Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Lipat Tiga

Transkripsi

1 Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Integral Lipat Tiga [MA4]

2 Integral Lipat Tiga pada Balok ( k, k, k ) B B k k 7/6/7 [MA 4]. Partisi balok B menjadi n bagian; B, B,, B k,, B n k Definisikan diagonal ruang terpanjang dari B k k. Ambil ( k, k, k ) Bk 3. Bentuk jumlah Riemann 4. Jika diperoleh limit jumlah Riemann lim n k f ( n k k, f ( k k,, ) V Jika limit ada, maka fungsi w f(,,) terintegralkan Riemann pada balok B, ditulis n f (,, )dv lim f ( k, k, k ) Vk B k k k, k k ) V k

3 Integral Lipat Tiga pada Balok () v k k k k dv d d d Sehingga integral lipat dalam koordinat kartesius: f (,, )dv B B f (,,)d dd 7/6/7 [MA 4] 3

4 Hitung Contoh B dv dengan B adalah balok dengan ukuran B {(,,),, } Jawab. B dv d d d d d d 7/6/7 [MA 4] 4

5 Hitung Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang S dv Pandang S benda padat ang terlingkupi oleh balok B, dan definisikan nilai f nol untuk luar S (gb. ) B, Jika S benda padat sembarang S (gb. ) 7/6/7 [MA 4] 5

6 Integral Lipat Tiga pada Daerah Sembarang () S ψ (,) ψ (,) Jika S dipandang sebagai himpunan sederhana (gb.) (S dibatasi oleh ψ (,) dan ψ (,), dan proeksi S pada bidang XOY dipandang sebagai daerah jenis I) maka: b a φ () S (gb. ) φ () f(,, ) dv S Catatan: b φ ( ) ψ (, ) a φ ( ) ψ (, ) f(,, ) d Jika f(,,), maka menatakan volume benda pejal S S d d f (,, ) dv 7/6/7 [MA 4] 6

7 Contoh Hitung S f (,, ) dv dengan Wf(,,) dan S benda padat ang dibatasi oleh tabung parabola - ½ dan bidang-bidang,, S ½ S proeksi S pada XOY (segitiga) Jawab. Dari gambar terlihat bahwa S{(,,), ½ } Sehingga, S dv d d d d d 7/6/7 [MA 4] 7

8 Contoh (lanjutan) d d d d /6/7 [MA 4] 8

9 Latihan S. Hitung dv, S benda padat di oktan pertama ang dibatasi oleh bidang-bidang,, dan tabung +.. Sketsa benda pejal S di oktan pertama ang dibatasi tabung + dan bidang dan 4, dan tuliskan dan hitung integral lipatna. 3. Hitung volume benda pejal ang dibatasi oleh : a., + 4,,. b. +,,. c.,,,. d. +, 4,, 3-4. π/ 4. Hitung sin( + + )ddd 7/6/7 [MA 4] 9

10 Integral Lipat Tiga (Koordinat Tabung dan Bola) Koordinat Tabung Koordinat Bola P(r,θ,) P(ρ,θ,φ) θ r Sarat & hubungan dg Kartesius r, θ π r cos θ r sin θ r + θ φ ρ Sarat & hubungan dg Kartesius ρ, θ π, φ π r cos θ r ρ sin φ r sin θ r ρ sin φ ρ cos φ + + ρ r } ρ cos θ sin φ } ρ sin θ sin φ Jika D benda pejal puna sumbu simetri Koordinat Tabung Jika D benda pejal ang simetri terhadap satu titik Koordinat Bola 7/6/7 [MA 4]

11 Contoh. Sketsa D; D benda pejal di oktan I ang dibatasi oleh tabung + 4 dan bidang, 4 Jawab. θ 4 r + 4 D dalam koordinat: a. Cartesius: D{(,,), 4, 4} b. Tabung: D{(,,) r, θ π/, 4} 7/6/7 [MA 4]

12 Contoh. Sketsa D; D bagian bola di oktan I. θ ρ r 4 Jawab. D dalam koordinat: a. Cartesius: D{(,,), 4, 4 } b. bola: D{(,,) ρ, φ π/, θ π/} 7/6/7 [MA 4]

13 Penggantian Peubah dalam Integral Lipat Tiga Definisi misalkan m(u,v,w); n(u,v,w); p(u,v,w) maka: f (,,) d dd D dimana u v w J(u, v, w) u v w u v w Jacobian D f (m(u, v, w),n(u, v, w),p(u, v, w)) J(u, v, w) du dvdw 7/6/7 [MA 4] 3

14 Koordinat Kartesius Tabung r cos θ r sin θ Matriks Jacobianna: J(u, v, w) r r r θ θ θ cosθ sin θ r sin θ r cosθ r cos θ + r sin θ r D f (,,) d dd D f (r cosθ,rsinθ,) r drdθd 7/6/7 [MA 4] 4

15 Koordinat Kartesius Bola ρ cos θ sin φ ρ sin θ sin φ ρ cos φ Matriks Jacobianna: ρ θ φ sin φcosθ ρsin φsin θ ρcosφcosθ J(u, v, w) sin φsin θ ρsin φcosθ ρcosφsin θ ρ sin φ ρ θ φ cosφ ρ θ φ D f (,,) d dd D f ( ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ) ρ sinφdρdθdφ 7/6/7 [MA 4] 5

16 Contoh (Tabung). Hitung volume benda pejal ang dibatasi oleh paraboloid + dan 4. Z 4 S Jawab. Daerah S dalam Koordinat Cartesius adalah: S{(,,) -, 4 4, + 4} Dalam koordinat tabung: S{(r,θ,) r, θ π, r 4} Sehingga, volume benda pejalna adalah V S dv π 4 r r d dθ dr 7/6/7 [MA 4] 6

17 Contoh (Lanjutan) V π 4 r π r r d dθ dr r 4 r ( r ) dθ dr π 4 θ dr 4 π r r 4 8π Jadi volume benda pejalna adalah 8π 7/6/7 [MA 4] 7

18 Contoh (bola). Hitung volume bola pejal di oktan I Jawab. 4 D dalam koordinat: a. Cartesius: ρ D{(,,), 4, θ 4 } b. Bola: D{(,,) ρ, φ π/, θ π/} Sehingga, volume benda pejalna adalah V S dv π / π / ρ sinφ dρ dφ dθ 7/6/7 [MA 4] 8

19 Contoh (Lanjutan) V π / π / π / π / π / 8 π / ρ sinφ dρ dφ dθ 3 sinφ ρ 3 8 ( cos ) 3 π / φ dθ ( θ ) 4 π 3 3 dφ dθ Jadi volume benda pejalna adalah 4π/3 7/6/7 [MA 4] 9

20 Latihan. Hitung dv, dengan D benda pejal ang dibatasi D 9 dan bidang.. Hitung volume benda pejal ang di oktan I ang dibatasi bola + + dan Hitung volume benda pejal ang di batasi di atas oleh bola r + 5 dan di bawah r Hitung volume benda pejal ang dibatasi oleh paraboloid + dan bidang Hitung volume benda pejal ang di batasi oleh bola + + 9, dibawaholehbidang dansecara menamping oleh tabung /6/7 [MA 4]

21 Latihan Lanjutan 6. Hitung volume benda pejal, daerah ang dibatasi oleh bola + + 9, dan berada dalam kerucut 7. Hitung ( + + ) 3/ d d d + 8. Hitung d d d 9. Hitung d d d 7/6/7 [MA 4]