2. Tiga Dimensi (R3) Persamaan Garis

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "2. Tiga Dimensi (R3) Persamaan Garis"

Devi Kurniawan
6 tahun lalu
Tontonan:

1 2. Tiga Dimensi (R3) Ø Persamaan Garis Titik A (xa,ya,za) dan titik B (xb,yb,zb) terletak pada satu garis. Jika titik P (xp,yp,zp) terletak di tengah titik A dan B, secara vektor dituliskan :

2 Jadi persamaan garis yang melalui titik A dan titik B dituliskan dalam bentuk persamaan parametrik : Contoh : xp = k(xb xa) + xa yp = k(yb ya) + ya zp = k(zb za) + za Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-1,0) dan (1,-1,1).

3 Jawab : Gunakan persamaan garis melalui kedua titik tersebut. x = k(xb xa) + xa = k(2 1)+2= k + 2 yp = k(yb ya) + ya = k( 1 ( 1)+( 1) = k 1 zp = k(zb za) + za = k(0 1)+ 0= k Persamaan garis di ruang 3 dimensi adalah persamaan parametrik. Variabel A dan B dapat ditukar, yang mem bedakan adalah arah garisnya Perhatika n :

4 Ø Persamaan bidang Bidang merupakan suatu permukaan datar. Untuk membentuk suatu persamaan garis dibutuhkan 2 titik, sedangkan untuk membentuk persamaan bidang dibutuhkan 3 titik atau satu titik dan vektor normal dari bidang tersebut. Jika terdapat satu bidang yang melalui titik P (xp,yp,zp) dan memiliki vektor normal n = (a,b,c), maka bila ingin mencari persamaan dari bidang tersebut diperlukan suatu titik sembarang Q(x,y,z) yang terletak pada bidang tersebut.

5 Dari definisi bahwa vektor normal tegak lurus terhadap bidang, maka QP. n 0 = xp x a yp y. b = 0 zp z c ax+ by + cz ( ax by + cz+ ) 0 P P P ax + by + cz + d = 0 Persamaan Umum, dengan d = ax : by cz P P P

6 Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (1,2,1) dan memiliki vektor normal (-1,2,3). Jawab : Langsung digunakan persamaan umum dengan mensubstitusi vektor normal : Untuk mencari nilai d, dilakukan substitusi titik (1,2,1) ke persamaan, karena titik tersebut terletak di bidang. Maka : Jadi persamaan bidang yang dicari adalah : ax + by+ cz+ = d 0 x + 2y + 3z + d = (2) + 3(1) + d = 0 d = 6 x + 2y + 3z + 6 = 0

7 Bagaimana mencari persamaan bidang jika yang diketahui adalah 3 buah titik? Contoh : Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(-1,2,1), B(2,1,1) dan C(-2,-1,3). Jawab : Substitusikan koordinat dari 3 titik itu ke dalam persamaan umum, sehingga diperoleh 3 persamaan dengan 4 Cara 1. variabel yaitu : a + 2b + c + d = 0 2 a + b + c + d = 0 2a b + 3c + d = 0

8 Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh : a = 1/10 d, b = 3/10 d dan c = ½ d Persamaan bidang yang dicari adalah : + = dx 10 y 2 z d 0 x + 3 y + 5 z 10 = 0 10 Dikalikan diperoleh : d

9 Cara Mencari vektor normal n dengan menggunakan 2. perkalian silang vektor AB dan vektor BC. 3-1 AB = -1 ; AC -3 = 0 2

11 Ø Jarak titik terhadap bidang Vektor normal n pada bidang ax + by + cz+ d = 0 dapat ditulis sebagai (a,b,c). Titik A(xA, ya) berada di luar bidang, sedangkan sembarang titik P(x,y,z) pada bidang, sehingga : PA. n = PA n cosα xa x a y y. b = Dn A za z c D : jarak titik A ke bidang

12 D = ax + by + cz+ d A A A a + b + c Persamaan yang digunakan untuk mencari jarak suatu titik ke bidang yang telah diketahui persamaannya.

13 Contoh : Tentukan jarak titik (2,1,1) ke suatu bidang dengan persamaan 3x y 2z + 5 = 0 Jawab : 3x y 2z+ 5 D = Gunakan persamaan : = = =

14 Ø Sudut antara dua bidang Jika 2 bidang saling berpotongan, maka dalam menentukan sudut yang terbentuk sama halnya seperti mencari sudut antara 2 garis. Persamaan bidang P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0 Jika koefisien : a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2, maka ada 2 kemungkinan yaitu : 1. Bidang berhimpit bila d1 = d2,

15 Jika koefisien tidak mempunyai nilai yang sama, maka kedua bidang pasti berpotongan. Vektor normal bidang P1 adalah N1(a1,b1,c1). Vektor normal bidang P2 adalah N2(a2,b2,c2). Dengan perkalian titik kedua vektor normal tersebut dapat diperoleh sudut antara 2 bidang, yaitu : n 1. n 2 = n1 n 2 cosθ θ = arc cos a a + b b + c c a + b + c a + b + c

16 Contoh : Tentukan sudut yang dibentuk oleh bidangbidang dengan persamaan berikut ini : P1 : 2x 3y + 2z 4 = 0 P2 : x + y + z 3 = 0 Jawab : Vektor normal P1: (2, 3,2) dan P2: (1,1,1). θ = arc cos a a + b b + c c a + b + c a + b + c θ = arc cos ( 3) θ = cos = 81,

17 Ø Jarak titik terhadap garis Tidak seperti menghitung jarak titik terhadap garis pada dimensi dua, karena persamaan garisnya berbeda. Oleh karena itu, diperlukan bantuan satu titik (Q) yang terletak pada garis g1 sedemikian sehingga jika dihubungkan dengan titik yang diketahui(p) akan Jadi jarak P terhadap saling g1 tegak = jarak lurus antara dua titik P dan Q (PQ)

18 Contoh : Tentukan jarak titik (2,3,-1) ke garis g1 dengan persamaan x = 2t-1; y = t-3; z = t. Jawab : Misalkan titik Q pada garis g1 dengan koordinat (2t-1, t-3, t), maka :

19 Jadi :

dokumen-dokumen yang mirip

DIKTAT MATEMATIKA II

DIKTAT MATEMATIKA II (PERSAMAA GARIS DA PERSAMAA BIDAG DATAR) Drs. A. ABABA PURAWA, M.T JURUSA PEDIDIKA TEKIK MESI FAKULTAS PEDIDIKA TEKOLOGI DA KEJURUA UIVERSITAS PEDIDIKA IDOESIA 004 PERSAMAA GARIS DA