b) Gambar 7. (a) Sudut dengan kaki sudut dan serta titik sudut. (b) aerah sudut. 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

172 60 menjadi 60 bagian yang sama. Tiap bagiannya disebut derajat. engan demikian, ada 60 derajat dalam satu putaran penuh. Jadi, = putaran. Setiap derajat dibagi 60 dalam 60 menit dan setiap menit dibagi lagi dalam 60 detik. erikut ini adalah tingkatan untuk satuan sudut. Gambar 7. putaran penuh = 60 = putaran (bukan 60 ukuran sebenarnya) derajat = 60 menit, ditulis = 60 menit = 60 detik, ditulis = 60 derajat = detik =.600 detik, ditulis =.600 ontoh SOL Isilah dengan jawaban yang benar. a. =... c. 0,5 = b. =... 5 d..800 =... Penyelesaian: a. = 60 = 5 LTIHN. Salin dan isilah titik-titik berikut ini di bukumu dengan benar. a. =... d. 5 =... b. =... e. 5 =... c. =.... Salin dan isilah titik-titik berikut ini di bukumu dengan benar. a. 0,75 =... d. 0, =... b. 0,5 =... e. 0,6 =... c. 0,5 =.... Salin dan isilah titik-titik berikut ini di bukumu dengan benar. a. 7 = d. 6 = b. 90 = e. 96 = c. 80 = b. 5 = 60 = 5 c. 0,5 = 0,5 60 = 7,5 0,5 = 0,5 60 = 0 0,5 = 7 0 d..800 =. 800 = Nyatakanlah bentuk berikut dalam menit ( ). a. c. e. 8 b. d Nyatakanlah bentuk berikut dalam derajat ( ). a. 7 c. 6 e..00 b. 96 d Nyatakanlah bentuk berikut dalam detik ( ). a. c. e b. d. 5 6 ab 7 Garis dan Sudut 6

173 Memberi Nama Sudut Perhatikan Gambar 7. di bawah ini. (a) (b) (c) (d) Gambar 7. (a) Sudut, (b) Sudut, (c) Sudut dan, (d) Sudut ari Gambar 7., ternyata ada beberapa cara dalam memberi nama suatu sudut.. engan menuliskan satu huruf kapital ontoh Gambar 7..(a) disebut.. engan menuliskan tiga huruf kapital ontoh Gambar 7..(b) disebut.. engan menuliskan simbol ontoh Gambar 7..(c) disebut dan.. engan menuliskan huruf kapital dan angka ontoh Gambar 7..(d) disebut. LTIHN. Tentukanlah titik sudut dan kaki sudut dari sudut-sudut di bawah ini. a. c. T S U. Nyatakanlah semua sudut-sudut yang ada pada gambar di bawah ini. a. c. f e a d b c P L b. d. R Q M. Namailah sudut-sudut berikut. a. c. a b. E d. K b. 5. Nyatakanlah sudut-sudut di bawah ini menjadi sudut dengan tiga huruf. F E 5 G a. G d. G g. G. b. G e. G. h. G 5. c. G f. G. 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

174 5. Perhatikanlah gambar di samping. da beberapa sudut yang dapat terjadi. Tuliskanlah sudutsudut tersebut. 6. Nyatakanlah sudut-sudut berikut ini dengan huruf dan angka. G a. HG f. HF b. H g. FH c. H h. GH 5 H d. HE i. EHG 7 6 e. HF j. FH F E Penjumlahan dan Pengurangan pada Sudut i awal telah dijelaskan bahwa = 60 dan = 60. Pada sudut, aturan-aturan konversi derajat, menit, dan detik itu dipakai dalam operasi penjumlahan dan pengurangan sudut. Untuk lebih jelasnya, kerjakan kegiatan berikut. K EGIT N Lengkapilah soal berikut dengan tepat. a = (0 + ) + ( + 8 ) = (0 + ) + ( + 8) = + = karena = 60 = + + = b = ( + ) ( + ) = ( + + ) ( + ) karena = 60 = ( + + ) ( + ) = ( ) + ( ) = + = 5 ari soal a dan b di atas terlihat bahwa pada penjumlahan dan pengurangan sudut, derajat dioperasikan dengan, menit dioperasikan dengan, dan detik dioperasikan dengan. Untuk mempermudah operasi penjumlahan dan pengurangan sudut digunakan pula aturan konversi = 60 dan = 60. Tugas Siswa Selidikilah bagaimana aturan penjumlahan dan pengurangan sudut pada soal berikut. a. 0 8 = b = iskusikanlah bersama dengan teman kelompokmu. andingkan hasilnya dengan jawaban kelompok lain. ab 7 Garis dan Sudut 65

175 LTIHN. Hitunglah penjumlahan berikut. a. + 6 =... b. + =... c =... d =... e =... f =.... Hitunglah penjumlahan berikut. a. 7 0 c b. 60 d Selesaikanlah soal-soal berikut. a. Jumlahkan 60 dengan 0 8 b. Kurangkan 86 8 dengan 5 c. Kurangkan 8 5 dari 6 5 d. Jumlahkan 6 8 dengan 5. Hitunglah operasi hitung berikut. a. 0 c b d Sudut pada Jam Perhatikanlah gambar sebuah jam dinding. Jarum panjang dan pendek dari jam tersebut akan selalu membentuk sudut mulai dari 0 hingga 80. Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan pendek digunakan penjumlahan atau pengurangan sudut. da beberapa aturan yang harus diperhatikan yaitu sebagai berikut. Untuk jarum panjang jam = 60 menit, besar sudut yang ditempuh adalah 60. Jika menit, besar sudut yang ditempuh adalah 60 = Untuk jarum pendek jam = 60 menit, besar sudut yang ditempuh 0. Jika menit, besar sudut yang ditempuh adalah 0 =. 60 Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan jarum pendek, perlu diperhatikan langkah-langkah berikut.. uatlah garis bantu. Garis bantu dibuat pada jam yang ditentukan. Untuk Gambar 7.5(a) garis bantu ke arah karena pukul 0.0. Untuk Gambar 7.5(b) garis bantu ke arah 6 karena pukul Jika garis bantu terletak di luar jarum panjang dan pendek seperti pada Gambar 7.5(a) maka sudut antara garis bantu dan jarum panjang dikurang dengan sudut antara jarum panjang dan pendek jarum panjang 0 9 O 6 (a) jarum pendek (b) 5 O O garis bantu jarum pendek jarum panjang garis bantu Gambar 7.5 Sudut pada jam 5 Sumber: lip rt Matematika SMP dan MTs Kelas VII

176 Untuk iingat Istilah sudut dapat digunakan untuk menentukan letak suatu daerah pada permukaan bumi. Sudut juga digunakan dalam bidang penerbangan dan bidang pelayaran sebagai patokan arah. Jika garis bantu terletak di antara jarum panjang dan pendek seperti pada Gambar 7.5(b) maka sudut antara jarum panjang dan garis bantu dijumlahkan dengan sudut antara jarum pendek dan garis bantu.. Garis bantu diberi nama.. Tentukan jarum pendek.. Tentukan jarum panjang. Untuk lebih memahaminya, perhatikan perhitungannya berikut ini. Perhatikan Gambar 7.5(a). O adalah sudut yang dibentuk antara garis bantu dan jarum panjang, yaitu jam jarum pendek. O = 0 =0. O adalah sudut yang dibentuk antara garis bantu dengan jarum pendek. O = menit pada jam = 0 = 5. O adalah sudut yang dibentuk antara jarum pendek dan jarum panjang O = O O = 0 5 = 05. ontoh SOL. Tentukanlah sudut yang ditentukan oleh jarum panjang dan pendek pada pukul Perhatikan Gambar 7.5(b). O adalah sudut yang diberikan antara garis bantu dan jarum panjang, yaitu jam jarum pendek. O = 0 = 90. O adalah sudut yang dibentuk antara garis bantu dan jarum pendek. O = menit pada jam = 5 = 7. O adalah sudut antara jarum panjang dan jarum pendek. O = = 97. Penyelesaian: O = 0 = 0 O = 0 = O 6 5 O = = 0 Sudut yang dibentuk antara jarum panjang dan pendek pada pukul 08.0 adalah 0. ab 7 Garis dan Sudut 67

177 . Tentukanlah pukul tiga lewat berapa yang membentuk sudut 0. Penyelesaian: Misalkan, menit pada jam adalah x. O = 0 O = (x 5) 6 = 6x 90 O = x = x O = O O 0 = 6x 90 x 5 x = 0 x = 0 5 x = 0 x = engan demikian, menit pada jam = 0 Jadi, waktu yang dimaksud adalah pukul O 6 LTIHN. Tentukanlah besar sudut yang ditunjukkan oleh jam berikut. a. c b. d Tentukanlah besar sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan pendek pada pukul berikut. a. 0.6 e. 08. b. 0.0 f. 09. c. 05. g d h (atatan: Sudut yang dibentuk jarum panjang dan pendek kurang dari 80 ). Selidiki pukul berapakah yang membentuk sudut 0, 90, dan 80? erikan alasanmu. 6 ara Menggambar Sudut Untuk menggambar sudut diperlukan alat bantu busur derajat. Pada busur derajat perlu diperhatikan angka 0 dan 80. ngka 0 adalah angka untuk memulai perhitungan, sedangkan angka 80 adalah angka maksimal dari busur derajat, tetapi ada juga busur derajat yang angka maksimalnya 60. gar kalian lebih memahami cara menggambar sudut lakukan kegiatan berikut ini. K EGIT N. uat garis mendatar.. Tempatkan pusat busur pada titik dan 0 pada garis.. eri tanda dengan titik pada busur derajat yang akan digambar.. Hubungkan titik dan sehingga terbentuk garis. 68 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

178 Terbentuklah sudut yang diminta, yaitu. Pada contoh di bawah ini digambarkan = 50 dan = Gambar 7.6 Menggambar sudut 7 ara Mengukur Sudut Mengukur besarnya sudut dengan menggunakan busur derajat caranya sama dengan menggambar sudut dengan busur derajat. Perhatikan contoh berikut ini. Untuk mengukur besar sudut perhatikan langkahlangkah berikut. a. Tempatkan pusat busur derajat pada titik sudut yang akan diukur. b. Tempatkan salah satu kaki sudutnya pada 0. c. acalah angka pada busur derajat yang dilalui oleh kaki sudut yang lain. ngka inilah yang merupakan besar sudut itu. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut yang menunjukkan cara mengukur sebuah sudut dengan menggunakan busur derajat. ontoh SOL Tentukanlah besar sudut berikut. Penyelesaian: Kita tempatkan pusat busur derajat pada titik. Kaki sudut kita tempatkan pada 0. Ternyata angka yang dilalui kaki sudut adalah 60. Jadi, = ab 7 Garis dan Sudut 69

179 LTIHN 5. engan menggunakan busur derajat, tentukanlah besar sudut berikut. a. c. b. d.. ari sudut-sudut di bawah ini manakah yang besarnya 90? a. b. c. e. d. f. F. engan menggunakan busur derajat gambarlah sudut yang besarnya: a. 0 e. 0 b. 5 f c. 60 g d. 5 h agaimanakah cara menggambar sudut yang besarnya lebih dari 80. arilah informasi lebih lanjut tentang hal ini pada buku-buku di perpustakaanmu. E 8 ara Menggambar Sudut yang esarnya iketahui Pada Gambar 7.7 akan dipindahkan ke titik P. Untuk memindahkan ke titik P, perhatikanlah langkahlangkah berikut ini. a. uatlah garis horizontal pada P. b. uat busur dari titik dengan jangka sehingga memotong garis dan garis di dan E. ari titik P juga dibuat busur yang sama jari-jarinya dengan yang dibuat pada titik dan memotong garis P di F. c. Ukurlah dengan jangka dari E ke dan ukuran itu dipindahkan ke F, sehingga memotong busur di G. d. Hubungkanlah titik P dengan titik G, sehingga terbentuk FPG. FPG adalah sama dengan. G G P P F E P F P F (a) (b) (c) (d) Gambar 7.7 Menggambar sudut 70 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

180 Gambar 7.8 Sudut 9 ara Membagi Sudut Menjadi ua Sama esar Jika pada bagian sebelumnya kalian telah mempelajari cara menggambar dan mengukur sudut dengan mengguna-kan busur derajat, maka sekarang kalian akan mempelajari cara membagi sudut menjadi dua bagian sama besar dengan menggunakan jangka. Pada Gambar 7.8 di samping akan dibagi menjadi dua sudut sama besar dengan menggunakan jangka. Kita ukur dulu besar. dapun cara membaginya adalah sebagai berikut. a. Jangkakan dari dengan ukuran tertentu sehingga membuat busur E seperti Gambar 7.9(a). F F E E (a) (b) (c) Gambar 7.9 Membagi sudut menjadi dua bagian sama besar b. Jangkakan dari dengan ukuran tertentu dan juga dari E kedua busur hasil penjangkaan berpotongan di F seperti Gambar 7.9(b). c. Hubungkan dan F. Garis F membagi sudut F dan F sama besar seperti Gambar 7.9(c). oba kalian ukur besar F dan F. Samakah kedua sudut itu? andingkan besar F dan. pakah F =? Jika tidak, berarti ada kesalahan dalam membagi sudut. Sebagai latihan, perhatikan gambar origami di bawah ini. N O O M. Segmen garis mana yang sama panjang dengan O?. erapakah besar ON? 0 ara Melukis Sudut Istimewa Tentu kalian sudah bisa menggambar sudut dengan menggunakan busur derajat. agaimanakah caranya menggambarkan sudut-sudut istimewa 0, 5, 60, 90, 5, 80, dan 70 dengan menggunakan jangka? Untuk memahami caranya, perhatikan uraian berikut ini. ab 7 Garis dan Sudut 7

181 a. ara Melukis Sudut 90, 60, 5, dan 0 ) ara Melukis Sudut 90 (perhatikan Gambar 7.0) a) uatlah garis g dari titik. b) ari titik dibuat busur dengan ukuran tertentu yang memotong garis g di dan. c) ari dan dibuat busur lingkaran yang berjari-jari sama dan kedua busur berpotongan di. d) ari titik tarik garis melalui, maka terbentuk dan = 90. ) ara Melukis Sudut 60 (perhatikan Gambar 7.) a) uatlah garis g dengan titik terletak pada garis g. b) ari buat busur lingkaran, memotong garis g di. c) ari dibuat busur lingkaran dengan jari-jari. d) Kedua busur berpotongan di. e) Tarik dari titik garis lurus melalui titik. f) adalah 60. ) ara Melukis Sudut 5 (perhatikan Gambar 7.) iketahui garis g yang melalui titik. Kemudian dari dibuat sudut 5. a) uatlah sudut 90. b) ari titik dan buatlah busur dengan jari-jari yang sama dan kedua busur berpotongan di F. c) Tariklah garis dari titik lewat F sehingga F = 5. ) ara Melukis Sudut 0 (perhatikan Gambar 7.) iketahui garis g dengan titik. Kemudian dari titik dibuat sudut 0. a) uatlah sudut 60 (lihat cara membuat sudut 60 ). b) ari titik dan buat busur dengan jari-jari sama dan kedua busur berpotongan di. c) ari tarik garis lewat sehingga besar = 0. b. ara Melukis Sudut 0, 5, 80, dan 70 ) ara Melukis Sudut 0 Melukis sudut 0 dapat dikerjakan dengan mengikuti langkah-langkah melukis sudut 60. Setelah sudut 60 terlukis yaitu maka terbentuklah = 0. Mengapa = 0? erikan alasanmu. ) ara Melukis Sudut 5 Melukis sudut 5 dapat dilakukan dengan terlebih dahulu melukis sudut 5. Setelah sudut 5 terlukis, yaitu = 5 maka terbentuklah = 5. Mengapa demikian? Karena dan saling berpelurus. g Gambar 7.0 Melukis sudut g Gambar 7. Melukis sudut 60 F 5 g E Gambar 7. Melukis sudut 5 0 g Gambar 7. Melukis sudut 0 7 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

182 ) ara Melukis Sudut 80 Sudut 80 disebut juga sudut lurus. O = 80 ) ara Melukis Sudut 70 Untuk melukis sudut 70 dapat dikerjakan dengan melukis sudut 90, terlebih dahulu. Setelah sudut 90 terlukis, yaitu = 90 maka terbentuklah O Gambar 7. Melukis sudut 0 Gambar 7.5 Melukis sudut 5 Gambar 7.6 O = 80 Gambar 7.7 Melukis sudut 70 LTIHN 6. Perhatikanlah sudut-sudut di bawah ini dan gambarlah sudut-sudut itu dengan jangka pada bukumu. a. d. e. g. E G b. e. c. f.. Salinlah sudut-sudut berikut pada bukumu dan bagilah sudut-sudut itu menjadi dua. a. c. b. d. E F f. h. F. engan menggunakan jangka gambarlah sudut-sudut berikut. a. 60 f b. 90 g. 5 0 c. 0 h d. 5 i e. 5 j agilah sudut pada gambar di samping menjadi dua sudut yang sama besar yaitu dan. Kemudian bagilah menjadi dua bagian yang sama besar, demikian juga dengan. H ab 7 Garis dan Sudut 7

183 Jenis-Jenis Sudut esar suatu sudut dapat diukur dengan menggunakan busur derajat. esar sudut yang dapat diukur adalah lebih dari 0 dan kurang dari 60. esar sudut-sudut dapat dibedakan seperti sudut lancip, sudut tumpul, sudut siku-siku, sudut lurus, dan sudut refleks. a. Sudut Lancip Sudut lancip adalah sudut yang besarnya kurang dari 90. Math Quiz Perhatikanlah gambar Menara Pisa di bawah ini. Jika menara tersebut mempunyai kemiringan sudut 85, dapatkah kalian menentukan sudut pelurus dari kemiringan sudut Menara Pisa tersebut? (a) Gambar 7.8 Sudut lancip. b. Sudut Siku-Siku (b) Sudut siku-siku adalah sudut yang besarnya 90. Sudut sikusiku biasa dinotasikan dengan atau. (c) (d) Sumber: Matematika, Pustaka Ilmu (a) (b) (c) (d) Gambar 7.9 Sudut siku-siku. c. Sudut Tumpul Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya lebih dari 90 dan kurang dari 80. (a) (b) (c) Gambar 7.0 Sudut tumpul. d. Sudut Lurus Sudut lurus adalah sudut yang besarnya 80. (d) O O O O (a) Gambar 7. O sudut lurus (b) (c) (d) 7 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

184 e. Sudut Refleks Sudut refleks adalah sudut yang besarnya lebih dari 80 dan kurang dari 60. O O O O (a) (b) (c) (d) Gambar 7. O sudut refleks LTIHN 7. engan menggunakan busur derajat, ukurlah besar sudut-sudut berikut dan tentukanlah jenis-jenis sudut itu. pakah lancip, siku-siku, tumpul, atau refleks? a. e. a. b. c. putaran d. 5 putaran putaran e. 8 putaran 5 9 putaran b. f. c. g. d. h.. Jika putaran = 60, nyatakanlah sudut-sudut berikut ini sebagai sudut lancip, siku-siku, tumpul, atau refleks.. Jika putaran = 60, nyatakanlah sudutsudut berikut sebagai sudut lancip, sikusiku, tumpul, lurus, atau refleks. a. dari putaran b. dari putaran c. dari putaran d. 5 dari putaran e. 8 dari putaran Hubungan ntarsudut a. Sudut yang Saling erpelurus (ersuplemen) oba kalian perhatikan gambar di bawah ini. esar = 0 dan = 60. Jika dan digabungkan sehingga titik dan bertemu di titik, apa yang terjadi? 0 60 Gambar 7. Sudut saling berpelurus 0 60 ab 7 Garis dan Sudut 75

185 Kedua sudut itu akan membentuk sudut yang besar sudutnya 80. Jadi, dua sudut dikatakan saling jika jumlah kedua sudut itu. engan demikian, kita peroleh: + = b. Sudut yang Saling erpenyiku (erkomplemen) Sekarang, perhatikan gambar di bawah ini Gambar 7. Sudut saling berpenyiku esar = 0 dan = 60, Jika dan digabungkan sehingga titik dan bertemu di, apa yang terjadi? Kedua sudut itu akan membentuk sudut yang besarnya 90. Jadi, dua sudut dikatakan saling jika jumlah kedua sudut itu. engan demikian, kita peroleh: + = 60 c. Sudut yang Saling ertolak elakang Untuk mengetahui sudut yang saling bertolak belakang, lakukan langkah-langkah di bawah ini. uatlah garis dan E sehingga berpotongan di seperti terlihat pada gambar di samping? ari gambar di samping, dan E dikatakan bertolak belakang. egitu juga dengan E dan. ua sudut yang saling memiliki besar sudut yang. Jadi, = dan E = Gambar 7.5 Sudut saling bertolak belakang E LTIHN 8. Tentukanlah penyiku dari sudut-sudut berikut ini. a. 0 d. b. 0 e. 78 c. 6. Tentukanlah pelurus dari sudut-sudut berikut ini. a. 0 d. 05 b. 0 e. 5 c. 5. Tentukanlah besar sudut yang ditunjukkan dengan huruf-huruf berikut. a. c. b. 8 d. a a 5x x 78 a x a 76 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

186 e. f. 7a 5a a a a Jika diketahui xy adalah garis lurus, hitunglah: a. a jika b = 5 dan c = 86 b. b jika a + c = b c. a jika b = a dan c = a d. c jika a = b = c y x a b O c y 5. Sebuah sudut besarnya dua kali penyikunya. Hitunglah besar sudut tersebut. 6. Sebuah sudut besarnya lima kali pelurusnya. Hitunglah besar sudut tersebut. 7. Penyiku suatu sudut besarnya tiga kali besar sudut. Hitunglah besar sudut tersebut. 8. Lima kali penyiku suatu sudut sama dengan besar sudut. Hitunglah besar sudut tersebut. Garis-Garis Sejajar Kita telah belajar tentang bagaimana sudut dan sifatsifatnya serta cara menggambarnya. Seperti kalian ketahui, sudut dibentuk oleh dua buah garis yang saling berpotongan pada salah satu ujungnya. Sekarang, kita akan mempelajari kedudukan dua garis pada bidang datar. Kedudukan ua Garis H Gambar 7.6 Garis a dan b sejajar pada bidang H H b M titik potong Gambar 7.7 Garis a dan b berpotongan di titik M pada bidang H a a b Jika kita membuat dua garis maka ada empat kemungkinan kedudukan kedua garis tersebut, yaitu sejajar, berpotongan, berimpit, atau bersilangan. a. Sejajar Perhatikanlah garis a dan b pada Gambar 7.6. Jika kita misalkan kedua garis itu lintasan kereta api maka garis a dan b tidak akan pernah bertemu karena jarak mereka satu sama lain sama. Kedudukan garis a dan b seperti itu disebut dua garis yang saling sejajar. engan kata lain, garis a dan b dikatakan sejajar jika kedua garis terletak pada satu bidang datar dan tidak mempunyai titik persekutuan (titik perpotongan) serta jaraknya selalu tetap. b. erpotongan Perhatikan garis a dan b pada Gambar 7.7. Garis a dan b berpotongan di M. Kedudukan garis a dan b seperti tiu disebut dua garis yang saling berpotongan. engan kata lain, garis a dan b dikatakan berpotongan jika kedua garis tersebut memiliki satu titik persekutuan yang disebut titik potong. ab 7 Garis dan Sudut 77

187 c. erimpit Perhatikan garis a dan b pada Gambar 7.8. Garis a dan b saling berimpit. engan kata lain, garis a dan b dikatakan berimpit jika setiap titik pada garis a juga terletak pada garis b dan sebaliknya. d. ersilangan Perhatikan garis k dan l pada Gambar 7.9. Garis k terletak pada bidang EFGH dan garis l terletak pada bidang GF. Jika kedua garis diperpanjang tidak akan berpotongan. Kedudukan garis k dan l itu disebut dua garis yang saling bersilangan. Jadi, garis k dan l dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar, dan tidak terletak pada bidang yang sama. Garis Vertikal dan Horizontal Sebuah garis dikatakan garis horizontal jika garis itu mendatar. Pengertian horizontal adalah sejajar horizon (langit bagian bawah yang berbatasan dengan bumi menurut pandangan mata), sedangkan garis vertikal adalah garis yang tegak lurus garis horizontal. Pada Gambar 7.0, garis a adalah garis horizontal dan b adalah garis vertikal. H a = b Gambar 7.8 Garis a dan b berimpit l Gambar 7.9 Garis tak berpotongan a E H k b G vertikal horizontal Gambar 7.0 Garis b vertikal dan garis a horizontal F Melalui Satu Titik di Luar Sebuah Garis dapat ditarik tepat Satu Garis yang Sejajar dengan Garis tersebut Perhatikan Gambar 7.. Pada gambar tersebut, titik berada di luar garis m. Melalui titik dapat ditarik hanya satu garis yang sejajar dengan garis m. Untuk menjelaskannya, perhatikanlahlangkah berikut. m m m Geser n Segitiga Penggaris Gambar 7. Garis n melalui titik dan sejajar m n a. uatlah garis lurus m dengan titik di luar garis m. b. Letakkanlah penggaris dan segitiga sedemikian rupa sehingga salah satu sisi segitiga berimpit dengan penggaris. c. Geserlah segitiga ke arah titik sepanjang penggaris sehingga sisi segitiga berimpit dengan titik. 78 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

188 d. uatlah garis n sepanjang segitiga. Garis n yang kita buat adalah garis yang sejajar m. Garis m sejajar garis n dan biasa ditulis m // n. (// dibaca sejajar ). Melalui sebuah titik di luar sebuah garis dapat ditarik tepat satu garis yang sejajar dengan garis itu. Membagi Garis Misalkan diketahui garis sepanjang 5 cm dibagi menjadi lima bagian yang sama panjang. Setiap bagian panjangnya cm. Untuk membagi garis dengan ukuran tertentu dapat dilakukan dengan menggunakan prinsip garis-garis sejajar seperti cara berikut. Garis dibagi menjadi tiga bagian yang sama besar. Garis dibagi menjadi lima bagian sama besar. Gambar 7. Membagi garis dengan ukuran tertentu ontoh SOL Salinlah gambar berikut kemudian dari P buatlah garis yang sejajar m. m Penyelesaian: garis n sejajar m P n m P LTIHN 9. iketahui titik P dan garis. uatlah dari P garis sejajar. P a. b. P. Salinlah garis-garis berikut dan bagilah garis tersebut menjadi dua bagian, tiga bagian, dan empat bagian yang sama panjang. ab 7 Garis dan Sudut 79

189 a. c. b.. Perhatikan gambar berikut, kemudian tentukanlah garis-garis yang berpotongan. a. c b. b a a b c. Perhatikan gambar berikut, kemudian tentukanlah garis-garis vertikal dan horizontalnya. a. a b c n b. 5. d k l m 6 cm Salinlah garis pada kertas dan bagilah garis tersebut menjadi tiga bagian, empat bagian, dan enam bagian yang sama panjang. Sifat-Sifat Garis dan Sudut agaimanakah sifat-sifat garis sejajar dan sifat-sifat sudut pada garis-garis sejajar? Perhatikan penjelasan berikut ini. ua Garis Sejajar ipotong oleh Sebuah Garis gar kalian lebih memahami tentang sifat-sifat garis dan sudut, lakukanlah langkah-langkah berikut ini. Pertama, buat dua garis sejajar m dan n. Kedua, buatlah garis l yang memotong garis m dan n. Garis yang memotong kedua garis tersebut disebut garis transversal. kibat dua garis dipotong oleh sebuah garis, maka akan terbentuk pasangan-pasangan sudut, yaitu sudut sehadap, sudut dalam berseberangan, sudut luar berseberangan, sudut dalam sepihak, dan sudut luar sepihak. Pada Gambar 7., garis m dan garis n sejajar di mana l adalah transversal. Garis l memotong garis m dan n sehingga membentuk 8 sudut, yaitu,, 7, dan 8 yang merupakan sudut-sudut luar dan,, 5, dan 6 yang merupakan sudut-sudut dalam. a. Sudut Sehadap Sudut sehadap adalah dua sudut (sudut dalam dan sudut luar) yang tidak berdekatan di sisi yang sama pada transversal. Pada Gambar 7., garis m sejajar garis n dan kedua garis tersebut dipotong garis l, maka terdapat pasangan-pasangan sudut sehadap, yaitu: Gambar 7. ua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis l l m n m n dan 5 dan 7 dan 6 dan 8 Gambar 7. Sudut-sudut sehadap. 80 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

190 Gambar 7.5 Pasangan sudut dalam berseberangan Gambar 7.6 Pasangan sudutsudut luar berseberangan Gambar 7.7 Pasangan sudutsudut dalam sepihak Gambar 7.8 Pasangan sudutsudut luar sepihak. l l l l m n m n m n m n b. Sudut alam erseberangan Sudut dalam berseberangan adalah dua sudut dalam yang tidak berdekatan pada sisi yang berseberangan terhadap transversal. Pada Gambar 7.5, garis m sejajar garis n, kedua garis dipotong garis l. Terdapat pasangan sudut dalam berseberangan, yaitu dan 6 serta dan 5. c. Sudut Luar erseberangan Sudut luar berseberangan adalah dua sudut luar yang tidak berdekatan pada sisi-sisi yang berseberangan terhadap transversal. Pada Gambar 7.6, garis m dan n sejajar, kemudian kedua garis dipotong garis l sehingga membentuk pasangan sudut luar berseberangan, yaitu dan 8 serta dan 7. d. Sudut alam Sepihak Sudut dalam sepihak adalah dua sudut dalam yang terletak pada sisi yang sama. Pada Gambar 7.7, garis m dan n sejajar, kemudian garis l memotong garis m dan n sehingga terdapat pasangan sudut-sudut dalam sepihak, yaitu dan 5 serta dan 6. e. Sudut Luar Sepihak Sudut luar sepihak adalah dua sudut luar yang terletak pada sisi yang sama. Pada Gambar 7.8, garis m dan n sejajar, kemudian kedua garis tersebut dipotong garis l sehingga terbentuk pasangan sudut-sudut luar sepihak, yaitu dan 7 serta dan 8. ontoh SOL. Perhatikan gambar berikut ini. Pada gambar di samping, garis a dan b c a b dipotong oleh transversal c. Tentukanlah: a. sudut sehadap, b. sudut dalam berseberangan, c. sudut luar berseberangan, d. sudut dalam sepihak, dan e. sudut luar sepihak. ab 7 Garis dan Sudut 8

191 Penyelesaian: a. Sudut sehadap dan 5, dan 7, dan 6, dan 8. b. Sudut dalam berseberangan dan 6, dan 5. c. Sudut luar berseberangan dan 8, dan 7. d. Sudut dalam sepihak dan 5, dan 6. e. Sudut luar sepihak dan 7, dan 8.. Perhatikan gambar berikut ini. k l m n ua buah garis k dan l berpotongan dengan dua garis lain, yaitu garis m dan n di,,, dan sehingga membentuk pasangan sudut-sudut. Tentukan sudutsudut: a. sehadap, b. dalam berseberangan, c. luar berseberangan, d. dalam sepihak, dan e. luar sepihak. Penyelesaian: a. Sudut sehadap adalah dan. b. Sudut dalam berseberangan adalah. c. Sudut luar berseberangan adalah. d. Sudut dalam sepihak adalah dan. e. Sudut luar sepihak adalah. LTIHN 0. Perhatikanlah gambar berikut. Tentukanlah: a. sudutsehadap dengan ; b. sudut dalam berseberangan dengan ; c. sudut luar berseberangan dengan ; d. sudut sehadap dengan.. Perhatikanlah gambar di bawah ini. 6 5 k a b l a b Tentukanlah sudut-sudut: a. sehadap 7 ; b. dalam berseberangan 6 ; c. dalam sepihak ; d. luar berseberangan 8.. Perhatikanlah gambar di bawah ini. F d G b H E e Tentukanlah sudut-sudut: a. sehadap dengan ; b. dalam berseberangan dengan E ; c. luar berseberangan dengan ; d. dalam sepihak dengan. c a 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

192 . Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukanlah sudut: a. dalam berseberangan ; b. luar berseberangan 6 ; c. dalam sepihak ; d. luar sepihak 7. Gambar 7.9 Sudut-sudut sehadap yang sama besar. l a b Hubungan Sudut-Sudut pada ua Garis Sejajar a. Sudut-Sudut Sehadap Garis a dan b sejajar dipotong oleh garis l, maka dan adalah sudut-sudut sehadap. Perhatikan Gambar 7.9. pakah benar =? K EGIT N Untuk membuktikan kebenaran =, lakukanlah kegiatan berikut ini. Jiplak atau salin pada Gambar 7.9, kemudian guntinglah! Letakan hasil guntingan tadi pada. pakah dan berimpit dengan tepat? engan demikian, terbukti =... Selanjutnya, lakukanlah hal seperti di atas untuk,, dan. ari hasil kegiatan di atas dapat disimpulkan hal berikut. esar sudut-sudut yang sehadap adalah b. Sudut alam erseberangan Gambar 7.0 Sudut-sudut dalam yang berseberangan sama besar. Gambar 7. Hubungan sudutsudut luar berseberangan. l l a b a b Garis a dan b sejajar yang dipotong oleh garis l maka dan adalah sudut-sudut dalam berseberangan. uktikanlah bahwa =. Perhatikan Gambar 7.0. ukti: = (bertolak belakang) dan = (sehadap), maka = (terbukti) esar sudut dalam berseberangan sama c. Sudut Luar erseberangan Garis a dan b sejajar yang dipotong oleh garis l, maka dan adalah sudut-sudut luar berseberangan. uktikanlah bahwa =. Perhatikan Gambar 7.. ukti: = (bertolak belakang) = (sehadap) = (terbukti) esar sudut luar berseberangan sama ab 7 Garis dan Sudut 8

193 d. Sudut alam Sepihak Garis a sejajar b dipotong oleh garis l maka dan adalah sudut dalam sepihak. Perhatikan Gambar 7.. uktikanlah bahwa + = 80. ukti: = (sehadap) dan + = 80 (saling berpelurus), maka: + = 80 (terbukti) Jumlah sudut dalam sepihak adalah 80 Gambar 7. Hubungan sudutsudut dalam sepihak. l a b e. Sudut Luar Sepihak Garis a sejajar b dipotong oleh garis l, dan adalah sudut luar sepihak. Perhatikan Gambar 7.. uktikan bahwa + = 80. ukti: = (sehadap) dan + = 80 (saling berpelurus), maka + = 80 (terbukti) Jumlah sudut luar sepihak adalah 80 Gambar 7. Hubungan sudut-sudut luar sepihak l a b LTIHN. Tentukanlah nilai a, b, c pada gambar di bawah ini. a. d. 70 c a b 50 a b 5 b. 65 b e. c. c a a c b 60. Perhatikan gambar berikut. Jika 7 = 5, tentukanlah: a. c. b. d. 6 d a b c 0. Perhatikan gambar di bawah ini Jika = (x ), 9 = (x ), tentukanlah: a. 5 c. 0 b. 6. Perhatikan gambar di bawah ini. 7 6 E Jika //, = F = 7 dan = 6, tentukanlah: a. E b. F 8 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

194 5. Perhatikan gambar di bawah ini. k l // dan EF //. esar = x + dan = y +. Jika EF = 58, tentukan nilai x dan y. 6. Perhatikan gambar di samping. E F Jika = 00 dan 5 = 6, tentukanlah: a. c. b. 5 a m n Tugas Siswa Pada gambar di samping, sejajar E. Tentukan: a. nilai p + q + r b. nilai s + t + u c. jumlah sudut-sudut pada segienam EF. p q F u r t E s ua Garis Sejajar l a da beberapa cara untuk memeriksa apakah dua garis sejajar atau tidak. Untuk lebih memahaminya, perhatikan uraian di bawah ini. a. ua Garis yang Sejajar, ipotong oleh Garis Lain, Maka Sudut-sudut Sehadapnya Sama esar Gambar 7. Garis a // b jika besar sudut-sudut sehadap sama Gambar 7.5 Garis a // b jika sudut-sudut dalam berseberangan sama l a b b Garis a dan b dipotong oleh garis l, dengan dan sama besar. uktikanlah bahwa garis a sejajar garis b. ukti: Garis a dan b dipotong oleh garis l. Jika sama dengan maka jika digeser ke akan menutupi atau berimpit dengan. Oleh karena dan bisa saling berimpit, maka garis a dan b sejajar. Jika dua garis dipotong oleh garis lain ternyata sudut sehadapnya sama besar maka dua garis itu sejajar. b. ua Garis Sejajar, ipotong oleh Garis Lain, Maka Sudut-sudut alam yang erseberangan Sama esar Garis a dan b dipotong garis l dan =. uktikanlah bahwa garis a sejajar garis b. ukti: = (bertolak belakang) =, maka =, sehingga garis a sejajar b. ab 7 Garis dan Sudut 85

195 Jika dua garis dipotong oleh garis lain ternyata sudutsudut dalam berseberangan sama besar maka dua garis itu sejajar. c. ua Garis Sejajar, ipotong oleh Garis Lain, Sudut Luar yang erseberangan Sama esar Garis a dan b dipotong garis l dan =, buktikanlah bahwa garis a sejajar garis b. ukti: = (sudut-sudut sehadap) dan l a = (bertolak belakang), maka = sehingga garis a sejajar garis b. Jika dua garis dipotong oleh garis lain ternyata sudutsudut luar berseberangan sama besar maka dua garis itu sejajar. Gambar 7.6 Garis a // b jika sudut-sudut luar berseberangan sama b LTIHN. ari gambar F = 0, F = 70, = 70. Tentukanlah pasangan garis yang sejajar.. ari gambar = 70, = 50, E = 0. Tentukanlah pasangan garis yang sejajar.. Perhatikan gambar berikut. E F F H 70 E 0 70 ari gambar = 0, F = 85, EF = 80, E = 5, FE = 95. Tentukanlah pasangan garis yang sejajar. E F G. Pada gambar di bawah ini diketahui = 75, = 55, E = 50. Tentukanlah pasangan garis yang sejajar. 5. Pada gambar di bawah ini, manakah garis-garis yang sejajar? 6. Pada gambar di bawah ini, manakah garis-garis yang sejajar? P E H E G 5 Q F E F G H 86 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

196 Gambar 7.7 Panjang segmen garis. Panjang Segmen Garis Perhatikan Gambar 7.7. iketahui panjang =. Jika panjang = cm maka panjang = cm sehingga: = + = cm + cm = 6 cm agaimana jika tidak sama dengan ( )? Untuk itu perhatikan contoh berikut ini. ontoh SOL. Panjang = 8 cm, dan terletak pada sehingga : = :. Hitunglah dan. Penyelesaian: = 8 cm + = 8 cm = cm = 8 cm + = 8 cm = 6 cm atau = 8 cm cm = 6 cm. P terletak pada MN sehingga MP : PN = :. Jika MP = cm, hitunglah PN dan MN. M P N Penyelesaian: MP : PN = : MP : MN = : 5 PN = cm = 6 cm MN = 5 cm = 0 cm atau MN = MP + PN = cm + 6 cm = 0 cm LTIHN. engan menggunakan penggaris bagilah garis berikut menjadi empat bagian. a. b. cm 6 cm. Salinlah garis berikut dan bagilah garis tersebut menjadi dua bagian sama besar. a. b.. Perhatikanlah garis MN di bawah ini. Gambarlah garis yang panjangnya MN. a. b. M N M N. Perhatikanlah garis XY di bawah ini, kemudian gambarlah garis yang panjangnya 5 XY. a. b. X Y X Y 5. agilah garis menjadi a. enam bagian yang sama; b. lima bagian yang sama; c. empat bagian yang sama; d. tiga bagian yang sama. ab 7 Garis dan Sudut 87

197 K EGIT N. Gambarlah sebuah garis kemudian gambar dua titik di garis itu. erapa segmen garis yang kalian temukan?. Tambah satu titik pada garis itu, hitung banyaknya segmen garis yang terjadi.. Tambah satu titik lagi sehingga banyaknya titik ada empat. Hitunglah banyaknya segmen garis yang terjadi.. Jika ada n titik pada garis itu, berapa banyaknya segmen garis yang terjadi? anyak titik anyak segmen garis 0.. n? plikasi Garis dan Sudut dalam Kehidupan Sekarang kalian telah mempelajari garis dan sudut. eberapa masalah dalam kehidupan sehari-hari bisa diselesaikan dengan prinsip garis dan sudut. Perhatikan contoh di bawah ini. ontoh SOL Sebuah dusun terdiri atas RT, yaitu RT, RT, dan RT, akan membangun jalan yang panjangnya km. Karena jumlah penduduk tiap RT berbeda, maka panjang jalan yang dibangun oleh setiap RT tidak sama, melainkan RT : RT : RT = : : 5. erapa meterkah panjang jalan yang harus dibuat oleh masing-masing RT? Penyelesaian: km =.000 m RT : RT : RT = : : 5. Panjang jalan yang dibangun RT =.000 m = 600 m 0 Panjang jalan yang dibangun RT =.000 m = 900 m 0 Panjang jalan yang dibangun RT 5 =.000 m =.500 m 0. i sebuah provinsi terdapat 5 ibu kota kabupaten yang tiap ibu kota kabupaten tersebut hanya dihubungkan dengan satu jalan. Jika tiap jalan tersebut dinamai dengan nama pahlawan yang berbeda maka berapa nama pahlawan yang dibutuhkan? 88 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

198 . Suatu kebun berbentuk segitiga sama kaki dengan sudut sama kakinya 5. Jika panjang sisi kakinya 8 m, tentukanlah luas kebun tersebut.. Tiga buah kota dihubungkan dengan suatu jalan lurus. Perbandingan jarak kota I ke kota II dan jarak kota II ke kota III adalah :. Jika suatu bus bergerak dengan kecepatan 60 km/jam dan memerlukan waktu 5 jam untuk menempuh perjalanan dari kota I ke III, berapakah jarak kota I ke kota II? K EGIT N. Isilah tabel berikut ini. Gambar anyaknya anyaknya Garis Sudut n... n.... Tentukanlah banyaknya sudut pada gambar berikut. G F E O RNGKUMN. Sudut dibentuk oleh dua garis yang berpotongan pada salah satu ujungnya.. Satuan sudut adalah derajat, menit, dan detik, dengan ketentuan: = 60 menit =.600 detik dan = 60 detik. Hubungan sudut-sudut pada dua garis sejajar adalah sudut sehadap, sudut bertolak belakang, sudut dalam berseberangan, sudut luar berseberangan, sudut-sudut dalam sepihak, dan sudut luar sepihak. ab 7 Garis dan Sudut 89

199 Pilihan ganda Uji Kompetensi ab 7 erilah tanda silang ( ) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar.. Pada gambar di E samping E dapat dinyatakan F dengan sudut... a. b. c. d.. Sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan pendek pada pukul 0. adalah... a. 6 c. 8 b. d.. Jumlah dari 0 7 dan 0 9 adalah... a c b d Nilai a pada gambar di bawah adalah... a a a. 8 c. 5 b. 6 d Sebuah sudut besarnya dua kali penyikunya. esar sudut itu adalah... a. 0 c. 0 b. 60 d Pelurus sebuah sudut lima kali besar sudut tersebut. esar sudut itu adalah... a. 0 c. 50 b. 5 d Pada gambar di samping, sudut yang sehadap adalah... a. dan c. dan b. dan d. dan a 8. Pasangan sudut luar berseberangan pada gambar di bawah ini adalah... P a. P dan Q c. P dan Q b. P dan Q d. P dan Q 9. Pasangan sudut dalam sepihak pada gambar di samping ini adalah... a. P dan Q c. P dan Q b. P dan Q d. P dan Q 0. Pada gambar di samping ini diketahui = 7. esar adalah... Q a. 6 c. 06 b. 7 d. 6 P Q. Perhatikan gambar berikut ini. E G P Q F H Pada gambar di atas diketahui QF = PE. Pasangan garis sejajar pada gambar itu adalah... a. dan b. EG dan GH c. dan EF d. dan GH R S 90 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

200 . Perhatikanlah gambar di bawah ini. Nilai a dan b pada gambar di atas adalah... a. 70 dan 75 c. 5 dan 70 b. 5 dan 75 d. 75 dan 5. Perhatikanlah gambar di bawah ini. Nilai x adalah... a. c. 50 b. 6 d. 5. Perhatikanlah gambar di bawah ini. Nilai x pada gambar di atas adalah... a. c. 60 b. 59 d Perhatikanlah gambar di bawah ini. x a b Nilai x pada gambar di atas adalah... a. 0 c. 0 b. 5 d Perhatikanlah gambar di bawah ini. x x x x 0 Nilai x pada gambar di atas adalah... a. 88 c. 0 b. 9 d. 7. Perhatikanlah gambar di bawah ini. Nilai x pada gambar di atas adalah... a. 8 c. 5 b. 7 d Perhatikanlah gambar di bawah ini. Pada gambar di atas, diketahui F + G = 80. Pasangan garis sejajar pada gambar tersebut adalah... a. dan KO b. dan EF c. EF dan GH d. EF dan KO 9. Pada gambar di bawah ini, M : M = :. Jika = 0, panjang M adalah... a. c. 6 b. 0 d Perhatikanlah gambar berikut ini. E G M 7 x 8 M N 86 L iketahui : : = : :. Jika panjang = 5 cm, maka panjang adalah... cm. a. 5 c. 5 b. 0 d. 0 K F H Uji Kompetensi ab 7 9

201 Esai Selesaikanlah soal-soal di bawah ini.. Tentukan hasil penjumlahan sudut di bawah ini. a. 5º8 + 9º 7 b. 5º 6 + 7º8 5. Tentukan hasil pengurangan sudut di bawah ini. a. 57º 5 º58 0 b. 0º5 75º7 55. Tentukanlah besar sudut yang dibentuk oleh jarum panjang dan pendek pada pukul a.. b..0. Gambarlah sudut 75º dan 05º tanpa menggunakan busur derajat. 5. Pada gambar di bawah ini, hitunglah nilai a. a. c. a a a a 7. Perhatikan gambar balok di bawah ini. E H a. Tentukan dua pasang garis yang sejajar. b. Tentukan dua pasang garis yang berpotongan. c. Tentukan dua pasang garis yang bersilangan. 8. Perhatikan gambar di bawah ini. y + 0º x 60º F G b. d. a a a a 6. Pada gambar di bawah ini, hitunglah nilai a. a. 0 a a z 0º Tentukan nilai x + y + z. 9. Pelurus suatu sudut berjumlah dua kali penyiku sudut tersebut. Hitunglah besar sudut itu. 0. Perhatikanlah gambar di bawah ini. b. 0 0 a 5 a Pada gambar di atas, : : : E = : : :. Jika panjang E = 0 cm, tentukanlah a. panjang ; c. panjang. b. panjang ; E c. 0 a 0 9 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

202 Sumber: 8 Segitiga dan Segi Empat Tujuan Pembelajaran Memahami macammacam segi empat dan sifat-sifatnya Memahami macammacam segitiga dan sifat-sifatnya Menggambar segitiga dan garis-garis istimewa pada segitiga Menentukan luas serta keliling segitiga dan segi empat. alam mempelajari materi segi empat berkaitan erat dengan sudut dan garis-garis sejajar karena pada segi empat terdapat sudut dan garis. Sedangkan untuk perhitungan keliling dan luasnya menggunakan operasi hitung bilangan bulat dan pecahan. Oleh karena itu, materi-materi tersebut menjadi prasyarat dalam mempelajari materi pada bab ini. Pada kehidupan sehari-hari penerapan konsep segitiga dan segi empat cukup banyak, salah satunya seperti tampak pada gambar di atas. anyak benda-benda di sekitar kita yang berbentuk segitiga dan segi empat. Misalnya seorang ahli bangunan membangun sebuah rumah dengan ukuran 0 m 0 m dan menghitung berapa banyak ubin yang diperlukan untuk membangun rumah tersebut. Tanpa sadar sebenarnya pada saat menghitung banyaknya ubin yang diperlukan, ahli bangunan itu telah menerapkan sifat-sifat dan luas segi empat. ab 8 Segitiga dan Segi Empat 9

203 Uji Kompetensi wal Sebelum mempelajari materi bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. S R 60 a. Garis manakah yang sejajar? P Q b. erapa besar sudut Q? c. erapa besar sudut QPS?. Sebutkan sifat-sifat segitiga, persegi, dan persegi panjang.. Hitunglah luas segitiga jika diketahui: a. t = cm dan a = 7 cm b. t = 9 cm dan a = cm c. t =,5 cm dan a = 0 cm Pengertian dan Sifat-Sifat Segi Empat oba kalian perhatikan benda-benda di sekeliling kalian. da begitu banyak benda-benda dua dimensi berbentuk segi empat seperti ubin, tembok, dan lain-lain. anyak lantai yang menggunakan bentuk segi empat, demikian juga dengan jendela dan langit-langit, baik itu di rumah, gedung-gedung, ataupun di tempat-tempat umum seperti di stasiun, terminal, dan tempat lainnya. entuk segi empat itu bermacam-macam dari yang tidak beraturan sampai yang beraturan seperti jajargenjang, persegi panjang, belah ketupat, persegi, trapesium, dan layang-layang. Pada bab ini kita hanya akan mempelajari segi empat beraturan. Gambar 8. Jendela yang berbentuk segi empat Sumber: lip rt 005 Pengertian Jajargenjang Gunakan penggaris untuk menggambar dua garis sejajar pada selembar kertas. Gambarlah dua garis sejajar dengan posisi mendatar/horizontal seperti pada Gambar 8.(i). Gambar pula dua garis sejajar yang melalui dua garis sebelumnya dengan posisi condong (miring) ke kanan seperti Gambar 8.(ii). eri nama titik-titik perpotongannya dengan,,, dan. Kalian akan memperoleh suatu bangun yang disebut jajargenjang. Jadi, merupakan jajargenjang. pa yang dapat kalian simpulkan mengenai pengertian jajargenjang? (i) (ii) Gambar 8. Menggambar jajargenjang 9 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

204 Gambar 8. Persegi panjang Gambar 8. (a) Segitiga ; (b) elah ketupat Gambar 8.5 Persegi c (a) (b) d a Gambar 8.6 Trapesium b Pengertian Persegi Panjang Perhatikan Gambar 8. di samping. Gambarlah sikusiku di pada kertas, kemudian jiplaklah. Potong hasil jiplakan ini, lalu tutupkan pada. Setelah itu putar segitiga hasil jiplakan sebesar 80 dengan pusat pada pertengahan garis. angun apa yang kalian peroleh? pa yang dapat kalian simpulkan mengenai pengertian bangun tersebut? Pengertian elah Ketupat Gambarlah sama kaki dengan alas seperti Gambar 8. pada kertas. Selanjutnya, cerminkan itu terhadap alas. angun apa yang kalian peroleh? angun itu adalah belah ketupat. engan mengamati bangun dapat disimpulkan bahwa belah ketupat adalah segi empat yang dibentuk dari segitiga sama dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya. Pengertian Persegi Gambarlah sama kaki siku-siku di seperti Gambar 8.5 pada kertas, kemudian jiplaklah. Potong hasil jiplakan itu, lalu tutupkan pada. Setelah itu, putar segitiga hasil jiplakan sebesar 80 dengan pusat putar pada pertengahan hipotenusanya. angun apa yang kalian peroleh? angun itu adalah bangun persegi. engan mengamati bangun dapat disimpulkan bahwa persegi adalah segi empat yang keempat sisinya panjang dan keempat sudutnya siku-siku (90 ). 5 Pengertian Trapesium Trapesium adalah segi empat yang mempunyai sepasang sisi berhadapan dan sejajar. Jika ada dua garis sejajar dan dipotong oleh dua buah garis yang tidak sejajar maka daerah yang dibatasi oleh keempat garis potong itu adalah trapesium. Pada Gambar 8.6, garis sejajar a dan b dipotong oleh garis c dan d. Titik-titik potongnya adalah,,, dan. aerah yang dibatasi oleh,,, dan disebut trapesium. Trapesium dapat dibedakan menurut sisi dan sudutnya yaitu trapesium sembarang, sama kaki, dan siku-siku. a. Trapesium Sembarang Trapesium sembarang adalah trapesium yang memiliki sisisisi yang tidak sama panjang. Perhatikanlah Gambar 8.7(a), adalah trapesium sembarang dengan, dan sejajar. ab 8 Segitiga dan Segi Empat 95

205 b. Trapesium Sama Kaki Trapesium sama kaki adalah trapesium yang mempunyai panjang sisi tegak yang sama panjang. Perhatikanlah Gambar 8.7(b), adalah trapesium sama kaki dimana =, dan =. c. Trapesium Siku-Siku Trapesium siku-siku adalah trapesium yang salah satu sudut alasnya 90. Perhatikanlah Gambar 8.7(c), adalah trapesium siku-siku dimana = 90 dan = 90. (a) (b) (c) Gambar 8.7 Jenis-jenis trapesium (a) sembarang, (b) sama kaki, dan (c) siku-siku 6 Pengertian Layang-layang Gambarlah dua segitiga sama kaki dengan alasnya sama panjang dan luasnya berbeda pada kertas. Misalnya segitiga itu dinamakan dan seperti Gambar 8.8. Selanjutnya, potonglah kedua segitiga itu, lalu satukan dan pada alasnya yang sama panjang. angun apa yang kalian peroleh? engan mengamati bangun yang terbentuk dapat disimpulkan layang-layang adalah segi empat yang terbentuk dari dua segitiga sama yang panjang alasnya dan berimpit serta luasnya... LTIHN Gambar 8.8 Layang-layang. Pada gambar di bawah ini terdapat tiga garis sejajar dipotong oleh tiga garis sejajar. erapa banyakkah jajargenjang yang terbentuk?. Gambar di samping adalah dengan sisi,, dan. Titik T merupakan titik tengah. tersebut diputar 80 dengan pusat T. angun apakah yang akan terjadi jika: a. adalah segitiga siku-siku, b. adalah segitiga sama kaki dengan =, c. adalah segitiga siku-siku sama kaki, dan d. adalah segitiga sama sisi. T 96 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

206 .. ua garis a dan b merupakan garis-garis sejajar yang dipotong oleh dua garis yang tidak sejajar. angun apakah yang terjadi? Sebuah persegi panjang dengan P, Q, R, dan S adalah titik-titik pada,,, dan. angun apakah yang terjadi jika: a. P, Q, R, dan S terletak di tengahtengah dari,,, dan ; b. Perbandingan P : P = R : R = :, dan S : S = Q : Q = :. 5. F H b c d e f ua garis sejajar a dan b dipotong oleh garis-garis c, d, e, f. angun apakah yang dibentuk oleh: a., c. FE, dan b. FE, d. GH. E G a Gambar 8.9 Segitiga O Gambar 8.0 Segi empat hasil perputaran segitiga di O 7 Sifat-sifat Jajargenjang gar kalian lebih memahami sifat-sifat jajargenjang, lakukan kegiatan berikut ini. a. Jiplaklah segitiga pada Gambar 8.9 lalu buatlah titik O di tengah-tengah. Putarlah segitiga sebesar 80 dengan pusat O, kemudian amati bangun hasil putaran tersebut. pakah hasilnya seperti bangun jajargenjang pada Gambar 8.0? = dan = = dan = sehingga terdapat dua ruas garis yang sejajar, yaitu // dan //... engan demikian, dapat disimpulkan pada setiap jajargenjang berlaku sifat-sifat berikut. sisi-sisi yang sejajar sisi-sisi yang sama panjang, dan pada setiap jajargenjang, sudut-sudut yang sama besar. O Gambar 8. iagonal membagi dua jajargenjang menjadi dua segitiga yang kongruen b. uatlah garis O. Jika segitiga diputar 80º dengan pusat O, apakah hasilnya seperti pada Gambar 8. di samping? engan demikian: O berimpit dengan O sehingga O = O O berimpit dengan sehingga O = Pada setiap jajargenjang, diagonalnya-diagonalnya membagi menjadi dua segitiga yang kongruen. ab 8 Segitiga dan Segi Empat 97

207 c. nggap = x, = y, dan = z (lihat Gambar 8.). Karena kongruen dengan, maka = x, = y dan = z. ari uraian di atas, diperoleh = = x, = + = y + z. = + = z + y engan demikian, diperoleh bahwa = dan = Pada setiap jajargenjang sudut-sudut yang sama besar. d. Perhatikan jajargenjang pada Gambar 8.. Karena kongruen dengan, maka terdapat sudut-sudut bersesuaian yang sama besar, yaitu: = = x = = z = = y Karena segitiga, maka + + = 80 sehingga x + y + z = 80. = + = y + z dan = + = z + y maka: + = x + y + z = + = x + y + z = Pada setiap jajargenjang, jumlah sudut-sudut yang adalah 80. x z y Gambar 8. Jajargenjang dengan sudut-sudut yang berhadapan sama besar Gambar 8. Jajargenjang dengan = dan = z z y y z x y Gambar 8. Jumlah sudutsudut yang berdekatan adalah 80 x x LTIHN. Jajargenjang dengan diagonaldiagonalnya berpotongan di E. Jika = 8 cm, E = 5 cm, = 0 cm, dan E = 7 cm, tentukanlah: a. E b. d. c.. adalah jajargenjang dengan = 8, = 5, dan E = 79, tentukanlah: 5 a. E b. 79 c. 8. adalah jajargenjang dan E adalahsegitiga sama kaki dengan = E. Jika E = 78 dan = =, hitunglah: a. E b. c. 78 d. E. merupakan jajargenjang dengan F dan E. Jika = 60 dan = 0, hitunglah: a. F 0 E b. E c. E F 98 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

208 5. E F J K N EFGH di atas merupakan jajargenjang. Titik J, K, L, dan M merupakan titik tengah dari EN, FN, GN, dan HN. L M H G a. Jika FG = 8 cm, berapakah KL? b. pakah JK dan LM sama panjang? Jelaskan jawabanmu. c. pakah JKLM merupakan jajargenjang? Jelaskan. d. Jika KL = 6 cm, berapakah JM? Tugas Siswa Kerjakan tugas berikut bersama temanmu. Kerangka sebuah jembatan terlihat pada gambar di bawah. E P Q R F iketahui E //, // EF, dan ER = 0. a. pakah cukup informasi untuk mengatakan bahwa EQ dan Q sama panjang? Jelaskan alasanmu. b. pakah cukup informasi untuk menghitung besar ER dan RP? erikan penjelasanmu. Gambar 8.5 Persegi panjang E 8 Sifat-Sifat Persegi Panjang Sekarang, kalian telah mengetahui sifat-sifat jajargenjang. agaimana dengan sifat-sifat persegi panjang? oba perhatikan dengan saksama Gambar 8.5 di samping. pakah persegi panjang tersebut mirip jajargenjang? Ya benar, persegi panjang tersebut diperoleh dari perputaran segitiga siku-siku dengan pusat E. Jadi, persegi panjang merupakan jajargenjang yang memiliki sifat khusus, berarti semua sifat-sifat jajargenjang merupakan sifat persegi panjang. dapun sifatsifat tersebut adalah sebagai berikut. a. Sisi-sisi yang sejajar sama panjang, yaitu: sejajar dan = sejajar dan = b. iagonal-diagonalnya sama panjang dan berpotongan di tengah-tengah, yaitu E = E = E = E Sifat persegi panjang yang khusus adalah keempat sudutnya sama besar, yaitu 90. Pada persegi panjang berlaku: = = = = 90 ab 8 Segitiga dan Segi Empat 99

209 ontoh SOL adalah persegi panjang dengan =, = 8 cm, = 6 cm, dan E = 5 cm. Tentukanlah: a. b. c. d. LTIHN 5 cm. adalah persegi panjang. Tentukanlah: a. sisi yang sama E panjang dengan ; b. sisi yang sama panjang dengan ; c. garis yang sama panjang dengan E.. Perhatikanlah gambar pada soal nomor. Tentukanlah sudut yang sama besar dengan: a. E c. E b. d. E. adalah persegi panjang. Jika diketahui = 6 cm, = cm, dan = 0 cm, tentukanlah: 8 cm E 6 cm Penyelesaian: a. = 90 = 58 b. = = c. = E = 5 cm = 0 cm d. = = 0 cm a. panjang, b. panjang, c. panjang, dan E cm d. panjang E 6 cm. adalah persegi panjang. Jika = 6, hitunglah: a. c. b. d. 0 cm 5. PQRS adalah persegi panjang, tentukanlah: S R a. segitiga yang T sama dan sebangun dengan PQT; P Q b. segitiga yang sama dan sebangun dengan QTR. 9 Sifat-Sifat elah Ketupat Jika kalian perhatikan baik-baik, belah ketupat merupakan jajargenjang yang diperoleh dari perputaran segitiga sama kaki sehingga semua sifat-sifat dari jajargenjang merupakan sifat-sifat belah ketupat. Selain itu, ada beberapa sifat belah ketupat yang tidak dimiliki oleh jajargenjang. Sifat-sifat tersebut antara lain sebagai berikut. a. Keempat Sisinya Sama Panjang Pada Gambar 8.6, adalah segitiga sama kaki dengan alas. Hasil pencerminan dari pada alas adalah yang juga merupakan segitiga sama kaki. Segitiga dan merupakan segitiga yang kongruen sehingga sisisisi yang bersesuaian sama panjang, dengan =, =, =, dan = atau dapat disimpulkan bahwa: = = = Gambar 8.6 Sisi-sisi belah ketupat sama panjang 00 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

210 Pada belah ketupat keempat sisinya sama panjang b. iagonal-iagonal Saling Tegak Lurus (a) elah ketupat dibentuk oleh pencerminan terhadap simetri cermin dan menghasilkan bayangan. Oleh karena dan adalah segitiga sama kaki dan membagi sama panjang, maka. Pada Gambar 8.7(a), adalah belah ketupat. Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa belah ketupat dapat dibentuk dari dua segitiga sama kaki yang kongruen. Pada Gambar 8.7(b), adalah belah ketupat dengan diagonal-diagonalnya yaitu dan saling tegak lurus. (b) iagonal-diagonal pada belah ketupat saling tegak lurus Gambar 8.7 (a) iagonal belah ketupat yang saling tegak lurus; (b) elah ketupat dengan (a) (b) Gambar 8.8 (a) iagonaldiagonal pada belah ketupat membagi sudut-sudut sama besar; (b) iagonal membagi dan menjadi dua sudut sama besar c. iagonal-diagonalnya Membagi Sudut-Sudut Sama esar Pada Gambar 8.8(a), adalah belah ketupat yang dibentuk dari dua segitiga sama kaki yang alasnya berimpit. Kedua segitiga yaitu dan adalah segitiga yang kongruen. Perhatikanlah dan yang berimpit di. iagonal membagi sama besar, maka = dan =. Sekarang, perhatikanlah dan yang berimpit di, kongruen dengan. iagonal membagi sama panjang dan membagi menjadi dua bagian yang sama besar. emikian pula dengan dibagi oleh diagonal menjadi dua bagian sama besar. Pada Gambar 8.8(b), adalah belah ketupat dengan diagonal membagi sudut dan sama besar. emikian pula dengan diagonal membagi sudut dan menjadi dua sudut yang sama besar, sehingga dapat disimpulkan = dan = = dan = Pada belah ketupat, diagonal-diagonalnya membagi sudut-sudut sama besar ontoh SOL Pada gambar berikut adalah belah ketupat dengan E = 6, E = 5 cm, dan E = cm. Hitunglah: E Penyelesaian: a. = E = 6 = 9 a. b. b. = 80 9 = 88 ab 8 Segitiga dan Segi Empat 0

211 LTIHN. adalah belah ketupat. Jika E = 5 cm dan E = cm, tentukanlah: a. b.. iketahui adalah belah ketupat dengan = 00. Tentukanlah: a. c. b.. KLMN adalah belah ketupat dengan MKN : KNL = :. Hitunglah: a. MKN c. NKL b. KNL d. KNM. Tentukanlah nilai x dan y pada gambar belah ketupat di berikut ini. E E a. 8 c. x 0 6 y x y b. 8 d. x+y iketahui keliling belah ketupat adalah 5 cm. Jika panjang sisi belah ketupat adalah (x 6) cm, maka hitunglah x. 6. Perhatikanlah gambar berikut. adalah belah ketupat. Jika = 0, hitunglah besar E. E y x y x 0 0 Sifat-sifat Persegi Persegi merupakan belah ketupat dengan beberapa sifat istimewa. erarti semua sifat-sifat belah ketupat merupakan sifat-sifat persegi. dapun sifat-sifat tersebut sebagai berikut. a. Keempat sisinya sama panjang, yaitu = = =. b. iagonal-diagonalnya berpotongan di tengah-tengah dan saling tegak lurus. E = E E = E c. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar. = = d. iagonal-diagonalnya merupakan garis bagi. = = = = = = E Gambar 8.9 Persegi dapun sifat-sifat istimewa dari persegi adalah sebagai berikut. a. iagonal-diagonalnya sama panjang, yaitu =. b. esar sudut-sudutnya adalah 90, yaitu = = = = 90 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

212 LTIHN 5. adalah persegi. erikut ini yang bukan merupakan sifat-sifat persegi adalah: a. E = E = E = E b. = = = E c. = d. = e. =. Manakah di antara pernyataan di bawah ini yang merupakan sifat-sifat dari persegi? a. Keempat sisinya sama panjang. b. iagonal-diagonalnya berpotongan di tengah-tengah. c. iagonal-diagonalnya saling tegak lurus. d. iagonal-diagonalnya merupakan garis bagi. E. PQRS adalah persegi. Tentukanlah: a. segitiga yang sama S R dan sebangun T dengan PQT; P Q b. segitiga yang sama dan sebangun dengan PQR.. adalah persegi. Jika E = 0 cm, tentukanlah panjang: a. E b. E c. E E d. 5. adalah G persegi. Tentukanlah: a. banyaknya segitiga X H yang sama dan F sebangun dengan XH; b. banyaknya bidang E datar yang sama dan sebangun dengan bidang XH. Gambar 8.0 Sisi-sisi pada layang-layang =, = Sifat Layang-Layang Layang-layang memiliki sifat-sifat sebagai berikut. a. Sisinya Sepasang-sepasang Sama Panjang Layang-layang dibentuk oleh dua segitiga sama kaki yang memiliki luas berbeda dan alasnya sama panjang berimpit. Perhatikanlah segitiga-segitiga pada layang-layang. Segitiga adalah sama kaki dengan alas, maka =. egitu juga segitiga sama kaki dengan alas, maka =, sehingga layang-layang mempunyai sisi sepasang-sepasang yang sama panjang, yaitu = dan =. Sepasang-sepasang sisi pada layang-layang adalah sama panjang b. Sepasang Sudut yang erhadapan Sama esar Perhatikanlah layang-layang pada Gambar 8.. Segitiga adalah segitiga sama kaki dengan = = y. Segitiga adalah segitiga sama kaki dengan = = x. ab 8 Segitiga dan Segi Empat 0

213 Layang-layang dibentuk dari dua segitiga sama kaki, yaitu segitiga sama kaki dan, maka: = + = yº + xº = + = yº + xº ari uraian di atas dapat dikatakan bahwa =. xº yº xº yº Sepasang sudut pada layang-layang adalah sama besar c. Salah Satu iagonal adalah Sumbu Simetri Perhatikanlah layang-layang pada Gambar 8. di samping. Pada layang-layang sisinya sepasang-sepasang sama panjang, yaitu = dan =. Serta sepasang sudut yang berhadapan sama besar, yaitu =. Tariklah garis dari ke, maka akan terbentuk dua segitiga yang kongruen yaitu dan yang berimpit di. Karena membagi layang-layang menjadi dua segitiga yang kongruen, maka adalah sumbu simetri. Sumbu simetri adalah garis yang membagi bidang datar menjadi dua bagian yang kongruen (sama besar). Pada Gambar 8., merupakan sumbu simetri. Salah satu diagonal layang-layang merupakan sumbu simetri layang-layang d. Salah Satu iagonalnya Membagi ua Sama Panjang dan Tegak Lurus iagonal Lainnya Garis membagi layang-layang menjadi dua segitiga yang kongruen yaitu dan. Sisi-sisi yang berdekatan sama, yaitu = dan =, maka diagonal membagi menjadi sama panjang dan. Oleh karena yang menjadi cermin adalah, maka tidak pindah (tetap) dan. Pada keadaan demikian, disebut garis invarian. membagi menjadi dua bagian yang sama panjang, yaitu E = E dan tegak lurus. Salah satu diagonal layang-layang membagi dua sama panjang dan tegak lurus diagonal lainnya Gambar 8. Sudut-sudut pada layang-layang = Gambar 8. iagonal merupakan sumbu simetri pada layang-layang Gambar 8. iagonal diagonal pada layang-layang saling tegak lurus E ontoh SOL Sebuah layang-layang dengan diagonal panjang. Jika = 08 dan = x, dan = 5x, tentukanlah: a. b. 08 x 5x Penyelesaian: a. Perhatikanlah + + = x + x = 80 6x = Matematika SMP dan MTs Kelas VII

214 6x = 7 x = = = x = ( ) = 6 b. =x + 5x = 8x = 8 () = 96 LTIHN 6. adalah layanglayang dengan = dan = 76. Tentukanlah: a. d. b. e. c.. adalah layang-layang dengan diagonalnya yaitu dan. Jika = 50 dan = 00, hitunglah: a. ; c. ; b. ; d adalah layanglayang dengan perbandingan : E : = : : 5. Hitunglah: a. c. b. d.. oba kalian perhatikan gambar di samping. pakah gambar tersebut merupakan layang-layang? Jelaskan. X Y O 0 Z W Gambar 8. Trapesium dengan + = 80 dan + = 80 Sifat-sifat Trapesium Secara umum sifat trapesium adalah memiliki dua sisi yang sejajar. Sifat-sifat trapesium yang lain adalah sebagai berikut. a. Terdapat dua Pasang Sudut erdekatan yang Jumlahnya 80 oba perhatikan trapesium pada Gambar 8.. Jika kita perpanjang garis, maka dan adalah sudutsudut dalam sepihak karena //. engan demikian, + = 80, begitu juga + = 80. engan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut. Pada trapesium sama kaki terdapat dua pasang sudut berdekatan yang jumlahnya 80 b. Pada Trapesium Sama Kaki Sepasang-sepasang Sudutnya Sama esar Perhatikanlah segitiga sama kaki E pada Gambar 8.5, diketahui bahwa E = E. Oleh karena E dan E sehadap, maka E = E, dan =. ab 8 Segitiga dan Segi Empat 05

215 ari sifat (a) bahwa: + = 80 dan = 80 + = 80 dan = 80 = Oleh karena =, maka: = 80 E (a) = 80 = (b) Pada trapesium sama kaki sepasang-sepasang sudutnya sama besar c. Pada Trapesium Sama Kaki Jumlah Sudut-sudut yang erhadapan 80 Perhatikan trapesium pada Gambar 8.5. Gambar 8.5 (a) Trapesium sama kaki, (b) trapesium sama kaki dengan = dan = = 60 ari sifat (b) kita tahu bahwa = dan = sehingga: = 60 ( + ) = 60 + = 80 Pada trapesium sama kaki jumlah sudut-sudut yang berhadapan 80 d. Pada Trapesium Sama Kaki iagonal-diagonalnya Sama Panjang Pada Gambar 8.6, merupakan trapesium sama kaki dengan =. Oleh karena itu, panjang diagonal sama dengan panjang diagonal. Hal ini dapat dibuktikan dengan menggunakan rumus Pythagoras. Pada trapesium sama kaki diagonal-diagonalnya sama panjang LTIHN 7. Hitunglah nilai x dan y pada trapesium di bawah ini. a. b. 0 x x x c. 0 y d. Gambar 8.6 Trapesium sama kaki dengan = x +y y x 0 x. Trapesium PQRS adalah trapesium sama kaki. Jika perbandingan S : P = :, maka hitunglah: 0 06 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

216 a. S b. P c. Q d. R. adalah trapesium sama kaki dengan = x + dan = x 0. Tentukanlah: a. b. c. d.. adalah trapesium sama kaki dengan =. Jika = 60, hitunglah nilai x dan y. x y 5. Perhatikan gambar segitiga sama sisi berikut, yang telah dibagi menjadi empat segitiga sama sisi yang kongruen. F a. andingkan panjang sisi-sisi F dengan panjang sisi-sisi E. b. Tunjukkan bahwa E merupakan trapesium sama kaki. c. erapa besar sudut-sudut E? d. agilah E menjadi empat trapesium sama kaki yang kongruen. E esaran-esaran pada Segi Empat Pada bagian depan kalian telah mempelajari sifat-sifat dari segi empat. Pada bagian ini kita akan mempelajari tentang keliling dan luas dari segi empat yang meliputi jajargenjang, persegi panjang, persegi, layang-layang dan trapesium. Gambar 8.7 Persegi panjang Keliling dan Luas Persegi Panjang Pada Gambar 8.7, adalah persegi panjang. Keliling persegi panjang tersebut adalah Oleh karena = dan =, maka: keliling persegi panjang = = + = ( + ) ( disebut panjang dan disebut lebar) ontoh SOL Sebuah persegi panjang memiliki panjang 0 cm dan lebar 8 cm. Tentukanlah keliling dan luasnya. Keliling persegi panjang = p + l = (p + l) Luas persegi panjang = = p x l Penyelesaian: Keliling = (0 cm + 8 cm) = 6 cm Luas = 0 cm 8 cm = 80 cm ab 8 Segitiga dan Segi Empat 07

217 LTIHN 8. Pada gambar di samping, adalah persegi panjang. Isilah tabel berikut ini dengan benar. Keliling Luas a b c d adalah persegi panjang dengan = 8 cm dan = 6 cm. X adalah titik potong kedua diagonal. Jika = 0 cm, hitunglah: a. panjang XG, H b. panjang X, dan E G X c. panjang HX. F. PQRS adalah persegi panjang. Panjang XT = cm dan XV = cm. Hitunglah: a. luas TQVX, S R X b. panjang PQ, V c. panjang QR, P Q d. luas PQRS, T e. perbandingan luas PQRS dan luas TQVX, f. keliling TQVX, g. keliling PQRS, dan h. perbandingan keliling PQRS dan keliling TQVX.. Pada persegi panjang diagonaldiagonalnya adalah (x + 0) cm dan (x + 0) cm. Tentukanlah panjang diagonal persegi panjang tersebut. Keliling dan Luas Jajargenjang Gambar 8.8 merupakan jajargenjang dengan sisi-sisi,,, dan, serta E merupakan tingginya. Keliling jajargenjang = Oleh karena = dan =, maka keliling jajargenjang = = = + = ( + ) E Gambar 8.8 Jajargenjang b t a (a) Gambar 8.9 (a) Jajargenjang dengan = a dan = b, (b) jajargenjang dengan t sebagai tinggi. Gambar 7.9(a) merupakan jajargenjang dengan sisisisinya, yaitu a dan b. Keliling jajargenjang adalah a + b = (a + b) a (b) 08 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

218 Untuk menentukan luas jajargenjang, coba lakukan kegiatan berikut.. uatlah jajargenjang, lalu buatlah garis tinggi E dari titik ke garis.. Guntinglah jajargenjang tadi sepanjang garis tingginya. Lalu gabungkan lagi sehingga terbentuk persegi panjang. t t E alas E alas E Luas jajargenjang = luas persegi panjang = alas t = E ari uraian di atas dapat kita simpulkan jika disebut alas dan E disebut tinggi jajargenjang, maka ontoh SOL E adalah jajargenjang dengan = 0 cm, = 8 cm, dan E = 6 cm. Tentukanlah luas jajargenjang tersebut. LTIHN 9. ari gambar di samping, hitunglah: a. luas, dan b. keliling.. Pada gambar di samping ini diketahui = 0 cm, = 0 cm, dan luas = 80 cm. Hitunglah: a. luas ; c. keliling. b. panjang E; 0 cm 8 cm 6 cm cm E E luas jajargenjang = alas t Penyelesaian: Luas jajargenjang = alas tinggi = 0 cm 6 cm = 60 cm. Hitunglah keliling dan luas dari bangun-bangun di bawah ini. a. c. b. d. cm 5 cm 0 cm 0 cm 6 cm 8 cm 8 cm 0 cm 6 cm 9 cm cm 5 cm 5 cm cm 0 cm ab 8 Segitiga dan Segi Empat 09

219 Keliling dan Luas elah Ketupat Pada Gambar 8.0(a), adalah belah ketupat. Keliling belah ketupat pada Gambar 7.0(a) adalah Sisi-sisi belah ketupat sama panjang, yaitu = = =. Keliling belah ketupat = sisi = s Pada Gambar 8.0(b), adalah belah ketupat dan EFGH adalah persegi panjang dengan panjang EF = = HG dan EH = = GF. Luas persegi panjang EFGH = EF FG. Luas belah ketupat = luas persegi panjang EFGH H (a) d d G = EF FG = dan merupakan diagonal-diagonal belah ketupat, maka luas belah ketupat dapat ditulis sebagai berikut. E (b) Gambar 8.0 (a) elah ketupat (b) belah ketupat dan persegi panjang EFGH F Luas belah ketupat = d d ontoh SOL iagonal-diagonal sebuah belah ketupat adalah cm dan 8 cm. Hitunglah luas belah ketupat tersebut. Penyelesaian: Luas = cm 8 cm = 8 cm LTIHN 0. Pada gambar di samping, adalah belah ketupat dengan E = cm, E = 6 cm, dan = 0 cm. Hitunglah : a. keliling belah ketupat ; b. luas belah ketupat.. adalah belah ketupat dengan luas 0 cm. Jika = cm, hitunglah: a. ; b. E; c. E. E E. adalah belah ketupat dengan keliling 0 cm. Jika panjang E = 8 cm, hitunglah luas belah ketupat.. Gambar di samping adalah belah ketupat dengan perbandingan : : = 6 : 8 : 5. Jika keliling = 80 cm, hitunglah luas belah ketupat tersebut. E E 0 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

220 0 cm 5. Hitunglah luas dan keliling dari belah ketupat berikut ini. a. b c. d s Keliling dan Luas Persegi Gambar 8. menunjukkan sebuah persegi. Pada gambar persegi di samping keempat sisinya sama panjang, yaitu sisi = = =. Jadi, keliling dan luas persegi dapat dituliskan sebagai berikut. Gambar 8. Persegi Keliling persegi = sisi = s Luas persegi = sisi sisi = s ontoh SOL Sebuah persegi luasnya 6 cm. Tentukanlah kelilingnya. Penyelesaian: Luas persegi = s = 6 s = 6 = 8 cm Keliling persegi = s = 8 = cm LTIHN. Isilah tabel berikut ini. Panjang sisi Keliling Luas a. 6 cm b cm... c cm d. x e m... f (a + ) cm. Jika panjang PQ adalah cm, hitunglah keliling dan luas daerah yang diarsir. S P R Q. Hitunglah keliling dan luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini. a. c. 0 cm 5 cm b. 6 cm d. cm 8 cm 0 cm. Sebuah persegi panjang luasnya sama dengan luas persegi yaitu cm. Jika ab 8 Segitiga dan Segi Empat

221 0 cm panjang persegi panjang adalah 6 cm, tentukanlah: a. lebar persegi panjang; b. keliling persegi panjang; c. keliling persegi. d. apakah keliling persegi sama dengan keliling persegi panjang? 5. Pada gambar di samping adalah persegi. Tentukanlah: a. keliling daerah yang diarsir; b. luas daerah yang diarsir. 5 Keliling dan Luas Trapesium oba kalian perhatikan Gambar 8. di samping. Gambar 8. merupakan sebuah trapesium dengan sisi-sisi, yaitu a, b, c, dan d. Keliling trapesium di samping = = b + d + a + c c a b d Keliling trapesium = b + d + a + c Gambar 8. Trapesium K EGIT Untuk mencari luas trapesium, lakukan kegiatan berikut.. Jiplaklah trapesium pada Gambar 8.. Kemudian buatlah satu buah trapesium yang kongruen dengan trapesium.. Hubungkan sisi miring trapesium tersebut sehingga terbentuk persegi panjang. pakah hasil yang kalian dapatkan seperti pada gambar di bawah ini? N a F c d ari gambar itu, tentu kalian tahu bahwa E = = a dan F = = b, sehingga luas persegi panjang EF = E = ( + ) b E. Luas trapesium = Luas persegi panjang EF = ( + ) dengan = t adalah garis tinggi trapesium, maka akan kita dapatkan. Luas trapesium = ( + ) Matematika SMP dan MTs Kelas VII

222 ontoh SOL Pada gambar berikut, adalah trapesium sama kaki dengan = = = 0 cm, E = 8 cm, dan =. Hitunglah keliling dan luasnya. E Penyelesaian: = = = 0 cm = = 0 cm = 0 cm Keliling = = = 50 cm Luas = ( ) = 0 = 0 cm LTIHN. Hitunglah keliling dan luas trapesium di bawah ini. a. 5 cm b. 8 cm 0 cm 8 cm 7 cm. Hitunglah x, jika luas trapesium adalah 7 cm. 8 cm. Trapesium di samping memiliki luas 0 cm. Jika = 0 cm E x cm cm 0 cm 0 cm 0 cm dan E : F = :, hitunglah luas EF.. Jika luas trapesium adalah 5 cm, hitunglah panjang cm 6 cm 0 cm 8 cm Hitunglah luas daerah yang diarsir pada gambar di atas. 0 cm 6 cm 0 cm Gambar 8. Layang-layang 6 Keliling dan Luas Layang-Layang Pada Gambar 8., adalah layang-layang. Pada layang-layang sepasang sisi-sisinya sama panjang, yaitu = dan =. Keliling layang-layang = = + = ( + ) Keliling layang-layang sama dengan jumlah sisi-sisi layang-layang Pada Gambar 8., adalah layang-layang dengan diagonal dan saling tegak lurus. EFGH adalah persegi panjang dengan panjang EF = HG = dan EH = FG =. ab 8 Segitiga dan Segi Empat

223 Luas persegi panjang = EF EH Luas layang-layang = luas persegi panjang H G = EF EH d d = = diagonal () diagonal () = d d Luas layang-layang = d d E F Gambar 8. Layang-layang dan persegi panjang EFGH ontoh SOL adalah layang-layang dengan E = cm dan = cm. Hitunglah luas. Penyelesaian: Luas = E = 8 = 96 cm Jadi luas adalah 96 cm. LTIHN. adalah persegi panjang dengan = cm dan = 8 cm. Hitunglah luas PQRS.. erdasarkan gambar berikut isilah tabel berikut. E Keliling Luas a b c d P S Q R. iketahui sebuah layanglayang dengan = 90, = cm, dan = 6 cm. Hitunglah: a. luas ; c.. b. ;. Jika sisi = 5 cm, = 7 cm, dan = 0 cm, hitunglah: a. keliling ; b. luas. 5. adalah layanglayang dengan E : E : = E : E : = : : 5. Jika = cm, maka hitunglah: a. keliling; b. luas. E E E 9 Matematika SMP dan MTs Kelas VII

224 Tugas Siswa uatlah lima layang-layang dengan ukuran berbeda dan hitunglah keliling dan luas masing-masing layang-layang. Tukarkan layang-layang yang kalian buat dengan layanglayang buatan temanmu. Ukurlah keliling dan luas layanglayang itu. andingkan hasil perhitunganmu dengan hasil perhitungan temanmu. ontoh SOL Sebuah jendela mempunyai ukuran seperti pada gambar di bawah. Hitunglah luas daerah yang diarsir. 0 cm Kaca 0 cm 0 cm 7 idang atar dalam Kehidupan alam kehidupan sehari-hari banyak sekali dijumpai bangun-bangun datar yang ada di sekitar kita. Jendela, pintu, bentuk gedung, luas taman, untuk ubin/keramik pada lantai adalah contoh bangun-bangun datar. 60 cm Penyelesaian: Luas daerah diarsir = luas belah ketupat besar luas belah ketupat kecil = cm cm 0 cm 60 cm = cm cm = 6.00 cm Jadi, luas daerah yang diarsir adalah 6.00 cm. LTIHN. Sebuah taman berbentuk layang-layang yang di dalamnya ada sebuah kolam yang berbentuk belah ketupat. Jika diketahui : EF = :, tentukan perbandingan luas kolam dan luas taman di luar kolam.. Perhatikan gambar di bawah. 60 cm 0 cm E F Sebuah layang-layang dibuat dari dua buah bambu sebagai rangka. Panjang bambu masing-masing 0 cm dan 60 cm. Hitunglah luas kertas yang diperlukan untuk membuat layang-layang tersebut. ab 8 Segitiga dan Segi Empat 5

225 . Perhatikan gambar di bawah. memiliki pinggiran yang terbuat dari kayu. Tentukan luas dari kayu tersebut. I II III Tiga orang anak mendapatkan warisan sebidang tanah berbentuk trapesium dengan ukuran = = 0 m dan panjang = 0 m. Tentukan perbandingan luas ketiga tanah tersebut.. Gambar berikut adalah sebuah jendela yang memiliki kaca di dalamnya dengan ukuran 80 cm 00 cm. Jendela tersebut Kaca 0 cm 0 cm Pengertian dan Sifat-Sifat Segitiga Tahukah kamu dengan piramida? Piramida adalah kuburan raja-raja Mesir kuno. ila diperhatikan, bagian sisi dari piramida berbentuk sebuah segitiga. pakah yang dimaksud dengan segitiga? Pengertian Segitiga sudut b sisi Gambar 8.5 Sisi piramida berbentuk segitiga Sumber: National Geographic (a) (b) Gambar 8.6 Unsur-unsur segitiga Pada pembahasan sebelumnya, kalian telah mengenal bentuk-bentuk segitiga yang ada di sekitar kita. erdasarkan bentuk-bentuk tersebut apa saja unsur-unsur yang membentuk suatu segitiga? gar kalian lebih paham, cobalah kalian simak uraian berikut ini. Pada kertas gambar, coba kalian gambar tiga buah titik yang tidak terletak pada sebuah garis lurus seperti pada Gambar 8.6. Lalu coba kalian hubungkan titik tersebut dengan menggunakan penggaris. Gambar apakah yang kalian peroleh? Ya benar, yang terbentuk adalah gambar sebuah segitiga seperti pada Gambar 8.6(b). engan demikian, titik-titik pada Gambar 8.6(a) sebagai titik,, (c) 6 Matematika SMP dan MTs Kelas VII