BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN"

Yohanes Tanudjaja
8 tahun lalu
Tontonan:

1 Diktat Kuliah TK Matematika BAB 5 PENGGUNAAN TURUNAN 5. Nilai Ekstrim Fungsi Nilai ekstrim fungsi adalah nilai yang berkaitan dengan maksimum atau minimum fungsi tersebut. Ada dua jenis nilai ekstrim, yaitu nilai ekstrim mutlak (global) dan nilai ekstrim relatif (relatif). Nilai ekstrim mutlak didefinisikan sebagai berikut. Misalnya I adalah selang tutup yang merupakan daerah asal dari f dan di dalamnya terdapat (perhatikan Gambar 5.), () f() disebut nilai maksimum mutlak f jika f() f() untuk semua pada I. () f() disebut nilai minimum mutlak f jika f() f() untuk semua pada I. () f() disebut nilai ekstrim mutlak dari f, baik nilai maksimum maupun minimum mutlak. (4) fungsi f yang akan diari nilai ekstrimnya disebut fungsi objektif. y y = f() I Gambar 5. Di titik manakah nilai ekstrim terjadi? Titik-titik yang berpeluang menghasilkan nilai ekstrim disebut titik-titik kritis. Termasuk titik-titik kritis (lihat Gambar 5.) adalah () titik ujung selang tertutup I, () titik stasioner dari f, yakni titik dimana f () =, atau () titik singular dari f, yakni titik dimana f () tidak terdefinisi. Gambar 5. Peluang titik yang menghasilkan nilai ekstrim (titik-titik kritis). Aip Saripudin Penggunaan Turunan - 74

Misalnya I adalah selang tutup yang merupakan daerah asal dari f dan di dalamnya terdapat (perhatikan Gambar 5.), () f() disebut nilai maksimum mutlak f jika f() f() untuk semua pada I.

2 Diktat Kuliah TK Matematika CONTOH Sebuah fungsi didefinisikan pada selang [, 5] sebagai berikut. f ( ) 7 6. Cari nilai ekstrim fungsi tersebut. Titik-titik kritis fungsi di atas sebagai berikut. () titik ujung selang, yakni = atau = 5, () titik stasioner, ) 7 ( ( )( 9) ) sehingga diperoleh: = (di luar selang [, 5], jadi tidak memenuhi) dan =, atau () titik singular. Akan tetapi, fungsi ini tidak memiliki titik singular. Dengan demikian, titik kritis fungsi di atas adalah =,, dan 5. Nilai ekstrimnya diari dengan memasukkan titik-titik kritis di atas pada fungsi objektif sebagai berikut. f ( ) ( ) 7( ) 6 5 f () () 7() 6 48 f (5) (5) 7(5) 6 4 Dengan demikian, nilai maksimum mutlaknya adalah 5, sedangkan nilai minimum mutlaknya adalah 48. CONTOH Cari nilai maksimum dan minimum dari f ( ) pada [, ]. Titik-titik kritis fungsi di atas sebagai berikut. () titik ujung selang, yaitu = dan =, () titik stasioner: f () =. Akan tetapi, ) tidak pernah nol. () titik singular: f () tidak terdefinisi pada =. Dengan demikian, titik-titik kritisnya adalah,, dan. Selanjutnya, f ( ) ( ) f () f ( ) (),6 Aip Saripudin Penggunaan Turunan - 75

Akan tetapi, fungsi ini tidak memiliki titik singular. Dengan demikian, titik kritis fungsi di atas adalah =,, dan 5.

3 Diktat Kuliah TK Matematika Jadi, nilai maksimum mutlaknya adalah,6 dan nilai minimum mutlaknya adalah. CONTOH Sebuah segiempat memiliki dua sudut pada sumbu- dan dua sudut lainnya pada parabola y, dengan y (lihat gambar). Cari dimensi segiempat yang memberikan luas segiempat maksimum. Perhatikan gambar. Luas segiempat adalah L = y, dengan, y. y maka y L ( ) 4 Dalam kasus ini, titik kritis sama dengan titik stasionernya maka dl d 6(4 4 ) 6 6( )( ) (, y) sehingga diperoleh = (tidak termasuk karena tidak memenuhi ) atau =. Dengan demikian, dimensi segiempat yang memberikan luas maksimum adalah Lebar = = = 4 satuan Panjang = y = = () = 8 satuan. 5. Bentuk Grafik: Kemonotonan, Keekungan, dan Titik Belok 5.. Kemonotonan Fungsi dan Uji Turunan Pertama Tinjau grafik yang ditunjukkan pada Gambar 5.. Jika kita bergerak dari titik A ke titik B pada kurva, nilai f() bertambah besar, dikatakan bahwa fungsi tersebut monoton naik. Sebaliknya, jika bergerak dari B ke C, nilai f() bertambah keil, dikatakan fungsi tersebut monoton turun. Kemonotonan fungsi didefinisikan sebagai berikut. Misalnya f didefinisikan pada selang I (terbuka, tertutup, atau keduanya), () f monoton naik pada I jika, untuk setiap pasangan bilangan dan dalam I, maka f( ) f( ) () f monoton turun pada I jika, untuk setiap pasangan bilangan dan dalam I, maka f( ) f( ). Aip Saripudin Penggunaan Turunan - 76

Perhatikan gambar. Luas segiempat adalah L = y, dengan, y.

4 Diktat Kuliah TK Matematika Kemonotonan dapat diari dengan menguji turunan pertama sebagai berikut. () Jika f () untuk semua dalam I, f monoton naik pada I. () Jika f () untuk semua dalam I, f monoton turun pada I. Gambar 5. CONTOH Jika f ( ), ari di mana f monoton naik dan monoton turun. Uji turunan pertama: f () =. Ini menunjukkan turunan pertama selalu positif untuk setiap. Jadi, f monoton naik pada (, ) dan f tidak pernah turun. CONTOH Jika f ( ) 9, ari di mana f monoton naik dan monoton turun. Turunan pertama: ) 6 8. Untuk mengetahui selang di mana f () (positif) dan f () (negatif), ari titik pemisah selang dengan mengambil f () = maka ) 6 8 6( ) 6( )( ) sehingga diperoleh titik pemisah selang = dan =. Titik-titik ini membagi garis bilangan menjadi tiga selang, yaitu (, ], [, ], dan [, ). Nilai f () diari dengan memasukkan salah satu titik pada tiap selang (misal, dalam kasus ini, ;,5; dan ). Hasilnya seperti yang ditunjukkan pada gambar. f + + Jadi, f monoton naik pada (, ] dan [, ) dan f monoton turun pada [, ]. Aip Saripudin Penggunaan Turunan - 77

Ini menunjukkan turunan pertama selalu positif untuk setiap. Jadi, f monoton naik pada (, ) dan f tidak pernah turun. CONTOH Jika f ( ) 9, ari di mana f monoton naik dan monoton turun.

5 Diktat Kuliah TK Matematika 5.. Keekungan Fungsi dan Uji Turunan Kedua Misalnya f terdiferensialkan pada selang terbuka I, f ekung ke atas pada I jika f monoton naik pada I, dan f ekung ke bawah pada I jika f monoton turun pada I. Keekungan dapat diari dengan menguji turunan kedua sebagai berikut. () Jika f () untuk semua dalam I, f ekung ke atas dalam I. () Jika f () untuk semua dalam I, f ekung ke bawah dalam I. CONTOH Jika f ( ) 4 8, ari di mana f ekung ke atas dan ekung ke bawah. Turunan pertama dan kedua dari f ( ) 4 8 berturut-turut adalah ) 4 4 f ''( ) 48 Titik pemisah selang diperoleh dengan menerapkan f () = maka f ''( ) 48 ( 4) sehingga diperoleh = 4 dan =. Selanjutnya dengan memasukkan titik uji 5,, dan diperoleh tanda f seperti pada gambar. f Jadi, f ekung ke atas pada (, 4] dan [, ) dan ekung ke bawah pada [ 4, ]. 5.. Titik Belok Misalnya f kontinu di, titik (, f()) disebut titik belok grafik f jika f ekung ke atas pada satu sisi dan ekung ke bawah pada sisi lainnya. Kemungkinan titik belok terjadi pada di mana f () = atau f () tidak terdefinisi. CONTOH Cari semua titik belok dari f ( ). Aip Saripudin Penggunaan Turunan - 78

Keekungan dapat diari dengan menguji turunan kedua sebagai berikut. () Jika f () untuk semua dalam I, f ekung ke atas dalam I. () Jika f () untuk semua dalam I, f ekung ke bawah dalam I.

6 Diktat Kuliah TK Matematika Turunan pertama dan keduanya sebagai berikut ) f ''( ) 9 5 Turunan kedua tidak pernah nol dan tidak terdefinisi pada =. Dengan demikian, = merupakan titik pemisah selang. Hasil uji nilai turunan kedua seperti pada gambar berikut. y f + Hasil uji turunan ke dua menunjukkan bahwa (), f () maka f ekung ke atas (), f () maka f ekung ke bawah Pada =, f (), jadi titik (,) merupakan titik belok. 5. Nilai Ekstrim Relatif Misalnya S adalah daerah asal f yang di dalamnya terdapat maka () f() disebut nilai maksimum relatif (relatif) jika terdapat selang (a, b) yang di dalamnya ada sedemikian rupa sehingga f() adalah nilai maksimum f pada (a, b) S; () f() disebut nilai minimum relatif (relatif) jika terdapat selang (a, b) yang di dalamnya ada sedemikian rupa sehingga f() adalah nilai minimum f pada (a, b) S; () f() disebut nilai ekstrim relatif (relatif) jika ia berupa nilai maksimum relatif atau minimum relatif. Nilai ekstrim relatif dapat terjadi pada titik-titik kritis (titik ujung, titik stasioner, dan titik singular). Uji Turunan Pertama untuk Ekstrim Relatif Misalnya f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang di dalamnya terdapat. () Jika f monoton naik {f () > } untuk semua dalam (a, ) dan monoton turun {f () < } untuk semua dalam (, b), f() adalah nilai maksimum relatif f. Aip Saripudin Penggunaan Turunan - 79

y f + Hasil uji turunan ke dua menunjukkan bahwa (), f () maka f ekung ke atas (), f () maka f ekung ke bawah Pada =, f (), jadi titik (,) merupakan titik belok. 5.

7 Diktat Kuliah TK Matematika () Jika f monoton turun {f () < } untuk semua dalam (a, ) dan monoton naik {f () > } untuk semua dalam (, b), f() adalah nilai minimum relatif f. () Jika f () bertanda sama pada < dan >, f() bukan nilai ekstrim relatif f. CONTOH Cari nilai ekstrim relatif dari fungsi f() = + 6 pada (, ). Turunan pertama : f () =. Nilai f f + 5 f monoton turun pada (, 5] dan monoton naik pada [5, ) maka, sesuai dengan uji turunan pertama f(5) = (5) (5) + 6 = 9 adalah nilai minimum relatif. Uji Turunan Kedua untuk Ekstrim Relatif Misalnya f kontinu pada selang terbuka (a, b) yang di dalamnya terdapat sedemikian rupa sehingga f () =. () Jika f () <, f() merupakan nilai maksimum relatif. () Jika f () >, f() merupakan nilai minimum relatif. () f () =, (, f()) merupakan titik belok. CONTOH Tentukan nilai ekstrim relatif dari f ( ). 5.4 Limit Bentuk / dan / : Teorema l Hopital Teorema l Hopital sebagai berikut. Jika f ( ) g( ) atau f ( ) g( ), f ( ) g( ) ) g' ( ) CONTOH Cari. Aip Saripudin Penggunaan Turunan - 8

Nilai f f + 5 f monoton turun pada (, 5] dan monoton naik pada [5, ) maka, sesuai dengan uji turunan pertama f(5) = (5) (5) + 6 = 9 adalah nilai minimum relatif.

8 Diktat Kuliah TK Matematika Limit di atas berbentuk / maka sesuai dengan teorema l Hopital. CONTOH Cari sin. ln( ) Limit di atas berbentuk / maka sesuai dengan teorema l Hopital sin os ln( ) /( ). CONTOH Cari. e Limit di atas berbentuk /. Sesuai dengan teorema l Hopital e e. CONTOH 4 Cari (tan ln sin ). Limit di atas berbentuk. Bentuk ini dapat diubah menjadi / dengan mengganti tan oleh sehingga teorema l Hopital berlaku. ot (tan ln sin ) ln sin ot os sin ( os sin ) s. Aip Saripudin Penggunaan Turunan - 8

e Limit di atas berbentuk /. Sesuai dengan teorema l Hopital e e. CONTOH 4 Cari (tan ln sin ). Limit di atas berbentuk. Bentuk ini dapat diubah menjadi / dengan mengganti tan oleh sehingga teorema l Hopital berlaku.

dokumen-dokumen yang mirip

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM

TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum