Regresi Polinomial local untuk Data Survey Skala Besar

Transkripsi

1 Semnar Nasonal Statstka IX Insttut eknolog Sepuluh Nopember, 7 November 009 Regres Polnomal local untuk Data Survey Skala Besar Stud kasus: Model Pengeluaran Rumah angga berdasarkan Data Susenas Jawa mur 006 Oleh: ut Rumat Abstrak Surva berskala besar dan kompleks umumnya melbatkan data sampel dalam jumlah sangat besar. Sebaga contoh Susenas yang selalu dlaksanakan oleh Badan Pusat Statstk tap tahun setdaknya melbatkan, juta sampel d seluruh Indonesa. Untuk skala Jawa mur saja Susenas memlk responden. Salah satu persoalan yang dhadap pada saat mencar pendugaan parameter dar data yang berskala besar adalah kapastas perangkat lunak yang terbatas. Statstk penduga parameter dalam kasus sepert n dapat dturunkan dengan mereduks data dengan merubah skala data mengelompokkan data kedalam nterval tertentu. Jumlah data dalam nterval danggap sebaga ulangan pada ttk yang mewakl nterval tersebut. Selanjutnya penduga statstc daplkaskan kedalam data baru Dalam kasus model yang menjelaskan hubungan antara pengeluaran rumah tangga dan raso pengeluaran makanan/non makanan d Jawa mur berdasarkan data Susenas tahun 006, model terbak dperoleh degan menggunakan Span 0.3. Dperoleh model eksponensal sampa pengeluaran total sebesar Rp dan berbentuk kuadratk setelah batas pengeluaran Rp ,-. Pada kausus n dengan memasukkan komponen bobot pada fungs polynomal dperoleh model yang lebh bak karena memlk resdual yang lebh rendah. Pendahuluan Surva berskala besar dan kompleks umumnya melbatkan data sampel dalam jumlah sangat besar. Sebaga contoh Susenas (Surva Sosal Ekonom Nasonal) yang tap tahun selalu dlaksanakan oleh Badan Pusat Statstk (BPS), setdaknya melbatkan, juta sampel d seluruh Indonesa. Untuk skala Jawa mur saja Susenas memlk responden. Beberapa penelt telah mengembangkan metode pendugaan

2 model regres polynomal untuk data berskala besar. Model regres berganda untuk surva telah dpelajar oleh Fuller (975) dengan menggunakan bobot surva. Sedangkan Korn and Graubard (998) memperkenalkan Regres Polnomal Lokal untuk data surva yang kompleks yatu hanya dengan menamplkan grafk-grafk tanpa menyedakan sfat-sfat statstk dar prosedur yang dgunakan. Sedangkan Smth and Njenga (99) menggunakan regres dengan teknk pemulusan kernel untuk mencapa penduga yang robust untuk rataan dan parameter regres untuk sebuah asums model superpopulas. Selanjutnya Bellhouse and Staford mengembangkan model Polnomal lokal sebaga alat eksploras untuk menemukan hubungan antara Y dan kovarat X. Dalam hal n kovarat X dasumskan sebaga peubah berskala kontnu. Karena besarnya sampel pada data surva, Hartley and Rao (968,969) mengasumskan adanya multple observaton pada ttk-ttk tertentu dan mengeksplotas fnte populaton parameter dalam menguj hubungan antara X dan Y. Demkan juga Bellhouse and Stafford (00), menggunakan cara yang sama untuk memperoleh model yang menghubungkan X dan Y melalu pendekatan non-parametrk. ulsan n membahas pengembangan model polonomal lokal untuk data survey yang berskala besar dengan mengambl kasus model yang menduga raso pengeluaran makanan non makanan dengan pengeluaran rumah tangga.. Metodolog Pengelompokan Data Msalkan X dan Y adalah varable yang dukur dar suatu populas berukuran N. Model yang ngn dhaslkan adalah y=f(). Seandanya X dapat dpandang memlk k nla yang berbeda maka X dapat dkatagorkan ke dalam k wadah. Msalkan adalah nla ke- dar X dan dasumskan bahwa memlk ruang yang sama, maka b = - -. Selanjutnya sampel berukuran n dambl dar populas yang memlk struktur yang sama dengan populas yatu dapat dbag kedalam k wadah, maka nla dugaan dar y (rerata Y untuk tertentu) adalah ŷ. Selan tu, dar data surva dapat dduga p yang ddefnskan sebaga fnte populaton proporton dar observas dengan nla. Dar data surva maka pˆ adalah dugaan dar p. Dasumskan bahwa ŷ dan pˆ

3 adalah penduga assmtotk tak bas dan penduga ŷ, untuk =,,3..k memlk matrks varan-kovaran V. Menurut Bellhouse and Stafford, beberapa keuntungan melakukan pengelompokan (bnnng) terhadap data dar kovarat X pada saat eksploras adalah, pertama pada surva skala besar menggunakan ŷ terkat dengan lebh nformatf dan lebh tdak membngungkan dbandngkan menggunakan seluruh data. Kedua, membuat model sederhana dengan ŷ akan membuat analss lebh terfokus pada su sentral yang dtelt, yatu menentukan fungs kecenderungan untuk. Dengan menggunakan matrks varan-kovaran Vˆ, maka akan mudah menggunakan software statstc semacam SPLUS dan lanlan. Ketgat, dengan melakukan bnnng data maka secara bersamaan akan dapat dlakukan pendekatan nonparametrk yang lan sepert msalnya regres logstk, model lner terampat dan lan-lan. Pendekatan Regres Polnomal Lokal Jka E m adalah nla harapan dar superpopulas yang ddefnskan sebaga E m ( y )=m( ) maka m( ) adalah fungs pemulus. Pendekatan regres polnomal lokal dan dan metode bnnng dengan menggunakan m( ) akan dcoba dterapkan 3 pada data Susenas Jawa mur tahun 006 yang melbatkan 9950 sampel data. Msalkan dberkan pasangan observas (X,Y ),..., (X n, Y n ), peubah acak Y dhubungkan dengan kovaratnya X melalu persamaan: y m ) E( ) 0 (,, =,, k....() Dmana m(.) adalah polnomal lokal yang merupakan fungs regres dan penduga m() adalah m ˆ( ). Dasumskan bahwa V ) ( tdak tergantung pada X dan X dperlakukan sebaga peubah tetap. Pendugaan m() melalu pendekatan regres polnomal lokal dapat dperoleh dengan cara sebaga berkut. Andakan q menyatakan derajat/ pangkat dar regres polnomal lokal. Bredt dan Epsomer (007) menyatakan bahwa untuk nla yang dbeketahu maka m ˆ( ) ddefnskan sebaga 0 ˆ dmana ˆ ˆ,... ˆ 0, q dperoleh dengan menyelesakan fungs kuadrat terkecl terbobot sebaga berkut: n mn K ( Y 0 ( )... h q ( ) ) ( ) q Penduga tersebut dapat dtuls dalam bentuk matrks:

4 ˆ m e ( ) ( X W ( h) X ) X W ( hy )..(3) Dengan e (,0,0,..., 0), Y ( Y,... Yn ), W dagk { (( )/ h,..., K(( Dan X..... k q... ( ) q... ( ).(4).... q... (k ) Untuk kasus survey yang berskala besar dmana X telah dkelompokkan atas X yang berbeda satu sama lan dengan frekuens n atau dengan propors p maka (Bellhouse and Stafford,00) menduga parameter dengan 0,,... q ˆ, ˆ,... ˆ 0 q yang dapat n )/ h} dperoleh dengan memnmumkan fungs: k q p{ˆ y ( )... ( ) } K(( )/ h) h ˆ 0 q /... (5) terhadap 0,,... q. Persamaan (5) adalah modfkas dar persamaan () dengan menambahkan komponen p. Selanjutnya fungs kernel K(t) merupakan fungs smetrk dengan: K ( t) dt, tkt ( ) dt 0 t K( t) dt dan 0 K) [ K( t)] dt R (...(6) h dalam persamaan () adalah lebar jendela dar kernel. Dalam hal memnmumkan (5) untuk mendapatkan pendugaan regres polnomal lokal terdapat dua kemungknan untuk pengelompokan pada X yatu, pertama adalah pengelompokan berdasarkan press data sedemkan hngga ŷ dhtung berdasarkan setap hasl dar. Kedua, adalah dengan mengelompokkan data berdasarkan keragaman dar pada akuras dar data. ˆ Nla harapan m ( ) dan Varans ( m ˆ( ) ) ˆ Pendugaan m ( ) dan momen pertama serta kedua dapat dekspreskan dalam bentuk matrks. Vektor rerata dar nla-nla yang berbeda dar populas adalah y ) ( y, y,... y k dan ŷ adalah vector penduga dar hasl data hasl surva. Selanjutnya: W dagp ( K(( )/h), h p K(( )/h,....p K(( )/h)..(7) Matrks Ŵ adalah W dengan p dgant oleh pˆ, oleh karena tu : m () e (X Wˆ ˆ X ) k k X Wy ˆ ˆ,.(8) Nla harapan dar m( ) adalah: ˆ 4

5 E p( mˆ ()) e (X W X ) X Wy..(9) Dmana Ep menyatakan nla harapan berdasarkan rancangan samplng. Persamaan (8) adalah penduga pemulus m( ) sehngga m ˆ ( ) juga merupakan penduga dar m( ). Selanjutnya: E p ( yˆ) y dan Ep( Wˆ ) W untuk ukuran sampel n yang besar. Selanjutnya varans m ˆ ( ) dperoleh dengan menggant Wˆ W Aˆ dmana Aˆ Wˆ W. Jka dgunakan dua suku pertama dar fungs 3 ( I B) I BB B... maka dengan cara yang sama dperoleh varans m ˆ ( ) adalah sebaga berkut: Vp( mˆ( )) e ( X W X ) X WVWX ( X W X )....(0) Dugaan Vˆ p m( ) dperoleh dengan substtus Vˆ dar hasl survey untuk menggantkan V pada persamaan (0) 3. Contoh Untuk Model Pengeluaran Rumah angga dalam Susenas Jawa mur. ) entang Susenas Jawa mur Susenas atau Surve Sosal Ekonom Nasonal merupakan salah satu kegatan rutn BPS tap tahun. Surve n telah terlaksana sejak tahun 963 dan sejak tahun 99 data yg dkumpulkan melalu Susenas terbag dalam jens; data kor (keterangan pokok) dan data modul (keterangan khusus). Data e 5 modul dkumpulkan bersamaan dengan data kor, dmana jens modul yg dtanyakan bergantan untuk tap tahunnya. Untuk Susenas 008 jumlah responden dtngkatkan menjad, juta rumah tangga dengan tujuan menngkatkan akuras dan predks sampa ke tngkat kecamatan. ujuan utama pengumpulan data Susenas 008 adalah tersedanya data tentang kesejahteraan masyarakat dalam hal penddkan, kesehatan, dan kemampuan daya bel. Khusus untuk propns Jawa mur, jumlah sampel yang dgunakan sektar 9500 rumah tangga. Penarkan contoh dalam surva Susenas menggunakan rancangan sampel dua tahap untuk daerah perkotaan dan tga tahap untuk daerah pedesaan. Untuk daerah perkotaan, wlayah dbaga atas blok sensus dan pemlhan blok sensus dengan cara lnear systematc samplng. Selanjutnya dar setap blok sensus dambl sampel sebanyak 6 rumah tangga. Sedangkan untuk daerah pedasaan pemlhan sampel dlakukan dengan cara memlh kecamatan propotonal to sze dengan sze banyaknya runah tangga d kecamatan. ahap kedua dplh blok sensus d tap kecamatan secara lnear systematc samplng. Dalam tap blok sensus dplh sampel 6 rumah tangga secara lnear systematc samplng. Pengumpulan data d tap rumah tangga dlakukan dengan wawancara dengan responden dengan menggunakan kusoner.

6 Salah satu karaketerstk pentng untuk mengukur tngkat kesejahteraan masyarakat adalah varable pengeluaran rumah tangga dmana pengeluaran rumah tangga total terbag atas dua komponen yatu pengeluaran makanan dan pengeluaran non makanan. Raso pengeluaran makanan terhadap pengeluaran non makanan serng dgunakan untuk mengetahu tngkat kesejahteraan rumah tangga. Rumah tangga mskn umumnya memlk raso pengeluaran makanan /non makanan datas sangat tngg. Dasumskan bahwa sampel sebesar 9950 responden cukup representatve untuk mewakl konds socal ekonom masyarakat Jawa mur tahun 006. Gambar menunjukkan bahwa dstrbus pengeluaran rumah tangga total, untuk makanan dan non makanan cenderung mrng kekr, artnya lebh banyak rumah tangga yang memlk pegeluaran rumah tangga rendah. Demkan juga dstrbus raso pengeluaran makanan / non makanan yang dtunjukkan oleh Gambar, terlhat lebh banyak rumah tangga d Jawa mur yang memlk raso pengeluaran tngg. Gambar 3 menunjukkan bahwa rumah tangga yang lebh kaya memlk raso pengeluaran makanan /non makanan rendah. Sebaga contoh rumah tangga yang memlk pengeluaran rumah tangga d atas 5 juta akan memlk raso pengeluaran makanan/non makanan hanya sektar 0,5, sedangkan rumah tangga yang memlk pengeluaran rumah tangga datas 0 juta memlk raso pengeluaran makanan/non makanan sektar Pengeluaran non makanan Pengeluaran makanan Pengeluaran rumah tangga Std. Dev = Mean = N = Std. Dev = Mean = N = Gambar. Dstrbus Pengeluaran Rumah angga (makanan, non makanan, total) Std. Dev = Mean = N =

7 00.000,- sehngga kelas nterval pertama adalah 0-Rp ,-, kedua antara Rp ,- - Rp ,- dan seterusnya. adalah nla tengah tap kelas nterval. n adalah jumlah data yang masuk pada kelas nterval ke dan p adalah n /9950. Gambar. Scatter Plot raso pengeluaran makanan/non makanan/non makanan Gambar 3. Scatter Plot raso makanan vs pengeluaran R total ) Pendekatan Regres Plnomal Lokal untuk Model Pengeluaran Rumah angga. Data Susenas yang terdr dar 9950 responden dkelompokkan berdasarkan pengeluaran rumah tangga dmana pengeluaran rumahtangga memlk rentang Rp ,- sampa Rp ,- per bulan. Pengeluaran rumah tangga dbag atas nterval dengan selang Rp 7 Sedangkan ŷ adalah rata-rata raso pengeluaran makanan/ non makanan pada nterval ke-. Karena terdapat beberapa sel yang tdak ters maka jumlah nterval () untuk data Susenas n akhrnya hanya ada 5 data. Contoh struktur data dapat dlhat pada abel dan scatter plot yang menunjukkan hubungan antara pengeluaran rumah tangga () dengan raso pengeluaran makanan/non makanan (y) dapat dlhat pada Gambar 4. abel. Contoh Struktur Data setelah dkelompokkan n Propors y (bar) E Gambar 4 dbawah menunjukkan bahwa hubungan kedua

8 Y.0.5 peubah tersebut berbentuk eksponensal. Pengeluaran rumah tangga sampa dengan Rp memlk hubungan lner negatf dengan raso pengeluaran makanan/ non makanan. Selanjutnya pengeluaran rumah tangga datas Rp memlk laju peneurunan yang lambat sektar angka -3% Pemlhan model regres polynomal local yang terbak dlakukan dengan merubah-ubah nla span mula dar 0. sampa 0.9. Model n dbangun dengan memasukkan bobot p (propors R pada setap nla pengeluaran rumah tangga yang telah dkelompokkan, ). Gambar 5 (a) adalah model regres polynomal local terbak untuk data pengeluaran rumah tangga (dengan Span sebesar 0,3). Gambar 5(a) menunjukkan bahwa grafknya berbentuk eksponensal sampa batas batas pengeluaran sebesar Rp ,-. Selanjutnya berbentuk kuadratk setelah batas Rp ,-. Jka dgunakan pendeketan regres polynomal local tanpa bobot p dan dengan menggunakan Span sebesar 0.3 maka bentuk modelnya dapat dlhat pada Gambar 5(b) yang terlhat sangat mrp dengan Gambar 5(a). Namun demkan model tanpa tersebut memberkan nla resdual scale estmate yang lebh tngg (yatu sebesat 0.00) dbandngkan dengan model yang menggunakan bobot (hanya sebesar 0.00) Kesmpulan X Gambar 4. Scatter Plot Pengeluaran Rumah angga VS Raso makanan/non makanan abel menunjukkan berbaga alternatve model dengan berbaga nla Span. Semakn tngg span maka derajat dar model regres polynomal makn turun. Model yang terbak adalah yang memlk nla dugaan resdual palng kecl. erlhat bahwa Span sebesar 0.3 adalah yang terbak karena memberkan nla resdual terendah. 8 Untuk surva yang berskala besar semacam Susenas dbutuhkan penyederhanaan nformas dengan mengelompokkan data berdasarkan peubah penjelas yang sudah terklasfkas. Penyederhadaan dengan mengelompokkan tersebut beresko pada hlangnya nformas tentang varabltas y d tap kelompok Dugaan ŷ, dalam kasus n adalah rata-rata raso pengeluaran makanan/non makanan sangat cocok

9 V V dgunakan jka dstrbus dar tap kelompok ( ) adalah normal. Jka bentuk dstrbus dar y tdak normal dapat dgunakan penduga lan msalnya medan Dalam kasus model pengeluaran rumah tangga Jawa mur berdasarkan data Susenas tahun 006, model terbak dperoleh degan menggunakan Span 0.3, dmana nla raso pengeluaran makanan/non makanan menurun secara eksponensal sampa pengeluaran total sebesar Rp dan berbentuk kuadratk setelah batas pengeluaran Rp ,-. Pada kausus n dengan memasukkan komponen bobot pada fungs polynomal dperoleh model yang lebh bak karena memlk resdual yang lebh rendah X (a) Menggunakan bobot p X Ada kemungknan bahwa cara pengelompokkan yang berbeda akan memberkan sebaran y ( msalnya dalam kasus n adalah raso pengeluaran makanan/non makanan) yang berbeda. Oleh karena tu model yang akan dperoleh juga akan berbeda bentuk. Dbutuhkan metode khusus untuk menentukan kelompok terbak sehngga menghaslkan model yang palng represetatf terhadap data asl. (b) anpa bobot p Gambar 5. Regres polynomal local pengeluaran rumah tangga total vs raso pengeluaran makanan/non makanan 9

10 Hartley, H.O., and Rao, J.N.K. (968). A new estmaton theory for sample surveys. Bometrka, 55, abel 3. Jumlah parameter model regres polynomal local dan resdual untuk berbaga nla Span Span Equvalent Number of Parameters Resdual Scale Estmate Resdual: Mn st Q Medan 3 rd Q Ma Pustaka Bellhouse,D.R and Stafford,J.E, Local Polynomal Regresson n Comple Survey, Survey Methodology, 00 Bredt, F.J., and Opsomer, J.D. (000). Local polynomal regresson estmators n survey samplng. Submtted for publcaton. Fuller, W.A. (975). Regresson analyss for sample survey. Sankhyā, C, 37, 73. Green, P.J., and Slverman, B.W. (994). Nonparametrc Regresson and Generalzed Lnear Models. Hardle, W. (990). Appled Nonparametrc Regresson. Cambrdge Unversty Press: Cambrdge. Hartley, H.O., and Rao, J.N.K. (969). A new estmaton theory for sample surveys, II. In New Developments n Survey Samplng, London: Chapman and Hall. Eds. N.L. Johnson and H. Smth). New York: John Wley & Sons, Inc. InterScence, Korn, E.L., and Graubard, B.I. (998). Scatterplots wth survey data. Amercan Statstcan, 5, 5869.

11 Statstk Kesejahteraan Rakyat, BPS, 008Vol 7, No, pp , Statstcs Canada, Catalogue No - 00